Đề thi môn Giải tích thực - Học kì I - Năm học 2015-2016

IRn với độ đo Lebesgue. Cho p ∈ [1,∞), {fm} trong Lp(Ω) là một dãy hàm số hội tụ từng điểm về một hàm số f trên Ω. Giả sử có g trong Lp(Ω) sao cho |fn(x)− f(x)| ≤ g(x) với mọi x trong Ω. Hỏi f có thuộc Lp(Ω) và {fm} có hội tụ về f trong Lp(Ω) hay không? 2. Cho Ω là một tập đo được trong IRn với độ đo Lebesgue và cho p ∈ [1,∞). Cho {gm} là một dãy trong Lp(Ω) sao cho ∑∞ m=1 ||gm||Lp < ∞. Cho fm ∈ gm. Đặt f(x) = ∑∞ m=1 f(x). Hỏi f(x) có xác định hầu hết trên Ω và f˜ có thuộc Lp(Ω) hay không? 3. Cho {un} ∈ L∞([0, 1]) và fn ∈ un và gn ∈ un. Giả sử ∑∞ j=0 fn(x) hội tụ với mọi x trong [0, 1]. Hỏi ∑∞ j=0 gn(x) có hội tụ hầu hết trong [0, 1] hay không? 4. Cho g ∈ u ∈ L∞([0, 1]) . Hỏi có hay không một dãy hàm đơn {sn} và một tập E ⊂ [0, 1] sao cho m(E) = 0 và {sn(x)} hội tụ đều về g(x) với mọi x ∈ [0, 1] \ E? Hết 1