Độ đo Radon và định lý biểu diễn Riesz

n thế nào cho đúng và đẹp, cho tôi những lời khuyên khi tôi cảm thấy khó khăn. Đặc biệt là cô Phạm Thị Thu Hường đã tận tình chỉ bảo, giải đáp những điều mà tôi thắc mắc và cho tôi những ý kiến quý báo từ nội dung đến hình thức trình bày quyển luận văn này. Xin chân thành cảm ơn. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Nguyễn Thị Anh Đào  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 1 LỜI NÓI ĐẦU Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan trọng của giải tích. Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng. Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn [0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập như thế. Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân. Tuy nhiên những vấn đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng Tụy. Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact, đó là độ đo Radon. Đối với độ đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân của một hàm đo được. Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact. Một độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz. Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân Lebesgue gồm một số định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau. Do  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 2 đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng minh. Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây là nội dung chính của bản luân văn. Chương này nói về định nghĩa độ đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý biểu diễn Riesz. Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng của định lý biểu diễn Riesz. Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn. An Giang, tháng 05 năm 2008 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Anh Đào  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................1 MỤC LỤC.........................................................................................................3 CÁC KÝ HIỆU .................................................................................................4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................5 1. ĐỘ ĐO .......................................................................................................5 1.1. Đại số tập hợp .....................................................................................5 1.2. σ - Đại số tập hợp...............................................................................5 1.3. Hàm tập hợp cộng tính........................................................................6 1.4. Độ đo có dấu .......................................................................................6 1.5. Độ đo dương........................................................................................8 1.6. Không gian độ đo................................................................................9 1.7. Độ đo ngoài .........................................................................................9 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE ......................................................................12 2.1. Hàm số đo được ................................................................................12 2.2. Tích phân Lebesgue ..........................................................................15 Chương 2. ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ..........24 1. ĐỘ ĐO RADON.....................................................................................24 1.1. Định nghĩa.........................................................................................24 1.2. Một số tính chất của độ đo Radon.....................................................25 2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ................................................................32 2.1. Định lý biểu diễn Riesz.....................................................................33 2.2. Bổ đề .................................................................................................35 Chương 3. MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ .......41 1. Định nghĩa................................................................................................41 2. Định lý......................................................................................................41 3. Định lý......................................................................................................42 KẾT LUẬN .....................................................................................................44 PHỤ LỤC ........................................................................................................45 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................46  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 4 CÁC KÝ HIỆU (0, )r∆ : hình tròn mở tâm O bán kính r ( )CC X : không gian các hàm liên tục có giá compact trên X ( )CC D : không gian các hàm liên tục có giá compact trên miền D ( )CC D∞ : không gian các hàm khả vi vô hạn lần, có giá compact trên miền D ( )2C D : lớp các hàm có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên miền D C∞ : lớp các hàm khả vi vô hạn lần ( )A xχ : hàm đặc trưng của A dA : độ đo Lebesgue hai chiều u∆ : toán tử Laplace của hàm u B(X) : σ - đại số Borel K : lớp các tập compact suppφ : giá của hàm φ , ( ){ }supp : 0x X xφ φ= ∈ ≠  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. ĐỘ ĐO 1.1. Đại số tập hợp 1.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng, một lớp C các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một đại số tập hợp : a) X ∈ C b) A ∈ C ⇒ AC = X\A ∈ C c) , ∈A B C ⇒ ∪ ∈A B C 1.1.2. Bổ đề C là một đại số tập hợp khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiện a), b) và c’) với c’) , A B∈ C ⇒ ∩A B ∈ C 1.2. σ - Đại số tập hợp 1.2.1. Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng . Một họ F các tập con của X được gọi là σ - đại số tập hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) X ∈ F b) A ∈ F ⇒ AC = X \ A ∈ F c) An∈ F , n = 1, 2,… 1= ∞ ⇒U n n A ∈ F Ta thấy nếu F là σ - đại số tập hợp thì F cũng là một đại số tập hợp. Tương tự như đối với đại số tập hợp ta có bổ đề sau: 1.2.2. Bổ đề F là σ - đại số các tập con của X khi và chỉ khi F thỏa mãn các điều kiện a), b) và c’) với c’) An∈ F , n = 1, 2,… 1= ∞ ⇒I n n A ∈ F  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 6 1.3. Hàm tập hợp cộng tính 1.3.1. Hàm tập hợp Định nghĩa. Ta gọi hàm tập hợp ( gọi tắt là hàm tập) là một ánh xạ xác định trên một họ nào đó các tập hợp nhận giá trị trong không gian các số thực hoặc phức hoặc trong không gian các số thực mở rộng { };= ∪ −∞ +∞ . Riêng trong trường hợp cuối ta quy ước tập giá trị của ánh xạ chỉ chứa nhiều nhất một trong hai giá trị −∞ hoặc +∞ . 1.3.2. Hàm tập hợp cộng tính Định nghĩa. Hàm tập µ xác định trên một họ các tập con M chứa tập rỗng được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn : a) ( ) 0µ ∅ = b) A, B ∈ M, A∩B =∅⇒ µ (A∪B) = µ (A) + µ (B) 1.3.3. Hàm tập hợp σ - cộng tính Định nghĩa. Hàm tập µ xác định trên một họ các tập con M chứa tập rỗng được gọi là σ - cộng tính nếu nó thỏa mãn : a) ( ) 0µ ∅ = b) Ai ∈ M (i=1,2….), Ai∩Aj =∅ , 1= ∞ U i i A ∈M ⇒ ( ) 11 i i ii A Aµ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U 1.4. Độ đo có dấu 1.4.1. Biến phân toàn phần của một hàm tập hợp Định nghĩa. Cho µ là một hàm tập xác định trên đại số C các tập con của X, E∈ C. Ta gọi biến phân toàn phần của µ trên E là số ( ),v Eµ , được định nghĩa nhờ công thức: ( ) ( ) 1 , supµ µ = = ∑n i i v E E Ở đây cận trên được lấy theo tất cả các họ hữu hạn{ }, 1,2,...,iE i n= ⊆ C rời nhau từng đôi một, iE E⊆ . 1.4.2. Biến phân trên, biến phân dưới Định nghĩa. Giả sử µ là hàm tập cộng tính với giá trị thực. Ta gọi biến phân trên µ+ và biến phân dưới µ− là những hàm tập được xác định lần lượt bởi các đẳng thức sau:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 7 ( ) ( ) ( )( )1 , 2 E v E Eµ µ µ+ = + ( ) ( ) ( )( )1 , 2 E v E Eµ µ µ− = − 1.4.3. Định lý phân tích Jordan Nếu µ là hàm tập hợp cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) bị chặn xác định trên một đại số C thì với mọi E∈ C: ( ) ( ){sup : , E F F E Fµ µ+ = ⊆ ∈ C } ( ) ( ){inf : , E F F E Fµ µ− = − ⊆ ∈ C } Các hàm µ+ , µ− là cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) không âm. ( ) ( ) ( )E E Eµ µ µ+ −= − , ( ) ( ) ( ), , v E E E Eµ µ µ+ −= + ∈ C Chứng minh Chỉ cần xét trường hợp cộng tính, vì trường hợp σ - cộng tính là tương tự. Nếu , ,F E E F⊆ ∈ C thì: ( ) ( ) ( ) ( )2 \F F E E Fµ µ µ µ= + − ( ) ( ) ( )\E F E Fµ µ µ≤ + + ( ) ( ) ( ), 2E v E Eµ µ µ+≤ + = Do đó: ( ) ( )sup F E F Eµ µ+ ⊆ ≤ Mặt khác với mọi 0ε > bao giờ cũng tìm được một họ hữu hạn các tập rời nhau từng đôi một { }:iE i I∈ ⊆ C sao cho: i i I E E ∈ =U và ( ) ( ), i i I v E Eµ ε µ ∈ − <∑ Suy ra: ( ) ( ) ( )2 ,E v E Eµ ε µ µ ε+ − = + − ( ) ( )i i I E Eµ µ ∈ ≤ +∑ ( ) ( )i i i I i I E Eµ µ + −∈ ∈ = −∑ ∑ i i i I i I E Eµ µ + −∈ ∈ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦U U ( )2 2supi F Ei I E Fµ µ + ⊆∈ ⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠U Vì ε nhỏ tuỳ ý, ta có: ( ) ( )sup F E E Fµ µ+ ⊆ ≤ Vậy ( ) ( )sup F E E Fµ µ+ ⊆ = Từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ+ và µ− ta có ( )µ µ +− = − do đó ( ) ( )inf F E E Fµ µ− ⊆= − Cuối cùng cũng từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ+ và µ− ta có  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 8 ( ) ( ) ( )E E Eµ µ µ+ −= − , ( ) ( ) ( ), , v E E E Eµ µ µ+ −= + ∈ C. 1.4.4. Độ đo có dấu Định nghĩa. Cho C là một đại số các tập con của X. Hàm tập µ xác định trên C được gọi là một độ đo có dấu nếu nó là σ - cộng tính. 1.5. Độ đo dương 1.5.1. Độ đo dương Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo dương nếu µ (A) ≥ 0 với mọi A ∈ C. Trên cơ sở định lý phân tích Jordan và bằng cách biểu diễn độ đo giá trị phức µ dưới dạng Re Imiµ µ µ= + viêc nghiên cứu độ đo với giá trị thực hoặc phức được đưa về việc nghiên cứu độ đo dương. Vì vậy từ đây trở về sau khi nói đến độ đo là ta xét độ đo dương. 1.5.2. Độ đo hữu hạn Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo hữu hạn nếu ( )Xµ < +∞ 1.5.3. Độ đo σ - hữu hạn Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo σ −hữu hạn nếu X có thể biễu diễn dưới dạng: 1 n n X A ∞ = =U với nA ∈ C, ( )µ < +∞nA 1.5.4. Các tính chất cơ bản của độ đo dương Giả sử µ là độ đo dương trên đại số C . Khi đó: 1) A, B ∈ C, B ⊆ A⇒ µ (B) ≤ µ (A) 2) A, B ∈ C, B ⊆ A , µ (B) < +∞ ⇒ µ (A\B)= µ (A) - µ (B). 3) Ai∈ C ( i=1, 2,…, n), A∈ C, A ⊆ 1 i i A = ∞ U ⇒ ( )Aµ ≤ 1 ( )µ = ∞∑ i i A 4) A i∈ C (i=1, 2,…, n), Ai ∩A j= ∅ ∀ i≠ j, A∈C, 1= ∞ U i i A ⊆A ⇒ 1 ( )µ = ∞∑ i i A ( )µ≤ A Chứng minh 1) Vì B A⊆ nên ( \ )A A B B= ∪ do đó ( ) ( ) ( ) ( )\A A B B Bµ µ µ µ= + ≥ . 2) Nếu ( )Bµ < ∞ thì từ ( ) ( ) ( )\A A B Bµ µ µ= + có thể suy ra: ( ) ( ) ( )\A B A Bµ µ µ− = .  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 9 3) Trước hết để ý rằng, bất cứ các tập iB như thế nào ta cũng có thể chọn các /iB để có / 1 1 ∞ ∞ = = =U Ui i i i B B , đồng thời các /iB rời nhau từng đôi một, và nếu iB ∈ C thì /iB ∈ C. Thật vậy chỉ cần đặt ( )/ / /1 1 2 2 1 3 3 1 2, \ , \B B B B B B B B B= = = ∪ , …, 1 / 1 \ n n n i i B B B − = = U ,… ta thấy các /iB có những tính chất đã nêu. Bây giờ ta chứng minh tính chất 3 Vì 1 ∞ = ⊆U i i A A nên 1 ∞ = ⎛ ⎞= ∩⎜ ⎟⎝ ⎠U iiA A A ( )1 1i ii iA A B ∞ ∞ = = = ∩ =U U , với = ∩ ∈i iB A A C (do Ai, A ∈ C ). Theo nhận xét trên A = / 1 1 ∞ ∞ = = =U Ui i i i B B , trong đó /iB ∈ C , /i i iB B A⊆ ⊆ nên theo tính chất 1: ( ) ( )/µ µ≤i iB A và các /iB rời nhau nên theo tính chất σ - cộng tính ( ) ( ) ( )/ 1 1 µ µ µ∞ ∞ = = = ≤∑ ∑i i i i A B A . 4) Từ 1 i i A A ∞ = ⊆U ta suy ra với mọi n: 1 n i i A A = ⊆U , do đó theo tính chất 1, vì 1= ∈U n i i A C (do C là đại số) nên ( ) 1 µ µ = ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠U n i i A A . Mặt khác các iA rời nhau nên: ( ) 11 µ µ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U n n i i ii A A . Vậy ( ) ( ) 1 µ µ = ≤∑n i i A A và cho →+∞n ta được bất đẳng thức cần chứng minh. 1.6. Không gian độ đo Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của X, µ là một độ đo trên F thì bộ ba (X, F, µ ) được gọi là không gian độ đo. 1.7. Độ đo ngoài 1.7.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng. Hàm tập * :µ P(X) +→ được gọi là một độ đo ngoài nếu:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 10 a) *µ là σ - cộng tính dưới: ( ) 11 * *µ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A , { }∀ ⊆iA P(X) b) ( )* 0µ ∅ = c) ( )* 0, A A Xµ ≥ ∀ ⊆ 1.7.2. Định lý Caratheodory Cho *µ là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi ⊆E X . Khi ấy L là một σ - đại số và hàm *µ µ= / L (thu hẹp của *µ trên L) là một độ đo trên L. Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *µ . Các tập ⊆A X thoả điều kiện ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi ⊆E X gọi là *µ - đo được. Chứng minh ¾ Trước hết ta chứng minh L là một σ - đại số. ™ Chứng minh X ∈ L ∀ ⊆E X : ( ) ( )* * \µ µ∩ +E X E X = ( ) ( )* *µ µ+ ∅E = ( )*µ E Suy ra X ∈ L ™ A∈ L chứng minh \ ∈X A L Vì A∈ L nên với mọi ⊆E X : ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A Ta có: ( )\ \∩ =E A E X A ( )\ \= ∩E A E X A , với mọi ⊆E X Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( )* * \ \ * \µ µ µ= + ∩E E X A E X A Vậy \ ∈X A L. ™∀ ∈iA L , i=1, 2, …cần chứng minh 1 ∞ = ∈U i i A L . ƒ 1 ∈A L nên ∀ ⊆E X : ( ) ( ) ( )1 1* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A ƒ 2 ∈A L nên 1 1\∀ = ⊆E E A X : ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 1 2* \ * \ * \ \µ µ µ= ∩ +E A E A A E A A Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( ) ( )( )1 2 1 2* \ * \ \µ µ∩ +E A A E A A ƒ 3 ∈A L nên ( )2 1 2\∀ = ∪ ⊆E E A A X : ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 3 1 2 3* \ * \ * \ \µ µ µ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∪ = ∪ ∩ + ∪⎣ ⎦ ⎣ ⎦E A A E A A A E A A A Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( )1 2* \µ ∩E A A  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 11 + ( )( )1 2 3* \µ ⎡ ⎤∪ ∩⎣ ⎦E A A A + 3 1 * \µ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠U iiE A …………………………………… ( )*µ E = 1 1 1 * \µ − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U jk i j j i E A A + 1 * \µ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U k j j E A Do đó ( )*µ E ≥ 1 1 1 * \µ − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U jk i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A Vì điều này đúng với mọi k nên ( )*µ E ≥ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A (1) Mặt khác: 1 1 1 \ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠U U j i j j i E A A = 1 ∞ = ⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A và 1 1 \ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊆ ∩ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A Suy ra ( ) 1 1 * * * \µ µ µ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A ≤ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦U U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A ≤ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A ( )*µ≤ E (từ (1)) Vậy ( ) 1 1 * * * \µ µ µ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A Do đó 1 ∞ = ∈U i i A L . ¾ Chứng minh *µ µ= / L là một độ đo ™ A∀ ∈ L ta có ( ) ( )* 0A Aµ µ= ≥ ™Ta có ∅∈ L nên ( ) ( )* 0µ µ∅ = ∅ = ™ Cho ∈iA L , i=1, 2, … rời nhau từng đôi một. Ta chứng minh: ( ) 11 *µ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 12 Đặt 1 ∞ = = ∈U i i E A L. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 * * *µ µ µ µ µ∞ ∞ ∞ = == ⎛ ⎞= = ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑U i i ii iiE E A A A Từ bất đẳng thức (1) ta có ( ) ( ) 1 µ µ∞ = ≥∑ j j E A Suy ra ( ) ( ) 1 µ µ∞ = = ∑ j j E A Vậy µ là σ - cộng tính do đó µ là một độ đo. 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE 2.1. Hàm số đo được 2.1.1. Hàm đo được Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo, Y là một không gian tách Hausdorff. Ta nói rằng hàm :f X Y→ là đo được ( theo độ đo µ ) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: a) ( )1f G− ∈ F với mọi tập mở G Y⊆ . b) f có ảnh hầu khả ly, tức là tồn tại một tập đếm được H Y⊆ và một tập N X⊆ có độ đo 0, sao cho ( )\f X N H⊆ . 2.1.2. Hàm số đo được với giá trị trong không gian các số thực mở rộng Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → gọi là đo được trên X đối với σ - đại số F nếu: ( ) ( ){ } :a x X f x a∀ ∈ ∈ < ∈ F . Từ đây về sau khi nói hàm số đo được và không nói gì thêm thì ta hiểu hàm số đó nhận giá trị trong . 2.1.3. Hàm bậc thang Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → được gọi là hàm bậc thang trên X nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị 1 2, , ..., nα α α . f là hàm bậc thang đo được trên X nó sẽ được biểu diễn như sau: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 13 với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U 2.1.4. Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được) Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo được fn nhận giá trị trong hội tụ đến f . Nếu ( ) 0f x ≥ với mọi x X∈ thì có thể chọn các fn để cho ( ) 0;nf x ≥ ( ) ( )1 n nf x f x+ ≥ với mọi n và với mọi x X∈ Chứng minh ¾ Giả sử trước hết f(x) 0≥ ta đặt: ( ) ( ) ( ) khi 1 -1 khi 2 2 2 n n n n n f x n f x i i if x ⎧ ≥⎪= ⎨ − ≤ <⎪⎩ Khi đó: i) nf là hàm bậc thang, đo được không âm ii) 1 2 ...f f≤ ≤ và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= ™ Thật vậy, nếu đặt: ( )1: 2 2i n n i iX x X f x−⎧ ⎫= ∈ ≤ <⎨ ⎬⎩ ⎭ , 1, 2, ..., 2 ni n= ( ){ }2 1 :nnX x X f x n+ = ∈ > thì iX ( 1, 2, ..., 2 1) ni n= + là các tập đo được và: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 n i nn n n X Xn i if x x n xχ χ += −= +∑ nghĩa là fn thoả mãn i). ™ Để chứng tỏ { fn } đơn điệu tăng , ta chú ý: 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , 2 2 2 2 2 2n n n n n n i i i i i i + + + + − − − −⎡ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞= ∪⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ (*) Lấy tuỳ ý x X∈ nếu ( )f x n≥ thì ( ) ( )1 1n nf x n n f x+ = + ≥ = còn nếu ( )f x n< thì ắt phải tồn tại 2ni n≤ sao cho: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < Từ đẳng thức (*) suy ra: ( ) ( )1 12 22n nn if x f x+ + −= = hoặc ( ) ( )1 12 12n nn if x f x+ + −= ≥  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 14 Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: ( ) ( )1n nf x f x+≤ ™ Ta hãy chứng minh rằng ( ) ( )lim nnf x f x→∞= Nếu ( )f x < +∞ thì với n đủ lớn f(x) < n, cho nên tồn tại i để: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < , do đó ( ) 1 2n n if x −= chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( )1 0 2n n f x f x n− ≤ → →∞ Nếu ( )f x = +∞ thì ( ) , f x n n≥ ∀ , cho nên ( )nf x n= →∞ . Vậy trong mọi trường hợp: ( ) ( )nf x f x→ . ¾ Bây giờ giả sử f (x) bất kỳ, ta đặt: ( ) ( ){ }max ; 0f x f x+ = , ( ) ( ){ }max ; 0f x f x− = − Ta có ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= − , các hàm số , f f+ − đo được không âm, cho nên theo trên có hai dãy hàm bậc thang đo được nf + và nf − hội tụ tới f + và f − . Đặt ( ) ( ) ( )n n nf x f x f x+ −= − thì { }nf là dãy hàm bậc thang đo được, và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= 2.1.5. Hội tụ hầu khắp nơi Định nghĩa. Dãy hàm {fn} đo được trên X gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nếu tồn tại tập con A X⊆ và ( ) 0Aµ = sao cho: ( ) ( )lim nn f x f x→∞ = với mọi \x X A∈ 2.1.6. Hội tụ theo độ đo Định nghĩa. Cho f, fn , (n = 1, 2, …) là các hàm đo được trên A ∈ F. Ta nói rằng dãy hàm { }nf hội tụ theo độ đo µ đến f và ký hiệu nf fµ⎯⎯→ nếu với mọi số 0ε > ta có: ( ) ( ){ }lim : 0nn x A f x f xµ ε→∞ ∈ − ≥ = 2.1.7. Định lý Egorov Cho một dãy hàm số nf đo được , hữu hạn hầu khắp nơi và hội tụ hầu khắp nơi trên một tập đo được A có độ đo ( )Aµ tồn tại một tập đo được B A⊆ sao cho ( )\A Bµ ε< và dãy nf hội tụ đều trên tập B. Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 15 Chứng minh Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các ( )nf x hữu hạn khắp nơi và hội tụ khắp nơi trên A. Cho ( )f x là giới hạn của dãy ( )nf x . Đặt ( ) ( ) 1:kn i i n A x A f x f x k ∞ = ⎧ ⎫= ∈ − <⎨ ⎬⎩ ⎭U ta thấy rằng nếu x A∈ thì với mỗi k phải tồn tại một n nào đó để knx A∈ . Vậy với mọi k kn i n A A ∞ = =U Nhưng rõ ràng 1 2 ... k kA A⊆ ⊆ , cho nên ( ) ( )lim knnA Aµ µ→∞= và với 0ε > cho trước có thể tìm kn để ( )\ 2kkn kA A εµ < .Khi ấy đặt: 1 kknkB A ∞ = =I ta có ( ) 1 \ \ k k n k A B A A ∞ = =U , nên ( ) ( ) 1 1 \ \ 2k k n k k k A B A A εµ µ ε∞ ∞ = = ≤ < =∑ ∑ Dễ thấy rằng dãy ( )nf x hội tụ đều trên tập B, vì với mọi k cho trước: ( ) ( ) 1 k k n ix B x A f x f x k ∈ ⇒ ∈ ⇒ − < với mọi ki n≥ . 2.2. Tích phân Lebesgue 2.2.1. Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm Định nghĩa. Giả sử (X, F, µ ) là một không gian độ đo và :f X → là hàm bậc thang đo được không âm. Viết f dưới dạng: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑ với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U Ta gọi tổng ( ) 1 n i i i a Aµ = ∑ (*) là tích phân của f (theo độ đo) trên X và ký hiệu là X fdµ∫ hay đơn giản là X f∫ khi µ đã cố định. Khi tổng (*) hữu hạn ta nói f khả tích trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 16 Nhận xét: Giả sử f có biểu diễn khác: f(x) = ( ) 1 j m j B j xβ χ = ∑ với jβ ∈ , jB ∈ F, j =1,……m, i jB B∩ =∅ với i j≠ và 1 n j j X B = =U . Khi đó: ( ) 1 1 m m i i i j i j j j A A A A B A B = = ⎛ ⎞= ∩ = ∩ = ∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U U trong đó các tập i jA B∩ rời nhau nên: ( ) ( ) 1 1 1 n n m i i i i j i i j A A Bα µ α µ = = = ⎡ ⎤= ∩⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( )1 1 n m i i j i j A Bα µ = = = ∩∑∑ và cũng như thế: ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ ( ) 1 1 m n j i j j i A Bβ µ = = = ∩∑∑ . Mặt khác: i jα β= nếu i jA B∩ ≠ ∅ Thật vậy trong trường hợp này với 0 i jx A B∈ ∩ ta có ( )0i jf xα β= = . Do đó: ( ) 1 n i i i Aα µ = ∑ = ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ . Vậy tích phân của một hàm bậc thang đo được không âm bao giờ cũng được xác định một cách duy nhất. 2.2.2. Tích phân của hàm đo được không âm Định nghĩa. Giả sử :f X +→ là hàm đo được không âm. Ta gọi tích phân của f trên X mà ký hiệu bởi X fdµ∫ là lim nn X f dµ→∞ ∫ Ở đây { }nf là một dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm hội tụ tới f. Khi X fdµ∫ hữu hạn ta nói f khả tích trên X. Nhận xét 1) ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ với f và g là các hàm đo được không âm trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 17 2) X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ với mọi 0α > và mọi f đo được không âm trên X 2.2.3. Tích phân của hàm đo được tuỳ ý Định nghĩa. Giả sử :f X → là hàm đo được tuỳ ý. Viết f f f+ −= − với { } { }max ,0 , max ,0 .f f f f+ −= = − đó là các hàm đo được không âm. Nếu cả hai tích phân X f dµ+∫ và X f dµ−∫ không đồng thời bằng +∞ , ta có thể đặt: X X X fd f d f dµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫ và gọi là tích phân của f trên X. Khi cả hai X f dµ+∫ và X f dµ−∫ đều hữu hạn, f sẽ gọi là khả tích trên X. 2.2.4. Định lý Nếu f là hàm đo được trên X và A, B là các tập rời nhau, , A B∈ F thì: A B A B fd fd fdµ µ µ ∪ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế trái hoặc vế phải có nghĩa. Chứng minh ¾ f là hàm bậc thang đo được không âm trên A B∪ ( ) 1 , i n i E i i f x Eα χ = =∑ rời nhau, 1 n i i E A B = = ∪U Ta có: ( ) ( )i i iE A E B E= ∩ ∪ ∩ và A, B rời nhau nên ( )iA E∩ và ( )iB E∩ cũng rời nhau. ( ) 1 n i i iA B f Eα µ =∪ =∑∫ ( ) ( ) 1 n i i i i A E B Eα µ = ⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩⎣ ⎦∑ ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i A E B Eα µ α µ = = = ∩ + ∩∑ ∑ A B f f= +∫ ∫ ¾ f là hàm đo được không âm Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm { }, n nf f f Ta có n n n A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫ Cho n →∞ ta có: A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 18 ¾ f đo được có dấu bất kỳ Giả sử A B f ∪ ∫ có nghĩa: A B A B A B f f f+ − ∪ ∪ ∪ = −∫ ∫ ∫ Giả sử A B f + ∪ < ∞∫ A B A B f f f+ + + ∪ ⇒ = + < ∞∫ ∫ ∫ A B f f + + ⎧ < ∞⎪⎪⇒ ⎨ < ∞⎪⎪⎩ ∫ ∫ A B A B f f f− − − ∪ = +∫ ∫ ∫ A B A B A B A B A B f f f f f f f+ − + + − − ∪ ∪ ∪ ⎛ ⎞= − = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A B B f f f f+ − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ A Bf f= +∫ ∫ Hệ quả Cho A ∈ F , nếu ( ) 0Aµ = và f đo được trên A thì 0 A f =∫ . 2.2..5. Định lý Giả sử ( )Xµ < ∞ , khi đó nếu f đo được và bị chặn trên X thì f khả tích trên X. 2.2.6. Định lý ( Tính chất tuyến tính của tích phân) a) Nếu f và g là các hàm đo được trên X thì : ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa. b) Nếu α ∈ và f đo được trên X thì: X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ Chứng minh Ta cần bổ đề sau: 2.2.7. Bổ đề Nếu u v w= − , ở đây u, v và w là các hàm đo được trên X, và nếu v u+≥ thì X X X ud vd wdµ µ µ= −∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 19 Chứng minh Do v u+≥ , từ đẳng thức v w u u+ −− = − suy ra 0h v u w u+ −= − = − ≥ hay 0v h u+= + ≥ và 0w h u−= + ≥ Ta có: X X X vd hd u dµ µ µ+= +∫ ∫ ∫ X X X wd hd u dµ µ µ−= +∫ ∫ ∫ bởi vì X vdµ∫ và X wdµ∫ không đồng thời nhận hai giá trị +∞ nên X hdµ < +∞∫ . Suy ra: X X X X X vd wd u d u d udµ µ µ µ µ+ −− = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chứng minh định lý 2.2.6 a) Vì X X fd gdµ µ+∫ ∫ có nghĩa nên có thể viết: X X X X X X fd gd f d f d g d g dµ µ µ µ µ µ+ − + −+ = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) X X f g d f g dµ µ+ + − −= + − +∫ ∫ Bởi vì 0, 0f g f g+ + − −+ ≥ + ≥ ( ) ( )f g f g f g+ + − −+ = + − + và ( )f g f g ++ ++ ≥ + Áp dụng bổ đề trên với u f g= + và v f g+ += + và w f g− −= + ta được: ( ) ( ) ( ) X X X f g d f g d f g dµ µ µ+ + − −+ = + − +∫ ∫ ∫ X X fd gdµ µ= +∫ ∫ b) Do định nghĩa của tích phân hàm đo được tuỳ ý và nhận xét 2) dễ thấy rằng khẳng định b) đúng với mọi 0α ≥ . Như vậy chỉ cần kiểm tra lại ( ) X X f d fdµ µ− = −∫ ∫ với mọi hàm đo được f trên X. Tuy nhiên đẳng thức trên là rõ ràng vì ( ) ( ), f f f f−+ − += − = và do đó: ( ) X X X X f d f d f d fdµ µ µ µ− +− = − = −∫ ∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 20 Hệ quả Nếu , f g khả tích thì f gα β+ khả tích với , α β ∈ và: ( ) X X X f g d fd gdα β µ α µ β µ+ = +∫ ∫ ∫ 2.2.8. Định lý Giả sử { fn } là một dãy các hàm đo được không âm và ( ) ( ) 1 n n f x f x ∞ = = ∑ . Khi đó: 1 n nX X fd f dµ µ∞ = = ∑∫ ∫ Chứng minh ƒ Với mọi k ≥ 1 ta có: 1 k n n f f = ≤∑ do đó: 1 1 k k n n n nX X X f d f d fdµ µ µ = = ⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ cho k →∞ , ta được: 1 n n X X f d fdµ µ∞ = ≤∑∫ ∫ ƒ Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với mọi 1n ≥ , xét dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm{ }, 1n m mf ≥ hội tụ đến nf . Đặt , 1 m m n m n g f = = ∑ . Khi đó mg là các hàm bậc thang đo được không âm và: 1 1 , 1 , 1 1, 1 1 1 m m m n m n m m m n n g f f f + + + + + + = = = = +∑ ∑ , 1 m n m m n f g = ≥ =∑ Mặt khác với1 p m≤ ≤ ta có: , , 1 1 1 p m m n m n m m n n n n f f g f f = = = ≤ = ≤ ≤∑ ∑ ∑ cho m →∞ ta được: 1 lim p n mmn f g f →∞= ≤ ≤∑ Do p tuỳ ý nên lim mm g f→∞ = . Vì mg là dãy tăng các hàm bậc thang ta có: , 1 1 lim lim m m n m nm m n nX X X X fd g d f d f dµ µ µ µ∞ →∞ →∞ = = = = ≤∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.9. Định lý Lebesgue – Levi về hội tụ đơn điệu Nếu { }nf là dãy tăng các hàm đo được không âm trên X hội tụ tới f thì: lim nn X X f d fdµ µ →∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 21 Chứng minh Có thể xem nf khả tích._.