Định lý điểm bất động của Krasnosel`skii và ứng dụng và phương trình tích phân

rình tơi học cao học. Tơi cũng xin chân thành cảm ơn quí thầy cơ và các anh chị làm cơng tác quản lý ở phịng sau đại học đã giúp đỡ cho tơi hồn thành khĩa học. Người viết Trương Kim Hồng Phước MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài tốn áp dụng định lý điểm bất động của Krasnosel’skii vào phương trình tích phân đã được nhiều tác giả nghiên cứu ví dụ trong [1]- [4],[6],]7]. Trong [2], tác giả đã áp dụng định lý điểm bất động của Krasnosel’skii trên khơng gian Fréchet để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. Trong [6] Hoa, Schmitt cũng đã trình bày định lý điểm bất động của Krasnosel’skii trên khơng gian lồi địa phương. Trên cơ sở ý tưởng và kỹ thuật trong [2,6] luận văn này trình bày một định lý điểm bất động của krasnosel’skii . 2. Mục đích nghiên cứu Ap dụng định lý về điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Với giả thiết thích hợp đối với các ánh xạ U và C, ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định lý điểm bất động là cơng cụ mạnh đã được nhiều nhà tốn học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. Luận văn chỉ trình bày các kết quả đẹp cho bài tốn. 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn được chia làm các chương như sau: Mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Chương 1 : Giới thiệu Trong chương này sẽ giới thiệu hai định lý về điểm bất động của krasnosel’skii. Chương 2 : Trình bày một định lý điểm bất động của Krasnosel’ Skii. Chương 3: Sự tồn tại nghiệm, gồm các định lý và bổ đề. Chương 4: Nghiệm tiệm cận ổn định Chương 5 : Trường hợp tổng quát, gồm các định lý. Chương 1 : GIỚI THIỆU MỘT ĐỊNH LÝ RẤT PHỔ BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA KRASNOSEL’SKII 1.1. Định lý 1.1 Cho M là một tập con lồi, đĩng, bị chặn, khác rỗng trong khơng gian Banach ( , . )X . Giả sử là ánh xạ co và là ánh xạ hồn tồn liên tục sao cho: :U M X :C M X . ( ) ( ) , ,U x C y M x y M    Khi đĩ U cĩ một điểm bất động trong M. C Định lý của Kranosel’skii đã được mở rộng bởi nhiều tác giả ,ví dụ chúng ta tham khảo [1],[2],[3],[4],[6],[7] và kiểm tra ở đĩ. Trong tài liệu này chúng ta đưa ra một định lý điểm bất động của Krasnosel’skii và ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến 0 0 ( ) ( ) ( , ( )) ( , , ( )) ( , , ( )) t t x t q t f t x t v t s x s ds G t s x s d     s t , , (1.1) Trong đĩ E là khơng gian Banach với chuẩn . , [0, )   , , :q E  :f E E   ; , :G V E E  được giả sử liên tục,  ( , )t s   ,  .s t Trong trường hợp dE  và hàm là tuyến tính theo biến thứ ba, phương trình (1.1) đã được nghiên cứu bởi C. Avramescu và C.Vladimirescu [2]. Các tác giả này đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tiệm cận ổn định phương trình tích phân sau: ( , , )V t s x 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , , ( )) , t t x t q t V t s x s ds G t s x s ds t      , (1.2) Trong đĩ : : ,dq   : d df    , : (dV M ) , được giả sử liên tục, : dG   d  ( , )t s      ,s t ( )dM và là tập hợp các ma trận thực cấp hai. Trường hợp đĩ đã được làm bởi sử dụng định lý điểm bất động sau của Krasnosel’skii 1.2. Định lý 1.2 Cho ( , . ) n X là khơng gian Fréchet và cho là hai ánh xạ. Giả sử các giả thiết sau được thỏa: , :C D X X a) C là ánh xạ compact b) D là ánh xạ co với sự liên quan của . n tương đương với . n c) Tập hợp { , , (0,1)} là bị chặn xx X x D Cx         Khi đĩ C + D cĩ một điểm bất động. Trong [6] Hoa, Schmitt cũng đã trình bày vài định lí điểm bất động của Krasnosel’skiii đối với ánh xạ U+C trên tập hợp con lồi, đĩng, bị chặn, lồi của khơng gian lồi địa phương, ở đĩ C là hồn tồn liên tục và thỏa mãn điều kiện co (Định lý này chúng ta sẽ nêu ra trong phần phụ lục). Hơn nữa đa ứng dụng vào phương trình tích phân trong khơng gian Banach. nU Trên cơ sở ý tưởng và kỹ thuật trong [2,6] chúng ta xét phương trình (1.1). Tài liệu này bao gồm 5 phần. Trong phần 2 chúng ta chứng minh một định lý điểm bất động của Krasnosel’skii. Kết quả chính của chúng ta sẽ được trình bày trong phần 3,4. Ở đây sự tồn tại của nghiệm và nghiệm tiệm cận ổn định của (1.1) đã được thiết lập khi điều kiện đưa ra thỏa. Cuối cùng trong phần 5, một trường hợp chung được đưa ra. Chúng ta trình bày sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng: 0 ( ) ( ) ( , ( ), ( ( )) ( , , ( ), ( ( ))) t x t q t f t x t x t v t s x s x s d     s 0 ( , , ( ), ( ( ))) , t G t s x s x s ds t   (1.3) và trong trường hợp ( )t t  . Nghiệm tiệm cận ổn định (1.3) cũng được xét. Kết quả chúng ta đạt được ở đây là trong phần chung của [2], tương ứng phương trình (1.2). Chương 2 : MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA KRASNOSEL’SKII Trên cơ sở định lý 1.2 ([1]) và ([6] và định lí 3), chúng ta cĩ được định lý sau: 2.1. Định lý 2.1 Cho ( , . ) n X là khơng gian Fréchet và cho là hai ánh xạ. Giả sử , :C U X X i) U là ánh xạ k - co, k [0,1) ( đơc lập đối với n )Với họ chuẩn . n tương đương với . n ; ii) C là hồn tồn liên tục iii) *lim 0,n x n Cx n x    . Khi đĩ U + C cĩ một điểm bất động. Chứng minh định lí 2.1 Trước hết chúng ta thấy từ giả thiết i) suy ra sự tồn tại và liên tục của ánh xạ 1( )I U  . Và từ . n tương đương với . n . Tồn tại sao cho 1 2,n nK K  0 1 2 , *n nn n nK x x K x n    . Điều này suy ra a) Tập hợp  ,nx x A bị chặn nếu và chỉ nếu  ,nx x A là bị chặn, , *A X n    ; b)Với mỗi dãy ( )mx trong X, . Từ *n  lim 0m nm x x   lim mm x x  0n . Dãy (xm) hội tụ tới x với chuẩn . n nếu và chỉ nếu (xm) hội tụ tới x với chuẩn . n Do đĩ điều kiện ii) được thoả mãn với . n . Mặt khác, ta cũng cĩ 11 2 2 2 1 . .nn n n n n nn n nn n n n n Cx K Cx Cx Cx CxK KK n K x x x x K x     *, ,x X n    . Do vậy, lim 0 lim 0 n n n n x x n n Cx Cx x x     , Bây giờ chúng ta chứng minh U C cĩ một điểm bất động. Với bất kì , định nghĩa ánh xạ U X bởi . Dể thấy là một ánh xạ k - co và do đĩ a X :a a X X ( ) ( )aU x U x a  aU  , cĩ một điểm bất động được đặt là . Khi đĩ aU )(a (  aU ( )) ( )a a  ( ( )) ( )U a a a   1( ) ( ) ( )a I U a    Đặt làm điểm bất động của U. Với mỗi 0u x X . Xét , ở đĩ. *( ) 0( ),mC xU u m . 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ), m m m C x C x C x C xU y U U y U U y C x y     X  Chúng ta chú ý hơn rằng *n  cố định , *m  1 1 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) m m m C x C x C x C x C x C xn n U u u U U u U u U U u U U u      1m n  1 1( ) 0 0 ( ) 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ( ) m m C x C xnn n U U u U u C x k U u u      . Bằng quy nạp, , chúng ta cĩ: *m  1( ) 0 0( ) (1 ... ) ( ) ( ) m m C x nn U u u k k C x C x      n (2.1) ở đĩ 1 1 1 k    . Do điều kiện iii) được thỏa mãn với . n ở trên. Với 1 0, 0 4 M    (ta chọn 0 nM u ) sao cho 1 4n n n x M Cx x   . Chọn hằng số dương 1 0 ,n nr M u x X    . Như vậy x X  , ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: 0 1nnx u r  . Từ 0 0 1nn n n 0 nx u x u r M u      n x M   , chúng ta cĩ 0 0 0 0 1 1 1 1( ) 4 4 4 2n n n C x x x u u x u x u             0n nx u    (2.2) Trường hợp 2: 0 1nnx u r  . Do ii) thoả mãn với . n , tồn tại một hằng số dương  sao cho ( ) n C x  . (2.3) Chọn 2nr  . Đặt nD    * 2: ,n nn n x X x r D D      . Khi đĩ và D lồi, đĩng,bị chặn trên X . Với mỗi 0u D x D và mỗi *n như trên ta cũng xét hai trường hợp: + Nếu 0 nn 1x u  r , khi đĩ do (2,1) , (2,3) ( ) 0 0 2( ) ( ) m C x nn U u u C x r      (2.4) + Nếu 1 0n nr x u r   2n , khi đĩ do (2.1), (2.2)  ( ) 0 0 2 21( ) ( ) 2 m C x n nnn U u u C x r r      (2.5) Chúng ta cĩ được ( ) 0( ) ,mC xU u D x D   Mặt khác, do là ánh xạ co nên dãy hoi tụ về điểm bất động duy nhất của khi . Suy ra ( )C xU ( Dx ( ) 0( ) m C xU u )( ))C x (C xU m DxC  ,))(( .Như vậy 1( ) ( )I U C D D  . Áp dụng định lí điểm bất động Schauder suy ra ánh xạ 1( )I U C cĩ một điểm bất động trong D đĩ cũng là điểm bất động của U + C trong D. Chương 3 : SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Đặt là khơng gian các hàm số liên tục từ ( , )X C E E  tương ứng với họ đếm được nữa chuẩn   0,sup ( ) , 1n t nx x t n  . Khi đĩ  , nX x là khơng gian mêtric 1 ( , ) 2 1 n n n n x y d x y x y       và X là khơng gian Fréchet. Xét trong X một họ nữa chuẩn khác n x được định nghĩa như sau: , 1 n nn h x x x n   , trong đĩ ( ) [ , ] sup { ( )}, (0, ), 0n n n n h t n nh t n x e x t n h        tùy ý với sự tương ứng với chuẩn n x . do đĩ ( ) 2 , ,n nh n n n n e x x x x X n  1      . Chúng ta xây dựng giả thiết sau 1A > Tồn tại hằng số  0,1L sao cho ( , ) ( , ) , , ,f t x f t y L x y x y E t        ; 2A > Tồn tại một hàm số liên tục 1 :  sao cho 1( , , ) ( , , ) ( , ) , , , ( , )V t s x V t s y t s x y x y E t s       ; 3A > G hồn tồn liên tục sao cho ( ,.,.) :G t I J E  liên tục đều theo biến t trong quả cầu bị chặn bất kỳ, với bất kỳ tập bị chặn [0, )I   và bất kì tập bị chặn ; J E 4A > Tồn tại hàm liên tục 2 :  sao cho 2 ( , , ) ( , ) lim 0 x G t s x t s x     , đều trong (t,s) là tập con bị chặn bất kỳ của  3.1. Định lý 3.1 Cho 1 4A A thỏa mãn, khi đĩ phương trình (1.1) cĩ nghiệm trên [0, ) Chứng minh định lý 3.1 Phần chứng minh gồm 4 bước: Bước 1: trong X, ta xét phương trình ( ) ( ) ( , ( )),x t q t f t x t t    (3.1) Chúng ta cĩ bổ đề sau : 3.2. Bổ đề 3.2 Cho 1A thỏa, phương trình (3.1) cĩ nghiệm duy nhất . Chứng minh: Do giả thiết 1A , ánh xạ : X X  : được định nghĩa: ( ) ( ) ( , ( )), ,x t q t f t x t x X t      là ánh xạ L- co trên khơng gian Fréchet ( , ) n X x . Ap dụng khơng gian Banach cĩ duy nhất điểm bất động  X  . Bổ đề đã được chứng minh. Bằng cách thay x y   ta cĩ thể viết phương trình (1.1) ở dạng ( ) ( ) ( ) ( ),y t Ay t By t Cy t t     (3.2) ở đĩ: 0 0 ( ) ( ) ( , ( ) ( )) ( ), ( ) ( , , ( ) ( )) , ( ) ( , , ( ) ( )) t t Ay t q t f t y t t t By t V t s y s s ds Cy t G t s y s s ds               Bước 2: Đặt U A , từ các giả thiết A1, A2 ta cĩ B  , ,t y y X     1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) t Uy t U y t L y t y t t s y s y s ds      Hơn nữa, ta cĩ U là ánh xạ - co, nk [0,1]nk  ( độc lập đối với n ) với họ chuẩn . n . Thật vậy, cố định tuỳ ý n * , [0. ], (0, )n nt n    được chọn sau cùng, ta cĩ:  1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) t Uy t U y t L y t y t t s y s y s ds      1( ) n n nL w y y    . Ở đĩ: 1 1sup{ ( , );( , ) },n nt s t s    {( , ) [0, ] [0, ], }n t s n n s t     điều này suy ra:  1( ) n n n nUy U y L y y        (3.3) Với mọi  ,nt n , tương tự ta cũng cĩ 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n t y y n nU t U t L y t y t y s y s ds y s y s d               s h  (3.4) Từ (3.4) và bất đẳng thức , ( được chọn sau cùng ) ( )0 1, [ , ],n nh t n ne t n      0 nh Suy ra  ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n h t h t n nUy t U y t e L y t y t e y y              ( )1 ( ) ( ) n n n t h t nw y s y s e d     s  1 n n n nh L y y w y y      ( ) ( )1 ( ) ( ) n n n n t h s h s t nw y s y s e e d      s nh L y y   ( )1 1 nn n n t h s t n n n h y y y y e ds            . 11n n n n n nh n L y y y y y y h h          . Ta được   1 1( ) n n n n nh n wUy U y L y y w y y h        (3.5) Kết hợp (3.3) – (3.5), ta suy ra:  11( 2 ) ( )n n n n n hn n Uy U y L y y L y y h           n nk y y   (3.6) Ở đĩ 11max{ 2 , }nn n n n k L L h      . Chọn 1 1 10 min{ , }; 2 1 n n n n L n h L         , Khi đĩ ta cĩ , do (3.6), U là ánh xạ - co với họ chuẩn 1nk  nk . n . Bước 3: Chúng ta chứng minh rằng là hồn tồn liên tục. Trước hết ta chứng minh C liên tục. Với bất kỳ :C X X 0y X , cho dãy sao cho . Cho cố định ,đặt ( )m my  [0, ],s n m X 0lim mm y y  *n {(K y )( ) : }m s    .Khi đĩ K compact trong E. Thật vậy, cho (( )( )) im y si i là dãy trong K. Ta giả sử rằng 0lim ii s s  và 0lim imi y y    . Ta cĩ: 0 0 0 0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )i im i m i i iy s y s y s y s y s y                s 0 0 0( )( ) ( )(im iny y y s y s       0 ) 0s . Điều này chứng tỏ rằng 0lim( )( ) ( )( )im ii y s y     trong E. Cĩ nghĩa rằng K là compact trong E. Với mỗi 0  , từ G là liên tục trên tập compact [0, ] [0, ]n n K  , cĩ sự tồn tại 0  sao cho , ,u v K u v     , ( , , ) , ) , , [0, ]G t s u v s t n n ( ,G t s     . Do nên tồn tại sao cho với , 0lim ,mm y y  0m 0m m 0 0( )( ) ( )( ) ( ) ( ) , [0, ]m my s y s y s y s s n          . Suy ra với mọi , 0[0, ],t n m    m 0 0 0 ( ) ( ) ( , ,( )( )) ( , ,( )( ) t m mCy t Cy t G t s y s G t s y s ds        , Do đĩ 0 ,m nCy Cy m m0    và tính liên tục của C đã được chứng minh. Cịn lại ta chứng minh C là tập bị chặn các ánh xạ bên trong tập compact tương đối. Ta gọi lại điều kiện sau đối với tính compact tương đối của tập con trong X. 3.3. Bổ đề 3.3: ([7, định đề 1]) Cho là khơng gian Fréchet đã định nghĩa ở trên và A là tập con của X. Với mổi cho ( ,X C E ) *,n ([0, ], )nX C n E là khơng gian Banach của các hàm liên tục , với chuẩn :[0, ]u n E   [0, ] sup ( ) t n u u   t và  [0, ] :n nA x x  A Tập A trong X là compact tương đối nếu và chỉ nếu với mổi là đẳng liên tục trong và với mọi *, nn A nX [0, ]s n , tập ( ) { ( ) : }n nA s x s x A  là compact tương đối trong E. Bổ đề này được phát biểu trong [7] và khơng cĩ chứng minh chi tiết. Chúng ta chứng minh nĩ trong phần phụ lục. Từ định lí Ascoli-Azela ([5]), cĩ sự chứng minh sau: Cho E là khơng gian Banach với chuẩn . và là khơng gian mêtric compact. Cho là khơng gian Banach các ánh xạ liên tục từ tới E với chuẩn: S ( )EC S S sup{ ( ) , }x x s s S   . Tập hơp A trong là compact tương đối nếu và chỉ nếu A là đẳng liên tục và ( )EC S s S   tập hợp  ( ) ( ) :A s x s x A  là compact tương đối trong E. Bây giờ cho là tập con bị chặn của X, ta phải chứng minh rằng  *n  , ( a) Tập C( là đẳng liên tục trong )nC nX Đặt  ( )( ) : , [0,S y s y s n]    2([0, ] )G n S khi đĩ S là bị chặn trong E. từ G là hồn tồn liên tục , tập  là compact tương đối trong E và do đĩ bị chặn, như vậy 20, ] )G n S nM([ 0  sao cho ( , ,( )( )) , , [0, ],nG t s y s M t s n y      ]n (3.7) Với bất kỳ 1 2, , [0,y t t   1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( , ,( )( )) ( , ,( )( )) t t Cy t Cy t G t s y s ds G t s y s ds       1 2 1 1 2 2 0 ( , ,( )( )) ( , ,( )( )) ( , ,( )( )) t t t G t s y s G t s y s ds G t s y s ds         (3.8) Do giả thiết 3A và (3.7) bất đẳng thức (3.8) chỉ ra rằng là đẳng liên tục trên . ( )nC nX ( b ) tập [0. ],t n  [0, ] ( ) ( ) { ( ) :n nC t Cy t y }   là compact tương đối trong E. Như trên, tập là compact tương đối trong E. suy ra 2([0, ]G n )S 2([0, ] )G n s là compact trong E, do đĩ là 2([0, ] )convG n S , ở đĩ 2([0, ] )convG n S là bao đĩng lồi của 2, ] )G n S([0  . Với mọi . Từ [0, ],t n y   2( , ,( )( )) ([0, ] ), [0, ],G t s y s G n S s n     Và 0 ( ) ( , ,( )( )) t Cy t G t s y s ds  Suy ra rằng 2( ) ( ) ([0, ]nC t tconvG n s   ). t (3.9) Như vậy tập là compact tương đối trong E . ( ) ( )nC Theo bổ đề (3.3), là compact tương đối trong X . Hơn nữa C là hồn tồn liên tục,bước 3 đã đươc chứng minh. ( )C  Bước 4: Cuối cùng ta chứng minh rằng *n  , lim 0 n n y n Cy y  . 0  cho trước, giả thiết 4A suy ra 0  sao cho ,u u   2( , , ) , , [0, ],4n G t s u u t s n n     (3.10) Ở đĩ . 2 2sup{ ( , ) : , [0, ]}nw w t s t s  n Mặt khác, G hồn tồn liên tục nên 0  sao cho ,u u   ( , , ) , , [0, ]G t s u t s n   (3.11) Kết hợp (3.10) , (3.11), , [0, ],t s n u E    , ta cĩ 2( , , ) 4n G t s u w u n    (3.12) Suy ra [0, ],t n  0 ( ) ( , ,( )( )) t Cy t G t s y s ds  2[ (4n n n n w y n )]     = 2 4 4n n n nw y n      . (3.13) Suy ra nếu ta chọn 24 4max{ , , }nn n n nw    . Khi đĩ với nny  ta cĩ n n Cy y  , nghĩa là lim 0 n n y n Cy y  . (3.14) Ap dụng định lý 2.1, ánh xạ U + C cĩ một điểm bất động y trong X. Khi đĩ phương trình (1.1) cĩ nghiệm x y   trên [0, ] . Định lý 3.1 đã được chứng minh . Chương 4 : NGHIỆM TIỆM CẬN ỔN ĐỊNH Bây giờ ta xét nghiệm tiệm cận ổn định của phương trình (1.1) định nghĩa như sau: 4.1. Định nghĩa Một hàm x được gọi là nghiệm tiệm cận của ổn định của phương trình (1.1) nếu với bất kì nghiệm x của (1.1) lim ( ) ( ) 0 t x t x t   . Trong phần này ta giả sử (A ) – (A ) thỏa mãn, giả sử thêm 1 4 (A ) ; 5 ( , ,0) 0, ( , )V t s t s   (A )Tồn tại hai hàm liên tục 6 3 4, :   sao cho 3 4( , , ) ( , ) ( , ) , ( , )G t s x w t s w t s x t s    Khi đĩ theo định lí 3.1 phương trình (1.1) cĩ nghiệm trên (0, ) . Mặt khác nếu x là nghiệm của (1.1), khi đĩ như bước 1 của chứng minh định lý 3.1 y x   thỏa mãn phương trình (3.2) . Suy ra t   ( ) ( ) ( ) ( )y t Ay t By t Cy t   (4.1) Ở đĩ 0 0 ( ) ( ) ( , ( ) ( )) ( ), 0 0, ( ) ( , , ( ) ( )) ; ( , ,0) 0, ( ) ( , , ( ) ( )) . t t Ay t q t f t y t t t A By t V t s y s s ds V t s Cy t G t s y s s ds                 Như vậy, ,t   1 3 4 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( , ) ( ) ( ) ] t t y t L y t w t s y s s ds w t s w t s y s s ds        (4.2) 0 1( ) ( , ) ( ) ( ) 1 t y t w t s y s ds a t L     , (4.3) Ở đĩ 1 4 3 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) . 1 1 t t w t s w t s w t s a t w t s s ds w t s ds L L        Ap dụng bất đẳng thức 2 2 2( ) 2( ), ,a b a b a b     , ta cĩ 2 22 22 0 0 2( ) ( , ) ( ) 2 ( ), (1 ) t t y t w t s ds y s ds a t L     (4.4) Đặt 2 222( ) ( ) , ( ) ( , )(1 ) t o v t y t b t w t s ds L     , (4.4) được viết lại như sau (4.5) 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) t v t b t v s ds a t  Do (4.5), dựa vào sự đánh giá cổ điển ta cĩ được 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )y t v t a t b t   0 0 ( ) ( ) 2 0 2 ( ) , t s tb s ds b u du e e a s ds t       (4.6) Khi đĩ ta cĩ định lý về nghiệm tiệm cận ổn định sau: 4.2. Định lý 4.1 Cho (A1 ) – (A ) thỏa mãn. Nếu 6 . (4.7) 0 0 ( ) ( ) 2 0 lim2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 t s tb s ds b u du t a t b t e e a s ds      2 Ở đĩ 1 4 3 0 0 2 1 42 0 1 1( ) [ ( , ) ( , )] ( ) ( , ) , 1 1 2( ) [ ( , ) ( , )] , (1 ) t t t a t w t s w t s s ds w t s ds L L b t w t s w t s ds L          Khi đĩ mọi nghiệm x của (1.1) là nghiệm tiệm cận ổn định. Hơn nữa lim ( ) ( ) 0 t x t t   Chứng minh định lý (4.1) Cho x, x là hai nghiệm của (1.1), khi đĩ y ,x y x     là nghiệm của (3.2) Từ (4.6) suy ra 0 0 ( ) ( ) 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) , t s tb s ds b u du y t a t b t e e a s ds t        (4.8) Tương tự cho 2( ) .y t Từ (4.7),(4.8) suy ra lim ( ) ( ) 0 t x t t   . Đặt . Khi đĩ do (4.8) 0 0 ( ) ( ) 2 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) t s tb s ds b u du c t a t b t e e a s ds     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ),x t x t y t y t c t t        (4.9) Kết hợp (4.7), (4.9) suy ra lim ( ) ( ) 0 t x t x t   Định lý (4.1) đã được chứng minh. Nhận xét 1: Chúng ta đưa ra 1 ví dụ khi điều kiện (4.7) thỏa cho các giả thiết sau: 2 2 1 0 0 2 2 3 3 0 0 0 ( ) : ( ) , ( ,0) ; ( ) : lim ( , ) 0, [ ( , ) ] t s t H q s ds f s ds H w t s ds w s u du ds                ; : tụ , với  , ii ) Tồn tại các hàm liên 1,4 sao cho 3( )H c , : ,i ig h i  1,4i  i ) )w h( , ) ( ( ), ( , )i i it s g t s t s  lim ( ) 0it g t  , iii ) 2 2( ) , ( ) .i ig s ds h s ds   0 0      Khi đĩ điều kiện (4.7) thỏa mãn. Th vậy, ật , Với t   Từ  là điểm bất động duy nhất của , ta cĩ:  ( )t ( ) ( , ( )) ( ) ( ,0) ( , ( )) ( ,0)q t f t t q t f t f t t f t        ( ) ( ,0) ( ) .q t f t L t   Nghĩa là 1( ) ( ( ) ( ,0) ), 1 t q t f t L    Cho nên 2 22 2( ) ( ( ) ( ,0) ), (1 ) t q t f t L    2 Như vậy ,theo giả thiết 1( )H thì 2 0 ( )s ds    . Hơn nữa, từ ta suy ra 3(H ) 2 22 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,4;i ih s s ds h s ds s ds i              0 0 lim ( , ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0, 1,4; t t i i it t w t s s ds g t h s s ds i      ) Kết hợp điều đĩ và 2(H ta cĩ: 1 3 4 0 0 1 1( ) ( , ) ( ) [ ( , ) ( , ) ( ) ] 0, 1 1 t t a t w t s s ds w t s w t s s ds L L        ) khi (4.10) t  Do 3(H ta cũng cĩ: 2 2 21 2 0 0 ( , ) 2 [ ( , ) ( , )] t t w t s ds w t s w t s ds   2 2 2 2 1 1 4 4 0 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 t t g t h s ds g t h s ds   ,  khi t (4.11) Suy ra 22 0 2( ) ( , ) 0, (1 ) t b t w t s ds L     t  ) khi (4.12) Ngồi ra, từ (4.11), 3(H (iii) suy ra 0 ( )b s ds    (4.13) Mặt khác, do 2 22 2 2 1 1 32 2 0 0 0 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) (1 ) (1 ) t t t a t g t h s s ds w t s ds L L            22 24 42 0 0 3 ( ) ( ) ( ) , (1 ) t t g t h s s ds L     Và 2 3( ),( )( )H H iii , ta cĩ 2 0 ( )a s ds    . (4.14) Như vậy, từ (4.10), (4.12) – (4.14) ta rút ra . 0 0 ( ) ( ) 2 2 0 lim2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 t s tb s ds b u du t a t b t e e a s ds      Nhận xét 2: Nếu là liên tục đều khi đĩ giả thiết : , 1,4ig i   3( )H (ii) : , từ giả thiết lim (it g t ) 0 ( 3)H (iii) suy ra : . 2 0 ( )ig s ds    Nhận xét 3: Ví dụ. Chúng ta đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả trên. Cho ([0,1], )E C Với chuẩn thơng thường   [0,1] sup ( )u u     . Xét (1.1), ở đĩ : , ( ); : ,( , ) ( , : ,( , , ) ( , : ,( , , ) ( , q E t q t f E E t x f t x v E E t s x V t s x G E E t s x G t s x              ); , ); , ), Sao cho ( , ), , 0,( ), [0,1],x C E t s s t        2 2 2 2 1( )( ) ( , ) ; ( , )( ) sin[ ( ) ( )]; 2 1( , , )( ) ( ) ( ) ; 1( , , )( ) ( ) , t t t t t s s t s s t kq t q t e e kf t x e e x e V t s x e e x e G t s x e e x e                          Trong đĩ 2k  là hằng số dương. Trước hết ta xét , ( , ), , 0,( ), [0,1],x y X C E t s s t         2 sin[ ( ) ( )] sin[ ( ) ( )] 2 2 t t te e x e y ( , )( ) ( , )( ) t kf t x f t y e           2 ( ) ( ) 2 ; 2 tke x y k x y         và 21( , , )( ) ( )s stG t s x e e xe      2 21 1 ( ) , 2( ) 2( ) s s s s t te e e e xe e           do bất đẳng thức Cauchy. Kết hợp điều đĩ và giả thiết đưa ra ở trên, ta cĩ thỏa mãn (A1 )–(A ), với , , ,q f V G 6 2 1 2 2 3 4 ( , ) ( 1), ( , ) 0, 1( , ) ( , ) 1. 2 t s s t s s w t s e e e w t s w t s w t s e e e           3) Ngồi ra 1( ) (H H thỏa là hiển nhiên. Trong trường hợp này, chúng ta kết luận định lý 3.1,4.1 thỏa. Chi tiết hơn chúng ta xét nghiệm x(t) của (1.1) như sau Cho ,( , ) :x X C E t     1( )( ) ( , ) , [0,1].tx t x t e       Dễ thấy x đã định nghĩa như trên là nghiệm của phương trình (1.1). Hơn nữa,  0,1 1( ) sup 0,ttx t ee           khi t Mặt khác, do ( , ( ))( ) ( , ( ))( ) ( ) ( ) , 2 f t x t f t y t k x t y t    Với mọi  , , , 0,x y X t 1 ,     ta cĩ       *0, 0,sup ( , ( )) ( , ( )) sup ( ) ( ) , .2t n t nf t x t f t y t k x t y t n N      Do đĩ, phương trình ( ) ( ) ( , ( )), 0x t q t f t x t t   Cĩ duy nhất nghiệm ( ) .t X  Chúng ta thấy rằng  0,1 ,  ( , ) ( , ) ( , ( ))( )t q t f t t      2 2 3 3 3 1 sin[ ( ) ( , )] 2 (1 ) . t t t t t t t t k ke e e t e e k e ke e                   Suy ra 3( ) ( ) .t tx t t e e     Do đĩ lim ( ) ( ) 0. t x t t   Chương 5 : TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Để khơng lẫn lộn, ta dùng các chữ tương tự , , , 1,2,3,4; , , , , ,iV G w i A B C U  trong phần 3 để định nghĩa Chúng ta xét phương trình sau: 0 ( ) ( ) ( , ( ), ( ( ))) ( , , ( ), ( ( ))) t x t q t f t x t x t V t s x s x s d     s  E , (5.1) 0 ( , , ( ), ( ( ))) , t G t s x s x s ds t   Ở đĩ được giả sử liên tục và : ; : ; , :q E f E E E G V E E           ( , ) ,t s s t      , , :, hàm      là liên tục. Ta giả sử thêm 1( )I Tồn tại hằng số [0,1)L sao cho ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( ), , , , , 2 Lf t x u f t y v x y u v x y u v E t          ; 2( )I Tồn tại hàm liên tục 1 :w   sao cho 1( , , , ) ( , , , ) ( , )( ), , , , , ( , ) ;V t s x u V t s y v w t s x y u v x y u v E t s         3( )I G hồn tồn liên tục sao cho 1 2( ,.,.,.) :G t I J J E   liên tục đều với biến t trong khoảng bị chặn bất kỳ, với bất kỳ tập con bị chặn [0, )I   và bất kỳ tập con bị chặn 1 2, .J J E 4( )I Tồn tại hàm liên tục 2 :w  sao cho 2 ( , , , ) ( , ) lim 0 x u G t s x u w t s x u    , đều trong (t,s) trong tập con bị chặn của  . 5( )I ( ) , ( ) , ( ) ,t t o t t t t t         . 5.1. Định lý 5.1 Cho 1( ) ( )5I I thỏa. Khi đĩ phương trình (5.1) cĩ một nghiệm trên (0, ) Chứng minh định lí 5.1 Phần sau đây tương tự phần 3, chỉ cĩ một ít thay đổi. Trước hết ta chú ý: a ) Do giả thiết 1( )I và 0 ( ) ,t t t     , ánh xạ : X X  định nghĩa bởi là ánh xạ L – co trên khơng gian Fréchet ˆ( ) ( ) ( , ( ), ( ( ))), ,x t q t f t x t x t x X t       ( , ) n X x . Thật vậy, cố định *, , [0,n x X t     ],n  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Lx t y t x t y t x t y t         .2 n nL nx y x y L x y      (5.2) Do đĩ . n n x y L x y    Như vậy  cĩ một điểm bất động  trong X. Bằng cách thay thế x y   , phương trình (5,1) được viết lại như sau ( ) ( ) ( ) ( ),y t Ay t By t Cy t t     . (5.3) Ở đây : 0 0 ˆ( ) ( ) ( , ( ) ( ), ( ( )) ( ( ))) ( ), 0 0, ( ) ( , , ( ) ( ), ( ( )) ( ( ))) , ( ) ( , , ( ) ( ), ( ( )) ( ( ))) . t t Ay t q t f t y t t y t t t A By t V t s y s s y t t ds Cy t G t s y s s y t t ds                            b ) Đặt U = A + B, Khi đĩ U là một ánh xạ co với họ nửa chuẩn . n . Thật vậy, cố định số nguyên dương tùy ý *n . Với mọi [0, ]nt  với  ˆ(0, ), min ( ), [0, ]n n nn t t n       đã được chọn sau cùng, Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 2 L LUy t Uy t y t y t y t y t            1 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 . n n n t w t s y s y s y s y s ds L w y y               Điều này suy ra  12 n nn nUy Uy L w y y .       n (5.4) Với mọi [ , ]nt  , tương tự ta cũng cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 2 L LUy t Uy t y t y t y t y t            1 0 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) n n n t n w y s y s y s y s d w y s y s y s y s d                       s s [ , ], [ , ], n n (5.5) Do bất đẳng thức ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 0 1, 0 1, n n n n n n n n h t h t n h t h t n e e t e e t                           Ở đĩ được chọn sau cùng, ta cĩ nh   ( ) ( ) ( ( ) ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( n n n n n n n n n n n n n n h t h t h t n n t h t n n nh h s n Uy t Uy t e L Ly t y t e y t y t e w y y w y s y s y s y s e ds L y y w y y w y s y s e y s y s                                                              ( ( ) ) ( ) ( ) 1 1 1 1 )) 2 2 22 , n n n n n n n n n n n n t h s h s t t h s t n n nh h n n nh h n e e ds L y y w y y w y y e ds wL y y w y y y y h                                  Ở đĩ    1 1sup ( , ) : ( , ) ; ( , ) [0, ] [0, ], .n n n nw w t s t s t s n n s t       Ta cĩ: 1 1 2 2 n n n n nh h n wUy Uy L y y w y y h . n              (5.6) Kết hợp (5.4) – (5.6) ta được   11 24 n nnn nn h n wUy Uy L w y y L y y h                ,n nk y y   (5.7) Ở đây, 11 2max 4 , .nn n n n wk L w L h         Chọn 1 1 1 20 min , , ; 4 1 n nn n n ,L wn h w L           Khi đĩ ta cĩ , do (5.7), U là ánh xạ - co với họ nửa chuẩn 1nk  nk . n c ) cũng hồn tồn liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng C liên tục. Với bất kỳ :C X X 0y X , cho  m my là một dãy trong X sao cho . 0my ylim._.