Định lí về các hệ tử phổ dụng đối với các nhóm đối đồng điều

c hiện và hồn thành luận văn. Đặc biệt, TS. Trần Huyên – Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình hồn thiện kiến thức và hồn thành luận văn. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy. Cuối cùng, em xin cảm ơn quý thầy phản biện đã xem luận văn và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề. Xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU  Lí do chọn đề tài Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tơpơ Đại Số , chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc hơn về các khơng gian tơpơ. Trong đĩ, các tri thức về đồng luân dây chuyền, đồng điều đĩng vai trị khá quan trọng. Nếu K là phức các nhĩm aben và G là nhĩm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài tốn tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thơng qua đồng điều của phức K. Khơng chỉ vậy, định lí hệ tử phổ dụng cịn cĩ thể mở rộng thành một định lí tổng quát hơn, đĩ là định lí phân lớp đồng luân và định lí này giúp ta tính đồng điều của phức Hom(K,L) thơng qua đồng điều của các phức K và L.Vì vậy, việc hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân là rất cần thiết. Nĩ cĩ vai trị hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều và Tơpơ Đại Số. Đĩ là lí do chọn đề tài.  Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu rõ về định lí hệ tử phổ dụng, định lí phân lớp đồng luân và cho thấy một vài ứng dụng của nĩ.  Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên phạm trù các phức, Hom của các phức và những vấn đề liên quan.  Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Làm rõ hai định lí quan trọng của đại số đồng điều: định lí hệ tử phổ dụng và định lí phân lớp đồng luân. Bên cạnh đĩ, cho thấy một vài ứng dụng của hai định lí trên trong việc tính đồng điều của phức Hom và tìm hiểu sâu hơn về đồng luân dây chuyền. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản được sử dụng khi trình bày luận văn. Đĩ là một số vấn đề về phức và đồng điều, hàm tử Ext, hàm tử Tor, … Phần chứng minh của các mệnh đề, định lí cĩ thể đọc chúng trong các tài liệu tham khảo. 1.1. Phức và đồng điều 1.1.1. Các định nghĩa  Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R-mơđun là họ  n nK , gồm các R-mơđun nK và các R-đồng cấu 1 , được cho theo tất cả các số nguyên n sao cho n n 1 0n n n: K K      . Như vậy, phức K là dãy vơ tận về hai đầu: n n 1 n 1 n n 1K : K K K         trong đĩ tích của 2 đồng cấu nối tiếp nhau thì bằng 0.  Chu trình n-chiều của phức K là phần tử của mơđun con n nC (K) Ker   Bờ n-chiều của phức K là phần tử của  n n 1 nB K K 1     Đồng điều H(K) là họ các mơđun nn n 1 KerH (K) Im    . Đẳng thức  nH K 0 cĩ nghĩa là dãy K khớp tại nK .  Phức K được gọi là tự do nếu nK là mơđun tự do với mọi n .  Cho  n n và K K ,   ' ' 'n nK K ,  là các phức. Một biến đổi dây chuyền ' là họ các đồng cấu  f : K K 'K ,n nf : K n n sao cho: . 'n n n 1 nf f , n             ' * n n n ' n 1 n 1 f H f : H K H K c K f c K       được cảm sinh từ f là một đồng cấu.  Họ các đồng cấu  'n n n 1s s : K K   , n  được gọi là một đồng luân dây chuyền giữa 2 biến đổi dây chuyền f, g nếu thỏa: ' n 1 n n 1 n n ns s f g      Kí hiệu : s : f g  Cho K-phức các R-mơđun và G là một R-mơđun. Khi đĩ, ta cĩ phức các nhĩm aben sau: n 1 n n 1 n n 1Hom(K,G) : Hom(K ,G) Hom(K ,G) Hom(K ,G)         với . n n 1 n 1 n 1(f ) ( 1) f : K G       Đồng điều của phức được gọi là đối đồng điều của phức K với hệ số trong G. Đĩ là họ các nhĩm aben được đánh theo chỉ số trên: Hom(K,G)   nn n n 1KerH (K,G) H Hom(K,G) Im    Các phần tử của được gọi là đối bờ n-chiều, cịn các phần tử của được gọi là đối chu trình n-chiều. Như vậy, đối chu trình n-chiều là đồng cấu sao cho n 1Im  nKer nf : K G n 1f  0  . Mọi biến đổi dây chuyền cảm sinh biến đổi dây chuyền: 'K Kh :      * 'h Hom h,1 : Hom K ,G Hom K,G f fh    1.1.2. Một số kết quả thường dùng Định lí 1.1. Nếu  's : f g : K K và ' ' ' ' ''s : f g : K K là các đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:  ' ' ' ' ''f s s g : f f g g : K K Định lí 1.2. Nếu  'f ,g : K K là các biến đổi đồng luân dây chuyền từ phức K tới phức K’ thì với mỗi ta cĩ: n    'n n n nH ( f ) H ( g ) : H ( K ) H ( K ) . Định lí 1.3. (Dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức: 0 0    E : K L M ( là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi n), dãy dài các nhĩm đồng điều sau là khớp:  , 1 1 1 E ,n E ,n* * n n n n nH ( M ) H ( K ) H ( L ) H ( M ) H ( K )            trong đĩ,         * n * nH , H và    1E ,n n n: H M H K  là đồng cấu nối và được xác định như sau:    1 1LE ,n M Kcls m cls m      Mệnh đề 1.1. Cho K-phức các R-mơđun và G là một R-mơđun. Khi đĩ,  Hom K ,G và là các song hàm tử hiệp biến theo G và phản biến theo K. nH K ,G Mệnh đề 1.2. Xét phạm trù các R-mơđun trái, kí hiệu là 1.2. Các hàm tử Hom và mơđun RX Mod . R Mod 1. Quy tắc đặt tương ứng mỗi mơđun RA Mod với nh om(X, A) vàĩm H đặt mỗi R-đồng cấu là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù : A B  với đồng cấu nhĩm: * : Hom( X ,A ) Hom( X ,B )     R Mod tới phạm trù các nhĩm aben. un 2. Quy tắc đặt tương ứng mỗi mơđ R ModA với nhĩm Hom(A, X) và đặt mỗi R-đồng cấu là một hàm tử phản biến từ phạm trù : A B  với đồng cấu nhĩm: * : Hom( B,X ) Hom( A,X )     R Mod tới phạm trù các nhĩm aben. ất kì d các dãy sau đây là khớp: Định nghĩa 1.1. Cho K và L là phức các R-mơđun. Ta định nghĩa phức Hom(K,L) là phức các p p n ư vậy, phần tử là m ọ các đồng cấu Định lí 1.4. Với mỗi mơđun X và với b ãy khớp ngắn 0 0    A B C 0 0           * * * * Hom( X ,A ) Hom( X ,B ) Hom( X ,C ) Hom( C,X ) Hom( B,X ) Hom( A,X ) nhĩm aben được xác định bởi: nHom (K,L) Hom    p (K ,L )  Nh ột h nf Hom (K,L)  p p p nf : K L , p   . Bờ Hf là họ  H p p p n 1f ) : K L   , ở ợc xác định bởi: ( đây H p( f ) đư  n 1p K nf ( 1) , f Hom K,L   H p L p 1( f ) f     với L và K là các tưđồng cấu bờ của các phức L và K ơng ứng. Nếu ' ': K K,h : L L  là các biến đổi dây chuyền thì: g      ' ', L Hom g,h : Hom K,L Hom K với p thỏa    n p p Hom g,h Hom g ,h      n     n p p n pHom g,h f h f g p là một biến đổi dây chuyền. h đề 1.3. Chu trình 0-chiều ức là biến đMện của ph ổi dây chuyền  Hom( K ,L ) f : K L ; nĩ là bờ của phần tử  1s Hom K ,L khi và chỉ khi s ân 0s : f là đồng lu . Từ mệnh ệ quả sau đây: đề 1.3, ta cĩ h Hệ quả. Nhĩm đồng điều là nhĩm aben các lớp đồng luân của các biến đổi dây chuyền  0H Hom K ,L f : K L . Mệnh đề 1.4. Hom(K,L) là song hàm tử hiệp biến theo L và phản biến theo K. 1.3. Hàm tử Ext 1.3.1. Các định nghĩa  Cho A và C là các mơđun trên vành R. Một mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn 0 E , : 0 A B C        các R-mơđun và các R-đồng cấu.  Cấu xạ ' của các mở rộng là bộ ba : E E   , ,  các đồng cấu sao cho biểu đồ sau đây giao hốn:    E : 0 A B C 0      ' '' ' ' 'E : 0 A B C 0      Hai mở rộng E, E’ được gọi là tồn đẳng  'E E nếu A = A’, C = C’ và tồn tại cấu xạ . Dễ thấy quan hệ tồn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu  R hay đơn giản hơn   'A C1 , ,1 : E E  Ext C,A  Ext C,A là tập tất cả các lớp tồn đẳng của các mở rộng A nhờ C.  Tổng trực tiếp là một mở rộng của A nhờ C. Mở rộng được gọi là chẻ ra nếu nĩ tồn đẳng với tổng trực tiếp với tư cách một mở rộng. 0 A A C C 0     B C 0    E , : 0 A      Đồng cấu chéo, đồng cấu tổng  Đồng cấu chéo của một mơđun C là đồng cấu: C : C C C,      (c) = (c,c)  Đồng cấu tổng của mơđun A là đồng cấu: 1 2 1 2: A A A, a ,a ) a a        1.3.2. Một số mệnh đề Mệnh đề 1.5. Mọi mở rộng nhờ một mơđun xạ ảnh luơn chẻ ra. Mệnh đề 1.6. Cho A, C và C’ là các mơđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A nhờ C’ và cấu xạ . Cặp được xác định một cách duy nhất chính xác tới một tồn đẳng của E’. Kí hiệu:  ': C C   ',E  1    'A , , : E E  E'E .    Mệnh đề 1.7. Cho A, C và C’ là các mơđun trên vành R. Nếu E là mở rộng của A nhờ C và là đồng cấu thì tồn tại mở rộng E’ của A’ nhờ C và cấu xạ . Cặp được xác định một cách duy nhất chính xác tới một tồn đẳng của E’. Kí hiệu: ': A A    ',E  1     'C, , : E E  'E E. . Mệnh đề 1.8. Đối với các đồng cấu ,  và mở rộng E trong các mệnh đề 1.6 và 1.7, tồn tại tồn đẳng:        E E Mệnh đề 1.9. 1. Đối với các mơđun A và C cho trước, tập các lớp tồn đẳng của các mở rộng mơđun A nhờ mơđun C là nhĩm aben với phép tốn hai ngơi cho tương ứng các lớp tồn đẳng của các mở rộng và lớp tồn đẳng của mở rộng: 1E 2E  1 2 1 2    A CE E E E Lớp các mở rộng chẻ ra là phần tử khơng của nhĩm này, phần tử đối của mở rộng bất kì E là  . 0     A A C C 1 A E 0  2. Ex là song hàm tử hiệp biến theo A và phản biến theo C. t C,A 1.4. Hàm tử Tor Định nghĩa 1.2. Cho là R-mơđun phải và là R-mơđun trái, ta xác định RG R C  RnTor G,C là tập tất cả các bộ ba:  t ,  C L, *: L . Trong đĩ, L là phức các mơđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n,   là các biến đổi dây chuyền ( xem G, C là phức tầm thường, : L G,  *L H Rom L,R ). Nếu là một phức khác và 'L ': L L  là biến đổi dây chuyền thì ánh xạ liên hợp cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các biến đổi và , ta xem * '*: L L  * ' ': L G  *: L C     ' *' ,L, ',L,      và quan hệ bằng nhau trong  RnTor G,C là quan hệ tương đương bé nhất bảo tồn hệ thức trên. Nếu đã cho các ánh xạ ' thì các qui tắc: ': G G , : C C          * , L, , L,    * , L, , L, ;        là bảo tồn hệ thức trên. Đơi khi, nếu khơng sợ nhầm lẫn ta cĩ thể viết thay cho . nTor RnTor Mệnh đề 1.10.  nTor G,C  1. là nhĩm cộng aben với phép tốn được xác định như sau: với 1 2  nt ,t Tor G,C thì        1 2 1 2     G C n* *t t t t Tor G,C 2. là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R-mơđun phải và R-mơđun trái đến phạm trù các nhĩm aben. nTor Chương 2 ĐỊNH LÍ HỆ TỬ PHỔ DỤNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Nếu K là phức các nhĩm aben và G là nhĩm aben tùy ý thì Hom(K,G) là một phức. Định lí hệ tử phổ dụng là một lời giải cho bài tốn tính đối đồng điều của phức Hom(K,G) thơng qua đồng điều của phức K. 2.1. Bổ sung tính khớp cho phản hàm tử Hom(-, G) Như đã biết, với mỗi mơđun G, phản hàm tử Hom(-, G) chuyển mỗi dãy khớp ngắn thành một dãy khớp chỉ về bên trái. Các kết quả sau bổ khuyết cho tính khơng khớp phải của phản hàm tư Hom(-, G). Mệnh đe 2.1. Cho A là mơđun con của mơđun B và E: 0 A B B/A = C 0    : B G   là dãy khớp các mơđun. Khi đĩ, đồng cấu cĩ thể thác triển tới đồng cấu khi và chỉ khi mở rộng : A G  E là chẻ ra. Chứng minh.  Giả sử đồng cấu : A G thác triển được tới : B G . Xét biểu đồ:     E: 0 A B C 0         (*) i'E : 0 G G C C 0      trong đĩ  được xác định như sau: Với b B, (b) b, b       . Khi đĩ, biểu đồ (*) giao hốn, thật vậy: + , ta cĩ: a A   (a) (a), (a) (a),0 i (a) i               + b B  , ta cĩ:      (b) b , b b              Vậy biểu đồ (*) là giao hốn, điều đĩ dẫn tới 'E E  là chẻ ra.  Ngược lại, nếu C 0 chẻ ra thì tồn tại đồng cấu B G là nghịch trái của i. Từ biểu đồ giao hốn: i 'E : 0 G B      ' 'i : ' ' E: 0 A B C 0 E: 0 G B C 0 i i                 Ta suy ra là thác triển của  .  i ' : B G  Mệnh đề 2.2. Nếu là dãy khớp ngắn các mơđun thì với mơđun G bất kì, ta cĩ dãy khớp các nhĩm aben sau: E: 0 A B C 0     0 * * * *EHom(C,G) Hom(B,G) Hom(A,G) Ext(C,G) Ext(B,G) Ext(A,G)       (2.1) Chứng minh. Theo định lí (1.4), dãy (2.1) khớp tại Hom(C,G) và Hom(B,G). Ta chứng minh dãy (2.1) khớp tại những vị trí cịn lại.  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Hom (A,G): Xét đồng cấu , ta cĩ: : A G   * * * Im : B G : B G E KerE                    sao cho có thể thác triển tới đồng cấu chẻ ra ( do mệnh đề 2.1 ) Do đĩ: . Vậy dãy (2.1) khớp tại Hom ( A,G). *KerE Im * 0 * )  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(C,G): + Do chẻ ra nên dẫn đến . E * * *σ E =(Eσ)  * *Im E Ker  + Bây giờ ta cần chứng minh . Xét mở rộng bất kì mà chẻ ra. Khi đĩ, biểu đồ sau giao hốn: *Kerσ ImE 1E Ext(C,G 1E σ A  1E σ: 0 G G B B 0    β  1β σ 1 11 1E : 0 G B C 0     trong đĩ là nghịch phải của , ta định nghĩa   1 : B B1    . Do  là nghịch phải của  nên . Do đĩ . Từ đĩ ta cĩ: 1 1 C    : B 1 1 0         1 1 a a 0, a       A 1 Vì dãy E1 khớp nên  1 1a Ker Im      , hơn nữa 1 đơn cấu nên tồn tại duy nhất    1 1g G : g a     . Bây giờ đặt: 1 : A G a g    thì hiển nhiên là đồng cấu và . Xét biểu đồ sau: 1 1 1    1 E: 0 A B C 0     1  1β 1 11 1E : 0 G B C 0     Do các hình vuơng giao hốn nên bộ ba 1 1 1( , ,1) : E E   là cấu xạ các dãy khớp và vì vậy ta cĩ . Vậy dãy (2.1) khớp tại thành viên Ext(C,G). 1 1E   E  Chứng minh dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G): + Ta cĩ:  ** * * *0 Im Ker         . + Ta chứng minh: *Ker Im *   . Lấy bất kì dãy khớp ngắn   1 11B B   *1 1 1 1E Ker , E , : 0 G 0       mà 1E  chẻ ra. Gọi  1, ,  là cấu xạ: . Bây giờ ta cần tìm 1 1E E  2E E xt C,G sao cho E2 1E  . Xét biểu đồ sau: 21 2 1 1 2 2 1 1 1 ' ' 2 0 : 0 0 : 0 0 : 0 0 0 pi i E G G A A E G B B E G B C                             Ta cần tìm mơđun B’ và xây dựng các đồng cấu 2, 2  và ' để được biểu đồ giao hốn trên và E2 là dãy khớp. Gọi là nghịch phải của 2i : A G A  2p : G A A  . Ta cĩ: 2 2 Ap i 1 . Đặt . Lấy và 2 1i : A B    ' 1B B / Im  ' '1 1: B B B / Im    là phép chiếu. Chọn . ' '2 1 : G B B   1 / Im   Khi đĩ:  ' '2 1 1 1(g) (g) (g) (g) Im          . Ta xây dựng '2 1: B B / Im C   1b Im (b)   . Với định nghĩa này thì là đồng cấu. Thật vậy: 2 Giả sử 1 2b Im b Im     , với 1 2 1b ,b B 1 2 1 2 2 b b Im a A : b b (a) i (a)                      1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2b b i (a) i (a) p i (a) p i (a) 0               (vì 1 2p    và ) 0  1 1 1 2(b ) (b )   . Do đĩ, là ánh xạ. Và dễ dàng nhận thấy 2 2 là đồng cấu. Hơn nữa, ta cĩ: c C  , do là tồn cấu nên  b B : (b) c    .Và do là tồn cấu nên 1 1 1 1 1b B : (b b )    2 1 1 1b Im (b )     (b) c   . Như vậy, 2 là tồn cấu. Như vậy ta chỉ cịn phải kiểm tra tính khớp của dãy: 2 2' 2E : 0 G B C 0      Giả sử: '2 1(g) 0 (g) 0      ' 1(g) 0    1(g) Im 0 Im      1 1 1 1 a A : (g) (a) (g) (a)            Mà        1 1 2 1 2 2 2 2 2i i p i p i              (**) (vì 1 2p    và 2 2 Ap i 1 ) Mặt khác, nên (do 1 1 0   1 1 1(a) (a) (g) 0 a 0           đơn cấu) 1(g) (a) (0) 0      g 0  (do đơn cấu). 1 Do đĩ, là đơn cấu. Giờ ta cần chứng minh:2 2 2Im Ker   , ta cĩ:    ' '2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0                       (vì 1 1 0   ) 2 2Im Ker    Mặt khác, lấy bất kì   2b Im Ker    , với 1b B , thì:  '1 2 2(b) (b) b Im 0         1 1 (b) Ker Im a A : (b) (a)            Mà (do (**)) 1      1 1 1 (b) (a) (a) b (a) 0           1 1b (a) Ker Im      1 1g G : b (a) (g) b (g) (a) Im           2 ' '1 1 1 2b Im (g) Im (g) (g) (g) Im                  2 2Ker Im    Như vậy, . Và do đĩ dãy (2.1) khớp tại Ext(B,G). 2Ker Im  2   Vậy dãy (2.1) khớp đối với bất kì G.  Mệnh đề 2.2 khẳng định rằng hàm tử Ext là sự bổ khuyết cho tính khơng khớp phải của hàm tử Hom. Tuy nhiên, khi đĩ Ext lại gây nên một sự khơng khớp mới: trong dãy (2.1), ánh xạ khơng phải luơn là tồn cấu. Thật vậy, ta xét ví dụ sau:   Ext B,G Ext A,G Ví dụ. Cho là vành các đa thức 2 biến x, y với hệ số trong trường K, và là iđêan gồm các đa thức cĩ hệ số tự do bằng 0 ( cĩ thể xem như là R-mơđun). Ở đây, trường K được xét như là R-mơđun với phép nhân ngồi như sau: R K x, y f(x,y).k = f(0,0).k , f(x,y)  R = K[x,y] và  k  K. (f(0,0) là hệ số tự do của đa thức f(x,y)  R) Ta kiểm tra với phép nhân trên thì K là R-mơđun: Thật vậy,  f(x,y),g(x,y)  R = K[x,y] và  k,h  K ta cĩ: + M1: 1. (vì đa thức cĩ hệ số tự do bằng 1) k k f (x, y) 1 Vì đa thức cĩ hệ số tự do bằng tích 2 hệ số tự do của 2 đa thức và g( nên: f (x, y).g(x, y) f (x, y) x, y) + M2: [f(x,y).g(x,y)].k = [f(0,0).g(0,0)].k = f(0,0).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(0,0).k] = f(x,y).[g(x,y).k] + M3: f (x,y).( k + h) = f(0,0).( k + h) = f(0,0).k + f(0,0).h = f(x,y).k + f(x,y).h Vì hệ số tự do của đa thức bằng tổng 2 hệ số tự do của 2 đa thức và nên: f (x, y) g(x, y) f (x, y) g(x, y) + M4: [f(x,y) + g(x,y)].k = [f(0,0) + g(0,0)].k = f(0,0).k + g(0,0).k = f(x,y).k + g(x,y).k Xét dãy  E , : 0 x, y R K        0 Trong đĩ, là phép nhúng : x, y R    và  : R K x, y K   f (x, y) f (0,0) Để kiểm tra tính khớp của E ta cần chỉ ra rằng là tồn cấu và Ker Im   . +  là tồn cấu: Xét  f (x, y),g(x, y), r r(x, y) R K x, y   x, y) g(x, y) , y) f (x, y) , vì hệ số tự do của đa thức bằng tổng 2 hệ số tự do của f ( và và hệ số tự do của đa thức bằng tích 2 hệ số tự do r(x và nên ta cĩ:  f (x, y) g(x, y) .f (x, y)r(x, y) * [f(x,y) + g(x,y)] = f(0,0) + g(0,0) = [f(x,y)] + [g(x,y)].   * [ r.f(x,y)] = [r(x,y).f(x,y)] = r(0,0).f(0,0) = r(x,y).f(0,0) = r. [f(x,y)].   Do đĩ, là đồng cấu R-mơđun.  Hơn nữa, với , ta chọn k K   f (x, y) k R K x, y   thì ta cĩ:  f (x, y) f (0,0) k   Như vậy, là tồn cấu.  + : Ker Im   Thật vậy, ta cĩ: f(x,y) Ker [f(x,y)] = 0 f(0,0) = 0 f(x,y) = Im       Như vậy, dãy  E ,   là khớp 0 x, y R K     0 là dãy khớp. Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng: là khơng tồn cấu với mọi mơđun G (tức là dãy (2.1) khơng khớp về bên phải). * : Ext(R,G) Ext( x, y ,G)    Do R là R-mơđun tự do nên với mỗi mơđun G nên để chứng minh là khơng tồn cấu với mọi mơđun G, ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại mơđun G sao cho hay nĩi cách khác khơng phải là R-mơđun xạ ảnh. Ext(R,G) = 0 y ,G) 0   * : Ext(R,G) Ext( x, y ,G)    Ext( x, Gọi M là R-mơđun tự do sinh bởi {x,y} : M = Rx Ry = K[x,y]x K[x,y]y.  Khi đĩ, ta cĩ tồn cấu sau: p : M = K[x,y]x K[x,y]y [f(x,y).x , g(x,y).y] f(x,y).x + g(x,y).y    Thật vậy, dễ thấy p là tồn ánh nên ta chỉ cần kiểm tra p là đồng cấu: 1 1 2 2r = r(x,y) R = K[x,y], [f (x,y).x , g (x,y).y], [f (x,y).x , g (x,y).y] M     ta cĩ:   1 1 2 2p [f (x,y).x , g (x,y).y] + [f (x,y).x , g (x,y).y]  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 p [f (x,y) + f (x,y)].x , [g (x,y) + g (x,y)].y] [f (x,y) + f (x,y)].x + [g (x,y) + g (x,y)].y = f (x,y).x + f (x,y).x + g (x,y).y + g (x,y).y = [f (x,y).x + g (x,y).y] + [f (x,y).x + g (x,y).y] = p f (x,     1 2 2y).x , g (x,y).y p f (x,y).x , g (x,y).y    p r.[f(x,y).x , g(x,y).y]  p r(x,y).[f(x,y).x , g(x,y).y]  p r(x,y).f(x,y).x , r(x,y).g(x,y).y r(x,y).f(x,y).x + r(x,y).g(x,y).y = r(x,y).[f(x,y).x + g(x,y).y] = r.p[f(x,y).x , g(x,y).y]   Vậy p là tồn cấu, do đĩ ta cĩ dãy khớp sau: i p0 Kerp M K[x, y]x K[x, y]y x, y 0       (**) trong đĩ, i là phép nhúng. Giả sử dãy khớp trên là chẻ ra. Khi đĩ, p khả nghịch phải. Cho nên tồn tại đồng cấu , sao cho: q : M = K[x,y]x K[x,y]y  pq = 1 . Ta chú ý rằng mọi đa thức cĩ thể viết dưới dạng là một đa thức theo x với hệ tử là một đa thức theo f(x,y) K[x,y]  n i i i 0 ) = f (y)x  y : f(x,y Giả sử: n mi ii i i 0 i 0 q(x) f (y)x x, g (y)x y                 i   và t l ' i ' i i i i 0 i 0 q(y) f (y)x x, g (y)x y               Khi đĩ: n m n m i i i i i i i i 0 i 0 i 0 i 0 x pq(x) p f (y)x x, g (y)x y f (y)x x g (y)x y                                 o 1 o 11 f (y) g (y).y f (y) 1 g (y).y     Bằng cách so sánh hệ tử của x ta cĩ: Ta xem x và y như là 2 đa thức thuộc vành hệ tử , khi đĩ do các đa thức xy, x và y đều thuộc iđêan nên ta cĩ: R = K[x,y] t l t l ' i ' i ' i 2 ' i i i i i i 0 i 0 i 0 i 0 q(xy) xq(y) x f (y)x x, g (y)x y f (y)x x , g (y)x xy                                      . Hơn nữa: n m i i i i i 0 i 0 q(xy) q(yx) yq(x) y f (y)x x, g (y)x y                    n m i i i i i 0 i 0 f (y)x xy, g (y)x y                  2 2  iDo đĩ: ' 2 ' 0 0 0 0 ( ) , ( ) ( ) , ( )                                    t l n m i i i i i i i i i i i f y x x g y x xy f y x xy g y x y t n ' i 2 i i i i 0 i 0 t n ' i 2 i 1 i i i 0 i 0 f (y)x x f (y)x xy f (y)x [f (y)y]x                      1 So sánh hệ tử của x ta cĩ: . o0 f (y)y Tuy nhiên, rõ ràng 21( ) [1 ( ). ] ( ).   of y y g y y y y g y y là một đa thức khác 0 vì cĩ hệ số của y là 1. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là sai, do đĩ dãy khớp (**) khơng chẻ ra. Vì vậy, . Ext(, Kerp) 0 Tức là là khơng tồn cấu.  * : 0 Ext(R,Kerp) Ext( x, y ,Kerp) 0      Vậy khi nào thì dãy (2.1) vẫn cịn giữ nguyên tính khớp nếu bổ sung 0 bên phải? Mệnh đề sau đây là một câu trả lời: Mệnh đề 2.3. Nếu là dãy khớp ngắn các nhĩm aben và G là nhĩm aben tùy ý thì dãy (2.1): E: 0 A B C 0     0 * * * *EHom(C,G) Hom(B,G) Hom(A,G) Ext(C,G) Ext(B,G) Ext(A,G)       vẫn cịn giữ nguyên tính khớp nếu bổ sung 0 bên phải. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh    * : Ext B,G Ext A,G  : F B là tồn cấu. Để làm điều đĩ, ta chọn nhĩm aben tự do F và tồn cấu   Ker K với   . Đặt  1L A   thì K . Thật vậy, lấy ta cĩ: L x K    B A0 A x 0   . Suy ra:  1x  A  .Từ đây ta cĩ đồng cấu ' L : L A   cũng cĩ hạt nhân là K nên ta cĩ biểu đồ giao hốn sau: 1 2 E : 0 L A 0 E : 0 F 0           K K B  2 * 2trong đĩ khớp. Do đĩ kéo theo . Từ đĩ, ta nhận được biểu đồ giao hốn sau: 1E ,E 1 2E E  * *1E E  * 2EHom(K,G) Ext(B,G)  Ext(A *  L,G) * 1EHom(K,G) ,G) Ext(  với dịng dưới là khớp. Tuy nhiên, vì L là nhĩm con của F-tự do nên L-tự do, suy ra Ext(L,G) = 0. Do đĩ là tồn cấu và vì thế cũng là tồn cấu. *1E * Vậy mệnh đề đã được chứng minh.  2.2. Định lí hệ tử phổ dụng 2.2.1. Các mệnh đề bổ trợ Mệnh đề 2.4. Gọi Cn (K) là nhĩm các chu trình n - chiều của phức K. Khi đĩ: a.    1nn n KD BC K   n K - nhĩm các bờ (n – 1) – chiều của K. b. Đồng cấu bờ 1n n n: K K   phân tích được:   11 1'n n nj in n nK D C K  nK    Trong đĩ: nj là phép chiếu , là phép nhúng và 1ni     n n n' ( k C K ) k    c. Các dãy ngắn sau là khớp:    11 0 0 n n ' n n i j n n n n n n T K K D D C K H ( K )          n n : 0 C S : 0 Chứng minh. a. Xét phức: n 1 n n 1 n 1 n n 1K : ... K K K ...          Do là tồn cấu nên  n n n n 1: K Im B K     n n 1 n K B KKer  (định lí Nơte) Hay    n n 1n K B KC K  . b. nk K ,  ta cĩ: .   ' ' 'n 1 n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n ni j (k) i k C K i (k) (k) i j               c. Xét nT K 0   n ni jn nK D   n: 0 C  ni là phép nhúng nên đơn cấu, nj là phép chiếu nên tồn cấu.  Imin = Cn (K) = Kerjn Vậy Tn khớp. Xét trong đĩ:  'n 1 nn n 1 n nS : 0 D C K H (K) 0        ' n 1n 1 n 1 nn 1 K: D C KC K       n 1x K   , ta cĩ:   n 1 n 1 n 1' x C K 0 (x)        0       n 1 n 1 n 1 n 1 ' n 1 ' n 1 x Ker C K x C K 0 C K Ker 0                    đơn cấu  n là phép chiếu nên là tồn cấu.  'n 1 n 1 nIm Im Ker .      Vậy Sn khớp.  Mệnh đề 2.5. Cho biểu đồ giao hốn các nhĩm aben: 01 0 1F G    G 'G 1 0g 1g 01 01 1 '' ' 'G G    với F là nhĩm aben tự do, dịng trên nửa khớp, dịng dưới khớp. Khi đo, tồn tại duy nhất đồng cấu sao cho . 1 'g : F G 0 1 1 1'g g   Chứng minh. Giả sử  i i Ia  là cơ sở của F. Do biểu đồ giao hốn nên: '0 0 1 0g g   Suy ra: '0 0 1 1 0 1g g     Mà dịng trên nửa khớp nên kéo theo 0 1 0   '0 0 1g 0   Do đĩ, với mọi i , ta cĩ:    '0 0 1 i 0 1 i 0 1g a 0 g a Ker Im ' '         (do dịng dưới khớp)    ' 'i 1 1 i 0 1 ib G : b g a     Mà F tự do nên tồn tại duy nhất đồng cấu thỏa '1 1g : F G  1 i ig a b , i I    Rõ ràng:      ' '0 1 i 1 i 1 1 ig a b g a ,       i I    '0 1 1 1 ' 0 1 1 1 x F : g x g x g g          Vậy mệnh đề đã được chứng minh.  Mệnh đề 2.6. Cho K là phức các nhĩm aben tự do, L là phức các nhĩm aben,    n n n: H K H L ,n ,   là đồng cấu nhĩm. Khi đĩ, tồn tại biến đổi dây chuyền f : K L sao cho  * nnf   . Chứng minh. Xét dãy khớp:    in n n 10 C K K B K     0 Ta cĩ tự do vì  n 1B K  n 1 n 1B K K  là nhĩm aben tự do. Vì thế dãy khớp trên chẻ ra,  cĩ nghịch đảo phải . Do t là đơn cấu nên:   nK Kn 1t : B     n n n 1K C K tB K  Đặt C K , ta cĩ:    n n 1tB K     n n nK C K C K  Xét biểu đồ:      K Kn 1 nn 1 n nC K C K H K  0    n 1f  'nf n L C    L Ln 1 nn 1 n nL H L  0   Dễ thấy dịng trên của biểu đồ là nửa khớp, cịn dịng dưới khớp. Áp dụng mệnh đề 2.5 vào biểu đồ trên ta cĩ: + Tồn tại duy nhất đồng cấu    'n n nf : C K C L để hình vuơng giữa giao hốn. + Tồn tại duy nhất đồng cấu   n 1 n 1 n 1 f : C K L     để hình vuơng trái giao hốn. Ta xác định là biến đổi dây chuyền với f f . f : K L 'n n n nf : K L   n  f được xác định như trên là biến đổi dây chuyền: Ta cần chứng minh:    K Ln 1 n n n nf k k     , f k K 0  +   , ta cĩ:  nk C K vì k C  Kn 1 nf k    n K (do    L L 'n n n nf k f k 0      'n nf k C L )      K Ln 1 n n n nf k f k     , k C K +   , ta cĩ:  nk C K (do    K ' Kn 1 n n 1 nf k f    k    Kn nk C K  ) (hình vuơng trái giao hốn)  Ln nf k   Ln nf k  K     K Ln 1 n n n nf k f k      , k C Từ đĩ ta cĩ:    K Ln 1 n n n nf k f k k     , K Vậy f là biến đổi dây chuyền.  Chứng minh:  * nnf .  Với mọi , ta cĩ:  nclsz H K            * nn ' n n f f z f z do z C K    clsz cls cls     L ' n n K n n f z z       n clsz  Vậy mệnh đề đã được chứng minh.  Bây giờ ta xét chu trình n chiều  n nf C Hom(K,G) Hom(K ,G)   Hom(K,G) n 1f ' : K G  . Do nên ta cĩ thể xem f là biến đổi dây chuyền từ phức K vào phức (G, n) ( G ở chiều thứ n, 0 ở những chiều cịn lại ). Mặt khác, nếu thì tồn tại sao cho . Do đĩ, f biến thành 0 trong G. Từ đĩ, suy ra tương ứng: * n 1 n 1f f 0     nf ' f nf B nC (K)  n n: H (K,G) Hom H (K),G  biến mỗi clsf thành là một ánh xạ. Hơn nữa, nếu K tự do thì cịn là một tồn cấu. Ta cĩ mệnh đề sau: * nf : H (K) G  Mệnh đề 2.7. Nếu K là phức các nhĩm aben tự do thì ánh xạ  n n: H ( K ,G ) Hom H ( K ),G  xác định bởi là một tồn cấu nhĩm. *(clsf ) f  Chứng minh.  Chứng minh  là đồng cấu nhĩm: Với cl bất kì thuộc , ta cĩ: sf ,clsf ' nH (K,G)      * * * clsf clsf ' cls(f f ') f f ' f f ' (clsf ) (clsf ')             Do đĩ, là đồng cấu nhĩm.   Chứng minh  là tồn cấu: Xem G là phức tầm thường với G ở chiều thứ n và 0 ở những chiều cịn lại. Xét đồng cấu    n n: H K H G G   .. Theo mệnh đề 2.6, tồn tại đồng cấu sao cho nf : K G *f   Khi đĩ, tồn tại  nclsf H K,G sao cho:   *clsf f .    Do đĩ,  là tồn cấu.  Hơn nữa, ta cịn cĩ kết quả sau: Mệnh đề 2.8. Đồng cấu là tự nhiên theo các biến K và G.  Chứng minh.  Chứng minh  tự nhiên theo K: Xét đồng cấu , ta chứng minh biểu đồ sau giao hốn: 'g : K K     nK,G Hom H K ,GnH *g  * GHom g ,1     ' 'nK ,G Hom H K ,GnH Thật vậy, xét với là chu trình, ta cĩ: n 'clsh H K ,G  'nh : K G +         * G * G * G * * *Hom g ,1 clsh Hom g ,1 h 1 h g hg    +       * *g clsh cls hg hg    Từ đĩ ta cĩ: , tức là biểu đồ trên giao hốn.   ** GHom g ,1 g   Vậy  tự nhiên theo K.  Chứng minh  tự nhiên theo G: hồn tồn tương tự.  2.2.2. Định lí hệ tử phổ dụng Định lí . Giả sử K là phức của các nhĩm aben tự do và G là nhĩm aben tùy ý. Khi đĩ, đối với mỗi chiều thứ n ta cĩ dãy sau là khớp và chẻ ra:    10 0 nn nExt H ( K ),G H ( K ,G ) Hom H ( K ),G     (2.2) trong đĩ, các đồng cấu  và là tự nhiên theo các biến K và G.  Chứng minh.  Chứng minh dãy (2.2) khớp: Với ._.