Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ứng dụng

---------------- MỤC LỤC Contents 1TMỤC LỤC1T ............................................................................................................................ 2 1TMỞ ĐẦU1T .............................................................................................................................. 3 1TChương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1T ................................................................................. 4 1T .1.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 4 1T .2.Định lí1T ......................................................................................................................... 4 1T .3.Định lí1T ......................................................................................................................... 5 1T .4.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 6 1T .5.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 6 1T .6.Định lí1T ......................................................................................................................... 6 1T .7.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 7 1T .8.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 7 1T .9.Định nghĩa 1T ................................................................................................................... 7 1T .10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)1T ....................................................... 7 1T .11.Định lí1T........................................................................................................................ 9 1T .12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz )1T ............................................................................. 10 1T .13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành )1T ........................................................................ 10 1T .14.Định lí ( Riesz )1T....................................................................................................... 10 1T .15.Định lí1T...................................................................................................................... 11 1T .16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)1T ................................................................ 12 1T .17.Định nghĩa:1T .............................................................................................................. 13 1T .18.Bổ đề:1T ...................................................................................................................... 13 1TChương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT1T ................... 16 1T2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 1T ................................. 16 1T2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion1T ......................................................................... 17 1T2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 1T ........................................................................................................................................ 23 1T2.4.Dạng tổng quát của định lí Ergodic phi tuyến1T ............................................................. 29 1TChương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH1T .................... 35 1T3.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach1T ................................ 35 1T3.2. Điểm bất động của họ ánh xạ không giãn1T .................................................................. 44 1TKẾT LUẬN1T ........................................................................................................................ 54 1T ài liệu tham khảo1T ............................................................................................................. 55 ------------------------------------------------------- 3-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- MỞ ĐẦU Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Định lí này không chỉ cho biết sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lập đơn giản hội tụ về nó. Vì vậy, định lí Banach tìm được những ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và giải số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học. Do sự quan trọng của ánh xạ co, lớp ánh xạ này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng tự nhiên và quan trọng nhất của lớp ánh xạ co. Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong các công trình Browder, Gôhde, Kirk và được tiếp tục cho đến nay. Nhiều định lí về tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn đã được tìm ra, đầu tiên là xét trong không gian Hilbert, sau đó là không gian Banach có tính chất hình học tốt như lồi đều , có chuẩn khả vi… Bên cạnh đó, các dãy lặp đa dạng hội tụ về điểm bất động đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Nó tìm được những ứng dụng đa dạng và sâu sắc trong lý thuyết phương tình vi phân, tích phân, trong giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,… Luận văn giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn, về dãy lặp hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn…. Luận văn gồm 3 chương: UChương 1U: Hệ thống lại các kết quả quan trọng trong không gian Hilbert, Banach có sử dụng trong các chứng minh của chương 2,3; UChương 2U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert; UChương 3U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều, có chuẩn khả vi. ------------------------------------------------------- 4-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Định nghĩa Cho không gian tôpô X , hàm ( ]: ,f X → −∞ ∞ được gọi là nửa liên tục dưới nếu cho mọi a∈ ¡ , tập hợp ( ){ }:x X f x a∈ ≤ đóng theo tôpô trên X . 1.2.Định lí Cho không gian tôpô X , với số thực không âm α , nếu các hàm ( ] ( ), , : , ,if g f X i I→ −∞ ∞ ∈ là các hàm nửa liên tục dưới trên X, thì các hàm ( ); ; sup i i I f g f f xα ∈ + cũng là hàm nửa liên tục dưới trên X. Chứng minh (i). Chứng minh hàm f g+ là hàm nửa liên tục dưới trên X Với mọi ,a c∈ ¡ , ta có ( ){ }:x X f x c∈ > là tập mở trong X ( ){ }:x X g x a c∈ > − là tập mở trong X Mà ( )( ){ } ( ){ } ( ){ }: : : c G x X f g x a x X f x c x X g x a c ∈  = ∈ + > = ∈ > ∈ > −  ¡ IU Suy ra G là tập mở trong X hay f g+ là hàm nửa liên tục dưới trên X (ii). Chứng minh hàm fα là hàm nửa liên tục dưới trên X Nếu 0α = thì ta được fα là hàm nửa liên tục dưới trên X Nếu 0α > , với mọi a∈ ¡ , ta có ( ): ax X f x c  ∈ ≤    là tập đóng trong X Mà ( )( ){ } ( ): : aG x X f x a x X f x c α  = ∈ ≤ = ∈ ≤    Suy ra G là tập đóng trong X hay fα là hàm nửa liên tục dưới trên X ------------------------------------------------------- 5-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (iii). Chứng minh hàm ( )sup i i I f x ∈ là hàm nửa liên tục dưới trên X Với mọi ,a i I∈ ∈¡ ta có ( ){ }: ix X f x a∈ ≤ là tập đóng trong X Mà ( ){ } ( ){ } ( ){ }: : sup : i i I i I G x X g x a x X f x a x X f x a ∈ ∈ = ∈ ≤ = ∈ ≤ = ∈ ≤I Suy ra G là tập đóng trong X hay ( )sup i i I f x ∈ là hàm nửa liên tục dưới trên X . ▄ 1.3.Định lí Cho X là không gian compact, ánh xạ ( ]: ,f X → −∞ ∞ là hàm nửa liên tục dưới trên X. Khi đó, tồn tại ox X∈ sao cho ( ) ( ){ }inf :of x f x x X= ∈ Chứng minh Với mọi a∈ ¡ , đặt ( ){ }:aG x X f x a= ∈ > , ta được aG là tập mở và aa X G ∈ = ∪ ¡ do X compact nên tồn tại { }1 2; ;....; na a aG G G con { }:aG a∈ ¡ sao cho 1 i n ai X G = = ∪ đặt { }1 2min ; ;...;o na a a a= ta có ( ) of x a> với mọi x X∈ do vậy, tồn tại ( ){ }inf :b f x x X= ∈ Giả sử, ( )f x b> với mọi x X∈ , khi đó ( ) 1 1: n X x X f x b n ∞ =  = ∪ ∈ > +    do X compact nên tồn tại { } *1 2; ;...; mn n n ⊂ ¥ sao cho ( ) 1 1: m i i X x X f x b n=   = ∪ ∈ > +    đặt 1 2 1 1 1' min ; ;...; m b b b b n n n   = + + +    , ta có ------------------------------------------------------- 6-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) 'f x b> với mọi x X∈ suy ra ( ){ }inf : 'b f x x X b b= ∈ ≥ > (mâu thuẩn) do vậy, tồn tại ox X∈ sao cho ( ) ( ){ }inf :of x f x x X= ∈ ▄ 1.4.Định nghĩa Tập C là tập con lồi của không gian tuyến tính H nếu C không rỗng và khi ,x y C∈ thì phần tử ( ) ( )1tx t y t x y y C+ − = − + ∈ cho mọi t thỏa 0 1t≤ ≤ 1.5.Định nghĩa Cho không gian tuyến tính thực (phức) H và X là tập con lồi của H . Hàm ( ]: ,f X → −∞ ∞ được gọi là lồi ngặt trên X nếu cho mọi ,x y X∈ , ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1f tx t y t f x t f y+ − < + − với mọi ( )0,1t∈ . 1.6.Định lí Cho X là tập con lồi của không gian tuyến tính E, { }:f Iα α ∈ là họ các hàm lồi ngặt xác định từ X vào ( ],−∞ ∞ . Khi đó, hàm g cho bởi ( ) ( )sup I g x f xα α∈ = với mọi x X∈ là hàm lồi ngặt trên X. Chứng minh Cho mọi ( )1 2; , ; 0,1I x x X tα ∈ ∈ ∈ ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f tx t x tf x t f xα α α+ − < + − Do đó ------------------------------------------------------- 7-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sup 1 sup 1 1 I I g tx t x f tx t x tf x t f x tg x t g x α α α α α ∈ ∈ + − = + − < + − = + − Điều này chứng tỏ g là hàm lồi ngặt trên X. ▄ 1.7.Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn thực (phức) H được gọi là không gian Banach nếu H là một không gian đầy đủ. 1.8.Định nghĩa Không gian Banach thực (phức) H được gọi là không gian Hilbert nếu chuẩn của không gian này sinh ra từ tích vô hướng, nghĩa là ( ),x x x= cho mọi x H∈ UNhận xétU: Không gian Hilbert H là không gian phản xạ. 1.9.Định nghĩa Cho C là tập con của không gian Banach E; ánh xạ :T C E→ thỏa mãn Tx Ty r x y− ≤ − với mọi ,x y C∈ Nếu 0 1r≤ < thì ánh xạ :T C E→ được gọi là ánh xạ co Nếu 1r = thì ánh xạ :T C E→ được gọi là ánh xạ không giãn. 1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co) Cho không gian Banach H , nếu ánh xạ :f H H→ là ánh xạ co thì ánh xạ :f H H→ có duy nhất điểm bất động ox H∈ , nghĩa là ( )o of x x= . Chứng minh Với mọi 0ε > , tồn tại 0δ > thỏa ( )0r r εδ = ≠ , do giả thuyết nên ------------------------------------------------------- 8-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( )x y f x f y r x yδ ε− < ⇒ − ≤ − < với mọi ,x y X∈ suy ra, :f H H→ là hàm liên tục Với bất kì x X∈ , đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 ... n n n x f x x f x f x x f x f x− = = = = = Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 ... n n n n n n n n n n n x x f x f x r x x r f x f x r x x r x x + − − − − − − − = − ≤ − = − ≤ − ≤ − Với bất kì , ;m n m n∈ >¥ ta có ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ... ... ... 1 m n m m m m n n m m n m m n n x x x x x x x x r x x r x x r x x r r r x x r x x r − − − + − − − − − ≤ − + − + + − ≤ − + − + + − = + + + − ≤ − − Theo giả thuyết, 0 1r≤ < , nên { }nx là dãy Cauchy trong không gian Banach X , vì vậy, có ox X∈ sao cho limo nnx x→∞= Vì :f H H→ là hàm liên tục nên ( ) ( ) ( ) 1lim lim limo n n n on n nf x f x f x x x+→∞ →∞ →∞= = = = điều này chứng tỏ :f H H→ có điểm bất động ox H∈ Giả sử, :f H H→ có điểm bất động oy H∈ , ta có ( ) ( )o o o o o ox y f x f y r x y− = − ≤ − vì 0 1r≤ < nên 0o ox y− = hay o ox y= hay f có duy nhất điểm bất động ox H∈ ▄ ------------------------------------------------------- 9-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.11.Định lí Cho không gian Banach phản xạ H , tập X là tập con lồi, đóng của H. Với bất kì hàm ( ]: ,f X → −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới trên X , giả sử ( )nf x →∞ khi nx →∞ Khi đó, tồn tại ( )0x D f∈ sao cho ( ) ( ){ }0 inf :f x f x x X= ∈ Chứng minh Với mọi a∈ ¡ , xét tập ( ){ }:aC x X f x a= ∈ ≤ do ( ]: ,f X → −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới trên X nên aC là tập lồi, đóng mạnh. với \o ax X C∈ thì { }ox và aC thỏa định lí tách nên tồn tại *,Xϕ α∈ ∈ ¡ sao cho ( ) ( )re reox xϕ α ϕ< < với mọi ax C∈ khi đó, ox thuộc tập mở yếu ( ){ }: re \ ax X x X Cϕ α∈ < ⊂ hay tập \ aX C mở yếu. Điều này tương đương với aC là tập lồi, đóng yếu. nghĩa là hàm ( ]: ,f X → −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới yếu trên X (1.1.11a) Cố định c X∈ sao cho ( )f c b= < ∞ , xét tập ( ){ }:C x X f x b= ∈ ≤ . theo chứng minh trên, tập ( ){ }:C x X f x b= ∈ ≤ đóng yếu mặt khác, tập ( ){ }:C x X f x b= ∈ ≤ bị chặn, vì nếu không thì tồn tại dãy không bị chặn { }nx C⊂ , kéo do đó, có dãy con { } { }in nx x⊂ sao cho lim ini x→∞ = ∞ . mà theo giả thuyết thì ( )lim ini f x→∞ = ∞ , mâu thuẩn với ( )lim ini f x b→∞ ≤ < ∞ . Do H là không gian phản xạ, nên theo Kakutani thì C là tập compact yếu (1.1.11b) Kết hợp (1.1.11a) (1.1.11b) và định lí (1.1.3), tồn tại ox C∈ sao cho ( ) ( ){ }0 inf :f x f x x X= ∈ Với mọi \x X C∈ thì ( ) ( )of x b f x> ≥ , do đó ------------------------------------------------------- 10-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( ){ }0 inf :f x f x x X= ∈ ▄ 1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì ,x y H∈ ta có ( ), .x y x y≤ Chứng minh Đặt ( )2 2; , ;A x B x y C y= = = Với bất kì số thực r∈ ¡ , số thực (phức) α thỏa ( )1 ; ,y x Bα α= = ta có ( ) ( ) ( )2 22; , ,x r y x r y x r y x r x y r yα α α α− − = − − + (1.1.12a) Vế trái của (1.1.12a) là một số không âm nên ta được ( ) ( )2 22 2, , 2 0x r y x r x y r y A Br Crα α− − + = − + ≥ r∈ ¡ (1.1.12b) Nếu 0C = thì 0B = nên ta có điều phải chứng minh Nếu 0C > thay /r B C= vào (1.1.12b) , ta được ( ), .x y x y≤ . ▄ 1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì ,x y H∈ ta có 2 2 2 22 2x y x y x y+ + − = + Chứng minh Với bất kì ,x y H∈ , ta có ( ) ( ) ( )2 2 2, , ,x y x y x y x x y y x y+ = + + = + + + ( ) ( ) ( )2 2 2, , ,x y x y x y x x y y x y− = − − = − − + Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành. ▄ 1.14.Định lí ( Riesz ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì hàm ( ):f H → ¡ £ tuyến tính liên tục luôn tồn tại duy nhất vectơ y H∈ sao cho ------------------------------------------------------- 11-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( ),f x x y= cho mọi x H∈ Chứng minh Nếu ( ) 0 ,f x x H= ∀ ∈ thì ( ) ( ),0f x x= Giả sử ( ): 0x H f x∃ ∈ ≠ , đặt ( ){ }: 0M x H f x= ∈ = . Do tính tuyến tính, liên tục của f nên M là không gian con đóng của H . Với \x H M∈ , thì 0x Px− ≠ và x Px M ⊥− ∈ , chọn x Pxz x Px − = − , ta được , 0 , 1z M z z⊥∈ ≠ = Đặt ( ) ( )u f x z f z x= − thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f u f x f z f z f x= − = nên u M∈ . Suy ra ( ) ( )( ) ( )( ), , , 0u z f x z z f z x z= − = Mặt khác ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 , , ,f x f x z f x z z f z x z x f z z= = = = Như vậy, tồn tại ( )y f z z= để cho ( ) ( ),f x x y= (1.1.14a) Nếu có ( ) ( ), , 'x y x y= cho mọi x H∈ thì ta được ( ), ' 0x y y− = cho mọi x H∈ Do đó, 'y y= . Hay phần tử y H∈ xác định như (1.1.14a) là duy nhất. ▄ 1.15.Định lí Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; dãy { }nx bị chặn trong H. Xét hàm số :g C → ¡ cho bởi: ( ) limsup nng z x z→∞= − với mọi z C∈ Khi đó, tồn tại duy nhất ox C∈ sao cho ( ) ( ){ }min :og x g z z C= ∈ Chứng minh Ta thấy hàm số g thỏa mãn  g là hàm nửa liên tục dưới trên C (theo 1.1.2)  g là hàm lồi ngặt trên C (theo 1.1.6) ------------------------------------------------------- 12-------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------  ( ) khin ng z z→∞ →∞ áp dụng định lí (1.1.11), tồn tại ox C∈ sao cho ( ) ( ){ }min :og x g z z C= ∈ (1.1.15d) Ta cần chứng minh ox C∈ xác định như trên là duy nhất Thật vậy, đặt ( ) ( ){ }limsup min :o n onr g x x x g z z C→∞= = − = ∈ Nếu 0r = thì 0n ox x− → do đó n ox x→ . Vì giới hạn của dãy trong không gian Hilbert là duy nhất nên ox C∈ tồn tại duy nhất. Nếu 0r > , giả sử tồn tại y C∈ sao cho ( )r g y= và ox y≠ đặt ox yε = − , chọn 0α > thỏa ( ) 2 2 2 4 r rεα+ − < do limsup limsupn o nn nr x x x y→∞ →∞= − = − nên tồn tại on sao cho ;n o nx x r x y rα α− < + − < + với mọi on n≥ với mọi on n≥ , từ đẳng thức: 2 2 2 22 2 4 2 o n o n n o x yx x x y x x y+− + − = − + − ta có: ( ) 2 2 24 4 2 o n o x yx x y r α+− + − < + Suy ra: ( ) 2 1/2 2 2 2 2 4 o o n x y x yg x r rεα+ +   ≤ − ≤ + − <        (1.1.15e) Có mâu thuẩn giữa (1.1.15d) và (1.1.15e). Do đó, y không tồn tại. Hay ox xác định duy nhất. ▄ 1.16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15) Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H. Với x H∈ , tồn tại duy nhất ox C∈ sao cho ( );ox x d x C− = ------------------------------------------------------- 13-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.17.Định nghĩa: Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; ánh xạ :P H C→ . Do hệ quả 1.1.16, cho mọi x H∈ tồn tại duy nhất phần tử Px C∈ sao cho ( );x Px d x C− = Ánh xạ P xác định như vậy được gọi là phép chiếu mêtric trên C 1.18.Bổ đề: Cho C là tập con lồi của không gian Hilbert H; với x H∈ , y C∈ . Các mệnh đề sau tương đương (a) ( );x y d x C− = (b) ( ); 0x y y z− − ≥ với mọi z C∈ Chứng minh ( ) ( ) :a b⇒ Với mọi , 0 1z C λ∈ < < ta có: ( ) ( ) 22 1x y x y z x y y zλ λ λ− ≤ − − − = − + − ( ) ( )2 2 221 2 ;x y x y z x y x y y z y zλ λ λ λ− ≤ − − − = − + − − + − Suy ra: ( ) 22 ;x y y z y zλ− − ≥ − − . Khi 0λ → ta được ( ); 0x y y z− − ≥ ( ) ( ) :b a⇒ Với mọi z C∈ , ta có: ( ); 0x y y z− − ≥ suy ra: ( ) ( ); ; 0x y y x x y x z− − + − − ≥ hay: ( ) 2;x y x z x y− − ≥ − kéo theo: x y x z− ≤ − Do đó: ( );x y d x C− = ▄ 1.1.1 UĐịnh lí: Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ :P H C→ là phép chiếu mêtric trên C. Khi đó ------------------------------------------------------- 14-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (i) 2 ;P P Px Py x y= − ≤ − với mọi ,x y H∈ (ii) ( );n o n o o ox x Px y Px y→ → ⇒ = Chứng minh (i) Với mọi x H∈ thì Px C∈ nên ( )P Px Px= . Do đó 2P P= Với mọi ,x y H∈ , theo bổ đề (1.1.18), phần ( ) ( )a b⇒ , ta có ( ) ( ); ; 0x Px Px Py y Py Py Px− − + − − ≥ suy ra ( )( ); 0x y Px Py Px Py− − − − ≥ kéo theo ( )2 ; .Px Py x y Px Py x y Px Py− ≤ − − ≤ − − do đó Px Py x y− ≤ − (ii) Với mọi z C∈ , theo bổ đề (1.1.18), phần ( ) ( )a b⇒ ta có ( ); 0n n nx Px Px z− − ≥ do ;n o n ox x Px y→ → nên ( ); 0o o ox y y z− − ≥ Theo 1.1.18, phần ( ) ( )b a⇒ thì ( ); hayo o o o ox y d x C y Px− = = ▄ 1.1.2 UĐịnh lí: Cho { }nx trong không gian Hilbert H; n ox x→ . Nếu ox y≠ thì liminf liminfn o nn nx x x y→∞ →∞− < − Chứng minh Theo đẳng thức hình bình hành, ta có ( ) 22 2 22 2n o o n n o ox x x y x y x x x y− + − = − + − − − ( )2 2 2 2 22 2 2 ;n o o n o n o n o ox x x y x y x y x x x x x y− + − = − + − + − − − − ( ) ( )( ) 2 2 22 ;o n o o n n o n n o n n o x y x x x y x y x x x y x x x y x x − + − − = − − − = − − − − + − Do n ox x→ nên có số nguyên dương on sao cho với mọi on n≥ thì 2 2 0n n ox y x x− − − > Đặt { }sup n n o n M x y x x ∈ = − + − ¥ , ta có ------------------------------------------------------- 15-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( )2 2 ;o n o o n n ox y x x x y M x y x x− + − − ≤ − − − với mọi on n≥ Vì vậy ( )2o n n ox y M x y x x− ≤ − − − với mọi on n≥ Kéo theo 2 liminf liminfo n n on nx y M x y M x x→∞ →∞− ≤ − − − Vì ox y≠ dẫn đến 0ox y− > , ta được liminf liminfn o nn nx x x y→∞ →∞− < − ▄ 1.1.3 ------------------------------------------------------- 16-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2.1.1 UĐịnh lí U(Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert) Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ :T C C→ không giãn. Các mệnh đề sau tương đương (a) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng (b) Với mọi x C∈ , dãy { }nT x bị chặn. Hơn nữa, trong trường hợp này F(T) là tập lồi, đóng. Chứng minh ( ) ( ) :a b⇒ Do F(T) không rỗng nên tồn tại ( )u F T∈ . Khi đó u Tu= kéo theo { } { }nT u u= . Do đó, ta có (b) ( ) ( ) :b a⇒ Với mọi x C∈ , bất kì y C∈ , do T không giãn nên 2 2 2 21 10 k k k kT x y T x Ty T x Ty Ty y T x Ty+ +≤ − − − = − + − − − Kéo theo ( )2 2 210 2 ;k k kT x Ty T x Ty Ty y T x Ty Ty y+≤ − − − + − + − − Đặt 1 0 1 n k n k S x T x n − = = ∑ , cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta được ( ) 22 21 10 2 ; nnx Ty S x Ty Ty y Ty y T x Tyn n ≤ − + − − + − − − Do { }nT x bị chặn nên { }nS x bị chặn. Lại có { }nS x là dãy trong C mà C là tập lồi đóng của không gian Hilbert H nên { }nS x là tập con compact yếu. Do đó, { }nS x có dãy con { }inS x hội tụ yếu về phần tử p C∈ . Vì vậy, ta có ( ) 20 2 ;p Ty Ty y Ty y≤ − − + − Chọn y p= ta được ( ) 20 2 ;p Tp Tp p Tp p≤ − − + − ------------------------------------------------------- 17-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- kéo theo 2 0Tp p− ≤ . Hay hay ( ) hay ( )Tp p p F T F T= ∈ ≠∅ Tiếp theo, ta chứng minh F(T) là tập lồi, đóng Rõ ràng, F(T) là tập đóng Với , ( ); 0 1x y F T λ∈ ≤ ≤ , đặt ( )1z x yλ λ= + − . Giả sử Tz z≠ Theo đẳng thức hình bình hành, ta có 2 2 2 2 21 1 1 2 4 2 2 z Tz x z Tz z x Tz x z x+ − + − = − + − ≤ − Do T là ánh xạ không giãn nên 2 2 2 21 2 4 z Tz x z x z Tz z x+ − ≤ − − − < − (2.1.1a) Tương tự, ta cũng có 2 2 2 21 2 4 z Tz y z y z Tz z y+ − ≤ − − − < − (2.1.1b) Từ (2.1.1a) (2.1.1b) suy ra 2 2 z Tz z Tzx y x y z x z y x y+ +− ≤ − + − < − + − ≤ − Điều này vô lí, do vậy hay ( )Tz z z F T= ∈ . Hay F(T) là tập lồi ▄ 2.1.2 UHệ quả:U ( suy ra trực tiếp từ 1Tđịnh lí1T 2.1.1 ) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ :T C C→ không giãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong C. 2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion 2.2.1 UĐịnh lí U(Định lí hội tụ của Browder) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ :T C C→ không giãn, điểm ox tùy ý trong C; ánh xạ :nT C C→ xác định bởi 1 11n oT x Tx xn n  = − +    với mọi ; 1,2,3....x C n∈ = Khi đó, ta có: (i) :nT C C→ có duy nhất điểm bất động nu C∈ ------------------------------------------------------- 18-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (ii) Dãy { }nu hội tụ mạnh đến ( )oPx F T∈ , ( ):P C F T→ là phép chiếu mêtric trên F(T). Chứng minh (i) Do T là ánh xạ không giãn, với , ; 1,2,3....x y C n∈ = 1 11 1n nT x T y Tx Ty x yn n    − = − − ≤ − −        Suy ra, :nT C C→ là ánh xạ co. Nên nT có duy nhất điểm bất động nu C∈ (ii) Để chứng minh n ou Px→ , ta cần chứng minh: Nếu { }inu là dãy con bất kì của dãy { }nu thì { }inu có một dãy con hội tụ về ( )o ou Px F T= ∈ Đặt ii n v u= , do mọi iv đều thuộc tập compact C, không mất tính tổng quát, giả sử iv v→ , do ( ) khi0i iv Tv i− → →∞ , theo định lí 1.1.20 thì liminf liminf liminfi i i i in n nv v v Tv v Tv Tv v→∞ →∞ →∞− < − = − + − liminf liminfi in nTv Tv v v→∞ →∞< − ≤ − Điều này vô lí nên Tv v= . Tiếp theo, ta chứng minh i o ov u Px→ = Với mọi i, iv là điểm bất động của inT nên ta có ( )1 1 1 1 11 hay 1 ii n i i o i i i o i i i i i v T v Tv x v Tv v x n n n n n     = = − + + − − =        Mặt khác, ( )o ou Px F T= ∈ nên hay 0o o o ou Tu u Tu= − = suy ra ( )1 1 11o o o o i i i u Tu u u n n n   + − − =    Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta được ( ) ( ) ( )1 1 11i o i o o o i i i v u Uv Uu x u n n n   − + − − = −    với U I T= − Kéo theo ( ) ( ) ( )1 1 1; 1 ; ;i o i o i o i o o o i o i i i v u v u Uv Uu v u x u v u n n n   − − + − − − = − −    ------------------------------------------------------- 19-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vì T là ánh xạ không giãn nên ( ); 0i o i oUv Uu v u− − ≥ dẫn đến ( ) ( ) ( )( )21 1 1; ; ;i o o o i o o o o o o i i i i v u x u v u x u v u x u v v n n n − ≤ − − = − − + − − Mà o ou Px= nên ( ) ( ) ( ); ; ; 0o o o o o o o o ox u v u x Px v Px x Px Px v− − = − − = − − − ≤ Khi đó, ta được ( )2 ;i o o o iv u x u v v− ≤ − − Theo trên, iv v→ nên hayi o i ov u v Px→ → ▄ 2.2.2 UBổ đề:U (vai trò chủ yếu trong chứng minh định lí ergodic phi tuyến) Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ :T C C→ không giãn. Giả sử, F(T) không rỗng, P là phép chiếu mêtric trên F(T). Khi đó, với mọi x C∈ thì dãy { }nPT x hội tụ mạnh trong ( )F T . Chứng minh Với mọi ( );v C u F T∈ ∈ thì ( ) ( ); ; 0v Pv Pv v v u v Pv Pv u− − + − = − − ≥ Nên ( ) ( )2 2; hay ;v Pv v Pv v u v Pv v Pv v u− ≤ − − − − ≥ − − − Mà ( )2 2 2 2 2 ;Pv u Pv v v u Pv v v u Pv v u v− = − + − = − + − − − − Do đó 2 2 2Pv u v u Pv v− ≤ − − − (2.2.2a) Với mọi ; 1,2,3....x C n∈ = , ta có 1 1 1n n n n n n n nPT x T x PT x T x TPT x T x PT x T x− − −− ≤ − = − ≤ − Suy ra { }n nPT x T x− là dãy giãm (2.2.2b) Mặt khác, do (2.2.2a) nên n k n n n k n k n k n n n k n k PT x PT x PT x T x PT x T x PT x T x PT x T x + + + + + + − ≤ − − − ≤ − − − (2.2.2c) Từ (2.2.2b) (2.2.2c) suy ra { }nPT x là dãy Cauchy trong ( )F T nên dãy { }nPT x hội tụ mạnh trong ( )F T . ▄ ------------------------------------------------------- 20-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2.3 UĐịnh lí U (Định lí ergodic phi tuyến của Ballion) Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ :T C C→ không giãn. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương: (a) ( )F T ≠∅ (b) Với mọi x C∈ , 1 0 1 n k n k S x T x n − = = ∑ hội tụ yếu trong ( )F T . Trong trường hợp này, nếu nS x Qx→ thì ( ):Q C F T→ là ánh xạ không giãn thỏa: ( ) ( ) ( ) { } 2 khi 1,2,3..... ; 0,1,2.... khi n n n i Q Q ii QT T Q n iii Qx co T x n x C = = = ∈ = ∈ Chứng minh ( ) ( )a b⇒ : Với mọi x C∈ , theo định lí (2.2.2), dãy { }nPT x hội tụ mạnh đến ( )p F T∈ { }nS x là dãy bị chặn nên { }nS x có dãy con { }inS x hội tụ yếu về v C∈ Để chứng minh { }nS x hội tụ yếu trong ( )F T ta cần chứng minh p v= Thật vậy: Với ( )u F T∈ ta có ( ); 0k k kT x PT x PT x u− − ≥ nên ( ) ( ); ; . . k k k k k k k k k u p T x PT x PT x p T x PT x PT x p T x PT x PT x p x Px − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − Do đó 1 1 0 0 1 1; . n n k k n k k u p S x PT x x Px PT x p n n − − = =   − − ≤ − −    ∑ ∑ Suy ra ( ); 0u p v p− − ≤ . Theo chứng minh (2.2.1), ta được ( )v F T∈ Nếu chọn u v= thì ( ); 0v p v p− − ≤ hay p v= ( ) ( )b a⇒ : Theo chứng minh của định lí (2.2.1) ta có ( )F T ≠∅ Với ,x y C∈ thì ( ); . .n n n nS x S y Qx Qy S x S y Qx Qy x y Qx Qy− − ≤ − − ≤ − − ------------------------------------------------------- 21-------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mà ( ) 2lim ;n nn S x S y Qx Qy Qx Qy→∞ − − = − nên 2 .Qx Qy Qx Qy x y− ≤ − − Hay Qx Qy x y− ≤ − . Do đó Q là ánh xạ không giãn. (i) Với mọi x C∈ thì ( ) ( )lim limn n._.