Định lý Hahn - Banach và ứng dụng

Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS. Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có những ý kiến đóng góp cho luận văn này. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Tập hợp .................................................................................................... 2 1.2. Không gian vectơ ..................................................................................... 3 1.3. Không gian tôpô ....................................................................................... 4 1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương ............................. 5 1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn .............................................................. 6 1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp ............................................... 6 Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn ........................................................................... 10 2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng ................................................... 11 2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi ............................................. 20 2.4. Định lý Hahn – Banach dạng hình học ................................................... 23 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1. Bất đẳng thức không tương thích............................................................. 31 3.2. Hàm liên hợp............................................................................................ 38 3.3. Các định lý đối ngẫu ............................................................................... 42 3.4. Bài toán cực trị ........................................................................................ 47 KẾT LUẬN .................................................................................................. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 57 MỞ ÐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nếu không có định lý Hahn – Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàm rất khác so với ngày nay như ta đã biết. Định lý Hahn – Banach là một trong ba định lý quan trọng và cơ bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồn tại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng. Định lý Hahn – Banach là một định lý rất được các nhà Giải tích học ưa chuộng. Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp định lý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn – Banach dưới dạng mở rộng (dạng giải tích) và Định lý Hahn – Banach dưới dạng tách – dạng hình học, và chúng đều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng với những đặc tính nào đó. Cả hai dạng của định lý Hahn – Banach tương đương nhau về mặt toán học. Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của định lý Hahn – Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị. Chúng tôi chọn đề tài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn – Banach. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu các dạng định lý Hahn – Banach, xem xét một số ứng dụng của nó. 3. Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn – Banach. 4. Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm và giải tích hàm. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về định lý Hahn – Banach. Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Tập hợp Cho các tập X và Y, ta gọi tích Descartes của X và Y là tập  X Y x, y :  x X, y Y  . Tích Descartes X X , ký hiệu là 2X , được gọi là bình phương Descartes của X. Ta gọi một tập con S của X Y là một quan hệ trên X và Y; một tập con của 2X là một quan hệ trên X. Nếu S là một quan hệ thì thay cho cách viết  x, y S ta sẽ viết là xSy. Quan hệ S trên X gọi là: Có tính chất phản xạ nếu mọi x X đều có xSx; Có tính chất đối xứng nếu mọi x, y X , xSy thì ySx; Có tính chất phản xứng nếu mọi x, y X , xSy và ySx thì x y ; Có tính chất bắc cầu nếu mọi x, y,z X , xSy và ySz thì xSz. Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu. Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ viết x y và viết x y nếu x y và x y . Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là tập được sắp. Nếu mọi x, y X ta đều có x y hoặc y x thì X được gọi là sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần). Trong trường hợp khác thì X gọi là sắp bộ phận. Phần tử a X gọi là phần tử tối đại (tối tiểu) nếu mọi x X , a x (x a)  thì x a . Cho E là một tập con của X. Phần tử a X gọi là biên trên (dưới) của E nếu x a (a x)  với mọi x E . Nếu a là biên trên (dưới) của E và a E thì a gọi là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của E. Một tập được sắp gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử nhỏ nhất. Bổ đề Zorn. Nếu X là một tập được sắp mà mọi tập con được sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì X có một phần tử tối đại. 1.2. Không gian vectơ Trong luận văn này ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C . Không gian vectơ trên trường K là tập X, trong đó có một phép cộng X X X  và một phép nhân vô hướng K X X  , thỏa các điều kiện sau: a)    x y z x y z     b) x y y x   c) X, x x    d)    x E, x x       e)  x y x y      f)  x x x       g)    x x    h) 1.x x với mọi x, y,z X , mọi , K  Các phần tử của không gian vectơ gọi là các vectơ. Nếu không có sự hiểu nhầm, không gian vectơ trên trường K, thường viết là không gian vectơ. Nếu x X và A X , thì  x A x a : a A    . Nếu A X và B X , thì  A B a b : a A,b B     . Nếu K và A X , thì  A a : a A    . Chú ý rằng: A B B A   nhưng A + A không bằng 2A. Độc lập tuyến tính Giả sử M là tập con của không gian vectơ X. M được gọi là một hệ độc lập tuyến tính, nếu với mọi hệ con hữu hạn 1 nx , ...,x và mọi hệ 1 n, ..., K   không đồng thời bằng 0, ta đều có n i i i 1 x 0    . Vectơ n i i i 1 y x    gọi là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các vectơ 1 nx , ...,x . Không gian vectơ con Một tập con Y không rỗng của không gian vectơ X gọi là một không gian vectơ con (hay không gian con) của X nếu tổ hợp tuyến tính x y Y    với mọi x, y Y và mọi , K  . Giao của một họ các không gian vectơ con của X là một không gian vectơ con của X. Giao của tất cả các không gian vectơ con của X chứa tập con S của X là không gian vectơ con bé nhất của X chứa S, gọi là bao tuyến tính của S (không gian con sinh bởi S). Ký hiệu không gian con sinh bởi S là S , S bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Ta có  0  . 1.3. Không gian tôpô Cho tập hợp X. Một họ  các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) X và  thuộc  ; ii) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ; iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  . Một tập X cùng với tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, ký hiệu là  X, . Tập G gọi là tập mở của X và F gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở. Tập con V của X gọi là một lân cận của x thuộc không gian tôpô X nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V  . Nếu V mở thì ta nói V là lân cận mở. Cho A là tập con của không gian tôpô X. Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, ký hiệu hay intA. Và ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu là A . Điểm x được gọi là điểm trong của tập con A trong không gian tôpô X nếu x có một lân cận V sao cho V A . Không gian tôpô gọi là tách (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm bất kỳ khác nhau, đều có hai lân cận rời nhau. 1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Tập X được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu: i) X là không gian vectơ trên trường K; ii) X là không gian vectơ tôpô (với tôpô  ); tr16.ĐVL tr16.ĐVL iii) Với tôpô  , phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục. Ta có nếu U là lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận) thì 0U x là lân cận của x0 và nếu U là một lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận), thì U là một lân cận (với mọi 0  ). Một tập con V x của tập hợp U x các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của x, nếu với mỗi U U x đều tồn tại V V x sao cho V U . Tập hợp con A của không gian vectơ X được gọi là hút nếu n 1 nA X   U ; gọi là cân nếu x A , thì với mọi K , 1  đều có x A  , gọi là lồi nếu mọi x, y A ,  0,1 ta điều có  1 x y A     và gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân, điều này tương đương, với mọi x, y A ta đều có x y A    khi 1    . Nếu D, E là các tập lồi, a là một điểm,  là một số thực thì các tập (D + a), (D + E) và D cũng lồi. Phần trong của tập lồi là lồi. Không gian vectơ tôpô X gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phương hay không gian lồi địa phương nếu X có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi. Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi. 1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn Cho X là không gian vectơ trên trường K, một hàm thực q : X  R được gọi là chuẩn nếu: i)  q x 0 với mọi x X ,  q x 0 x 0   ; ii)      q x y q x q y   với mọi x, y X ; iii)    q x | | q x   với mọi x X và mọi K . Chuẩn thường được viết là || . || . Cho X là một không gian vectơ trên trường K cùng với một chuẩn xác định trên đó gọi là không gian định chuẩn trên trường K. Cho A tập con của không gian định chuẩn X. Nếu A mở, 0x X thì x0 + A cũng mở; A đóng, 0x X thì x0 + A đóng; A mở, B là tập tùy ý thì A + B là mở; A mở, số 0  thì A mở; A đóng, số 0  thì A đóng. 1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, ánh xạ f : X Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu với mọi x, y Y và mọi , K  thì      f x y f x f y       . Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y, thì f là liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc. (A.P mđề1) Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y, thì f liên tục trên X khi và chỉ khi f bị chặn, tức là tồn tại số k 0 sao cho  f x k x với mọi x X . Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương và tách. Không gian liên hợp Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, toán tử tuyến tính f : X K gọi là phiếm hàm tuyến tính. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là một không gian vectơ trên trường K, được ký hiệu bởi #X , gọi là không gian liên hợp đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X. #X là không gian vectơ với các phép toán xác định bởi       x x x       và     x x   với mọi #, X ,x X, K    . Giả sử X là không gian định chuẩn trên trường K, không gian L (X, K) tất cả phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X. Ký hiệu *X , ta có *X là không gian con của #X . Bất kỳ không gian định chuẩn X nào thì trên X cũng có một tôpô tự nhiên từ không gian đối ngẫu X* của nó, gọi là tô pô yếu, ký hiệu  *X,X , đó là tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là liên tục. Hiển nhiên tôpô yếu  *X,X yếu hơn tôpô metric xác định bởi chuẩn trên X. 173.Đ Tôpô yếu  *X,X là tách. Và nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì tôpô yếu  *X,X và tôpô mêtric xác định bởi chuẩn của X là trùng nhau. Trang 173 Đỗ Văn Lưu Với tôpô yếu  *X,X ta có các khái niệm  *X,X  đóng,  *X,X mở, … sau đây ta sẽ gọi đơn giản là đóng yếu, mở yếu … Tương tự ta cũng có tôpô yếu trên *X là  * **X ,X . Trên *X còn một tôpô quan trọng hơn tôpô yếu, ta có một kết quả là **X X , cho nên trên *X có thể xét tôpô  *X ,X , gọi là tôpô * yếu. Như vậy tôpô * yếu  *X ,X yếu hơn tôpô yếu  * **X ,X . Nhắc lại, một không gian vectơ con được gọi là không gian con thực sự của không gian vectơ X nếu nó khác biệt không gian. Ta gọi một siêu không gian là không gian con thực sự cực đại, tức là không gian con không chứa thực sự trong bất kỳ không gian con thực sự nào khác. Dễ dàng chứng minh nhân  N     x X : x 0 Ker     của một phiếm hàm tuyến tính  khác 0 trên X là một siêu không gian. Cũng có: mọi siêu không gian là nhân của một hàm tuyến tính khác 0 nào đó. Siêu phẳng là một sự tịnh tiến của một siêu không gian. Nói cách khác, giả sử M là một siêu không gian của không gian vectơ X, thì tập a + M được gọi là siêu phẳng trong X. Bản thân M là một siêu phẳng đi qua 0. Nếu H là một siêu phẳng thì tồn tại một hàm tuyến tính  và một vectơ a X sao cho  H a N   . Bây giờ giả sử rằng  a   . Với mọi h H thì h  a y với  y N  . Do đó      h a y       . Mặt khác, giả sử rằng x X sao cho  x   . Cho y x a  thì  y 0  , nghĩa là  y N  và x a y    a N H   . Như vậy chúng ta đã chứng minh rằng với mỗi siêu phẳng H, có phiếm hàm tuyến tính khác không  và một số thực  sao cho H x X :    x   . Mỗi siêu phẳng H chia toàn bộ không gian thành hai tập lồi rH x X :    x   và   lH x X : x     , được biết như là nửa không gian và gọi là nửa không gian con đóng của X liên kết với H (mặc dù không gian vectơ X không có khái niệm “tập con mở” hoặc “tập con đóng”). Tương tự những tập      x X : x và x X : x        được gọi là nửa không gian con mở của X liên kết với H. Nếu X là không gian vectơ tôpô thì siêu phẳng   H x X : x     là đóng khi và chỉ khi  liên tục. Điều đó suy ra từ kết quả sau: Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên một không gian vectơ tôpô, thì f liên tục khi và chỉ khi  1f 0 là đóng. Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn Sơ chuẩn và nửa chuẩn Cho X là không gian vectơ trên trường K và một hàm thực p : X R , khi đó: p được gọi là một sơ chuẩn nếu i)    p x p x   với mọi x X , và mọi R với 0  ; ii)      p x y p x p y   với mọi x, y X . p được gọi là nửa chuẩn nếu i)  p x 0 , với mọi x X ; ii)    p x | | p x   với mọi x X , với mọi K ; iii)      p x y p x p y   với mọi x, y X . Ta có mọi chuẩn là nửa chuẩn và mọi nửa chuẩn đều là sơ chuẩn. Phiếm hàm Minkowski Trong không gian vectơ X, cho tập C khi đó    Cp x inf t 0:x tC   , xác định hàm từ X vào R , gọi là phiếm hàm Minkowski của C, ở đây t inf t   . 2.1.1. Định lý. a) Với mọi tập lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski pU là một sơ chuẩn. b) Với mọi tập tuyệt đối lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski pU là một nửa chuẩn. Chứng minh. a) Do U hút nên với mọi x X tồn tại t 0 để x tU suy ra U0 p   hay Up : X R . Lấy x, y X và 0  thì    U Up x p x   và      U U Up x y p x p y   , thật vậy, ta có    Up x inf 0: x U inf 0:x U             inf t 0:   x tU    Uinf t 0:x tU p x      (với t   ). Và với x U , y U ( , 0)  , thì x x , y y     với x , y U  , sử dụng tính lồi của U ta có x y     x y U                  . Từ đó theo định nghĩa thì  Up x y     với mọi , 0   thỏa mãn x U , y U và do đó    U Up x y p x    Up y . Vậy pU là sơ chuẩn. b) Để chứng minh Up là nửa chuẩn, ta chỉ cần kiểm tra    U Up x p x   với mọi K và điều này có được là vì U cân nên x U x U     . 2.1.1. Hệ quả. U lồi và hút thì      : 1 : 1     U Ux X p x U x X p x . Chứng minh. 2.Minkowski.RemarkE.1 Với x U ta có  1 t 0 : x tU   hay  Up x 1 nên   Ux y X : p y 1   . Với x X :  Up x 1 khi đó tồn tại  t 0,1 để x tU . Đặt 1y t x U  , do U lồi nên  x ty 1 t 0 U    , vậy ta có điều phải chứng minh. 2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng Trong phần này, chúng ta giải quyết vấn đề sự mở rộng của một hàm tuyến tính trên không gian con Y đến một hàm tuyến tính trên toàn không gian X. Kết quả sau đây có thể được xem như là phát biểu tổng quát nhất của định lý Hahn – Banach dạng mở rộng 2.2.1. Định lý. (Định lý Hahn – Banach cho không gian vectơ thực) Cho X là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn trên X và Y là một không gian con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn    x xf p với mọi x Y , tồn tại phiếm hàm tuyến tính %f trên X sao cho Y %f f và    %f x p x với mọi x X . Chứng minh. TS.ĐTC Ta gọi một mở rộng của f là một phiếm hàm tuyến tính g trên một không gian con gD của X chứa Y sao cho Yg f và    g x p x với mọi gx D . Xét tập X gồm tất cả các mở rộng của f. Do f X nên X . Ta viết g h nếu g hD D và gD h g . Dễ dàng thấy  là một thứ tự trên X . Giả sử A là một tập con được sắp tuyến tính của X. Đặt A gg AD DU , ta xác định hàm Ah : D R bằng cách sau: Nếu Ax D thì tồn tại g A để gx D . Đặt    h x g x , nếu cũng có gx D  thì do A được sắp tuyến tính nên g g hoặc g g  . Và vì g gx D D  I nên    g x g x . Vậy h xác định đúng. Lấy tùy ý Ax, y D và , R , khi đó tồn tại g và g thuộc A để gx D , gy D  . Ta giả thiết g g  , khi đó gx, y D và g Ax y D D    . Vậy DA là không gian con của X. Ngoài ra        h x y g x y g x g y            h x h y  , do đó h là hàm tuyến tính trên DA. Hiển nhiên    h x p x với mọi Ax D nên hX và g h với mọi g A . Vậy h là biên trên của tập A. Từ đó theo bổ đề Zorn trong X tồn tại phần tử tối đại f : G % R . Để hoàn tất chứng minh ta sẽ chỉ ra G X . Giả sử trái lại, tồn tại y X \ G , xét không gian con D sinh bởi y và G, tức là  D y z : ,z G    R . Với u,v G ta có        f u f v f u v p u v    % % %    p u y p v y    , từ đó    p u y f u  %    p v y f v  % . Vì u và v tùy ý nên      u G sup p u y f u     %   v G inf p v y    f v% , và cả hai số trên đều hữu hạn. Đặt      u G sup p u y f u      % , xác định hàm k : D  R bởi  k y z    f z % với mọi R , z G . Hiển nhiên k là tuyến tính và    k z f z% với mọi z G . Ta chứng minh    k y z p y z     với mọi R , z G . Nếu 0  thì      k z f z p z % với mọi z G . Nếu 0  thì  k y z     zf z f            % % z z zp y f f                        % % zp y      p y   z với mọi z G . Cuối cùng nếu 0    , để ý là      u G inf p u y f u   % , ta có  k y z     zf z f             % % z z zp y f f                          % % p z y       p z y p y z     . Như vậy    k x p x với mọi x D . Điều đó chứng tỏ kX . Bởi vì f k% và f k% . Ta gặp mâu thuẫn vì f% tối đại. 2.2.2. Định lý. (Định lý Hahn – Banach cho không gian vetơ trên trường K) Cho X là một không gian vectơ trên trường K, p là nửa chuẩn trên X và Y là không gian con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn    x xf p với mọi x Y , tồn tại phiếm hàm tuyến tính %f trên X sao cho Y %f f và    %f x p x với mọi x X . Chứng minh. TS.ĐTC Trường hợp K  R . Để ý rằng      f y f y p y  với mọi y Y , vì thế chúng ta có thể áp dụng định lý 2.2.1 và có f : X  R% với Y f f% và    f x p x% với mọi x X . Suy ra        f x f x p x p x     % % với mọi x X . Nên    f x p x% với mọi x X . Trường hợp K C . Mọi không gian vectơ phức X có thể coi là một không gian vectơ thực (phép nhân vô hướng X X R là thu hẹp của phép nhân vô hướng X X C ). Ta gọi một phiếm hàm tuyến tính thực trên không gian phức X là một phiếm hàm tuyến tính trên X nếu coi X là không gian vectơ thực nói trên. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. 2.2.1. Bổ đề. Hàm : Cf X là phiếm hàm tuyến tính trên X nếu và chỉ nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính thực f1 trên X sao cho      1 1 f x f x if ix với mọi x X . Chứng minh.TS.ĐTC Giả sử f : X C là phiếm hàm tuyến tính, đặt      1 2f x f x if x  trong đó    1f x Ref x và    2f x Imf x . Ta được các phiếm hàm tuyến tính thực f1, f2 trên X. Bởi vì      1 2f ix f ix if ix  và         1 2f ix if x i f x if x       1 2if x f x nên ta có    2 1f x f ix  . Suy ra      1 1f x f x if ix  , tức f1 chính là phiếm hàm tuyến tính muốn tìm. Ngược lại, vì f1 là tuyến tính thực nên hàm      1 1f x f x if ix  thỏa mãn      f x y f x f y   với mọi x, y X . Với mọi x X và i    C ta có  f x           1 1 1 1f x if i x f i x if i i x              1 1f x f ix        1 1i f ix i f x                 1 1 1 1i f x i i f ix f x if ix f x             , vậy f là hàm tuyến tính phức. Trở lại chứng minh cho trường hợp K C . Từ bổ đề 2.2.1, gọi f1 là phiếm hàm tuyến tính thực trên X để  f x   1f x   1if ix . Bởi vì      1f y f y p y  , với mọi y Y , do đó áp dụng định lý cho trường hợp K  R và tìm được 1f : X % R sao cho 1 1Yf f% và    1f x p x% với mọi x X . Ta sẽ chứng minh f%,      1 1f x f x if ix % % % với mọi x X , là phiếm hàm cần tìm. Thật vậy, do mọi x Y ,      1 1f x f x if ix  , kết hợp với 1 1Yf f% dẫn đến Y f f% . Mặt khác nếu  f x 0% thì     if x f x e % % (R phụ thuộc vào x) nên      i if x e f x f e x    % % % . Mà  if e x % là một số thực nên  if e x  %  i1f e x % . Vì vậy            i i i i1f x f e x f e x p e x e p x p x           % % % . Có một câu hỏi đặt ra là các ánh xạ tuyến tính trên không gian con có được mở rộng dễ dàng như những phiếm hàm tuyến tính hay không? Banach và Mazur đã chứng minh điều này là không thể vào năm 1933 nhưng chứng minh đó không đúng. Mãi đến năm 1950, Nachbin mới có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này. 2.2.1. Hệ quả. Giả sử X là không gian vectơ trên trường K, a X , p là một nửa chuẩn trên X. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X thỏa    f a p a và    f x p x với mọi x X . Chứng minh. Gọi Y là không gian con của X sinh bởi a,  Y a : K   , lấy x Y khi đó x a  ( K) . Ta định nghĩa    1f x p a ( K)   . Khi đó, 1f là phiếm hàm tuyến tính trên Y, đồng thời,      1 1f x f a p a      p a   p x . Theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho    1f x f x với mọi x Y và    f x p x với mọi x X . Và hiển nhiên    f a p a . 2.2.2. Hệ quả. (Định lý Hahn – Banach cho không gian định chuẩn) Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian vectơ con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục %f trên X sao cho Y %f f và %f f . Chứng minh. TS.ĐTC Đặt  p x f x với mọi x X , khi đó p là một nửa chuẩn trên X và    f x p x với mọi x Y . Từ đó theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f% xác định trên X sao cho Y f f% và    f x p x f x % với mọi x X . Do đó f% liên tục và f f% . Vì     x X, x 1 x Y, x 1 f sup f x sup f x f       % % nên f f% . 2.2.3. Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, Y là một không gian vectơ con của X và vectơ 0 x X là điểm không thuộc Y sao cho  0 , d x Y 0 0    y Y inf x y  . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục : f X K sao cho 1, 0 Yf f và  0 f x  . Chứng minh. TS.ĐTC Gọi G là không gian con của X sinh bởi Y và x0,  0G x y : K, y Y     , công thức  0g x y    với mọi 0x y G   cho ta phiếm hàm tuyến tính g trên không gian con G. Nếu 0  thì  0g x y 0   . Nếu 0  thì 0x y   0 yx          vì y Y  . Từ đó  0 0g x y x y        với mọi 0x y G   . Vậy g liên tục và g 1 . Với r tùy ý, 0 r 1  , do  0d x ,Y   nên tồn tại y Y để 10x y r   hay 0r x y   . Từ đó  0 0g x y r x y     . Vì 0x y 0    cho nên g      x G\ 0 g x sup r x  và do r 1 tùy ý nên g 1 . Vậy g 1 . Áp dụng hệ quả 2.2.2, tồn tại mở rộng tuyến tính liên tục f của g lên X sao cho f 1 . Vì G f g nên    0 0Y Yf g ,f x g x    . Lấy  Y 0 trong hệ quả 2.2.3, khi đó  0 0d x ,Y x . Ta được hệ quả 2.2.4 như sau 2.2.4. Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, 0 x X và 0 0x . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho 1f và  0 0f x x . Và như thế thì bất kỳ không gian định chuẩn khác không nào cũng có một hàm tuyến tính liên tục khác không. 2.2.5. Hệ quả. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, và C là tập con tuyệt đối lồi, mở và hút. Nếu 0x  X là điểm không thuộc C, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục :  Rf X , sao cho  0 1f x và   1,f v với mọi v C . Chứng minh. Bổ đề E1 Gọi  0Y tx : t R là không gian vectơ sinh bởi 0x và định nghĩa phiếm hàm f1 xác định bởi  1 0f tx t, với mọi 0x tx , tR . Khi đó 1f là tuyến tính, và  1 0f x 1 . Trước tiên ta chỉ ra    1 Cf y p y , với mọi y Y . Xét y Y, 0y tx , tR . Với t 0 , thì rõ ràng    1 Cf y p y , bởi vì  1f y t 0  và vế phải  Cp y thì luôn không âm. Giả sử t 0 , từ pC là một sơ chuẩn, ta có  Cp y   C 0p tx  C 0tp x , mà 0x C theo hệ quả 2.1.1 thì  C 0p x 1 . Suy ra    C 1p y t f y  . Bây giờ áp dụng định lý 2.2.2 có một phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho 1Y f f và    Cf x p x với mọi x X . Khi đó    0 1 0f x f x 1  . Và với v C , vì C mở thì theo hệ quả 2.1.1 chúng ta có  Cp v 1 , suy ra  f v 1 với mọi v C . Vấn đề còn lại là chứng minh f liên tục, để làm điều đó, do f là tuyến tính, chỉ cần chứng minh f liên tục tại 0. Với mọi 0  , ta sẽ tìm lân cận mở U sao cho  f u   , với mọi u U . Lấy    U 2 C 2 C    I , chú ý rằng, với mọi u U chúng ta có u 2 C   , hay    12 u C   , thì từ hệ quả 2.1.1, nên     1Cp 2 u 1   hay  Cp u  2 . Do đó  f u   tức là  f u   , với mọi u U . 2.2.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian lồi địa phương, Y là một không gian vectơ con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục %f trên X sao cho Y %f f . Trước khi chứng minh ta xét bổ đề sau 2.2.2. Bổ đề. Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Nếu  q x 1 kéo theo  p x 1 thì    p x q x với mọi x X . Chứng minh. Nếu không, sẽ tồn tại x X , 0  với    0 q x p x    . Khi đó xq     1 nhưng xp 1     , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Trở lại với chứng minh hệ quả 2.2.6. Do f liên tục trên Y, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi và hút U (của 0) sao cho  f x 1 với mọi x U Y I . Áp dụng bổ đề 2.2.2 như sau: Lấy x Y sao cho  Up x 1 thì x U Y I nên  f x 1 . Theo bổ đề 2.2.2 thì    Uf x p x với mọi x Y . Theo định lý 2.2.2, tồn tại f% tuyến tính trên X sao cho Y f f% và    Uf x p x% với mọi x X . Vấn đề còn lại là chứng minh f% liên tục. Thật vậy với 0  , x U thì    Uf x p x   nên f% liên tục tại 0. Do đó f% liên tục. 2.2.7. Hệ quả. Cho X là không gian lồi địa phương, Hausdorff, v X và 0v . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho   1f v . Chứng minh. Xem Q17 5.0.2 Gọi Y v là không gian vectơ con sinh bởi v và định nghĩa phiếm hàm f1 xác định bởi  1f v   . Khi đó 1f là phiếm hàm tuyến tính trên Y. Do tính Hausdorff của X nên có thể chọn U là lân cận tuyệt đối lồi sao cho v U . Với mọi 0  , v U  thì  1f v   nên 1f liên tục trên Y. Khi đó sự tồn tại hàm f thỏa  f v 1 do hệ quả 2.2.6. 2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi Bây giờ xét bài toán tồn tại phiếm hàm tuyến tính tách hai tập con lồi không giao nhau. Nói cách khác, với hai tập lồi không giao nhau trong không gian vectơ, khi nào có thể tìm thấy một siêu phẳng sao cho hai tập lồi này nằm trên hai miền đối diện của siêu phẳng đó? Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian vectơ thực X được gọi là tách các tập lồi D và E của X nếu     x Ex D supf x inf f x  , tức là tồn tại R sao cho  f x   với mọi x D và  f x  với mọi x E . Nếu f 0 thì   H x X : f x    là một siêu phẳng. Trường hợp này ta cũng nói siêu phẳng H tách D và E. Và nếu  f x   với mọi x D và  f x  với mọi x E thì ta nói f tách ngặt D và E. Một điểm a của tập D trong không gian X gọi là điểm bọc nếu với mỗi vectơ b X đều có số 0  sao cho toàn đoạn thẳng nối a b  với a b  chứa trong D. Ta nhận xét rằng nếu D có a là điểm bọc thì D – a là tập hút. Tập con V của không gian vectơ X gọi là đa tạp tuyến tính nếu tồn tại a V sao cho V – a là không gian con. Và không gian con này gọi là không gian song song với đa tạp tuyến tính V. Mỗi tập lồi D X có một đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó, ký hiệu affD, đó là giao tất cả các đa tạp tuyến tính chứa D. Nếu X là không gian định chuẩn thì mỗi tập con của X là một không gian metric, với metric xác định bởi chuẩn. Một điểm a D gọi là một điểm trong tương đối của D nếu a là điểm trong của D xét trong khô._.