Đồ án Dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở trường trung học cơ sở - Một tiểu Didatic về đào tạo giáo viên

đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, TS.Trần Lương Công Khanh và TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 17; PGS. Claude Comiti, PGS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp định hướng cho đề tài. Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, đặc biệt là chồng tôi đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua. Trần Thị Ngọc Diệp DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên HHGN : Hình học ghi nhận HHSD : Hình học suy diễn THCS : Trung học cơ sở CĐSP : Cao đẳng sư phạm DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học............................. 9 Bảng 1.2. Thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc ..................................... 18 Bảng 1.3. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 ............................. 21 Bảng 1.4. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 25 Bảng 1.5. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3 ............................. 29 Bảng 1.6. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 32 Bảng 1.7. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 38 Bảng 1.8. Thống kê các cách tiếp cận khái niệm ở bậc THCS ............................. 45 Bảng 1.9. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 53 Bảng 1.10. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 57 Bảng 1.11. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 60 Bảng 1.12. Thống kê số lượng bài tập chứng minh ................................................ 64 Bảng 1.13. Thống kê số lượng bài tập sử dụng kĩ thuật quan sát-thực nghiệm và kĩ thuật suy luận .............................................................................. 64 Bảng 1.14. Đặc trưng của HHGN và HHSD........................................................... 72 Bảng 2.1. Biến tình huống..................................................................................... 79 Bảng 2.2. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1a.......................... 87 Bảng 2.3. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1b.......................... 89 Bảng 2.4. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 2............................ 95 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hình học là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. HS bắt đầu làm quen với Hình học ngay từ lớp 1 và được học xuyên suốt đến hết lớp 12. Đã có nhiều nghiên cứu về dạy học Hình học ở phổ thông, nhất là những nghiên cứu theo trường phái Didactic toán của Pháp. Ở Việt Nam, chúng tôi đặc biệt quan tâm tới hai nghiên cứu trong phạm vi luận văn thạc sĩ Didactic toán, đó là nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương (2002) và của Trần Thị Tuyết Dung (2002) với các lí do sau đây:  Dù đã giảng dạy toán ở bậc THCS và THPT, nhưng đây là lần đầu tiên tôi nghe nói đến các khái niệm «HHGN» và «HHSD», được đề cập trong hai luận văn này. Vậy, HHGN là gì? HHSD là gì? Chỉ có một mô tả khá ngắn gọn và sơ sài từ hai luận văn này, đó là: HHGN là Hình học có được từ quan sát và thực nghiệm; HHSD là Hình học có được từ suy luận và chứng minh. Điều này không làm thỏa mãn trí tò mò và nhu cầu hiểu biết hơn của chúng tôi!  Nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương cho thấy trong chương trình và SGK bậc THCS những năm 1990 không có sự nối khớp nào giữa hai loại Hình học nêu trên. Chương trình đào tạo GV ở các trường CĐSP cũng không tính đến mối quan hệ và sự nối khớp giữa chúng. Còn nghiên cứu của Trần Thị Tuyết Dung lại chỉ ra rằng: chương trình và SGK mới (2001) đã tính đến hoạt động chuyển tiếp giữa hai Hình học thông qua sự nối khớp thực nghiệm và suy luận. Nhưng sự nối khợp này có vị trí rất mờ nhạt. Điều này dẫn tới hậu quả là GV phải dùng đến yếu tố quyền lực cá nhân để thuyết phục HS chấp nhận «miễn cưỡng» việc dùng suy luận để khẳng định một mệnh đề (điều mà trước đây các em có quyền làm từ quan sát thực nghiệm, ghi nhận). Như vậy, dạy học mở đầu về chứng minh ở trường THCS không thể không tính đến HHGN đã tồn tại ở bậc tiểu học và có thể đang tồn tại ở cả bậc THCS, cũng như mối quan hệ, sự ngắt quãng giữa chúng. Nhưng, làm thế nào để GV ý thức được mối quan hệ nhân – quả giữa hai cấp độ Hình học này? Câu hỏi này vẫn chưa được các tác giả của hai luận văn trên giải đáp. Thoạt tiên, những ghi nhận trên gợi cho chúng tôi nhu cầu nghiên cứu thiết kế một tiểu đồ án didactic đào tạo GV ở các trường CĐSP về dạy học mở đầu chứng minh ở trường THCS, chính xác hơn là ở thời điểm từ bỏ HHGN để bước sang HHSD. Để thực hiện tham vọng này, cần thiết phải tiến hành các nghiên cứu sau: 1. Làm rõ đặc trưng của HHGN và HHSD: Thế nào là HHGN? Thế nào là HHSD? Có những khác biệt cơ bản nào giữa hai Hình học này? Nói cách khác, đâu là những đặc trưng chuyên biệt của mỗi loại Hình học? Mối quan hệ giữa chúng như thế nào? 2. Nghiên cứu kĩ hơn quan hệ nhân – quả giữa hai Hình học, đặc biệt là trên đối tượng HS. 3. Nghiên cứu quan niệm của giảng viên và sinh viên các trường CĐSP về chứng minh và dạy học mở đầu về chứng minh, đặc biệt là về HHGN và HHSD. 4. Thiết kế và triển khai một tiểu đố án didactic đào tạo GV về dạy học mở đầu chứng minh. Tuy nhiên, sau một thời gian làm việc, do hạn chế về thời gian và áp lực công việc ở Trường – nơi mà chúng tôi đang công tác, chúng tôi nhận ra rằng nội dung nghiên cứu quá lớn, vượt ra ngoài điều kiện thực tế và khả năng hiện tại của chúng tôi. Điều này dẫn chúng tôi tới việc giới hạn mục tiêu và nội dung nghiên cứu luận văn của mình trong phạm vi các mục 1, 2 nêu trên. 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học, Lý thuyết tình huống và Hợp đồng didactic. Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm mấu chốt như tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với hai loại Hình học, từ đó tìm ra đặc trưng cơ bản của từng loại. Lý thuyết tình huống với các khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của HS trong tình huống thực nghiệm. Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau: Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì? Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này? Q2. Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao? Q3. Mối quan hệ thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS như thế nào? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Từ đó, chúng tôi xác định phương pháp và nội dung nghiên cứu như sau: - Thiết lập lược đồ cho việc phân tích quan hệ thể chế. - Phân tích chương trình, SGK, SGV bậc Tiểu học và THCS để tìm ra đặc trưng của HHGN và HHSD và mối quan hệ giữa chúng. - Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về dạy học chứng minh ở trường CĐSP để làm rõ quan hệ của thể chế đào tạo GV với một số đối tượng của HHGN và HHSD. - Triển khai một thực nghiệm kiểm chứng ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân HS trong phạm vi của dạy học suy luận và chứng minh. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương và phần kết luận. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, giới thiệu cấu trúc của luận văn. Trong chương I, chúng tôi trình bày đặc trưng HHGN và HHSD, mối quan hệ giữa chúng trong thể chế dạy học Hình học ở bậc Tiểu học và THCS và trong thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP, đồng thời phân tích đặc trưng của suy luận và chứng minh trong mỗi loại Hình học. Trong chương II, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu và tìm ra câu trả lời cho những câu hỏi mới rút ra từ kết quả nghiên cứu trong chương I Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được, chỉ ra những lợi ích của đề tài, đồng thời mở rộng hướng nghiên cứu cho luận văn. Chương 1: HÌNH HỌC GHI NHẬN VÀ HÌNH HỌC SUY DIỄN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở BẬC TIỂU HỌC VÀ THCS 1.1. Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương này là tổng hợp và phân tích các tài liệu nhằm làm rõ các đặc trưng chủ yếu của HHGN và HHSD. Đồng thời tìm ra đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học và THCS hiện hành và tổng hợp tài liệu [19], [36], [33], [32], [20] nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi sau đây: Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì? Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này? Q2. Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao? 1.2. Lược đồ phân tích * Để làm rõ các đặc trưng của HHGN và HHSD, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học và THCS nhằm tìm ra: - Cách đưa vào các khái niệm. - Cách đưa vào các tính chất, qui tắc, định lí (ở THCS) thuộc phạm vi Hình học. - Đặc trưng của các tổ chức toán học (nhất là kĩ thuật giải). * Để làm rõ đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này, chúng tôi tiến hành phân tích: - Cách hợp thức một khẳng định (làm sao đưa ra một khẳng định). Điều này liên quan tới việc đưa vào một tính chất. - Suy luận xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì? - Chứng minh xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì? Nghiên cứu việc khẳng định một mệnh đề, chúng tôi dựa vào phân loại các kiểm chứng của Nicolas Balacheff như sau: - Kiểm chứng kiểu «Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ»: khẳng định chân lí của một phán đoán bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề hợp thức hóa. - Kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán»: là qui trình hợp thức hóa một phán đoán bằng cách đoán nhận một trường hợp được cho là ít riêng biệt nhất. Cách làm này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm, nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hóa đã thực sự được đặt ra. - Kiểm chứng kiểu «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc»: trình bày rõ ràng những lý lẽ về tính hợp thức của một phán đoán, bằng cách thực hiện những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem là không có tính đặc biệt và riêng rẽ, mà đại diện cho cả một lớp cá thể. - Kiểm chứng kiểu «Tính toán trên các thông báo»: không dựa vào kinh nghiệm, mà đó là những cách xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh. Trong các loại kiểm chứng trên, ở kiểu thứ tư suy luận và chứng minh mới xuất hiện. 1.3. Đặc trưng của HHGN và HHSD trong thể chế dạy học Hình học ở bậc tiểu học và THCS 1.3.1. Đặc trưng của HHGN Tài liệu [32], [20] đã chỉ ra rằng HHGN xuất hiện ở bậc tiểu học. Do đó, để tìm đặc trưng của Hình học này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học. 1.3.1.1. Khái niệm Theo [33, tr.6], «Hình học bậc tiểu học hình thành cho HS những biểu tượng về một số hình đơn giản và các đại lượng thông dụng». Qua phân tích chương trình, SGK, SGV ở bậc tiểu học, chúng tôi nhận thấy để tiếp cận một khái niệm ở bậc tiểu học có 3 cách sau đây: Cách tiếp cận thứ nhất: tổng thể thông qua hình vẽ. Cách tiếp cận này được sử dụng chủ yếu ở lớp 1, 2, «dựa trên trực giác HS nhận biết hình một cách tổng thể» [33, tr.10]. HS được làm quen các khái niệm thông qua các hình vẽ, mô hình, hình ảnh thực tế mà không theo tính chất về các yếu tố cạnh và góc, đồng thời gán cho khái niệm một cái tên. Chẳng hạn: Để giới thiệu hình tam giác, [21, tr.9] đưa ra một loạt hình tam giác với độ lớn, màu sắc, hình dạng (tam giác thường, vuông, đều), vị trí (nghiêng, thẳng) khác nhau, cùng với những hình ảnh thực tế có dạng hình tam giác (biển báo giao thông, thước êke, lá cờ). Từ đó, HS hình thành biểu tượng hình tam giác. Ngoài ra, SGK còn đưa ra một số hình ghép từ những hình tam giác (ngôi nhà, con thuyền, chong chóng, cây thông, con cá) giúp HS củng cố biểu tượng hình tam giác, đồng thời «bước đầu nhận ra hình tam giác từ các vật thật» [22, tr.24]. Cách tiếp cận thứ hai: hình vẽ kèm theo đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận này được sử dụng hầu hết là ở lớp 3, «HS nhận biết các yếu tố của một hình (góc, cạnh, đỉnh) và đặc điểm của hình thông qua các yếu tố này» [26, tr.5]. Như vậy, khái niệm đã có một bước tiến triển cao hơn: không giới thiệu một cách tổng thể mà theo các yếu tố cạnh và góc. Chẳng hạn: HS làm quen hình chữ nhật từ lớp 2 ([23, tr.23]) theo cách tiếp cận thứ nhất (giống như hình tam giác) nhằm hình thành biểu tượng về hình chữ nhật. Đến lớp 3, [25, tr.84] lại đưa ra hình chữ nhật nhưng theo cách tiếp cận thứ hai. Lúc này, mục tiêu không còn là «nhận dạng hình chữ nhật (qua hình dạng tổng thể, chưa đi vào đặc điểm các yếu tố của hình)» [24, tr.59], mà là «bước đầu có khái niệm về hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc), từ đó biết cách nhận dạng hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc)» [26], tr.152]. Tại thời điểm gặp gỡ này, các yếu tố cạnh và góc của hình chữ nhật được giới thiệu thông qua một hình chữ nhật cụ thể ABCD vẽ trên giấy kẻ ô vuông. Từ việc quan sát hình trên giấy kẻ ô vuông, cùng với việc «lấy êke kiểm tra xem 4 góc có vuông không» và «lấy thước đo chiều dài 4 cạnh», HS phát hiện ra đặc điểm của hình chữ nhật. [23, tr.23] [25, tr.152] Cách tiếp cận thứ ba: hỗn hợp hai cách trên, nghĩa là vừa giới thiệu tổng thể thông qua hình vẽ, vừa nêu đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận này xuất hiện ở lớp 4 và 5, tại thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên của khái niệm. Chẳng hạn: [27, tr.102] đã giới thiệu hình bình hành bằng cách: Đầu tiên, «HS quan sát hình vẽ để hình thành biểu tượng về hình bình hành, GV giới thiệu tên gọi hình bình hành». Sau đó mới «nhận biết một số đặc điểm của hình bình hành» từ việc quan sát hình vẽ trên giấy kẻ ô vuông và «đo độ dài các cạnh đối diện» [28, tr.182]. Như vậy, khái niệm hình bình hành đã được tiếp cận theo cách hỗn hợp. Đối với các khái niệm «hình khối» (hình không gian), [31, tr.82] đã viết: «Thông qua việc quan sát «hình ảnh» các vật thật trong thực tế để hình thành khái niệm «ban đầu» của hình khối». Chẳng hạn: Từ hình ảnh bao diêm, viên gạch, khái quát thành hình hộp chữ nhật. Từ hình ảnh con súc sắc, khái quát thành hình lập phương. Sau khi đã có biểu tượng các hình này, HS được hình thành khái niệm thông qua việc nhận biết đặc điểm các yếu tố về đỉnh, cạnh, mặt (mặt đáy, mặt bên) của các hình đó (chẳng hạn: hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 2 mặt đáy và 4 mặt bên; hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt bằng nhau). Ngoài ra, HS còn được giới thiệu về «hình khai triển» của các hình đó, chẳng hạn: Hình khai triển của hình hộp chữ nhật: Hình khai triển của hình lập phương Bảng 1.1. Bảng thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học Cách tiếp cận STT Khái niệm thứ nhất thứ hai Thứ ba 1 Hình vuông Lớp 1 Lớp 3 2 Hình tròn Lớp 1 Lớp 3, lớp 5 3 Đường tròn Lớp 5 4 Hình tam giác Lớp 1 Lớp 5 5 Hình tứ giác Lớp 2 6 Hình chữ nhật Lớp 2 Lớp 3 7 Hình bình hành Lớp 4 8 Hình thoi Lớp 4 9 Hình thang Lớp 5 10 Hình hộp chữ nhật Lớp 5 11 Hình lập phương Lớp 5 12 Hình trụ Lớp 5 13 Hình cầu Lớp 5  Sự tiến triển của các cách tiếp cận Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy các cách tiếp cận khái niệm tiến triển theo cấp lớp. Cách tiếp cận thứ nhất được sử dụng ở lớp 1 và 2, vì đây là các khái niệm đơn giản, quen thuộc, dễ nhận dạng trong cuộc sống hàng ngày. Lên lớp 3, các khái niệm được tiếp cận theo cách thứ hai nhằm bổ sung thêm các yếu tố về cạnh và góc của khái niệm. Ở lớp 4 và 5, các khái niệm mới được đưa vào, HS chưa từng có biểu tượng về nó nên tiếp cận theo cách thứ ba. Các khái niệm hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật xuất hiện 2 lần, hình tròn xuất hiện 3 lần ở bậc tiểu học. Tại thời điểm gặp gỡ đầu tiên (lớp 1, lớp 2), các khái niệm này được tiếp cận bằng cách thứ nhất (tổng thể thông qua hình vẽ). Đến thời điểm gặp gỡ thứ hai (lớp 3, lớp 5), cách tiếp cận các khái niệm này đã được tiến triển lên một bước là giới thiệu hình vẽ kèm theo các yếu tố về cạnh và góc. Theo chúng tôi, đây là cách trình bày hợp lý, phù hợp với HS vì các khái niệm hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn là các hình khá quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày và rất dễ nhận dạng (nhìn hình là có thể nhận dạng được ngay). Do đó, ở các lớp 1 và 2, thể chế mong muốn HS tiếp cận các khái niệm này một cách tổng thể thông qua hình vẽ. Lên các lớp trên (lớp 3, lớp 5), HS được tạo điều kiện gặp lại các khái niệm này nhằm tìm hiểu thêm về các yếu tố cạnh và góc. Các khái niệm còn lại HS chỉ được gặp gỡ một lần (lớp 4 hoặc lớp 5), hầu hết được tiếp cận theo cách thứ ba. Vì là lần gặp gỡ đầu tiên nên các khái niệm này cần được tiếp cận một cách tổng thể thông qua hình vẽ, đồng thời phải có mô tả các yếu tố về cạnh và góc mới có thể nhận dạng một cách chính xác được. Chẳng hạn: Nếu không mô tả các yếu tố về cạnh và góc, HS khó có thể phân biệt hình bình hành và hình thoi. Về cách tiếp cận khái niệm ở tiểu học, [33, tr.9] viết: «Ở bậc tiểu học, SGK không nêu định nghĩa chính xác các khái niệm hình học như ở bậc THCS mà thường chỉ dừng lại ở mức độ mô tả một số đặc điểm quan trọng. Chẳng hạn: Khái niệm hình chữ nhật không được định nghĩa như ở lớp 8: «Hình chữ nhật là hình bình hành có các góc bằng nhau», mà chỉ mô tả: «Hình chữ nhật có hai cạnh dài bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau và có bốn góc vuông». Đây không được coi là định nghĩa chính xác của hình chữ nhật vì đặc điểm (tứ giác) «có 4 góc vuông» đã hiển nhiên «hai cạnh dài bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau», do đó đặc điểm này nêu ra là thừa. Ngoài ra, cách mô tả này không bao quát hết tập hợp tất cả cách hình chữ nhật, vì đối với hình chữ nhật đặc biệt là hình vuông thì ta không phân biệt được cạnh dài, cạnh ngắn». Về «mối quan hệ» giữa các hình hình học (Chẳng hạn: Hình vuông có là hình chữ nhật đặc biệt không? Hình lập phương có phải là hình hộp chữ nhật đặc biệt không?...) [31, tr.95] viết: «Đây là vấn đề còn gây nhiều «tranh cãi» trong dạy học Toán ở Tiểu học, vì nó gặp phải mâu thuẫn giữa yêu cầu chính xác, khoa học khi cần hiểu đúng về các khái niệm về hình hình học với yêu cầu có tính sư phạm về mức độ nhận thức của HS tiểu học đối với việc lĩnh hội các kiến thức đó. Hướng «giải quyết» là HS chỉ cần nhận dạng các hình hình học ở những dấu hiệu, đặc điểm bản chất nhất và tường minh để phân biệt hình này với hình khác theo đúng tên gọi của nó». Nhận xét Đặc trưng chủ yếu của cách tiếp cận khái niệm trong HHGN là khái niệm không được định nghĩa mà chỉ được gán thẳng cái tên kèm theo hình vẽ, đặc điểm. Các đặc điểm này có thể thừa và không bao quát hết các trường hợp đặc biệt của hình. Ngoài ra, tất cả các khái niệm đều được đưa ra thông qua hình vẽ. Thuật ngữ «định nghĩa» chưa được sử dụng. Điều đó cho thấy HHGN không được xây dựng chặt chẽ, hệ thống.  Với các đại lượng thông dụng, HS cũng hình thành các biểu tượng chủ yếu dựa trên mô hình trực quan, thông qua việc so sánh hoặc qua các ví dụ cụ thể.  Độ dài đoạn thẳng [21, tr.96] Thông qua hai hình vẽ bên trái (hai cây thước, hai đoạn thẳng), «HS có biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», từ đó có biểu tượng về độ dài đoạn thẳng thông qua các đặc tính «dài – ngắn» của chúng» [22, tr.120]. «Từ các biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», HS nhận ra rằng: mỗi đoạn thẳng có một độ dài nhất định» [22, tr.121]. Như vậy, khái niệm độ dài đoạn thẳng không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau biểu tượng «dài hơn – ngắn hơn».  Chu vi một hình [23, tr.130] Chu vi của một hình được giới thiệu thông qua hai ví dụ cụ thể: Tính tổng độ dài các cạnh một hình tam giác và một hình tứ giác, rồi gán cho kết quả vừa tìm được cái tên «chu vi». Từ đó khái quát lên «Tổng độ dài các cạnh của hình tam giác (hình tứ giác) là chu vi của hình đó» [23, tr.30]. Đây được xem như là định nghĩa khái niệm chu vi của hình tam giác (hình tứ giác), nhưng cũng như khái niệm các hình ở trên, thuật ngữ «định nghĩa» không xuất hiện.  Diện tích một hình [25, tr.150] «HS có biểu tượng về diện tích qua hoạt động so sánh diện tích các hình» [26, tr.234] (hình A nằm hoàn toàn trong hình B  diện tích hình A nhỏ hơn diện tích hình B, hoặc so sánh số ô vuông của mỗi hình  so sánh diện tích). Như vậy, khái niệm diện tích một hình không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau hoạt động so sánh diện tích các hình.  Thể tích một hình [29, tr.114] Cách tiếp cận hoàn toàn tương tự khái niệm diện tích một hình. Khái niệm thể tích một hình không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau hoạt động so sánh thể tích các hình. Nhận xét Trong HHGN, tất cả khái niệm đại lượng đều được tiếp cận bằng trực giác, ¾ khái niệm không được định nghĩa mà ẩn đằng sau các hoạt động so sánh, chỉ có duy nhất khái niệm được «chu vi» định nghĩa nhờ khái quát lên từ hai ví dụ minh hoạ (nhưng cũng không dùng thuật ngữ «định nghĩa»). Như vậy, HHGN chỉ giúp HS làm quen và có biểu tượng về các đại lượng này. 1.3.1.2. Tính chất, qui tắc  Các tính chất hình học đều được đưa ra dựa trên quan sát và đo đạc một hình cụ thể, sau đó khái quát lên mà không chứng minh. Theo phân loại của Nicolas Balacheff, đây là kiểu kiểm chứng «Thí nghiệm quyết đoán». Chẳng hạn: Tính chất «hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» ([25, tr.84]) được rút ra nhờ quan sát và đo đạc. Biểu tượng hình chữ nhật đã được hình thành ở lớp 2, lên lớp 3 tính chất hình chữ nhật được phát hiện khi quan sát và đo đạc hình chữ nhật ABCD được vẽ trên giấy kẻ ô vuông: «Lấy êke kiểm tra 4 góc đỉnh A, B, C, D đều là góc vuông», «Lấy thước đo chiều dài 4 cạnh để thấy: 2 cạnh dài có độ dài bằng nhau: AB = CD, 2 cạnh ngắn có độ dài bằng nhau: AD = BC», «Từ đó kết luận: hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» [26, tr.152]. Tính chất «hình thang có một cặp cạnh đối diện song song» ([29, tr.91]) được nhận ra nhờ quan sát. Sau khi cho HS hình thành biểu tượng hình thang qua hình vẽ cái thang, «yêu cầu HS quan sát mô hình lắp ghép và hình vẽ hình thang ABCD trong SGK để tự phát hiện đặc điểm của hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh AB và DC song song với nhau». Từ đó khái quát lên thành tính chất hình thang «HS tự nêu nhận xét: Hình thang có 2 cạnh đối diện song song với nhau» [30, tr.169].  Các quy tắc tính chu vi một hình được thiết lập bằng cách giới thiệu một hình với số đo cụ thể, sau đó nêu thành quy tắc tổng quát mà không chứng minh. - Chẳng hạn: Quy tắc tính chu vi hình chữ nhật được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính chu vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm. Đầu tiên, chu vi hình chữ nhật được tính dựa vào định nghĩa chu vi tứ giác:  4 3 4 3 14 cm    , sau đó làm gọn phép tính:   4 3 x2 14 cm  . «Từ đó, GV nêu quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng (cùng đơn vị đo) rồi nhân với 2» [26, tr.156]. - Quy tắc tính chu vi hình tròn được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính chu vi hình tròn có bán kính 2cm. Hình tròn không có cạnh nên không thể tính chu vi như những hình khác. Do đó, trước tiên [29, tr.97] phải giải thích chu vi hình tròn thông qua một thực nghiệm cho hình tròn có bán kính 2cm lăn một vòng trên thước. «Độ dài của một đường tròn gọi là chu vi của hình tròn đó». Từ đó, tìm được chu vi của hình tròn bán kính 2cm (đường kính 4cm) trong khoảng 12,5cm đến 12,6cm. Ngoài ra, «Trong toán học, người ta có thể tính chu vi hình tròn có đường kính 4cm bằng cách nhân đường kính 4cm với số 3,14: 43,14 = 12,56 (cm)» Từ đó, SGK nêu quy tắc chung: «Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy đường kính nhân với số 3,14. C = d3,14 (C hu vi hình tròn, d là đường kính hình tròn). Hoặc: là c Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy 2 lần bán kính nhân với số 3,14. C = r23,14 (C là chu vi hình tròn, r là bán kính hình tròn)».  h di ành quy tắc tổn tính di hai: cắt ghép để đưa hình cần tính về hình đã biết cách tính (hình chữ nh tính di Cách th ba: nêu thẳ lớp 5 ( tròn, r là bán kính hình tròn». Các quy tắc tín ện tích một hình được thiết lập bằng năm cách: Cách thứ nhất: giới thiệu một hình với số đo cụ thể, sau đó nêu th g quát mà không chứng minh. Cách này chỉ được sử dụng ở lớp 3, dùng để tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông thông qua số ô vuông. Chẳng hạn: Quy tắc ện tích hình chữ nhật được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 4cm và chiều rộng 3cm. Cách thứ ật). Hình sau khi ghép được công nhận là hình chữ nhật nhờ trực giác. Cách này được sử dụng ở lớp 4 và 5. Chẳng hạn: Quy tắc ện tích hình bình hành được thiết lập thông qua việc cắt ghép hình bình hành thành hình chữ nhật. ứ ng quy tắc. Cách này được sử dụng duy nhất một lần ở [29, tr.99]) khi tính diện tích hình tròn: «Muốn tính diện tích của hình tròn, ta lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14. S = rr3,14 (S là diện tích hình Cách thứ tư được sử dụng d Cách thứ năm: suy luậ trường ương là các hình vuông bằng nhau nên: Diện tích xung q ệu quy tắc tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lậ nhất, thông qua nhiệm vụ tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài 20cm, chiều rộng 16cm và chiều cao 10cm ([29, tr.120]). uy nhất 1 lần ở lớp 5 ([25, tr.109]) khi tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật. Đây là cách tiếp cận hỗn hợp của cách 1 và cách 2. n. Để sử dụng cách này thì hình cần tính phải là hợp đặc biệt của hình đã biết quy tắc tính, chẳng hạn: hình vuông (hình lập phương) là hình chữ nhật (hình hộp chữ nhật đặc biệt). Tuy nhiên, khi thiết lập quy tắc tính diện tích hình vuông, [26, tr.24] lưu ý «Chưa sử dụng coi hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt để đưa quy tắc tính diện tích hình vuông». Cách này chỉ xuất hiện duy nhất 1 lần ở lớp 5, «nhận biết hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt để rút ra được quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương từ quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật» [30, tr.189]: «Các mặt của hình lập ph uanh của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 4. Diện tích toàn phần của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 6» [29, tr.111].  Quy tắc tính thể tích một hình Ở bậc tiểu học, SGK chỉ giới thi p phương và được thiết lập tương tự các quy tắc tính diện tích. Cụ thể: Quy tắc tính thể tích hình hộp chữ nhật được thiết lập theo cách thứ Quy tắc tính thể tích hình lập phương được thiết lập theo cách thứ năm: «HS tự tìm ra được cách tính và công thức tính thể tích của hình lập phương như là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật» [30, tr.198]. Bảng 1.2. Bảng thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc Quan Quan sát Tính toán C sát và đo đạc hình cụ thể ắt ghép và quan sát Suy luận Công nhận Tính ch ất 4 / 10 6 / 10 Quy tắc 1/ 14 6 / 14 4 / 14 2 /14 1 / 14 5 / 24 2 / 24 6 / 24 6 / 24 4 / 24 1 / 24 Tổng 2 25% 16,67% 8,33%` 4,17% cộng 0,83% 25% Nhậ Tron n xé g H nh à các c đượ o h à quan sát, đo đạc, tính toán một hình cụ thể, cắt ghép một hình tổng quát về hình quen t u đó khái quát lên thành tính chất, quy tắc chung của hình. Theo phân lo nhận thấy có một số chức toán học chính như sau: t HGN, tí chất v quy tắ c đưa và ầu hết l dựa trên huộc, rồi sa ại của Nicolas Balacheff, các tính chất và quy tắc này được kiểm chứng theo kiểu «Thí nghiệm quyết đoán» và «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc». Thể chế mong muốn HS tiếp cận theo cách này là vì «muốn giữ tính ổn định, kế thừa những nội dung đã học, giúp HS dễ dàng tiếp thu» [31, tr.86]. Cũng như khi đưa vào một khái niệm, thuật ngữ «định nghĩa» không xuất hiện, thì khi đưa vào một tính chất, quy tắc, cũng không có một đề mục nào. Điều này cho thấy HHGN không được xây dựng chặt chẽ, hệ thống. 1.3.1.3. Tổ chức toán ._.học Phân tích chương trình, SGK, SGV tiểu học, chúng tôi tổ Tổ chức toán học OM1: Kiểu nhiệm vụ T1: «Nhận dạng hình» T1 xuất hiện tương đối ít (12 lần) nhưng xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Để giải quyết T1, có những kỹ thuật sau: t cách tổng thể. c của hình. yếu ở lớp 1, 2. HS nhận dạng hình một cách tổng thể, g hất của hình. Cô đã được học. Ví dụ: 1.1 Quan sát hình mộ 1.2 Tìm ra tính chất của các cạnh, gó 1.3 Gấp giấy. Kỹ thuật 1.1 được sử dụng chủ ọi được tên, nhưng chưa cần biết tính c ng nghệ θ1.1: biểu tượng tổng thể của hình mà HS [23 . , tr.85], bài tập 1 SGV hướng dẫn mục tiêu bài này là «củng ài, GV cho yêu cầu giác; b) cố về nhận dạng và nêu tên gọi các hình» [24, tr.145], «Khi chữa b HS trả lời, chẳng hạn: a) Hình tam Hình tứ giác; c) Hình tứ giác; d) Hình vuông; e) Hình chữ nhật; f) Hình vuông (đây là hình vuông đặt lệch đi)» [24, tr.146]. Do đó, chúng tôi dự đoán bài tập này chỉ yêu cầu HS gọi đúng tên hình mà không cần giải thích gì thêm. Kỹ thuật 1.2 được sử dụng ở l để nhận dạng h Công nghệ 1.2: khái niệm hình Ví dụ: ớp 3, 4, 5 (7 lần). Ở các lớp này, HS phải sử ình. kèm theo tính chất của nó. dụng tính chất của hình θ «HS tự nhận biết trước hết bằng trực . Trong các hình đã cho có: nh chữ nhật; [25, tr.84], bài tập 1. giác, sau đó dùng êke để kiểm tra lại 4 góc MNPQ, RSTU là hì ABCD, EGHI không là hình chữ nhật» [26, tr.152]. [27, tr.102], bài tập 1. [28] không trình bày cách HS nhận dạng hình bình hành. Tuy nhiên, dựa vào khái niệm hình bình hành kèm theo các tính chất của nó, chúng tôi dự đoán HS sẽ nhận dạng trước hết bằng trực giác, sau đó dùng thước thẳng có vạch chia để kiểm tra các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Lưu ý: Qua hai ví dụ trên, chúng tôi nh nhận dạng hình trước hết bằng quan sát, nh để kiểm tra lại. Điều này thể hiện việc nhậ được thể chế công nhận, muốn khẳng định ph lớp 3, các hình được vẽ trên giấy kẻ ô vuông và HS c để kiểm tra các tính ch ận thấy đối với kỹ thuật 1.2, việc ưng sau đó HS phải dùng thước và êke n dạng hình bằng quan sát không còn ải kiểm chứng bằng dụng cụ đo. Riêng ó thể quan sát ất của hình. Tuy nhiên, khi giải quyết các nhiệm vụ này, thể chế vẫn yêu cầu HS phải dùng dụng cụ để kiểm tra lại. Sở dĩ như vậy, theo chúng tôi, là để rèn luyện cho HS thói quen nhận dạng hình bằng dụng cụ (các bài tập ở lớp 4, 5 các hình đều vẽ trên giấy trắng không kẻ ô vuông), đồng thời luyện tập kỹ năng sử dụng dụng cụ đo (lớp 3 vừa học về êke). Kỹ thuật 1.3 được sử dụng duy nhất 1 lần ở lớp 5, ngoài việc nắm các tính chất của hình, HS còn phải có khả năng tưởng tượng không gian. Công nghệ θ1.2: khái niệm hình kèm theo các tính chất của nó. Ví dụ: [29, tr.112], bài tập 2. Dựa vào hướng dẫn của [30, tr.190]: «Củng cố biểu tượng về hình lập phương ng (chỉ có hình h hình lập và diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lập phươ 3, hình 4 là gấp được thàn phương)», chúng tôi dự đoán HS sẽ dựa vào biểu tượng hình khai triển của hình lập phương ([29, tr.108]) để trả lời là gấp được, các hình còn lại có thể HS sẽ gấp thử trong óc hoặc cắt giấy và gấp thật xem có được hay không. Bảng 1.3. Bảng thống kê số lượng 1.1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 1.2 1.3 Lớp 1 1 Lớp 2 1 Lớp 3 2 Lớp 4 2 Lớp 5 1 3 1 3 / 11 7 / 11 1 / 11 Tổng cộng 27, % 63,64% 9,09% 27 hận xét Mức độ yêu cầu của th hế đối với kiểu nhi vụ T1 tăng dần th cấp lớp. Ở HS chỉ nhận nh một cách tổ ằng quan sát. 3, HS nhận dạng hình bằng tính hình nhờ qu sử dụng dụn . Các hiệm vụ thuộc T1 luôn có hình vẽ đi kèm, chủ yếu xuất hiện ở lớp 3, 4, 5 ợp tất cả các kỹ thuật đều dựa trên quan sát, đo đạc, gấp giấy. Từ N ể c ệm eo lớp 1 và 2, dạng hì ng thể b Từ lớp chất của an sát và g cụ đo n (72,73%). Tổng h đó dẫn chúng tôi đến kết luận đối với kiểu nhiệm vụ T1, thể chế chỉ yêu cầu HS giải quyết dựa trên quan sát và các hoạt động thực nghiệm mà chưa cần suy luận chứng minh. Tổ chức toán học OM2: Kiểu nhiệm vụ T2: «Tính giá trị đại lượng», bao gồm các kiểu nhiệm vụ khác nhau sau đây: T2.1: Tính độ dài đoạn thẳng. T2.2: Tính chu vi của một hình. T2.3: Tính diện tích của một hình. 1 là kiểu nhiệm vụ con của T2.2, T2.3, T2.4. ất hiện xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5, được iải quyết độ dài đoạn thẳng. dài các đoạn thẳng. ằm giải quyết các xác định độ dài đoạn thẳng bằng dụng cụ đo. í dụ: T2.4: Tính thể tích của một hình. Trong đó T2.  T2.1 «Tính độ dài đoạn thẳng» xu g bằng hai kỹ thuật: 2.1 Dùng thước có vạch chia để đo 2.2 Sử dụng công thức để tính độ Kỹ thuật 2.1 được sử dụng ở các lớp 1, 2, 3 (12 lần), nh nhiệm vụ đo độ dài những đoạn thẳng có sẵn trên hình vẽ hoặc trong thực tế. Công nghệ  2.1: cách V [21, tr.120], bài tập 4. Để giải quyết bài tập này, HS dùng đo và viết số đo đoạn h hợp» thước có vạch chia để từng đoạn thẳng. «GV hướng dẫn HS tự đo độ dài thẳng và viết số đo vào chỗ thíc [22, tr.144]. Kỹ thuật 2.2 được sử dụng ở các l m g nhiệm vụ tính độ dài đoạn thẳng khi chỉ bi Công nghệ 2.2: quy tắc, công thứ ện tích, thể tích của một hình. Ví dụ: ớp 3, 4, 5 (9 lần), nhằ iải quyết các ết mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình. c tính chu vi, di  [25, tr.174], bài tập 4. một h hu vi. Biết hình chữ nhật có chiều dài Lời giải bài t p này được trình bày ở [26, tr.176]: chu vi hình chữ nhật)... Chu vi hình chữ nhật là: «Một hình chữ nhật và «Hướng dẫn HS: Muốn tính cạnh hình vuông, có thể tính chu vi hình vuông rồi lấy chu vi đó chia cho 4... Từ đó, ình vuông có cùng c cần tính chu vi hình chữ nhật (vì chu vi hình vuông bằng ậ 60m, chiều rộng 40m. Tính độ dài cạnh hình vuông». (60 + 40) 2 = 200 (m) Cạnh hình vuông là: 200: 4 = 50 (m) Đáp số: 50m»  T2.2, T2.3, T2.4 « nhiều lần, xuyên suốt từ lúc b 3, thể tích – lớp 5) đến h sau: Tính chu vi, diện tích, thể tích của một hình» xuất hiện rất ắ u vi – lớp 2, diện tích – lớp ết ch iể iải quyết bằng các kỹ thuật 2.3 Đếm số ô vuông iện tích của một hình. 2.4 Tìm độ dài các ng các quy tắc, công thức tính chu vi, Kỹ thuật 2.3 chỉ được sử dụng ở lớp3 (2 lần), nhằm giúp HS củng cố biểu tượng diện Cô Ví dụ: t đầu học đại lượng đó (ch ương trình t u học, được g đơn vị để tính d cạnh, rồi áp dụ diện tích, thể tích của một hình. 2.5 Thiết lập công thức tính chu vi, diện tích, thể tích của một hình bằng chữ, rồi thế số trong các trường hợp cụ thể. tích. ng nghệ  2.3: khái niệm diện tích của một hình. 4], bài tập 1. [25, tr.17 [26, tr.277] đã hướng dẫn giải bài tập này ố ô vuông 1cm2 để tính Chẳng hạn: A là 8cm2 ; tích hình C là 18cm2 ; ưng diện tích bằng nhau)». như sau: «Yêu cầu HS đếm s diện tích các hình A, B, C, D (trong SGK). Diện tích hình Diện tích hình B là 10cm2 ; Diện Diện tích hình D là 8cm2 . (Có thể thấy hình A và D tuy có hình dạng khác nhau nh Kỹ thuật 2.4 chiếm ưu thế (xuất hiện dài các cạnh có thể tìm theo kỹ thuật 2.1, 2.2 (ki g cũng có thể độ dài các cạnh được cho sẵn. Công nghệ 2.4: biểu tượng, kh tính chu vi, diện tích, thể tích. Ví dụ: 159 lần) từ lớp 2 đến lớp 5. Độ ểu nhiệm vụ con T2.1), nhưn ái niệm của các hình và quy tắc, công thức  [23, tr.130], bài tập 1. «Tính chu vi hình tam giác có độ dài các cạnh: ) 7cm, 10cm và 13cm. b) 20d Câu a được làm mẫu trong [23, tr.130] như sau: «Chu vi hình tam giác là: a m, 30dm và 40dm. c) 8cm, 12cm và 7cm» 7 + 10 + 13 = 30 (cm) Đáp số: 30cm» Kiểu nhiệm vụ như trên (cho sẵn độ dài các cạnh, không kèm theo hình vẽ) xuất hi nh. Nhưng bắt đầu từ lớp 3 và nhiều nhất là lớp 5, kỹ riển mới khi các u ữa. Lúc này, kỹ ước là tách các hình đ quy tắc, ện rất nhiều (73 lần) khi mới bắt đầu học các quy tắc, công thức tính chu vi, diện tích và thể tích của một hì thuật 2.4 đã có một bước tiến t hình cần tính (cho sẵn độ dài các en thuộc đã học ncạnh trên hình vẽ) không phải là những hình q thuật 2.4 phải thêm một b ó thành những hình đã có công thức tính. Ví dụ: [29, tr.179], bài tập 1. Lời giải bài tập h bày trong [30, 10 này đã được trìn «a. Tính diện tích của phần đã tô màu. b. Tính chu vi của phần không tô màu». tr.278] như sau: «Ghép các mảnh đã tô màu của hình vuông, ta được một hình tròn có bán kính là 10cm, chu vi của hình tròn này chính là chu vi của phần không tô màu. a. Diện tích của phần đã tô màu là: 103,14 = 314 (cm ) 2 b. Chu vi của phần không tô màu là: 1023,14 = 62,8 (cm)» Kỹ thuật 2.5 chỉ xuất hi Công nghệ 2.2: quy tắc, công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình. ện 6 lần ở lớp 4.  Qua đó, thể chế mong bước chuyển chu m ẩn bị cho HS tổng quát (xây dựng quy tắc v g cho mọi trường hợp cụ thể), không như những lớp dưới (HS giải quyết c số đo cụ thể cho từng bài). Đến lớp 5, các qu đ c o công thức, do đó kỹ thuật này không còn dụng Ví dụ: uốn củng cố biểu tượng và các quy tắc tính, làm tiếp cận HHSD. Ở đây, HS làm việc trên một hình à áp dụn mỗi bài riêng biệt, theo hình vẽ hoặ y tắc tính ượ phát biểu kèm the sử ở lớp 5. [28, tr.86] chỉ trình bày đáp số: = a + b + c [27, tr.44], bài tập 4. «a. P b. Nếu a = 5cm, b = 4cm, c = 3cm thì P = 5cm + 4cm + 3cm = 12cm» nhưng theo quy tắc tính chu vi tam giác đã được học, chúng tôi dự đoán HS dễ dàng giải quyết bài tập này. Bảng 1.4. Bảng thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 2.2 5 2.1 2.3 2.4 2. Lớp 1 6 Lớp 2 2 13 Lớp 3 3 4 2 32 Lớp 4 1 1 30 6 Lớp 5 4 84 12 9 2 159 6 Tổng cộng 6,38% 4,79% 1,06% 84,57%% 3,19% Nhận xét 2.1 là kiểu nhiệm vụ quan trọng, cho phép giải quyế rất nhiều kiểu nhiệm v tạp hơn sau này (Tính giá trị đại lượng chu vi, diệ h, thể tích a một hình và so sánh giữ ác hình...). thuật để gi quyết T2.1 ợc tiến triển từ 2.1 (lớp 1, 2, 3) lên 2.2 (lớp 3, 4, 5) cho thấy ngoài việc củng cố kỹ năng sử dụng dụng T t ụ phức n tíc củ a c Kỹ ải đư c hể chế còn c đầu yê ầu HS suy luận (tuy không nhiều), làm bước c chuẩn bị cho HS tiếp c HHSD ở cấ THCS. T2.3, T xuất hiện xuyên suốt từ p 2 đến lớ ới mức độ u cầu của thể chế tăng ệc á các qu tín ện tíc ích ủa các hình quen thuộc đến việc phải thiết lập công thức tính trong trường hợp ng q h những hình không có quy tắc tính. Sự xuất hiện chiếm ưu thế (84,57 ụ đo, t bướ u c huyển để ận p T2.2, 2.4 lớ p 5, v yê dần: từ vi p dụng y tắc để h chu vi, di h, thể t c tổ uát hoặc tín %) của kỹ thuật 2.4 cho thấy đối với kiểu nhiệm vụ T2, thể chế mong muốn củng cố biểu tượng và quy tắc, công thức tính chu vi, diện tích, thể tích của các hình. Tổ chức toán học OM3: Kiểu nhiệm vụ T3: «Tạo ra một hình hình học» T3 xuất hiện chiếm ưu thế, xuyên suốt từ chương trình tiểu học, bao gồm các kiểu nhiệm vụ khác nhau sau đây: T3.1 Vẽ theo mẫu. T3.2 Vẽ thêm từ một số yếu tố cho trước. T3.3 Vẽ theo số đo cho trước (độ dài và góc vuông). T3.4 Gấp giấy.  Kiểu nhiệm vụ T3.1 xuất hiện từ lớp 2 đến lớp 5 (chủ yếu là lớp 2). Kỹ thuật 3.1: quan sát và vẽ lại theo mẫu. u tượng về các hình ở vị trí (thẳng, nghiêng) khác nhau, đ ke, compa) để vẽ. Mức độ Qua đó, HS củng cố biể ồng thời thực hành, sử dụng các dụng cụ (thước, ê yêu cầu tăng dần theo cấp lớp, thể hiện qua mức khó của hình cần vẽ. Ví dụ: [23, tr.64], bài tập 5. [24, tr.121] hướng dẫn: «HS tự chấm các điểm vào vở theo mẫu ước nối 4 điểm nên cho HS nhận dạng hình mới vẽ được (hình vuông đặt trong SGK rồi dùng bút và th để có hình như SGK. GV lệch)». Như vậy, qua việc vẽ hình, HS được củng cố thêm về biểu tượng hình vuông. [27, tr.55], bài tập 2. [28, tr.106] lưu ý: «a. Qua hình vẽ này, có thể cho HS nhận điểm các cạnh của là 2 ô». i đường ng vuông góc với nhau h vuông xét: Tứ giác nối trung một hình vuông là một hình vuông. b. Muốn vẽ hình bên, ta có thể vẽ hình như phần a) rồi vẽ thêm hình tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo của hình vuông, có bán kính Như vậy, dựa vào hình vuông bên trong, HS có thể phát hiện ra tính chất: Ha chéo của hình vuô và bằng nhau; dựa vào 2 hình vuông lồng nhau, HS có thể phát hiện tính chất: Các trung điểm của các cạnh một hìn là các đỉnh của một hình vuông khác. Kiểu nhiệm vụ T3.2 xuất hiện x trước ở đây có thể là một vài điểm, m hoàn chỉnh. Kỹ thuật 3.2: quan sát, đo đạc dụng kỹ thuật 3.2 giúp HS củng cố b các dụng cụ để vẽ. Tuy nhiên, 3.2 k mới vẽ, phải nắm tính chất của các hìn Công nghệ 3.2: biểu tượng, kh Phân tích hệ thống bài tập, ch theo cấp lớp, do đó có sự tiến triển tro cầu HS nối những điểm cho trước để được hình (số lượng điểm vừa đủ). Từ lớp 2 trở đi, uyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Các yếu tố cho ột vài cạnh, và yêu cầu HS vẽ để được hình và sử dụng dụng cụ để vẽ. Cũng như 3.1, sử iểu tượng về các hình và thực hành sử dụng hó hơn ở chỗ HS phải tự hình dung hình rồi h để vẽ chính xác. ái niệm, tính chất của các hình. úng tôi nhận thấy mức độ yêu cầu tăng dần ng kỹ thuật 3.2. Ở lớp 1, thể chế chỉ yêu  số lượng điểm cho trước nhiều hơn số lượng điểm cần dùng, hoặc phải tự xác định những điểm còn lại để nối. Ví dụ: [29, tr.92], bài tập 3. [30, tr.169] không nêu rõ cách làm hực hiện thao tác vẽ trên a vào biểu ngang. của HS mà chỉ trình bày «Thông qua việc vẽ hình nhằm rèn luyện kỹ năng nhận dạng hình thang. Mức độ: Chi yêu cầu HS t giấy kẻ ô vuông». Dự tượng hình thang đã được học cùng với giấy vẽ là giấy kẻ ô vuông, chúng tôi dự đoán HS sẽ dễ dàng vẽ được hình thang với 2 cạnh đáy nằm  Kiểu nhiệm vụ T3.3 xuất hiện xuyên su Kỹ thuật 3.3: Tìm số đo (độ dài và g hình, rồi dùng dụng cụ để vẽ. Công nghệ 3.3: biểu tượng, khái niệ chu vi, diện tích, thể tích của các hình. Cũng như T3.2, đối với kiểu nhiệm v cũng tăng dần theo cấp lớp, do đó có sự tiến 1, 2 thể chế chỉ yêu cầu HS vẽ đoạn thẳng b vuông bằng êke và vẽ đường tròn biết trước t 2 kỹ năng trên để vẽ hình chữ nhật (biết trư vuông (biết trước độ dài cạnh). Lên lớp 5, m êu cầu cao nhất, các hình thể qua mối liên hệ giữa cá ốt từ lớp 1 đến lớp 5. óc) từ mối liên hệ giữa các yếu tố của m, tính chất và quy tắc, công thức tính ụ T3.3, mức độ yêu cầu của thể chế triển trong kỹ thuật 3.3. Cụ thể, ở lớp iết trước độ dài. Ở lớp 3, HS vẽ góc âm, bán kính. Lớp 4, HS phải kết hợp ớc chiều dài, chiều rộng) và vẽ hình ức độ y  chế yêu cầu vẽ không có kích thước cụ thể mà HS phải tự tìm thông c yếu tố của hình. Ví dụ: [29, tr.25], bài tập 4. [30, tr.65] trình bày lời giải như sau: 4 «Tính diện tích hình chữ nhật ABCD: 3 = 12 (cm2) Nhận xét được: 12 = 62 = 26 = 121 = 112 Vậy có thể vẽ hình chữ nhật MNPQ có chiều dài 6cm, chiều rộng 2cm hoặc có chiều dài 12cm, chiều rộng 1cm. Lúc này, hình chữ nhật MNPQ có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ABCD nhưng có các kích thước khác với các kích thước của hình chữ nhật ABCD». Kiểu nhiệm vụ T3.4 xuất hiện rất ít (4 l , 5. Kỹ thuật 3.4: gấp giấy từng bước theo T3.4 nhằm củng cố biểu tượng cho H g ng không gian (hình mẫu là hình không gian 3 iấy). Ví dụ: ần) ở các lớp 3, 4 mẫu cho trước. S, đồng thời rèn luyện trí tưởn tượ chiều, được vẽ trên mặt phẳng là tờ g [25, tr.43], bài tập 2. Các bước gấp đã được thể hiện trên hình vẽ, [26, tr.83] chỉ lưu ý thêm về bài tập này: «Có tính chất thực hành. Các em có thể lấy góc vuông này thay êke để kiểm tra, nhận biết góc vuông (trong trường hợp không có hoặc quên êke ở nhà)». Bảng 1.5. Bảng thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3 3.1 3.2 3.3 3.4 Lớp 1 6 3 Lớp 2 11 9 3 Lớp 3 3 7 9 2 Lớp 4 1 8 6 1 Lớp 5 1 1 3 1 16 31 24 4 Tổng cộng 21,33% 41,33% 5,33% 32% Theo bảng thố ên, mỗi kỹ t đều xuất x ện xuyên su c lớp tỏ không có sự ti n triển giữa kỹ thuật, mà chỉ có ến triển trong từng kỹ o mức độ yêu c ủa thể chế tă ần. Ngoài ra ôi nhận t y kiểu vụ T3 xuất hiện 75 lần, và 94,66% số hình hình h được tạo ra t iệc vẽ ước thẳng, êke, c đo độ, compa. Điều đó cho t y HH ở bậc tiể ọc rất ng đến việc rèn luyện kỹ năng sử ụng dụng cụ đ vẽ hình. Đây là bước ải qu các kiểu nhiệ phức tạp hơ ậc THCS. Nhận xét ng kê tr thuậ uất hi ốt cá chứng ế sự ti thuật d ầu c ng d , chúng t hấ nhiệm ọc ừ v bằng th thướ hấ u h chú trọ d o để chuẩn bị để HS gi yết m vụ n ở b Tổ chức toán học OM4: m vụ T4: «So sánh giá trị hai đại lượng», bao gồm các kiểu Kiểu nhiệ nhiệm vụ khác nhau sau đây: T4.1 So sánh độ dài hai đoạn thẳng. T4.2 So sánh chu vi hai hình. T4.3 So sánh diện tích hai hình. T4.4 So sánh thể tích hai hình. Để giải quyết T4 có một kỹ thuật chung là  4.1: Tính giá trị từng đại lượng (kiểu nhiệm vụ T2) rồi so sánh. Công nghệ 4.1: Các tính chất, quy tắc và công thức tính chu vi, diện tích Ví dụ:  thể tích của một hình. [25, tr.87] ữ nhật ABCD và MN «Yêu cầu HS tính chu vi mỗi hình chữ nhật à MNPQ (theo kích thước đã biết) i so sánh số đo chu vi của hai hình đó, , bài tập 3. «So sánh chu vi hai hình ch [26, tr.157] đã hướng dẫn giải như sau: PQ». ABCD v rồ chẳng hạn: u vi hình chữ nhật ABCD là: Ch 2 = 188 (m) (63 + 31) Chu vi hình chữ nhật MNPQ là: (54 + 40)2 = 188(m) Vậy chu vi hai hình chữ nhật bằng nhau». Ngoài kỹ thuật chung  4.1, đ thuật 1, diện tích của mộ Công nghệ 4.2: biểu tượng về Ví dụ: ể giải quyết T4.1 và T4.3, còn có kỹ 4.2: Quan sát. Kỹ thuật này xuất hiệ dài đoạn thẳng: lớp n khi mới bắt đầu hình thành biểu tượng (độ t hình: lớp 3). độ dài đoạn thẳng, diện tích của một hình.  [25, tr.150], bài tập 1. «Câu nào đúng, câu nào sai? . Diện tích hình tam giác ABC lớn hơn diện tích hình tứ giác ABCD. b. Diện tích hình tam giác ABC bé hơn c [26, tr.235] đã hướng dẫn c ABC nằm h tứ giác iện tích hình n đúng, câu a và câu c sai». a diện tích hình tam giác ABC bé hơn diệ tứ giác ABCD. . Diện tích hình tam giác ABC bằng diện tích hình tứ giác ABCD». tích hình tứ giác ABCD. Từ đó khẳng định câu b như sau: «Hình tam giá trọn trong hìn ABCD nên: D Để giải quy t kiểu nhiệm vụ T4.3 và T4.4 còn có thêm kỹ thuật 4.3: Đếế m ợ ể t t hình. số ô vuông / số hình lập phương.. ng về diện tích và th Công nghệ  4.3: biểu tư ích của mộ Ví dụ: [25, tr.150], bài tập 2. «So sánh diện tích hình P và hình Q». [26, tr.235] hướng d «Phân tích để HS ẫn giải như sau: hấy hình P có số ô vuông hơn hình Q (10 ô vuông) lớn hơn diện tích hình Q». t (11 ô vuông) nhiều nên diện tích hình P Riêng đối với kiểu nhiệm vụ T4.3, chúng tôi còn tìm thấy kỹ thuật  4.4: Cắt ghép hình. Kỹ thuật này xuất hiện rất ít (3 lần) ở các lớp 3, 4. Những nhiệm vụ giải u có n giản hơn đoán ng nghệ 4.4: biểu tượng Ví dụ: quyết bằng kỹ thuật này thì đề thể giải quyết bằng những kỹ thuật đơ ( 4.1, 4.3) nên chúng tôi dự Cô HS rất ít khi sử dụng kỹ thuật này. , tính chất của hình và biểu tượng diện tích.  [27, tr.64], bài tập 5. «So sánh diện tích hình vuông và hình chữ nhật» [28, tr.119] hướng dẫn: - Không tính diện tích các hình, chỉ cắt ghép hình để so sánh (cắt hình chữ nhật đã cho theo ch «GV yêu cầu HS quan sát hình vuông và hình chữ nhật (hình dạng và kích thước) để phát hiện mối quan hệ diện n - Tính diện tích hai hình rồi so sánh. iều dài để có ộng 5cm rồi tích giữa 2 hình theo các hướ g: được 2 hình chữ nhật bằng nhau chiểu dài 10cm, chiều r ghép lại thành hình vuông; hoặc cắt đôi hình vuông thành 2 hình chữ nhật bằng nhau rồi ghép lại thành hình chữ nhật)». Bảng 1.6. Bảng thống kê số lượng T4.1 T4.2 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 T4.3 T4.4 4.1 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.1 4.3 Lớp 1 1 Lớp 2 1 Lớp 3 1 3 2 1 3 1 Lớp 4 6 1 5 2 Lớp 5 1 1 11 1 1 2 8/10 2/10 5/5 18/26 1 3/26 1/3 2/3 /26 4/26 Tổng ộng 80% 20% 100% 69,23% 3,85% 15,38% 11,54% 33,33% 66,67%c Nhận xét Kỹ 4. đư dụ ần 1, và uật cũ ỉ đ dụng 3 l n ( 3, 4) o thấy hể chế gày c g hạn chế so sánh giá tr ai đ g bằ g an t và c ghép h Vớ 5 lần xuất hiện, kỹ th 4.3 c ng c m đích củ ố b tượng về diệ ích, t ỹ th t .1 áp đảo o thấy là k thuật mà thể ế mon ốn. Tuy n ỹ th đượ iến tri heo c p lớp. Chẳng h n đến l 5, so h d h c h k cho t S i tí n t ng theo h ( ằ ữ) sá suy luậ , không đo đạc, tính toán, so sánh trên các số cụ thể nữa. Đây có thể xem là bước c HS chuẩn bị cho việc học HH ở bậc THCS sau này. Ví dụ: thuật  ầ qu 2 chỉ ợc sử ng 3 l (lớp 2, 3) kỹ th  4.4 ng ch ược sử lớp ch t n àn ị h ại lượn n sá ắt ình. i uật  ũ hỉ nhằm ục ng c iểu n t hể tích. K uậ 4 ch đây ỹ ch g mu hiên, k uật này cũng c t ển t ấ ạ ớp sán iện tíc kí hiệu b ác hìn hông kích hước, H phả nh diệ ích từ hình cạn ng ch và so nh hai biểu thức chữ. Như vậy, thể chế đòi hỏi HS phải n huyển, giúp [29, tr.128 , bài tập 3a. ] [30, tr.207] hướng dẫn n ư sau: «Đặt cạnh hình lập phương N là a. Do đó, cạnh của hình lập p ương M là a h h 3. Diện tích toàn phần của: Hình N là aa6. Hình M là (a3) (a3)6 = (aa6) (33) = (aa6)9 Vậy diện tích toàn phần của hình M gấp 9 lần diện tích toàn phần của hình N». Trong HHGN, T4 xuất hiện nhằm củng diện tích, thể tích của các hình. Tổng kết kỹ th cố biểu tượng và quy tắc tính chu vi, uật giải đều dựa trên đo đạc, tính toán trên các số đo cụ thể, quan sát, đếm, cắt ghé /44 bài phải tính toán bằng chữ (hình không cho kích thướ p hình, chỉ có duy nhất 1 c). Tổ chức toán học OM5: Kiểu nhiệm vụ T5: «Khẳng định tính Phân tích chương trình, SGK tiểu học, học chủ yếu là những khái niệm mới, ít đề cậ chất của các hình (từ lớp 3, HS m 5.2 Đo đạc. luận ngay hoặc quan sát hình trên giấy kẻ ô vuông để thấy các cạnh bằng nhau và các góc vuông, t ện tính chất của hình. Côn biểu tượng, khái niệm, tính chất của các hình đã học. Ví dụ: đúng đắn của một mệnh đề» chúng tôi nhận thấy Hình học bậc tiểu p đến tính ới bắt đầu học tính chất của hình). Hơn nữa, các mệnh đề thường vừa là khái niệm, vừa là tính chất. Do đó, T5 xuất hiện với tần số tương đối ít, từ lớp 3 đến lớp 5. Giải quyết T5 có các kỹ thuật sau: 5.1 Quan sát. 5.3 Cắt ghép hình. 5.4 Gấp giấy. 5.5 Vẽ hình. 5.6 Suy luận (1 bước). 5.7 Công nhận. Kỹ thuật 5.1 được sử dụng 3 lần ở lớp 3, 4. HS chỉ quan sát hình rồi kết ừ đó phát hi g nghệ  5.1: [27 «Hai đườ ong với nhau không bao giờ cắt n Biểu tượng hai đường thẳng song song hình thành ở [27, tr.51]: «Kéo dài hai cạnh AB và DC của hình chữ nhật ABCD, ta , tr.51] ng thẳng song s hau». được hai đường thẳng song song». [28, tr.98] hướng dẫn cách u hai đường thẳng kéo ». đưa vào tính chất hai đường thẳng song song như sau: «Tô mà dài này… GV cho HS nhận thấy «Hai đường thẳng song song với nhau không bao giờ cắt nhau [25, tr.84] [26, tr.152] hướng dẫn cách đưa vào tính chất hình chữ nhật: «Lấy êke để kiểm tra 4 góc là góc vuông. Lấy thước đo độ dài 4 cạnh để thấy: 2 cạnh dài là AB CD , 2 cạnh ngắn AD BC . Từ đó kết luận: Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh ngắn bằng nhau». Kỹ thuật 5.2 được sử dụng 5 lần từ lớp 3 khẳng định chủ yếu là tính chất các đường chéo củ định cũng chỉ được nhận xét thông qua yêu cầu bài ứ kh hóa bằng lời. Công nghệ 5.2: cách sử dụng dụng cụ đo. Ví dụ: đến lớp 5. Các mệnh đề được a hình. Tuy nhiên, việc khẳng toán, ch ông được thể chế  [27, tr.55], bài tập 3. «Hãy vẽ hình vuông ABCD có cạnh 5cm, rồi kiểm tra xem hai đường chéo AC và BD: [28, tr.106] hướ «Trước hết, H 5cm (theo cách rong SGK). Sau đó: - Dùng êke để kiểm tra thấy hai đường chéo ng dẫn: S vẽ hình vuông ABCD cạnh vẽ như t a. Có vuông góc với nhau hay không; b. Có bằng nhau hay không». AC và BD vuông góc với nhau. - Dùng thước đo để kiểm tra thấy hai đường chéo AC và BD bằng nhau». Kỹ thuật 5.3 được sử dụng 4 lần ở các lớp 4, 5. Thông qua việc cắt ghép thiết lập được quy tắc tính diện những hình mới thành hình quen thuộc (đã học), HS tích của hình. Công nghệ  5.3: biểu tượng các hình và các quy tắc, công thức tính diện tích. Ví dụ: Xây dựng quy tắc và thoi, hình tam giác, hình công thức tính diện tích hình bình hành, hình thang (xem giấy, HS củng tính chất của hình. mục 1.3.1.2) lần ở lớp 4. Thông qua việc gấp Kỹ thuật 5.4 được sử dụng 2 cố thêm Ví dụ: [27, tr.144], bài tập 4. [28, tr.248] giải thích các đặc điểm của bài tập này «nhằm giúp HS nhận dạng «Gấp tờ giấy hình thoi (theo hình vẽ) để kiểm tra các đặc điểm sau của hình thoi: - Bốn cạnh đều bằng nhau. - Hai đ - Hai đ ường chéo vuông góc với nhau. hình thoi qua hoạt ường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường». động gấp hình». Kỹ thuật 5.5 được sử dụng 2 lần ở lớp 3. Thông qua biểu tượng, khái niệm và các tính ch việc vẽ hình, HS phát ất của hình. hiện thêm tính chất của hình. Công nghệ  5.1: Ví dụ: [25, tr.86], bài tập 4. «Vẽ «Nếu có theo giác tạo thành do nối các tru [26, tr.155] đã lưu ý khi giải qu thời gian, GV có thể n ủa hình vuông cũng là một hình vuông (kiểm tra lại bằng êke để có 4 góc vuông và đo độ dài thấy 4 cạnh bằng nhau)». yết bài tập này: cho HS biết hình tứ g điểm các cạnh c mẫu» Kỹ thuật 5.6 được sử dụng 3 lần ở lớp 5 (xây dựng quy tắc tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương). Tuy xuất hiện ít, kiến thức đơn giản, có gợi ý từng bước (nếu cần), nh ng đây là bước chuyển quan ượng, khái niệm, tính chất của các hình đã học. ư trọng, giúp HS tiếp cận và tập làm quen với HHSD ở bậc THCS. Công nghệ  5.1: biểu t Ví dụ: [29, tr.111], bài «Diện [30, tr.189] đã viết: «Hướng dẫn HS n h phần của hình lập mặt của hình lập hương là các hình vuông bằng nhau nên: Diện hận biết iệt để o quy tắc tính diện tích xung ương tích xung quanh và diện tíc được hình lập phương là hình chữ nhật đặc b toàn phương». «Các tự rút ra được quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương từ quy tắc tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật». Như vậy, việc đưa và p tích xung quanh của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 4. Diện tích toàn phần của hình lập quanh, diện tích toàn phần của hình lập phương thông qua một bước suy luận A  B, trong đó: A = «Các mặt của hình lập phương là các hình vuông bằng nhau». phương bằng diện tích một B = «Diện tích xung quanh của hình lập ph mặt nhân với 6». bằng diện tích một mặt nhân với 4. Diện tích toàn phần của hình lập phương bằng diện tích một mặt nhân với 6». Ở lớp 3, bài «Diện tích ắc tính diện tích hình chữ uông trên một h ích n, là vì khi ấy HS mới vừa học bài «Diện tích của một hình» và hình chữ nhật là hình đầu tiên HS học cách tính hình vuông» nằm ngay sau bài «Diện tích hình chữ trang 241 hướng dẫn: «Giới thiệu quy tắc tính diện g tự như giới thiệu quy t nhật». Tuy nhiên, SGV lớp 3, tích hình vuông: cách làm tươn nhật (tính số ô v hình cụ thể, suy ra diện tích của hình đó, rồi tổng ưa sử dụng «coi hình vuông là hình chữ nhật đặc ện tích hình vuông». Thực ra, quy tắc tính diện t quát thành quy tắc). Lưu ý: C biệt» để đưa ra quy tắc tính di hình vuông có thể được suy luậ SGV lại hướng dẫn như vậy, th n từ quy tắc tính diện tích hình chữ nhật. Thế nhưng eo chúng tôi dự đoá diện tích, HS cần xây dựng qu tính diện tích hình y tắc tính diện tích hình vuông độc lập với quy tắc m củng cố biểu tượng về diện tích của một hình. ụng 2 lần ở lớp 5 (khi giới thiệu quy tắc tính chu vi chữ nhật nhằ Kỹ thuật 5.7 được sử d và diện tích hình tròn). 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Để xây dựng quy tắc tính chu vi hình tròn, [29, tr.97] lấy một hình tròn cụ thể (hình tròn bán kính 2cm); tính độ dài một điểm trên đường tròn khi lăn một vòng và tính đường kính của hình tròn nhân với 3,14; rồi so sánh hai số liệu thấy gần bằng nhau. Từ đó, công nhận công thức tính chu vi của hình tròn. Đối với diện tích của hình tròn, [29, tr.99] giới thiệu quy tắc và công thức ngay mà không giải thích gì thêm. [30, tr.175 và tr.177] cũng chỉ yêu cầu «HS nắm được quy tắc, công thức tính chu vi (diện tích) hình tròn và biết vận dụng để tính chu vi (diện tích) hình tròn». Sự xuất hiện rất ít (2 lần) của kỹ thuật 5.7 cho thấy chương trình, SGK đã hạn chế đến mức tối đa việc công nhận một tính chất, quy tắc toán học. Bảng 1.7. Bảng thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 5.1 Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 2 6 2 Lớp 4 2 3 4 2 Lớp 5 5 1 3 2 7 /32 6 / 32 10 / 32 2 /32 2 / 32 3 / 32 2 / 32 Tổng cộng 21,88% 18,75% 31,25% 6,25% 6,25% 9,38% 6,25% Nhận xét So với những tổ chức toán học trước, OM5 chiếm số lượng ít hơn hẳn (32 tính chất, quy tắc), chỉ xuất hiện ở các lớ 3, 4, 5 (vì từ lớp 3, HS mới bắt đầu làm quen v h một p ới các tính chất của hình, trước đó chỉ hình thành biểu tượng các hìn cách tổng thể) nhiê là t c To c qu ng th n đặ g H c ở bậc tiểu học. Các khẳng nh chủ ếu dựa trên quan sát, đo đạc, cắt g h, gấp g y trên m t hình cụ hể rồi tổ g quát lên thành tính chất, quy tắc chung (84,37%), chỉ có 9,38% mệnh ề được khẳng định bằng một bước suy luận đ 6,25% được công nhận. N ư vậy, Hình học ở c tiểu họ là HHGN. 1 Đặc tr ủa s n v m Cách g Các phân tích ở phần 1.3.1.2 và 1.3.1.3 (tổ chức toán học OM5) cho thấy c hợp thức chủ yếu dựa trên quan sát và các hoạt động thực » 9, tr.111]. anh, diện tích toàn phần của hình hư hình hộp chữ nhật, nghĩa là thông qua việc gi n cụ thể này, HS tính diện tích xung quanh của hình hộp ch nh diện tích xung quanh và diện tích toàn c hình lập . Tuy n, đây ổ chứ án họ an trọ ể hiệ c trưn ình họ đị y hép hìn iấ ộ t n đ._. tồn tại tứ giác MNPQ, dựa trên việc quan sát, đo đạc hình vẽ có sẵn, trong đó: - HS 45 nhận xét 3 điểm N, P, Q thẳng hàng nhờ đo đạc: «Đo khoảng cách từ N đến Q; nếu không qua đường gấp khúc tại điểm P thì NQ = 13cm. N, P, Q thẳng hàng Vậy ta có MNQ chứ không phải là tứ giác». - 3 HS quan sát hình vẽ nhận xét 3 điểm N, P, Q có thể thẳng hàng, chẳng hạn HS 142: «Theo hình vẽ, rất có khả năng 3 điểm N, P, Q thẳng hàng  MNPQ không còn là tứ giác». - Có 9 HS cho rằng theo hình vẽ, hai cung tròn (N; 6cm) và (Q; 7cm) không cắt nhau / chưa chắc cắt nhau / có thể không cắt nhau, chẳng hạn HS 71: «Sai vì hai cung tròn (N; 6cm) và (Q; 7cm) có thể không cắt nhau (vẽ hình cẩn thận hơn có thể thấy điều đó)». Trong số đó, có 3 HS cho rằng 2 cung tròn chỉ «chạm nhau», «đụng nhau» mà không cắt nhau, chẳng hạn HS 165: «Bạn Khoa vẽ được đoạn MN và MQ, nhưng hai đoạn NP và PQ vẽ sai vì hai đường tròn không cắt nhau mà chỉ đụng nhau. Vậy là không tìm được điểm P, bạn vẽ sai». Điều này có thể giải thích là do đây là các HS lớp 8, chưa được học vị trí tương đối của hai đường tròn. - Ngược với 9 HS ở trên, có 12 HS cho rằng bài giải HS giả định đưa ra là sai vì hai cung tròn (N; 6cm) và (Q; 7cm) có nhiều giao điểm. Chẳng hạn: HS 158 viết: «Theo hình, ta thấy đường tròn tâm N và đường tròn tâm Q tiếp xúc nhau một đường dài. Nếu ta lấy điểm cắt nhau ở vị trí khác thì sẽ không được» (4 điểm). HS 168 thì giải thích: «Vì đường tròn tâm N gặp đường tròn tâm Q và chúng áp sát vào nhau một đoạn a chứ không phải cắt nhau. Do đó, điểm P có thể nằm ở bất cứ chỗ a nào» (6 điểm). Đây là các HS khối 8, nên chưa được học vị trí tương đối giữa hai đường tròn. Tuy cùng đánh giá bài giải có sẵn sai vì hai cung tròn (N; 6cm) và (Q; 7cm) có nhiều giao điểm, nhưng HS 158 khẳng định «lấy điểm cắt nhau ở vị trí khác thì sẽ không được», còn HS 168 thì «điểm P có thể nằm bất cứ chỗ a nào». Hai ý kiến này trái ngược nhau. Dù hình vẽ và các bước vẽ không thể hiện cách chọn điểm P trong số nhiều điểm giao nhau (phải lưỡng lự khi chọn giao điểm) và dù HS đã đủ kiến thức để suy luận, nhưng HS vẫn dựa vào hình vẽ để trả lời. Điều này chứng tỏ hình vẽ có vai trò rất quan trọng đối với HS.  Chỉ có 55 HS (tỉ lệ 30,39%) sử dụng chiến lược S2, nghĩa là nhận xét bài giải có sẵn là sai bằng cách suy luận để chứng minh được 3 điểm N, P, Q thẳng hàng, do đó không có tứ giác MNPQ. Chẳng hạn HS 82: «Ta có: 090NMQ Áp dụng định lí Pitago với MNQ :    2 2 2 2 2 25 12 169 13 13 1       NQ MN MQ NQ cm Mà ta có: 6 7   NP c QP cm m  6 7 13 2   NP QP cm Từ (1) và (2) suy ra P phải nằm trên NQ do NP + QP = NQ Trong hình Khoa vẽ N, Q, P không thẳng hàng như vậy là chưa chính xác  Không tồn tại tứ giác MNPQ».  Điều đáng lưu ý là trong số 55 HS sử dụng chiến lược S2, có HS 30 dù đã suy luận được 3 điểm N, P, Q thẳng hàng, nhưng vẫn tin tưởng bài giải có sẵn là đúng. Như vậy, đối với HS này, kết quả thực nghiệm cũng có giá trị ngang bằng với suy luận: «Điều đó đúng khi M, N, P, Q không thẳng hàng nhưng đề bài không nhắc đến điều đó (chưa biết 4 điểm M, N, P, Q có thẳng hàng hay không). Em chấm 5 điểm vì bạn đã tìm ra cách giải đúng cho 1 trường hợp khi M, N, P, Q không thẳng hàng. Còn trường hợp thẳng hàng thì chỉ việc nối N với Q. 2 2  2NM MQ NQ (định lí Pytago)    2 2 25 12 13 0       NQ NQ cm do NQ  Trong khi đó NP PQ cũng bằng 13 cm. Vậy N, P, Q thẳng hàng (cụ thể là P nằm giữa hai điểm N và Q)». Nhận xét Tổng kết bài toán 1b, đây là một tình huống có tính bấp bênh (hình vẽ tứ giác MNPQ gần giống MNQ ), gây ra sự lưỡng lự khi dùng kết quả thực nghiệm để trả lời. Tuy nhiên, có đến 110 HS (tỉ lệ 60,77%) giải quyết bằng chiến lược S1, trong đó có 8 HS mặc dù thể hiện sự nghi ngờ khi quan sát hình vẽ, nhưng vẫn tin tưởng vào kết quả này. Trong số 55 HS trả lời bằng chiến lược S2, có 1 HS quan niệm kết quả thực nghiệm cũng có giá trị ngang bằng với suy luận. Điều này cho thấy với hầu hết HS, kết quả thực nghiệm đóng vai trò quan trọng, đó là công cụ để khẳng định một mệnh đề. Tổng kết bài toán 1, có 109 HS (tỉ lệ 60,22%) sử dụng chiến lược S1 và 20 HS (tỉ lệ 11,05%) sử dụng chiến lược S2 để giải quyết cả hai nhiệm vụ của bài toán 1. Ngay cả khi đặt trong tình huống gây ra sự lưỡng lự (bài toán 1b, hình vẽ tứ giác gần giống một tam giác), HS vẫn tin tưởng vào kết quả thực nghiệm để trả lời hoặc xem kết quả thực nghiệm cũng có giá trị ngang bằng với suy luận. Như vậy, kết quả thực nghiệm có vai trò rất quan trọng đối với HS, HS có thể dựa vào đó để nhận xét, khẳng định một mệnh đề. 2.4.2. Suy luận chỉ cần thiết khi kết quả thực nghiệm không rõ ràng Có 32 HS (tỉ lệ 17,68%) sử dụng chiến lược S3. Đặc biệt, HS 139 đã thể hiện rõ quan niệm của mình qua phần nhận xét bài giải có sẵn: Bài toán 1a: «Khoa làm hoàn toàn chính xác, rất tốt». Bài toán 1b: «Ta có NMQ vuông 2 2   2NQ MN MQ 2 25 12  NQ 2 13 NQ Mà 6 7 13   NP PQ  N, P, Q thẳng hàng. Vậy hình vẽ của bạn Khoa bị sai. Đáng tiếc là bạn lại nhìn hình để nói, nếu bạn suy nghĩ kỹ hơn thì sẽ thấy có 3 điểm thẳng hàng ngay». Dựa vào phần nhận xét của HS 139, chúng tôi nhận thấy ở bài toán 1a, hình vẽ rõ ràng, nên việc dựa vào kết quả thực nghiệm để trả lời được đánh giá là «chính xác, rất tốt». Đến bài toán 1b, hình vẽ gây ra nghi ngờ về sự thẳng hàng của 3 điểm N, P, Q thì «Đáng tiếc là bạn lại nhìn hình để nói». Điều này cho thấy đối với một bộ phận HS (32 HS, tỉ lệ 17,68%), suy luận chỉ cần thiết khi kết quả thực nghiệm không rõ ràng. 2.4.3. Kết quả thực nghiệm có vai trò «chứng minh» trong việc hợp thức hóa một tính chất Bài toán 2 Bảng 2.4. Bảng thống kê câu trả lời nhận được trong bài toán 2 Giải thích Số lượng Tỉ lệ Nêu các bước dựng tứ giác (tương tự bài toán 1) 27 14,92% Với các số liệu này, ta có thể dựng như ở bài toán 1 13 7,18% Lấy một ví dụ khác và vẽ hình 8 4,42% Đây là số liệu đầy đủ để xác định tứ giác 19 10,5% Không giải thích 5 2,76% Đồng ý Ý kiến khác 6 3,31% 43,09% 090m 13 7,18% 0 < m < 900 9 4,97% A = 900, mỗi cạnh hơn kém nhau 1cm 1 0,55% Sẽ đồng ý nếu thêm điều kiện Ý kiến khác 4 2,21% 14,92% Lấy phản ví dụ là bài toán 1b (không có tứ giác MNPQ) 29 16,02% Lấy một phản ví dụ khác 11 6,08% Tính chất này còn tùy thuộc vào số đo (thỏa BĐT tam giác) 14 7,73% Chỉ có 2 tứ giác ở bài toán 1 là đúng, còn những tứ giác khác thì chưa chắc 2 1,1% Không giải thích 4 2,21% Không đồng ý Ý kiến khác 11 6,07% 39,23% Không trả lời 5 2,76% 2,76% Ở bài toán 2, tính chất mà HS giả định nêu được rút ra từ hai câu trả lời của bài toán 1. Kết quả có 56 HS sử dụng chiến lược S4, kiểm chứng kiểu «Tính toán trên các thông báo» và 71 HS sử dụng chiến lược S5, trong đó có 63 HS kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán», 8 HS kiểm chứng kiểu «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc».  Trong số 63 HS kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán» thì có 40 HS đồng ý với tính chất được đưa ra ở bài toán 2. Các HS này đã dựa vào hình vẽ, dựa vào các bước vẽ hai hình trong bài toán 1 để đi đến nhận xét. Chẳng hạn: HS 102: «Có (tức là đồng ý). Bởi vì theo như hai phép thử của bạn Khoa, ta hoàn toàn có thể thấy với bốn số dương bất kỳ và một góc có số đo m0 (00 < m0 < 1800), ta luôn vẽ được tứ giác ABCD». Đặc biệt, HS 5 thể hiện rõ vai trò quan trọng của hình vẽ: «Em cùng ý kiến với bạn Khoa, vì hình trên đã cho ta kết luận này». Câu trả lời cho thấy theo HS này, hình vẽ có vai trò ngang bằng với suy luận, nó được xem là công cụ để khẳng định một mệnh đề. Đối với HS 163 thì mặc dù có chút lưỡng lự và nghi ngờ về kết quả thực nghiệm «tứ giác gần giống tam giác» nhưng vẫn tin tưởng vào kết quả này: «Đồng ý. Với 4 số và một góc có số đo m0 bất kỳ nào thì ta vẫn dựng được 1 tứ giác ABCD thỏa mãn những điều đó, nhưng cũng có lúc ta chỉ dựng được một tứ giác gần giống tam giác». Cũng vậy, HS 116 dù ý thức được rằng «từng cặp cạnh phải không cùng nằm trên một đường thẳng» nhưng vẫn dựa vào cách vẽ hai tứ giác ở bài toán 1 để rút ra tính chất tổng quát cho mọi tứ giác: «Có (tức là đồng ý), vì với A có số đo m0 (00 < m0 < 1800) bất kỳ, ta luôn có hai cạnh không nằm trên cùng một đường thẳng và hai cạnh đó sẽ tương ứng với hai cạnh AB và AD với số đo AB = a(cm) ; AD = d(cm). Để vẽ được hai cạnh BC và CD còn lại sao cho hai cạnh đó không cùng nằm trên một đường thẳng, ta vẽ hai đường tròn: một đường tròn (B) có bán kính bằng cạnh BC là b(cm) và một đường tròn (D) có bán kính bằng cạnh CD là c(cm). Ta lấy giao điểm 2 đường tròn và giao điểm đó chính là điểm còn lại, C. Ta có thể thấy BC và CD không nằm trên một đường thẳng và có số đo đúng như yêu cầu. Như vậy, ta có tứ giác ABCD, với 4 cạnh AB, BC, CD, DA không cùng nằm trên một đường thẳng và có các số liệu phù hợp với yêu cầu».  Với kiểu kiểm chứng «Thí nghiệm quyết đoán», 23 HS đã từng nhận xét «câu trả lời của HS giả định về bài toán 1b là sai» lại đồng ý với tính chất được đưa ra ở bài toán 2 nếu kèm thêm điều kiện ( 090m ,0 < m < 900, A = 900 – mỗi cạnh hơn kém nhau 1cm…). Chẳng hạn: - HS 86: «Không. Vì từ bài toán 1b, ta thấy nếu ABCD không phải là tứ giác. 090A  Vậy ta phải rút ra tính chất sau: Với 4 số dương a, b, c, d và một góc m0  0 0 0 0 00 180 ; 9  m m 0 0 bất kỳ, ta luôn vẽ được tứ giác ABCD thỏa mãn       A m AB a b c BC CD DA d » - HS 124: «Khoa nói như vậy là sai. Ví dụ như tứ giác NPQM trên không thể vẽ được. Phát biểu đúng: Với 4 số dương a, b, c, d và 1 góc có số đo m0 (00 < m0 < 900) bất kỳ, ta luôn vẽ được tứ giác ABCD thỏa mãn». - HS 114: «Không, vì khi có và 090A   a b c d thì không vẽ được tứ giác». - HS 44: «Không, đối với , ta chỉ vẽ được tứ giác ABCD khi mỗi cạnh của tứ giác hơn kém nhau 1cm». HS này đã dựa vào kết quả thực nghiệm của cả hai câu bài toán 1. Theo chúng tôi, ở bài toán 1a tứ giác ABCD các cạnh hơn kém nhau 1 cm và vẽ được, còn ở bài toán 1b tứ giác MNPQ có một góc 900 và không vẽ được, nên HS đã kết hợp và đưa ra tính chất như vậy. 090A Các điều kiện ( , 0 < m < 900, A = 900 – mỗi cạnh hơn kém nhau 1cm…) đưa ra nhằm tránh gặp phải trường hợp bài toán 1b. Như vậy, các HS này tuy không hoàn toàn đồng ý với tính chất đưa ra ở bài toán 1b, nhưng lại rút ra một 090m tính chất khác từ một trường hợp cụ thể (bài toán 1b). Do đó, chúng tôi phân loại những HS này là kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán».  Số HS kiểm chứng kiểu «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc» tương đối ít (8 HS). Các HS này tự vẽ thêm một hình nữa theo các bước vẽ của bài toán 1, với kích thước một bộ số đo cụ thể hoặc thậm chí là một bộ số đo nào đó mà có thể tạo thành tứ giác. Tuy nhiên, HS quan niệm đây là bộ số đo bất kỳ và đi đến kết luận: đồng ý với tính chất HS được đưa ra ở bài toán 2. Chẳng hạn HS 84: «Cùng ý kiến, vì ta dễ dàng vẽ được do xài compa. Vẽ góc BAD Rồi vẽ AB, AD …» Đặc biệt, HS 79 không đồng ý với tính chất ở bài toán 2, nhưng lại phát biểu tính chất khác một cách tương tự: «Không vì m0 có thể là bất cứ góc nào (có thể là góc B, góc C hoặc góc D) chứ không bắt buộc 0A m . Các cạnh: + AB có thể là b, c hay d(cm), không bắt buộc là a(cm). + BC có thể là a, c hay d(cm), không nhất thiết phải là b(cm). + CD có thể là a, b hay d(cm), không cứ là c(cm). + DA có thể là a, b hay c(cm), không phải DA lúc nào cũng bằng d(cm). (vì a, b, c, d và m0 là một số dương bất kì). B C D A (Ví dụ minh họa) 0C m AB = c(cm) BC = d(cm) CD = a(cm) DA = b(cm) A c b B  Với 56 HS kiểm chứng kiểu «Tính toán trên các thông báo» thì tất cả đều không đồng ý với tính chất rút ra ở bài toán 2, trong đó có 29 HS lấy phản ví dụ là bài toán 1b để chứng tỏ tính chất này là sai. Chẳng hạn: HS 47: D m0 d a C «Em không đồng ý với ý kiến của bạn vì: Lấy câu b là ví dụ, ta có câu kết luận trên không đúng trong mọi trường hợp. Trong toán học, chỉ cần một trường hợp không đúng thì câu kết luận không có nghĩa». Các HS này đã sử dụng quy tắc «Một phản ví dụ là đủ để kết luận một tính chất là sai».  Có 11 HS cũng dùng một phản ví dụ để chứng tỏ tính chất ở bài toán 2 là sai mà không dùng kết quả bài toán 1. Các HS này tự vẽ một hình khác. Chẳng hạn: - HS 96: «Em không đồng ý với ý kiến của bạn Khoa. Vì nếu số liệu được tính toán ngay từ đầu, ta có thể vẽ được một tứ giác, nhưng nếu đó là những con số ngẫu nhiên thì chưa chắc sẽ phù hợp để tạo thành một tứ giác. B 2cm Giả sử 060A AB = 5cm 5cm BC = 2cm CD = 1cm 1cm DA = 6cm A  Trường hợp này vô lý, điểm D sẽ không tồn tại và không tạo được tứ giác». - HS 115: «Không, bởi vì với bốn số dương a, b, c, d và một góc có số đo m0, ta có thể có hình sau: 066B AB = 5cm AD = 6,8cm BC = 3cm CD = 4,2cm»  Đặc biệt, có 2 HS tuy nhận xét hai câu trả lời của bài toán 1a và 1b là đúng, nhưng vẫn không đồng ý với tính chất ở bài toán 2. Chẳng hạn HS 65: «Sai, vì điều đó chưa chắc chắn. Lỡ chỉ có 2 tứ giác đó mới như thế thì sao, chưa chắc tứ giác D 6cm 600 A . D B C thứ 3 cũng đúng như thế». HS này đã sử dụng quy tắc: «Bao nhiêu ví dụ cũng không đủ để khẳng định một tính chất là đúng».  Có 14 HS dùng suy luận để đưa ra phạm vi hợp thức của tính chất nêu ở bài toán 2. Chẳng hạn HS 170: «Em không đồng ý với bạn Khoa vì nếu ta chia tứ giác ABCD thành hai phần ABD và thì ta phải xem xét rằng có 2BCD ABD và với số liệu đã cho hay không, tức là số liệu có thỏa bất đẳng thức tam giác hay không. BCD Chỉ tạo được tứ giác ABCD khi    AB AD BD BC CD» Nhận xét Tình huống trong bài toán 2 là tính chất được rút ra từ hai câu trả lời của bài toán 1a và 1b, trong đó kết quả của bài toán 1b đã cho thấy tính chất này là sai. Thế nhưng, chỉ có 56 HS (30,94%) sử dụng chiến lược S4, kiểm chứng kiểu «Tính toán trên các thông báo», nghĩa là dùng suy luận để khẳng định tính chất đưa ra là sai. Trong khi đó, có 71 HS (tỉ lệ 39,23%) sử dụng chiến lược S5, kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán» và «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc». Các HS này đã dựa vào kết quả thực nghiệm (bài toán 1a và 1b) để đồng ý với tính chất đưa ra hoặc hợp thức một tính chất khác. Với số liệu trên cho phép chúng tôi đi đến kết luận: Đối với phần lớn HS, kết quả thực nghiệm có vai trò «chứng minh» trong việc hợp thức hóa một tính chất. 2.4.4. Kết luận Những phân tích trên chứng tỏ chúng tôi đã kiểm nghiệm được giả thuyết được nêu ở cuối chương I. Ở bài toán 1, ghi nhận thực nghiệm giữ vai trò quan trọng trong các câu trả lời của HS. Đặc biệt, ở bài toán 1b, mặc dù kết quả thực nghiệm tạo ra sự bấp bênh, gây ra sự lưỡng lự khi trả lời nhưng có đến 110 HS (tỉ lệ 60,77%) giải quyết bằng chiến lược S1 (Hoàn toàn dựa vào hình vẽ), 8 HS thể hiện sự nghi ngờ khi quan sát hình vẽ, nhưng cuối cùng vẫn tin tưởng vào kết quả này, 1 HS quan niệm kết quả thực nghiệm cũng có giá trị ngang bằng với suy luận (trả lời bằng suy luận, nhưng vẫn đánh giá đúng bài giải có sẵn). Tình huống trong bài toán 2 là nhận xét, đánh giá tính chất rút ra từ hai câu trả lời của bài toán 1. Kết quả có 71 HS (tỉ lệ 39,23%) sử dụng chiến lược S5 (dựa vào kết quả của hoạt động thực nghiệm) và kiểm chứng theo kiểu «Thí nghiệm quyết đoán», «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc». Các HS này đã dựa vào ghi nhận thực nghiệm của hai bài toán 1a và 1b để đồng ý với tính chất đưa ra hoặc dựa vào ghi nhận thực nghiệm của bài toán 1b hợp thức một tính chất khác. Điều này cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân HS, đặc biệt là qui trình hợp thức hóa tính chất: «Quan sát thực nghiệm – (Dự đoán) – Phát biểu tính chất – Chứng minh» đã hình thành ở HS quan niệm: Kết quả thực nghiệm không chỉ có cơ chế phỏng đoán mà luôn đúng nên có thể phát biểu định lí ngay, sau đó mới chứng minh. Qua kết quả phân tích hai bài toán, chúng tôi ghi nhận được với phần lớn HS, kết quả thực nghiệm mang hai vai trò: - Là công cụ để khẳng định một mệnh đề. - Là «chứng minh» để hợp thức hóa một tính chất. Ngoài ra, đối với một bộ phận HS, suy luận chỉ thực sự cần thiết khi kết quả thực nghiệm gây ra sự lưỡng lự, không rõ ràng. KẾT LUẬN  Kết quả đạt được 1. Ở chương 1, qua việc phân tích thể chế dạy học Hình học ở bậc tiểu học và THCS, chúng tôi đã làm rõ đặc trưng chuyên biệt HHGN và HHSD, mối quan hệ giữa chúng và đặc biệt là đặc trưng của suy luận và chứng minh trong mỗi loại Hình học. Đồng thời, việc tổng hợp các tài liệu về thể chế đào tạo giáo viên ở trường Cao đẳng sư phạm giúp chúng tôi làm rõ bước chuyển từ HHGN sang HHSD trong phạm vi «dạy học mở đầu về chứng minh». - Đặc trưng của HHGN (bậc tiểu học):  Không được xây dựng một cách chặt chẽ và hệ thống. Các khái niệm và tính chất được giới thiệu trộn lẫn với nhau.  Khái niệm và tính chất được đưa ra thông qua hình vẽ.  Giải quyết các kiểu nhiệm vụ bằng kỹ thuật quan sát và thực nghiệm được chấp nhận.  Chứng minh chưa xuất hiện một cách chính thức mà chỉ thông qua hình thức suy luận «một bước». - Đặc trưng của HHSD (bậc THCS):  Được xây dựng một cách hệ thống.  Khái niệm và tính chất được phát biểu chặt chẽ, logic.  Giải quyết các kiểu nhiệm vụ bằng kỹ thuật suy luận dựa trên các tính chất, định lí đã học. Các hoạt động quan sát và thực nghiệm chỉ có cơ chế phỏng đoán.  Chứng minh đã xuất hiện, mức độ suy luận tăng dần theo cấp lớp. - Mối quan hệ giữa HHGN và HHSD + Trong thể chế dạy học Hình học ở bậc tiểu học và THCS:  Không có sự nối khớp giữa HHGN và HHSD. Khái niệm”suy luận» và”chứng minh» không xuất hiện ở tiểu học, mà lần đầu tiên xuất hiện ở lớp 7 bằng bằng cách phô bày. Từ đó trở đi, kết quả thực nghiệm chỉ có vai trò dự đoán, để hợp thức hóa một mệnh đề phải dùng suy luận. + Trong thể chế đào tạo GV ở trường Cao đẳng sư phạm  Hoàn toàn không tính đến bước chuyển từ HHGN sang HHSD.  Không có chiến lược đào tạo nào chuyên biệt về chứng minh. - Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn chúng tôi đặt ra câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu sau: Trong mối quan hệ cá nhân HS, hoạt động thực nghiệm không chỉ có cơ chế phỏng đoán mà còn là công cụ để khẳng định tính đúng đắn của một mệnh đề ? Cụ thể hơn, để khẳng định một tính chất, HS chỉ quan sát, thực nghiệm và kết luận hay dùng suy luận chứng minh ? Giả thuyết nghiên cứu: Đối với HS, hoạt động thực nghiệm đóng vai trò như chứng minh cho một tính chất hay định lí, nghĩa là có thể hợp thức hóa một tính chất hay định lí dựa vào kết quả của hoạt động thực nghiệm mà không cần thông qua suy luận để chứng minh. 2. Trong chương 2, nghiên cứu thực nghiệm đã làm rõ quan hệ cá nhân HS đối với kết quả của hoạt động thực nghiệm. Với phần lớn HS, kết quả của hoạt động thực nghiệm mang hai vai trò:  Là công cụ để khẳng định một mệnh đề.  Là căn cứ để hợp thức hóa một tính chất. Từ đó, chúng tôi kiểm chứng được tính thỏa đáng của giả thuyết đã đặt ra.  Hạn chế của đề tài và hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn Phân tích thể chế dạy học Hình học ở bậc tiểu học và THCS cũng như tổng hợp các tài liệu về thể chế đào tạo GV ở trường Cao đẳng sư phạm cho thấy không có sự nối khớp giữa HHGN và HHSD. Từ đó, chúng tôi nhận thấy việc xây dựng một tiểu đồ án didactic về dạy học mở đầu về chứng minh, có tính đến sự ngắt quãng giữa hai loại Hình học này là rất thiết thực. Tuy nhiên, thời gian không cho phép chúng tôi thực hiện điều đó. Đây là hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. Ngoài ra, kết quả thực nghiệm cho thấy trong mối quan hệ cá nhân HS, kết quả của hoạt động thực nghiệm mang vai trò quan trọng, là công cụ để khẳng định một mệnh đề, hợp thức một tính chất. Từ đó, xây dựng một tiểu đồ án didactic để điều chỉnh quan hệ cá nhân HS đối với kết quả của hoạt động thực nghiệm cũng là hướng nghiên cứu có thể gợi ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Annie Bessot và Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến (2009), Các yếu tố cơ bản của didactic Toán, NXB Đại học Quốc gia TPHCM. 2. Gilbert Arsac,… (1995), Nhập môn về lập luận suy diễn ở trường THCS, Bản dịch tiếng Việt của Đoàn Hữu Hải, Lê Đình Phi, Nguyễn Thành Tâm, NXBGD. 3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2002), Toán 6 (Tập 1), NXBGD. 4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2002), Toán 6 (Tập 2), NXBGD. 5. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2002), SGV Toán 6 (Tập 1), NXBGD. 6. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2002), SGV Toán 6 (Tập 2), NXBGD. 7. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), Toán 7 (Tập 1), NXBGD. 8. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), Toán 7 (Tập 2), NXBGD. 9. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), SGV Toán 7 (Tập 1), NXBGD. 10. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), SGV Toán 7 (Tập 2), NXBGD. 11. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), Toán 8 (Tập 1), NXBGD. 12. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), Toán 8 (Tập 2), NXBGD. 13. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), SGV Toán 8 (Tập 1), NXBGD. 14. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), SGV Toán 8 (Tập 2), NXBGD. 15. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005), Toán 9 (Tập 1), NXBGD. 16. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005), Toán 9 (Tập 2), NXBGD. 17. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005), SGV Toán 9 (Tập 1), NXBGD. 18. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005), SGV Toán 9 (Tập 2), NXBGD. 19. Hoàng Chúng (2001), Phương pháp dạy học Toán học ở trường Trung học cơ sở, NXBGD. 20. Trần Thị Tuyết Dung (2002), Nghiên cứu didactic bước chuyển từ Hình học «quan sát – thực nghiệm» sang Hình học «suy diễn», Luận văn thạc sĩ. 21. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2002), Toán 1, NXBGD. 22. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2002), SGV Toán 1, NXBGD. 23. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2003), Toán 2, NXBGD. 24. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2003), SGV Toán 2, NXBGD. 25. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2004), Toán 3, NXBGD. 26. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2004), SGV Toán 3, NXBGD. 27. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2005), Toán 4, NXBGD. 28. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2005), SGV Toán 4, NXBGD. 29. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2006), Toán 5, NXBGD. 30. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2006), SGV Toán 5, NXBGD. 31. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) (2006), Hỏi – đáp về dạy học Toán 5, NXBGD. 32. Trần Thị Thanh Hương (2002), Nghiên cứu mối liên hệ giữa kiến thức về chứng minh trong Hình học được giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm và cho HS THCS, Luận văn thạc sĩ. 33. Phạm Đình Thực (2006), Giảng dạy Hình học ở tiểu học, NXBGD. 34. Lê Văn Tiến (2002, Quan điểm thực nghiệm trong dạy học toán ở trường phổ thông. Tạp chí khoa học, ĐHSP TPHCM, Tập 30 số 2. 35. Lê Văn Tiến (2004, Có nên vận dụng «Quan điểm thực nghiệm» vào dạy học Toán, Tạp Chí Thông tin khoa học giáo dục số 107. 36. Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải (2004), Chứng minh ở trường phổ thông: Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận, didactic và điều tra thực trạng dạy học về chứng minh ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, ĐHSP TPHCM. 37. Lê Văn Tiến, Trần Thị Tuyết Dung (2004, Một phần thực trạng về học tập suy luận, chứng minh của HS THCS, Tạp chí khoa học, trường ĐHSP TPHCM. Họ và tên HS: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Lớp: …………………………………………………………… Trường: ……………………………………………………………………………………. Bài toán 1: a) Có hay không tứ giác ABCD thỏa mãn: 0A 60 AB 5cm BC 6cm CD 4cm DA 5cm       b) Có hay không tứ giác MNPQ thỏa mãn: 0M 90 MN 5cm NP 6cm PQ 7cm QM 12cm       Sau đây là bài giải của bạn Khoa: B 6cm a. CÓ tứ giác ABCD thỏa các yêu cầu của đề bài. Tứ giác ABCD được vẽ như sau: - Vẽ và AB = 5cm, AD = 5cm. 0BAD 60 C - Dùng compa quay hai cung tròn: một cung tròn đặt tâm ở B, bán kính 6cm và một cung tròn đặt tâm ở D, bán kính 4cm. Giao điểm hai cung tròn này là C. - Nối B với C, C với D. Ta được tứ giác ABCD. b. CÓ tứ giác MNPQ thỏa các yêu cầu của đề bài. Tứ giác MNPQ được vẽ như sau: - Vẽ và MN = 5cm, MQ = 12cm. 0NMQ 90 - Dùng compa quay hai cung tròn: một cung tròn đặt tâm ở N, bán kính 6cm và một cung tròn đặt tâm ở Q, bán kính 7cm. Giao điểm hai cung tròn này là P. - Nối N với P, Q với P. Ta được tứ giác MNPQ. A 600 D 5cm 5cm 4cm . 5cm 7cm 6cm 12cm N . P M Q Em hãy nhận xét, đánh giá cách làm của bạn Khoa bằng cách chấm điểm và giải thích cách cho điểm của em. Nhận xét (Đúng/Sai) Chấm điểm Giải thích vì sao em đánh giá như vậy Câu a …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... Câu b …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... …………………………………………………………………………………………........................................... Bài toán 2: Bạn Khoa nói rằng: Từ hai câu trả lời nêu trên, ta rút ra được tính chất sau đây: Với bốn số dương a, b, c, d và một góc có số đo m0 (00 < m0 < 1800) bất kỳ, ta luôn vẽ được tứ giác ABCD thỏa mãn:         0A m AB a cm BC b cm CD c cm DA d cm       Em có cùng ý kiến với bạn Khoa không? Giải thích vì sao? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... Bài toán 1a Bài toán 1b (HS 160) (HS 126) (HS 53) (HS 65) (HS 91) (HS 72) (HS 45) (HS 142) (HS 158) (HS 168) (HS 82) (HS 30) Bài toán 2 ._.