Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

thực. Cõu 3) (0,5 điểm) Giải phương trỡnh: 2 4 4 1 4 log ( 7 10) log ( 2) log ( 5)x x x x- + - - = + Cõu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 2 2 ( 6 4) 3 (3 4) 8 2( ) ( ) 4(1 ) 2 3 22 1 2 3 x x y y y x y x y xy x xy y x y ỡ + - + - + + + = + + - +ù ớ - + - - = - +ùợ Cõu 5) (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn I = 4 2 0 ( 2 tan )sinx x xdx p + +ũ Cõu 6) (1,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’, đỏy ABC cú AC = 3a , BC = 3a , ã 030ACB = . Cạnh bờn hợp với mặt phẳng đỏy gúc 060 và mặt phẳng (A’BC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trờn cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (A’AC). Cõu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC với A(– 3; – 4), tõm đường trũn nội tiếp I(2; 1) và tõm đường trũn ngoại tiếp J( 1 ;1 2 - ). Viết phương trỡnh đường thẳng BC. Cõu 8) (1,0 điểm) Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trỡnh mặt phẳng trung trực đoạn AB và tỡm điểm M trờn mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = 13. Cõu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiờn 5 bi từ hộp. Tớnh xỏc suất để trong 5 bi lấy ra cú đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau. Cõu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa món 3 3( )( ) ( 1)( 1) 0a b a b ab a b+ + - - - = . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau: P = 4 4 2 2 12 3 36 (1 9 )(1 9 ) a bab aba b + + - + + + 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 1 (2,0đ) Cõu1) a) 3 23 2y x x= + - + TXĐ D = R , limx yđ-Ơ = -Ơ , limx yđ+Ơ = +Ơ + 2' 3 6y x x= + , 0 2 ' 0 2 2 x y y x y = ị = -ộ = Û ờ = - ị =ở ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + BBT x -Ơ 2- 0 +Ơ y’ + 0 - 0 + y Ơ -Ơ 2- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Hàm ĐB trờn cỏc khoảng (-Ơ ; 2- ), (0; +Ơ ) và NB trờn khoảng ( 2- ; 0). Điểm cực đại đồ thị ( 2- ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; 2- ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Đồ thị 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b)Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng y = 1 9 x- nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng 9. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta cú 0 020 0 0 0 0 1 2 '( ) 9 3 6 9 3 2 x y y x x x x y = ị =ộ = Û + = Û ờ = - ị = -ở --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là 9( 1) 2y x= - + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là 9( 3) 2y x= + - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Cõu 2 (1,0đ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 2) a) 2cos 2cos 3 0 3 xx + - = Û 3 24cos 3cos 2cos 3 0 3 3 3 x x x - + - = Û 2(cos 1)(4cos 6cos 3) 0 3 3 3 x x x - + + = 0,25 Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 3 (0,5đ) Cõu 4 (1,0đ) Û cos 1 2 6 , 3 3 x x k x k k Zp p= Û = Û = ẻ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Gọi z x yi= + . Ta cú 6 ( ) ( ) 6 3z z x yi x yi x+ = Û + + - = Û = (1) 2 2 8z z i+ - = 2 2 2( ) 2( ) 8 ( 2 ) (2 2 8)x yi x yi i x y x xy y i+ + - - = - + + - - là số thực nờn 2 2 8 0xy y- - = (2). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 3) b)ĐK 2 7 10 0 2 5 2 0 2 5 5 0 5 x x x x x x x x x ỡ - + > ỡ ù ù- > Û > Û >ớ ớ ù ù+ > > -ợợ Với ĐK trờn phương trỡnh tương đương : 24 4 4log ( 7 10) log ( 2) log ( 5)x x x x- + - - = - + 2 4 4log ( 7 10)( 5) log ( 2)x x x xÛ - + + = - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2( 7 10)( 5) 2x x x xÛ - + + = - ( 5)( 5) 1x xÛ - + = 26xÛ = (vỡ x > 5) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 4) 2 2 ( 6 4) 3 (3 4) 8 2( ) ( ) 4(1 ) 2(1) 3 22 1 2 3(2) x x y y y x y x y xy x xy y x y ỡ + - + - + + + = + + - +ù ớ - + - - = - +ùợ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Ta cú (1) 2 2( 3 2) 4 ( 3 2) ( ) 4 ( )x y x y y x y xÛ + - + + + - = - + + - + Xột hàm 2( ) 4f t t t= + + , t Rẻ . Ta cú 2 2 2 4'( ) 1 0, 4 4 t t tf t t R t t + + = + = > " ẻ + + Suy ra f(t) đồng biến trờn R. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Ta cú (1) Û ( 3 2) ( )f x y f y x+ - = - 3 2 1x y y x y xÛ + - = - Û = - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Thế y = 1 – x vào (2) ta cú : 2 22 22 2 1x x x x x+ + - = + + (3) . Với ĐK x³ 0. ta cú (3) 2 2( 2 22 5) ( 1) 2 3x x x x xÛ + + - - - = + - Û 2 2 2 3 1 ( 1)( 3) 12 22 5 x x x x x xx x + - - - = - + ++ + + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Û 2 1 1( 1) ( 3) 1 0 1 2 22 5 x x x x x ộ ựổ ử - + + - =ờ ỳỗ ữ + + + +ờ ỳố ứở ỷ Û x = 1 Vỡ với x³ 0 thỡ 2 1 1( 3) 1 0 1 2 22 5 x x x x ổ ử + + - >ỗ ữ + + + +ố ứ (phải giải thớch) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x = 1 ị y = 0 .Vậy hệ cú nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) 0,25 Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 5 (1,0đ) Cõu 6 (1,0đ) Cõu 5) I = 4 2 0 ( 2 tan )sinx x xdx p + +ũ = 4 4 2 0 0 sin( 1)sin cos xx xdx dx x p p + +ũ ũ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Đặt 1 sin cos u x du dx dv xdx v x = + =ỡ ỡ ịớ ớ= = -ợ ợ . Ta cú 4 4 4 0 0 0 ( 1)sin ( 1)cos cosx xdx x x xdx p p p + = - + +ũ ũ = 40 2 2( 1) 1 sin 1 4 2 8 x pp p- + + + = - + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + 4 4 4 2 2 00 0 sin (cos ) 1 2 1 cos cos cos x d xdx x x x p p p - = = = -ũ ũ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Vậy I = 2 2 8 p- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 6) B C A A' C'B' H ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ' ( ' ) ( ' ) A BC ABC A AH ABC A H A BC A AH ^ỡ ù ^ớ ù = ầợ ' ( )A H ABCị ^ Suy ra ã 0' 60A AH = ---------------------------------------------------------- 2 2 2 02 . .cos30AH AC HC AC HC= + - = 2a ị AH = a 0' tan 60 3A H AH aị = = 2 . ' ' ' 3 3. ' . 3 4ABC A B C ABC aV S A H a= = = 39 4 a -------------------------------------------------------- Vỡ 2 2 2AH AC HC+ = ị HA AC^ ị 'AA AC^ 2 ' 1 1. . ' . 3.2 3 2 2A AC S AC AA a a a= = = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Cõu 7 (1,0đ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ị 3 ' 2 ' 9 3. 3 34( , ( ' )) 43 A ABC A AC aV ad B A AC S a = = = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 7) + Phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC : 2 2 1 125( ) ( 1) 2 4 x y+ + - = (1) + Phương trỡnh đường thẳng AI : 3 4 2 3 1 4 x y+ + = + + 1 0x yÛ - - = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,25 0,25 Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 8 (1,0đ) + Đường thẳng AI cắt đường trũn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC. Hoành độ điểm D là nghiệm khỏc – 3 của phương trỡnh : 2 2 3 1 125( ) ( 2) 92 4 2 x x x x = -ộ ờ+ + - = Û ờ = ở . Suy ra D( 9 7; 2 2 ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Ta cú ãBID = 2 2 A B + và ã ã ã 2 2 B AIBD IBC CBD= + = + suy ra ã ãBID IBD= ịDI = DB = DC ịB, C nằm trờn đường trũn tõm D bỏn kớnh DI cú phương trỡnh : 2 2 9 7 50( ) ( ) 2 2 4 x y- + - = (2) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trỡnh (1) và (2) 2 2 2 2 1 125( ) ( 1) 2 4 9 7 50( ) ( ) 2 2 4 x y x y ỡ + + - =ùù ớ ù - + - = ùợ 2 2 2 2 2 30 0 9 7 20 0 x y x y x y x y ỡ + + - - =ùÛ ớ + - - + =ùợ 2 2 10 5 50 0 9 7 10 0 x y x y x y + - =ỡ Û ớ + - - + =ợ Suy ra phương trỡnh đường thẳng BC : 10 5 50 0x y+ - = hay 2 10 0x y+ - = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Cõu 8) + Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận ( 6; 8; 8)AB = - - -  làm VTPT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Suy ra phương trỡnh mp(Q): 6( 1) 8( 6) 8( 7) 0x y z- - - + - - = 3 4 4 7 0x y zÛ + + - = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Gọi D= (Q)ầ (P). Đường thẳng D là tập hợp cỏc điểm thỏa hệ phương trỡnh: 3 4 4 7 0 4 0 x y z x y z + + - =ỡ ớ + - - =ợ (1) + (P) cú VTPT (1;1; 1)Pn = -  , (Q) cú VTPT (3;4;4)Qn =  suy ra D cú VTCP [ , ] (8; 7;1)P Qu n n= = -    . Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Cõu 9 (0,5đ) Cõu 10 (1,0đ) ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trỡnh tham số đường thẳng D 1 8 2 7 1 x t y t z t = +ỡ ù = -ớ ù = - +ợ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Mẻ D thỡ Mẻ(P) và MA = MB. Ta cú M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t) MA = 13 2 2 2(8 3) (4 7 ) ( 12) 169t t tÛ - + - + - = 2114 128 0t tÛ - = 0tÛ = hoặc 64 / 27t = Vậy cú hai điểm M thỏa bài toỏn : 1(1;2; 1)M - , 2 569 334 7( ; ; ) 57 57 57 M - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 9) + Cú 512 792C = cỏch chọn 5 bi từ hộp 12 biị W = 792 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra cú đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’ TH1 : 1X, 1Đ, 3V ị cú 1 1 33 4 5 120C C C = cỏch chọn TH2 : 2X, 2Đ, 1Vị cú 2 2 13 4 5 90C C C = cỏch chọn Suy ra XW = 120 + 90 = 210 Vậy P(X) = 210 35 792 132 XW = = W --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 10) P = 4 4 2 2 12 3 36 (1 9 )(1 9 ) a bab aba b + + - + + + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- GT : 3 3( )( ) ( 1)( 1) 0a b a b ab a b+ + - - - = 3 3( )( ) (1 )(1 )a b a b a b ab + + Û = - - (*) Vỡ 3 3 2 2( )( ) ( ) 2 .2 4a b a b a b a b ab ab ab ab b a ổ ử+ + = + + ³ =ỗ ữ ố ứ và (1 )(1 ) 1 ( ) 1 2a b a b ab ab ab- - = - + + Ê - + , khi đú từ (*) suy ra 4 1 2ab ab abÊ - + , Đặt t = ab (t > 0) ta được 2 10 12 1 3 03 94 (1 3 ) t t t t t t ỡ < ÊùÊ - Û Û < Êớ ù Ê -ợ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta cú 2 2(1 9 )(1 9 ) 36a b ab+ + ³ 2 2 12 2 136 (1 9 )(1 9 ) aba b ị Ê ++ + + và 4 4 3 3 2a bab ab ab ab ab + - Ê - = . Suy ra 2 1 P ab ab Ê + + . Dấu đẳng thức xảy ra 1 3 a bÛ = = . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 6 . Xột hàm 2( ) 1 f t t t = + + với 0 < t 1 9 Ê , ta cú 1 1'( ) 1 0, (0, ] 9(1 ) 1 f t t t t = - > " ẻ + + ị f(t) đồng biến trờn (0, 1 ] 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f(t) 1 6 1( ) 9 910 fÊ = + , dấu đẳng thức xảy ra 1 1 3 9 a b a b t ab =ỡ ùÛ Û = =ớ = =ùợ Vậy MaxP = 6 1 910 + đạt được tại a = b = 1 3 0,25 0,25 7