Định lý biểu diễn Doob-Meyer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 ChÛ ˝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Các v› dÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Các t›nh chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Quá trình ng…u nhi™n khả t›ch ặ“u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer 18 2.1 Quá trình tđng t˘ nhi™n tr™n thang thÍi gian rÍi rạc . . . . . . . . . . . 18 2.2 òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer vèi thÍi gian rÍi rạc . . . . . . . . . . 20 2.3 Quá trình tđng t˘ nhi™n vèi thang thÍi gian li™n tÙc . . . . . . . . . . . 21 2.4 òfinh l˝ bi”u di‘n Doob-Meyer vèi thÍi gian li™n tÙc . . . . . . . . . . 23 K’t luÀn 31 Tài liữu tham khảo 31 i Mẻ ặôu L˝ thuy’t quá trình ng…u nhi™n ặưểc nghi™n c¯u nhi“u vào nh˜ng nđm nˆa ặôu cềa th’ k˚ 20 và ặã thu hÛt ặưểc nhi“u nhà toán h‰c quan tâm nghi™n c¯u c„ th” k” t™n mẩt sậ nhà khoa h‰c c„ nhi“u ặ„ng g„p cho hưèng nghi™n c¯u này: Paul Pierre L–vy, Joseph Leo Doob, Paul-Andr– Meyer, A.V. Skorohod, I.I. Gihman, K. It^o, Andrey Kolmogorov, và các nhà khoa h‰c khác. Martingale lôn ặôu ti™n ặưểc bi’t ặ’n bẻi ngưÍi Pháp vào th’ k˚ 18 xuất hiữn trong các trfl chăi cá cưểc c„ t›nh chi’n lưểc. Khái niữm Martingale trong l˝ thuy’t xác suất lôn ặôu ti™n ặưểc gèi thiữu bẻi Paul Pierre L–vy và ặưểc phát tri”n bẻi Joseph Leo Doob. Nđm 1953 Joseph Leo Doob ặã phát bi”u và ch¯ng minh ặfinh l˝ bi”u di‘n Doob ặậi vèi martingale dưèi vèi thÍi gian rÍi rạc . Sau ặ„, ´ng phát tri”n ặfinh l˝ ặậi vÍi thÍi gian li™n tÙc vào nđm 1962, 1963. Các ặfinh l˝ này ặưểc ch¯ng minh bẻi Paul-Andr– Meyer vì vÀy ngày nay ặfinh l˝ bi”u di‘n Doob ặưểc g‰i là "òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer". Vèi mÙc ặ›ch ti’p cÀn hưèng nghi™n c¯u v“ l˝ thuy’t quá trình ng…u nhi™n, trong phạm vi mẩt kh„a luÀn tật nghiữp ặại h‰c em ch‰n ặ“ tài c„ t™n là: òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer nhêm tìm hi”u v“ ặfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer. Vèi mÙc ặ›ch ặ„ luÀn vđn ặưểc trình bày theo 2 chưăng. Chưăng I. Mẩt sậ ki’n th¯c chuằn bfi. Trong chưăng này, trình bày mẩt sậ khái niữm că bản cềa quá trình ng…u nhi™n, k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn và các t›nh chất cềa n„ phÙc vÙ cho viữc trình bày và ch¯ng minh các k’t quả cềa chưăng sau. Chưăng II. òfinh l˝ bi”u di‘n Doob - Meyer. Trong chưăng này, ặưa ra khái niữm quá trình tđng t˘ nhi™n và các t›nh chất cềa n„ và trình bày ch¯ng minh chi ti’t ặfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer ặậi vèi thÍi gian rÍi rạc và li™n tÙc. Kh„a luÀn ặưểc hoàn thành tại trưÍng òại h‰c Vinh dưèi s˘ hưèng d…n cềa Ths. Nguy‘n Thanh Diữu, nhân dfip này tác giả cềa kh„a luÀn xin chân thành cảm ăn s˘ hưèng d…n cềa Thôy. Mặc dễ ặã cậ gổng nhưng do hạn ch’ v“ mặt thÍi gian và ki’n th¯c n™n kh„a luÀn kh´ng th” tránh khãi nh˜ng sai s„t. Rất mong nhÀn ặưểc s˘ g„p ˝ cềa qu˝ thôy c´ và ặẩc giả ặ” kh„a luÀn ặưểc hoàn thiữn hăn. Tác giả 1 Chưăng 1 Mẩt sậ ki’n th¯c chuằn bfi 1.1 Quá trình ng…u nhi™n X–t kh´ng gian xác suất ặôy ặề (Ω,F ,F t ,P) vèi bẩ l‰c {F t } thãa mãn các ặi“u kiữn th´ng thưÍng (F 0 ch¯a các tÀp c„ ặẩ ặo 0, F t li™n tÙc phải F t = ⋂ s>t F s ). òfinh ngh‹a 1.1.1. Giả sˆ T là tÀp con cềa tÀp các sậ th˘c (T = R + ,N,Z, ...). Khi ặ„, ánh xạ X :Tì Ω → R (t, ω) 7→ X t (ω), ặưểc g‰i là mẩt quá trình ng…u nhi™n n’u thãa mãn: 1) Vèi mÁi t ∈ T thì X t : Ω → R là ánh xạ B(R)/F ặo ặưểc. 2) Vèi mÁi ω ∈ Ω thì X . (ω) : T → R là hàm xác ặfinh tr™n T. X . (ω) ặưểc g‰i là quá ặạo cềa quá trình ng…u nhi™n X vèi mÁi ω. òfinh ngh‹a 1.1.2. 1) X = (X t ) ặưểc g‰i là li™n tÙc n’u vèi m‰i ω ∈ Ω thì X . (ω) là hàm li™n tÙc. 2) X = (X t ) ặưểc g‰i là F t phễ hểp n’u vèi mÁi t thì X t ∈ F t . 3) X = (X t ) ặưểc g‰i là ặo ặưểc n’u B(T)ìF ặo ặưểc t›ch. 4) X = (X t ) ặưểc g‰i là Cadlag n’u X t li™n tÙc phải c„ gièi hạn trái. 2 1.2 K˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn òfinh ngh‹a 1.2.1. Giả sˆ (Ω,F ,P) là kh´ng gian xác suất, X : Ω → R là bi’n ng…u nhi™n và G là σ- ặại sậ con cềa F . Khi ặ„, k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn cềa X ặậi vèi σ- ặại sậ G là bi’n ng…u nhi™n Y thãa mãn: (i) Y là bi’n ng…u nhi™n G- ặo ặưểc. (ii) Vèi mÁi A ∈ G, ta c„: ∫ A Y dP = ∫ A XdP. Ta k˝ hiữu Y = E(X|G) ChÛ ˝ 1.2.2. 1. N’u Y là bi’n ng…u nhi™n xác ặfinh tr™n (Ω,F ,P) và G là σ- ặại sậ con cềa F sao cho Y là bi’n ng…u nhi™n G- ặo ặưểc, thì ta vi’t Y ∈ G. 2. N’u X, Y là các bi’n ng…u nhi™n ặã cho tr™n (Ω,F ,P) và G là σ- ặại sậ sinh bẻi Y , thì E(X|G) ặưểc k˝ hiữu là E(X|Y) và ặưểc g‰i là k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn cềa bi’n ng…u nhi™n X ặậi vèi bi’n ng…u nhi™n Y. 3. N’u X 1 , X 2 , .... là các bi’n ng…u nhi™n xác ặfinh tr™n (Ω,F ,P) và G là σ- ặại sậ sinh bẻi chÛng thì E(X|G) ặưểc k˝ hiữu là E(X|X 1 ,X 2 , ...). 4. N’u X = I A , A ∈ G thì E(X|G) ặưểc k˝ hiữu là P(A/G) và ặưểc g‰i là xác suất c„ ặi“u kiữn cềa bi’n cậ A ặậi vèi σ- ặại sậ G. E(I A |X 1 ,X 2 , ...) ặưểc k˝ hiữu là P(A|X 1 ,X 2 , ...) và ặưểc g‰i là xác suất ặi“u kiữn cềa bi’n cậ A ặậi vèi các bi’n ng…u nhi™n X 1 , X 2 , ... òfinh l˝ 1.2.3. i) N’u X là G- ặo ặưểc thì E(X|G) = X(h.c.c). òặc biữt, n’u C là hêng sậ thì E(C|G) = C (h.c.c). ii) N’u X 6 Y (h.c.c) thì E(X|G) 6 E(Y|G)(h.c.c). òặc biữt ta c„ bất ặđng th¯c | E(X|G) |6 E(| X | |G). (h.c.c) iii) N’u a, b ∈ R thì E((aX + bY)|G) = aE(X|G) + bE(Y|G)(h.c.c). iv) E[E(X|G)] = EX(h.c.c). v) N’u σ(X) và G ặẩc lÀp thì E(X|G) = EX. òặc biữt, n’u X, Y ặẩc lÀp thì E(X|Y) = EX. vi) N’u G 1 ⊂ G 2 thì E[E(X|G 2 )|G 1 ] = E[E(X|G 1 )|G 2 ] = E(X|G 1 ). 3 vii) N’u Y là G- ặo ặưểc và E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G). viii) N’u G 0 = {∅,Ω}(σ- trưÍng tôm thưÍng) thì E(X|G 0 ) = Y EX. Ch¯ng minh. i) D‘ thấy, Y = X ∈ G. Mặt khác, vèi m‰i A ∈ G ta c„ ∫ A Y dP = ∫ A XdP. Do ặ„ E(X|G) = X. Tưăng t˘ ặặt Y = C. Ta cÚng c„ E(C|G) = C. ii) Vì X 6 Y (h.c.c) n™n ∫ A Y dP 6 ∫ A XdP vèi m‰i A ∈ G ⇒ ∫ A E(X|G)dP 6 ∫ A E(Y|G)dP vèi m‰i A ∈ G ⇒ E(X|G) 6 E(Y|G)(h.c.c). Ta c„ − | X |6 X 6| X | ⇒ −E(| X | |G) 6 E(X|G) 6 E(| X | |G). ⇒| E(X|G) |6 E(| X | |G) (h.c.c). iii) Vèi m‰i A ∈ G Ta c„ ∫ A (aX + bY )dP = a ∫ A XdP + b ∫ A Y dP = a ∫ A E(X|G)dP + b ∫ A E(Y|G)dP = ∫ A E(aX|G + bE(Y|G)dP. iv) Vèi A = Ω ta c„: E[E(X|G)] = ∫ Ω E(X|G)dP = ∫ Ω XdP = EX. v) Vì vèi m‰i A ∈ G n™n các bi’n ng…u nhi™n X và I A ặẩc lÀp. Do ặ„ ∫ A E(X|G)dP = ∫ A XdP = ∫ Ω (XI A )dP = E(XI A ) = EX.EI A = ∫ A EXdP. Tı ặ„ suy ra ặi“u phải ch¯ng minh. 4 vi) Ta c„ E(X|G 1 ) là G 1 - ặo ặưểc n™n cÚng là G 2 - ặo ặưểc( vì G 1 ⊂ G 2 ) ⇒ E[E(X|G 1 )|G 2 ] = E(X|G 1 ). Mặt khác, do G 1 ⊂ G 2 n™n: ∫ A E[(X|G 2 )|G 1 ]dP = ∫ A E(X|G 2 )dP = ∫ A XdP = ∫ A E(X|G 1 )dP vèi m‰i A ∈ G 1 . Mặt khác, E[(X|G 2 )|G 1 ] là G 1 - ặo ặưểc, n™n theo ặfinh ngh‹a cềa k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn ta c„: E[E(X|G 2 )|G 1 ] = E(X|G 1 ). 1.3 Khái niữm quá trình d˘ báo ặưểc 1.3.1 Các σ trưÍng li™n quan ặ’n quá trình Giả sˆ (Ω,F ,P) là kh´ng gian xác suất. Cho trưèc quá trình ng…u nhi™n X = {X t , t ∈ T}. K˝ hiữu σ({X t , t ∈ T}) là σ- trưÍng con b– nhất cềa F ch¯a tất cả các σ- trưÍng σ(X t ), t ∈ T. Ta g‰i σ({X t , t ∈ T}) là σ- trưÍng sinh ra tı X = {X t , t ∈ T}. òặt σ X 6t = σ 6t = σ(X s , s 6 t), s, t ∈ T, σ X <t = σ <t = σ(X s , s < t), s, t ∈ T, σ X =t = σ =t = σ(X t ), σ X >t = σ >t = σ(X s , s > t), s, t ∈ T, σ X >t = σ >t = σ(X s , s > t), s, t ∈ T. Chÿ sậ X c„ th” bã ặi khi ta hi”u r‚ ặang làm viữc vèi X cÙ th”. Cho dãy σ- trưÍng con (F t , t ∈ T) cềa F . Dãy này ặưểc g‰i là kh´ng giảm, n’u F s ⊂ F t , s 6 t,∀s, t ∈ T. Chºng hạn, {σ 6t , t ∈ T} là h‰ kh´ng giảm. Ta lưu ˝ rêng, σ 6t gÂm các bi’n cậ quan sát ặưểc t›nh ặ’n thÍi ặi”m t. Cho h‰ σ- trưÍng con {F t , t ∈ [0,∞)} cềa F . òậi vèi mÁi t ∈ T = [0,∞) ta ặặt F t + = ⋂ s>t F s , F t − = σ( ⋃ s<t F s ), 5 F0 − = F 0 , F ∞ = σ( ⋃ 0<t F t ), trong ặ„ σ(C) là σ- trưÍng b– nhất cềa F ch¯a lèp các tÀp con C ⊂ F . Hi”n nhi™n, n’u (F t ) kh´ng giảm thì F t − ⊂ F t ⊂ F t + . Ta n„i rêng h‰ σ- trưÍng con {F t , t ∈ [0,∞)} li™n tÙc phải n’u F t = F t + vèi m‰i t ∈ T. R‚ ràng h‰ {F t + , t ∈ [0,∞)} li™n tÙc phải. 1.3.2 òfinh ngh‹a Vèi các k˝ hiữu như tr™n, ta n„i rêng quá trình ng…u nhi™n X = {X t ,F t , t ∈ T} là quá trình d˘ báo ặưểc, n’u (i) F t , t ∈ T kh´ng giảm; (ii) X t ∈ F t − vèi mÁi t ∈ T. 1.4 Martingale Giả sˆ (Ω,F ,P) là kh´ng gian xác suất ặôy ặề. X–t quá trình ng…u nhi™n X = {X t ,F t , t ∈ R + }. òfinh ngh‹a 1.4.1. Dãy X = X t ặưểc g‰i là F t -martingale n’u: (i) X = {X t ,F t , t ∈ R + } là dãy phễ hểp. (ii) E|X t | < ∞ vèi m‰i t ∈ R + . (iii) Vèi s 6 t; s, t ∈ R + E(X t |F s ) = X s (P− h.c.c). òfinh ngh‹a 1.4.2. Quá trình ng…u nhi™n X = X t ặưểc g‰i là F t -martingale tr™n n’u các ặi“u kiữn (i) và (ii) ặưểc thãa mãn và (iii') Vèi s 6 t s, t ∈ R + E(X t |F s ) 6 X s (P− h.c.c). òfinh ngh‹a 1.4.3. Dãy X = X t ặưểc g‰i là F t -martingale dưèi n’u các ặi“u kiữn (i) và (ii) ặưểc thãa mãn và 6 (iii'') Vèi s 6 t; s, t ∈ R + E(X t |F s ) > X s (P− h.c.c). 1.4.1 ChÛ ˝ 1. Tı ặfinh ngh‹a k˙ v‰ng ặi“u kiữn ta c„: òi“u kiữn (iii) tưăng ặưăng vèi ∫ A X t dP = ∫ A X s dP, ∀A ∈ F s s 6 t. òi“u kiữn (iii') tưăng ặưăng vèi ∫ A X t dP 6 ∫ A X s dP, ∀A ∈ F s s 6 t. òi“u kiữn (iii'') tưăng ặưăng vèi ∫ A X t dP > ∫ A X s dP, ∀A ∈ F s s 6 t. 2. Martingale, martingale tr™n, martingale dưèi ặậi vèi dãy các ặại lưểng ng…u nhi™n {X n ,F n } n∈N c„ th” ặưểc ặfinh ngh‹a như sau: Giả sˆ (X n ) là dãy các ặại lưểng ng…u nhi™n xác ặfinh tr™n kh´ng gian xác suất (Ω,F , {F n } n∈N ,P) , Khi ặ„, {X n ,F n , n ∈ N} là : +) Martingale n’u (i) X n ∈ F n ,∀n ∈ N. (ii) E|X n | < ∞ vèi m‰i n ∈ N. (iii) Vèi n = 1, 2, ... E(X n |F n−1 ) = X n−1 ,P− h.c.c. +) Martingale tr™n n’u các ặi“u kiữn (i), (ii) ặưểc th˘c hiữn và (iii') Vèi n = 1, 2, ... E(X n |F n−1 ) 6 X n−1 ,P− h.c.c. +) Martingale dưèi n’u các ặi“u kiữn (i), (ii) ặưểc th˘c hiữn và 7 (iii'') Vèi n = 1, 2, ... E(X n |F n−1 ) > X n−1 ,P− h.c.c. ThÀt vÀy, x–t trưÍng hểp martingale chºng hạn. Vèi 0 6 m 6 n,F m ⊂ F m+1 ⊂ .... ⊂ F n , n™n theo t›ch chất cềa k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn ta c„: X m = E(X m+1 |F m ) = E(E(X m+2 |F m+1 )|F m ) = E(X m+2 |F m ). và ti’p tÙc như th’ ta thu ặưểc X m = E(X n |F m ). 3. Trong các ặi“u kiữn tr™n, ặi“u kiữn (ii) ( t¯c là ặi“u kiữn c„ k˙ v‰ng h˜u hạn) c„ th” thay bêng ặi“u kiữn c„ k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn. Theo ặfinh ngh‹a, bi’n ng…u nhi™n X ặưểc g‰i là c„ k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn ặậi vèi σ- trưÍng F , n’u vèi xác suất 1. min(E(X + |F),E(X − |F)) < ∞. Trong trưÍng hểp như th’, ặặt: E(X|F) = E(X + |F)− E(X − |F). Trong ặ„ X + , X − là phôn dưăng, âm cềa X, t¯c là: X + =    X, n’u X > 0 0, n’u X 6 0 . X − =    −X, n’u X 6 0 0, n’u X > 0 . òặc biữt, n’u X c„ dấu kh´ng ặấi, thì E(X|F) lu´n lu´n c„ ngh‹a. Côn lưu ˝ rêng X c„ k˙ v‰ng h˜u hạn khi và chÿ khi E|X| = EX + + EX − < ∞. Ta ặưa ra ặfinh ngh‹a: Dãy X = {X n ,F n , n ∈ N}, ặưểc g‰i là martingale suy rẩng(ặậi vèi {F n , n ∈ N}), n’u: (i) {X n ,F n , n ∈ N} là dãy phễ hểp. 8 (ii) X n c„ k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn ặậi vèi F n vèi m‰i n ∈ N. (iii) Vèi m 6 n;m,n ∈ N E(X n |F m ) = X m ,P− h.c.c. 4. Khi kh´ng chÿ r‚ h‰ σ- trưÍng, thì ta ngôm hi”u ặang x–t h‰ σ- trưÍng t˘ nhi™n. Chºng hạn, khi n„i {X n , n ∈ N} là martingale, thì ta hi”u ặ„ là martingale ặậi vèi dãy σ- trưÍng t˘ nhi™n σ 6 n, n ∈ N. 1.4.2 Các v› dÙ V› dÙ 1.4.4. Giả sˆ (ξ n , n ∈ N) là dãy các bi’n ng…u nhi™n ặẩc lÀp vèi Eξ n = 0, n ∈ N. Khi ặ„ các tấng ri™ng S n = ξ 0 + ... + ξ n . là dãy martingale ặậi vèi F n = σ(ξ 0 , ..., ξ n ). ThÀt vÀy, do S n−1 ∈ F n−1 , t›nh ặẩc lÀp cềa ξ n vèi F n−1 , ta c„ E(S n |F n−1 ) = E(S n−1 + ξ n |F n−1 ) = S n−1 + Eξ n = S n−1 . V› dÙ 1.4.5. Giả sˆ (ξ n , n ∈ N) là dãy các bi’n cậ ng…u nhi™n ặẩc lÀp vèi Eξ n = 1, n ∈ N. Khi ặ„ các t›ch ri™ng X n = n ∏ k=0 ξ n là dãy martingale ặậi vèi F n = σ(ξ 0 , ..., ξ n ). òi“u này ặưểc ch¯ng minh như tr™n, cÙ th” là: E(X n |F n−1 ) = E(X n−1 ì ξ n |F n−1 ) = X n−1 ì Eξ n = X n−1 . V› dÙ 1.4.6. Giả sˆ X là bi’n ng…u nhi™n nào ặ„ c„ E|X| < ∞ và {F n , n ∈ N} là dãy σ- trưÍng con kh´ng giảm cềa F . Khi ặ„, dãy: X n = E(X|F n ) là dãy martingale ặậi vèi F n , n ∈ N. ThÀt vÀy, vì F n−1 ⊂ F n ta c„: X n−1 = E(X|F n−1 ) = E(E(X|F n )|F n−1 ) = E(X n |F n−1 ). V› dÙ 1.4.7. D‘ dàng ki”m tra lại rêng, n’u (ξ n , n ∈ N) là dãy các bi‘n cậ ng…u nhi™n kh´ng âm c„ k˙ v‰ng h˜u hạn, thì các tấng ri™ng: X n = ξ 0 + .... + ξ n . là dãy martingale dưèi ặậi vèi F n = σ(ξ 0 , ...., ξ n ). 9 V› dÙ 1.4.8. N’u X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale và g là hàm lÂi vèi E|g(X n )| < ∞, n ∈ N, thì {g(X n ),F n , n ∈ N} là martingale dưèi. ThÀt vÀy, theo bất ặºng th¯c Jensen vèi m 6 n ta c„: g(X m ) = g(E(X n |F m )) 6 E(g(X n )|F m ). V› dÙ 1.4.9. Tưăng t˘ ta c„: N’u X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale dưèi và g là hàm lÂi kh´ng giảm vèi E|g(X n )| < ∞, n ∈ N, thì {g(X n ),F n , n ∈ N} là martingale dưèi. 1.4.3 Các t›nh chất òfinh l˝ 1.4.10. Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale tr™n, và τ, σ là hai thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n = 0, 1, ..., N} sao cho P{τ 6 N} = P{σ 6 N} = 1. Khi ặ„: X σ > E(X τ |F σ ), ({τ > σ},P− h.c.c). (1.1) T¯c là: P{ω ∈ {τ 6 σ} : X σ < E(X τ |F σ )} = 0. Do ặ„, X τ∧σ > E(X τ |F σ ),P− h.c.c. (1.2) Ch¯ng minh. ThÀt vÀy, ặôu ti™n ta chÛ ˝ rêng E|X τ | = N ∑ n=0 ∫ {τ=n} |X τ |dP = N ∑ n=0 ∫ {τ=n} |X n |dP 6 N ∑ n=0 E|X n | < ∞. t¯c là E|X τ | < ∞. Ti’p theo, ta chÛ ˝ rêng: {τ > σ} = N ⋃ n=0 {σ = n} ∩ {τ > n},Ω = N ⋃ n=0 {σ = n}. Vì th’ ta x–t tÀp {σ = n} và ch¯ng tã rêng (1.1) ặÛng ặậi vèi ω ∈ {σ = n} ∩ {τ > σ} = {σ = n} ∩ {τ > n}. Tr™n tÀp này X σ = X n n™n ta c„: E(X τ |F σ ) = E(X τ |F n ), ({σ = n},P− h.c.c.). Do ặ„ chÿ côn chÿ ra rêng tr™n tÀp {σ = n} ∩ {τ > n} X n > E(X τ |F n ),P− h.c.c. 10 Giả sˆ A ∈ F n . Khi ặ„: ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n} (X n −X τ )dP = ∫ A∩{σ=n}∩{τ=n} (X n −X τ )dP + ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n} (X n −X τ )dP = ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n} (X n −X τ )dP (1.3) > ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n+1} (X n+1 −X τ )dP, trong ặ„ bất ặºng th¯c sau cễng ặưểc th˘c hiữn là do: (X n ) là martingale tr™n, n™n tr™n tÀp {σ = n} ∩ {τ > n} ∈ F n . Ta c„: X n > E(X n+1 |F n ), (P− h.c.c) hoặc tưăng ặưăng: ∫ A X n dP > ∫ A E(X n+1 |F n )dP = ∫ A X n+1 dP,∀A ∈ F n . Ti’p tÙc bất ặºng th¯c (1.3), ta ặưểc: ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n} (X n −X τ )dP > ∫ A∩{σ=n}∩{τ>n+1} (X n+1 −X τ )dP > ... ... > ∫ A∩{σ=n}∩{τ=N} (X N −X τ )dP = 0 (1.4) Vì tÀp Ω\ ⋃ N n=0 {σ = n} c„ ặẩ ặo kh´ng, n™n tı (1.4) suy ra (1.1). òfinh l˝ 1.4.11. • Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale tr™n, và τ, σ là hai thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n = 0, 1, ..., N}) sao cho P{σ 6 τ 6 N} = 1. Khi ặ„, ta c„: E(X 0 ) > E(X σ ) > E(X τ ) > E(X N ). • Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale dưèi, và τ, σ là hai thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n = 0, 1, ..., N}) sao cho P{σ 6 τ 6 N} = 1. Khi ặ„, ta c„: E(X 0 ) 6 E(X σ ) 6 E(X τ ) 6 E(X N ). 11 • Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale tr™n, và τ là hai thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n = 0, 1, ..., N}) sao cho P{τ 6 N} = 1. Khi ặ„, ta c„: E|X τ | 6 E(X 0 ) + 2E(X − N ) 6 3 sup n6N E|X n |. Ch¯ng minh. Tı òfinh l˝ 1.4.10 ta c„ hai khºng ặfinh ặôu trong òfinh l˝ 1.4.11. Khºng ặfinh th¯ ba ặưểc ch¯ng minh như sau: Ta thấy |X τ | = X τ + 2X − τ và theo khºng ặfinh th¯ nhất thì E|X τ | = EX τ + 2EX − τ 6 EX 0 + 2EX − τ . Do X = {X − n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale dưèi n™n theo khºng ặfinh th¯ hai thì: E(X − τ ) 6 E(X − N ). VÀy là, E|X τ | 6 EX 0 + 2EX − τ 6 EX 0 + 2EX − N 6 EX 0 + 2E|X N | 6 3 sup n6N E|X n |. Vì các bất ặºng th¯c (1.3) và (1.4) trẻ thành ặºng th¯c ặậi vèi martingale, n™n ta thu ặưểc: òfinh l˝ 1.4.12. Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale, và τ, σ là hai thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n = 0, 1, ..., N} sao cho P{σ 6 N} = 1,P{τ 6 N} = 1 Khi ặ„, ta c„: X σ = E(X τ |F σ ), ({τ > σ},P− h.c.c.), hoặc tưăng ặưăng X τ∧σ = E(X τ |F σ ), (P− h.c.c.). òặc biữt, n’u P{σ 6 τ 6 N} = 1, thì E(X 0 ) = E(X σ ) = E(X τ ) = E(X N ). òfinh l˝ 1.4.13. Giả sˆ X = {X n ,F n , n = 0, 1, ..., N} là martingale (martingale dưèi), và τ là thÍi ặi”m Markov (ặậi vèi {F n , n ∈ N}). Khi ặ„, dãy "ngổt" tại thÍi ặi”m τ , t¯c là, X τ = {X n∧τ ,F n , n ∈ N} cÚng là martingale( martingale dưèi). 12 Ch¯ng minh. ThÀt vÀy, ta thấy X n∧τ = n−1 ∑ m=0 X m I {τ=m} + X n I {τ>n} . Suy ra X n∧τ là F n -ặo ặưểc và c„ k˙ v‰ng h˜u hạn. Hăn n˜a, X (n+1)∧τ −X n∧τ = I {τ>n} (X n+1 −X n ), do ặ„ E(X (n+1)∧τ −X n∧τ |F n ) = I {τ>n} E((X n+1 −X n )|F n ) = 0(> 0). NhÀn x–t 1. 1) N’u X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale, thì hàm trung bình EX n kh´ng phÙ thuẩc n ∈ N. ThÀt vÀy, vèi m 6 n ta c„: EX m = E(EX n |F m ) = EX n . 2) N’u X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale dưèi thì hàm trung bình EX n kh´ng giảm theo n ∈ N. ThÀt vây, vèi m 6 n ta c„: EX m 6 E(EX n |F m ) = EX n . 3) N’u X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale, thì hàm E|X n | p , 1 6 p < ∞ kh´ng giảm theo n ∈ N. ThÀt vÀy, do |x| p , 1 6 p < ∞ là hàm lÂi, n™n {|X n | p ,F n , n ∈ N} là martingale dưèi. Vì th’, tı nhÀn x–t 2 suy ra nhÀn x–t 3. 1.5 Quá trình ng…u nhi™n khả t›ch ặ“u TÀp hểp tất cả các quá trình ng…u nhi™n khả t›ch tr™n (Ω,F ,P) k˝ hiữu là L 1 Mữnh ặ“ 1.5.1. Quá trình ng…u nhi™n X khả t›ch khi và chÿ khi vèi m‰i  > 0 tÂn tại δ > 0 sao cho ∫ A |X|dP < ,E|X| < 1 δ , ∀A ∈ F ,P(A) < δ. 13 Ch¯ng minh. Giả sˆ X khả t›ch (X ∈ L 1 ). òặt X n = |X|I [|X|6n] . Khi ặ„ X n ↑ |X|;EX n ↑ E|X|;E(|X|I [|X|>n] ) ↓ 0 n™n tìm ặưểc n 0 sao cho E(|X|I [|X|>n 0 ] ) <  2 . (1.5) Lấy δ = min(  2n 0 , 1 E|X| ). LÛc ặ„, n’u P(A) < δ thì ∫ A |X|dP = ∫ A |X|I [|X|>n 0 ] dP+ ∫ A |X|I [|X|6n 0 ] dP 6  2 +  2 = . Bất ặºng th¯c E|X| 6 1 δ ặÛng do cách ch‰n δ. òi“u ngưểc lại là hi”n nhi™n ặÛng. Bất ặºng th¯c (1.5) gểi ta ặi ặ’n ặfinh ngh‹a sau. òfinh ngh‹a 1.5.2. Giả sˆ H ⊂ L 1 = L 1 (Ω,F ,P). H‰ H ặưểc g‰i là khả t›ch ặ“u n’u sup X∈H ∫ [|X|>c] |X|dP → 0 khi c → ∞. (1.6) NhÀn x–t 2. a) N’u |X| 6 Y (h.c.c) ặậi vèi m‰i X ∈ H và Y ∈ L 1 thì H khả t›ch ặ“u. b) MÁi h‰ h˜u hạn các quá trình ng…u nhi™n khả t›ch là khả t›ch ặ“u. Mữnh ặ“ 1.5.3. Giả sˆ H ⊂ L 1 . Khi ặ„, H khả t›ch ặ“u khi và chÿ khi hai ặi“u kiữn sau ặưểc thãa mãn: a) Bfi chặn trong L 1 , t¯c là: sup X∈H E|X| < ∞; b) Li™n tÙc tuyữt ặậi ặ“u, t¯c là: ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho A ∈ F ,P(A) 6 δ thì sup X∈H ∫ A |X|P < . Ch¯ng minh. òi“u kiữn côn: Giả sˆ H khả t›ch ặ“u. òặt X c (ω) =    X(ω), n’u |X(ω)| 6 c 0, n’u |X(ω)| > c và X c = X −X c . Ta c„ ∫ A |X|dP 6 ∫ A[|X|6c] |X|dP+ ∫ A |X c |dP 6 cP(A) + E|X c |. (1.7) Lấy A = Ω trong (1.7) ta c„ a) n’u ch‰n c = c  ặề lèn ặ” sup H E|X c  | <  2 . 14 N’u lấy σ =  2c  thì sup H ∫ A |X|dP 6  2 +  2 = . òi“u kiữn ặề, giả sˆ h‰ H ⊂ L 1 thãa mãn a) và b). Cho  > 0 và giả sˆ δ = δ() thãa mãn b). òặt c = sup X∈H E|X|/δ < ∞, n™n P[|X| > c] 6 E|X| c < δ vèi m‰i X ∈ H. Tı ặ„ theo b) ∫ [|X|>c] |X|dP < , ∀X ∈ H. òfinh l˝ sau là s˘ mẻ rẩng cềa ặfinh l˝ Lebesgue. òfinh l˝ 1.5.4. Giả sˆ (X n ) là quá trình ng…u nhi™n khả t›ch, hẩi tÙ hôu chổc chổn tèi X . Khi ặ„, ặ” X khả t›ch và E|X n −X| → 0 côn và ặề là (X n ) khả t›ch ặ“u. N’u (X n ) kh´ng âm hẩi tÙ hôu chổc chổn tèi X thì EX n → EX < ∞ khi và chÿ khi (X n ) khả t›ch ặ“u. Ch¯ng minh. a) Giả sˆ X ∈ L 1 và E|X n −X| → 0. Khi ặ„ ∫ A |X n |dP 6 ∫ A |X|dP+ E|X n −X|. (1.8) Ch‰n n 0 ặề lèn ặ” E|X n − X| <  2 vèi n > n 0 , ch‰n A ∈ F sao cho P(A) < δ  ặ” ∫ A |X|dP <  2 và ∫ A |X j |dP <  2 vèi j = 1, ..., n 0 (xem nhÀn x–t 2). Khi ặ„ sup n ∫ A |X n |dP 6  2 +  2 =  Mặt khác, do {E|X n −X|, n = 1, 2, ...} bfi chặn n™n trong (1.8) thay A = Ω ta c„ sup n E|X n | 6 E|X|+ sup n E|X n −X| < +∞. VÀy (X n ) khả t›ch ặ“u. Ngưểc lại, giả sˆ (X n ) khả t›ch ặ“u. Khi ặ„ sup n E|X n | < ∞, và tı Bấ ặ“ Fatou suy ra E|X| < ∞. Ta c„ E|X n −X| = E|X c n −X c |+ E|X nc |+ E|X c |. (1.9) Cho  > 0, ch‰n c ặề lèn ặ” E|X c |+ sup n E|X nc | < 2 3 . (1.10) 15 Mặt khác, X c n → X c (h.c.c) và |X c n − X c | 6 2c n™n theo ặfinh l˝ Lebesgue, tÂn tại n 0 sao cho E|X c n −X c | <  3 khi n > n 0 . (1.11) Tı (1.9), (1.10) và (1.11) ta c„ E|X n −X| n 0 . b) Cfln lại côn ch¯ng minh rêng n’u (X n ) kh´ng âm và EX n → EX thì E|X n −X| → 0(do ặ„ (X n ) khả t›ch ặ“u). Ta c„ X + X n = X ∧X n + X ∨X n , 0 6 X ∧X n 6 X,X ∧X n → X. Theo ặfinh l˝ Lebesgue, E(X ∧X n ) → EX. Mặt khác, tı giả thi’t, E(X + X n ) → 2EX . Tı ặ„ E(X ∨X n ) → EX và do ặ„ E|X n −X| = E(X n ∨X)− E(X n ∧X) → 0. òfinh l˝ 1.5.5. (òfinh l˝ Walle-Poussen) Giả sˆ H ⊂ L 1 . Khi ặ„, các ặi“u kiữn sau tưăng ặưăng: a) H khả t›ch ặ“u. b) TÂn tại mẩt hàm G(t) xác ặfinh tr™n [0,+∞), lÂi dưèi, tđng và kh´ng âm sao cho lim t→+∞ G(t) t = +∞, và sup X∈H E[G(|X|)] < +∞ (1.12) Ch¯ng minh. b)⇒a). òặt M = sup X∈H E[G(|X|)] < ∞. Cho  > 0, ặặt a = M/. Ch‰n c ặề lèn ặ” G(t)/t > a vèi t > c. Khi ặ„ [|X| > c] ⊂ [|X| 6 G(|X|)/a] và như vÀy ∫ [|X|>c] |X|dP 6 1 a ∫ [|X|>c] G(|X|)dP 6 M a = , ∀X ∈ H. a)⇒b). Tı s˘ khả t›ch ặ“u cềa H suy ra tÂn tại dãy sậ nguy™n dưăng (c n ) tđng th˘c s˘ và c n → +∞ sao cho sup X∈H ∫ [|X|>c] |X|dP 6 2 −n , n = 1, 2, ... 16 Tı ặ„ ∫ [|X|>c] |X|dP > ∞ ∑ k=c n kP[k < |X| 6 (k + 1)] > ∞ ∑ k=c n P[|X| > k] = ∞ ∑ k=c n a k (X), ẻ ặây, a k (X) := P[|X| > k]. Mặt khác, sup X ∑ n ∞ ∑ k=c n a k (X) 6 sup X ∑ n ∫ [|X|>c] |X|dP 6 ∑ n sup X ∫ [|X|>c] |X|dP 6 1. òặt g k = max{n : c n 6 k}, k = 1, 2, ... R‚ ràng g k ↑ +∞. òặt g(t) = g k , khi t ∈ [k, k + 1). Khi ặ„ g k ↑ +∞. Hàm G(t) côn tìm là ∫ t 0 g(u)du. Ngoài ra EG(|X|) 6 ∞ ∑ k=1 g k a k (X) = ∑ n ∞ ∑ k=c n a k (X) 6 1, ặ“u ặậi vèi X ∈ H, ngh‹a là c„ (1.12). NhÀn x–t 3. N’u lấy G(t) = t α , t ∈ [0,+∞), α > 1 thì tı ặi“u kiữn sup H |X| α < ∞ suy ra H khả t›ch ặ“u. òặc biữt, n’u X n → X(h.c.c) và sup n E|X n | α 0 bất k˙ thì (|X n | β ) khả t›ch ặ“u và E|X n −X| β → 0,∀ 0 < β < α. òfinh l˝ 1.5.6. (òfinh l˝ Dunford- Pettis) Giả sˆ (Y n ) n∈N là dãy các bi’n ng…u nhi™n khả t›ch ặ“u. Khi ặ„, tÂn tại mẩt dãy con (Y n k ) k∈N hẩi tÙ y’u v“ bi’n ng…u nhi™n khả t›ch Y, ngh‹a là vèi m‰i bi’n ng…u nhi™n bfi chặn ξ ta c„ lim k→∞ E(ξ(Y n k )) = E(ξY ). 17 Chưăng 2 òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer 2.1 Quá trình tđng t˘ nhi™n tr™n thang thÍi gian rÍi rạc Cho (Ω,F , {F n } n∈N ,P) là kh´ng gian xác suất ặôy ặề vèi bẩ l‰c (F n ) n∈N . òfinh ngh‹a 2.1.1. Dãy A = (A n ) n∈N ặưểc g‰i là mẩt dãy tđng n’u n„ là dãy phễ hểp, khả t›ch và thãa mãn A 0 = 0, A n 6 A n+1 hôu chổc chổn. N’u A là mẩt dãy tđng thì vèi m‰i martingale bfi chặn M = (M n ) n∈N ta c„: E(M n A n ) = E n ∑ j=1 M j (A j − A j−1 ), ∀n > 1. (2.1) ThÀt vÀy, n ∑ j=1 M j (A j − A j−1 ) = M n A n −M 1 A 0 − n ∑ j=2 A j−1 (M j −M j−1 ), (2.2) c„ k˙ v‰ng h˜u hạn. Mặt khác, A 0 = 0 và E(A j−1 (M j −Mj − 1)) = E(E(A j−1 (M j −Mj − 1)|F j−1 )) E((A j−1 E(M j −Mj − 1)|F j−1 )) = 0. Lấy k˙ v‰ng hai v’ cềa phưăng trình (2.2) ta c„ c´ng th¯c (2.1). òfinh ngh‹a 2.1.2. Mẩt quá trình tđng A = (A n ) n∈N là quá trình tđng t˘ nhi™n n’u vèi m‰i martingale bfi chặn M = (M n ) n∈N ta c„: E(M n A n ) = E n ∑ j=1 M j−1 (A j − A j−1 ), ∀n > 1. 18 Do ặ„, mẩt quá trình A là mẩt quá trình tđng t˘ nhi™n n’u và chÿ n’u vèi m‰i martingale bfi chặn M = (M n ) n∈N ta c„: E n ∑ j=1 M j (A j − A j−1 ) = E n ∑ j=1 M j−1 (A j − A j−1 ), ∀n > 1. Mữnh ặ“ 2.1.3. Cho A là mẩt quá trình tđng, các khºng ặfinh sau là tưăng ặưăng: 1) A là quá trình tđng t˘ nhi™n. 2) A n là F n−1 - ặo ặưểc. 3) E ∑ n j=1 A j (M j −M j−1 ) = 0 vèi m‰i martingale bfi chặn M và ∀n > 1. Ch¯ng minh. (1) ⇐⇒ (3). ThÀt vÀy, n ∑ j=1 A j (M j −M j−1 ) = M n A n −M 0 A 1 − n ∑ j=2 M j−1 (A j − A j−1 ) = M n A n −M 0 (A 1 − A 0 )− n ∑ j=2 M j−1 (A j − A j−1 ) = M n A n − n ∑ j=1 M j−1 (A j − A j−1 ). (2) =⇒ (3): ThÀt vÀy, ∑ n j=1 A j (M j −M j−1 ) = M n A n − ∑ n j=1 M j−1 (A j − A j−1 ). ⇒ E( n ∑ j=1 A j (M j −M j−1 )) = E(M n A n − n ∑ j=1 M j−1 (A j − A j−1 )). = E(M n A n )− E( n ∑ j=1 M j−1 (A j − A j−1 )) = 0. (3) =⇒ (2): Cho M là mẩt martingale bfi chặn bất k˙. Thì, E(M n (A n − E(A n |F n−1 ))) = E((M n −M n−1 )A n ) + E(M n−1 (A n − E(A n |F n−1 ))) +E((M n−1 −M n )E(A n |F n−1 )) =: (i) + (ii) + (iii) Vèi n > 1 cho Y n := ∑ n j=1 A j (M j −M j−1 ). Theo giả thi’t, E(Y n ) = 0. Do ặ„ vèi n = 1 ta c„: (i) = E(Y 1 ) = 0 và vèi n > 2 ta c„ (i) = E(Y n − Y n−1 ). Ti’p theo, (ii) = E(E(M n−1 (A n − E(A n |F n−1 ))|F n−1 )) = E(M n−1 E((A n − E(A n |F n−1 ))|F n−1 )) = 0 19 = EM n (E(A n |F n−1 )− E(A n |F n−1 ))) = 0, và (iii) = E(E((M n−1 −M n )E(A n |F n−1 )|F n−1 )) = E(E(A n |F n−1 )E(M n−1 −M n |F n−1 )) = 0. Ta c„ ặi“u sau vèi m‰i martingale bfi chặn M, E(M n (A n − E(A n |F n−1 ))) = 0,∀n > 1. Cậ ặinh n > 1 và ặặt Y := sgn(A n − E(A n |F n−1 )). Ta áp dÙng ặi“u tr™n cho martingale bfi chặn M = (M k ) k∈N , tại: M k :=    Y, n’u k > n E(Y |F k−1 ), n’u 0 6 k 6 n− 1 . Ta thu ặưểc E|A n − E(A n |F n−1 )| = 0. Do ặ„ A n = E(A n |F n−1 ) hôu chổc chổn và ta k’t luÀn A n là F n−1 - ặo ặưểc. 2.2 òfinh l˝ bi”u di‘n Doob- Meyer vèi thÍi gian rÍi rạc òfinh l˝ 2.2.1. Giả sˆ X = {X n ,F n , n ∈ N} là martingale dưèi. Khi ặ„, tÂn tại duy nhất martingale M = {M n ,F n , n ∈ N} và dãy d˘ báo ặưểc {A n ,F n−1 , n ∈ N} sao cho X n = M n + A n , ∀n ∈ N, P− hôu chổc chổn (2.3) Ch¯ng minh. S˘ tÂn tại. òặt M 0 = X 0 , A 0 = 0 và M j+1 −M j = X j+1 − E(X j+1 |F j ), j = 0, 1, ..., n− 1, A j+1 − A j = E(X j+1 |F j )−X j , j = 0, 1, ..., n− 1, t¯c là M n = M 0 + n−1 ∑ j=0 [X j+1 − E(X j+1 |F j )] A n = n−1 ∑ j=0 [E(X j+1 |F j )−X j ]. 20 D‘ thấy A n là dãy tđng và d˘ báo ặưểc. Ta c„ E(M n |F n−1 ) = E [ M 0 + n−1 ∑ j=0 (X j+1 − E(X j+1 |F j ))|F n−1 ] = M 0 + n−2 ∑ j=0 (X j+1 − E(X j+1 |F j )) + E [ (X n − E(X n |F n−1 ))|F n−1 ] = M 0 + n−2 ∑ j=0 (X j+1 − E(X j+1 |F j )) = M n−1 . Suy ra M = {M n ,F n , n ∈ N} là martingale. Mặt khác M n + A n = X n ∀n ∈ N. VÀy vèi mÁi martingale dưèi X = {X n ,F n , n ∈ N} lu´n tÂn tại martingale {M n ,F n , } n∈N và dãy d˘ báo ặưểc {A n ,F n−1 } n∈N sao cho (2.3) thãa mãn. T›nh duy nhất. Giả sˆ X n = M ′ n + A ′ n , trong ặ„: M ′ = {M ′ n ,F n , n ∈ N} là martingale, A ′ = {A ′ n ,F n−1 , n ∈ N} là dãy tđng, d˘ báo ặưểc. Khi ặ„ A ′ n+1 − A ′ n = (A n+1 − A n ) + (M n+1 −M n )− (M ′ n+1 −M ′ n ). Lấy k˙ v‰ng c„ ặi“u kiữn ặậi vèi F n , ta c„ (A ′ n+1 − A ′ n ) = (A n+1 − A n ). Vì A 0 = A ′ 0 , ta ặưểc: A n = A ′ n và do ặ„ M n = M ′ n . 2.3 Quá trình tđng t˘ nhi™n vèi thang thÍi gian li™n tÙc Cho a : R + → R + là hàm tđng, li™n tÙc phải vèi a(0) = 0. TÂn tại duy nhất ặẩ ặo Borel h˜u hạn ặfia phưăng à a tr™n (0,∞) sao cho: à a ((s, t]) = a(t)− a(s) ∀s, t ∈ (0,∞) Ta ặfinh ngh‹a t›ch phân Stieltjes cềa hàm Borel bfi chặn b(t) ặậi vèi a(t) tr™n khoảng (t 1 , t 2 ] bẻi: ∫ t 2 t 1 b(s)da(s) := ∫ t 2 t 1 bdà a . Các ặfinh l˝ quen thuẩc ặậi vèi t›ch phân Lebesgue ặưểc mẻ rẩng ặậi vèi t›ch phân Lebesgue -Stieltjes. chºng hạn òfinh l˝ hẩi tÙ bfi chặn ặưểc mẻ rẩng như sau: 21 N’u |b n | 6 M và lim n→∞ b n = b thì lim n→∞ ∫ t 2 t 1 b n (s)da(s) = ∫ t 2 t 1 b(s)da(s). Ta c„ th” xem ặây là ặfinh l˝ hẩi tÙ bfi chặn ặậi vèi t›ch phân Lebesgue - Stieltjes. X–t (Ω,F ,P) là mẩt kh´ng gian xác suất, vèi bẩ l‰c (F t ) t∈R + thãa mãn các ặi“u kiữn th´ng thưÍng. ChÛng ta bi’t rêng mẩt martingale bất k˙ lu´n tÂn tại mẩt bản sao c„ quá ặạo là quá trình cadlag vì vÀy chÛng ta lu´n giả thi’t martingale c„ quá ặạo cadlag. òfinh ngh‹a 2.3.1. Mẩt quá trình li™n tÙc phải A = (A t ) t∈R ặưểc g‰i là mẩt quá trình tđng n’u n„ là quá trình phễ hểp, A 0 = 0 hôu chổc chổn, khả t›ch, và t 7→ A t (ω) là hàm tđng tr™n R + hôu chổc chổn. ._.