Định giá quyền chọn trong toán học tài chính

ủa luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19, chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011 Học viên Đặng Thị Kiêm Hồng Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Các khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu 52 2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 LỜI NÓI ĐẦU Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây ở Việt Nam. Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền đầu tư vào chính các cổ phiếu đó. Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia thành 2 chương: Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục. Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường tổng quát hơn. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! 4 Chương 1 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên 1.1. Không gian xác suất 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1. ChoΩ là một tập cho trước, một σ -đại sốF trênΩ là một họ các tập con của Ω có những tính chất sau (i) /0 ∈F ,Ω ∈F . (ii) A ∈F ⇒ A ∈F . (iii) A1,A2, ... ∈F ⇒ ∞⋃ i=1 Ai ∈F . Bộ (Ω,F ) được gọi là một không gian đo được. Một độ đo xác suất P trên một không gian đo được (Ω,F ) là một hàm P :F → [0,1] sao cho (a) P( /0) = 0,P(Ω) = 1. (b) Nếu A1,A2, ... ∈F và {Ai}∞i=1 rời nhau (Ai∩A j = /0, nếu i 6= j) thì P( ∞⋃ i=1 Ai) = ∞ ∑ i=1 P(Ai) Bộ ba (Ω,F ,P) được gọi là một không gian xác suất. 5 Định nghĩa 1.2. Nếu (Ω,F ,P) là một không gian xác suất thì hàm X : Ω→ Rn được gọi làF -đo được nếu X−1(U) = {ω ∈Ω,X(ω) ∈U} ∈F . Một biến ngẫu nhiên X là một hàmF -đo được, X :Ω→ Rn. 1.1.2. Các khái niệm hội tụ Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất cơ bản, P là độ đo đủ. Định nghĩa 1.3. Hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn,n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω,F ,P). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn h.c.c−−→ X , nếu P{ω : lim n→∞Xn(ω) = X(ω)}= 1. Định nghĩa 1.4. Hội tụ theo xác suất Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn P−→ X , nếu lim n→∞P{ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ε}= 0, với mọi ε > 0. • Xn h.c.c−−→ X ⇒ Xn P−→ X . • Xn P−→ X ⇒∃{Xnk} ⊂ {Xn} : Xnk h.c.c−−→ X . Định nghĩa 1.5. Hội tụ trung bình Giả sử {Xn} ⊂ Lp, p ∈ (0,+∞). Dãy {Xn} hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn Lp−→ X , nếu lim n→∞E |Xn−X | p = 0. • Xn Lp−→ X , p ∈ (0,+∞)⇒ Xn P−→ X . 1.2. Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên Ta muốn diễn tả một quá trình mà sự tiến triển theo thời gian là ngẫu nhiên. Một đối tượng như vậy là một quá trình ngẫu nhiên. 6 Định nghĩa 1.6. Xét không gian xác suất (Ω,F ,P) và một tập hợp chỉ số I (vô hạn đếm được hay không đếm được). Ta xem I như một tập hợp các chỉ số thời gian; I có thể là tập N, (−∞,+∞); (0,+∞) hay [0,T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F ,P) và lấy chỉ số trong I. - Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. - Họ đếm được {X(t)}t∈I (I đếm được) các biến ngẫu nhiên được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.  Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo được (Ω,F ),(E,ξ ) và I là tập hợp chỉ số. Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là một ánh xạ: X : I×Ω→ E đo được đối với độ đo tích trên I×Ω.  Quá trình ngẫu nhiên X , đôi khi được viết là X(t,•) hay X(t) hay Xt , t ∈ I. Định nghĩa 1.7. Nếu cố định ω ∈Ω, thì {X(t,ω)}t∈I được gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω). Định nghĩa 1.8. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn(n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều. 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc Định nghĩa 1.9. Một họ các σ - đại số con (Ft , t ≥ 0) củaF ,Ft ⊂F , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: • Đó là một họ tăng theo t, tức làFs ⊂Ft nếu s < t, • Họ đó là liên tục phải, tức làFt = ∩ ε>0 Ft+ε , • Với A ∈F và P(A) = 0 thì A ∈F0 (và do đó A nằm trong mọiFt ). Định nghĩa 1.10. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0). Xét σ - đại sốFXt sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s≤ t :F Xt = σ(Xs,s≤ t), σ - đại số này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi là trường thông tin về X . Định nghĩa 1.11. Cho một bộ lọc bất kì (Ft , t ≥ 0) trên (Ω,F ). Một quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với 7 σ -đại sốFt . Mọi quá trình X = (Xt , t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (FXt , t ≥ 0). Định nghĩa 1.12. Một không gian xác suất (Ω,F ,P) trên đó có một bộ lọc (Ft)t≥0 được gọi là một không gian xác suất được lọc, kí hiệu là (Ω,F ,(Ft),P). 1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số Định nghĩa 1.13. Cho (Ω,F ,P) là một không gian xác suất, X : Ω→ Rn là biến ngẫu nhiên sao cho E(X) < ∞ và G là một σ - đại số con củaF ,G ⊂F . Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ - đại số G , nếu: • Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G . • Với mọi tập A ∈ G thì ta có ∫ A ZdP= ∫ A XdP. Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E(X |G ). Nếu ta chọn σ - đại số G là σ - đại số σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được ký hiệu là E(X |Y ). Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện Giả sử X ,Y : Ω→ Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞,E(Y ) < ∞. Tất cả các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn: 1. Nếu G là σ - đại số tầm thường { /0,Ω} thì E(X |G ) = EX . 2. E(X +Y |G ) = E(X |G )+E(Y |G ). 3. Nếu X đo được đối với G thì E(XY |G ) = XE(Y |G ). Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E(cY |G ) = cE(Y |G ). 4. Nếu G1 ⊂ G2 thì E(E(X |G2) |G1) = E(X |G1) . Nói riêng, E(E(X |G )) = EX . 5. Nếu X độc lập với G thì E(X |G ) = EX . 8 6. Nếu G và H là hai σ - đại số con của F và độc lập với nhau, và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì E(X |σ(G ,H )) = E(X |H ) , trong đó σ(G ,H ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa cả G lẫnH . 7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì g(E(X |G ))≤ E(g(X)|G ) . Nói riêng, (i) Với g(x) = |x| thì |E(X |G )| ≤ E(|X | |G ) . (ii) Với g(x) = x2 thì (E(X |G ))2 ≤ E((X)2 |G ). 8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n→ ∞) với E|X |< ∞ thì E(Xn|G ) ↑ E(X |G ) . 9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ 0 thì E ( lim inf n Xn |G ) ≤ lim inf n E(Xn |G ) . 10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu lim n→∞Xn = X hầu chắc chắn và |Xn| ≤ Y với EY < ∞ thì lim n→∞E(Xn |G ) = E(X |G ) . 11. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x,y) là một hàm hai biến sao cho E |φ(X ,Y )|< ∞. Khi đó thì E(φ (X ,Y ) |Y ) = E(φ(X ,Y )) . 1.2.4. Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.14. Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi P(A|F ) = E(IA|F ), 9 trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là IA (ω) = { 1 nếu ω ∈ A, 0 nếu ω /∈ A. Tính chất (1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c). (2) ∀A ∈F : P(A|F ) = 1−P(A|F ) (h.c.c). (3) ∀A1,A2, ... ∈F rời nhau từng đôi một thì P ( ∞⋃ n=1 An |F ) = ∞ ∑ n=1 P(An |F ). 1.2.5. Mac-tin-gan Định nghĩa 1.15. Cho không gian xác suất được lọc (Ω,F ,(Ft),P). Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) được gọi là một mac-tin-gan đối với bộ lọc (Ft , t ≥ 0) nếu (i) Xt khả tích với mọi t ≥ 0, tức là E |Xt |< ∞,∀t ≥ 0. (ii) X thích nghi với bộ lọc (Ft). (iii) Với mọi s, t ≥ 0 và s≤ t, hầu chắc chắn có Xs = E(Xt |Fs), hay có thể viết dưới dạng tích phân∫ A Xs dP= ∫ A Xt dP với mọi s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs. • Quá trình ngẫu nhiên Xt , t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan dưới đối với bộ lọc (Ft) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (iv) Với mọi s, t ≥ 0,s≤ t hầu chắc chắn có Xs ≤ E(Xt |Fs), hay có thể viết dưới dạng tích phân∫ A Xs dP≤ ∫ A Xt dP với s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs. 10 • Quá trình ngẫu nhiên Xt , t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan trên đối với bộ lọc (Ft) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (v) Với mọi s, t ≥ 0,s≤ t hầu chắc chắn có Xs ≥ E(Xt |Fs), hay có thể viết dưới dạng tích phân∫ A Xs dP≥ ∫ A Xt dP với s, t ≥ 0,s≤ t,A ∈Fs. Ví dụ 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho EX < ∞ và cho (Ft) là một bộ lọc bất kỳ trên (Ω,F ,P). Đặt Mt = E[X |Ft ]. Khi đó quá trình ngẫu nhiên (Mt)t≥0 là một mac-tin-gan đối với (Ft). Thật vậy, - Theo định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft) . - Với mỗi t ta có E|Mt | ≤ E [E [|X ||Ft ]] = E|X |< ∞ nên Mt khả tích. - Với mọi s < t ta có E[Mt |Fs] = E [E [X |Ft ]|Fs] = E[X |Fs] = Ms, (vì (Ft) là bộ lọc nênFs ⊂Ft ). Vậy Mt là một mac-tin-gan đối với lọc (Ft) . Ví dụ 1.2. Quá trình ngẫu nhiên (Wt , t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft) và thỏa mãn: Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s< t thìWt−Ws độc lập đối vớiFs. Tính chất này được gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ. Khi đó (Wt , t ≥ 0) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên ( FWt ) của nó, ở đây ta viếtFWt = σ{Xs,s≤ t} (để cho gọn, ta viếtFt =FWt ). Thật vậy, hiển nhiên nó thích nghi vớiFt và với 0≤ s≤ t, hầu chắc chắn có E(Wt |Ft) = E(Ws+Wt −Ws|Fs) = E(Ws|Fs)+E(Wt −Ws|Fs) =Ws+E(Wt −Ws) =Ws, vì đại lượng ngẫu nhiên Wt −Ws độc lập với tất cả các biến cố của σ -đại số FWt . Điều này có được là do Wt −Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn bất kì các đại lượng ngẫu nhiênWt1 , ...,Wtn ( 0≤ t1 ≤ ...≤ tn ≤ s) sinh ra σ -đại số này. 11 Ví dụ 1.3. Giả sử Xt ,0 ≤ t < ∞,X0 = 0,EX = 0 là quá trình có gia số độc lập, E(Xt −Xs)2 = F(t)−F(s), với 0≤ s≤ t. Khi đó, X2t −F(t) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiênFt . Thật vậy, E(X2t −F(t)|Fs) = E[X2s +2Xs(Xt −Xs)+(Xt −Xs)2−F(t)|Fs] = X2s +2XsE(Xt −Xs|Fs)+E[(Xt −Xs)2|Fs]−F(t) = X2s +E(Xt −Xs)2−F(t) = X2s −F(s) hầu chắc chắn với 0≤ s≤ t. Đặc biệt, đối với quá trình Wiener Wt ,0 ≤ t ≤ ∞,W0 = 0 thì W 2t − t, t ≥ 0 là mac- tin-gan đối vớiFWs ,s≤ t (vì rằng E(Wt −Ws)2 = t− s). Định lí 1.4. (Phân tích Doob-Meyer) Nếu X = (Xt , t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft), khả tích (tức E|Xt |< ∞, t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt +At , trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft) liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với (Ft). Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính Ý tưởng chính là như sau: Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét. Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung Xt không phải là một mac-tin-gan. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt thành một quá trình Zt = φ(Xt) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT . Khi đó, vì E(ZT |Ft) = Zt (t < T ) nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi Xt = φ−1 [E(ZT |Ft)] , t < T. Đặc biệt, X0 = φ−1 [E(ZT |F0)] . Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của tài sản đó tại thời điểm đáo hạn. 12 Có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên: (a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer: Giả sử Xt là một mac-tin-gan dưới. Ta có phân tích Xt = mac-tin-gan Mt + quá trình tăng At . Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một mac-tin- gan cụ thể Mt = Xt−At . Nếu Xt là một mac-tin-gan trên thì−Xt là một mac-tin-gan dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự. (b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất: Khi ta nói Xt nói chung không phải là một mac-tin-gan, ấy là ta xét dưới độ đo xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới là Q tương đương với độ đo xác suất P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá trình Xˆt sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan. Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT . Khi đó do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có EQ(XˆT |Ft) = Xˆt , ∀t < T. Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ−1(Xˆt) và ta định giá được tài sản Xt tại thời điểm t bởi công thức Xt = φ−1 [ EQ ( XˆT |Ft )] . Ta lưu ý hai điều quan trọng: • Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro, sao cho XˆT = e−r(T−t)XT , t < T với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì EQ(XˆT |Ft) = Xˆt = e0.Xt nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là Xt = e−r(T−t)EQ(XT ) • Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo mac-tin-gan. 13 1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.16. Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt , t ≥ 0) là quá trình Wiener hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a)W0 = 0 hầu chắc chắn. (b) Hiệu Wt −Ws là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t− s,(s < t). (c) Với mỗi n≥ 1 và với mọi phân hoạch hữu hạn 0≤ t0 ≤ t1 ≤ ...≤ tn, các biến ngẫu nhiênWtr −Wtr−1 ,r = 0,n là các biến ngẫu nhiên độc lập. (d)W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo củaW là liên tục. • Trường hợp tổng quát, trong điều kiện (b), phương sai của Xt−Xs là σ2(t−s). Khi đóW là một chuyển động Brown. Vài tính chất quan trọng (a)Wt là một mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên ( FWt ) của nó. (b) Hầu chắc chắn làWt không khả vi theo t. (c) Hầu chắc chắn làWt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t. (d)W tuân theo luật lôgarit - lặp như sau: lim sup t→∞ Wt√ 2t ln ln t = 1. (e) E(Wt) = 0,E(W 2t ) = t,∀t ≥ 0. Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từW Mệnh đề 1.1. Cho (Wt) là một chuyển động Brown và Ft =FWt . Khi đó, ta có 3 mac-tin-gan quen biết là: (a) Bản thânWt là một mac-tin-gan đối với (Ft), (b)W 2t − t là một mac-tin-gan đối với (Ft), (c) Với mọi u ∈ R thì euWt− u 2 2 t là một mac-tin-gan đối với (Ft). Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown Định lí 1.5. ChoW = (Wt , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện cần và đủ để cho (Wt) là một quá trình Wiener là (∗) { Wt là một martingale đối với (Ft) vớiFt =FWt W 2t − t là một martingale đối vớiFt =FWt Điều kiện (*) được gọi là đặc trưng Levy của quá trình Wiener. 14 1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích a. Hàm với biến phân giới nội • Một hàm thực f được gọi là có biến phân giới nội trên [a,b] nếu tồn tại hằng sốC sao cho với mọi phân hoạch của đoạn ấy D : a = x0 < x1 < ... < xn = b thì ta có bất đẳng thức n ∑ k=1 | f (xk)− f (xk−1)| ≤C. Ví dụ: Mọi hàm đơn điệu bị chặn đều có biến phân giới nội. • Một số kết quả quan trọng – Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành hiệu của hai hàm đơn điệu không giảm. – Nếu f : [a,b]→ R là một hàm có đạo hàm giới nội ∣∣∣ f ′(x)∣∣∣≤C thì f là một hàm có biến phân giới nội. – Mọi hàm f : [a,b]→R liên tục tuyệt đối trên [a,b] là hàm có biến phân giới nội. b. Tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes (i) Tích phân Lebesgue Để xây dựng tích phân Lebesgue ∫ A f (x)dµ đối với độ đo µ , A ⊂ Ω trong không gian xác suất (Ω,F ,P), người ta định nghĩa ∫ A f dµ đối với hàm đặc trưng f = IA, A ∈F . Sau đó, định nghĩa tích phân đối với hàm đơn giản f = n ∑ k=1 akIAk bởi ∫ A f dµ = n ∑ k=1 akµ(Ak), n⋃ k=1 Ak = A,Ak ∈F ,Ak rời nhau với mọi 1≤ k ≤ n. Cuối cùng, với một hàm f bất kì, f là giới hạn của một dãy fn các hàm đơn giản khả tích trên A. Khi đó, người ta định nghĩa∫ A f dµ = lim n→∞ ∫ A fn dµ. 15 (ii) Tích phân Stieltjes • Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ liên tục phải có biến phân giới nội được định nghĩa bởi (R−S) ∫ b a f (x)dφ(x) = lim max(xi−xi−1)→0 n ∑ i=1 f (ξi)[φ(xi)−φ(xi−1)] với mọi phân hoạch D : a = x0 < x1 < ... < xn = b, nếu giới hạn trên tồn tại. • Tích phân Lebesgue-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ có biến phân giới nội thường đưa về tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với một hàm không giảm (vì φ bằng hiệu của hai hàm không giảm). Khi đó, ta định nghĩa (L−S) ∫ b a f (x)dF(x) = (L) ∫ b a f dµF trong đó µF : độ đo sinh bởi F (F(b)−F(a) = µ[a,b]). * Như vậy, điều cần chú ý ở đây là, đối với việc xây dựng các tích phân Stieltjes∫ b a f dφ , việc quan trọng là phải giả thiết φ là một hàm có biến phân giới nội trên [a,b]. 1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên a. Quá trình đo được lũy tiến Cho không gian xác suất được lọc (Ω,F ,(Ft)t≥0,P). Định nghĩa 1.17. Giả sử T là tập con Borel của R, kí hiệu Bt là σ -đại số tất cả các tập con Borel của tập T ⋂ (−∞, t]. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt) được gọi là đo được lũy tiến đối với bộ lọc (Ft) nếu với mỗi t ∈ T,Xs(ω) trên tập (T ⋂(−∞, t])×Ω đo được theo (s,ω) đối với σ -đại số Bt ×Ft . Định nghĩa 1.18. Giả sử T là tập Borel. Ta đưa vào không gian T ×Ω, σ -đại số BF gồm tất cả các tập con A⊆T×Ω, sao cho với mọi t ∈T , tập con A⋂((−∞, t]×Ω) là đo được đối vớiBt ×Ft . Khi đó, các quá trình đo được lũy tiến đều đo được đối vớiBF . b. Quá trình khả đoán Định nghĩa 1.19. σ - đại số khả đoán Đó là σ -đại số nhỏ nhất các tập con của R+×Ω (kí hiệu làP) mà đối với nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được. 16 Định nghĩa 1.20. Quá trình khả đoán Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t,ω)) thích nghi với (Ft). Nếu X(t,ω) làP-đo được thì ta nói X là quá trình khả đoán đối với (Ft). 1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito a. Đặt vấn đề Nhiều bài toán đưa đến yêu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng I = ∫ b a f (t,ω)dWt (1.1) trong đó f (t,ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó,Wt là một quá trình Wiener. Ta biết rằng mỗi quỹ đạo t 7→Wt là một hàm liên tục của t. Tuy nhiên, hầu hết mọi quỹ đạo đó lại là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Như vậy, ta không thể định nghĩa tích phân (1.1) như một tích phân Stieltjes, mà phải tìm một cách xây dựng khác. Vào khoảng 1940-1941, một nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đã đưa ra cách xây dựng tích phân (1.1) dựa trên nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" và tích phân này được gọi là tích phân Ito. b. Định nghĩa cấu trúc Cho không gian xác suất được lọc (Ω,F ,(Ft)t≥0,P) và quá trình Wiener Wt , t ≥ 0,W0 = 0 với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (Ft) sao cho gia sốWu−Wt sau thời điểm t độc lập với σ -đại sốFt (u > t). Giả sử T là số không âm hoặc +∞. Ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên I(t) = ∫ T 0 f (t,ω)dWt đối với hàm ngẫu nhiên f (t,ω) đo được lũy tiến đối với họ (Ft) vàE ∫ T 0 | f (t,ω)|2 dt < ∞, tức là đối với các hàm f ∈ L2([0,T ]×Ω,BF ,µ×P). Định lí 1.6. Giả sử Wt và Ft là quá trình Wiener và họ σ -đại số liên hệ với nhau như đã mô tả ở trên. Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ f 7→ I( f ) từ không gian L2(BF ) = L2([0,T ]× Ω,BF ,µ×P) vào không gian L2(Ω,F ,P) sao cho (a) I là ánh xạ tuyến tính: I(c1 f1+c2 f2) = c1I( f1)+c2I( f2) hầu chắc chắn, trong đó c1,c2 là những hằng số, f1, f2 ∈ L2(BF ). (b) I là ánh xạ đẳng cự: E |I( f )|2 = E∫ T0 | f (t,ω)|2 dt. 17 (c) I(ηI[t1,t2]) = η(Wt2 −Wt1) hầu chắc chắn, trong đó η là biến ngẫu nhiên tùy ý đo được đối với Ft1 , bình phương khả tích (tức là η ∈ L2(Ft1)), 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T . Ta gọi tích phân ngẫu nhiên I( f ) = ∫ T 0 f (t,ω)dWt là tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên f lấy đối với quá trình Wiener. Chứng minh. 1. Trước hết, ta xét tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên bậc thang trên [0,T ]. Hàm ngẫu nhiên f (t,ω) được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại các điểm 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn trên đoạn [0,T ] (tn = T nếu đoạn hữu hạn, tn < ∞ nếu T = ∞), sao cho f (t,ω) =  f (0,ω) với mọi t ∈ [0, t1) f (t1,ω) với mọi t ∈ [t1, t2) ... f (tn−1,ω) với mọi t ∈ [tn−1, tn) 0 với mọi t ≥ tn(nếu T = ∞) Hàm ngẫu nhiên bậc thang đo được lũy tiến có dạng η0I[0,t1)(t)+η1I[t1,t2)(t)+ ...+ηn−1I[tn−1,tn)(t) (1.2) trong đó η0 = η0(ω) là hàm ngẫu nhiên F0-đo được, η1 là hàm Ft1 -đo được,..., ηn−1 là hàmFtn−1 -đo được (ηi(ω) = f (ti,ω)). Ngược lại, một hàm bất kì có dạng (1.2) là hàm bậc thang đo được lũy tiến, trong đó ηi ∈ L2(Ω). * Theo đòi hỏi (c), đối với hàm ηi.I[ti,ti+1)(t) có thể đặt tích phân ngẫu nhiên bằng ηi(Wti+1 −Wti) (hoặc bằng tích phân này hầu chắc chắn). Vì vậy, đối với hàm bậc thang, ta định nghĩa ∫ T 0 f (t,ω)dWt = I( f ) = n−1 ∑ i=0 f (ti,ω)(Wti+1 −Wti). * Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ I trên các hàm bậc thang là tuyến tính. * Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (b) đối với hàm bậc thang thuộc L2(BF ). 18 Ta có E |I( f )|2 = E ∣∣∣∣∣n−1∑i=0 f (ti,ω)(Wti+1 −Wti) ∣∣∣∣∣ 2 = E [ n−1 ∑ i=0 | f (ti,ω)|2 (Wti+1 −Wti)2+ 2Re∑ j<i f (t j,ω)(Wt j+1 −Wt j) f (ti,ω)(Wti+1 −Wti) ] . Ta biểu diễn kì vọng toán của số hạng thứ i trong tổng thứ nhất ở dạng kì vọng toán của kì vọng toán có điều kiện đối với σ -đại sốFti : E ( | f (ti,ω)|2 ( Wti+1 −Wti )2 |Fti)= = E[| f (ti,ω)|2 .E((Wti+1 −Wti)2|Fti ] = E | f (ti,ω)|2 (ti+1− ti) (do | f (ti,ω)|2 đo được đối vớiFti ). Tổng các kì vọng này cho ta ∫ T 0 E | f (ti,ω)|2 dt. Tương tự, ta cũng làm như thế đối với số hạng thứ (i, j) của tổng thứ hai, ta nhận được 2ReE [ f (t j,ω)(Wt j+1 −Wt j) f (ti,ω).E ( Wti+1 −Wti )∣∣∣Fti]= 0. Như vậy, điều kiện (b) đã được kiểm tra đối với các hàm bậc thang thuộc L2(BF ). 2. Xét hàm ngẫu nhiên bất kì f ∈ L2(BF ). • Ta hãy xét bổ đề sau Bổ đề 1.1. Xét không gian L2 = L2(0,T ) các hàm bình phương khả tích đối với độ đo Lebesgue trên đoạn [0,T ]. Đối với f ∈ L2 và h > 0, ta xác định hàm bậc thang fh như sau fh(t) =  0 khi 0≤ t < h và t ≥ h−1 h−1. kh∫ (k−1)h f (s)ds khi kh≤ t < (k+1)h∧h−1 trong đó a∧b = min{a,b}. Khi đó fh h→0−−→ f theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình trên [0,T ], đồng thời ∫ T 0 | fh(t)|2 dt ≤ ∫ T 0 | f (t)|2 dt, với mọi h. 19 Thật vậy, ta có ∫ T 0 | fh(t)|2 dt ≤ [T/h] ∑ k=1 h−1 ∣∣∣∣∫ kh (k−1)h f (s)ds ∣∣∣∣2 ( nếu T chia hết cho h hay T =+∞ thì đó là đẳng thức). Theo bất đẳng thức Cauchy∣∣∣∣∫ kh (k−1)h f (s)ds ∣∣∣∣2 ≤ h∫ kh (k−1)h | f (s)|2 ds. Vì vậy, ∫ T 0 | fh(t)|2 dt ≤ ∫ [T/h]h 0 | f (t)|2 dt ≤ ∫ T 0 | f (t)|2 dt. Ta còn phải chứng minh fh→ f với mọi f ∈ L2. Dễ dàng kiểm tra được, điều đó được thực hiện trong trường hợp f là hàm bậc thang. Với hàm f ∈ L2 tùy ý và với mọi ε > 0, tồn tại hàm bậc thang f ε sao cho ‖ f − f ε‖< ε . Ta có ‖ fh− f‖ ≤ ∥∥ f εh − f ε∥∥+‖ f − f ε‖+‖( f − f ε)h‖, trong đó ∥∥ f εh − f ε∥∥ h→0+−−−→ 0 và ∥∥ f εh − f ε∥∥ 0 đủ nhỏ, ‖ f − f ε‖< ε; ‖( f − f ε)h‖ ≤ ‖ f − f ε‖ ( theo chứng minh trên ). Do đó, fh h→0−−→ f theo nghĩa hội tụ bình._. phương trung bình trên [0,T ]. Bổ đề đã được chứng minh xong. • Tiếp theo, ta chứng minh bao đóng của tập các hàm ngẫu nhiên bậc thang trong L2([0,T ]×Ω,BF ,µ×P) trùng với cả không gian này. Thật vậy, đối với hàm ngẫu nhiên f ∈ L2(BF ), ta xét dãy hàm bậc thang fn(t,ω) như sau fn(t,ω) = n. k/n∫ (k−1)/n f (s,ω)ds nếu k/n≤ t < (k+1)/n, 0 nếu tích phân này phân kì. Theo định lí Fubini, trường hợp sau này có thể có chỉ với xác suất 0, ngoài ra tích phân là hàm của ω , đo được đối với σ -đại số Fk/n. Điều này có nghĩa là, fn là hàm ngẫu nhiên bậc thang thuộc L2(BF ). Do bổ đề vừa chứng minh ở trên, ta có∫ T 0 | fn(t,ω)|2 dt ≤ ∫ T 0 | f (t,ω)|2 dt 20 và ∫ T 0 | fn(t,ω)− f (t,ω)|2 dt n→∞−−−→ 0 với mọi ω sao cho hàm f (.,ω) bình phương khả tích. Do đó, E ∫ T 0 | fn(t,ω)− f (t,ω)|2 dt → 0, từ đó ta có điều cần chứng minh. • Bây giờ, ánh xạ tuyến tính đẳng cự I từ tập các hàm ngẫu nhiên bậc thang f ∈ L2([0,T ]×Ω,BF ,µ ×P) vào L2(Ω) sẽ được thác triển theo tính liên tục lên bao kín của tập các hàm bậc thang trong L2([0,T ]×Ω), cũng chính là không gian này (theo chứng minh trên), và ta nhận được ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ L2 ([0,T ]×Ω) vào L2(Ω). Điều này có nghĩa là, nếu hàm ngẫu nhiên f là giới hạn trong L2 ([0,T ]×Ω) của các hàm bậc thang đo được lũy tiến fn thì fn là dãy cơ bản trong L2 ([0,T ]×Ω), tức là I( fn) cũng là dãy cơ bản trong L2(Ω), nhưng vì L2(Ω) là không gian đầy đủ nên tồn tại giới hạn I( f ) = l.i.m. n→∞ I( fn). Như vậy, tích phân ngẫu nhiên Ito đã được xây dựng. Ví dụ 1.7. Dùng định nghĩa để tính ∫ T 0 WtdWt , trong đóWt , với t ≥ 0,W0 = 0 là quá trình Wiener. Giải. HàmWt đo được lũy tiến và bình phương khả tích trên [0,T )×Ω,T < ∞:∫ T 0 EW 2t dt = ∫ T 0 E(Wt −W0)2 dt = ∫ T 0 t dt = T 2 2 . Ta xác định ∫ T 0 Wt dWt là cái gì. Chọn phân hoạch 0= t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T và chọn hàm bậc thang f (t,ω) = Wti khi ti ≤ t < ti+1. Ta có ∫ T 0 E( f (t,ω)−Wt)2 dt = n−1 ∑ i=0 ∫ ti+1 ti E(Wt −Wti)2 dt = n−1 ∑ i=0 ∫ ti+1 ti (t− ti)dt = 1 2 n−1 ∑ i=0 (ti+1− ti)2. Khi làm mịn phân hoạch, tổng này hội tụ theo nghĩa trung bình phương đến 0. Vì vậy, ∫ T 0 WtdWt = l.i.m. n→∞ n−1 ∑ i=0 Wti(Wti+1 −Wti) 21 (giới hạn khi max(ti+1− ti)→ 0). Xét đồng nhất thức sau W 2T = [ n−1 ∑ i=0 ( Wti+1 −Wti )]2 = n−1 ∑ i=0 ( Wti+1 −Wti )2 +2 n−1 ∑ i=0 ∑ j<i ( Wti+1 −Wti )( Wt j+1 −Wt j ) = n−1 ∑ i=0 ( Wti+1 −Wti )2 +2 n−1 ∑ i=0 ( Wti+1 −Wti ) Wti . Nhận thấy, vế trái không phụ thuộc vào phân hoạch; tổng thứ nhất ở vế phải hội tụ theo bình phương trung bình đến T (do tính chất (e) của quá trình Wiener). Từ đó, suy ra ∫ T 0 Wt dWt = W 2T −T 2 .  c. Định nghĩa mô tả Mệnh đề 1.2. Giả sử hàm f (t,ω),0 ≤ t ≤ T < ∞ đo được lũy tiến, liên tục theo t theo bình phương trung bình. Khi đó, ta có ∫ T 0 f (t,ω)dWt = l.i.m. n→∞ n−1 ∑ i=0 f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti ) (1.3) khi làm mịn phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T . Nhận xét 1.8. Trong tổng tích phân của (1.3), không thể thay f (ti,ω) bằng f (si,ω), trong đó si là điểm tùy ý của [ti, ti+1], chẳng hạn ta có l.i.m. n−1 ∑ i=0 Wti+1 ( Wti+1 −Wti ) = W 2T +T 2 6= l.i.m. n−1 ∑ i=0 Wti ( Wti+1 −Wti ) . Chứng minh. Chọn phân hoạch 0= t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T và chọn f ∗(t,ω) = f (ti,ω) khi ti ≤ t ≤ ti+1. Khi đó, tổng tích phân của (1.3) chính là ∫ T 0 f ∗(t,ω)dWt . 22 Mặt khác, E ∣∣∣∣∫ T0 f (t,ω)dWt − ∫ T 0 f ∗(t,ω)dWt ∣∣∣∣2 = E ∣∣∣∣∫ T0 [ f (t,ω)− f ∗(t,ω)] dWt ∣∣∣∣2 = ∫ T 0 | f (t,ω)− f ∗(t,ω)|2 dt ≤ T. max t∈[0,T ] | f (t,ω)− f ∗(t,ω)| ≤ T. max 0≤i≤n−1 | f (t,ω)− f (ti,ω)| . (1.4) Khi làm mịn phân hoạch thì vế phải của (1.4) dần về 0. Do đó, ta nhận được (1.3). d. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô (i) E( I( f )|Fs) = 0 hầu chắc chắn, nếu hàm f ∈ L2(BF ) bằng 0 với t < s; EI( f ) = 0 với mọi f ∈ L2(BF ). (ii) E(I( f )I(g) |Fs ) = E (∫ t s f (t,ω)g(t,ω)dt |Fs ) hầu chắc chắn, nếu f và g là những hàm thuộc L2(BF ) bằng 0 với t < s. (iii) E ∣∣∣∫ T0 f (t,ω)dWt ∣∣∣2 = E∫ T0 | f (t,ω)|2 dt. (iv) Quá trình ngẫu nhiên Xt = ∫ t 0 f (s,ω)dWs,0≤ t ≤ T là mac-tin-gan đối với họ σ -đại sốFt . Chứng minh. * Chứng minh (i) • Trước hết, ta kiểm tra tính chất (i) đối với hàm bậc thang thuộc L2(BF ). Giả sử s = ti, khi đó E (∫ T 0 f (t,ω)dWt ∣∣∣∣Fs)= E ( n−1 ∑ i=0 f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti )∣∣∣∣∣Fs ) = n−1 ∑ i=0 E ( f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti )∣∣Fs) . Biểu diễn số hạng thứ i ở dạng trung bình có điều kiện của trung bình có điều kiện đối với σ -đại sốFti ⊇Fs, ta nhận được E [ E ( f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti )∣∣Fti)∣∣Fs] = E [ f (ti,ω).E ( Wti+1 −Wti ∣∣Fti)∣∣Fs]= 0 (hầu chắc chắn). 23 Ngoài ra, với mọi hàm bậc thang f ∈ L2(BF ), ta có EI( f )=E ( n−1 ∑ i=0 f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti )) = n−1 ∑ i=0 f (ti,ω)E ( Wti+1 −Wti ) = 0. • Bây giờ, ta chứng minh rằng tính chất (i) vẫn đúng đối với hàm ngẫu nhiên f bất kì thuộc L2(BF ). Tức là, ta cần kiểm tra∫ A I( f )P(dω) = 0, với mọi A ∈Fs, nếu f ≡ 0 khi t < s (1.5) Điều này đúng với các hàm bậc thang. Tiếp theo, ta xác định fn như đã chỉ ra ở trên, fn = 0 khi t < s, ta nhận được∫ A I( fn)P(dω) = 0. Ta có ∣∣∣∣∫A I( f )P(dω)− ∫ A I( fn)P(dω) ∣∣∣∣≤ ∫A |I( f )− I( fn)| dP ≤ ‖I( f − fn)‖ ≤ ‖ f − fn‖ n→∞−−−→ 0 Từ đó, ta nhận được (1.5). * Chứng minh (ii) • Ta kiểm tra tính chất (ii) đối với hàm bậc thang. Giả sử 0≤ s = t1 < t1 < t2 < ... < tn ≤ T, tn < ∞, f (t,ω) = g(t,ω) = 0 khi t < s và khi t ≥ tn f (t,ω) = f (ti,ω), g(t,ω) = g(ti,ω) khi ti ≤ t < ti+1. Khi đó, E( I( f )I(g)|Fs) = E [ n−1 ∑ i=1 f (ti,ω) ( Wti+1 −Wti ) . n−1 ∑ j=1 g(t j,ω) ( Wt j+1 −Wt j )∣∣∣∣∣Fs ] = n−1 ∑ i, j=1 E [ f (ti,ω)g(ti,ω) ( Wti+1 −Wti )( Wt j+1 −Wt j )∣∣∣Fs] . Ta biểu diễn các số hạng với i < j dưới dạng trung bình có điều kiện của trung bình có điều kiện đối với σ -đại sốFti , chúng bằng 0; ta cũng làm như vậy cho các số hạng với i > j. Các số hạng i = j cho ta E (∫ T s f (t,ω)g(t,ω)dt ∣∣∣Fs). 24 • Bây giờ, đối với hàm ngẫu nhiên f bất kì thuộc L2(BF ), ta cần kiểm tra ∫ A I( f )I(g)P(dω) = ∫ A [∫ T 0 f (t,ω)g(t,ω) ] P(dω) (1.6) với mọi A ∈Fs, nếu f ,g ≡ 0 khi t < s. Ta vừa chứng minh được điều này đúng với các hàm bậc thang. Bây giờ, ta xét fn, gn như đã chỉ ra ở trên, fn = gn = 0 khi t < s, ta nhận được∫ A I( fn)I(gn)P(dω) = ∫ A [∫ T 0 fn(t,ω)gn(t,ω) ] P(dω) (1.7) Vế phải của (1.7) khác vế phải của (1.6) không nhiều hơn∫ A ∫ T 0 | f | . |gn−g| dPdt+ ∫ A ∫ T 0 |g| . | fn− f | dPdt + ∫ A ∫ T 0 | fn− f | . |gn−g| dPdt. (1.8) Các tích phân ∫ A ∫ T 0 không vượt quá ∫ Ω ∫ T 0 , và (1.8) không vượt quá ‖ f‖ .‖gn−g‖+‖g‖ .‖ fn− f‖+‖ fn− f‖ .‖gn−g‖ n→∞−−−→ 0 (1.9) (‖.‖ là chuẩn trong L2([0,T ]×Ω)). Các vế trái của (1.6) và (1.7) không khác nhau nhiều hơn đại lượng∫ A [|I( f )| . |I(gn−g)|+ |I(g)| . |I( fn− f )|+ |I( fn− f )| . |I(gn−g)|] dP ≤ ‖I( f )‖ .‖I(gn−g)‖+‖I(g)‖ .‖I( fn− f )‖+‖I( fn− f )‖ .‖I(gn−g)‖ . (1.10) Do tính đẳng cự của I, vế phải của (1.10) bằng vế trái của (1.9) và dần đến 0 khi n→ ∞. Từ đó, phép chuyển giới hạn trong (1.7) cho ta (1.6). * Chứng minh (iii) : Đây chính là tính chất đẳng cự của tích phân Ito. Tính chất này đã được kiểm tra trong phần chứng minh định lí (1.6) * Chứng minh (iv): Theo cách chứng minh định lí (1.6), ta chỉ cần kiểm tra tính 25 chất (iv) đối với hàm bậc thang. Ta có E (∫ t 0 f (u,ω)dWu ∣∣∣∣Fs)= E(∫ s0 f (u,ω)dWu+ ∫ t s f (u,ω)dWu ∣∣∣∣Fs) = ∫ s 0 f (u,ω)dWu+E (∫ t s f (u,ω)dWu ∣∣∣∣Fs) = ∫ s 0 f (u,ω)dWu+E ( n−1 ∑ i=0 f (ui,ω) ( Wui+1 −Wui )∣∣∣∣∣Fs ) = ∫ s 0 f (u,ω)dWu. Ta có điều cần chứng minh. 1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô 1.4.1. Vi phân Itô Giả sử rằng X = (Xt , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: (a) Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục, (b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn: Xt = X0+ t∫ 0 h(t,ω)ds+ t∫ 0 f (s,ω)dWs (1.11) trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX . Định nghĩa 1.21. Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau: dXt = h(t,ω)dt+ f (t,ω)dWt (1.12) hay dX = hdt+ f dW. Khi ta viết ra một vi phân có dạng (1.12), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta có hệ thức (1.11) hầu chắc chắn. 26 1.4.2. Công thức Itô Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên: Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt) nếu ta biến đổi thành (Yt) với Yt = g(t,Xt) thì vi phân dY sẽ tính ra sao? Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiện các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định lí 1.9. Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt+ f dW. Giả sử g(t,x) : R2→ R là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t,Xt) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi: dYt = ∂g ∂ t (t,Xt)dt+ ∂g ∂x (t,Xt)dXt + 1 2 ∂ 2g ∂x2 (t,Xt) f 2(t,ω)dt. (1.13) Đó là công thức Itô, có dạng tương đương sau: Yt = g(0,X0)+ t∫ 0 ∂g ∂ s (s,Xs)ds+ t∫ 0 ∂g ∂x (s,Xs)dXs+ 1 2 t∫ 0 ∂ 2g ∂x2 (s,Xs) f 2(s,ω)ds. (1.14) Ví dụ 1.10. Tính tích phân I = ∫ t 0WsdWs. Giải. Chọn Xt =Wt và g(t,x) = x2. Khi đó, Yt = g(t,Wt) =W 2t . Ta có dXt = dWt = 0.dt+1.dWt . Do đó, h(t,ω) = 0 và f (t,ω) = 1. Áp dụng công thức Itô (1.14), ta có W 2t = 1 2 ∫ t 0 2ds+ ∫ t 0 2WsdWs = t+2 ∫ t 0 WsdWs. Do đó, ∫ t 0 WsdWs = 1 2 (W 2t − t). Đây là kết quả mà ta đã biết khi tính trực tiếp bằng định nghĩa.  Ví dụ 1.11. Tính tích phân ∫ t 0 v(s)dWs, trong đóWt là một quá trình Wiener, hàm v chỉ phụ thuộc vào s và có biến phân giới nội trong [0, t]. Giải. Chọn Xt =Wt , g(t,x) = v(t).x. Khi đó, Yt = g(t,Wt) = v(t).Wt . Ta có dXt = dWt = 0.dt+1.dWt . Do đó, h(t,ω) = 0 và f (t,ω) = 1. 27 Theo công thức Itô (1.14), ta có v(t)Wt = ∫ t 0 v′(s)Ws ds+ ∫ t 0 v(s)dWs hay ∫ t 0 v(s)dWs = v(t)Wt − ∫ t 0 Wdv(s). Đây là công thức tích phân từng phần đối với tích phân ngẫu nhiên Ito ∫ t 0 v(s)dWs.  1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.22. Cho (Xt) và (Yt) là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta gọi biến phân bậc hai của hai quá trình ấy, kí hiệu là 〈X ,Y 〉, là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại: 〈X ,Y 〉t h.c.c= lim max|tk+1−tk|→0 n−1 ∑ k=0 ( Xtk+1 −Xtk )( Ytk+1 −Ytk ) với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t. Nếu X = Y thì ta dùng ký hiệu 〈X ,X〉= 〈X〉. Tính chất (a) 〈X〉 ≥ 0;〈X ,Y 〉0 = 0 (b) 〈X ,Y 〉= 〈Y,X〉 (c) 〈a1X1+a2X2,Y 〉= a1〈X1,Y 〉+a2〈X2,Y 〉. Biến phân bậc hai của một số quá trình (a) NếuWt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì 〈W 〉t = t. (b) Nếu Xt và Yt là hai quá trình Itô cho bởi: Xt = X0+ t∫ 0 h1(s,ω)ds+ t∫ 0 f1(s,ω)dWs, Yt = Y0+ t∫ 0 h2(s,ω)ds+ t∫ 0 f2(s,ω)dWs thì 〈X ,Y 〉t = t∫ 0 f1(s,ω) f2(s,ω)ds. Khi đó, 〈X〉t = ∫ t 0 f 21 (s,ω)ds. 28 và công thức Itô có thể được viết dưới dạng: Yt = g(0,X0)+ t∫ 0 ∂g ∂ s (s,Xs)ds+ t∫ 0 ∂g ∂x (s,Xs)dXs+ 1 2 t∫ 0 ∂ 2g ∂x2 (s,Xs)d〈X〉s. 1.4.4. Công thức tích phân từng phần Mệnh đề 1.3. Giả sử Xt và Yt là hai quá trình Itô cho bởi: Xt = X0+ t∫ 0 h1(s,ω)ds+ t∫ 0 f1(s,ω)dWs, Yt = Y0+ t∫ 0 h2(s,ω)ds+ t∫ 0 f2(s,ω)dWs thì XtYt = X0Y0+ ∫ t 0 XsdYs+ ∫ t 0 YsdXs+ 〈X ,Y 〉t . Chứng minh. Lần lượt áp dụng công thức Itô cho các quá trình Itô (Xt +Yt) 2, X2t , Y 2t ta có: (Xt +Yt) 2 = (X0+Y0) 2+2 ∫ t 0 (Xs+Ys)d (Xs+Ys)+ ∫ t 0 ( f1(s,ω)+ f2(s,ω))2 ds, X2t = X 2 0 +2 ∫ t 0 XsdXs+ ∫ t 0 f 21 (s,ω)ds, Y 2t = Y 2 0 +2 ∫ t 0 YsdYs+ ∫ t 0 f 22 (s,ω)ds. Trừ đẳng thức trên với hai đẳng thức dưới ta được công thức cần chứng minh.  1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên dXt = b(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt (1.15) trong đó b(t,x) và σ(t,x) là những hàm hai biến đo được: [0,T ]×R→R,Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (1.15) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên. 29 ♣Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈ [0,T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu X0 = Z (1.16) trong đó Z là một quá trình ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt , t ≥ 0) sao cho E(Z2) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: (i) Xt là thích nghi với Ft =FWt = σ(Ws,s ≤ t), và là đo được đối với σ - đại số tíchB[0,T ]×Ft . (ii) E t∫ 0 X2t dt < ∞,∀t ∈ [0,T ]. (iii) Xt thỏa mãn các hệ thức (1.15) và (1.16). ♣ Giả sử X = (Xt(ω), t ∈ [0,T ]) là một lời giải của phương trình (1.15)- (1.16). Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện: Giả sử có một quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt(ω), t ∈ [0,T ]) cũng là một lời giải của quá trình trên thì khi đó P ( sup 0≤t≤T |Xt −Yt |= 0 ) = 1. (1.17) Định lí 1.12. Định lí tồn tại và duy nhất Nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi t ∈ [0,T ] và mọi x,y ∈R sao cho |b(t,x)−b(t,y)|+ |σ(t,x)−σ(t,y)| ≤ K|x− y| |b(t,x)|2+ |σ(t,x)|2 ≤ K (1+ |x|2) thì khi đó tồn tại một lời giải X = (Xt(ω), t ∈ [0,T ]) của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu (1.16) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (1.17). 30 Chương 2 Mô hình tài chính cơ bản Trong chương này ta làm việc trong mô hình thị trường đơn giản chỉ gồm hai loại tài sản để đầu tư là trái phiếu không có rủi ro và chứng khoán có rủi ro. Sau khi nêu một số khái niệm và công cụ cần thiết, chúng tôi đưa ra công thức định giá Quyền Chọn trong thời gian liên tục. Việc nghiên cứu thị trường trong thời gian liên tục là cần thiết vì hai lí do: thứ nhất là với sự phát triển của hệ thống thông tin liên lạc hiện nay mọi thông tin và diễn biến trên thị trường đều được thể hiện một cách liên tục, thứ hai là với các mô hình thời gian liên tục ta có thể có những công cụ hữu hiệu (chẳng hạn các phương pháp của giải tích ngẫu nhiên) và tránh được các khó khăn gặp phải khi nghiên cứu thị trường với thời gian rời rạc (chẳng hạn thị trường đối với thời gian rời rạc thường là không đầy đủ). 2.1. Giới thiệu mô hình Xét một thị trường tài chính hoạt động trong khoảng thời gian hữu hạn [0,T ]; thời điểm t = 0 là thời điểm hiện tại bắt đầu giao dịch; thời điểm t = T là thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch. Giả thiết thị trường là hoạt động liên tục, không chia cổ tức trước khi đáo hạn, không có phí giao dịch và thuế, không trao đổi chứng khoán. Thị trường tài chính gồm có hai tài sản nền tảng để đầu tư: đó là một trái phiếu không rủi ro (hay một tài khoản tín dụng ngân hàng) B, với lãi suất cố định là r và một chứng khoán có rủi ro S. Gọi Ω là tập hợp tất cả các yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến giá chứng khoán trên thị trường như các biến động về giá của các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy thoái của nền kinh tế thế giới, các diễn biến về tiêu dùng trong và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách kinh tế vĩ mô của nhà nước, các diễn biến tâm lý của nhà đầu tư,.... Mỗi phần tử ω của Ω biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Mỗi sự kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên trong Ω, tức là một tập con của Ω. Gọi 31 F là σ -đại số gồm các tập con của Ω, P là độ đo xác suất xác định trênF . Khi đó, giá của các chứng khoán là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P). ♣ Ký hiệu Bt là giá của trái phiếu không rủi ro tại thời điểm t, 0 ≤ t ≤ T . Để đơn giản mô hình ta giả thiết B0 = 1. Gọi dBt là lượng giá trái phiếu không rủi ro thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt = ti+1− ti. Vì lãi suất là cố định nên ta có thể giả thiết độ thay đổi tương đối về giá dBt Bt tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo hệ số tỉ lệ r: dBt Bt = rdt (2.1) hay dBt = rBtdt. Như vậy, giá của chứng khoán không rủi ro Bt tại thời điểm t thỏa mãn phương trình: dBt = rBtdt, B0 = 1. (2.2) Lấy tích phân hai vế (2.1) trên đoạn [0, t] ta được∫ t 0 dBs Bs = ∫ t 0 rds ⇔ lnBt − lnB0 = rt ⇔ Bt = ert . Vậy nghiệm của phương trình (2.2) là Bt = ert , t ≥ 0. ♣ Ký hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dSt là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt = ti+1− ti. Một cách tự nhiên, ta có thể giả thiết độ thay đổi tương đối về giá dSt St tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo một hệ số tỉ lệ µ nào đó: dSt St ≈ µdt. Ngoài ra, còn có tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị trường lên tỉ lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại “nhiễu” ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhất là nhiễu có phân phối chuẩn, thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dWt của một chuyển động BrownWt với một hệ số tỉ lệ σ nào đó. Do đó, ta đặt dSt St ≈ µdt+σdWt . Qua hệ thức này, ta nhận thấy σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên σ cũng được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu St . 32 Như vậy, giá chứng khoán St được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau: dSt = µStdt+σStdWt , S0 đã cho, (2.3) trong đó µ và σ là các hằng số, còn Wt là chuyển động Brown (hay quá trình Wiener). Mệnh đề 2.1. (Công thức tính giá cổ phiếu) Nghiệm của phương trình (2.3) là một quá trình ngẫu nhiên St = S(t,ω) có dạng St = S0e σWt− ( µ− σ22 ) t . (2.4) Quá trình St này được gọi là một chuyển động Brown hình học. Trong (2.4), S0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm t = 0. Chứng minh. Theo định lí (1.12), nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính (2.3) là duy nhất. Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.4) thỏa mãn phương trình (2.3). Trước hết, giả sử S0 = 1. Đặt Xt = σWt + ( µ− σ 2 2 ) t. Xét hàm số f (x) = ex và áp dụng công thức Itô, ta được St = eXt = eX0 + ∫ t 0 eXsdXs+ 1 2 ∫ t 0 eXsσ2ds = 1+ ∫ t 0 SsσdWs+ ∫ t 0 Ss ( µ− 1 2 σ2 ) ds+ 1 2 ∫ t 0 Ssσ2ds = 1+ ∫ t 0 SsσdWs+ ∫ t 0 Ssµds, Suy ra St thỏa mãn phương trình (2.3). Nếu S0 6= 0 thì ta nhân cả hai vế của đẳng thức trên cho S0 ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 2.1. - Bằng quan sát thống kê, ta có thể ước lượng được các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học, điều đó có nghĩa là ta ước lượng được giá St của cổ phiếu. - Ta có lnSt = lnS0 +σWt − ( µ− σ22 ) t. Do đó, lnSt có phân bố chuẩn và là một chuyển động Brown không tiêu chuẩn, tức là St có các tính chất sau: + Có quỹ đạo liên tục. + Có gia số dừng: luật phân bố của (St −Su) / Su chính là luật phân bố của (St−u−S0) / S0 . 33 2.2. Các khái niệm cơ bản 2.2.1. Phương án đầu tư Định nghĩa 2.1. 1. Một phương án đầu tư (viết tắt là PA) là một cặp (x,Φ) trong đó x là tổng số tiền đầu tư ban đầu và Φ là danh mục chứng khoán đầu tư, nó là một vectơ gồm 2 thành phầnΦ := ( φ 0t ,φt ) t≥0 tương thích với lọc tự nhiên ( FWt ) t≥0 của chuyển động Brown (Wt)t≥0, φ 0t ,φt lần lượt là lượng trái phiếu không rủi ro và lượng chứng khoán có rủi ro mà nhà đầu tư nắm giữ tại thời điểm t. 2. Quá trình giá của phương án đầu tư (x,Φ) là cặp (V0 (Φ) ,Vt (Φ))0≤t≤T trong đó V0 (Φ) = x và Vt (Φ) = φ 0t Bt +φtSt . Ta có: φ 00 = x−φ0S0. Vì các giá chứng khoán Bt , St là các quá trình ngẫu nhiên nên quá trình giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. 2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh Định nghĩa 2.2. Một phương án đầu tư (x,Φ) được gọi là phương án đầu tư tự điều chỉnh nếu giá trị của phương án đầu tư không thay đổi sau một sự điều chỉnh đầu tư nào đó. Nghĩa là, ta muốn tăng đầu tư vào chứng khoán này thì phải giảm đầu tư vào chứng khoán kia. Về mặt toán học, phương án đầu tư (x,Φ) được gọi là phương án đầu tư tự điều chỉnh nếu dVt (Φ) = φ 0t dBt +φtdSt , (2.5) với điều kiện ∫ T 0 |φ 0t |dt < +∞, ∫ T 0 φ 2t dt < +∞ P−h.c.c. (2.6) Ở đây ta giải thích rõ hơn về các biểu thức (2.5) và (2.6). Giả sử ta thay đổi danh mục đầu tư ( φ 0t ,φt ) thành danh mục đầu tư ( ψ0t ,ψt ) . Giá trị của phương án đầu tư không thay đổi nghĩa là: φ 0t Bt +φtSt = ψ 0 t Bt +ψtSt . Suy ra ( φ 0t −ψ0t ) Bt +(φt −ψt)St = 0. Đặt φ 0t −ψ0t = ∆φ 0t , φt −ψt = ∆φt , ta có Bt∆φ 0t +St∆φt = 0. 34 Nếu các hàm φ 0t ,φt khả vi, ta có thể viết đẳng thức trên dưới dạng vi phân: Btdφ 0t +Stdφt = 0. Từ Vt (Φ) = φ 0t Bt +φtSt , suy ra dVt (Φ) = φ 0t dBt +Btdφ 0 t +φtdSt +Stdφt = φ 0t dBt +φtdSt . Điều kiện (2.6) để đảm bảo (2.5) có nghĩa. Khi đó, ta có∫ T 0 φ 0t dBt = ∫ T 0 φ 0t re rtdt và ∫ T 0 φtdSt = ∫ T 0 φtµStdt+ ∫ T 0 φtσStdWt đều có nghĩa, vì St là hàm liên tục nên bị chặn hầu chắc chắn. Điều kiện (2.5) có thể viết dưới dạng: φ 0t Bt +φtSt = φ 0 0B0+φ0S0+ ∫ t 0 φ 0u dBu+ ∫ t 0 φudSu với mọi t ∈ [0,T ]. Trong trường hợp trong mọi hàng hóa trong thị trường phải chiết khấu, ta định nghĩa: Định nghĩa 2.3. 1. Quá trình giá chứng khoán đã chiết khấu tại thời điểm t là: Bˆt = 1, Sˆt = 1 Bt St = e−rtSt . 2. Quá trình giá đã chiết khấu của phương án đầu tư là ( Vˆ0 (Φ) ,Vˆt (Φ) ) trong đó Vˆ0 (Φ) =V0 (Φ) và Vˆt (Φ) = 1 Bt Vt (Φ) = φ 0t +φt Sˆt . Mệnh đề 2.2. Giả sử (x,Φ) là phương án đầu tư thỏa mãn∫ T 0 |φ 0t |dt < +∞, ∫ T 0 φ 2t dt < +∞ P−h.c.c. Khi đó, (x,Φ) là phương án đầu tư tự điều chỉnh tài chính khi và chỉ khi: Vˆt (Φ) =V0 (Φ)+ ∫ t 0 φudSˆu P−h.c.c ∀t ∈ [0,T ]. (2.7) 35 Chứng minh. Giả sử (x,Φ) là phương án đầu tư tự điều chỉnh tài chính. Ta có 1Bt = e−rt nên từ Vˆt (Φ) = 1 Bt Vt (Φ) suy ra: dVˆt (Φ) =−re−rtVt (Φ)dt+ e−rtdVt (Φ) =−re−rt (φ 0t Bt +φtSt)dt+ e−rt (φ 0t dBt +φtdSt) =−re−rt (φ 0t Bt +φtSt)dt+ e−rt (φ 0t rBtdt+φtdSt) = φt (−re−rtStdt+ e−rtdSt) = φtdSˆt . Từ đó ta có (2.7) vì Vˆ0 (Φ) =V0 (Φ) . Ngược lại, giả sử ta có (2.7). Khi đó: dVˆt (Φ) = φtdSˆt ⇔ −re−rtVt (Φ)dt+ e−rtdVt (Φ) = φt (−re−rtStdt+ e−rtdSt) ⇔ −re−rt (φ 0t Bt +φtSt)dt+ e−rtdVt (Φ) = φt (−re−rtStdt+ e−rtdSt) ⇔ dVt (Φ) = rφ 0t Btdt+φtdSt ⇔ dVt (Φ) = φ 0t dBt +φtdSt . Mệnh đề được chứng minh. ♣ Bây giờ ta xét chi tiết hơn giá trị tài sản của phương án đầu tư (x,Φ): - Giả sử rằng vào thời điểm hiện tại lãi suất r = 0. Tại thời điểm t0 ta có một tài sản gốc là Xt0 , ta mua Φ0 cổ phiếu và chi phí hết φ0St0 . Tại thời điểm t1 ta bán φ0 cổ phiếu đã mua với giá St1 mỗi cổ phiếu, do đó giá trị tài sản tại thời điểm t1 là: Xt0 +φ0 ( St1 −St0 ) . Cùng lúc đó, ta đầu tư φ1St1 để mua φ1 cổ phiếu. Đến thời điểm t2 ta bán φ1 cổ phiếu đã mua với giá St2 mỗi cổ phiếu. Khi đó giá trị tài sản ta có tại thời điểm t2 là: Xt0 +φ0 ( St1 −St0 ) +φ1 (St2 −St1) Tiếp tục như thế, giá trị tài sản ta có được tại thời điểm ti+1 sẽ là Xt0 +φ0 ( St1 −St0 ) +φ1 (St2 −St1)+ ...+φi ( Sti+1 −Sti ) . Hay viết dưới dạng tương đương là Xt0 + ∫ t t0 φ(u)dSu, trong đó ta có t > ti+1 và φ(u) = φi với ti ≤ u < ti+1. Nói một cách khác, tài sản của chúng ta có thể được biểu diễn bởi một tích phân ngẫu nhiên lấy theo giá cổ 36 phiếu. Việc yêu cầu hàm dưới dấu tích phân phải tương thích là rất tự nhiên: chúng ta không thể căn cứ vào số lượng cổ phiếu nắm giữ tại thời điểm s dựa trên thông tin không có giá trị đến tương lai. - Trường hợp lãi suất r 6= 0: Đặt Pt là giá trị hiện tại của cổ phiếu. Khi đó Pt = e−rtSt . Pt còn được gọi là giá đã chiết khấu của St , Pt = Sˆt . Chú ý rằng P0 = S0. Khi ta giữ φi cổ phiếu từ thời điểm ti đến ti+1, lợi nhuận ta có được tại thời điểm này sẽ là φi ( Pti+1 −Pti ) . Khi đó, công thức về tài sản của ta trở thành Xt0 + ∫ t t0 φ(u)dPu. Sử dụng công thức Itô, ta có dPt = e−rtdSt − re−rtStdt = e−rtσStdWt + e−rtµStdt− re−rtStdt = σPtdWt +(µ− r)Ptdt. Tương tự (2.4), ta có nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên trên là Pt = P0eσWt+(µ−r−σ 2/2)t . Từ các phân tích trên, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4. - Quá trình lời của phương án đầu tư (x,Φ) làG(x,Φ)= ∫ T 0 φudSu. - Quá trình lời đã chiết khấu của phương án đầu tư (x,Φ) là Gˆ(x,Φ)= ∫ T 0 φudSˆu. 2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá Định nghĩa 2.5. Một phương án đầu tư chênh lệch thị giá (arbitrage) là một phương án đầu tư mà lúc bắt đầu kinh doanh không có tiền, xác suất để mất tiền thì bằng không và xác suất để kiếm lời được là dương. Nói chính xác về mặt toán học, một phương án đầu tư (x,Φ) trong khoảng thời gian [0,T ] được gọi là một phương án đầu tư chênh lệch thị giá nếu nó là phương án tự điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng của nó có tính chất: (1) V0(x,Φ) = 0, nghĩa là (n.l.) phương án đầu tư không cần bỏ vốn ban đầu. (2) VT (x,Φ)≥ 0, n.l. không có rủi ro mất tiền. 37 (3) P{VT (x,Φ) > 0} > 0, n.l. khả năng kiếm lời tại thời điểm đáo hạn là một số dương. Điều kiện (2) và (3) ở trên có thể thay bởi hai điều kiện tương đương: (2’) Gˆ(x,Φ)≥ 0, (3’) P{Gˆ(x,Φ)}> 0. Như vậy, một phương án đầu tư (x,Φ) là chênh lệch thị giá nếu tồn tại một quá trình φs tương thích vớiFs và thỏa mãn các điều kiện: (i) ∫ T 0 φsdSs ≥ 0 h.k.n (ii) Tồn tại b,ε > 0 sao cho P (∫ T 0 φsdSs > b ) > ε . Định nghĩa 2.6. Một mô hình (còn được gọi là một trị trường) được gọi là thị trường không có chênh lệch thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư có chênh lệch thị giá. Thị trường như vậy còn được gọi là thị trường lành mạnh. 2.2.4. Sản phẩm phái sinh Định nghĩa 2.7. Một sản phẩm phái sinh (hay một quyền phái sinh) hay một quyền tài chính (a contigent claim) là một sản phẩm có dạng f (ST ), trong đó f : R→ R là hàm số sao cho f (ST ) cũng là một biến ngẫu nhiên trên (Ω,F ,P). Một cách tổng quát, quyền tài chính là một biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác định (Ω,F ,P) biểu diễn một thu hoạch tại thời điểm đáo hạn T . Ví dụ 2.2. 1. Quyền chọn mua kiểu Châu Âu: Đây là một hợp đồng mà người giữ nó có quyền, nhưng không bắt buộc, mua một chứng khoán với giá thực thi K tại thời điểm đáo hạn T . Thật dễ dàng để xác định được giá trị của quyền chọn tại thời điểm T . Nếu giá chứng khoán ST tại thời điểm T cao hơn giá thực thi K thì ta sẽ thực thi quyền chọn, mua một chứng khoán với giá K, sau đó bán ra thị trường với giá ST và kiếm được khoản lời là ST −K. Nếu giá chứng khoán ST thấp hơn giá thực thi K thì ta sẽ không thực thi quyền chọn vì thực thi sẽ bị lỗ. Kết hợp hai trường hợp trên, giá trị của quyền chọn mua kiểu Châu Âu tại thời điểm T là (ST −K)+ = max(ST −K,0) . Nói cách khác, quyền chọn mua kiểu Châu Âu là một quyền tài chính có dạng f (ST ) = (ST −K)+ . Trong luận văn này ta quan tâm chủ yếu đến việc: Làm thế nào xác định giá trị của quyền tài chính này tại thời điểm hiện tại t = 0?. 2.Quyền chọn bán kiểu Châu Âu: Đây là một hợp đồng mà người giữ nó có quyền, nhưng không bắt buộc, bán một chứng khoán với giá thực thi K tại thời điểm đáo hạn T . Lập luận tương tự như trên, đây là một quyền tài chính có dạng f (ST ) = (K−ST )+ . 38 3. Quyền chọn mua Châu Á: Đây là một quyền chọn được viết trên một cổ phiếu S với giá đáo hạn K, được xác định bởi một dãy các thời điểm cố định T1,T2, ...,Tn và giá trị biểu diễn thu hoạch của nó tại thời điểm đáo hạn T là f (ST ) = (∫ T 0 Stdt−K )+ . 4. Quyền chọn mua "Nhìn lại" (Look - black call options): là một quyền chọn mua kiểu Châu Âu viết trên một tài sản S mà thu hoạch tại thời điểm đáo hạn T là f (ST ) = ST − min 0≤t≤T St . 2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ Với một số vốn ban đầu, có rất nhiều phương án đầu tư khác nhau. Nguyên lý đáp ứng để bảo hộ được phát biểu như sau: Nếu có thể tìm được phương án đầu tư mà nó đáp ứng để bảo hộ hoàn toàn sản phẩm phái sinh theo nghĩa là phương án đầu tư này đảm bảo lợi nhuận chính xác như lợi nhuận của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn, thì giá của phương án đầu tư này phải trùng với giá của sản phẩm phái sinh. Về mặt toán học, nguyên lý đáp ứng để bảo hộ có thể phát biểu như sau: Định nghĩa 2.8. Một phương án đầu tư đáp ứng (a replicating strategy) hay một bảo hộ (hedge) đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn K tại thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự điều chỉnh (x,Φ) sao cho VT (x,Φ) = K (2.8) tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị đáo hạn K đã định trước và đã ghi trong hợp đồng. Quá trình giá VT (x,Φ) của phương án đáp ứng gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệu ΦX là tập hợp tất cả các phương án đầu tư (x,Φ) đáp ứng cho phái sinh X . Ý nghĩa của thuật ngữ đáp ứng cũng ở chỗ đó: Trong hợp đồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn K rồi, phương án đầu tư phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp ứng được điều kiện (2.8) . Điều kiện (2.8) gọi là điều kiện đáp ứng. Ghi chú. Trong mô hình tài chính lành mạnh, nếu X là một quyền tài chính và (x,Φ) là phương án đáp ứng cho X thì x là giá của quyền tài chính X tại thời điểm hiện tại t = 0. Định nghĩa 2.9. Một quyền tài chính X được gọi là đạt được (attainable) hay mua bán được nếu có ít nhất một phương án đầu tư đáp ứng cho nó. 39 Định nghĩa 2.10. Một thị trường tài chính được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi quyền tài chính X đều đạt được. Hay nói một cách tương đương, nếu mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối vớiFT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư (x,Φ) sao cho VT (x,Φ) = K. Mô hình tài chính không có tính chất này được gọi là mô hình tài chính không đầy đủ. Định nghĩa 2.11. Ta nói rằng một quyền tài chính X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X , tức là nếu ta có hệ thức Vt(x,Φ) =Vt(x,Ψ), ∀t ≤ T với hai phương án đầu tư bất kỳ (x,Φ) và (x,Ψ) thuộc vềΦX . Trong trường hợp này quá trình Vt(x,Φ) được gọi là quá trình sở hữu của X . Định lí 2.3. Giả sửM là một thị trường không có cơ hội chênh lệch thị giá. Khi đó mọi quyền tài chính đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trongM . Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử quyền tài chính X có hai phương án đầu tư đáp ứng (x,Φ) và (y,Ψ) sao cho với mộ._.