Đồ án Nghiên cứu một Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường Trung học thực hành ĐHSP đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN THỊ NGA DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên CLHN : Chỉnh lý hợp nhất TCTH : Tổ chức toán học bt : bài tập [a] : Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov [b] : Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí [c] : Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình F1 : Maths seconde, COLLECTION TERRACHER V1 : Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 năm 2000 P1 : Tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 năm 2000 E1 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11 năm 2000 V2 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 1 P2 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 1 E2 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 1 V3 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 2 P3 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2 E3 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT). Trong các loại hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau: + Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống thường ngày,... Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được đặt ra:  Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì giống và khác nhau?  Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn học ngoài toán học không?  Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn học đó? + Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT. Nói cách khác, nó là một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của hàm số tuần hoàn ngày càng suy giảm qua các thời kỳ thay đổi chương trình và SGK. Hơn thế nữa, ở cấp độ phổ thông, người ta chỉ hạn chế vào duy nhất một loại hàm số tuần hoàn, đó là hàm lượng giác. Như sách giáo viên Đại số và giải tích 11 của các tác giả Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991) nhấn mạnh: “Trong chương trình phổ thông chỉ có hàm số lượng giác mới có tính tuần hoàn”. Vậy, khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn xuất hiện như thế nào trong chương trình toán ở trường phổ thông? với vai trò gì? liệu có thể đề cập các hàm số tuần hoàn khác với các hàm số lượng giác không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi sau:  Ở cấp độ tri thức khoa học, các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn được đề cập như thế nào? chúng có những đặc trưng gì? chúng chịu những ràng buộc nào?  Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào? vai trò và chức năng của chúng? những ràng buộc này ảnh hưởng thế nào trên các chủ thể của hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh)?  Có sự tương đồng và khác biệt nào trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? lí do của sự khác biệt đó?  Có sự khác nhau nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn khoa học khác? có sự nối khớp nào giữa các lĩnh vực này?  Có thể xây dựng một tình huống tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn với các đặc trưng chủ yếu của nó? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic toán. Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách đặt vấn đề sinh thái học. Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học. Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của mình như sau: - Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng? - Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần hoàn? - Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? - Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được giảng dạy? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau: - Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Quan hệ cá nhân của học sinh NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC: Toán học + Vật lí NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học toán ở Pháp NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học Hóa, Sinh, Vật lí, Toán ở Việt Nam NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC - Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Pháp liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. - Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam. Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học. - Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. + Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. + Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn. + Chương 3 trình bày hai thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng. + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn. Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình toán, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kì, vai trò và chức năng của chúng, cũng như sự nối khớp (nếu có) giữa các lĩnh vực toán và vật lí thể hiện qua các khái niệm này. Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu khoa học luận. Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của các khái niệm nêu trên sẽ được đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học. 1.1. Vài nét lịch sử về khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây: + Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur. + Phép tính vi tích phân, tập 2: Toán cao cấp A2, Dùng cho sinh viên đại học và cao đẳng, Phan Quốc Khánh, NXBGD, 1998. + Cơ sở giải tích toán học, tập 2, G.M.Fichtengôn, 1977. + + Phân tích các tài liệu trên cho thấy, lượng giác có nguồn gốc từ nghiên cứu thiên văn và đến thế kỉ XVII, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu cho nhu cầu tìm hiểu và điều khiển thế giới vật lí xung quanh của con người. Trong thế kỉ XVII và XVIII, một nhánh của cơ học phát triển mạnh mẽ liên quan đến dao động cao tần. Những cuộc đi biển dài ngày của thời đại này đòi hỏi những kĩ thuật hàng hải chính xác hơn, những đồng hồ chính xác hơn. Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự dao động của quả lắc và nhiều loại lò xo khác nhau. Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển động. Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn”. Ông gọi chu kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng. Ông là người đầu tiên diễn tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của con lắc. Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của con lắc. Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo thời gian chính xác hơn. Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần. Huygens đã khám phá ra quả lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ. Còn Robert Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại. Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ âm nhạc như đàn violon, kèn khí,...Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn. Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố được lặp lại hoàn toàn. Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x. Đại lượng sinxôit Asin( t  ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là tần số và T = 2 là chu kỳ. Hàm Asin( t  ) biểu diễn một dao động điều hòa, cũng gọi là dao động hình sin. Có thể lập các hàm tuần hoàn phức tạp hơn từ các hàm tuần hoàn đơn giản nhất như vậy. Cộng các hàm hình sin với chu kỳ khác nhau: y0 = A0, y1 = A1sin( 1t  ), y2 = A2sin( 22 t  ),... (1) (có chu kỳ là T = 2 , T 2 ,…) thì ta vẫn được một hàm tuần hoàn chu kỳ T. Vấn đề ngược lại: Có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn ( )t với chu kỳ T dưới dạng tổng của một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng sinxôit dạng (1) không? Đối với một lớp khá rộng các hàm, với câu hỏi đó có thể trả lời là “biểu diễn được” nhưng chỉ khi ta thu hút toàn bộ dãy vô hạn các đại lượng dạng (1). 0 1 ( ) sin( )n n n t A A n t       Về mặt hình học, điều này có nghĩa là: đồ thị của hàm tuần hoàn có thể thu được bằng cách chất đầy các chuỗi sinxôit. Trong vật lí ta thường gặp những vấn đề tương tự như vậy, chẳng hạn phân tích một âm phức tạp thành các âm cơ bản, phân tích một dòng điện xung thành những dòng điện dao động điều hòa. Sau đó, nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn chu kỳ T có thể phân tích thành “tổng” của một hằng số với những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đường hình sin với chu kỳ T n (n là số nguyên dương). f(x) = A0 + 1 ( cos sin )n n n A nx B nx    Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế kỉ XIX. Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm số tuần hoàn với các hệ số Fourier. Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Việc xây dựng một hàm số tuần hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số Fourier tương ứng. Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn. Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Nhìn từ góc độ toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,...  Kết luận: + Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc,… Một hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ. + Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn và được đặc trưng bởi đẳng thức f(x +T) = f(x) với mọi x. + Hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là hàm Asin ( t  ) biểu diễn một dao động điều hòa. Trong toán học, các hàm số có đồ thị là đường hình sin - hàm sin và hàm cosin - là cơ sở để nghiên cứu tất cả các hàm số tuần hoàn khác. Một hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ T luôn có thể phân tích được thành tổng của một hằng số với những hàm số có đồ thị là đường hình sin có chu kỳ T n (n là số nguyên dương). f(x) = A0 + 1 ( cos sin )n n n A nx B nx    1.2. Đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn trong phạm vi toán ở bậc đại học Ở đây, chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau : - Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu là [a]) - Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (1995), NXBGD (kí hiệu là [b]). Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số tuần hoàn trong hai giáo trình này là tương đối phong phú hơn các giáo trình khác. Hơn nữa, việc so sánh giữa hai giáo trình sẽ cho phép làm rõ các cách khác nhau trong việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ cũng như các đặc trưng của chúng ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2. 1.2.1. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a] Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4. Nhưng ở đó, [a] chỉ trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được đề cập đến. Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác”. Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên cứu khái niệm tuần hoàn. Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau: “Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T 0) nếu cho bất kỳ giá trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn: Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T). Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”. Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của hàm số. Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T 0 thỏa mãn 2 điều kiện: + Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại + f(x) = f(x + T) Theo đó, chu kỳ của hàm số có thể không duy nhất. Sự liên hệ giữa các chu kỳ được thể hiện qua một mệnh đề trình bày ngay sau định nghĩa: “Nếu T là chu kỳ của f(x) thì bất kỳ số nT với n =-1, n =  2, ..., cũng là chu kỳ của f(x). Chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (nếu như chu kỳ tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở.” Như vậy, [a] đã phân biệt hai khái niệm chu kỳ và chu kỳ cơ sở của hàm số. Như đã nói ở trên, khái niệm hàm số tuần hoàn chỉ được đưa vào khi nghiên cứu các hàm số lượng giác. Tuy vậy, sau khi đưa ra định nghĩa, [a] trình bày 3 ví dụ minh hoạ cho khái niệm hàm số tuần hoàn, trong đó các hàm số liên quan đều không phải là hàm lượng giác. Ví dụ 1: “Hàm số f(x) = c (c là hằng số) có mọi số đều là chu kỳ của nó nhưng không có chu kỳ cơ sở”. Ví dụ 2: “Gọi phần nguyên của số x (kí hiệu [x]) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần thập phân của số x (kí hiệu (x)) là độ chênh lệch giữa x và phần nguyên của nó: (x) = x – [x]. Phần thập phân của x là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T =1”. Ví dụ 3: “Xem xét hàm số f(x) được xác định với các giá trị của x thỏa mãn: 0  x < 2 f(x) = 0 1 1 1 2 2 x khi x khi x     Sử dụng hàm số này và lấy T = 2 là chu kỳ cơ sở, chúng ta sẽ xây dựng được một hàm số tuần hoàn F(x) sau: F(x) = [ ] 2 2 1 1 2 1 2 2 2 x x khi n x n khi n x n         (n = 0, 1, 2,...  )” Có lẽ [a] giới thiệu 3 ví dụ này để chứng tỏ sự đa dạng của các hàm số tuần hoàn, cũng như chu kỳ và chu kỳ cơ sở của chúng. Hơn nữa, ví dụ 1 và ví dụ 2 là các hàm số rất đặc biệt. Ví dụ 3 minh hoạ cho việc chuyển đổi một hàm số không tuần hoàn thành một hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, kĩ thuật chuyển đổi đó không được đề cập một cách tường minh. Một điều đáng lưu ý là tất cả các hàm số được nói đến trong 3 ví dụ này đều có kèm theo minh hoạ đồ thị, thể hiện đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn: đó là sự lặp lại hình dạng của đồ thị trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Thật vậy, ở ví dụ 3, đồ thị hàm số F(x) có sự lặp lại giống nhau trên các khoảng cách đều còn đồ thị hàm số f(x) thì không có tính chất đó. Sau khi trình bày định nghĩa tổng quát và các ví dụ, [a] nhấn mạnh: “Một trong những tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là tính chất tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí sau về tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Định lí. Hàm số lượng giác sin  , cos  , tan  , cot  , sec và cosec  là các hàm số tuần hoàn. Chu kỳ cơ sở của các hàm số sin  , cos  , sec  và cosec  bằng 2 (3600) và chu kỳ cơ sở của các hàm số tan  và cot  bằng  (1800)” Ở cuối trang, [a] lưu ý: “Ở đây chúng ta xem xét các hàm số lượng giác của một góc và chu kỳ T được nhìn nhận như một góc, lưu ý này sẽ đúng cho đến mục 107 khi chúng ta đưa vào hàm số lượng giác của một biến số”. Như vậy, trong [a], hàm số lượng giác ban đầu được định nghĩa cho các góc gắn với số đo độ hoặc radian, sau đó mới định nghĩa các hàm số lượng giác của một biến số thực tổng quát không có đơn vị1. Định lí trên được chứng minh cho trường hợp hàm số sin  . Kết luận hàm số sin  là tuần hoàn được đưa ra khi [a] chứng minh được đẳng thức sin (2 n + ) = sin  với mọi n là số nguyên. Từ đó, [a] chứng minh T = 2 là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x + T) = sin x với mọi x để kết luận về chu kỳ cơ sở. Chứng minh đó như sau: 1 Việc phân tích các cách định nghĩa hàm số lượng giác cũng là một vấn đề thú vị nhưng không phải là trọng tâm trong luận văn này. Vì vậy, chúng tôi không đi sâu vào phân tích vấn đề này mà có thể nó sẽ được đề cập đến trong một nghiên cứu khác. “Giả sử có số A sao cho 0 < A < 2 và sin( +A) = sin . Vì  là tổng quát nên đẳng thức sau cũng đúng sin ( ) 2 A   sin 1 2   . Nhưng sin = 1 khi và chỉ khi  có dạng 2 , 0, 1, 2, ... 2 n n      Như vậy, ta phải có 2 2 2 A n     tức là A = 2 n. Điều này mâu thuẫn với 0 < A < 2 . Như vậy, định lí được chứng minh cho hàm số sin  . Chứng minh tương tự cho các hàm số lượng giác khác”. Về mặt đồ thị, đồ thị của các hàm số lượng giác chỉ được đề cập trong mục 107: Hàm số lượng giác của một biến số. [a] không trình bày tính chất đồ thị của hàm số tuần hoàn tổng quát mà khảo sát tính chất và vẽ đồ thị của từng hàm số lượng giác cụ thể. Chẳng hạn, đối với hàm sin x, sau khi đưa ra tính chất tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2 (tính chất 3) và tính chất lẻ (tính chất 4) của hàm số, [a] đưa ra kết luận về việc vẽ đồ thị như sau: “Dựa trên tính chất 3 và 4, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [0;  ] và sau đó tiếp tục vẽ trên đoạn [- ; 0] bằng tính chất hàm số lẻ. Sau đó, với đồ thị trên đoạn [- ; ], ta có thể dùng tính chất tuần hoàn để tiếp tục vẽ nó trên toàn bộ trục số”. Ở đây, [a] đã đề cập đến một lợi ích của tính tuần hoàn và chu kỳ trong việc nghiên cứu hàm số y = sin x. Với hàm số này, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một chu kỳ [- ; ]. Sau đó, dựa vào tính tuần hoàn có thể tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra đồ thị hàm số trên R. Như vậy, cùng một lúc hai chức năng sau đây của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ được đề cập tới thông qua một hàm số cụ thể: - Chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” - Chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một chu kỳ”. Tuy nhiên, [a] không đề cập đến phép tịnh tiến một cách tường minh. Việc sử dụng đồ thị hàm số sin x trên đoạn [- ; ] để tiếp tục vẽ đồ thị của nó trên toàn bộ trục số đã không được giải thích rõ. Làm thế nào có thể vẽ tiếp đồ thị hàm số trên toàn bộ trục số? Việc lí giải kĩ thuật này thuộc về trách nhiệm của giáo viên hay sinh viên? Đồ thị hàm số y = tan x được trình bày tương tự như hàm số y = sin x, còn đồ thị các hàm số y = cos x, y = cot x được suy ra từ đồ thị của hai hàm số trên bằng các phép tịnh tiến đồ thị. Trong phần lí thuyết, sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn trên từng khoảng cách đều một số lần chu kỳ không được đề cập một cách tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đẳng thức f(x) = f(x + T) với mọi x thuộc D. Tuy nhiên, ở phần sau chúng tôi cũng tìm thấy một số ví dụ thể hiện việc ứng dụng tính chất tuần hoàn để tính giá trị của hàm số. Ví dụ 3 trang 303: Cho 13 3   . Tìm sin  , cos  , tan  , cot  Giải. Biểu diễn 2 2.2 3      Ta có: 13 3sin sin(2.2 ) sin 3 3 3 2       13 1cos cos(2.2 ) cos 3 3 3 2 13tan tan(4 ) tan 3 3 3 3               13 1cot cot(4 ) cot 3 3 3 3       Ta thấy, để tính giá trị lượng giác của góc trên, [a] không tính trực tiếp mà sử dụng (ngầm ẩn) tính tuần hoàn của hàm số để quy về tính giá trị lượng giác của các góc trong khoảng (0; 2  ). Kĩ thuật này có tác dụng gì? Theo chúng tôi, việc chuyển về tính giá trị lượng giác của các góc trong khoảng (0; 2  ) cho phép sử dụng bảng lượng giác hoặc bảng giá trị lượng giác các cung góc đặc biệt để cho ra kết quả. Ngoài ví dụ trên, trong [a] còn có thêm 4 ví dụ khác và một bài tập thuộc dạng này. Qua các ví dụ này chúng ta thấy rằng, với một hàm số tuần hoàn, ta có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Như vậy, chức năng thứ ba của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”. Chức năng này không được đề cập tường minh cho một hàm số tổng quát trong [a]. ● Tổ chức toán học gắn liền với hàm số tuần hoàn có mặt trong [a] Kiểu nhiệm vụ T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = f(x). Chẳng hạn, bài tập (bt) 6 trang 297: “Chỉ ra các hàm số tuần hoàn trong số những hàm số sau: y = cos2x, y = cos x2, y = x tan x, y = cos 1 x , y = sin x + cos x, y = 2 cot x + 3, y = 4, y = log cos x.” Kĩ thuật 1 : + Chỉ ra số T 0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định D. Kết luận hàm số là tuần hoàn. + Hoặc, chứng minh không tồn tại số T như vậy. Kết luận hàm số không tuần hoàn. Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn. Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = f(x) (nếu nó tồn tại). Ví dụ (bt 7 trang 297): “Tìm chu kỳ cơ sở (nếu tồn tại) của những hàm số sau: y = sin 2 x , y = sin 2x, y = sin 2 x , y = cos x + cot x, y = 2 tan x + 3 cos x, y = 5sinx, y = sin (2x - 6  ), y = sin x + sin 3 x , y = 7, y = cos 2 x. Kĩ thuật 2 : + Xét tính tuần hoàn của hàm số : - Nếu hàm số không tuần hoàn thì kết luận không có chu kỳ cơ sở. - Nếu hàm số tuần hoàn thì thực hiện tiếp bước sau. + Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x), x D  - Nếu tồn tại số T đó thì T là chu kỳ cơ sở của hàm số - Nếu không tồn tại số T đó thì hàm số không có chu kỳ cơ sở. Công nghệ 2 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, định nghĩa chu kỳ cơ sở. Kiểu nhiệm vụ T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ (bt 2 trang 321): “Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: y = sec x, y = 3 cos x, y = cos 3x, y = cos x , y = cos x , y = log cos x, y = - cos 2 x , y = x cos 2 x , y = sin 2x , y = 2log cos2 x .” Xem xét số lượng ví dụ và bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T3 chiếm vị trí quan trọng nhất với các kĩ thuật tương ứng sau: Kĩ thuật 31 : + Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị, chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản. + Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu. Công nghệ 31 : Các phép biến đổi đồ thị. Ví dụ 1 trang 317: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x Giải. Đồ thị hàm số y = 2sin x nhận được từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách nhân mỗi tung độ của nó với 2. Số 0 của hàm số sin x tương ứng với số 0 của hàm số 2sin x. Suy ra đồ thị của hàm số y = 2sin x. Kĩ thuật 32 : + Tìm tập xác định của hàm số + Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn + Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ cơ sở + Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số. Công nghệ 32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Ví dụ 1 trang 318: Vẽ đồ thị hàm số y = log sin x Giải: + Tập xác định của hàm số gồm những giá trị x mà sin x > 0 + sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2 . Do đó, với mọi giá trị x mà log sin x xác định ta có log sin(x + 2 ) = log sin x, nghĩa là hàm số này cũng có chu kỳ 2 . Từ tính tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số trên đoạn nào đó dài 2 , chẳng hạn [0; 2 ]. Nhưng trên đoạn [0; 2 ], hàm số không xác định tại mọi điểm mà chỉ xác định trên khoảng (0;  ) và do đó, sau đây ta chỉ khảo sát hàm số trên khoảng (0;  ) […]. Nhận xét: Các hàm số được đề cập trong các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ trên tương đối đa dạng bao gồm các hàm số lượng giác, hàm hằng, hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm đa thức hoặc hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm logarít,... Việc sử dụng tính chất tuần hoàn để giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn được đặc biệt nhấn mạnh. Với các hàm số đã cho trong các ví dụ và bài tập 2 trang 321 thì kĩ thuật khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên chu kỳ cơ sở rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra toàn thể đồ thị (kĩ thuật 32 ) là rất cần thiết. 1.2.2. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [b] Trong giáo trình này, định nghĩa hàm số tuần hoàn được đưa vào trang 39 như sau: “Giả sử hàm y = f(x) xác định trên tập X. Nếu f(x) = f(x + a), x X  (*) trong đó a là một hằng số nào đó thì hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn trên X. Vì (*) đúng với mọi xX nên ta có: ( ) ( ) ( 2 ) .... ( ) ...f x f x a f x a f ._.x ka        , với kN. Vậy nếu hàm f(x) tuần hoàn trên X thì không phải chỉ có một hằng số a sao cho ta có đẳng thức (*) mà có vô số hằng số như vậy. Hằng số dương bé nhất (nếu có) sao cho ta có hệ thức (*) với mọi x X được gọi là chu kỳ của hàm f(x).” Vậy hàm số tuần hoàn cũng được định nghĩa trên tập xác định của nó. Mặc dù [b] nhấn mạnh nếu hàm số f(x) tuần hoàn thì không phải chỉ có 1 số a thỏa mãn (*) mà có vô số hằng số như vậy nhưng chu kỳ của hàm số được định nghĩa là duy nhất. Nó là số dương nhỏ nhất trong các hằng số thỏa (*) (tương ứng với chu kỳ cơ sở trong [a]). Ở đây ta thấy, thông qua đẳng thức: Với mọi x X , ( ) ( ) ( 2 ) .... ( ) ...f x f x a f x a f x ka        , với kN, [b] đã cho thấy rõ hơn sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn tại những điểm cách nhau 1 số lần chu kỳ. Tuy nhiên, chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã không được nêu lên một cách tường minh. Tiếp đó, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng chỉ được đề cập ngầm ẩn thông qua nhận xét sau: “Từ đẳng thức (*) suy ra đồ thị của hàm tuần hoàn chu kỳ T có thể suy ra từ đồ thị của hàm đó trong một khoảng dài T, chẳng hạn [0; T] hay ; 2 2 T T    bằng những phép tịnh tiến song song với trục Ox những đoạn  kT”. Như vậy, [b] đã nhấn mạnh lợi ích của việc xem xét tính tuần hoàn của hàm số khi vẽ đồ thị của nó. Điều đó có nghĩa là chức năng thứ hai của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ (chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”) đã được đề cập tường minh trong phần lí thuyết. Chức năng thứ nhất (giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) không được đề cập tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đoạn trích trên. Tiếp đó, khi đề cập đến những hàm sơ cấp cơ bản, [b] đã đưa vào các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Tính tuần hoàn, chu kỳ và đồ thị của các hàm số này chỉ được trưng ra mà không có bất cứ giải thích nào kèm theo. ● Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn có mặt trong [b] Trong giáo trình [b], chỉ có 1 bài toán liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu kỳ thuộc vào hai kiểu nhiệm vụ sau: T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số. T2: Tìm chu kỳ của hàm số. Sự tồn tại duy nhất hai kiểu nhiệm vụ T1, T2 cho thấy trong giáo trình này, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số chỉ là đối tượng nghiên cứu. Chúng không được sử dụng như những công cụ để giải toán. Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ không được thể hiện trong phần bài tập. 1.3. Khái niệm tuần hoàn trong giáo trình Vật lí ở bậc Đại học Tài liệu phân tích: Vật lí đại cương, Tập 2: Điện, Dao động, Sóng, Lương Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), NXBGD (kí hiệu là [c]). Bắt đầu từ việc nghiên cứu dao động của một con lắc, [c] khảo sát sự phụ thuộc của độ dời x theo thời gian t để đi đến định nghĩa dao động điều hòa như sau: “Dao động điều hòa là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin của thời gian t: x = A cos ( )t  , A > 0 (1) Suy ra v = dx dt = - A sin ( )t  (2) a = dv dt = - A 2 cos ( )t  (3) Các phương trình (1), (2), (3) chứng tỏ độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những hàm tuần hoàn của t với chu kỳ T0 = 2 […].” Ở đây, hàm số tuần hoàn (cụ thể là hàm cosin và hàm sin) được sử dụng để mô tả dao động điều hòa. Việc kết luận độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2 được giải thích như sau: “Quả vậy, dễ dàng nhận thấy rằng: x(t + T0) = x(t), v(t + T0) = v(t), a(t + T0) = a(t) [...].” (4) Như vậy, để kết luận T0 là chu kỳ của các hàm số trên, [c] không đề cập đến tính dương và nhỏ nhất của T0 mà chỉ giải thích do T0 thỏa mãn các đẳng thức (4). Từ đó, [c] gọi T0 là chu kỳ dao động của con lắc. Ta thấy, chu kỳ của hàm số tuần hoàn mô tả độ dời, vận tốc, gia tốc của con lắc (chu kỳ theo nghĩa toán học) chính bằng chu kỳ dao động của nó (chu kỳ theo nghĩa vật lí). [c] đã đồng nhất hai khái niệm chu kỳ này là một, sau đó mới đưa vào định nghĩa tổng quát về chu kỳ dao động như sau: “Chu kỳ của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy”. Tương ứng với giáo trình [b] (Toán học cao cấp, Nguyễn Đình Trí), chu kỳ được định nghĩa là số T dương bé nhất sao cho giá trị của hàm số lặp lại (f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D thì trong [c], chu kỳ dao động là thời gian ngắn nhất để trạng thái của vật lặp lại như cũ. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số trong [b] hoàn toàn tương thích với định nghĩa chu kỳ dao động trong [c]. Kết luận chương 1 Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và làm rõ một số cách trình bày những khái niệm này trong các giáo trình Toán ở bậc đại học. Ngoài ra, chúng tôi cũng đã phân tích sự hiện diện của khái niệm tuần hoàn trong môn Vật lí ở cấp độ này và sự nối khớp giữa Toán học và Vật lí. Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương 1. - Về định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ: Hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D, là hàm số thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D (T là một hằng số nào đó). Riêng về chu kỳ của hàm số, có thể định nghĩa nó theo những cách khác nhau. + Trong giáo trình [a] (Elementary mathematics), chu kỳ của hàm số là mọi số T thoả mãn hai điều kiện : • Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại • f(x) = f(x + T) Do đó, một hàm số tuần hoàn có thể có vô số chu kỳ. Chu kỳ dương nhỏ nhất (nếu có) được gọi là chu kỳ cơ sở. + Trong giáo trình [b] (Toán học cao cấp), chu kỳ của hàm số là số dương nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên. Do đó, chu kỳ của một hàm số nếu có là duy nhất, nó trùng với định nghĩa chu kỳ cơ sở trong [a]. - Về các đặc trưng của hàm số tuần hoàn: Đặc trưng lặp đi lặp lại giá trị và đồ thị hàm số trên từng khoảng cách đều của hàm số tuần hoàn không được đề cập một cách tường minh ở cấp độ đại học. Tuy vậy, đặc trưng đồ thị được sử dụng ngầm ẩn để giải quyết rất nhiều các ví dụ và bài tập liên quan đến việc vẽ đồ thị của hàm số trong [a]. - Về các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ: Khái niệm tuần hoàn và chu kỳ xuất hiện với các chức năng sau đây. • Cho phép giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. • Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Trong giáo trình [a], các chức năng thứ nhất và thứ hai được nhấn mạnh trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số. Ngược lại, trong giáo trình [b], chức năng thứ nhất và thứ ba chỉ thể hiện ngầm ẩn. Chức năng thứ hai được đề cập tường minh trong phần lí thuyết nhưng nó không thể hiện trong phần bài tập cũng như khi nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản. - Liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó, chúng tôi thấy sự xuất hiện của những kiểu nhiệm vụ sau: T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số. T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại). T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Trong đó, kiểu nhiệm vụ T3 chiếm ưu thế và là kiểu nhiệm vụ quan trọng nhất trong [a]. Tuy nhiên, nó lại hoàn toàn vắng mặt trong [b]. Như vậy, chỉ có trong [a], khái niệm tuần hoàn và chu kỳ mới được đề cập với vai trò công cụ trong việc giải toán. - Trong giáo trình [c] (Vật lí đại cương), hàm số tuần hoàn được sử dụng để mô tả các dao động điều hòa : dao động mà độ dời là một hàm số sin của thời gian t: x = A cos ( t  ), A > 0. Do đó, chu kỳ dao động là khoảng thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng thái nào đó lại trở lại trạng thái ấy. Như vậy, chu kỳ dao động này tương ứng với chu kỳ (toán học) đã được định nghĩa trong [b]. Chu kỳ dao động chính bằng chu kỳ của hàm số mô tả dao động. Những kết quả đã đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn. Chương 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục tiêu của chương Chương này nhằm mục đích làm rõ: - Các đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn cũng như vai trò, vị trí và chức năng của chúng trong thể chế dạy học toán ở trường trung học phổ thông Việt Nam. - Những điều kiện và ràng buộc của thể chế trên các khái niệm này. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích CT và SGK Việt Nam qua một số thời kì khác nhau: thời kì CLHN năm 2000 và thời kỳ thí điểm năm 2003. Những kết quả đã đạt được trong chương 1 sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích trong chương này. Ngoài ra, chúng tôi cũng phân tích một SGK của thể chế dạy học Pháp nhằm mục đích hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho phân tích. Lựa chọn này dựa trên giả thuyết công việc sau đây. Giả thuyết công việc: Việc phân tích so sánh SGK của hai hệ thống dạy học khác nhau cho phép làm rõ hơn đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi hệ thống. SGK được chọn phân tích là: Maths seconde, COLLECTION TERRACHER, 1995, HACHETTE Éducation (chúng tôi kí hiệu là [F1]). Việc không chọn một SGK hiện hành xuất phát từ hai lí do chủ yếu sau: - Đây là cuốn SGK làm căn cứ cho việc soạn thảo SGK Toán lớp 10, dùng cho các lớp song ngữ hiện nay ở Việt Nam. - Đối tượng hàm số tuần hoàn chiếm một vị trí quan trọng trong cả phần lí thuyết và bài tập của SGK này. Phần A. Hàm số tuần hoàn trong SGK Pháp Trong bộ SGK TERRACHER trên, khái niệm hàm số tuần hoàn được đề cập lần đầu tiên ở lớp 10 (Seconde) trong chương 8: Lượng giác và hàm số lượng giác. Ngay từ đầu chương, SGK trình bày mục tiêu của chương như sau: “Như đã thể hiện ở tựa đề, chương này được xây dựng xung quanh 2 chủ đề chính: + Đưa vào những khái niệm đơn giản nhưng quan trọng của lượng giác trong phạm vi gần gũi với tam giác vuông. Chúng ta định nghĩa một đơn vị đo mới, được ưu tiên về mặt toán học: radian, sau đó, chúng ta sẽ đo góc định hướng, từ đó cho phép đưa vào cosin, sin và tang của một số thực. + Nghiên cứu các hàm số lượng giác: sin và cosin sẽ làm phong phú hơn “bộ sưu tập” của chúng ta về các hàm số thông thường và dẫn đến đưa vào một khái niệm mới: tính tuần hoàn.” Một trong hai mục tiêu chính của chương là giới thiệu các hàm số lượng giác và từ đó đưa vào tính chất tuần hoàn của hàm số. Như vậy, hàm số lượng giác (đặc biệt là hàm sin và cosin) cho một tiếp cận đầu tiên khái niệm tuần hoàn. Điều này phù hợp với kết quả phân tích trong lịch sử và trong giáo trình [a] (Elementary mathematics) đã trình bày ở chương 1. Trước khi xuất hiện định nghĩa hàm số tuần hoàn, khi đề cập đến tính chất cơ bản của hàm số sin và cosin, SGK đã đưa vào tính chất : “Với mọi số thực x và mọi số nguyên k ta có: sin(x+k2 ) = sinx, cos(x+k2 ) = cosx”. Tính chất này chính là cơ sở đề cập tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Quả thực, xuất phát từ nhận xét: Với mọi x, sin(x+2 ) = sin x, cos(x+2 ) = cos x, SGK đề cập đến tính tuần hoàn và chu kỳ của chúng như sau: “Ta nói rằng các hàm số này là tuần hoàn và 2 là một chu kỳ ”. Còn định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn xuất hiện ngay sau đó: “Cho f là hàm số xác định trên R và T là một số thực khác 0. Ta nói rằng f là tuần hoàn, chu kỳ T nếu với mọi x, f(x+T) = f(x). Chú ý rằng T là một chu kỳ của f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f.” Như vậy, SGK chỉ trình bày định nghĩa hàm số tuần hoàn có tập xác định là R. Tuy nhiên, một chú thích nhỏ ở cuối trang lại lưu ý rằng: “Ở lớp 10, người ta chỉ xem xét những hàm số tuần hoàn xác định trên R. Nhưng thực ra, định nghĩa có thể mở rộng cho một hàm số xác định trên D bằng cách bổ sung: Với mọi số thực x thuộc D thì x + T thuộc D và f(x+T) = f(x)”. Định nghĩa trên cho thấy, SGK không định nghĩa chu kỳ là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x (*) như sách [b] (Toán học cao cấp - Nguyễn Đình Trí) mà là mọi số T khác 0 thỏa mãn (*). Nếu T là một chu kỳ của hàm số f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số tương tự như định nghĩa được cho trong [a], có điều ở đây không đưa vào khái niệm chu kỳ cơ sở. Như vậy, chu kỳ của hàm số y = sin x có thể là 2 , 4 , 6 ,…và như trên đã trình bày, SGK gọi 2 là một chu kỳ của hàm số đó. Tại sao SGK này lại chọn cách định nghĩa chu kỳ như vậy? Theo chúng tôi, lí do thứ nhất có thể xuất phát từ mong muốn của noosphere nhằm giảm tính phức tạp của vấn đề chứng minh một số T là chu kỳ của hàm số (chỉ cần chứng minh đẳng thức (*) mà không cần kiểm tra tính dương và nhỏ nhất của T). Lí do thứ hai có thể là do việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn trong SGK này chỉ cần vận dụng một cách ngầm ẩn sự duy nhất và tính dương nhỏ nhất của chu kỳ. Nghĩa là người ta vẫn sử dụng chu kỳ cơ sở nhưng không cần thiết đề cập tường minh đến khái niệm này. Sau khi đưa ra định nghĩa nêu trên, SGK đưa vào một mục nhan đề : “Tiết kiệm công việc” (Une économie de travail) như dưới đây, trong đó trình bày đặc trưng của tính tuần hoàn của hàm số trên hai phương diện khác nhau. “Tiết kiệm công việc + Từ quan điểm số: Một hàm số tuần hoàn nhận cùng những giá trị trên những khoảng cách đều. Nói rõ hơn, một hàm số tuần hoàn chu kỳ T được biết hoàn toàn khi người ta biết những giá trị của nó trên một khoảng có độ dài T ([0; T) chẳng hạn). + Từ quan điểm đồ thị: Cho f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T và Cf là đường biểu diễn của nó. Nếu M(x; y) là một điểm trên Cf (nếu y = f(x)), thì M’(x+T; y) cũng nằm trên Cf vì y = f(x) = f(x+T). Vì vậy, đường cong Cf là bất biến một cách toàn bộ bởi phép tịnh tiến theo vectơ T i . Điều đó cho phép tạo ra toàn thể đồ thị khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài T”. Từ quan điểm số ta thấy, chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là:“cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”. Đó chính là chức năng thứ ba của nó như đã được đề cập ở chương 1. Tuy nhiên, ở cấp độ tri thức khoa học, chức năng này chỉ thể hiện ngầm ẩn qua những ví dụ cụ thể còn trong SGK này, nó đã được nhấn mạnh một cách tường minh. Chức năng này sẽ dẫn đến một sự “tiết kiệm” công việc gì? Đó chính là: khi muốn nghiên cứu, khảo sát một hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần nghiên cứu nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ. Xuất phát từ quan điểm đồ thị, đặc trưng khác của hàm số tuần hoàn là đồ thị của nó bất biến qua phép tịnh tiến theo vectơ Ti (T là chu kỳ), tức là hình dạng của đồ thị cũng lặp lại trên những khoảng cách đều. Do đó, ta có thể vẽ được toàn thể đồ thị của hàm số tuần hoàn khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ bằng cách tịnh tiến nó theo các vectơ Ti . Đây chính là chức năng thứ hai đã nêu trong chương 1 của khái niệm tuần hoàn và chu kì, chức năng“cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ”. Đặc trưng và chức năng này của hàm số tuần hoàn cũng cho phép một sự “tiết kiệm” công việc thứ hai: khi muốn vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ. Như vậy, kết hợp cả hai quan điểm số và quan điểm đồ thị ở trên cho thấy một chức năng “tiết kiệm” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ là chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Đây là chức năng thứ nhất mà chúng tôi đã bàn đến trong chương 1. Đặc biệt, chức năng “tiết kiệm” này được nhấn mạnh hơn sau khi SGK giới thiệu tính chẵn lẻ của hàm số. Thật vậy, khi đưa vào định lí: “Hàm số cosin là chẵn còn hàm sin là lẻ”, SGK nhấn mạnh: “Lợi ích tuyệt vời mà tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mang lại là: chỉ cần nghiên cứu hàm số cosin và sin trên đoạn [0, ] để biết chúng trên [ , ]  nhờ vào tính chẵn lẻ và cuối cùng trên R nhờ vào tính tuần hoàn”. Như vậy, về mặt lí thuyết, SGK này đã đề cao vai trò của tính tuần hoàn của hàm số trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của nó. Tiếp đó, từ việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sin x, cos x trên đoạn [0,  ], SGK đưa ra đồ thị của chúng trên R mà không có một sự giải thích rõ ràng nào. SGK chỉ nói rằng do sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mà ta có đồ thị như vậy. Liệu việc sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn được thực hiện như thế nào? Giải thích vấn đề này có lẽ thuộc về trách nhiệm của giáo viên. ● Tổ chức toán học gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn Trước hết, ta nhắc lại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học. Đó là ba kiểu nhiệm vụ sau đây. T1: “Xét tính tuần hoàn của hàm số”. T2: “Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại)”. T3: “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, kiểu nhiệm vụ T1 không xuất hiện tường minh trong SGK Pháp. Dấu vết của T1 chỉ thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T”. Ví dụ (bt 40 trang 191): “Chứng minh rằng các hàm số cos 2x x , sin 2x x là tuần hoàn chu kỳ  ” Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: + Chu kỳ được đề cập đến chính là chu kỳ cơ sở. + Các hàm số được cho đều là các hàm lượng giác cho bằng công thức. Như vậy, mặc dù SGK định nghĩa chu kỳ là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R, nhưng tồn tại ở đây một ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ T’1 là: chu kỳ T luôn luôn là chu kỳ cơ sở. Nói cách khác, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn một quy tắc hợp đồng của thể chế: RP1: “Chu kỳ của hàm số cho trước luôn là chu kỳ dương và nhỏ nhất”. Theo hợp đồng này, thể chế mong muốn giáo viên đề nghị cho học sinh các bài toán liên quan đến chu kỳ của hàm số, trong đó chu kỳ là dương và nhỏ nhất (chu kỳ cơ sở). Kĩ thuật '11 tương ứng với kiểu nhiệm vụ T’1: + Tính f(x + T) + Chứng minh f(x + T) = f(x) với mọi x + Kết luận hàm số tuần hoàn với chu kỳ T. Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số. Vì SGK không định nghĩa chu kỳ cơ sở mà chỉ có khái niệm một chu kỳ của hàm số, do đó, kiểu nhiệm vụ T2 cũng không tồn tại. Dấu vết của T2 được tìm thấy qua kiểu nhiệm vụ T’2: “Tìm một chu kỳ của hàm số”. Ví dụ: bt 42 trang 191: “Tìm một chu kỳ của hàm số f: sin 997 x x    ” Để giải quyết bài toán này, cần chỉ ra một số thực T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R. Đáng tiếc là phần hướng dẫn giải các bài toán ở cuối sách không có lời giải cho bài tập này. Tuy vậy, chúng tôi dự đoán kết quả mà thể chế mong đợi sẽ là chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (tức là chu kỳ cơ sở theo [a]). Thật vậy, với cách trình bày ở phần lí thuyết (kết luận 2 là một chu kỳ của hàm số y = sin x) ta có thể dự đoán một kết quả mà thể chế mong đợi trong bài toán này là T = 2x997 vì  xsin 2 997 sin 2 sin 997 997 997 x x x                     với mọi x. Việc tìm ra số T = 2x997 không hề đơn giản. Hàm số đã cho thuộc dạng hàm số y = A sin ( )t  + B. Đây là hàm số tuần hoàn có một chu kỳ là 2 . Tuy nhiên, SGK không trình bày bài toán tổng quát này mà chỉ đưa vào một hàm số cụ thể cần tìm một chu kỳ. Liệu học sinh sẽ làm thế nào để tìm ra số T ở trên? Kiểu nhiệm vụ T3 chỉ tồn tại trong phần lí thuyết khi SGK khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sin x và cos x. Như vậy, thể chế mong muốn giáo viên trình bày kiểu nhiệm vụ này cho học sinh còn học sinh không có trách nhiệm thực hiện T3. Trong phần bài tập, dấu vết của T3 thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’3: “Vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [a; b]” Ví dụ: bt 43 trang 205: “Cho hàm số f tuần hoàn chu kỳ 3 và biểu diễn đồ thị trên đoạn [-1, 2] được cho bởi hình vẽ sau: Hãy vẽ đường biểu diễn của f trên mỗi đoạn sau: [11, 14], [-8, -4], [14, 18] và [39, 45]”. Đây là một hàm số tuần hoàn được cho bằng đồ thị trên một chu kỳ. Hơn nữa, đồ thị của hàm số là những đoạn thẳng trên từng khoảng có độ dài 1 đơn vị, giá trị hàm số tại các đầu mút là những số nguyên. Do đó, để vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài 1, ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại hai đầu mút nguyên rồi nối chúng lại thành một đoạn thẳng. Do đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn, ta có thể suy ra được đồ thị của hàm số này trên R. Ở đây, đề bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số trên 4 đoạn. Chúng tôi sẽ phân tích đặc trưng của các đoạn cần vẽ đồ thị. + Đoạn [11, 14] có độ dài đúng bằng 1 chu kỳ (độ dài 3). Hơn nữa, giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn này «trùng» với giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn cho trước: f(11) = f(-1 + 4.3) = f(-1), f(14) = f(2 + 4.3) = f(2) y O x2 1 1-1 Khi một đầu mút của khoảng có tính chất này ta sẽ gọi nó là “bội” của đầu mút của khoảng đã cho. Như vậy, đoạn [11, 14] có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của đoạn [-1, 2]. + Đoạn [-8, -4] và [14, 18] có độ dài lớn hơn 1 chu kỳ (độ dài 4). Mỗi đoạn chỉ có một đầu mút là “bội” của đầu mút cuối của đoạn cho trước [-1, 2]. Cụ thể, đối với đoạn [-8, -4] ta có: f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2). Đối với đoạn [14, 18] ta có: f(14) = f(2 + 4.3) = f(2) + Đoạn [39, 45] có độ dài bằng hai lần chu kỳ (độ dài 6). Hai đầu mút của đoạn đều không là “bội” của các đầu mút của đoạn cho trước. Do các đặc trưng nêu trên, ta có thể dự kiến các chiến lược giải bài toán này như sau: + Đối với đoạn [11, 14], có thể có các chiến lược sau: • Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến phần đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2] (kí hiệu C[-1,2]) theo vectơ 12 i . Phần đồ thị nhận được là C[11, 14]. • Chiến lược “số”: Ta có: f(11) = f(-1 + 4.3) = f(-1) = 2, f(12) = f(0 + 4.3) = f(0) = 2, f(13) = f(1 + 4.3) = f(1) = 0, f(14) = f(2 + 4.3) = f(2) = 2. Biểu thị các điểm (11; 2), (12; 2), (13; 0), (14; 2) lên hệ trục tọa độ rồi nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[11,14] cần vẽ. + Đối với đoạn [-8, -4]: • Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến C[-1,2] theo các vectơ -6 i , -9 i ta có C[-10, -4]. Xóa C[-10, -8], ta có C[-8, -4] cần vẽ. • Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”: Do f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2), f(-8) = f(-2 – 2.3) = f(-2) nên C[-8, -4] giống hệt C[-2, 2]. Do f(-2) = f(1) = 0, ta có C[-2, 2]. Tịnh tiến C[-2, 2] theo vectơ -6 i ta có C[-8, -4] cần vẽ. • Chiến lược “số”: Ta có: f(-8) = f(1 – 3.3) = f(1) = 0 f(-7) = f(-1 – 2.3) = f(-1) = 1 f(-5) = f(1 – 2.3) = f(1) = 0 f(-6) = f(0 – 2.3) = f(0) = 0 f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2) = 1 Do đó, trên hệ trục tọa độ lấy các điểm có tọa độ (-8 ; 0), (-7 ; 1), (-6 ; 0), (-5 ; 0), (-4; 1) và nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[-8, -4] cần vẽ. Do đoạn [14, 18] có cùng đặc trưng với đoạn [-8, -4] nên có các chiến lược tương tự như trên. + Đối với đoạn [39, 45], ta có các chiến lược sau: • Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”: f(39) = f(0 + 13.3) = f(0) f(45) = f(6+ 13.3) = f(6) Do đó, C[39, 45] có hình dạng giống hệt C[0, 6]. Đầu tiên, ta cần vẽ C[0, 6] .(Do f(3) = f(0) = 0, ta có C[0, 3] , từ đó C[3, 6] có được do tịnh tiến C[0, 3] theo vectơ 3 i ). Sau đó tịnh tiến C[0, 6] theo vectơ 39 i , ta có C[39, 45]. • Chiến lược “số”: f(39) = f(0 + 13.3) = f(0) = 0 f(40) = f(1+13.3) = f(1) = 0 f(43) = f(1 + 14.3) = f(1) = 0 f(41) = f(2 + 13.3) = f(2) = 1 f(44) = f(2 + 14.3) = f(2) = 1 f(42) = f(0 +14.3) = f(0) = 0 f(45) = f(0 + 15.3) = f(0) = 0 Do đó, trên hệ trục tọa độ lấy các điểm có tọa độ (39; 0), (40; 0), (41; 1), (42; 0), (43; 0), (44; 1), (45; 0) và nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[39, 45] cần vẽ. Từ các chiến lược ở trên ta rút ra được các kĩ thuật có thể được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3 như sau: • Kĩ thuật '31 (kĩ thuật “tịnh tiến”): Tịnh tiến phần đồ thị đã cho theo vectơ nT i để được đồ thị hàm số trên khoảng yêu cầu. Công nghệ '31 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn • Kĩ thuật '32 (kĩ thuật “tịnh tiến dư và cắt”): Tịnh tiến phần đồ thị đã cho theo các vectơ nT i , (n+1)T i , (n-1)T i ,...Sau đó, cắt bỏ những phần không cần thiết để được đồ thị hàm số trên khoảng cần vẽ. Công nghệ '32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. 1 3 4 520 6 40 42 43 44 41 39 45 • Kĩ thuật '33 (kĩ thuật “giá trị các điểm mốc”): Tính giá trị hàm số tại các điểm mốc. Đó là các điểm nguyên trong khoảng cần vẽ đồ thị. Sau đó, biểu diễn các điểm này lên trục số và nối chúng lại thành các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1. Công nghệ '33 : Đặc trưng số của hàm số tuần hoàn. Kĩ thuật '31 đặc biệt phát huy tác dụng trong trường hợp khoảng cần vẽ đồ thị có độ dài bằng một chu kỳ và có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của khoảng cho trước. Có hai trường hợp xảy ra: + Nếu khoảng cần vẽ đồ thị gần với khoảng đã cho (chẳng hạn [-7, -4] so với [-1, 2]), ta có thể tịnh tiến trên giấy để được đồ thị cần vẽ. + Ngược lại, nếu khoảng cần vẽ đồ thị cách khá xa khoảng cho trước (chẳng hạn [41, 44] so với [-1, 2]) thì không thể biểu thị cả hai phần đồ thị trên hình vẽ để mô tả phép tịnh tiến. Khi đó, ta chỉ cần biểu thị đoạn [41, 44] trên hệ trục tọa độ rồi vẽ đồ thị trên đoạn này giống hệt đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2]. Ở đây, coi như phép tịnh tiến đã được sử dụng một cách ngầm ẩn. Trong kĩ thuật này, đặc trưng đồ thị đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, kĩ thuật này không vận hành được khi các khoảng cần vẽ đồ thị không có các đầu mút là “bội” của các đầu mút của khoảng cho trước. Khi đó, cần thiết sử dụng đến các kĩ thuật '32 và '33 . Kĩ thuật '32 cũng chủ yếu dựa vào đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Đặc biệt, kĩ thuật này vận hành tốt trong trường hợp khoảng cần vẽ đồ thị có một đầu mút là “bội” của một đầu mút của khoảng đã cho. Trong kĩ thuật '33 đặc trưng số đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Cần thiết xác định được giá trị các điểm mốc và dựa vào hình dáng đồ thị của hàm số để vẽ đồ thị trên khoảng yêu cầu. Khi đó, phép tịnh tiến cũng đã được sử dụng một cách ngầm ẩn. Kĩ thuật này có thể áp dụng cho mọi khoảng bất kỳ có các đầu mút nguyên. Như vậy, tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số góp phần quan trọng vào việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3. Đặc biệt, kiểu nhiệm vụ này cho phép nối liền đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Chức năng “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” và chức năng “cho phép vẽ đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã được nhấn mạnh. Kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số y = f(x) không” Ví dụ: bt 41 trang 205: “Số thực 3 có là một chu kỳ của hàm số cos 3 xx     không?” Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: + Hàm số được cho là hàm lượng giác cho bằng công thức + Số cho trước có thể là một chu kỳ hoặc không là một chu kỳ của hàm số Theo chúng tôi, bài toán này có thể được giải như sau : 3cos cos cos 3 3 3 x x x              Do đó, với x = 0 thì 3cos 1, cos 1 3 3 x x             Suy ra 3 không phải là một chu kỳ của hàm số đã cho. Như vậy, kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T4 là: Kĩ thuật 4 : + Tính f(x + T) + Nếu f(x + T) = f(x) với mọi x thì T là một chu kỳ. + Hoặc lấy một giá trị đặc biệt của x và chứng tỏ đẳng thức f(x +T) = f(x) không xảy ra với trường hợp đặc biệt này. Từ đó, kết luận được T không phải là một chu kỳ của hàm số. Công nghệ 4 : Định nghĩa chu kỳ của hàm số Một điều lưu ý là chúng tôi chỉ tìm thấy các kiểu nhiệm vụ trên trong phần bài tập của SGK. Chúng hoàn toàn vắng mặt trong các ví dụ và bài tập có hướng dẫn. Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập liên quan đến hàm số tuần hoàn. Kiểu nhiệm vụ Số bài tập T’1 5 T’2 1 T’3 1 T4 3 Tổng 10 ♦ Kết luận Việc phân tích SGK Pháp ở trên cho phép rút ra một số đặc trưng chính sau đây của mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn. + Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R. Do đó, một hàm số tuần hoàn sẽ có vô số chu kỳ. Nếu T là một chu kỳ thì mọi số có dạng nT (n là số nguyên) cũng là một chu kỳ của hàm số. + Đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn được đề cập tường minh trong phần lí thuyết. Từ đó, SGK nhấn mạnh đến lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn của hàm số. Cả ba chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đều được đề cập trong SGK. + Hàm số tuần hoàn được tiếp cận và nghiên cứu dưới dạng biểu thức giải tích và dạng đồ thị, bao gồm cả các hàm số lượng giác và hàm số bậc nhất, hàm hằng trên từng khoảng. + Kiểu nhiệm vụ chiếm vị trí quan trọng nhất là kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T” chiếm 5 trên tổng số 10 bài tập. Tiếp đó là kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số y = f(x) không” chiếm 3/10 bài. Hai kiểu nhiệm vụ này đều nhắm tới củng cố định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số và các tính chất của các hàm lượng giác, đặc biệt là hàm sin và cosin. Ở đây, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số vẫn là đối tượng nghiên cứu chứ không đóng vai trò “công cụ”. Vai trò “công cụ” của nó chỉ được nhấn mạnh qua duy nhất một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’3 mà chúng tôi đã phân tích ở trên. Kiểu nhiệm vụ T3 (Vẽ đồ thị hàm số) thể hiện chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được trình bày trong phần lí thuyết cho hai ._.ĩa là nó lặp lại theo chu kỳ - Chu kỳ 6 thôi (Protocole câu 17, 19, 25, nhóm II) - y có tính tuần hoàn: xZ+ còn y biến đổi tuần hoàn từ 3 2  13  10 3  3 2  13  10 3 (nhóm III) - Giá trị của y theo chu kỳ của x (x từ 1 đến 6, 6 đến 12,…) (nhóm IV) - Hàm số tuần hoàn theo chu kỳ, luân phiên tăng giảm (nhóm II) Như trong chương 2 đã làm rõ, học sinh đã được tiếp xúc với các khái niệm tuần hoàn và chu kỳ ở trường THCS qua khái niệm vòng tuần hoàn máu, số thập phân vô hạn tuần hoàn, chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn,… Khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Vì vậy, thuật ngữ tuần hoàn ở đây cũng được họ sử dụng để mô tả sự lặp đi lặp lại, luân phiên tăng giảm,…của hàm số. Chu kỳ của hàm số f là 6, là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài mà sau đó giá trị của hàm số lặp lại. 3.10. Kết luận Những phân tích trên chứng tỏ thực nghiệm B đã cho phép hợp thức giả thuyết nghiên cứu H2 đề ra cuối chương 2. Qua các pha thực nghiệm, chúng tôi ghi nhận được trong nhận thức của học sinh đã xuất hiện các đặc trưng sau của hàm số tuần hoàn f: - Đặc trưng số: giá trị hàm số lặp đi lặp lại khi thêm vào biến x, 6 đơn vị. - Đặc trưng đồ thị: đồ thị hàm số lặp đi lặp lại sau những khoảng có độ dài bằng 6. Phần lớn học sinh đã tiếp cận được các đặc trưng này và thiết lập được một cách ngầm ẩn sự liên hệ giữa chúng. Đồng thời họ cũng đã vận dụng được chúng như một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán đặt ra trong tình huống. KẾT LUẬN Việc phân tích đồng thời khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy cũng như các kết quả thu được từ 2 thực nghiệm A và B cho phép chúng tôi có câu trả lời thỏa đáng cho những câu hỏi đặt ra từ đầu luận văn và khẳng định các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. Sau đây là một số kết quả chính của nghiên cứu. 1. Trong chương 1, qua việc tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn và phân tích một số giáo trình Toán, Vật lý ở bậc đại học, chúng tôi đã làm rõ được đặc trưng của mối quan hệ thể chế dạy học ở bậc đại học với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. - Hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D, là hàm số thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D (T là một hằng số nào đó). Chu kỳ của hàm số có thể định nghĩa là mọi số T (hoặc là số T dương nhỏ nhất) thoả mãn hai điều kiện: • Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại • f(x) = f(x + T) - Hàm số tuần hoàn có hai đặc trưng cơ bản: đặc trưng số và đặc trưng đồ thị. Các đặc trưng này được thể hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa hàm số tuần hoàn. - Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ: • Cho phép giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. • Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. 2. Trong chương 2, chúng tôi đã làm rõ đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. - Trong thể chế dạy học toán ở Pháp4 + Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R. + Đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn được đề cập tường minh và có sự nối khớp giữa chúng. SGK nhấn mạnh đến lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn 4 Chúng tôi chỉ hạn chế trong một bộ SGK Toán của Pháp là bộ Collection Terracher, 1995 của hàm số. Nghĩa là nhấn mạnh các chức năng cho phép vẽ đồ thị (tính giá trị) hàm số tuần hoàn khi biết đồ thị (giá trị) của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. - Trong thể chế dạy học Việt Nam + Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy ở lớp 11, thuật ngữ tuần hoàn đã được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như hóa học, sinh học, toán học,… Từ tuần hoàn luôn được sử dụng để mô tả một sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín. + Khái niệm hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D với chu kỳ là số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D. + Các SGK chỉ nghiên cứu một loại hàm số tuần hoàn duy nhất, đó là các hàm số lượng giác với chu kỳ luôn luôn chứa  . + Vị trí, vai trò của khái niệm hàm số tuần hoàn ngày càng mờ nhạt trong các SGK. Đặc trưng của hàm số tuần hoàn về cả hai phương diện số và đồ thị không được đưa vào đầy đủ và không thể hiện được mối liên hệ giữa chúng. Do đó, các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ cũng không được nhấn mạnh. Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc dự đoán sự tồn tại các quy tắc hợp đồng RE1, RE2 và các giả thuyết nghiên cứu H1, H2, H3. RE1: Chu kì của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa  . RE2: Nếu hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thì f(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ T. Giả thuyết nghiên cứu: H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp 11, khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. H2 (hệ quả của H1): Sự xuất hiện ở học sinh khái niệm tuần hoàn với nghĩa “lặp đi lặp lại” tạo thuận lợi cho họ trong việc tiếp cận đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. H3: Giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE1, RE2 3. Chương 3 dành cho hai nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm A trên học sinh lớp 10 đã làm rõ quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tuần hoàn trước khi họ được học chính thức khái niệm hàm số tuần hoàn. Kết quả thực nghiệm đã chứng tỏ khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Điều này cho phép khẳng định giả thuyết H1 và là cơ sở để xây dựng thực nghiệm B sau đó. Thực nghiệm B bao gồm việc xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng cơ bản của hàm số tuần hoàn và vận dụng chúng để giải toán. Kết quả thu được chứng tỏ tính hợp thức của giả thuyết H2. Để xây dựng được một tình huống dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn thỏa mãn hơn các đặc trưng khoa học luận của nó, cần phải tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm này. Tuy nhiên, do không tìm được nguồn tư liệu thích ứng và do khuôn khổ giới hạn của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chưa thực hiện được nghiên cứu này, cũng như chưa tiến hành thực nghiệm kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE1, RE2. Đó là những hướng nghiên cứu có thể gợi ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bùi Phương Nga, Lê Thị Thu Dinh (2006), Tự nhiên và xã hội 3, Nxb giáo dục. 2. Đào Văn Phúc, Dương Trọng Bái, Nguyễn Thượng Chung, Vũ Quang (2005), Vật lý 12, Nxb giáo dục. 3. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 4. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách bài tập Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 5. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 6. G.M.Fichtengôn (1977), Cơ sở giải tích toán học, Nxb Đại học miền nam. 7. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ giáo dục học. 8. Lương Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), Vật lý đại cương, Nxb giáo dục. 9. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (những vấn đề cụ thể), Nxb giáo dục. 10. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (phần đại cương), Nxb giáo dục. 11. Nguyễn Đình Trí (1995), Toán học cao cấp, Nxb giáo dục. 12. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học. 13. Phan Đức Chính (chủ biên) (2006), Toán 7, Tập 1, Nxb giáo dục. 14. Phan Quốc Khánh (1998), Phép tính vi tích phân, Nxb giáo dục. 15. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và didactic, Luận văn thạc sĩ giáo dục học. 16. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2000), Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 17. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2000), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 18. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2004), Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 19. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 20. Trần Văn Hạo, (tổng chủ biên) (2004), Sách bài tập Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb giáo dục. 21. Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 22. Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 23. Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất trong dạy – học toán ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học. Tiếng Pháp 24. BAREK Miloud (1995), Introduction et utilisation de la notion de fonction en classe de seconde en tant qu’outil mathématique, Mémoire professionnel de mathématiques. 25. David LECARME (2000), Lien entre fonctions usuelles et fonctions deduites dans le carde géometrique en classe de seconde, Mémoire professionnel de mathématiques. 26. Elodie FOREL, Ludovic BOUCHERON (2002), Les registres attachés à la notion de fonction: leur importances et leurs relations entre eux, Mémoire professionnel de mathématiques. 27. Hélène Olivé, Premiere rencontre avec une fonction prériodique. 28. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique des lien entre fonctions et équations dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Vietnam, Thèse de docteur de l’Université Joseph Fourier – Grenoble. 29. Michèle Artigue (1992), Ingénierie didactique, Recherche en didactique des mathématiques, La pensée sauvage édition. 30. Nicolas LEGATELOIS, Olivier RUINAT (1997), Le changement de cardes, Sa réalisation à travers l’étude d’une situation géométrique à l’aide d’une fonction, Mémoire professionnel de mathématiques. 31. P.-H. TERRACHER – R. FERACHOGLOU (1995), Math seconde, HACHETTE Éducation. 32. Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur (2006). 33. Samuel Johsua, Jean – Jacque Dupin (1993), Introduction à la didactique des siences et des mathématique, Quadrige PUF. 34. Yves Chevallard (1991), La transposition didactique du savoir savant au savoir enseigné, La pensée sauvage édition. Tiếng Anh 35. V.V.ZAITSEV, V.V.RYZHKOV, M.I.SKANAVI (1976), Elementary Mathematics, A review course, Translated from the Russian by George Yankovsky, Mir Publishers Moscow. PHẦN PHỤ LỤC Phụ lục 1: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm A Phụ lục 2: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm A Phụ lục 3: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm B Phụ lục 4: Bài giải của các nhóm trong pha 2 Phụ lục 5: Protocole pha 2 và pha 3 Phụ lục 6: Câu trả lời của các nhóm trong pha 4 PHỤ LỤC 1: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm A Họ và tên học sinh: ............................................................................................................. Lớp : ..................................................................................................................................... PHA 1 (Làm việc cá nhân, thời gian 20 phút) Câu 1. Xét các biểu đồ dưới đây. a) Biểu đồ 1 : Biểu đồ nhịp đập quả tim của một bệnh nhân (điện tâm đồ) b) Biểu đồ 2 : Biểu đồ mô tả tác động của một sóng (cơ học) tại một vùng. c) Biểu đồ 3 : Biểu đồ tăng trưởng kinh tế Đài Loan từ năm 1991 đến năm 2001 (Theo trang web “Hỗ trợ các doanh nghiệp TP.HCM hội nhập kinh tế thế giới”) Em hãy quan sát các biểu đồ trên và nêu nhận xét về đặc trưng (tính chất) của từng biểu đồ. Trả lời ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Câu 2. Cho các hàm số có đồ thị được biểu diễn như sau dây. - Đồ thị hàm số thứ nhất: -3/2 - -/2 /2  3/2 2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x y y - Đồ thị hàm số thứ 2: - Đồ thị hàm số thứ 3: O 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y - Đồ thị hàm số thứ 4: -2 -3/2 - -/2 /2  3/2 2 -15 -10 -5 5 10 15 x y Hãy quan sát các đồ thị trên và nêu nhận xét về đặc trưng của từng hàm số đó. Trả lời ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Họ và tên học sinh: ............................................................................................................. Lớp : ..................................................................................................................................... PHA 2 (Làm việc cá nhân, thời gian 10 phút) Câu 3. Em hãy viết 3 câu có chứa từ “tuần hoàn”. Trả lời ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Câu 4. Theo em, “tuần hoàn” có nghĩa là gì ? Trả lời ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... PHỤ LỤC 3: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm B THÔNG BÁO BÀI TOÁN Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 6 (cm). Bắt đầu từ đỉnh A, một điểm M chuyển động trên cạnh của hình vuông, theo lộ trình: A  B  C  D  A B  C  … Kí hiệu x là khoảng cách AM mà điểm M di chuyển được trên cạnh của hình vuông tính từ A và y là độ dài OM tương ứng. Gọi f là hàm số đặt tương ứng mỗi giá trị x = AM với độ dài y = OM. f: ( )x y f x Hãy nghiên cứu tính chất của hàm số f, bằng cách giải quyết các nhiệm vụ ghi rõ trong các phiếu sau đây mà người ta sẽ lần lượt phát cho các em. M x A B 6 D C O y PHIẾU SỐ 1 (làm việc cá nhân trong 13 phút) 1.1. Giá trị nhỏ nhất của x là bao nhiêu? Giá trị lớn nhất của x là bao nhiêu? 1.2. Khi x = 0, x = 3, x = 7, x = 12 hoặc x = 21 thì M tương ứng với những vị trí nào trên cạnh hình vuông? 1.3. Giá trị lớn nhất của OM bằng bao nhiêu? Giá trị nhỏ nhất của OM bằng bao nhiêu? TRẢ LỜI .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... PHIẾU SỐ 2 (làm việc theo nhóm trong 35 phút) 2.1. Hãy điền giá trị thích hợp vào các ô trống trong bảng sau đây : x 0 2 3 5 6 8 9 11 12 y = OM 2.2. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12]. 2.3. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [18; 24]. 2.4. Em có thể tính f(248) và f(9433) được không? - Nếu không, giải thích vì sao? - Nếu có, hãy tính các giá trị đó. 2.5. Em có thể vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [154; 162] được không? - Nếu không, giải thích vì sao? - Nếu có, hãy vẽ đồ thị hàm số trên đoạn đó. PHIẾU SỐ 3 (làm việc theo nhóm trong 7 phút) Hãy liệt kê tất cả các tính chất của hàm số f đã cho mà nhóm phát hiện ra. Nhóm thắng cuộc là nhóm liệt kê được nhiều tính chất đúng của hàm số. TRẢ LỜI .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... PHỤ LỤC 5: Protocole pha 2 và pha 3 PHA 2 NHÓM I (Gồm các học sinh H3, H7, H11, H17, H19) 1. H11: Sử dụng định lý Pitago lập hàm số y = 2 6 18x x  (1) với x  [0; 6] Để tính f(12) lấy 12 – 6 = 6, thay 6 vào (1) tính f(12) Để tính f(8) lấy 8 – 6 = 2, thay 2 vào (1) tính f(8) 2. H3: Để tính f(9) lấy 9 – 6 = 3, thay 3 vào (1) tính f(9) Nhóm phân công mỗi thành viên tính một vài giá trị. Sau đó, nhóm xác định những điểm vừa tính trên hệ trục và vẽ đồ thị. 3. H7: Đồ thị là những đường cong: 4. H3: M di chuyển một vòng thì giá trị lặp lại, đồ thị ở câu 2.2, 2.3 giống nhau nên chắc chỉ vẽ một đồ thị. 5. H3: Đồ thị trên [6; 12] giống trên [0; 6] 6. H11: Đồ thị trên [18; 24] giống [0; 6] Các thành viên phân công H11 tính f(248), f(162), …, các thành viên khác vẽ đồ thị 7. H11: Tính f(248), M đi được hơn 10 vòng. Chia 248 cho 24 dư 8. Tính f(248) = f(8) = 10 (đã tính f(8) ở câu trên) 8. H19: Tính f(162), lấy 162 chia 6 cho dễ tính 9. H3: Vẽ đồ thị trên [154; 162] giống trên đoạn [2; 12] 10. H17: Các đoạn đều là cạnh của hình vuông nên chỉ xét trên [0; 6] NHÓM II (Gồm các học sinh H2, H12, H21, H25, H26) 11. H25: Sử dụng định lý Pitago tính các giá trị của hàm số 12. H2: Đồ thị là đường thẳng y = ax + b, chỉ cần tìm a, b 13. H21: Đồ thị luôn luôn thay đổi theo tính biến thiên. Các giá trị hàm số tăng đều? 14. H26: Không phải! Đồ thị là một parabol 15. H12: Nó là những đường cong 16. H25: Nó giống như xung điện từ, nó cứ đi lên đi xuống hoài 17. H26: Lấy đúng một chu kỳ thôi, những cái kia lặp lại, lấy đối xứng 18. H25: Vẽ đồ thị trên [0; 6] rồi lấy đối xứng ra [6; 12], đồ thị cứ lên xuống hoài 19. H25: Nghĩa là nó lặp lại theo chu kỳ 20. H25: Câu 2.4 vẽ được vì nó đi dòng dòng qua chu kỳ, chỉ cần chia cho 6 21. H12: 18 ứng với 0, 20 ứng với 2, 21 ứng với 3, 24 ứng với 6 Nhóm tính từng giá trị ra giấy nháp trong khi H2 vẽ đồ thị của câu 2.2, H2 cố gắng kẻ ra đường thẳng. 22. H25: Tại sao lại là đường thẳng mà không phải là đường cong gấp khúc? 23. H26: Không nhất thiết là đường thẳng, nó xuống lên, xuống lên vậy, lặp lại hoài 24. H26: 5 ứng với một chu kỳ 25. H25: Không, chu kỳ 6 thôi, 248 chia cho 6 coi, 248 = 41.6 + 2 nên f(248) = f(2) 26. H2: Đoạn [154; 162] lấy tương ứng đoạn [4; 8], 4 ứng với 154, 8 ứng với 162. Vẽ đoạn [4; 8] thôi đừng vẽ khoảng bự 27. H25: Nếu 4 trùng với giá trị khác? 28. H21: y tại 7 giống y tại 1, giống y tại 19 29. H2: Vẽ đồ thị trên [4; 8] đi NHÓM III (Gồm các học sinh H1, H8, H10, H14, H18) Học sinh tính từng giá trị của hàm số tại x = 18, 19, … , 24 30. H1: Cách 6 đơn vị thì bằng nhau Học sinh biểu thị các điểm lên hệ trục tọa độ và nối thành đường gấp khúc. 31. H1: (248 – 0) : 6 ( 3 2 ) , (248 – 2) : 6 (= 10 ) => chọn 32. H10: 9433 : 6 = 1,5 33. H18: Lấy số chia cho 6 và lấy số dư tính. 9433:6 dư 1 nên lấy 13 (học sinh tính ra 13 dựa vào hình vuông vẽ trên bài toán) 34. H14: 154 : 6 dư 4 suy ra 10 162 : 6 = 27 suy ra 3 2 (do chia hết) 155 : 6 dư 5 suy ra 13 H1 phát hiện: 3 => 3=> 13 =>3 2 => 10 154 155 156 157 158 Học sinh biểu thị các điểm này lên hệ trục tọa độ và nối chúng lại thành những đường gấp khúc. NHÓM IV (Gồm các học sinh H5, H6, H9, H15, H23) 35. H5: Xem tính đồng biến, nghịch biến 36. H6: Lâp bảng biến thiên 37. H23: Nếu chắc, vẽ luôn 38. H15: Lớn nhất 3 2 39. H23: Trục ngang lấy bao nhiêu? 40. H6: 12 đơn vị 41. H9: Ra đường tròn, vẽ cong như vầy 42. H6: x = 2, y = 10 x = 8, y = 10 Cái này cũng bằng như vậy 43. H9: Xuống tiếp rồi lên tiếp 44. H6: Nó như vầy: 45. H5: Xem có trục đối xứng không? 46. H15: Vẽ ba điểm đầu là ra, các cái sau nó trùng lại, cẩn thận x từ 0 đến 2 47. H15: Sao kỳ vậy, sao bạn nối đường thẳng? 48. H23: Vẽ đường núi… 49. H9: Vẽ parabol 50. H6: Giống parabol 51. H5: Giống 2 đường cong phải không? NHÓM V (Gồm các học sinh H4, H13, H16, H20, H22, H24) 52. H20: x = 2, M ở đây là H, đoạn này bằng 1, đoạn này bằng 3, Theo Pitago có OM = 10 Nhóm tiếp tục tìm vị trí của M tương ứng với các x còn lại và dùng định lý Pitago để tính y tương ứng. 53. H4: (chỉ số 11), giá trị này lớn, mình trừ 6 là nó ra giá trị tương đối ở bên kia 54. H20: Đồ thị là đường thẳng hay parabol? 55. H16: Cái này giống như là parabol đó, 6 là điểm đối xứng đó. 56. H22: Trục đối xứng là 2 b a  là 1 đường thẳng. 57. H24: Có thể là đường thẳng hoặc parabol 58. H20: Giờ mình đi tìm hàm số y = f(x) đi. Phải tìm hàm số xong mới vẽ được. 59. H4: Xác định hàm số của nó là gì? 60. H16: Giảm trong khoảng này, tăng trong khoảng này 61. H20: Không có hàm số lấy gì giải thích, lấy gì tính 62. H13: Thôi, xác định các điểm rồi vẽ đi 63. H22: Tìm ra được c là 18 , tọa độ đỉnh 6 2 18 4 b a a    . Giải hệ tìm a, b đi 64. H16: Lấy máy tính bấm ra đi Việc tính toán dẫn đến thất bại, học sinh tiếp tục thảo luận đồ thị là đường thẳng hay parabol 65. H16: Nó có thể là những đường thẳng, không nhất thiết là parabol đâu Cả nhóm đồng ý và vẽ đồ thị trong câu 2.2 là những đường gấp khúc 66. H4: Hai câu dưới không tìm ra hàm số lấy gì mà tính PHA 3 67. GV: Đồ thị có hai dạng, những đường gấp khúc và những đường cong. Ai nghĩ đồ thị là đường gấp khúc? Nhiều học sinh đồng ý đồ thị là đường gấp khúc 68. H6 (nhóm IV): Đồ thị là một đường cong. Tính bằng định lý Pitago, x nằm trong căn bậc hai GV giải thích đồ thị không phải đường thẳng: nếu lấy điểm M(1; 13 ) trên đồ thị thì M không thuộc đoạn thẳng này (giáo viên chỉ đoạn thẳng trên hình vẽ) Học sinh đồng ý 69. GV: Đề nghị nhóm I trình bày cách vẽ đồ thị trên đoạn [18; 24] 70. H7 (nhóm I): Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị (tại x = 18, …, 24) rồi nối lại Các nhóm khác cũng đồng ý với cách vẽ đồ thị của nhóm I 71. GV: Các nhóm đều tính f(248) = 10 , nhóm III nêu cách tính? 72. H8 (nhóm III): Lấy 248 chia 6, ta tìm được số dư, xác định trên hình vuông rồi dùng định lý Pitago để tính 73. GV: 248 chia 6 dư bao nhiêu? 74. H8: Dư 2 ạ 75. GV: Dư 2 thì làm thế nào để tính f(248)? 76. H8: Dư 2 thì đoạn AM = 2. Gọi F là trung điểm AB thì MF = 1, OF = 3, Suy ra OM = 10 77. GV: Như vậy tính f(248) giống như tính f(2)? H8 đồng ý 78. GV: Để tính f(4933) thì nhóm làm như thế nào? 79. H8: Cũng tương tự như tính f(248) 80. GV: Có nhóm nào có cách tính khác nhóm III không? 81. H23 (nhóm IV): M chuyển động hết một hình vuông là 24 đơn vị. Lấy 248 chia 24 dư 8, lấy giá trị của 8 là 10 đã tính ở câu trên 82. GV: 248 chia 24 dư 8, suy ra f(248) = f(8) đúng không? Học sinh trong lớp đồng ý H11 (nhóm I) xung phong trình bày cách tính khác 83. H11: Nếu x [0; 6] thì M trên cạnh AB. Gọi N là trung điểm của AB, OM2 = MN2 + ON2, mà MN = 3 – x, ON = 3 suy ra y = OM = 2 6 18x x  84. GV: Nếu x [0; 6] thì nhóm I tính y bằng công thức trên. Vậy nếu x > 6 thì tính y như thế nào? 85. H11: Nếu x (6;  ) thì x = 6k + a, thế a vào công thức trên ta tính được y 86. GV: Như vậy y = f(x) = f(a)? H11 đồng ý 87. GV: Cả lớp có đồng ý với cách tính của nhóm I không? Học sinh trong lớp đồng ý 88. GV: Trong câu 2.5 nhóm IV có đồ thị đẹp nhất, nhóm IV hãy nêu cách vẽ đồ thị? 89. H15 (nhóm IV): Tính f(154), f(155), …, f(162) và nối lại 90. GV: Các nhóm khác có làm như nhóm IV không? Các nhóm khác đồng ý 91. GV chỉ vào hình vẽ của nhóm I (hình vẽ sai) và yêu cầu nhóm I giải thích cách vẽ của nhóm mình 92. H3: Nhóm em cũng xác định những điểm đặc biệt để vẽ, nhưng làm nhanh nên chỉ lấy 4 điểm đặc biệt nên nối lại thành đồ thị như vậy 93. GV: Như vậy hình vẽ của nhóm I hay nhóm IV chính xác? 94. Cả lớp: Đồ thị của nhóm IV là đúng ._.