Đề tài Xây dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi

nền Winkler. Mô hình nền thứ nhất tương đối chính xác vì khi tính có xét đến ảnh hưởng qua lại giữa nền ở đáy dầm với nền ở ngoài đáy dầm, tuy vậy, phương pháp tính theo mô hình này phức tạp về mặt toán học và khối lượng tính toán lớn. Với mô hình nền Winkler, cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ với chuyển vị thẳng đứng của nền tại điểm ấy. Đây là mô hình nền khá đơn giản nhưng hiệu quả, nên cho đến nay rất nhiều phương pháp tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền này và kết quả tính toán này được sử dụng để tính toán thiết kế dầm trên nền đàn hồi hiện nay. Tuy nhiên, mô hình nền này có bất cập quan trọng đó là phản lực tương tác giữa dầm và nền xuất hiện ở cả khu vực nền bị dầm ép cũng như khu vực nền bị dầm kéo, thực tế thì tại những điểm nền bị dầm kéo, đáy dầm sẽ tách ra khỏi nền và phản lực tương tác giữa dầm và nền bằng không. Nhóm tác giả đã lựa chọn đề tài: “Xây dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi”. Đề tài đi vào nghiên cứu xây dựng một phương pháp gần đúng mới tính toán dầm trên nền đàn hồi có xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó quan hệ giữa phản lực tương tác và chuyển vị của nền được mô tả toán học bằng hàm SIGN, xây dựng phương trình vi phân duy nhất cho bài toán và đề xuất phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân để xác định chuyển vị, nội lực cho dầm. Với phương pháp tính mới này, mở ra hướng giải quyết bài toán dầm trên nền đàn hồi một chiều hiệu quả hơn trong những trường hợp phức tạp hơn về mặt điều kiện biên và tải trọng. Từ khóa: Dầm trên nền đàn hồi, Phương pháp tính, Winkler. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Theo [1], để tính toán dầm trên nền đàn hồi, thường có mấy mô hình nền như sau: mô hình nền bán không gian vô hạn, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi; mô hình nền Winkler. Mô hình nền thứ nhất tương đối chính xác vì khi tính, nó có xét đến ảnh hưởng qua lại giữa bộ phận nền ở đáy dầm với bộ phận nền ở ngoài đáy dầm, tuy vậy, phương pháp tính theo TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 215 mô hình này phức tạp về mặt toán học và khối lượng tính toán lớn. Với mô hình nền Winkler, cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ với chuyển vị thẳng đứng của nền tại điểm ấy. Đây là mô hình nền khá đơn giản nhưng hiệu quả, nên cho đến nay rất nhiều phương pháp tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền này và kết quả tính toán này được sử dụng để tính toán thiết kế dầm trên nền đàn hồi hiện nay. Tuy nhiên, mô hình nền này có một bất cập quan trọng đó là phản lực tương tác giữa dầm và nền xuất hiện ở cả khu vực nền bị dầm ép cũng như khu vực nền bị dầm kéo, thực tế thì tại những điểm nền bị dầm kéo, đáy dầm sẽ tách ra khỏi nền và phản lực tương tác giữa dầm và nền bằng không (Hình 1). Như vậy, mô hình nền Winkler sẽ không phù hợp với những trường hợp dầm tách ra khỏi nền, kết quả tính toán bị sai lệch với thực tế. Phát triển mô hình nền Winkler, đã có một số nghiên cứu đã đề xuất phương pháp tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều hay nền dị hướng. Theo đó, quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của nền được mô tả toán học bằng hàm trị tuyệt đối của chuyển vị nền và giải theo phương pháp tải trọng bù [2] và giải theo phương pháp phần tử hữu hạn [3]. Hình 1. Tương tác giữa dầm và nền Tiếp tục theo hướng nghiên cứu này, nhóm tác giả ở đây đã lựa chọn đề tài: “Xây dựng một phương pháp gần đúng mới giải bài toán dầm trên nền đàn hồi”. Đề tài đi vào nghiên cứu xây dựng một phương pháp gần đúng mới tính toán dầm trên nền đàn hồi có xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó quan hệ giữa phản lực tương tác và chuyển vị của nền được mô tả toán học bằng hàm SIGN, xây dựng phương trình vi phân duy nhất cho bài toán và đề xuất phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân để xác định chuyển vị, nội lực cho dầm. Với phương pháp tính mới này, mở ra hướng giải quyết bài toán dầm trên nền đàn hồi một chiều hiệu quả hơn trong những trường hợp phức tạp hơn về mặt điều kiện biên và tải trọng. TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 216 2. CÁC NỘI DUNG CHÍNH 2.1. Phương pháp nghiên cứu, phương tiện nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu ở đây là nghiên cứu lý thuyết kết hợp lập chương trình tính toán trên máy tính với ứng dụng nội hàm Solver trong Microsolf Excel. 2.2. Nội dung nghiên cứu đã thực hiện 2.2.1. Xây dựng phương pháp gần đúng tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều Phát triển phương pháp tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler, nhóm tác giả đề xuất phương pháp gần đúng tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều. Phương pháp này cho phép xét đến tương tác một chiều giữa dầm và nền. Mô hình tính dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều Nền đàn hồi được mô hình hóa thánh cách lò xo thẳng đứng như trong hình 2a. Ở đó, các lò xo được coi như chỉ chịu nén, không chịu kéo. Quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của điểm liên kết được mô tả như trong hình 2b. Theo đó, phản lực của nền tác dụng lên dầm được xác định theo công thức: p0 = k0.v (khi v dương) p0 = 0 (khi v âm) Trong đó: p0 là cường độ phản lực của nền trên một đơn vị diện tích bề mặt đáy dầm; k0 là hệ số nền; v là độ võng của dầm hay chuyển vị thẳng đứng của nền tại điểm đang xét. a) b) Hình 2. Mô hình tính dầm trên nền đàn hồi then mô hình nền một chiều Gọi b là bề rộng của dầm. Giả thiết bề rộng b nhỏ so với chiều dài dầm, ta có thể coi phản lực của nền phân bố đều theo chiều rộng dầm. Khi đó phản lực của nền phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm là: p = k0.v.b = k.v với k = k0.b được gọi là hệ số nền tính trên một đơn vị chiều dài dầm. p0 v0 p0=k0.v p0=0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 217 Áp dụng hàm SIGN để mô tả quan hệ như sau: p = (1 + sign(v))/2. k. v Ở đó: sign(v) = 1 khi v có giá trị dương sign(v) = -1 khi v có giá trị âm Thiết lập phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều Ta xét một đoạn dầm có chiều dài dz như trong hình 3. Áp dụng quan hệ vi phân trong dầm chịu uốn thuần túy ta có: Đây là phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi một chiều. Hình 3. Phân tố dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 218 Xây dựng phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều Phương trình vi phân ở trên là phương trình vi phân phi tuyến, việc tìm nghiệm giải tích ở dạng tường minh là khá khó khăn. Ở đây, nhóm tác giả xây dựng một phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân bằng cách kết hợp phương pháp bình phương tối thiểu và hàm Solver. Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu để giải gần đúng phương trình vi phân Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của dầm, v(z). Hàm xấp xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ bản sau đây: chuỗi lượng giác hoặc đa thức. Hàm xấp xỉ trước hết phải thỏa mãn phương trình vi phân cần giải với mọi giá trị của z trong miền xác định của hàm số. Để hàm xấp xỉ v(z) thỏa mãn phương trình vi phân của dầm, ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ, các tham số của hàm xấp xỉ đảm bảo sao cho tổng bình phương của hiệu giữa vế trái và vế phải của phương trình vi phân ứng với các giá trị khác nhau của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ, [Vế trái – Vế phải]2, phải đạt cực tiểu, với điều kiện ràng buộc là các điều kiện biên của bài toán. Phát biểu bài toán tối ưu hóa xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ như sau: Hàm mục tiêu: f(ai) = [Vế trái – Vế phải]2 → min. Biến số: ai = {a0, a1, ... an}T. Điều kiện ràng buộc: điều kiện biên của bài toán. Lập chương trình giải bài toán với hàm Solver Từ hàm xấp xỉ đã giả định của đường đàn hồi, ta lập được bảng tính các đại lượng như trong bảng 3.1. Cho các tham số ai thay đổi, phương pháp Newton được sử dụng để xác định các tham số ai sao cho hàm mục tiêu f(ai) đạt cực tiểu. Tham số biến và các điều kiện biên của bài toán được thiết lập trong hệ thống menu câu lệnh của nội hàm Solver. Trên cơ sở thuật toán đã giới thiệu ở trên, chương trình tính trên máy tính được xây dựng với ứng dụng của Hàm Solver. Bảng 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 219 2.2.2. Kết quả nghiên cứu và bình luận Tính toán dầm dài vô hạn chịu một lực tập trung trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler theo phương pháp giải tích và phương pháp gần đúng đề xuất Lời giải theo phương pháp giải tích được tham khảo theo [1]. Lời giải theo phương pháp gần đúng đề xuất là kết quả của chương trình máy tính của đề tài. Biểu đồ độ võng của dầm trên nền Winkler theo phương pháp giải tích và phương pháp gần đúng đề xuất được thể hiện trên hình 4. Từ kết quả tính cho thấy phương pháp gần đúng đề xuất cho kết quả gần như đúng theo phương pháp giải tích. Như vậy cơ sở lý thuyết, thuật toán và chương trình tính của phương pháp đề xuất là đáng tin cậy. Tính toán dầm dài vô hạn chịu một lực tập trung trên nền đàn hồi theo mô hình nền một chiều theo phương pháp gần đúng đề xuất Độ cứng của nền được giữ không thay đổi, độ cứng của dầm được thay đổi theo 03 trường hợp: a) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 12 cm2; b) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 24 cm2; c) Kích thước mặt cắt ngang của dầm: b x h = 12 x 36 cm2. Lời giải theo phương pháp gần đúng đề xuất là kết quả của chương trình máy tính của đề tài trên mô hình nền một chiều. Lời giải theo phương pháp giải tích trên mô hình nền Winkler được tham khảo theo [1]. Từ kết quả tính cho thấy một số điểm quan trọng sau: Hình 4. Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi Winkler theo phương pháp giải -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 -600 -400 -200 0 200 400 600 Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler truyền thống Theo phương pháp gần đúng Theo phương pháp giải tích TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 220 - Phương pháp gần đúng đề xuất cho phép giải bài toàn dầm trên nền đàn hồi theo cả mô hình Winkler truyền thống và mô hình nền một chiều. - Mô hình nền một chiều cho kết quả khác đáng kể so với mô hình nền Winkler truyền thống. Theo chiều tăng dần độ cứng của dầm, độ võng lớn nhất của dầm trong trường hợp a) theo phương pháp gần đúng trên mô hình nền một chiều lớn hơn độ võng lớn nhất theo phương pháp giải tích trên mô hình nền Winkler là 22,54%. Tỷ lệ này lên tới 70,39% với dầm trong trường hợp b) và 131,56% với dầm trong trường hợp c). 3. KẾT LUẬN Nhóm nghiên cứu đã đạt được các kết quả sau: Lần đầu tiên ứng dụng hàm Sign để mô tả tương tác một chiều giữa dầm và nền, ở đó tại những vị trí dầm ép nền, nền sẽ tác dụng phản lực lên dầm (phản lực tỷ lệ bậc nhất với chuyển vị thẳng đứng của nền), tại những vị trí dầm bênh lên khỏi nền, phản lực của nền tác dụng lên dầm bằng không; Xây dựng được phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi một chiều;Xây dựng được cơ sở lý thuyết, thuật toán và chương trình máy tính giải gần đúng phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi một chiều; Cơ sở lý thuyết, thuật toán và chương trình tính của phương pháp đề xuất là đáng tin cậy; Phương pháp gần đúng đề xuất cho phép giải bài toàn dầm trên nền đàn hồi theo cả mô hình Winkler truyền thống và mô hình nền một chiều; Mô hình nền một chiều cho kết quả khác đáng kể so với mô hình nền Winkler truyền thống. Tài liệu tham khảo [1]. Vũ Đình Lai: Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao Thông Vận Tải, 2007. [2]. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu (2006). "Tính kết cấu có liên kết dị hướng", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8. Tập 1. Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ. [3]. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu. Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Toàn quốc Lần thứ 8, tập 2, tr. 57-68, 2007. [4]. Trần Trí Dũng: Excel-Solver cho kỹ sư, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2005.