Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

h giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 CTHH: Chương trình hiện hành SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11 SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11 SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12 SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12 SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12 SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12 SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ bản. SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ bản. SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao. SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao. SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ KNV: Kiểu nhiệm vụ NV: Nhiệm vụ LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Trân trọng cảm ơn: - PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. - GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý hữu ích để thực hiện nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. Nguyễn Thị Kim Cúc MỞ ĐẦU I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000- 2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004). Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục”. Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ,  hay ,N . Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng : “không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ ,  ”. Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức. Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau: - Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn không? - Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào? - Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như thế nào? II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là: - Lý thuyết nhân học, nhằm: + Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có. + Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL. + Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK hiện hành. - Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh. - Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu. III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành (2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp. Phương pháp nghiên cứu: - Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu. - Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê cá nhân đối với khái niệm giới hạn. - Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình phân tích. - Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi. IV. Tổ chức của luận văn Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn. Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau: + Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007). + Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004). + Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005). Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu. Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa chọn khác của một SGK của Mỹ. Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: THỰC NGHIỆM Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu. Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn. CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ Mục tiêu của chương : Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện : - Khoa học luân. - Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000. - Các đồ án didactic đã xây dựng. - Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. - Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. - Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi. 1.1. Phương diện khoa học luận Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã đạt được những kết quả sau: Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:  Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)  Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số” “ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.  Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số” (Bkouche, 1996) “Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy các số thập phân (an)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004) Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm xấp xỉ này (Bkouche, 1996) Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x), chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3) Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau: - Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn. Đây lại là một kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng. - Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả các đại lượng dương cho trước thì bằng không. - Một giới hạn có thể đạt tới hay không? - Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn; hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn. (trang 2) Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây: - OM1 đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại số. - OM2 tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số. Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau: “Đại số các giới hạn (OM1) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển qua giới hạn trong các phép toán hàm số. OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986). OM1 cho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu )(lim xf ax hoặc với một số thực hoặc với vô cùng. OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữ ,  . Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi về sự khả tích. Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng dạy bằng cách xác định: - Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học - Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học 1.2. Phương diện thể chế: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đã thực hiện nghiên cứu trên chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau: 1.2.1 Về chương trình: - Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số Hàm số liên tục. - Giới hạn dãy số được khẳng định là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số. Chương trình còn yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,  để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn. Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn và tránh quan điểm xấp xỉ.  Còn chương trình hiện hành thì sao? 1.2.2 Về lý thuyết: - Khái niệm dãy số có giới hạn là a được đưa ra theo hình thức ngôn ngữ ,  dựa vào việc kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với ,  . Định nghĩa này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x). Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,  để định nghĩa giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này. - Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh. - Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy số mà dạng khai triển của nó cho thấy nu có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn. - Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(xn)) và (xn)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x. - Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định: 0 0 ; ; 0 à y x 0 v khi x x ha        . - Trong sách giáo khoa tồn tại kí hiệu  và không phân biệt à +v  ,  tùy trường hợp có thể được hiểu là  hoặc  - lim ( ) x a f x    (a hữu hạn hoặc vô hạn) chỉ là kí hiệu, viết như thế thực ra hàm số f(x) không có giới hạn khi x dần đến a.  Các yếu tố này được thể hiện trong phần giới hạn vô cực của hàm số ở SGK hiện hành như thế nào? Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ. Cụ thể SCL không đưa vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng: 1. Nếu 33lim ì limn nu a th u a  2. Nếu lim ( 0) à lim 0 ì lim nn n n u u a a v v th v      (SCL chỉ xét trường hợp a=1) 3. Nếu lim ì limn nu th u C     , với C là hằng số. 4. Nếu lim ì lim( )kn nu th u    , với k nguyên dương. 5. Nếu 2 1lim ì lim kn nu th u    , với k nguyên dương. 6. Nếu nlim à lim ì limun n nu v u th v      . 7. Nếu nlim ( 0) à lim ì limun n nu a a v u th v      8. Đại số các vô cực: 9. Và tồn tại một mâu thuẫn: người ta cấm viết  lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 x a x a x a f x g x f x g x          nhưng lại chấp nhận cách viết 2lim ( 3 ) ( ) x x x x          10. Nếu lim ( ) à lim ( ) 0 ì lim ( ) ( ) x x x f x v f x L th f x g x           Như vậy, trong các SGKHH, các yếu tố công nghệ trên có được đưa vào không, có còn mâu thuẫn tương tự không? 1.2.3. Về các tổ chức toán học: Theo Nguyễn Thành Long (2004) thì sách giáo khoa năm 2000 có 7 TCTH tương ứng với 7 kiểu nhiệm vụ như sau: T1: Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là a. T2: Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số. T3: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. T4: Chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của hàm số. T5: Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số. T6: Phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số (mở rộng) T7: Tính tổng của cấp số nhân Các kiểu nhiệm vụ trên được chia làm 3 nhóm tương ứng như sau: Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo bản chất giải tích, bao gồm các nhiệm vụ T1, T2, T3(9,1%) Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: T6 (3,9%) Loại 3: Chỉ dụng đến các phép toán đại số giới hạn, bao gồm các kiểu nhiệm vụ: T3, T4, T5, T7 (87%) Như vậy thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá trong việc xây dựng và tổ chức kiến thức cần giảng dạy về giới hạn. Tư tưởng xấp xỉ chỉ thể hiện thoáng qua ở học sinh. Quan điểm động học thể hiện rất mờ nhạt  Trong SGKHH, các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào với tỉ lệ như thế nào, có TCTH nào mới được đưa vào, TCTH nào không được đưa vào nữa? 1.2.4. Về các hợp đồng didactic . ( 0) ( )n n C C C n                   Tồn tại các quy tắc hành động R1: Học sinh không có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, không phải dự đoán giới hạn, không xem xét hàm số và không quan tâm đến tính thích đáng của bài tập. R2: Học sinh phải biết tính các giới hạn mà sách giáo khoa hay giáo viên yêu cầu, chủ yếu dưới dạng tính )(lim xf ax ( a hữu hạn hay vô hạn) bằng cách nhận dạng chúng sau đó thực hiện các quy tắc hành động tương ứng. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Sau khi phân tích, so sánh các bộ sách giáo khoa, các tác giả đã đưa ra kết luận: - Sách giáo khoa hiện hành (sách giáo khoa 2000) chỉ tạo thuận lợi cho quan điểm đại số về giới hạn ở học sinh. Ngược lại quan điểm xấp xỉ ít khi có mặt. - Các chướng ngại khoa học luận vẫn tìm thấy ở học sinh Việt Nam ngày nay: nhất là câu hỏi: có thể đạt được giới hạn hay không? - Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng “ngôn ngữ dãy số” trong sách giáo khoa hiện hành không mang ý nghĩa gì đối với học sinh. - Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần như là hệ quả của giới hạn dãy số. - Các định nghĩa và định lí về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải của kiểu nhiệm vụ tương ứng vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kĩ thuật đó.  Như vậy câu hỏi đặt ra cho phần này là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm giới hạn trong chương trình hiện hành có tiến triển như thế nào so với chương trình năm 2000, quan điểm nào của khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm nào được nhấn mạnh và quan điểm nào không? Chúng tôi sẽ phân tích quan hệ thể chế dạy học Việt Nam hiện hành để trả lời các câu hỏi trên, và chỉ giới hạn để tài trong phạm vi giới hạn vô cực của hàm số. 1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn: Như nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) đã rút ra: Chướng ngại khoa học luận chính yếu của khái niệm giới hạn chính là khía cạnh vô hạn. Nghiên cứu quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005) trong thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau: - Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn không phải là đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên khái niệm vô hạn vẫn tác động ngầm ẩn hoặc tường minh trong nhiều nội dung thuộc các phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích. Ứng với mỗi phạm vi, phụ thuộc vào tình huống tác động sẽ nảy sinh những quan niệm khác nhau về vô hạn. - Quan niệm của đa số học sinh về vô cực là: Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số. Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn. Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn. - Giáo viên và học sinh nhất trí khá cao khi cho rằng vô hạn và vô cực là hai khái niệm khác nhau, quan niệm của họ về vô hạn và vô cực rất phong phú, thể hiện như sau: Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả các giới hạn đã biết, không xác định được ranh giới Vô hạn được hiểu như một quá trình, một hành động có thể thực hiện mãi không dừng. Vô hạn là phủ định của hữu hạn. Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số. 1.3. Các đồ án didactic đã xây dựng: Từ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn và từ những ràng buộc thể chế của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, để dạy học khái niệm giới hạn hàm số đã có hai đồ án didactic được xây dựng nhằm giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ.  Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã xây dựng đồ án nhằm tổ chức một lần gặp gỡ mới với khái niệm giới han hàm số nhằm giới thiệu một quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi. Nội dung của đồ án là: Cho hàm số f xác định bởi công thức: f(x)= 2 2 x 0,1x-0,02 0,25x 0.01   Phiếu 1: Giải phương trình f(x)=3 Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 ( ) 3,01f x  Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 ( ) 3,01f x  Phiếu 3A(dành cho nhóm làm phiếu 2A): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2 Phiếu 3B( dành cho nhóm làm phiếu 2B): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2  Nguyễn Thành Long (2004) đã xây dựng được thực nghiệm thuộc phạm vi hình học nhằm tạo môi trường tương tác giữa nhận thức của học sinh với các ý tưởng giải toán của mình. Nội dung của thực nghiệm là: “Cho hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b” Cả hai thực nghiệm đã cho thấy học sinh vừa biết thực hiên các thao tác đại số vừa nhận thức được các yếu tố ban đầu về xấp xỉ. Như vậy, dù thể chế có nhấn mạnh quan điểm đại số hoá đến đâu thì quan điểm xấp xỉ vẫn có thể tiếp cận được. Tuy nhiên, hai thực nghiệm này thuộc hai lĩnh vực tách biệt: phạm vi số và phạm vi hình học.  Vậy có thể xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn ở vô cực trong môi trường tích hợp cả hai phạm vi số và hình học nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn vô cực theo quan điểm xấp xỉ không? 1.4. Các khái niệm có liên quan: - Khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích nên có khá nhiều khái niệm toán học được đưa vào chương trình toán phổ thông có liên quan đến khái niệm giới hạn như: Khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm các đường tiệm cận …Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ giới hạn đề tài này trong phạm vi khái niệm giới hạn vô cực của hàm số nên chỉ xét đến khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. - Bên cạnh đó khái niệm giới hạn hàm số còn liên quan đến việc tính các giới hạn của hàm số trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12. Trong thể chế dạy hoc hiện hành, khái niệm giới hạn vô cực mang quan điểm gì trong việc định nghĩa các khái niệm trên? 1.5. Về vai trò của máy tính bỏ túi: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt Nam để thấy sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp THCS và THPT ở Việt nam: Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước nắm1985) Giai đoạn cải cách giáo dục từ 1986 đến 1999. Chương trình được áp dụng kể từ năm 2000 (chương trình chỉnh lý và hợp nhất). Chương trình thí điểm Đã đưa ra các nhận xét: - Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bản tính và sự giảm yêu cầu tính nhẩm và tính nhanh. - Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hỗ trợ các phép tính số và nhất là thay thế các bảng số. Ở THPT, có quy định các kiểu máy tính bỏ túi được phép sử dụng trong các cuộc thi tú tài và thi tuyển sinh đại học nhưng máy bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy học. - Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bản số vẫn tồn tại. Như vậy, máy tính bỏ túi chỉ được khuyến khích chứ không bắt buộc. - Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy đồ thị, máy lập trình…). Khi nói về tin học, các trương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử. 1.6. Kết luận: Các tác giả đã có các nghiên cứu chi tiết và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị về:  Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn.  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000  Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Xây dựng được một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi trường máy tính bỏ túi và một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong phạm vi hình học. Các tác giả chưa nghiên cứu vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. : 1.7 Câu hỏi nghiên cứu: Từ tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất. Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan. Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích thể chế hiện hành để trả lời các câu hỏi trên trong chương 2 CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH Mục tiêu của chương: Mục tiêu ở chương này của chúng tôi là sử dụng tri thức tham chiếu ở chương I để phân tích thể chế hiện hành của Việt Nam và Mỹ nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất ? Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan? Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số? Đồng thời xét xem SGK Mỹ có lựa chọn nào khác các SGK Việt Nam trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực không? Nghĩa là chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế của Việt Nam đối với khái niệm đang xét không chỉ với tư cách là đối tượng dạy học mà còn với tư cách là công cụ toán học. Cụ thể: - Với tư cách là đối tượng nghiên cứu, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGK hiện hành của Việt Nam theo quan điểm nào. Các SGK hiện hành của Việt Nam có gì tiến triển so với SGK của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 : về quan điểm giới hạn và về các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số? - Với tư cách là công cụ toán học, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm gì trong các khái niệm liên quan như khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên … ? Đồng thời xem xét sự lựa chọn của SGK Mỹ tương ứng mỗi phần. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu chương này là:  Bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của NXB Giáo Dục do nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn biên soạn bao gồm: - Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11.(TLHDGD Toán 11) - Đại số và Giải tích 11 (kí hiệu là SCL) Hai Bộ sách giáo khoa hiện hành là: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH)  Bộ sách giáo khoa cơ bản: gồm: - SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên. - SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên. - SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. - SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.  Bộ sách Giáo khoa nâng cao gồm: gồm: - SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn._. Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. - SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. - SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng. - SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng  Sách Giáo khoa Mỹ: Quyển Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) (kí hiệu là SGKM) của nhóm tác giả: Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy. Đây là quyển thứ ba trong ba quyển sách được dạy cho học sinh phổ thông ở trường quốc tế Bắc Mỹ. 2.1. Phân tích chương trình Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: TLHDGD Toán 11 năm 2000 (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện hành). Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn. “Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Dãy số dần tới vô cực. Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể) - Biết ( không chứng minh) + Nếu limun=L, 0,nu n  thì 0, à limn nu v u L  + Định lí về lim( ), lim( . ), lim nn n n n n u u v u v v  Về kĩ năng: - Biết vận dụng 1 1 lim 0, lim 0, lim 0nq n n    với 1q  để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản. - Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.” [CTHH, tr162] Như vậy trong phần giới hạn dãy số, việc CTHH yêu cầu thông qua ví dụ cụ thể hình thành cho học sinh khái niệm giới hạn của dãy số, phải chăng, CTHH muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ? Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản. “Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số. Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số. Giới hạn một bên. Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số. Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ ,  để định nghĩa giới hạn). - Biết (không chứng minh) + Nếu lim ( ) , ( ) 0 ox x f x L f x    với 0x x thì 0 0, à lim ( ) x x L v f x L    + Định lí về giới hạn: 0 0 0 ( ) lim [ ( ) ( )], lim [f(x).g(x)], lim ( )x x x x x x f x f x g x g x    Về kĩ năng: Trong một số trường hợp đơn giản tính được: - Giới hạn của hàm số tại một điểm - Giới hạn một bên của hàm số - Giới hạn của hàm số tại  ” [CTHH, tr163] Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện quan điểm đại số của giới hạn. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn các hàm số. Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11, TLHDGD toán lớp 11 năm 2000, CTHH lập bảng so sánh như sau: Bảng so sánh chương trình: Yếu tố so sánh CTCLHN CTHH Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số  Hàm số liên tục.Đạo hàm Tiệm cận x x Công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số: Giới hạn dãy số x x Ngôn ngữ hình thức ,  : Không dùng ngôn ngữ ,  để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số x x Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn. x x Liên quan đến vô cực +) Không phân biệt  hay  , tồn tại kí hiệu  . +) lim ( ) x a f x    chỉ là kí hiệu chứ không phải là số nên không được áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn cho các trường hợp lim ( ) x a f x    Phân biệt  và  , không tồn tại kí hiệu  nhưng có nhận xét rằng âm vô cực và dương vô cực được gọi chung là vô cực. +) lim ( ) x a f x    (hoặc lim ( ) x a f x    ) nghĩa là hàm số f(x) có giới hạn là  (hoặc  ) và được phép vận dụng các định lí về giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGKHH. Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của dãy số có giới hạn hữu hạn, định lí Có đưa vào Không đưa vào. Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm liên quan. Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,  để định nghĩa giới hạn hàm số. Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt àv  và thừa nhận lim ( )f x   cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan. Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau:: “Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu  có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau như ,  hay hỗn hợp cả hai. Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên cứu tính chất của hàm số ở  hay  chứ không xét chung chung ở vô cực. Ngay ở bậc đại học, khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là  và  chứ không sử dụng kí hiệu  . Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng àv  , đồng thời xem  là giới hạn của dãy số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm lim n n u    nhưng lại không coi  là giới hạn của dãy số (un), vì lí do  là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.” [SGV.C11, tr122] Còn SGV.N11 thì giải thích: “Vì  là một tập sắp thứ tự, việc trình bày như thế là hợp lí, đơn giản hơn và có phần dễ hiểu hơn” [SGV.N11, tr169] Cả hai cách giải thích đều tham chiếu từ tính chất đặc trưng của tập hợp số thực R và tập số thực mở rộng  ;R   từ quan điểm toán học. Sách giáo khoa cơ bản còn đề cập đến vai trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế đã tính đến vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. Về các dạng vô định: Giảng dạy tường minh về các dạng vô định không bị bắt buộc trong chương trình hiện hành. Sách giáo viên cơ bản giải thích về điều này như sau: “Chương trình yêu cầu không đưa vào một mục chuyên biệt về Giới hạn dạng vô định như sách giáo khoa trước đây và sách giáo khoa nâng cao với mục đích chủ yếu là giảm tải. Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không thể tránh khỏi việc tính các giới hạn thuộc các dạng vô định. Vì thế SGK chỉ đưa vào các ví dụ, bài tập đơn giản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chương sau và khảo sát hàm số ở lớp 12. Do đó giáo viên không nên khai thác quá sâu vào các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phức tạp. Hơn nữa yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt léo về giới hạn thuộc dạng vô định thì cũng chỉ có tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số chứ chưa hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm số.” [SGV.C11, tr123] Từ phân tích trên chúng tôi đưa ra câu hỏi: Phải chăng khi dạy học khái niệm giới hạn, thể chế hiện hành không đặt nặng việc tính toán giới hạn (nghĩa là không nhắm vào quan điểm đại số) và mong muốn muốn học sinh hiểu rõ về khái niệm giới hạn từ các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ? Các SGKHH có thực hiện đúng yêu cầu của chương trình không? Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích các SGKHH để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên. Trong SGK Mỹ, chúng tôi tìm thấy một lựa chọn khác về mặt chương trình như sau: - SGK Mỹ định nghĩa giới hạn hàm số độc lập với khái niệm giới hạn dãy số. - Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn hàm số và các khái niệm liên quan như sau: Hàm số liên tụcTiệm cậnĐạo hàmTích phânGiới hạn hàm số. - Giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa, " " chính là " " , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , x a xx a f x f x f x         chỉ là kí hiệu mà thôi. Và do đó không có bất kì một quy tắc đại số nào cho việc tính các giới hạn vô cực của hàm số. - Như vậy chúng tôi nhận thấy sự khác biệt giữa chương trình Mỹ và chương trình Việt Nam như sau (đây chỉ là dự đoán vì chúng tôi không có tài liệu về chương trình Mỹ mà chỉ có một quyển SGK Mỹ mà thôi): - Chương trình Việt Nam định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số, còn chương trình Mỹ định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực hàm số độc lập như vốn có của nó. - Chương trình Việt Nam chú trọng đến trình tự logic của khái niệm trong khi chương trình Mỹ chú trọng đến vai trò công cụ của khái niệm toán học. - Chương trình Mỹ không thừa nhận lim ( ) , x a f x    lim ( ) x f x    , lim ( ) x a f x    là những giới hạn mà chỉ xem chúng là những kí hiệu như chương trình chỉnh lý hợp nhất mà thôi. 2.2. Phân tích SGK Ở đây chúng tôi sẽ phân tích các hoạt động xây dựng các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số, phân tích các định nghĩa, các định lí, nhận xét, quy tắc của giới hạn vô cực của hàm số và so sánh chúng với SCL nhằm tìm thấy sự tiến triển về các yếu tố trên của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số so với SCL và xét xem quan điểm nào của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện trong các phần này. Như chúng tôi đã trình bày ở trên, các SGK của chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình hiện hành đều trình bày khái niệm giới hạn hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số. Vì vậy, chúng tôi cần phân tích cả hai khái niệm: dãy số dần tới vô cực và hàm số dần tới vô cực. Chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. 2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số 2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm: Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào các hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm mà các SGK đã đưa ra. Chúng tôi giải thích lại các kí hiệu như sau : SCL: Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 SGK.C11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGK.N11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao lớp 11 Bảng so sánh hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. SCL SGK.C11 SGK.N11 Xét dãy số un=(-1) n2n. Dạng khai triển của nó là -2, 4, -6, 8, - 10,…, (-1)n2n, … Ta nhận thấy khi n càng lớn thì nu càng lớn. Nó có thể lớn bao nhiêu tùy ý; miễn là n đủ lớn. Chẳng hạn nu =2n>1000 thì chỉ việc lấy n>500. Ta nói ràng dãy số đã cho dần tới vô cực” [SCL, tr113] “Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0.1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ giấy này lên tờ giấy khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn. Gọi u1 là bề dày của 1 tờ giấy, u2 là bề dày của hai tờ giấy, u3 là bề dày của ba tờ giấy, …, un là bề dày của n tờ giấy. Tiếp tục như vậy ta có dãy số vô hạn (un). Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy. u1 … u1000 … u1000000 … u1000000000 … un … 0.1 … 100 … 100000 … 100000000 … 10 n … a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn. b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt trăng? (cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000km hay 384.109mm) “Xét dãy số (un) với un=2n-3. Ta thấy khi n tăng thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. Nói cách khác, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước. Ta nói rằng dãy số (2n- 3) có giới hạn là  ” [SGK.N11, tr138] (Ta cũng chứng minh được rằng 10 n n u  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số un nói trên được gọi là dần tới dương vô cực khi n )” [SGK.C11,tr117] - Nhìn vào hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số của ba sách giáo khoa, chúng ta thấy chỉ có hoạt động của SGK.C11 yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau khi đã trình bày thực nghiệm số. Tuy nhiên cả ba hoạt động đều không yêu cầu học sinh tự thực hiện các thực nghiệm số và cũng không đặt trong một tình huống cần thiết phải khảo sát un khi n ngày càng lớn. Từ đây chúng tôi cho rằng có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số theo cả hai SGK, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số. Chúng ta cũng chú ý rằng về mặt thuật ngữ SGK.C11 vẫn dùng cụm từ “dãy số dần tới dương vô cực”. Trong khi SGK.N11 đã sử dụng cụm từ “dãy số có giới hạn là +”. Tham khảo nghiên cứu của Cornu (1983) liên quan đến các quan niệm tự nhiên của học sinh đối với các cụm từ mô tả khái niệm giới hạn trong thể chế Pháp, chúng tôi cho rằng sự khác nhau này ít nhiều ảnh hưởng đến các quan niệm của học sinh Việt Nam sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn. 2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số: Sau đây là ba định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số trong ba quyển sách giáo khoa được nghiên cứu. Bảng so sánh khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. SCL SGK.C11 SGK.N11 “Ta nói rằng dãy số (un) dần tới vô cực nếu mọi số dương M ( lớn bao nhiêu tùy ý) tồn tại một số dương N sao cho với mọi n>N thì nu M Ta viết limun=hay nu  ” [SCL, tr113] - “Ta nói dãy số (un) có giới hạn  khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim nu   hay nu khi n    - Dãy số un được gọi là có giới hạn là  khi n nếu lim(- un)=  Kí hiệu: lim nu   hay nu khi n   ” [SGK.C11, tr118] “- Ta nói dãy số un có giới hạn là  nếu với mọi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết: lim( )nu   hoặc lim nu   hoặc nu   - Ta nói dãy số un có giới hạn là  nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số âm đó. Khi đó ta viết: lim( )nu   hoặc lim nu   hoặc nu   ” [SGK.N11, tr139] Như vậy, các SGKHH không dùng ngôn ngữ hình thức (M, N) như SGKCL để định nghĩa giới hạn dãy số ở vô cực mà định nghĩa dãy số có giới hạn là dương vô cực thông qua cụm từ “un có thể lớn hơn một một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi” theo yêu cầu của chương trình hiện hành. Với sự phân biệt àv  , các SGKHH đã có định nghĩa riêng biệt cho từng trường hợp giới hạn vô cực của dãy số. Có một điểm khác biệt trong cách định nghĩa của hai bộ SGK hiện hành. Trong khi SGK.N11 định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -” thì SGK.C11 lại định nghĩa trường hợp này thông qua khái niệm “dãy số có giới hạn là +”. Trong SGK.C11, sau định nghĩa là một ví dụ về biểu diễn các số hạng của dãy số un trên trục số, đây là một minh họa hình học thể hiện un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Qua đó chúng ta nhận thấy mặc dù không định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ hình thức ( , ) ( , )hay   nhưng SGK.C11 cố gắng để giúp học sinh hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn và tiếp cận được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp xỉ f(x) bằng việc đưa ra hoạt động ban đầu trong phạm vi số và một ví dụ minh họa hình học về biểu diễn các số hạng của dãy số dần tới vô cực. Còn SGK.N11 thì không có dạng ví dụ này mà chỉ có ví dụ về việc áp dụng định nghĩa trên để chứng minh một số dãy số có giới hạn vô cực như: 3lim , lim , limn n n      Như vậy chúng ta thấy cả hai SGKHH đều muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ f(x) trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và SGK.C11 thể hiện điều đó rõ hơn. 2.3.1.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích. + SGK.C11 Sau khi đưa ra định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số với ví dụ minh họa có biểu diễn hình học minh họa thể hiện un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi SGK.C11 đã đưa ra các nhận xét và định lí sau: “Nhận xét:  lim lim( )n nu u      lim kn   nếu k nguyên dương  lim nq   nếu q>1” [SGK.C11, tr118] “Định lí: a. “Nếu lim nu a và lim nv   thì lim 0 n n u v  b. “Nếu lim 0nu a  , lim 0nv  và vn>0 với mọi n thì lim n n u v   c. “Nếu lim nu   và lim 0nv a  thì lim .n nu v   ” [SGK.C11, tr119] Các nhận xét và định lí trên đều được thừa nhận mà không hề có một sự giải thích hay chứng minh nào, sau đó là hai ví dụ vận dụng trực tiếp các nhận xét và định lí trên, điều này cho thấy SGK.C11 không chỉ mong muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp xỉ mà còn mong muốn học sinh biết vận dụng “đại số các giới hạn” vào việc tính giới hạn vô cực của các dãy số. SGK.N11 Sau định nghĩa lim( )nu   là hoạt động áp dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn vô cực của các dãy số : 3lim , lim , limn n n      . Sau định nghĩa lim nu   , SGK.N11 đưa ra các chú ý, nhận xét, định lí như sau: - Nhận xét: "lim lim( ) "n nu u     - Chú ý : “Dãy số có giới hạn àv  được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần dến vô cực.” - Nhận xét: “Nếu lim nu   thì nu trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do đó 1 1 n nu u  trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. - Định lí: “Nếu lim nu   thì 1 lim 0 nu  ” [tr140] Mặc dù chương trình hiện hành đã phân biệt àv  , không chấp nhận kí hiệu  , SGK.N11 cũng đã đáp ứng yêu cầu đó nhưng vẫn chấp nhận tên gọi chung “dãy số có giới hạn vô cực hay dãy số dần đến vô cực” như SCL. Việc SGK.N11 định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -” sau đó nêu nhận xét lim lim( )n nu u     và SGK.C11 định nghĩa trường hợp này thông qua khái niệm “dãy số có giới hạn là +” sau đó nêu nhận xét: "lim lim( ) "n nu u     , chúng tôi thấy có thể xuất hiện trong các SGKHH một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (un) dần ra - đó là chứng minh dãy số (-un) dần ra + và ngược lại. Chúng ta lưu ý một điểm mới của SGK.N11 so với các SGK đang cùng xem xét là việc lần đầu tiên các quy tắc đại số trên các vô cực được giới thiệu chính thức và rõ ràng trong SGK Việt Nam. “Quy tắc 1: Nếu lim ,nu   và lim nv   thì lim n nu v được cho trong bảng sau: lim nu lim nv lim( )n nu v Quy tắc 2: Nếu lim ,nu   và lim 0nv L  thì lim n nu v được cho trong bảng sau: Limun Dấu của L Lim(unvn)             Quy tắc 3: Nếu lim 0nu L  và lim 0nv  và vn>0 hoặc vn<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim n n u v được cho trong bảng sau: [SGK.N11, tr140,141] Và sau mỗi quy tắc, SGK.N11 đều đưa ra ví dụ vận dụng trực tiếp quy tắc đó, vậy ta có thể thấy SGK.N11 đưa ra nhiều quy tắc đại số hơn SGK.C11 và như vậy quan điểm đại số được thể hiện mạnh hơn. Bảng sau đây cho phép so sánh số lượng các định lý thể hiện các quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực của dãy số của ba quyển sách giáo khoa đang xét. Bảng so sánh các nhận xét, định lí, quy tắc. SCL SGK.C11 SGK.N11 Định lí: “Nếu limun=0 ( Nhận xét: Nhận xét:             Dấu của L Dấu của vn Lim(un/vn)             *0,nu n   ) thì 1 lim nu   . Ngược lại limun=  thì 1 lim 0 nu  ” [SCL, tr114] "lim lim( ) " n n u u       [tr118] Một vài giới hạn đặc biệt: a. “ lim kn   nếu k nguyên dương b. lim nq   nếu q>1 [SGK.C11, tr118] "lim lim( ) " n n u u       “Dãy số có giới hạn àv  được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Nếu nlim ì un x u th    trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do đó 1 1 n nu u  trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn” [tr139] Nhận xét: “ lim kn   nếu k nguyên dương. Định lí: a. “Nếu lim nu a và lim nv   thì lim 0n n u v  b. Nếu lim 0nu a  , lim 0nv  và vn>0 với mọi n thì lim n n u v   ” c. “Nếu lim nu   và lim 0nv a  thì lim .n nu v   ” [SGK.C11, tr119] Định lí: “Nếu lim nu   thì 1 lim 0 nu  ” [tr140] Quy tắc 1: Limun Limvn Lim(unvn)             Quy tắc 2: lim , limn nu v L   Dấu của L Dấu của vn Lim(un/vn)             Quy tắc 3: limvn=L Limun Dấu của L Lim(unvn)             Từ bảng so sánh trên chúng ta nhận thấy ở phần giới hạn dãy số, các SGK hiện hành đưa vào nhiều quy tắc đại số hơn SGKCL. Và SGK.N11 giới thiệu nhiều quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực nhất. Như vậy chúng ta thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho đại số trên các giới hạn. Điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn. Và giải quyết mẫu thuẫn về việc thiếu các yêu tố công nghệ mà SCL đã mắc phải như đã nói ở chương 1. 2.2.1.4. Phân tích phần bài tập : Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong mỗi KNV ở SCL. . Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số trong 3 quyển sách giáo khoa nghiên cứu. Bảng tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số KIỂU NHIỆM VỤ SGK.C11 SGK.N11 SCL T1 : Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực 4 có T2: Tìm giới hạn của dãy số. 5 29 có T3: Tìm n để un>M cho trước 1 T4: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn 1 Tổng cộng 7 33 Các KNV có mặt trong SCL đã được Nguyễn Thành Long(2004) và Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) làm rõ kỹ thuật các các yếu tố công nghệ của nó, ở đây chúng tôi không nhắc lại nữa. KNV T3 chỉ xuất hiện một lần duy nhất trong câu b của hoạt động mở đầu khái niệm giới hạn vô cực đã nêu ở trên. Và SGV.C11 cũng chỉ nêu đáp án chứ không nêu kĩ thuật giải KNV này. KNV T4 thì trong phát biểu của nó đã bao hàm kĩ thuật giải. Nhìn vào bảng trên ta thấy, trong SGK.N11 cũng giống như SCL là chỉ có 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số , nhưng có đến 33 nhiệm vụ con. Còn trong SGK.C11 số kiểu nhiệm vụ là 3 với tổng cộng 7 nhiệm vụ con. Chúng tôi cũng nhận thấy sự chênh lệch rất lớn giữa số lượng bài tập ở SGK.C11 (7 bài tập) và SGK.N11 (33 bài tập). Ở phần phân tích định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số ở trên, chúng tôi đã dự đoán “có thể xuất hiện trong SGK.C11 một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (un) dần ra - đó là chứng minh dãy số (-un) dần ra +”. Nhưng trong SGK này chúng tôi không hề tìm thấy bất kì ví dụ hay bài tập nào thuộc KNV này, và do đó cũng không hề xuất hiện kĩ thuật này. Trong các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số thì tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số chiếm số lượng nhiều nhất (5/7 ví dụ và bài tập trong SGK.C11 và 29/33 ví dụ và bài tập trong SGK.N11 ). Không có KNV nào mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Việc giải các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ chỉ đòi hỏi các thao tác đại số và vận dụng các quy tắc đại số của khái niệm giới hạn, điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn chú trọng quan điểm đại số trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Nghĩa là vết của OM2 vẫn chiếm ưu thế trong các SGKHH. Một sự lựa chọn khác: Như đã nói ở trên, trong SGK Mỹ, chúng tôi không tìm thấy phần khái niệm giới hạn của dãy số cũng như khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. Bởi vì SGK Mỹ không định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số thông qua khái niệm giới hạn của dãy số. 2.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số Từ phân tích chương trình ta thấy, chương trình yêu cầu định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số dựa trên công cụ giới hạn dãy số. Vậy những quan điểm của khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện trong phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số có gì khác so với phần khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, trong phần này chúng tôi sẽ làm rõ. 2.2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm: Hai sách giáo khoa hiện hành SGK.C11 và SGK.N11 không giới thiệu bất cứ hoạt động nào trước khi trình bày định nghĩa. Trong SCL chúng tôi thấy có ví dụ sau đây : “Xét hàm số 1 ( ) 1 f x x   . Hàm số này xác định với mọi 1,x x  . Mỗi khi x lấy những giá trị lập thành một dãy số x1, x2, …, xn, …( 1)nx  mà 1nx  , thì các giá trị tương ứng của hàm số lập thành dãy số 1 1 1 ( ) 1 f x x   , 2 2 1 ( ) 1 f x x   , …, 1 ( ) 1 n n f x x   … ( )nf x  . Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới 1.” [SCL,tr121] Trong ví dụ mở đầu của SCL, chúng ta thấy các dãy số được chọn là hình thức. Như vậy không có các hoạt động thực nghiệm số lẫn quan sát đồ thị khi giới thiệu định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số. 2.2.2.2. Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Bảng dưới đây trích lại ba định nghĩa trong ba bộ sách giáo khoa được quan tâm. Bảng so sánh định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. SCL SGK.C11 SGK.N11 “Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, nếu mọi dãy số (xn) ( )nx a sao cho limxn=a thì limf(xn)= . Ta viết lim ( ) x a f x    (hoặc f(x) khi x a ) Chú ý: Tuy viết vậy nhưng  không phải là một số nên thật ra hàm số f(x) không có giới hạn và vì vậy không được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số. Nếu hàm số ( )f x  khi x a mà f(x)>0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x    .Còn nếu hàm số ( )f x  khi x a mà f(x)<0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x    ” [SCL. tr121] “Các định nghĩa về giới hạn  (hoặc ) được phát biểu tương tự các định nghĩa 1, 2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn giới hạn ( ) của hàm số y=f(x) khi x dần tới dương vô cực được định nghĩa như dưới đây: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ( ; )a  Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là i x +kh   nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và nx   ta có ( )nf x   ” [SGK.C11, tr129] “ Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, 0 lim ( ) x x f x   có nghĩa là với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a;b)\{xo} mà limxn=xo ta đều có limf(xn)=  ” [SGK.N11, tr147] “Các định nghĩa lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , à lim ( ) o o o o x x x x x x x x f x f x f x v f x                 được phát biểu tương tự định nghĩa 1 và định nghĩa 2” [SGK.N11, tr157] Các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3 được nhắc đến trong các định nghĩa trên là các định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số Theo chúng tôi thì các định nghĩa của cả ba SGK đều định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trên quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn. Trong SGK.C11, giới hạn vô cực của hàm số được trình bày trong một mục III của bài 2: “Giới hạn của hàm số” , trước định nghĩa không có hoạt động tiếp cận hay ví dụ mở đầu, sau định nghĩa cũng không có ví dụ nào vận dụng hay minh họa. Không giống SGK.C11, trong SGK.N11, các giới hạn vô cực của hàm số được trình bày xen kẽ trong nhiều phần như sau: -5 5 x 2 -2 y y=f(x) O 2 -2 y -5 5 x y=1/x Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại một điểm, nội dung của định nghĩa như trong bảng trên, sau định nghĩa có ví dụ vận dụng định nghĩa tìm 21 3 lim ( 1)x x  ; Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại vô cực nhưng định nghĩa không được phát biểu tường minh mà chỉ ghi là “phát biểu tương tự” định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, và không có ví dụ nào cho trường hợp này; Giới hạn vô cực của hàm số khi 0x x  cũng được ghi là phát biểu tương tự giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0x x  , sau đó có hai ví dụ minh họa định nghĩa là tính 0 0 0 1 1 1 lim , lim , lim x x xx x x          có hình vẽ minh họa tương ứng cho hai ví dụ như sau: Như vậy Trong các SGKHH, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số theo như đúng yêu cầu của chương trình hiện hành. Các SGKHH chỉ đưa ra một hoạt động (thực nghiệm số) nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, SGK.C11 định nghĩa lim ( ) x f x    , còn SGK.N11 thì định nghĩa 0 lim ( ) x x f x    Còn các trường hợp còn lại của giới hạn._.thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô cực”. Chương trình phân biệt hai khái niệm + và  . Tuy nhiên không có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực”. - Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( ) x a f x    và lim ( ) x a f x    trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy có thể học sinh sẽ sử dụng quy tắc hành động: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      - Không có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Vậy định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số có sống được trong thể chế dạy học hiện hành không? - Kĩ thuật xuất hiện trong SGLM chủ yếu là đồ thị. Phần hình thành các khái niệm tiệm cận, các SGKHH cũng có dựa vào đồ thị, nhưng kĩ thuật tìm tiệm cận và kĩ thuật tìm giới hạn hàm số trong các SGKHH của Việt Nam hoàn toàn là kĩ thuật đại số. Học sinh cũng đã được ứng dụng giới hạn vào việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (phần tìm tiệm cận và giới hạn hai đầu mút). Chúng tôi tiếp tục đặt câu hỏi: Đối với học sinh Việt Nam: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được hiểu như thế nào; Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và biểu thức đại số của nó có tốt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó không. - Hoạt động mở đầu giới vô cực của dãy số và giới hạn hữu hạn của hàm số, SGKCB trình bày thực nghiệm số. Như vậy có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số. Từ những nhận xét trên chúng tôi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới han vô cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu. Ngoài ra chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau : H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn vô cực H2:Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó. H4: Máy tính bỏ túi có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Chúng tôi sẽ xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên ở chương III. CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 3.1 Mục đích thực nghiệm : Với nhận xét trên chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm trên các học sinh sau khi đã học khái niệm giới hạn và khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhằm tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới hạn vô cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu, kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở cuối chương 2 như sau: Giả thuyết nghiên cứu H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn H2: Trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó. H4: MTBT có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tôi là: - Điều tra nghĩa của cụm từ x dần đến âm vô cực (hoặc dương vô cực) - Điều tra quan điểm nào về giới hạn vô cực tồn tại chủ yếu ở học sinh. - Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số có “sống” được trong thể chế dạy học Việt Nam hay không? - Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số và mối liên hệ giữa hàm số cho bằng công thức với giới hạn của hàm số được thể hiện như thế nào trong học sinh học chương trình hiện hành. - Học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đoán giới hạn của hàm số hay không? 3.2 Hình thức thực nghiệm: - Thực nghiệm sẽ được thực hiện với hai đối tượng học sinh học chương trình cơ bản và chương trình nâng cao. - Học sinh làm việc cá nhân, trả lời 4 câu hỏi trong 1 phiếu điều tra trong vòng 35 phút. 3.3 Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiêm Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 (những học sinh chưa học khái niệm giới hạn) hiểu cụm từ “x dần tới +” có nghĩa là gì ? Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 2 1 y f x x x     a) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu 1 lim ( ) x f x   có nghĩa là gì. b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đoán 1 lim ( ) x f x  mà không cần tính toán. Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +) và thỏa mãn lim ( ) x f x   a) Hãy viết một định nghĩa toán học cho tình huống này. b) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này. c) Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn + khi x dần tới + (chỉ cần vẽ phác họa đồ thị của hàm số) d) Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn + khi x dần tới + f) Em biết những phương pháp nào để chứng minh hàm số có giới hạn + khi x dần tới + Câu 4. a) Em có sử dụng máy tính cầm tay khi tính giới hạn của hàm số không ? Rất hay sử dụng  Cũng thường sử dụng  Ít khi sử dụng  Chẳng bao giờ sử dụng  b) Theo em, máy tính cầm tay có thể sử dụng để làm gì khi tính giới hạn của hàm số ? (Em có thể cho một ví dụ để giải thích rõ hơn) 3.4 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM 1. Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 hiểu cụm từ “x dần tới +” có nghĩa là gì ? a. Phân tích tiên nghiệm : Mục đích của câu hỏi : Nhằm điều tra nghĩa của cụm từ “x dần tới  ” trong học sinh. Vì cả hai SGKHH đều không có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực » Các lựa chọn : âm vô cực hoặc dương vô cực Lí do chúng tôi chọn  là vì cả hai SGKHH đều có đưa ra hoạt động hoặc ví dụ giới thiệu khái niệm dãy số dần tới dương vô cực và SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô cực” Những kiểu trả lời đó có thể là : x luôn chuyển động sang phải trục số : - “x dần tới +”có nghĩa là x tiến tới một giá trị dương vô cùng lớn ». Hoặc các câu trả lời gắn với các cụm từ : - « x tăng dần » - « x tiến tới một giá trị cực đại », - « x tiến về bên phải trục số » - Nghĩa là x luôn nhận giá trị dương - Giá trị của x là vô hạn, không đếm được ... Dùng để tính giới hạn: Khi tính giới hạn của hàm số mà x tiến tới dương vô cực thì ta thế giá trị x rất lớn (hay thế x= ) vào hàm số. Khi tính giới hạn của hàm số chứa ăn x mà x tiến tới dương vô cực thì hàm số đó tiến tới một giá trị nào đó. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cực để điền vào bảng biến thiên. Đọc lại kí hiệu: “Nghĩa là x dần tới dương vô cực” Vì SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô cực’’ theo quan điểm xấp xỉ x, và có thể giáo viên cũng lấy thực nghiệm này để dạy cho học sinh học chương trình nâng cao, nên chúng tôi dự đoán các câu trả lời theo kiểu “x chuyển động sang phải trục số” sẽ được nhiều học sinh lựa chọn nhất. Tiếp đó là kiểu dùng để tính giới hạn, bởi vì phân tích thể chế cho thấy học sinh thường xuyên thực hiện các KNV tính giới hạn của hàm số ẩn x mà x dần tới dương vô cực, và KNV khảo sát hàm số mà trong đó phải tính các giới hạn tại vô cực để điền vào bảng biến thiên . b. Phân tích hậu nghiệm: Chúng tôi thóng kê kết quả thực nghiệm câu 1 trong bảng 1 sau: Bảng 1 Câu 1 x luôn chuyển động qua phải trục số Dùng để tình giới hạn Không giải thích được Đọc kí hiệu Khác Không giải thích 69(52,7%) 24(18,3%) 21(16%) 7(5,3%) 10(7,6%) 28,9% Nhận xét: -Có đến 28.9% học sinh không giải thích được kí hiệu này. Trong đó có 21/131 học sinh chỉ viết lại cụm từ “x dần tới +” - Trong số 52,7% câu trả lời thể hiện “ x luôn chuyển động qua phải trục số” không có học sinh nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn nào cho trước” hay “ x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”. Trong những câu trả lời này chúng tôi tìm thấy một số học sinh có quan niệm: Kí hiệu : + là giá trị dương lớn nhất trên trục. Cụ thể các câu trả lời như sau” - “có nghĩa là x dần tới một giá trị cực đại và tới + - “giá trị x nhận được sẽ luôn theo chiều dương và x dần đến  ” - “nghĩa là giá trị x nhận được là một số dương không xác định chính xác giá trị nhưng tiến dần ra và lớn hơn rất nhiều so với 0” - “nghĩa là x là biến số có thể thay đổi từ một số dương đến một số vô cực” … Tuy chúng tôi đã chọn yêu cầu rằng giải thích “x dần tới  ” và không có kí hiệu lim trong câu hỏi, nhưng đối với một bộ phận đáng kể học sinh 18,3% gắn kí hiệu này với bài toán tính giới hạn mà không giải thích gì thêm. 2. Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 2 1 y f x x x     Câu 2a. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu 1 lim ( ) x f x   có nghĩa là gì. a. Phân tích tiên nghiệm Mục đích của câu hỏi: Điều tra quan điểm nào của giới hạn tồn tại chủ yếu ở học sinh. Một câu hỏi tương tự cho trường hợp giới hạn hữu hạn đã được nêu ra trong nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004). Từ nghiên cứu này, chúng tôi dự kiến các câu trả lời có thể như sau : Theo quan điểm đại số: Tính hoặc nêu cách tính giới hạn 2 1 1 lim 2 1x x x   Theo quan điểm xấp xỉ x:  1 lim ( ) x f x  nghĩa là khi x tiến tới 1 mà x lớn hơn 1 thì f(x) tiến tới + (hay x càng gần 1 thì f(x) càng lớn)  1 lim ( ) x f x   có nghĩa là với dãy số (xn) bất kì, xn>1 và 1nx  ta có ( )nf x  ” Theo quan điểm xấp xỉ f(x): f(x) có thể lớn hơn một số dương bất kì với những x lớn hơn 1 và đủ gần 1. Không giải thích được mà chỉ đọc kí hiệu: 1 lim ( ) x f x   có nghĩa là giới hạn của f(x) khi x 1 là  . Giá trị của f(x ) là dương: 1 lim ( ) x f x   có nghĩa là f(x) nhận giá trị dương khi x dần tới 1 từ bên phải. Dự đoán câu trả lời theo kiểu đọc kí hiệu sẽ chiếm tỉ lệ nhiều nhất, tiếp đó là quan điểm đại số vì phân tích thể chế cho thấy trong sách giáo khoa hiện hành các KNV như thế này chưa từng xuất hiện và quan điểm đại số thống lĩnh, quan điểm xấp xỉ f(x) sẽ không xuất hiện vì các SGKHH không có hoạt động giới thiệu khái niệm giới hạn theo quan điểm này. b. Phân tích hậu nghiệm: Bảng 2a: thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2a Câu 2a QĐ ĐẠI SỐ QĐ XẤP XỈ X QĐ XẤP XỈ f(x) F(x)>0 Không giải thích được Đọc kí hiệu Khác Không trả lời 28(21%) 8(6,3%) 0 10(7,6%) 70(53,4%) 8(6,1%) 7(5,3%) 64,8% Nhận xét: - Có 64,8% (53,4%+6,1%+5,3%) học sinh không hiểu kí hiệu này có nghĩa là gì. Chúng tôi giải thích rằng có lẽ học sinh ít làm việc với giới hạn một bên. Giới hạn 1 bên chỉ xuất hiện trong bài khảo sát tính liên tục của hàm số và không còn thể hiện vai trò của mình khi khảo sát hàm số. - Kế đến là quan điểm đại số chiếm ưu thế khi học sinh viết một đoạn chỉ dẫn tính giới hạn. - Các quan điểm xấp xỉ gần như không xuất hiện khi có kí hiệu lim. Ngoài ra có một câu trả lời như sau: “khi ta giải nghiệm của phương trình bậc hai dưới mẫu ở trên ta sẽ có hai nghiệm và xét dấu, sau đó tìm y’, rồi vẽ bảng biến thiên. Khi biết x không xác định tại x=1 nên hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là  ” Ở đây có thể nói đã xuất hiện mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và bảng biến thiên, học sinh này cho rằng hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì hàm số có giới hạn là  khi x tiến đến b (“hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là  ”) Phải chăng trong kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ khảo sát hàm số, học sinh được phép nhìn vào chiếu biến thiên của hàm số để dự đoán các giới hạn? ( Trong khi về mặt toán học ta phải tính giới hạn rồi mới điền vào bảng biến thiên) 2b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đoán 1 lim ( ) x f x  mà không cần thực hiện tính toán a. Phân tích tiên nghiệm: Mục đích của câu hỏi này là: Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( ) x a f x    và lim ( ) x a f x    mà f(x) là những phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy chúng tôi xem học sinh có sử dụng quy tắc hành động : lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      Lí do lựa chọn hàm số f(x) như trên là để phá vỡ hợp đồng thể chế : f(x) là những phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất Các câu trả lời có thể có là: - Câu trả lời đúng : 21 1 lim 2 1x x x    Câu trả lời đúng này có thể được tìm thấy bằng nhiều cách:  Tính giới hạn bằng quy tắc đại số : 2 21 1 1 1 lim lim 2 1 ( 1)x xx x x         Sử dụng máy tính bỏ túi để tính gần đúng các giá trị x gần 1 và nhỏ hơn 1 để đoán giới hạn - Câu trả lời theo quy tắc hành động : lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      Các câu trả lời theo quy tắc hành động trên cho đáp số là  Chúng tôi dự đoán nhiều học sinh sẽ trả lời sai theo quy tắc hành động trên. Bảng 2b thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2b Câu 2b Đúng Theo quy tắc hành động Khác Không trả lời 24(18,3%) 51,1% 8(6,1%) 32(24,4%) Nhận xét: - Có đến 51,1% học sinh trả lời theo quy tắc hành động trên. - 24,4% học sinh không trả lời. - Chỉ có 18% học sinh trả lới đúng câu hỏi này. - Số học sinh cho câu trả lời khác là 6,1% Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của học sinh như sau: “ 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x        ” “Ta thay 1 vào mẫu số, khi đó mẫu số sẽ bằng 0 nên hàm số f(x) không có nghĩa. Lúc đó ta thấy mẫu dần tới bên trái của số 1 có nghĩa là mẫu nhỏ hơn 0. Tử bằng 1>0 suy ra 1 lim ( ) x f x    ” Như vậy chúng tôi cho rằng trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      3. Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +) và thỏa mãn lim ( ) x f x   a) Hãy viết một định nghĩa toán học cho tình huống này Mục đích câu hỏi: Xem định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số đặc biệt là định nghĩa theo ngôn ngữ dãy số như sách giáo khoa có sống được trong thể chế hay không? Với mục đích ấy, ta quan tâm đến câu trả lời Trả lời bằng định nghĩa SGK (ngôn ngữ dãy số): lim ( ) x f x    nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (0;+ ) mà limxn=+ ta đều có limf(xn)=” Trả lời bằng cách việc mô tả kí hiệu bằng ngôn ngữ tự nhiên hay kí hiệu khác: - kiểu: (0; )x   mà x thì ( )f x  -“f(x) có tập xác định là (0; ) thì giới hạn của nó khi x dần tới dương vô cực bằng dương vô cực” - “f(x) có tập xác định là (0; ) thì lim ( ) x f x   ” Chúng tôi dự kiến định nghĩa SGK không được học sinh sử dụng, mà nhiều học sinh sẽ sử dụng định nghĩa theo kiểu nhắc lại vì phân tích thể chế cho thấy các SGKHH hầu như không có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng đinh nghĩa b. Phân tích hậu nghiệm: Bảng 3a thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3a Câu 3a ĐN SGK Mô tả bằng kí hiệu khác Khác Không trả lời 0 56(42,6%) 18(13,7%) 57(43,5%) Các câu trả lời khác - “ f(x) là hàm số đồng biến” (Câu trả lời này dựa vào quy tắc hành động đọc giới hạn từ bảng biến thiên) - “f(x) nhận giá trị dương” Nhận xét: Định nghĩa “dãy số” mà các SGKHH đã giới thiệu không có ấn tượng gì đối với học sinh, hay nói cách khác là định nghĩa ấy không “sống” được trong thể chế. Định nghĩa giới hạn hàm số theo kiểu khác 13,7 % trong các câu trả lời của câu hỏi này. Số học sinh trả lời được câu hỏi theo kiểu mô tả bằng kí hiệu khác chiếm đến 42,6% Số học sinh không trả lời là 43,5%, chiếm tỉ lệ cao nhất. Chúng tôi quan tâm đến các câu trả lời: “Khi tập xác định là (0; ) và thỏa mãn lim ( ) x f x    thì ta biết được chiều biến thiên của nó là đồng biến” “Cho hàm số f(x) xác định trên (0; ) , với x2>x1 thì limf(x2)>limf(x1) khi x thì lim ( ) x f x    ” Một lần nữa học sinh khẳng định “ lim ( ) x f x    thì ta biết được chiều biến thiên của nó là đồng biến” và ngược lại. “Cho hàm số f(x) xác định trên (0; ) , tức là f luôn dương với mọi x do đó lim ( ) x f x    ” “ lim ( ) x f x    luôn nhận giá trị dương trong khoảng (0; ) ” Tương tự như x , lim ( ) x f x    thì f(x) sẽ luôn nhận giá trị dương. Câu trả lời mà chỉ nhắc lại kí hiệu hoặc chỉ quan tâm đến tập xác định của hàm số được khá nhiều học sinh sử dụng. 3b. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này. Mục đích câu hỏi: để thu thập thêm các thông tin cho câu 3a. Cũng phù hợp với câu 3a, có đến 80% học sinh không giải thích được. Ngoài ra chúng tôi thu được một số thông tin sau: “Vì x (0;+ )  , vì x tăng từ 0 đến  nên theo lim ( ) x f x    thì khi x tăng đến một số rất lớn thì f(x) cũng nhận một giá trị rất lớn hay hiểu đơn giản là hàm số đồng biến” “khi ta thay các giá trị x (0;+ )  thì hàm số luôn đạt giá trị dương. Vậy là ở câu này tiếp tục xuất hiện những câu trả lời thể hiện mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số và giới hạn vô cực cuả hàm số. 3c. Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn + khi x dần tới + (chỉ cần vẽ phác họa đồ thị của hàm số) Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được thể hiện như thế nào ở học sinh. Sau đây là một số ví dụ Trường hợp này có thể học sinh sẽ để trống hoặc vẽ “đại” những đồ thị mà các em biết như là đường thẳng, parabol, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị ham số bậc bốn trùng phương… Bảng 3c thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3c Câu 3c Vẽ 4 đồ thị Ít nhất một ô bỏ trống Đúng 4 đồ thị Ít nhất một đồ thị sai 31(23,5%) 47(35,9%) 65(49,6%) Nhận xét: - Chỉ có 23,6% vẽ đúng 4 đồ thị - 35,9% vẽ được 4 đồ thị nhưng trong đó có ít nhất một đồ thị sai - Có đến 49,6% học sinh bỏ trống ít nhất một ô Kiểu sai phổ biến: vẽ các đồ thị mà lim ( ) x f x    hoặc lim ( ) x f x L   ( L hữu hạn) Như vậy mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và đồ thị thể hiện rất mờ nhạt ở học sinh dù rằng đối tượng mà chúng tôi tiến hành thực nghiệm là những học sinh đã được học khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúng tôi scan 2 bài làm của học sinh như sau: 6 4 2 -10 -5 5 10 g x  = 1 x + x3 2 -2 5 10 2 -2 5 10 4 2 -2 3d. Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn + khi x dần tới + Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của nó thể hiện như thế nào trong học sinh? 2 1 ( ) x h x x   1 ( ) osx- x f x xc Trường hợp này hàm số được học sinh lựa chọn nhiều nhất là hàm đa thức và hàm phân thức vì các bài tập trong các SGK hiện hành chủ yếu thuộc hai dạng này. Bảng 3d thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3d Câu 3d Cho 5 hàm số Ít nhất một ô bỏ trống Đúng 5 hàm số Ít nhất một hàm số sai 48(36,6%) 40(30,5%) 43(32,9%) Nhận xét: - Chỉ có 36,6% cho đúng 5 hàm số - 32,9% học sinh bỏ trống ít nhất một ô - 30,5% học sinh cho được 5 hàm số nhưng có ít nhất một hàm số sai. Kiểu sai phổ biến của học sinh ở câu này là: Học sinh nêu các hàm hữu tỉ mà bậc của tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu. Trường hợp này học sinh chỉ ghi các hàm số có giới hạn vô cực mà các em đã được thường xuyên tình giới hạn ở lớp 11 khi học về giới hạn của hàm số, không có hàm lượng giác hay hàm lũy thừa… g x  = 1 x + x3 q x  = 1 3 1 x r x  = x4-x3- 1 x Và vậy mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và hàm số cho bằng công thức thể hiện tốt hơn mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và đồ thị hàm số, Điều này cho thấy học sinh quen làm việc với hệ thống biểu đạt đại số hơn. Tuy là có tốt hơn hệ thống biểu đạt bằng đồ thị nhưng củng chỉ có 36,6%. Chúng tôi scan 2 bài làm của học sinh như sau: 3e. Em biết những phương pháp nào để chứng minh hàm số có giới hạn + khi x dần tới + Mục đích câu hỏi: Xem kĩ thuật chứng minh một hàm số có giới hạn vô cực theo quan điểm xấp xỉ có tồn tại trong học sinh không? PP1: Sử dụng định nghĩa PP2: Tính giới hạn vô cực đó Dự đoán hầu hết học sinh sẽ nêu PP2 vì các SGKHH hầu như không có bài tập dạng này. Bảng 3e thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3e Câu 3e PP1 PP2 Khác Không trả lời 10(7,6%) 62(47,3%) 9(6,9%) 50(38,2%) Nhận xét: - Quan điểm đại số chiếm ưu thế ở câu này (47,3%). - Số học sinh không trả lời là 38,2% - Học sinh trả lời theo quan điểm xấp xỉ chỉ chiếm 7,6% - Số khác là 6,9% Vậy số học sinh không trả lời được rất lớn (38,2%+6,9%). Quan điểm xấp xỉ vẫn chiếm tỉ lệ nhỏ bé (7,6%) Một số câu trả lời chúng tôi quan tâm Có một học sinh liệt kê như sau: - phương pháp định nghĩa - phương pháp dùng tính chất - chứng minh hàm số đồng biến. Một học sinh khác: “Muốn biết hàm số có giới hạn  khi x dần tới  ta dựa vào bảng biến thiên của hàm số đó và hàm số luôn đồng biến trên  ” Một lần nữa học sinh khẳng định lim ( ) x f x    f(x) đồng biến. Câu 4. Mục đích của câu hỏi: Điều tra xem học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đoán giới hạn của hàm số hay không? a) Em có sử dụng máy tính cầm tay khi tính giới hạn của hàm số không ? Rất hay sử dụng  Cũng thường sử dụng  Ít khi sử dụng  Chẳng bao giờ sử dụng  b) Theo em, máy tính cầm tay có thể sử dụng để làm gì khi tính giới hạn của hàm số ? (Em có thể cho một ví dụ để giải thích rõ hơn) Chúng tôi dự đoán nhiều học sinh sẽ ít khi hoặc không bao giờ sử dụng máy tính, nếu có thì chỉ để tính những phép tính đơn giản như ví dụ sau chứ không biết sử dụng với mục đích dự đoán giới hạn hàm số. Ví dụ: 3 3 2 29 2 3 9 3 lim lim 3 1 9 1x x x x        Bảng 4a thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 4a Câu 4a Rất hay SD Thường SD Ít khi SD Không bao giờ SD 0 18(13,7%) 45(34%) 69(52,3%) Vai trò mờ nhạt của MTBT khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số. Mặc dù Bộ giáo dục khuyến khích sử dụng MTBT trong dạy học toán. Bảng 4b thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 4b Câu 4b Thế một giá trị Thế nhiều giá trị Không sử dụng 63(47,7%) 1(0,07%) 68(51,5%) Nếu học sinh có sử dụng máy tính thì chỉ để tính các phép toán đơn giản. Như vậy là phù hợp với phân tích thể chế, học sinh không biết sử dụng máy tính để tính hay dự đoán giới hạn của hàm số. 3.5 KẾT LUẬN THỰC NGHIỆM Thực nghiệm giúp chúng tôi rút ra một số kết luận sau: - Phần lớn học sinh hiểu “x đần tới  ” nghĩa là “x luôn chuyển động sang phải trục số” và không có học sinh nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn nào cho trước” hay “ x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”. - Đa số học sinh không hiểu kí hiệu lim ( ) x a f x    theo quan điểm xấp xỉ. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn - Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      - Học sinh hiểu rằng lim ( ) x f x    thì f(x) luôn dương và đồng biến. - Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành - Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó. - Vai trò mờ nhạt của máy tính bỏ túi khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số. Mặc dù Bộ giáo dục khuyến khích sử dụng máy tính bỏ túi trong dạy học toán. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN Kết luận: Việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có các nghiên cứu về giới hạn cho thấy khái niệm giới hạn đã được các tác giả nghiên cứu chi tiết trên phương diện khoa học luận và phương diện thể chế dạy học chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và đã có nhiều kết quả thú vị. Tuy nhiên chưa có nghiên cứu nào về vai trò công cụ của khái niệm giới hạn trong các khái niệm khác cũng như mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số trong học sinh. Phân tích thể chế dạy học hiện hành cho phép chúng tôi làm rõ sự tiến triển của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các SGKHH so với SGKCL hợp nhất và SGK Mỹ cụ thể như sau:  Chương trình hiện hành không có nhiều tiến triển so với chương trình chỉnh lí hợp nhất. Thể chế dạy học Việt Nam từ năm 2000 đến nay luôn đưa vào khái niệm giới hạn theo tiến trình: Đối tượng-công cụ, trong khi SGK Mỹ thì ngược lại. Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm  và  và xem vô cực cũng là giới hạn của hàm số trong khi SCL và SGK Mỹ thì không phân biệt hai khái niệm này, không xem vô cực là giới hạn.  Về Lý Thuyết: o Cũng như SCLHN, các SGKHH không dùng ngôn ngữ ( , )  để định nghĩa giới hạn, mà dùng giới hạn dãy số để định nghĩa giới hạn hàm số. Khái niệm giới hạn hàm số thể hiện quan điểm xấp xỉ x trong các đinh nghĩa này. SGK Mỹ không đưa vào khái niệm giới hạn dãy số và không định nghĩa giới hạn hám số theo ngôn ngữ ( , )  , cũng không định nghĩa thông qua dãy số mà định nghĩa thông qua đồ thị và bảng giá trị của hàm số. o Vì chương trình hiện hành phân biệt âm vô cực và dương vô cực nên nhiều quy tắc đại số về giới hạn âm vô cực và dương vô cực cũng được đưa vào tường minh trong các SGKHH, đặc biệt là bộ sách nâng cao. Trong khi ở bộ SCLHN thì thiếu các yếu tố công nghệ này.  Về các TCTH o Các SGKHH đưa vào nhiều TCTH hơn SGKCL. trong đó, SGKCB có đưa vào các TCTH thể hiện mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và giới hạn của nó, điều này không có trong SGKNC và SGKCLHN. Tuy nhiên các bài tập vẫn tập trung vào các TCTH là vết của OM1 (TCTH theo quan điểm đại số). Điều này thể hiện quan điểm đại số của giới hạn chiếm vị thế gần tuyệt đối trong các TCTH, dẫn đến mối liên hệ giữa giới hạn hàm số với biểu thức của nó thể hiện rõ hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số với đồ thị của nó trong học sinh. Kỹ thuật giải của các TCTH liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong SCL và SGKHH là theo quan điểm đại số, trong khi đó trong SGK Mỹ thì kĩ thuật chủ yếu là sử dụng đồ thị và bảng số. Trong suốt quá trình phân tích chúng tôi cũng không nhận thấy vai trò của máy tính bỏ túi đối với việc dạy học khái niêm giới hạn vô cực của hàm số.  Từ phân tích thể chế chung tôi rút ra các giả thuyết nghiên cứu và đã kiểm chứng trong chương 3 như sau: o Phần lớn học sinh giải thích cụm từ “x dần tới  ” gắn với các cụm từ sau - “x dần tới +”có nghĩa là x tiến tới một giá trị dương vô cùng lớn ». Hoặc các câu trả lời gắn với các cụm từ : - « x tăng dần » - « x tiến tới một giá trị cực đại », - « x tiến về bên phải trục số » - Nghĩa là x luôn nhận giá trị dương - Giá trị của x là vô hạn, không đếm được ... và như vậy, không có sự thống nhất trong học sinh về việc giải thích nghĩa của cụm từ: “x dần tới  ”  Các giả thuyết nghiên cứu o H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn. o H2: Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      o H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó. o H4: Máy tính bỏ túi có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Hướng mở ra của luận văn:  Xây dựng đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi trường tích hợp cả phạm vi số và đồ thị.  Nghiên cứu về mức độ quan tâm của giáo viên đến sự tiến triển của SGKHH so với SGKCLHN. Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1. Bộ giáo dục và đào tạo(2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, TPHCM 2. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến(2009), Annie Bessot, Claude Comiti Những yếu tố cơ bản của didactic toán, NXB Đại học quốc gia TP HCM 3. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Đại số và Giải tích 11, NXBGD, TPHCM 4. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11, NXBGD, TPHCM 5. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGK Đại số và giải tích 11, NXBGD, TPHCM 6. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGV Đại số và giải tích 11, NXBGD, TPHCM 7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGK Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGV Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 9. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học Toán ở trường THPT, Luận án thạc sĩ, TP.HCM. 10. Nguyễn Thị Phương Mai(2005), quan niệm của gíao viên và học sinh về khái niệm vô hạn, luận văn thạc sĩ, TPHCM. 11. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng(2007), SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM 12. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng(2007), SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM 13. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng(2009), SGK Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng(2009), SGV Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 15. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy – học Toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, TP.HCM 16. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2006), Một số kết quả tri thức luận…, Luận án tiến sĩ, Pháp Tiếng anh: 17. Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy(2007), Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) , Addison Wesley, United States of America ._.