Đề cương môn học Cơ học và sức bền vật liệu

một chất điểm khi xét chuyển động của nó xung quanh hệ mặt trời ( RTĐ = 6.106m , RMT = 7.108m , dTĐ-MT = 15.1010m ). * Hệ chất điểm: Là tập hợp các chất điểm mà vị trí và chuyển động của mỗi chất điểm thuộc hệ phụ thuộc vào những chất điểm còn lại. * Vật rắn tuyệt đối: Là một cơ hệ trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Như vậy, vật rắn tuyệt đối (vật rắn) chỉ là một hệ chất điểm, một dạng trừu tượng của vật rắn thực. Hay nói cách khác, chỉ là mô hình gần đúng của vật rắn thực. Vật rắn thực bao giờ cũng bị biến dạng ít hay nhiều khi chịu các tác động bên ngoài. Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thường được gọi tắt là vật rắn. 1.1.2. Chuyển động cơ học - Hệ quy chiếu - Trạng thái cân bằng. * Vật thể được nghiên cứu trong cơ học lý thuyết là một phần của vật chất tổng quát, luôn ở trạng thái chuyển động và được gọi là chuyển động cơ học. Chuyển động cơ học của vật rắn là sự thay đổi vị trí của vật (hay một phần của vật) theo thời gian so với một vật khác được chọn. Vật khác được chọn để làm mốc nghiên cứu chuyển động được gọi là hệ quy chiếu. Với mỗi chuyển động cần xác định một hệ quy chiếu nhất định (một vật rắn khác) để dễ dàng xác định vị trí của vật chuyển động. Việc lựa chọn hệ quy chiếu rất quan trọng, vì đến lượt nó, hệ quy chiếu này lại có thể chuyển động so với một hệ quy chiếu (vật) khác. Hệ quy chiếu được gọi là cố định khi nó không có chuyển động so với một hệ quy chiếu quy ước và được gọi là động khi nó chuyển động so với hệ quy chiếu quy ước. Để tiện nghiên cứu, ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ trục tọa độ (Oxyz). * Trạng thái cân bằng: Là trạng thái không chuyển động so với một hệ quy chiếu (quy ước) đã cho. Cân bằng của vật rắn (hệ chất điểm) sẽ xảy ra khi tất cả các chất điểm của nó ở trạng thái cân bằng. 1.1.3. Lực. * Hiện tượng: Hai chiếc xe A và B, B đang đứng yên còn A chuyển động tiến lại gần xe B và đâm vào B. Sau khi va chạm ta thấy cả hai xe A và B chuyển động. Vậy nguyên nhân nào khiến xe B đang đứng yên lại chuyển động? Từ những quan sát, kinh nghiệm và thực nghiệm ta thấy nguyên nhân của sự biến đổi trạng thái chuyển động cơ học hay sự dời chỗ của vật thể chính tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. Do đó: * Lực là đại lượng đặc trưng số đo sự tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể. + Các yếu tố của lực: Thực nghiệm chứng tỏ rằng lực được đặc trưng bởi ba yếu tố: Điểm đặt, hướng (phương, chiều), trị số. - Điểm đặt: Là phần tử vật chất thuộc vật mà qua đó tác dụng tương hỗ được truyền đến vật. - Hướng của lực: Là hướng chuyển động mà lực đó gây ra cho vật. - Trị số của lực (cường độ của lực): Là số đo tác dụng mạnh yếu của lực so với lực được chọn làm chuẩn gọi là đơn vị lực. Đơn vị lực là Niutơn ký hiệu là N. Ngoài ra còn dùng KN, MN... 1N = 10-3KN = 10-6KN A D + Biểu diễn lực. Người ta dùng véctơ để biểu diễn đặc trưng của lực gọi là véctơ lực. VD: N, F , P Hình 1.1.1 - Véctơ lực có gốc tại điểm đặt của lực, hướng trùng với hướng của lực, độ dài tỷ lệ với trị số của lực. 1.1.4. Các kháI niệm khác. 1.1.4.1. Hệ lực. Hệ lực là tập hợp các lực cùng tác dụng lên một vật rắn. Hệ lực gồm các lực ,,..., được ký hiệu là (, ,...,) 1.1.4.2. Hai hệ lực tương đương. Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng cùng tác dụng cơ học. Hệ lực (,,...,) tương đương với hệ lực (,,...,) được ký hiệu là: (, ,...,) @ (, ,...,) 1.1.4.3. Hệ lực cân bằng. Hệ lực cân bằng là hệ lực khi tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi trạng thái ban đầu của vật có được khi không chịu tác dụng của hệ lực ấy. Hệ lực (, ,...,) cân bằng được ký hiệu (, ,...,) @ 0 1.1.4.4. Hợp lực. Một lực duy nhất tương đương với tác dụng của của hệ lực thì đó được gọi là hợp lực. Nếu là hợp lực của hệ lực (, ,...,) thì: º (, ,...,) 1.1.4.5. Ngẫu lực và hệ ngẫu lực. - Định nghĩa: Xét trường hợp đặc biệt khi hai lực và song song, ngược chiều và cùng trị số. R = F1 - F2 = 0, nhưng hệ (,) không cân bằng vì , không cùng đường tác dụng, như vậy hệ (,) không có hợp lực. Trong thực tế lực này có khuynh hướng làm cho vật rắn quay và được gọi là ngẫu lực. Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng. Ký hiệu: (,) A a B Hình 1.1.2 Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực lập thành ngẫu lực được gọi là cánh tay đòn. - Các yếu tố của ngẫu lực. Ngẫu lực có ba yếu tố: - Mặt phẳng tác dụng là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực. - Chiều quay của ngẫu lực là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên. - Trị số mômen của ngẫu lực là tích số giữa trị số của ngẫu lực với cánh tay đòn: m = ± F.a Trong đó: + m: Trị số mômen của ngẫu lực. + F: Trị số của lực. + a: Cánh tay đòn. + Dấu ± biểu thị chiều quay của ngẫu lực: Lấy dấu + khi ngẫu lực quay thuận chiều kim đồng hồ. Lấy dấu - khi ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ. - Đơn vị đo của trị số mômen là Niutơn.mét. Ký hiệu: Nm, KNm, MNm... 1KNm = 103Nm, 1MN = 103KN. - Sự tương đương của các ngẫu lực. Hai tính chất của ngẫu lực. + Sự tương đương của hai ngẫu lực: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, cùng chiều quay và cùng trị số mômen bằng nhau thì tương đương. + Tính chất của ngẫu lực: - Tính chất 1: Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi di chuyển ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó. - Tính chất 2: Ta có thể biến đổi trị số của lực và cánh tay đòn của ngẫu lực miễn là không làm biến đổi trị số mômen của ngẫu lực. 1.2. Hệ tiên đề tĩnh học. 1.2.1. Tiên đề 1. (Tiên đề hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là hai lực phải cùng đường tác dụng, ngược chiều và có trị số bằng nhau. A B A B = - Hình 1.1.3 1.2.2. Tiên đề 2. ( Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. Nếu và là hai lực cân bằng thì: (,,...,) @ (,,...,,,) Hoặc nếu hệ lực (,,,...,) có hai lực cân bằng (,) thì: (, ,,...,) @ (,...,) * Hệ quả: (Định lý trượt lực) Tác dụng của một lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó. A B Giả sử: Lực tác dụng lên vật rắn tại A, tại B ta thêm 2 lực (,) cân bằng nhau có cùng đường tác dụng với lực và: = -= Ta có: @ (,,) @ Như vậy chính là trượt từ A tới B. Hình 1.1.4 1.2.3. Tiên đề 3. (Tiên đề hình bình hành lực) O Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và được biểu diễn bằng một vectơ chéo hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực thành phần. @ (,) hay = + Hình 1.1.5 1.2.4. Tiên đề 4. (Tiên đề về lực tác dụng và phản lực tác dụng) Lực tác dụng và phản lực tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều và có cùng cường độ. O Hình 1.1.6 1.2.5. Tiên đề 5. (Tiên đề hóa rắn) Một vật rắn biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của hệ lực thì khi hoá rắn lại nó vẫn cân bằng. Tiên đề cho phép coi vật biến dạng cân bằng là vật rắn cân bằng. Những điều kiện cân bằng của vật rắn cũng là những điều kiện cần (nhưng không đủ) của vật biến dạng cân bằng. 1.2.6. Tiên đề 6. (Tiên đề giải phóng liên kết) + Vật tự do: Là vật có thể thực hiện được mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang khảo sát sang những vị trí lân cận (như quả bóng bay trong không gian). + Vật không tự do: Là vật có di chuyển theo một phương nào đó bị cản trở. + Liên kết: Những điều kiện cản trở chuyển động của vật khảo sát (Vật A) được gọi là liên kết đặt lên vật (Bàn B). + Tác dụng tương hỗ tại liên kết vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát, lực đó được gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết chính là lực làm cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát. * Vật không tự do ( tức vật chịu liên kết ) cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng. 1.3. Liên kết và phản lực liên kết. 1.3.1. Liên kết tựa. Hai vật liên kết tựa khi chúng trực tiếp tựa lên nhau thực hiện theo các bề mặt hoặc theo các đường, hoặc theo bề mặt và đường hoặc theo điểm và bề mặt hay điểm và đường là hoàn toàn nhẵn thì phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa B B A C A C t t Hình 1.1.7 1.3.2. Liên kết dây. Liên kết dây cản trở chuyển động của vật khảo sát theo chiều căng dây. Phản lực hướng theo phương của dây theo chiều từ vật khảo sát đi ra. Phản lực liên kết của dây mềm còn được gọi là lực căng dây. B A C B C Hình 1.1.8 1.3.3. Liên kết bản lề phẳng. Liên kết bản lề phẳng có hai loại: Bản lề di động và Bản lề cố định. a. Bản lề di động. Bản lề di động cho phép vật khảo sát (vật B) quay quanh trục bản lề và di chuyển theo phương song song với mặt tựa, còn cản trở chuyển động theo phương vuông góc với mặt tựa. B A B B B Hình 1.1.9 b. Bản lề cố định. Liên kết bản lề cố định chỉ cho phép vật khảo sát (vật B) quay quanh trục bản lề còn mọi di chuyển đều bị cản trở. Phản lực liên kết có trị số và phương chưa biết, còn chiều thì định. Để đơn giản khi tính toán ta thường phân thành hai thành phần là và vuông góc với nhau: = + B A Hình 1.1.10 1.3.4. Liên kết ngàm. Hai vật được nối cứng với nhau tạo ra liên kết ngàm.. Ví dụ: Đinh đóng vào tường, cột chôn xuống nền, hai thanh thép được hàn với nhau Phản lực liên kết gồm 1 ngẫu lực và một lực. Khi tính toán ta phải phân tích lực và ngẫu lực theo các phương. Hình 1.1.11 1.3.5. Liên kết thanh. Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện sau: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và bỏ qua trọng lượng thanh. Những liên kết tại hai đầu thanh được thực hiện nhờ bản lề trụ, cầu hoặc tựa. Phản lực liên kết thanh nằm dọc theo đường nối tâm hai khớp bẩn lề. B A Hình 1.1.12 1.4. Lý thuyết về mô men lực. 1.4.1. Mô men của lực lấy đối với một tâm (Một điểm). Thực tế chứng tỏ rằng một lực tác dụng lên vật rắn vừa có khả năng làm cho vật rắn di chuyển vừa có khả năng làm cho vật rắn quay. Xét về mômen của một lực đối với một điểm là xét khả năng của lực làm vật quay quanh điểm đó. Giả sử vật rắn có thể quay quanh điểm O cố định. Tác dụng quay mà gây ra cho vật phụ thuộc vào trị số cua lực (F) và khoảng cách a từ O đến đường tác dụng của lực. Còn chiều quay mà lực gây ra cho vật có thể là thuận hay ngược chiều kim đồng hồ. Đại lượng đặc trưng cho cả tác dụng quay và chiều quay đó được gọi là mômen của một lực đối với một điểm. Định nghĩa: Mômen của một lực đối với một điểm là một đại lượng đại số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn và có dấu (+) hay (-) tùy thuộc vào chiều quay của lực quanh tâm O là ngược hay thuận chiều kim đồng hồ. () = ±F.a (): Ký hiệu mômen của lực đối với điểm O F: Trị số của lực a O F a: Cánh tay đòn Hình 1.1.13 * Cách xác định mômen của một lực đối với một điểm: Từ điểm lấy mômenhạ đường vuông góc đến đường tác dụng của lực để tìm cánh tay đòn a. Tính mô men theo công thức, khi xác định chiều quay để lấy dấu cần đứng ở điểm lấy mômen và vòng theo chiều của lực quanh điểm đó. * Ví dụ: Xác định mômen của các lực và đối với các điểm A và B như hình vẽ. Biết = 10KN; = 12KN; a = 300; AC = CD = DB = 2m. A B NB D C a I K Hình 1.14 + Giải: () = -F1.AI = -F1.AC.sina = -10.2.sin300 = -10KNm. () = -F2.AD = -12.4 = -18KNm. () = F1.BK = F1.CB.sina = 10.4.sin300 = 20KNm. () = F2.BD = 12.2 = 24KNm. 1.4.2. Mômen của một lực đối với một trục. a. Định nghĩa. Cho lực và một trục nào đó, dựng mặt phẳng (P) bất kỳ vuông góc với trục z và cắt trục tại O. Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng (P), ta có định nghĩa: Mômen của lực đối với trục z là mômen của hình chiếu lực lên mặt phẳng vuông góc với trục đối với giao điểm của trục và mặt phẳng vuông góc đó. Trong đó: - : Là ký hiệu mômen của lực đối với trục z. - F’: Là trị số hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục z - a: Khỏang cách từ O đến F’ - có dấu (+) khi nhìn từ chiều dương trục z thấy lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, có dấu (-) trong trường hợp ngược lại. P O z a Hình 1.1.15 Như vậy: Mômen của lực đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay quanh trục do lực đó gây ra. b. Cách tính mômen của một lực đối với một trục. Từ định nghĩa ta suy ra cách tính mômen của một lực đối với một trục như sau: - Xác định hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục. (Thuận lợi nhất là lấy mặt phẳng vuông góc với trục chứa điểm đặt lực). - Từ giao điểm của trục với mặt phẳng vuông góc hạ đường vuông góc với hình chiếu lực để xác định cánh tay đòn a. - Tính mômen theo công thức. c. Các trường hợp đặc biệt. Khi lực song song với trục z thì: vì F’ = 0 Khi lực có đường tác dụng cắt trục z thì: vì a = 0 Khi lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z thì: CHƯƠNG 2: ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC 2.1. Hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực không gian. 1.5.1. Véc tơ chính của hệ lực không gian. a. Định nghĩa. Véc tơ chính của hệ lực, kí hiệu , là tổng hình học của các véc tơ biểu diễn của hệ lực. (*) b. Phương pháp xác định véc tơ chính. + Phương pháp hình học: Để xác định véctơ chính có thể vẽ (trên hình vẽ xét hệ lực gồm bốn lực) đa giác lực. Muốn vậy, từ một điểm bất kì ta vữ nối tiếp những véctơ song song cùng chiều và có trị số bằng các véctơ biểu diễn các lực của hệ lực. Đường gãy khúc nhận được gọi là đa giác lực. Véctơ được gọi là véctơ khép kín đa giác lực. Vậy, véctơ chính của hệ lực chính là véctơ khép kín của đa giác lực. Hình 1.2.1 Trong trường hợp hệ lực phẳng, đa giác lực là đa giác phẳng, còn trong trường hợp hệ lực không gian, đa giác lực, nói chung là đa giác ghềnh. + Phương pháp giải tích: Dựa vào công thức (*), véctơ chính có thể được xác định qua các hình chiếu của nó theo các hình chiếu của các lực của hệ lực trên các trục toạ độ vuông góc Oxyz. R’ Từ đó mô đun và phương chiếu của vec tơ chính được xác định theo công thức: cos= R’x/R’; cos= R’y/R’; cos= R’z/R’ 1.5.2. Mômen chính của hệ lực không gian. a. Định nghĩa. Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, kí hiệu là một véctơ bằng tổng hình học của các véctơ mô men của các lực thuộc hệ lực đối với tâm O. (**) Hình 1.2.2 b. Phương pháp xác định. + Phương hình học: Dựa vào công thức (**) ta thấy ngay rằng véctơ mômen chính của hệ lực đối với tâm O là véctơ khép kín của đa giác véctơ, có các cạnh là các véctơ song song cùng chiều và có trị số ( Tương tự xác định véc tơ chính ). + Phương giải tích: Tương tự xác định véc tơ chính. 2.2. Thu gọn hệ lực không gian. 2.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm. a. Định lý dời lực song song. * Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không thay đổi ta phải thêm vào một ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đã cho đối với điểm mới dời đến. * Chứng minh: Giả sử có lực đặt tại A cần phải dời song song lực đó đến điểm B. A B A B A B m Hình 1.2.3 Ta thêm vào B hai lực cân bằng nhau và sao cho F’ = F” = F, và đường tác dụng của , song song với nhau. Khi đó (theo tiên đề 2) ta có: @ (,,) Nhưng và tạo thành một ngẫu lực nên ta có: @ và ngẫu lực (,) và có cùng trị số với nên có thể coi là được dời song song từ A đến B. Ngẫu lực (,) có mômen = -F.AB Mặt khác: () = -F.AB ® = (). * Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có mômen đối với điểm đặt của lực đã cho bằng mômen của ngẫu lực. Từ địnhlý ta có vị trí của điểm đặt lực tương đương: b. Thu gọn hệ lực về một tâm. Giả sử cần phải thu gọn hệ lực bất kỳ (,,) về tâm O. A B C O m2 O m3 m1 M0 O Hình 1.2.4 Ta dời song song các lực về O: @ và ngẫu lực @ và ngẫu lực @ và ngẫu lực Như vậy hệ lực bất kỳ tương đương với một hệ lực đồng quy ở O và một hệ ngẫu lực. Thu gọn hệ lực ,, được : + + = Thu gọn hệ ngẫu lực , , được MO: MO = + + = + + = được gọi là véctơ chính, MO được gọi là mômen chính của hệ lực đã cho đối với điểm O. Vậy một hệ lực bất kỳ tương đương với một véctơ chính và một mômen chính. * Xác định véctơ chính: Trị số: Hướng: , ,. * Xác định mômen chính: Qua các công thức trên ta thấy khi thay đổi tâm thu gọn O thì vẫn như cũ, còn sẽ thay đổi vì cánh tay đòn của các lực đã thay đổi. ® Véctơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn, còn mômen chính phụ thuộc vào tâm thu gọn. c. Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực. Muốn tìm kết quả gọn nhất của hệ lực đầu tiên ta chọn một tâm O bất kỳ rồi thu hệ về tâm đó, sau đó căn cứ vào kết quả thu được để xác định dạng tối giản. * Có 4 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Thu về tâm bất kỳ có R’ ¹ 0 và MO ¹ 0. Nếu : Hệ lực tương đương với một hợp lực cách tâm thu gọn một khoảng . Nếu : Hệ lực thu về hệ lực xoắn. - Trường hợp 2: Thu về tâm bất kỳ có R’ ¹ 0 và MO = 0. Đây là kết quả gọn nhất, trường hợp hệ tương đương với hợp lực, chỉ khác với trường hợp trên là hợp lực đặt ngay ở O. - Trường hợp 3: Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, MO ¹ 0, trường hợp này hệ lực tương đương với một ngẫu lực. Theo tính chất của ngẫu lực thì ở đây kết quả không phụ thuộc vào việc chọn tâm O. - Trường hợp 4: Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, MO = 0, trường hợp này hệ cân bằng. * Tóm lại: Thu hệ lực bất kỳ về dạng tối giản được hoặc là hệ tương đương với một hợp lực, hoặc là hệ tương đương với một ngẫu lưc, hoặc là hệ cân bằng. 2.2.2. Định lý biến thiên mômen chính, Định lý Va-ri-nhông a. Định lý biến thiên mômen chính: Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O đến O’ bằng mômen của véctơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’. b. Định lý Va-ri-nhông: Khi hệ lực có hợp lực R thì mômen của R với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mômen của các lực trong hệ lực lấy đối với tâm hay trục đó. Hình 1.2.5 2.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực không gian. 2.3.1. Điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là vécơ chính và véctơ mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu: R’O = 0 MO = 0 2.3.2. Các phương trình cân bằng. a. Hệ lực không gian bất kỳ. Hệ lực không gian bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di chuyển theo ba trục và quay quanh ba trục. Sáu chuyển động độc lập đó được gọi là sáu bậc tự do của vật rắn trong không gian. Vật rắn cân bằng khi các chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy phải có sáu phương trình: Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục và mômen của các lực đối với các trục đều phải bằng không. b. Hệ lực không gian song song. Hệ lực không gian song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực không gian bất kỳ nên có thể suy ra điều kiện cân bằng cho hệ lực không gian song song từ hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ. y x z O ... Giả sử có hệ lực không gian song song (, ,...,). Chọn hệ trục tọa độ Oz song song với các lực thì ta có: Hình 1.2.6 Do vậy từ điều kiện trên ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian song song như sau: * Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục song song với các lực và tổng mômen của các lực đối với các trục còn lại đều phải bằng không. c. Hệ lực không gian đồng quy. Giả sử có hệ lực không gian đồng quy (, ,...,). Chọ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm đồng quy của các lực, khi đó ta luôn có: Do đó ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy: Vậy điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục tọa độ đều phải bằng không. 2.4. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng. 2.4.1. Điều kiện cân bằng. * Định lý: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là vécto chính và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải bằng không. 2.4.2. Các dạng phương trình cân bằng. a. Hệ lực phẳng bất kỳ. Hệ lực phẳng bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di chuyển tịnh tiến theo hai trục và quay quanh một trục. Ba chuyển động độc lập đó được gọi là ba bậc tự do của vật rắn trong mặt phẳng. Vật rắn cân bằng khi các chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy phải có ba phương trình cân bằng. + Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng của các lực đều phải bằng không. + Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen của các lực đối với hai điểm A, B bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực và tổng hình chiếu các lực lên trục Ox không vuông góc với phương AB đều phải bằng không. (x không vuông góc với AB) + Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen của các lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đều phải bằng không. b. Hệ lực phẳng song song. Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, vì vậy có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ. Giả sử có hệ lực phẳng song song (, ,...,). Ta chọn hệ tọa độ xOy có trục Ox vuông góc với đường tác dụng của các lực. Khi đó, hình chiếu của các lực lên trục Ox bằng không, nghĩa là không còn phải là phương trình cân bằng nữa. Đo đó từ điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra được điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của hệ lực phẳng song song. Dạng 1: Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là hình chiếu của các lực lên trục song song và tổng mômen của các lực đối với các điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không. Dạng 2: (AB không song song với phương của lực) Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng mômen của các lực đối với hai đỉem không cùng nằm trên đường song song với đường tác dụng của các lực đều phải bằng không. c. Hệ lực phẳng đồng quy. Hệ lực phẳng đồng quy cũng là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, vì vậy có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ. Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (, ,...,). Ta chọn hệ tọa độ xOy có gốc toạ độ O là giao điểm các đường tác dụng của các lực thuộc hệ lực trên. Khi đó, phương trình mômen của các lực lấy đối với O tự thoả mãn (Do cánh tay đòn a=0) nên ta có phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy là: 2.5. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng. 2.5.1. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng. + Xét ví dụ: Giả sử hệ gồm 3 ngẫu lực: F1=10N, a1=2m; F2=12N, a2=4m; F3=8N, a3=1m. Ta cần thu gọn 3 ngẫu lực đó. Theo tính chất của ngẫu lực ta biến đổi các ngẫu lực đã cho có cùng cánh tay đòn là 2m. Ngẫu lực (,) không cần biến đổi. Ngẫu lực (,) thành ngẫu lực có trị số lực là 24N. Ngẫu lực (,) thành ngẫu lực có trị số lực là 4N. Thu gọn các lực ơ A và B thành và ta được: R = F2 + F3 - F1 = 24 + 4 - 10 = 18N R’ = R = 18N Hai lực và lập thành ngẫu lực. Ngẫu lực này tương đương với cả 3 ngẫu lực đã cho và được gọi là ngẫu lực tổng hợp có mômen = -18.2 = -36Nm Mặt khác các ngẫu lực đã cho có mômen: a1 a1 a3 a2 a1 Hình 1.2.7 m1 = F1.a1 = 10.2 = 20Nm m2 = F2.a2 = -12.4 =-48Nm m3 = F3.a3 = -8.1 = -8Nm = 20 - 48 - 8 = -36Nm Như vậy: = m1 + m2 + m3 Tổng quát, nếu hệ có n ngẫu lực thành phần: = m1 + m2 + ... + mn = Vậy hệ ngẫu lực phẳng tương đương với ngẫu lực tổng hợp có mômen bằng tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ. 2.5.2. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng. Hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp. Muốn cân bằng ngẫu lực tổng hợp phải có = 0, nghĩa là: = = 0 A B NA NB l=4m m1 m2 m3 Vậy điều kiện để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ phải bằng không. + Ví dụ: Dầm chịu tác dụng của các ngẫu lực có: m1 = 20KNm, m2 = 15KNm, m3 = 10KNm, như hình vẽ. Hình 1.2.8 Xác định phản lực ở các gối A và B của dầm. + Giải: Trên dầm chỉ có các ngẫu lực tác dụng nên đểcan bằng phản lực ở hai gối phải lập thành 1 ngẫu lực. Phản lực vuông góc với mặt tựa và có chiều giả định đi xuống, phải song song với và có chiều ngược lại. Đkcb: NA.l -m1 + m2 - m3 = 0 NA = = = = 3,75KN NA có dấu (+) chứng tỏ chiều giả định của NA đúng với chiều thực. Tương ứng NB = 3,75KN và có chiều đúng với chiều thực. CHƯƠNG 3: TRỌNG TÂM VẬT RẮN 3.1. Tâm của hệ lực song song. 3.1.1. Khái niệm. Điểm hình học C gọi là tâm của hệ lực song song (, ,...,) nếu được xác định bằng công thức: rC = (*) Từ công thức trên ta thấy một hệ lực song song chỉ có duy nhất một điểm C thảo mãn, do đó tâm C của hệ lực song song là xác định duy nhất. 3.1.2. Công thức xác định. Điểm C cố định này là tâm của hệ lực song song. Chiếu công thức (*) lên các trục tọa độ Oxyz ta có: xC = yC = zC = Hình 1.3.1 3.2. Trọng tâm của vật rắn. 3.2.1. Khái niệm trọng tâm của vật rắn. Trọng tâm G của vật rắn là điểm đặt trọng lực tác dụng lên vật, được xác định nhờ công thức: (**) Trong đó: - Véctơ định vị trọng tâm G của vật. - Véctơ định vị chất điểm (phần tử ) k của vật. P – Trọng lượng của vật, bằng tổng trọng lượng Pk của các phần tử. Dưới dạng tích phân: (***) Trong đó - Tích phân trải trên toàn vật; - Véctơ định vị phân tố trọng lực . 3.2.2. Công thức xác định. a. Công thức tổng quát xác định trong tâm vật rắn. Các hình chiếu: Chiếu (**) và (***) lên các trục tọa độ ta được: ; ; Dạng tích phân: ; ; Trong đó: xG, yG, zG – Các tọa độ của trọng tâm G. xk, yk, zk – Các tọa độ của phần tử k. x, y, z – Các tọa độ của phân tố . b. Công thức xác định trọng tâm của các vật đồng chất. + Khối đồng chất: ; ; + Tấm đồng chất: ; ; (Nếu tấm phẳng thì zG = 0) + Thanh đồng chất: ; ; Nếu vật phân tích được thành một số hữu hạn s phần, mỗi phần có trọng tâm Gi và thể tích Vi (diện tích Fi, chiều dài Li) đã biết, thì dùng công thức: ; ; (Khối) ; ; (Tấm) ; ; (Thanh) 3.2.3. Các định lý về trọng tâm của vật rắn. a. Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đó. b. Định lý 2: Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của chúng nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó. c. Định lý 3: Nếu vật được ghép từ m phần, mỗi phần có trọng lượng Pi và trọng tâm tại Ci (xi, yi, zi) thì trọng tâm của vật được xác định nhờ công thức: ; ; Công thức trên còn được gọi là công thức tính trọng tâm vật ghép. Ví dụ: 1. Xác định trọng tâm của tấm tôn phẳng có hình dạng như hình vẽ 1.3.2. Biết tấm tôn là đồng chất và kích thước của các cạnh tính bằng mm. Hình 1.3.2 Giải: Trước hết ta chia vật thành ba phần, mỗi phần là một hình chữ nhật như hình vẽ 1.3.2. Các hình này là các tấm phẳng có tâm đối xứng là C1, C2, C3. Toạ độ trọng tâm và diện tích của các hình như sau: C1 C2 C3 xi yi Si -1 1 4 1 5 20 5 9 12 Diện tích của cả hình là: S = 4+20+12 = 36 (mm2). Theo công thức xác định trọng tâm của vật đồng chất dạng tấm ta có: Vậy trọng tâm của vật hoàn toàn xác định 2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và R (Hình 1.3.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là C1C2=a. Hình 1.3.3 Giải: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Phân tích tấm thành hai phần mỗi phần là một tấm tròn nhưng ở đây tấm tròn có bán kính r được coi như có diện tích âm. Phần 1 là một tấm tròn có bán kính R có: Trọng tâm là : C1(0,0) Diện tích : S1=R2 Phần 2 là một tấm tròn có bán kính r có: Trọng tâm là : C2(a,0) Diện tích : S2=-r2 Diện tích của cả vật là: S=S1+S2=R2-r2 Trọng tâm của vật sẽ là: 3. Tìm trọng tâm của tấm phẳng ABC đồng chất có hình tam giác như hình vẽ: Giải: Chia tam giác thành các dảI nhỏ song song với đáy BC. Mỗi dải nhỏ thứ I được coi như một thanh mảnh và trọng tâm của nó đặt giữa dải. Như vậy trọng tâm các dảI sẽ nằm trên trung tuyến AE và trọng tâm tam giác cũng nằm trên AE. Hoàn toàn tương tự ta cũng thấy trọng tâm của tam giác phảI nằm trên trung tuyến BG và trung tuyến CK. Rõ ràng trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Trong hình học ta biết điểm đó được xác định theo biểu thức: CE=1/3AE CHƯƠNG 4: MA SÁT 4.1. Khái niệm mở đầu . Trước đây, khi xét liên kết tựa ta xem các vật tiếp xúc với nhau tại một điểm và các mặt tựa tiếp xúc là hoàn toàn nhẵn. Khi đó phản lực liên kết nằm theo phương pháp tuyến của mặt tựa. Trên thực tế, tiếp xúc xảy ra trên một diện tích (dù nhỏ) và các mặt tựa của các vật tiếp xúc là không nhẵn. Do đó, ngoài phản lực pháp nói trên, mặt tựa còn có các lực và ngẫu lực cản (phản lực) - được gọi là lực ma sát và ngẫu lực ma sát. 4.1.1. Định nghĩa và phân loại ma sát. a. Định nghĩa. Xét hai vật rắn có liên kết tựa lên nhau: Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các chuyển động hay xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt chung (mặt tựa). b. Phân loại ma sát. + Ma sát tĩnh và ma sát động: * Ma sát tĩnh: Hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương đối nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối. * Ma sát động: Khi hai vật đã chuyển động tương đối với nhau. + Ma sát trượt và ma sát lăn: Nếu xu hướng chuyển động hay chuyển động giữa hai vật là trượt, ta có ma sát trượt; trường hợp xu hướng hay chuyển động xảy ra là lăn, ta có ma sát lăn. Bản chất vật lý của hiện tượng ma sát rất phức tạp. Lý thuyết thu gọn hệ lực cho phép giải thích sự xuất hiện của các lực và ngẫu lực ma sát. Do hai vật tiếp xúc nhau trên một diện tích nào đó nên xuất hiện một hệ phản lực liên kết. Nếu xem đó là một hệ lực phẳng, kết quả thu gọn cho một phản lực và một ngẫu lực . Phân tích phản lực ra hai thành phần pháp và tiếp ta được phản lực pháp và lực ma sát vuông góc với nhau. Còn ngẫu lực chính là ngẫu lực ma sát lăn. + Ma sát khô và ma sát nhớt: * Ma sát khô: Ma sát được gọ...uất đơn (Hình 2.3.2c). Hình 2.3.2 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng. 3.2.1. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kì. Tách một phân tố khỏi vật thể đàn hồi chịu lực. Giả thiết mặt vuông góc với trục z là mặt chính (sz = tzx = tzy = 0), những mặt còn lại có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp (Hình 2.3.3). Hình 2.3.3 Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy là tam giác, mặt bên nghiêng. Phương trình tổng mômen các lực với O: Þ (3.3) Luật đối ứng của ứng suất tiếp, phát biểu như sau: “Nếu trên mặt cắt nào đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nhưng đối chiều”. Lập các phương trình hình chiếu sau: Þ Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta được giá trị của su và tuv: (3.4) (3.5) 3.2.2. Ứng suất chính và phương chính. Mặt chính được xác định thông qua góc nghiêng a0, sao cho ứng suất tiếp trên đó bằng 0: Đặt (3.6) Ta thấy a0 có hai nghiệm là a1 và a2 (ứng với k = 0 và k = 1) lệch nhau 900 Þ ta luôn có hai phương chính vuông góc với nhau. Thay a1 và a2 vào (3.4) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm, đó là những ứng suất pháp cực trị, vì dsu/da = - 2tuv = 0: (3.7) Þ Ứng suất tiếp cực trị xác định bằng dtuv/da = 0: So sánh với (3.7), ta được: (3.8) Kết luận: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính một góc 450. Thay (3.8) vào (3.5) với , ta được: (3.9) Þ Tính theo ứng suất chính ta có: 3.3. Vòng tròn ứng suất (Vòng Mohr). 3.3.1. Cơ sở của phương pháp và cách vẽ vòng tròn MO ứng suất. Xét một phân tố với các ứng suất sx, sy, txy đã cho như hình. Lập hệ toạ độ Ost theo tỷ lệ nhất định. Trên trục hoành đặt các đoạn OE = sy và OF = sz. Từ E dựng đoạn ED = = txy vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C là trung điểm của đoạn và bán kính CD (CD = R = ), gọi là vòng tròn Mo ứng suất (Mohr). sy sy sx sx txy tyx txy tuv sx sy txy tyx Hình 2.3.4 3.3.2. Xác định ứng suất chính và phương chính. Các giao điểm A và B của vòng tròn Mo với trục hoành Os là những điểm có hoành độ lớn nhất và nhỏ nhất, tung độ bằng 0: (3.11) Þ Phương của các tia PA và PB là các phương chính cần tìm của phân tố. Þ Theo hình vẽ dễ thấy luôn luôn có: smax + smin = 2OC = sy + sz = hằng (3.12) “Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau là hằng số”. Þ Gọi a1 và a2 là góc của phương chính thứ nhất và phương chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có: tga1 = ; tga2 = (3.13) Þy s s x t Hình2. 3.5 Trong trường hợp kéo (nén) đúng tâm ứng suất tiếp lớn nhất: (3.14) đó là hai mặt vuông góc với nhau, lần lượt làm với trục z một góc 45o và 135o. 3.3.3. Hệ quả. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ sx = s, sy = 0. Trạng thái trượt thuần tuý: phân tố mà trên các mặt chỉ có ứng suất tiếp . Lúc này vòng tròn Mo có tâm trùng với gốc toạ độ .Các ứng suất chính khác dấu nhau và có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp: s1=-s3=ïtxyï (3.15) Hình 2.3.6 txy 3.5. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát. Hình 2.3.7 3.5.1. Biến dạng dài (Định luật Húc tổng quát). Trước hết hãy tìm biến dạng dài tương đối e1 theo phương I của phân tố. Biến dạng do s1 sinh ra: Biến dạng do s2 sinh ra: e12 = Biến dạng do s3 sinh ra: e13 = Þ Làm tương tự ta được biến dạng (tương đối) theo phương II và phương III của phân tố: hoặc (3.16) Þ Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng dài và ứng suất pháp là nội dung của định luật Húc tổng quát đối với vật rắn đàn hồi tuyến tính. 3.5.2. Biến dạng góc (Định luật Húc về trượt). Xét biến dạng của phân tố. Dưới tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị biến đổi hình dáng và trở thành hình bình hành (Hình 2.3.8). tij tij tij gij tij gij Hình2.3.8 Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp t và góc trượt g có liên hệ sau: t ij = Ggij ( i, j = 1, 2, 3) (3.18) trong đó G là hệ số tỷ lệ gọi là môđun đàn hồi khi trượt [lực/chiều dài2], đó là hằng số vật liệu, được xác định từ thí nghiệm. Môđun G liên hệ với E và m như sau: (3.19) Þ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng biểu diễn bằng định luật Húc tổng quát: E: môđuyn đàn hồi của vật liệu, [lực/(chiều dài)2]. n: hệ số Poát-xông của vật liệu, có giá trị 0¸0,5. G: môđuyn trượt của vật liệu, [lực/(chiều dài)2] 3.5.3. Biến dạng thể tích tỷ đối (Định luật Húc khối). Gọi dx, dy và dz là các cạnh của phân tố và V0 là thể tích ban đầu của phân tố, ta có: V0 = dxdydz Sau khi biến dạng, chiều dài các cạnh thay đổi sẽ là (dx + Ddx), (dy + Ddy) và (dz + Ddz). Thể tích sau khi biến dạng: V1 = V0 + DV = (dx + Ddx).(dy + Ddy).(dz + Ddz)= = dxdydz= dxdydz Vì biến dạng là bé nên có thể bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta được: V1 = V0(1 + ex + eY + ez) Gọi q là biến dạng thể tích tương đối của phân tố, ta có: = ex + eY + ez Thay ex, eY và ez từ (3.16) vào công thức trên ta được: q = ex + eY + ez = Đặt tổng ứng suất pháp là: S = (3.20) Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể tích tương đối và tổng các ứng suất pháp, gọi là định luật Húc khối. 3.6. Thế năng biến dạng đàn hồi. Công của ngoại lực chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi U: U = A Þ U = = Nếu nội lực Nz biến thiên từ 0 – l thì có thể biểu diễn: U = Ví dụ 1. Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000 N/cm2 có phương tạo thành một góc 600 với mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt cắt này chỉ có ứng suất tiếp (Hình 2.3.9). Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thành góc 450 với mặt cắt m-n. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó. Giải: Ta thiết lập hệ trục xy trên mặt cắt m-n và hệ trục uv trên mặt cắt nghiêng như hình 2.3.9. u v t 450 p x y 600 n m Hình 2.3.9 Khi đó các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Áp dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với a = -1350, ta có: tuv =sin2a + txycos2a » 1,3 kN/cm2 Ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó là: smax = » 3,28 kN/cm2 Ví dụ 2. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta đo được biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On, Ou như sau: em = 2,81.10-4 ; en = -2,81.10-4 ; eu = 1,625.10-4 Xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm ấy. Cho biết m = 0,3; E = 2.104 kN/cm2. u n m O 450 Hình 2.3.10 450 Giải: Từ định luật Húc ta rút ra được ứng suất pháp phương m, n: Þ kN/cm2 ; kN/cm2 Biến dạng theo phương u: Þ kN/cm2 Ứng suất tiếp tmn tình từ công thức: Þ Þ kN/cm2 Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trước: Þ Phương chính: Þ 3.7. Các thuyết bền. 3.7.1. Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất. 3.7.2. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. 3.7.2. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng. Trong trường hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: CHƯƠNG 4 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT 4.1. Khái niệm chung. Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo nén đúng tâm và thanh chịu cắt ta thấy thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn, tức là khả năng chịu lực chỉ phụ thuộc vào một đặc trưng hình học của mặt cắt ngang, đó là diện tích F. Nhưng khi nghiên cứu thanh chịu xoắn, uốn,... khả năng chịu lực của thanh không những chỉ phụ thuộc vào F mà còn phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt và sự phân bố của vật liệu trên mặt cắt. Những yếu tố đó được thể hiện trong những đặc trưng hình học khác của mặt cắt như mômen tĩnh, mô men quán tính,... mà ta sẽ nghiên cứu trước khi xét biến dạng xoắn, uốn và các trường hợp chịu lực phức tạp khác của thanh. Hình 2.4.1 a) c) b) 4a 4a a 0,7D D d a P P Hình 2.4.2 4.2. Mômen tĩnh của mặt cắt.. Mô men tĩnh của hình phẳng có diện tích F đối với các trục x và y của hệ trục xOy ký hiệu là Sx và Sy và bằng: Sx=ũFydF , Sy=ũFxdF Trong đó: dF là diện tích phân tố rất nhỏ trên hình phẳng. x,y là tọa độ của dF. ũF là tích phân lấy trên toàn bbộ diện tích F của hình phẳng. Đối với hình phẳng phức tạp khi tính mô men tĩnh ta thường chia hình đó thành một số hữu hạn diện tích để có thể biết được diện tích và tọa độ trọng tâm của các hình này một cách dễ dàng. Khi đó tính theo công thức: Sx = ồyiFi , Sy = ồxiFi Trong đó : Fi là diện tích của hình thứ i, xi, yi là tọa độ trọng tâm của diện tích Fi. Khi đã có mô men tĩnh của hình phẳng đối với các trục ta có thể tính tọa độ trọng tâm của cả hình phẳng đối với hệ trục đó như sau: xC = SY/F , yC = Sx/F Trong đó: xC , yC là tọa độ trọng tâm của hình phẳng F là diện tích của hình phẳng. Ta đã biết rằng nếu hình phẳng có trục đối xứng hay tâm đối xứng thì trọng tâm hình phẳng sẽ nằm trên trục hay tâm đối xứng đó. Mô men tĩnh của hình phẳng có thể dương hay âm hoặc triệt tiêu. Khi trục đi qua trọng tâm của hình phẳng thì mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục sẽ bằng không và trục đó được gọi là trục trung tâm. Mô men tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài]3. Đơn vị thường dùng là cm3, m3,... 4.3. Mômen quán tính của mặt cắt. 4.3.1. Mômen quán tính trục. Mô men quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục x hay trục y là các tích phân sau đây: Jx=ũFy2dF , JY=ũFx2dF . 4.3.2. Mômen quán tính cực. Mô men quán tính độc cực của hình phẳng có diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân sau: Jo = ũFr2dF. Vì r2 = x2+y2 nên ta có : Jo = Jx+JY. Vậy: Mô men quán tính độc cực đối với giao điểm của hai trục bằng tổng mô men quán tính của hình phẳng đối với hai trục đó. 4.3.3. Mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục vuông góc. Mô men quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục xOy là biểu thức tích phân sau JXY = JYX = ũFxy.dF. Từ các định nghĩa mô men quán tính ta rút ra những nhận xét sau đây: - Các mô men quán tính Jx, JY, Jo luôn luôn dương. Còn JxY có thể dương, âm hoặc triệt tiêu. - Thứ nguyên của mô men quán tính là [chiều dài]4, còn đơn vị thường dùng là cm4, m4,... - Mô men quán tính ly tâm đối với hệ trục vuông góc (với ít nhất một trục là đối xứng) thì bằng không. - Khi tính mô men quán tính của hình phẳng phức tạp ta có thể chia hình phẳng thành nhiều hình đơn giản, tính riêng mô men quán tính của các hình đơn giản rồi cộng lại. 4.4. Hệ trục quán tính chính trung tâm. 4.4.1. Hệ trục trung tâm. Hệ trục tọa độ có gốc là trọng tâm hình phẳng được gọi là hệ trục trung tâm. Vậy nếu hệ trục xOy là hệ trục trung tâm thì ta luôn luôn có Sx=SY=0. Từ đó còn có thể định nghĩa: Hệ trục trung tâm là hệ trục có mô men tĩnh của hình phẳng đối với mỗi trục của hệ đêu bằng không. Mỗi hình phẳng có thể có vô số hệ trục trung tâm. 4.4.2. Hệ trục quán tính chính. Hệ trục có mô men quán tính ly tâm của hình phẳng đối với nó bằng không (JXY=0) được gọi là hệ trục quán tính chính (hệ trục chính). Ta thấy nếu hình phẳng có một trục đối xứng thì hệ gồm trục đó và một trục khác bất kỳ vuông góc với nó sẽ là một hệ trục chính và do đó một hình phẳng có thể có vô số hệ trục chính. 4.4.3. Hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính có gốc tọa độ là trọng tâm của hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Như vậy hệ trục chính trung tâm có: Sx = SY = 0 và JXY = 0. Khi hình phẳng có một trục đối xứng thì trục đó và trục vuông góc với nó tại trọng tâm hình phẳng là một hệ trục chính trung tâm. Hình phẳng có thể có vô số hệ trục chính trung tâm như hình tròn, có 2 hệ trục chính trung tâm như hình chữ nhật, hay có 1 hệ trục chính trung tâm như hình chữ T,... Mô men quán tính của hình phẳng đối với các trục của hệ trục chính trung tâm được gọi là mô men (quán tính) chính trung tâm, hay gọi đơn giản là chính tâm. Hình 2.4.3 4.5. Phép chuyển trục song song. Công thức chuyển trục song song mômen quán tính của hệ trục OXY với hệ trục trung tâm oxy: JX = Jx + Fb2 JY = Jy + Fa2 JXY = Jxy + Fab Chứng minh các công thức trên như sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a) Theo định nghĩa: (b) Thay (a) vào (b) suy ra: JX = Jx+2bSx+Fb2; JY = Jy+2aSy+Fa2; JXY = Jxy+aSx+bSy+Fab Þ Khi x và y là các trục trung tâm thì Sx = Sy = 0 CHƯƠNG 5 UỐN PHẲNG 5.1. Khái niệm chung Thanh chịu uốn khi trục thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Thanh chịu uốn được gọi là dầm. Trong máy móc hay công trình ta gặp rất nhiều các bộ phận chịu uốn. Ta chỉ xét dầm có trục là đường thẳng. Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung, lực phân bố vuông góc với trục dầm, hoặc là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm. Khi các tải trọng cùng nằm trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải trọng; còn giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang dầm được gọi là đường tải trọng. Hình 2.5.1 5.2. Uốn thuần túy. 5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang. a. Thí nghiệm Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có mặt cắt ngang hình chữ nhật trước và sau khi biến dạng: Trước khi biến dạng Sau khi biến dạng Hình 2.5.2 b. Các giả thiết Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý Þ một số giả thiết: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng: Mặt cắt ngang của thanh trước và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh. Giả thiết về các thớ dọc: Trong suốt quá trình biến dạng các thớ dọc luôn song song với nhau và song song với trục thanh. Thớ không bị dãn, không bị co gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành mặt trung hoà (lớp trung hoà). Giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà. c. Thiết lập công thức Dựa vào giả thuyết mặt cắt ngang phẳng và theo nhận xét các ô chữ nhật sau khi bị biến dạng vẫn có các góc vuông ta đi đến kết luận: Trên mặt cắt ngang của dầm chỉ có ứng suất pháp s, còn ứng suất tiếp không có, vì nếu có thì sẽ phát sinh biến dạng trượt và các ô không còn vuông góc nữa. Bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp s. n m m n I K O1 O2 y dz r K I dq Hình 2.5.3 Xét đoạn dầm nằm giữa hai mặt cắt m-m và n-n cách nhau một đoạn dz. Sau khi bị biến dạng các mặt cắt m-m và n-n vẫn phẳng và làm với nhau một góc dq. Gọi r là bán kính cong của thớ trung hòa O1O2. Vì thớ trung hòa không co không dãn nên: O1O2 = ẩO1O2 = dz = r.dq Thớ IK ở cách thớ trung hòa đoạn y, sau khi biến dạng trở thành cung IK có độ dài: ẩIK = (r + y)dq Trước khi biến dạng thớ IK có độ dài là dz nên biến dạng dài tuyệt đối của thớ nàylà: D = (r+y)dq - rdq = ydq Biến dạng dài tương đối của thớ IK là: e = D/IK = ydq/rdq = y/r Theo định luật Húc ta có ứng suất pháp s = Ee = E.(y/r) trong đó E là mô đun đàn hồi khi kéo nén của vật liệu đã biết, còn lại y và r chưa biết vì vị trí TTH chưa được xác định. Để xác định Trục trung hoà ta xét một phân tố diện tích dF trên mặt cắt bất kỳ, chẳng hạn mặt cắt m-m. Gọi Trục trung hoà là trục x, trong mặt phẳng xOy phân tố dF có các tọa độ là x và y. Vì dF rất nhỏ nên xem như ứng suất phân bố đều, do đó hợp lực của các ứng suất s trên diện tích dF có trị số là s.dF. Trên mặt cắt của dầm uốn thuần túy chỉ có mô men uốn Mx, không có lực dọc nên ta có ũFsdF = 0 và ũFy.sdF = Mx trong đó các tích phân đều lấy trên toàn diện tích F của mặt cắt; y.s dF là mô men của hợp lực của các ứng suất s trên diện tích dF đối với trục x. Thay vào ta có ũF(E/r).ydF = 0 -----> (E/r)ũFydF = 0 Vì E/r ạ 0 còn ũFydF=Sx là mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x nên ta có Sx=0. Điều đó chứng tỏ Trục trung hoà x đi qua trọng tâm của mặt cắt. Vì trục y là đối xứng nên hệ trục xOy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt, còn trục z trùng với trục dầm. Ta lại có Mx = ũFy.(E/r)ydF = (E/r)ũFy2dF Biết Jx=ũFy2dF là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà nên; Mx = (E/r).Jx Rút ra: 1/r = Mx/EJx gọi là độ cong của dầm. Ta thấy khi Mx không đổi nếu EJx lớn thì độ cong bé, tức là dầm bị biến dạng ít, nên EJx được gọi là độ cứng chống uốn của dầm. Cuối cùng ta được: s = y.Mx/Jx , để sử dụng cho thuận tiện ta viết lại như sau: s = ±(Mx/Jx).y trong đó Mx là trị tuyệt đối của mô men uốn tại mặt cắt chứa điểm cần tính ứng suất; Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà x; y là khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến Trục trung hoà ; s lấy dấu dương nếu điểm tính ứng suất ở vùng chịu kéo, dấu âm khi ngược lại. 5.2.2. Biểu đồ ứng suất phẳng. Theo công thức ta thấy tại mặt cắt nào đó thì Mx và Jx là hằng, ứng suất pháp là hàm bậc nhất của y, nên biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt là một mặt phẳng (mặt ABCD) mà giao với mặt cắt là Trục trung hoà vì tại đó các điểm đều có ứng suất pháp triệt tiêu. Cũng theo công thức ta nhận thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với Trục trung hoà có khoảng cách y đến Trục trung hoà bằng nhau thì có trị số ứng suất pháp bằng nhau. Do vậy khi vẽ biểu đồ ứng suất pháp ta không cần vẽ cho toàn bộ mặt cắt mà chỉ vẽ cho một đường trên mặt cắt vuông góc với Trục trung hoà . Trên đường đó biểu đồ ứng suất là một đường thẳng có ứng suất tại điểm trên Trục trung hoà bằng không, các điểm càng xa Trục trung hoà thì trị số của ứng suất càng lớn. Tùy theo Mx dương hay âm mà các ứng suất ở mỗi phía trên hay dưới Trục trung hoà là kéo hoặc nén. Các ứng suất kéo được vẽ hướng ra ngoài mặt cắt, ở phần này trên biểu đồ có ghi thêm dấu (+), còn ứng suất nén vẽ hướng vào mặt cắt và ở phần này trên biểu đồ có ghi thêm dấu (-). Trên biểu đồ ta thấy điểm nằm xa Trục trung hoà nhất về phía các thớ chịu nén sẽ chịu nén nhiều nhất, ứng suất nén ở điểm đó được ký hiệu là smin , còn khoảng cách từ điểm đó đến Trục trung hoà được ký hiệu là ynmax (tức là khoảng cách lớn nhất ở phía chịu nén). Còn điểm nằm xa Trục trung hoà nhất về phía các thớ chịu kéo sẽ chịu kéo nhiều nhất, ứng suất kéo ở đó được ký hiệu là smax , khoảng cách từ điểm đó đến Trục trung hoà ký hiệu là ykmax . Vậy ta có: smin = -(Mx/Jx).ynmax = -Mx/Wnx smax = (Mx/Jx).ykmax = Mx/Wkx trong đó Wnx và Wkx được gọi là mômen chống uốn của mặt cắt, có thứ nguyên là [chiều dài]3, đơn vị thường dùng là cm3, mm3, m3. Cũng như mô men quán tính,... mô men chống uốn là một đặc trưng hình học. Qua công thức ta thấy khi Wx càng lớn thì ứng suất có trị số càng nhỏ, do đó khả năng chống uốn của dầm càng lớn. Đối với những mặt cắt mà TTH cũng là trục đối xứng (như mặt cắt chữ nhật, chữ I,...thì ynmax=ykmax do đó Wnx=Wkx=Wx. Khi đó ta có thể viết gọn lại công thức như sau: smax = ±Mx/Wx min Công thức tính mô men chống uốn của các mặt cắt thường được tính sẵn và cho trong các bảng hay sổ tay kỹ thuật. Sau đây ta nghiên cứu mô men chống uốn của một vài mặt cắt thường gặp nhất. -Mặt cắt tròn: ta có Jx = pd4/64 vậy Wx = Jx/ymax = (pd4/64)/(d/2) Wx = pd3/32 ằ 0,1d3. -Mặt cắt chữ nhật: ta đã có Jx = bh3/12 vậy Wx = (bh3/12)/(h/2) Wx = bh2/6 trong đó b là cạnh song song với TTH, còn h vuông góc với TTH. -Mặt cắt hình vành khăn (tròn rỗng): ta đã có Jx = (1-h4)pD4/64 vậy Wx = Jx/ymax mà ymax = D/2 Wx = (1-h4)pD3/32 ằ 0,1(1-h4)D3. -Với mặt cắt là thép định hình như chữ I, chữ [, v.v mô men chống uốn được tra trong phụ lục. 5.2.3. Điều kiện bền khi uốn thuần túy. Nếu dầm có hình dạng và kích thước mặt cắt không đổi thì khi kiểm tra điều kiện bền về ứng suất pháp trước hết cần xác định mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt mà mô men uốn có trị tuyệt đối lớn nhất, mô men uốn đó được ký hiệu là Mmax. -Trường hợp dầm làm bằng vật liệu dẻo có [sk]=[sn]=[s] thì trong hai ứng suất smax và smin ta lấy ứng suất nào có trị tuyệt đối lớn hơn để so sánh với ứng suất cho phép. Điều kiện bền là: maxùsù Ê [s] Nếu mặt cắt có Trục trung hoà là trục đối xứng thì maxùsù=smax=ùsminù và ĐKB có thể viết là: smax = Mmax/Wx Ê [s] -Trường hợp dầm làm bằng vật liệu giòn thì điều kiện bền là: ùsminù Ê [sn] smax Ê [sk] Nếu mặt cắt có Trục trung hoà là trục đối xứng thì, vì ùsminù=smax nên ta chỉ cần kiểm tra theo một điều kiện bất lợi là đủ: smax Ê [sk] 5.3. Uốn ngang phẳng. 5.3.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang. Uốn ngang phẳng, trên mặt cắt ngang của thanh có ứng suất pháp do mômen uốn và ứng suất tiếp do lực ngang gây ra. Hình vẽ dưới đây mô tả hiện tượng uốn ngang (trục bị uốn cong), làm cho các mặt cắt ngang ban đầu không còn phẳng nữa sau khi bị uốn ngang. Hình 2.5.4 a. Ứng suất pháp Trong uốn phẳng, lực cắt Þ ứng suất tiếp. Các ứng suất tiếp phân bố theo chiều cao mặt cắt không đều. Do ảnh hưởng đó, các biến dạng góc cũng có trị số thay đổi theo chiều cao của mặt cắt ngang làm cho mặt cắt sau khi bị uốn không còn phẳng nữa mà hơi bị vênh theo chữ S. Nếu lực cắt bằng hằng số thì mặt cắt ngang đều vênh như nhau Þ sự vênh không ảnh hưởng đến độ dãn hoặc độ co Þ công thức tính ứng suất pháp vẫn còn đúng trong trường hợp uốn ngang phẳng: b. Ứng suất tiếp Ứng suất tiếp trên MCN: tzx và tzy. Theo định luật đối ứng ứng suất tiếp (mặt ngoài dầm không chịu ngoại lực theo phương z) Þ tzx =0, có nghĩa tại điểm xét có t = tzy. Từ lý thuyết đàn hồi Þ giả thiết: -Tất cả các ứng suất tiếp trên MCN đều // với lực cắt. -Ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng của MCN. -Tách từ dầm một đoạn có chiều dài dz - sau đó bằng mặt cắt ABCD song song và cách mặt phẳng Oxz một khoảng y chia đoạn thanh này thành hai phần và xét phần không chứa gốc O (ABCDEFGH). x y Qy tzy tzx ttp a) b) c) Hình 2.5.5 Þ Gọi là ứng suất pháp trên các mặt cắt 1-1 và 2-2, b(y) = AB và là diện tích của mặt cắt ABEF, bc chiều rộng của phần diện tích đó tại điểm cách trục trung hoà y. Có thể thấy: (a) Þ Xét sự cân bằng phân tố phần dưới, ta có: (b) Þ Thay (a) vào (b) và chú ý rằng , ta có: Þ trong đó là mômen tĩnh của diện tích Fc đối với trục trung hoà x.Với mặt cắt là dải chữ nhật hẹp: x - toạ độ trọng tâm phần tiết diện bị cắt đối với trục trung hoà. Þ Công thức trên được gọi là công thức Juravxky (1855). Công thức này cho thấy: trị số ứng suất tiếp ứng với "lớp thớ dọc" bất kì cách trục trung hoà x một khoảng y, tỉ lệ thuận với lực cắt Qy và mômen tĩnh Sx(y) của phần mặt cắt ngang giới hạn bởi "lớp thớ" đó, nhưng tỉ lệ nghịch với mômen quán tính Jx của mặt cắt ngang và chiều rộng b(y) của "lớp thớ" được xét. 5.3.2. Điều kiện bền. Đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, việc tìm vị trí điểm nguy hiểm và viết điều kiện bền có phức tạp hơn. Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất pháp và tiếp, dọc theo chiều cao ta thấy trên hình vẽ: Hình 2.5.6 · ở các điểm ngoài mép xa trục trung hoà nhất - điểm A (C): Þ Điều kiện đối với vật dẻo: Þ Vật liệu giòn: ; · Điểm trên trục trung hoà - điểm O: · Những điểm có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp - điểm B Þ đưa về ứng suất tương đương stđ. Vậy điều kiện được viết là: max stđ £ [s] Þ Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, ứng suất tính toán tương đương tại điểm B, có dạng: 5.4. Chuyển vị của dầm. Khi dầm chịu uốn phẳng Þ trục của dầm bị uốn cong gọi là đường đàn hồi. Þ Chuyển vị đứng của MCN tại K gọi là độ võng y(z) của dầm. ÞGóc lập bởi tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm K’ và trục của dầm trước khi biến dạng gọi là góc xoay j(z). Hình 2.5.7 5.4.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi. Từ công thức trên ta có bán kính cong r của đường đàn hồi được xác định bởi công thức: Hình 2.5.8 (a) Mặt khác ta có: (b) Þ Từ (a) và (b) suy ra: Dấu “-” do mô men uốn ( do biến dạng là vô cùng bé) và độ lồi (lõm) của dầm là trái dấu nhau. 5.4.2. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn. Muốn tính góc xoay và độ võng tại mặt cắt bất kỳ của dầm, ta lần lượt tích phân phương trình hai lần: Các hằng số tích phân C1 và C2 xác định từ các điều kiện biên tại các mặt cắt đặt liên kết và điều kiện liên tục của độ võng và góc xoay tại vị trí tiếp giáp giữa các đoạn dầm. CHƯƠNG 6 THANH TRÒN CHỊU XOẮN 6.1. Khái niệm chung. Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn như trên hình vẽ: Hình 2.6.1 Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn, có giá trị bằng P.a. 6.2. Ứng suất trên mặt cắt tròn. b) Sau biến dạng a) Trước biến dạng Hình 2.6.2 6.2.1. Thí nghiệm. 6.2.2. Các giả thiết. Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (Hình 2.6.2) trước và sau khi biến dạng, thấy: - Mặt cắt ngang ban đầu phẳng và thẳng góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không thay đổi. - Các bán kính của thanh trước và sau khi biến dạng vẫn thẳng và có độ dài không đổi. Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu xoắn, chỉ xảy ra hiện tượng quay của tiết diện ngang quanh trục thanh. Nhận xét này đã được lí thuyết và thực nghiệm xác minh là đúng 6.2.3. Công thức và biểu đồ ứng suất. Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 6.3a). Hình 2.6.3 Tách từ thanh một đoạn dài dz (Hình 2.6.4) Theo quan hệ giữa nội lực và ứng suất ta có: (a) Þ Mặt khác theo định luật Húc: (b) Hình 2.6.4 dj g dz 3 3 4 4 r tr là ứng suất tiếp trên MCN tại điểm cách trọng tâm mặt cắt một khoảng bằng r. Þ Theo hình 2.6.4, ta có: (c) với dj là góc xoắn tương đối giữa 2 mặt cắt 3-3 và 4-4; dz là khoảng cách giữa 2 mặt cắt đó. Ký hiệu là góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị dài. Thay (c) vào (b) rồi vào (a), ta có: (d) Từ (d) suy ra: (6-1) Thay (6-1) vào (c) rồi vào (b), ta có: (6-2) Þ ứng suất tiếp lớn nhất: (6-3) trong đó: gọi là môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ nguyên là (chiều dài)3; R là bán kính của mặt cắt ngang. - Đối với hình tròn: - Đối với hình vành khăn:; Þ Biểu đồ ứng suất biểu diễn như trên hình 2.6.3b. Ta thấy ứng suất tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vào khoảng cách r đến trọng tâm mặt cắt ngang. 6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn. Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn được thể hiện bằng góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (6.1) ta có: (rad/m) Þ Góc xoắn giữa hai mặt cắt ngang cách nhau một khoảng l là: (rad) 6.3.1. Điều kiện bền. Để bảo đảm điều kiện bền khi thanh chịu xoắn ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt nguy hiểm của thanh không được vượt quá ứng suất cho phép: tmax = MZ/W0 Ê [t] trong đó [t] là ứng suất tiếp cho phép của vật liệu có thể xác định theo công thức sau: [t] = (0,5 - 0,6)[sk] hoặc: Với thép non [t] = (2 - 10)kN/cm2 Với thép cứng [t] = (3 - 12)kN/cm2 6.3.2. Điều kiện cứng. Để bảo đảm điều kiện cứng thì góc xoắn tương đối lớn nhất của thanh không được vượt quá góc xoắn tương đối cho phép: q = MZ/GJ0 Ê [q] Hay: q = 180MZ/pGJ0 Ê [q] (nếu đo bằng độ) Trong đó: [q] là góc xoắn tương đối cho phép. Tùy theo điều kiện làm việc của thanh mà người ta quy định trị số cho phép của góc xoắn tương đối, trị số này thường được cho trong các sổ tay kỹ thuật. Ví dụ đối với các trục bình thường có tốc độ quay nhỏ hoặc trung bình thì [q]=(1đến 0,25)độ/mét. Đối với những trục quay nhanh (tuôc bin) thì trị số đó không vượt quá 0,1độ/m. 6.3.3. Các bài toán cơ bản. - Từ công thức của điều kiện bền ta suy ra ba bài toán cơ bản như sau: + Kiểm tra bền: tmax = MZ/W0 Ê [t] + Chọn kích thước mặt cắt: W0 ³ MZ/[t] -Thanh tròn đặc: d ³ ệMZ/0,2[t] -Thanh rỗng: d ³ ệMZ/0,2[t](1-h4) + Xác định mô men xoắn cho phép: MZ Ê W0[t] hay [MZ] = W0[t] - Từ công thức của điều kiện cứng ta cũng có ba bài toán cơ bản: + Kiểm tra độ cứng: q = MZ/GJ0 Ê [q] + Chọn kích thước mặt cắt: + Xác định mô men xoắn cho phép: Mz £ GJp[q] = [Mz] Chú ý rằng khi tính theo hai điều kiện trên thì cần phải chọn đường kính theo điều kiện nguy hiểm hơn, tức là lấy giá trị d nào lớn hơn, còn [MZ] thì phải chọn giá trị nào nhỏ hơn. CHƯƠNG 7 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 7.1. Khái niệm chung 7.1.1. Thanh chịu lực đơn giản. Đến đây ta đã nghiên cứu các hình thức biến dạng cơ bản: Kéo nén, xoắn và uốn (uốn thuần tuý và uốn ngang phẳng). Tuy nhiên trong thực tế, có những bộ phận máy hay công trình, kết cấu thường chịu tác dụng đồng thời của các hình thức biến dạng cơ bản. Ví dụ: Trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu uốn, đập chắn nước vừa chịu nén vừa chịu uốn, thân dao tiện (khi cắt) vừa chịu uốn vừa chịu nén... và ta nói các chi tiết máy hay công trình chịu lực phức tạp. 7.1.2. Thanh chịu lực phức tạp. Khi trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện từ hai thành phần nội lực trở lên thì gọi là thanh chịu lực phức tạp. Tổng quát nhất khi thanh chịu lực phức tạp, nội lực trên mặt cắt ngang có thể có 6 thành phần. Qy Qx Mz My x y z Mx Nz Hình 2.7.1 Þ Phương pháp tính: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Ứng suất hay biến dạng do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ, độ lún của gối tựa, ) gây ra đồng thời trên một thanh thì bằng tổng ứng suất hay biến dạng do từng yếu tố gây ra trên thanh đó. 7.2. Uốn xiên. 7.2.1. Định nghĩa. Khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có hai thành phần nội lực là Mx và My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. Khi chú ý đến lực cắt trên mặt cắt ngang có thể có các thành nội lực Mx, Qy , My và Qx. My y x z Mx 0 a) V b) My Mx Hình 2.7.2 y x z M M Mặt phẳng tải trọng Đường tải trọng a Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua trọng tâm nhưng không trùng với một trục quán tính trung tâm nào. 7.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên MCN có toạ độ x, y được tính theo công thức: (7.1) Mx, My coi là dương khi làm căng phần chiều dương của trục y, trục x. Trong kĩ thuật người ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx, My và toạ độ x, y: (7.2) Ta sẽ chọn dấu “+” hoặc dấu “-“ trước mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. Nếu gọi a là góc của đường tải trọng hợp với trục x thì: tga = Mx/My Þ Mx = Msina; My = Mcosa Þ Góc a được gọi là dương khi quay từ chiều dương trục x đến đường tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 7.2.3. Vị trí đường trung hoà. Þ Từ (7.1) ta thấy phương trình đường trung hoà: (7.3) hay (7.4) trong đó hay (7.5) b D Đường trung hoà 0 smax A B C Hình 2.7.3 smin Þ Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và không vuông góc với đường tải trọng