BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN THỊ KIM CÚC
DẠY - HỌC GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
MỤC LỤC
0TMỤC LỤC0T ....................................................................................................................................
72 trang |
Chia sẻ: huyen82 | Lượt xem: 3320 | Lượt tải: 1
Tóm tắt tài liệu Dạy - Học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
.. 2
0TDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT0T ............................................................................................. 4
0TLỜI CẢM ƠN0T ................................................................................................................................. 5
0TMỞ ĐẦU0T ......................................................................................................................................... 6
0TI. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:0T .................................................................... 6
0TII. Phạm vi lý thuyết tham chiếu0T ............................................................................................... 7
0TIII. Mục đích và phương pháp nghiên cứu0T ............................................................................... 7
0TIV. Tổ chức của luận văn0T ........................................................................................................... 8
0TCHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ0T ......................................... 9
0T1.1.Phương diện khoa học luận0T ................................................................................................. 9
0T1.2. Phương diện thể chế:0T ........................................................................................................ 11
0T1.2.1 Về chương trình:0T ........................................................................................................... 11
0T1.2.2 Về lý thuyết:0T ................................................................................................................ 11
0T1.2.3. Về các tổ chức toán học:0T ............................................................................................. 13
0T1.2.4. Về các hợp đồng didactic0T ............................................................................................. 14
0T1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:0T ......................................................... 14
0T1.3.Các đồ án didactic đã xây dựng:0T........................................................................................ 15
0T1.4.Các khái niệm có liên quan:0T ............................................................................................... 16
0T1.5.Về vai trò của máy tính bỏ túi:0T .......................................................................................... 16
0T1.6. Kết luận:0T ............................................................................................................................ 17
0T1.7. Câu hỏi nghiên cứu:0T .......................................................................................................... 17
0TCHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT
NAM HIỆN HÀNH0T ...................................................................................................................... 18
0T2.1. Phân tích chương trình0T ..................................................................................................... 19
0T2.2. Phân tích SGK0T ................................................................................................................... 24
0T2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số0T .......................................................................... 24
0T2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:0T ............................................................................... 24
0T2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số:0T ................................................. 26
0T2.3.1.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được
nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.0T .......................................................... 27
0T2.2.1.4. Phân tích phần bài tập :0T ......................................................................................... 31
0T2.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số0T ......................................................................................... 32
0T2.2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:0T ............................................................................... 32
0T2.2.2.2. Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. 0T ................................................ 33
0T2.2.2.3. Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được
nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.0T .......................................................... 35
0T[SCL, tr122]0T ...................................................................................................................... 36
0T2.2.2.4. Phân tích phần bài tập:0T .......................................................................................... 38
0T2.2.3. Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số với vai trò công cụ0T ........................................... 42
0T2.2.3.1 Vai trò của 0T
lim ( )
x a
f x
→
= ±∞
....................................................................................... 42
0T2.2.3.2. Vai trò của 0T
lim ( )
x
f x
→±∞
= ±∞
..................................................................................... 46
0T2.3. KẾT LUẬN PHÂN TÍCH THỂ CHẾ0T .............................................................................. 52
0TCHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM0T ................................................................................................ 56
0T3.1 Mục đích thực nghiệm :0T ..................................................................................................... 56
0T3.2 Hình thức thực nghiệm:0T ..................................................................................................... 56
0T3.3 Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiêm0T..................................................................................... 56
0T3.4 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM0T ......................................................................................... 57
0T3.5 KẾT LUẬN THỰC NGHIỆM0T ........................................................................................... 68
0TKẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN0T................................................................ 69
0TKết luận:0T ................................................................................................................................... 69
0THướng mở ra của luận văn:0T ..................................................................................................... 70
0T ài liệu tham khảo0T........................................................................................................................ 71
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SGV: Sách giaó viên
SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành
SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành
SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTHH: Chương trình hiện hành
SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12
SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12
SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12
SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12
SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ
KNV: Kiểu nhiệm vụ
NV: Nhiệm vụ
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã
tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.
- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán
trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh
Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Trân trọng cảm ơn:
- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần
Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất
thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện
việc nghiên cứu.
- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý
hữu ích để thực hiện nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã
luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.
Nguyễn Thị Kim Cúc
MỞ ĐẦU
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000-
2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số
trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004).
Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa
lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô
hạn và liên tục”.
Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những
kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ
dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ,ε δ hay , Nε .
Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng :
“không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ ,ε δ ”.
Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành
Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình
hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của
chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới
hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức.
Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau:
- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có
tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình
thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn
không?
- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái
niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của
hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành
tính đến như thế nào?
- Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi
học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến
trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như
thế nào?
II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là:
- Lý thuyết nhân học, nhằm:
+ Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của
các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có.
+ Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL.
+ Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK
hiện hành.
- Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh.
- Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả
thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu.
III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm
giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành
(2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện
hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan
hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực
trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp.
Phương pháp nghiên cứu:
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa
học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá
nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu.
- Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để
phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê
cá nhân đối với khái niệm giới hạn.
- Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên
chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình
phân tích.
- Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối
với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo
quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi.
IV. Tổ chức của luận văn
Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và
phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.
Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan
hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau:
+ Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007).
+ Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004).
+ Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005).
Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT
NAM HIỆN HÀNH
Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu
hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa
chọn khác của một SGK của Mỹ.
Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3: THỰC NGHIỆM
Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu.
Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở
ra từ luận văn.
CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Mục tiêu của chương :
Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết
quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện :
- Khoa học luân.
- Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000.
- Các đồ án didactic đã xây dựng.
- Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm
2000.
- Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai
trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
- Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.
1.1.Phương diện khoa học luận
Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung
(2004) đã đạt được những kết quả sau:
Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:
♥ Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối
tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)
♥ Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số”
“ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các
gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng
x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại
giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.
♥ Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số”
(Bkouche, 1996)
“Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy
các số thập phân (aRnR)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004)
Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm
xấp xỉ này (Bkouche, 1996)
Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x),
chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3)
Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được
Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau:
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số
tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn. Đây lại là một
kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa
bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan
dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả
các đại lượng dương cho trước thì bằng không.
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
- Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn;
hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn. (trang 2)
Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái
niệm giới hạn sau đây:
- OMR1R đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại
số.
- OMR2R tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số.
Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau:
“Đại số các giới hạn (OMR1 R) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển
qua giới hạn trong các phép toán hàm số. OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất
phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của
những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm
số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm
hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện
các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có
thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986). OMR1R
cho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu hoặc với một số thực
hoặc với vô cùng.
OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản
chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một
kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn
tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực;
xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các
giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất
về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh
các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho
các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất
giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữ ε , δ .
Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ
thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết
hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho
câu hỏi về sự khả tích.
Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng
dạy bằng cách xác định:
- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học
- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học
1.2. Phương diện thể chế:
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đã thực hiện nghiên cứu trên
chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:
1.2.1 Về chương trình:
- Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số → Giới hạn hàm số→ Hàm số
liên tục.
- Giới hạn dãy số được khẳng định là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số. Chương trình
còn yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,ε δ để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và
yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn.
Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn
và tránh quan điểm xấp xỉ.
Còn chương trình hiện hành thì sao?
1.2.2 Về lý thuyết:
- Khái niệm dãy số có giới hạn là a được đưa ra theo hình thức ngôn ngữ ,ε Ν dựa vào việc
kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với ,ε Ν . Định nghĩa
này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x). Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn
giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,ε δ để định nghĩa
giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này.
- Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh.
- Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy
số mà dạng khai triển của nó cho thấy nu có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.
- Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(xRnR)) và (xRnR)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ
f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x.
- Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định:
0
0 ; ; 0 à y x
0
v khi x x ha∞ ×∞ ∞−∞ → →∞
∞
.
- Trong sách giáo khoa tồn tại kí hiệu ∞ và không phân biệt à +v−∞ ∞ , ∞ tùy trường hợp có
thể được hiểu là −∞ hoặc +∞
- lim ( )
x a
f x
→
= ∞ (a hữu hạn hoặc vô hạn) chỉ là kí hiệu, viết như thế thực ra hàm số f(x) không có
giới hạn khi x dần đến a.
Các yếu tố này được thể hiện trong phần giới hạn vô cực của hàm số ở SGK hiện
hành như thế nào?
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh
về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ. Cụ thể SCL không đưa
vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng:
1. Nếu 33lim ì limn nu a th u a= =
2. Nếu lim ( 0) à lim 0 ì lim nn n
n
uu a a v v th
v
= ≠ = = ∞ (SCL chỉ xét trường hợp a=1)
3. Nếu lim ì limn nu th u C= ∞ + = ∞ , với C là hằng số.
4. Nếu lim ì lim( )kn nu th u= ∞ = ∞ , với k nguyên dương.
5. Nếu 2 1lim ì lim kn nu th u+= ∞ = ∞ , với k nguyên dương.
6. Nếu nlim à lim ì limun n nu v u th v= ∞ = ∞ = ∞ .
7. Nếu nlim ( 0) à lim ì limun n nu a a v u th v= ≠ = ∞ = ∞
8. Đại số các vô cực:
9. Và tồn tại một mâu thuẫn: người ta cấm viết
[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
− = − = ∞ −∞ = nhưng lại chấp nhận cách viết
2lim ( 3 ) ( )
x
x x x
→−∞
+ + − = +∞ − −∞ = +∞
10. Nếu lim ( ) à lim ( ) 0 ì lim ( ) ( )
x x x
f x v f x L th f x g x
→+∞ →+∞ →+∞
= +∞ = > = +∞
Như vậy, trong các SGKHH, các yếu tố công nghệ trên có được đưa vào không, có
còn mâu thuẫn tương tự không?
1.2.3. Về các tổ chức toán học:
Theo Nguyễn Thành Long (2004) thì sách giáo khoa năm 2000 có 7 TCTH tương ứng với 7 kiểu
nhiệm vụ như sau:
TR1R: Chứng minh dãy số (uRnR) có giới hạn là a.
TR2R: Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số.
TR3R: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
TR4R: Chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của hàm số.
TR5R: Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số.
TR6R: Phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số (mở rộng)
TR7R: Tính tổng của cấp số nhân
Các kiểu nhiệm vụ trên được chia làm 3 nhóm tương ứng như sau:
Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo bản chất giải tích, bao gồm các nhiệm vụ T R1R, TR2R,
TR3R(9,1%)
Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: TR6R (3,9%)
Loại 3: Chỉ dụng đến các phép toán đại số giới hạn, bao gồm các kiểu nhiệm vụ: TR3R, TR4R, TR5R,
TR7R (87%)
Như vậy thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá trong việc xây dựng và tổ chức kiến thức
cần giảng dạy về giới hạn. Tư tưởng xấp xỉ chỉ thể hiện thoáng qua ở học sinh. Quan điểm động học
thể hiện rất mờ nhạt
Trong SGKHH, các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số
được đưa vào với tỉ lệ như thế nào, có TCTH nào mới được đưa vào, TCTH nào
không được đưa vào nữa?
. ( 0)
( )n n
C C C
n
∞+ = ∞ ∞ = ∞ ≠
∞ = ∞ ∈ ∞ = ∞
∞+∞ = ∞
1.2.4. Về các hợp đồng didactic
Tồn tại các quy tắc hành động
RR1: RHọc sinh không có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, không phải dự đoán
giới hạn, không xem xét hàm số và không quan tâm đến tính thích đáng của bài tập.
RR2R: Học sinh phải biết tính các giới hạn mà sách giáo khoa hay giáo viên yêu cầu, chủ yếu
dưới dạng tính )(lim xf
ax→
( a hữu hạn hay vô hạn) bằng cách nhận dạng chúng sau đó thực
hiện các quy tắc hành động tương ứng.
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)
Sau khi phân tích, so sánh các bộ sách giáo khoa, các tác giả đã đưa ra kết luận:
- Sách giáo khoa hiện hành (sách giáo khoa 2000) chỉ tạo thuận lợi cho quan điểm đại số về
giới hạn ở học sinh. Ngược lại quan điểm xấp xỉ ít khi có mặt.
- Các chướng ngại khoa học luận vẫn tìm thấy ở học sinh Việt Nam ngày nay: nhất là câu hỏi:
có thể đạt được giới hạn hay không?
- Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng “ngôn ngữ dãy số” trong sách giáo khoa hiện
hành không mang ý nghĩa gì đối với học sinh.
- Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần như là hệ quả
của giới hạn dãy số.
- Các định nghĩa và định lí về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải của kiểu nhiệm
vụ tương ứng vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kĩ thuật đó.
Như vậy câu hỏi đặt ra cho phần này là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam đối với
khái niệm giới hạn trong chương trình hiện hành có tiến triển như thế nào so với
chương trình năm 2000, quan điểm nào của khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm
nào được nhấn mạnh và quan điểm nào không? Chúng tôi sẽ phân tích quan hệ thể
chế dạy học Việt Nam hiện hành để trả lời các câu hỏi trên, và chỉ giới hạn để tài
trong phạm vi giới hạn vô cực của hàm số.
1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:
Như nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) đã rút ra: Chướng ngại khoa học luận chính
yếu của khái niệm giới hạn chính là khía cạnh vô hạn. Nghiên cứu quan niệm của học sinh về khái
niệm vô hạn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005) trong thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp
nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:
- Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn không phải là đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên
khái niệm vô hạn vẫn tác động ngầm ẩn hoặc tường minh trong nhiều nội dung thuộc các
phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích. Ứng với mỗi phạm vi, phụ thuộc
vào tình huống tác động sẽ nảy sinh những quan niệm khác nhau về vô hạn.
- Quan niệm của đa số học sinh về vô cực là:
Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số.
Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn.
Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực
là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn.
- Giáo viên và học sinh nhất trí khá cao khi cho rằng vô hạn và vô cực là hai khái niệm khác nhau,
quan niệm của họ về vô hạn và vô cực rất phong phú, thể hiện như sau:
Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả các giới hạn đã biết, không
xác định được ranh giới
Vô hạn được hiểu như một quá trình, một hành động có thể thực hiện mãi không dừng.
Vô hạn là phủ định của hữu hạn.
Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số.
Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số.
1.3.Các đồ án didactic đã xây dựng:
Từ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn và từ những ràng buộc thể chế của
chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, để dạy học khái niệm giới hạn hàm số đã có hai đồ án
didactic được xây dựng nhằm giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ.
♥ Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã xây dựng đồ án nhằm tổ chức một lần gặp gỡ mới
với khái niệm giới han hàm số nhằm giới thiệu một quan điểm xấp xỉ của khái niệm
giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi. Nội dung của đồ án là:
Cho hàm số f xác định bởi công thức: f(x)=
2
2
x 0,1x-0,02
0,25x 0.01
−
−
Phiếu 1: Giải phương trình f(x)=3
Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 ( ) 3,01f x≤ <
Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 ( ) 3,01f x< ≤
Phiếu 3A(dành cho nhóm làm phiếu 2A): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị
f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2
Phiếu 3B( dành cho nhóm làm phiếu 2B): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị
f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm đư._.ợc và x<0,2
♥ Nguyễn Thành Long (2004) đã xây dựng được thực nghiệm thuộc phạm vi hình học
nhằm tạo môi trường tương tác giữa nhận thức của học sinh với các ý tưởng giải toán
của mình. Nội dung của thực nghiệm là:
“Cho hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a ≥0. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b”
Cả hai thực nghiệm đã cho thấy học sinh vừa biết thực hiên các thao tác đại số vừa nhận
thức được các yếu tố ban đầu về xấp xỉ. Như vậy, dù thể chế có nhấn mạnh quan điểm đại
số hoá đến đâu thì quan điểm xấp xỉ vẫn có thể tiếp cận được. Tuy nhiên, hai thực nghiệm
này thuộc hai lĩnh vực tách biệt: phạm vi số và phạm vi hình học.
Vậy có thể xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn ở vô cực trong môi trường
tích hợp cả hai phạm vi số và hình học nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn vô cực
theo quan điểm xấp xỉ không?
1.4.Các khái niệm có liên quan:
- Khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích nên có khá nhiều khái niệm toán học
được đưa vào chương trình toán phổ thông có liên quan đến khái niệm giới hạn như: Khái
niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm các đường tiệm cận …Như đã nói ở
trên, chúng tôi chỉ giới hạn đề tài này trong phạm vi khái niệm giới hạn vô cực của hàm số
nên chỉ xét đến khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm
cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bên cạnh đó khái niệm giới hạn hàm số còn liên quan đến việc tính các giới hạn của hàm số
trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12.
Trong thể chế dạy hoc hiện hành, khái niệm giới hạn vô cực mang quan điểm gì trong
việc định nghĩa các khái niệm trên?
1.5.Về vai trò của máy tính bỏ túi:
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt Nam để
thấy sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp
THCS và THPT ở Việt nam:
Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước nắm1985)
Giai đoạn cải cách giáo dục từ 1986 đến 1999.
Chương trình được áp dụng kể từ năm 2000 (chương trình chỉnh lý và hợp nhất).
Chương trình thí điểm
Đã đưa ra các nhận xét:
- Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bản tính và sự giảm
yêu cầu tính nhẩm và tính nhanh.
- Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hỗ trợ các phép tính số và nhất là thay thế các
bảng số. Ở THPT, có quy định các kiểu máy tính bỏ túi được phép sử dụng trong các cuộc thi
tú tài và thi tuyển sinh đại học nhưng máy bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy
học.
- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bản số vẫn tồn tại. Như vậy, máy tính bỏ
túi chỉ được khuyến khích chứ không bắt buộc.
- Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy
đồ thị, máy lập trình…). Khi nói về tin học, các trương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử.
1.6. Kết luận:
Các tác giả đã có các nghiên cứu chi tiết và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị về:
♥ Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn.
♥ Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh
lí hợp nhất năm 2000.
♥ Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất
năm 2000
♥ Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ
túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
♥ Xây dựng được một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi
trường máy tính bỏ túi và một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số
trong phạm vi hình học.
Các tác giả chưa nghiên cứu vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. :
1.7. Câu hỏi nghiên cứu:
Từ tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau:
Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với
chương trình chỉnh lí hợp nhất.
Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan.
Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số.
Chúng tôi sẽ phân tích thể chế hiện hành để trả lời các câu hỏi trên trong chương 2
CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VIỆT NAM HIỆN HÀNH
Mục tiêu của chương:
Mục tiêu ở chương này của chúng tôi là sử dụng tri thức tham chiếu ở chương I để phân tích thể
chế hiện hành của Việt Nam và Mỹ nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi:
Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương
trình chỉnh lí hợp nhất ?
Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan?
Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số?
Đồng thời xét xem SGK Mỹ có lựa chọn nào khác các SGK Việt Nam trong việc giảng dạy khái
niệm giới hạn vô cực không?
Nghĩa là chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế của Việt Nam đối với khái niệm đang xét
không chỉ với tư cách là đối tượng dạy học mà còn với tư cách là công cụ toán học. Cụ thể:
- Với tư cách là đối tượng nghiên cứu, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm giới hạn vô cực của
hàm số được đưa vào SGK hiện hành của Việt Nam theo quan điểm nào. Các SGK hiện hành của
Việt Nam có gì tiến triển so với SGK của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 : về quan điểm
giới hạn và về các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số?
- Với tư cách là công cụ toán học, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm
gì trong các khái niệm liên quan như khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm
cận đứng, tiệm cận xiên … ?
Đồng thời xem xét sự lựa chọn của SGK Mỹ tương ứng mỗi phần.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu chương này là:
• Bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của NXB Giáo Dục do nhóm tác giả Trần Văn Hạo,
Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn biên soạn bao gồm:
- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11.(TLHDGD Toán 11)
- Đại số và Giải tích 11 (kí hiệu là SCL)
Hai Bộ sách giáo khoa hiện hành là:
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH)
• Bộ sách giáo khoa cơ bản: gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê
Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.
- SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê
Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.
• Bộ sách Giáo khoa nâng cao gồm: gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng
• Sách Giáo khoa Mỹ: Quyển Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) (kí hiệu là
SGKM) của nhóm tác giả: Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel
Kennedy. Đây là quyển thứ ba trong ba quyển sách được dạy cho học sinh phổ thông ở
trường quốc tế Bắc Mỹ.
2.1. Phân tích chương trình
Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới
hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện
hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương
trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong
chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: TLHDGD Toán 11 năm
2000 (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và
SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện
hành).
Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn
để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn.
“Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn. Dãy số dần tới vô cực.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể)
- Biết ( không chứng minh)
+ Nếu limu RnR=L, 0,nu n≥ ∀ thì 0, à limn nu v u L≥ =
+ Định lí về lim( ), lim( . ), lim nn n n n
n
uu v u v
v
±
Về kĩ năng:
- Biết vận dụng
1 1lim 0, lim 0, lim 0nq
n n
= = = với 1q < để tìm giới hạn của một số dãy số đơn
giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.”
[CTHH, tr162]
Như vậy trong phần giới hạn dãy số, việc CTHH yêu cầu thông qua ví dụ cụ thể hình thành cho
học sinh khái niệm giới hạn của dãy số, phải chăng, CTHH muốn học sinh hiểu được khái niệm giới
hạn theo quan điểm xấp xỉ?
Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn
đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này. Và kĩ năng
chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản.
“Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số. Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số. Giới hạn
một bên. Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ ,ε δ để định nghĩa giới hạn).
- Biết (không chứng minh)
+ Nếu lim ( ) , ( ) 0
ox x
f x L f x
→
= ≥ với 0x x≠ thì
0
0, à lim ( )
x x
L v f x L
→
≥ =
+ Định lí về giới hạn:
0 0 0
( )lim [ ( ) ( )], lim [f(x).g(x)], lim
( )x x x x x x
f xf x g x
g x→ → →
±
Về kĩ năng:
Trong một số trường hợp đơn giản tính được:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên của hàm số
- Giới hạn của hàm số tại ±∞ ”
[CTHH, tr163]
Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện
quan điểm đại số của giới hạn. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính
là tính các giới hạn các hàm số.
Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể
chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11,
TLHDGD toán lớp 11 năm 2000, CTHH lập bảng so sánh như sau:
Bảng so sánh chương trình:
Yếu tố so sánh CTCLHN CTHH
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các
khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số→ Giới
hạn hàm số → Hàm số liên tục.→Đạo hàm
→Tiệm cận
x
x
Công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số: Giới
hạn dãy số
x x
Ngôn ngữ hình thức ,ε δ : Không dùng ngôn
ngữ ,ε δ để định nghĩa giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số
x
x
Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu
thừa nhận, không chứng minh các định lý về
giới hạn.
x
x
Liên quan đến vô cực +) Không
phân biệt +∞
hay −∞ , tồn
tại kí hiệu ∞ .
+)
lim ( )
x a
f x
→
= ∞
chỉ là kí hiệu
chứ không
phải là số nên
không được áp
dụng các định
lí về giới hạn
hữu hạn cho
các trường
hợp
Phân biệt +∞ và
−∞ , không tồn
tại kí hiệu ∞
nhưng có nhận
xét rằng âm vô
cực và dương vô
cực được gọi
chung là vô cực.
+) lim ( )
x a
f x
→
= +∞
(hoặc
lim ( )
x a
f x
→
= −∞ )
nghĩa là hàm số
f(x) có giới hạn
là +∞ (hoặc −∞ )
lim ( )
x a
f x
→
= ±∞ và được phép
vận dụng các
định lí về giới
hạn vô cực của
hàm số được đưa
vào SGKHH.
Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy
nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của
dãy số có giới hạn hữu hạn, định lí
Có đưa vào Không đưa vào.
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH
Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm
liên quan.
Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ ,ε δ để định
nghĩa giới hạn hàm số.
Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt àv+∞ −∞ và thừa nhận
lim ( )f x = ±∞ cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan.
Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau::
“Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu ∞ có thể được hiểu theo nhiều cách khác
nhau như ,+∞ −∞ hay hỗn hợp cả hai. Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên
cứu tính chất của hàm số ở +∞ hay −∞ chứ không xét chung chung ở vô cực. Ngay ở bậc đại học,
khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là +∞ và −∞ chứ không sử dụng kí hiệu ∞ .
Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng àv−∞ +∞ , đồng thời xem ±∞ là giới hạn của dãy
số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm lim nn u→∞ = ∞ nhưng lại không coi ∞
là giới hạn của dãy số (uRnR), vì lí do ∞ là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.”
[SGV.C11, tr122]
Còn SGV.N11 thì giải thích: “Vì là một tập sắp thứ tự, việc trình bày như thế là hợp lí,
đơn giản hơn và có phần dễ hiểu hơn”
[SGV.N11, tr169]
Cả hai cách giải thích đều tham chiếu từ tính chất đặc trưng của tập hợp số thực R và tập số
thực mở rộng ;R từ quan điểm toán học. Sách giáo khoa cơ bản còn đề cập đến vai
trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế
đã tính đến vai trò công cụ của khái niệm giới hạn.
Về các dạng vô định:
Giảng dạy tường minh về các dạng vô định không bị bắt buộc trong chương trình hiện hành.
Sách giáo viên cơ bản giải thích về điều này như sau:
“Chương trình yêu cầu không đưa vào một mục chuyên biệt về Giới hạn dạng vô định như sách giáo khoa
trước đây và sách giáo khoa nâng cao với mục đích chủ yếu là giảm tải. Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không
thể tránh khỏi việc tính các giới hạn thuộc các dạng vô định. Vì thế SGK chỉ đưa vào các ví dụ, bài tập đơn
giản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chương sau và khảo sát hàm số ở lớp 12. Do đó giáo
viên không nên khai thác quá sâu vào các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phức
tạp. Hơn nữa yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt léo về giới hạn thuộc dạng vô định thì cũng chỉ có
tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số chứ chưa hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm
số.”
[SGV.C11, tr123]
Từ phân tích trên chúng tôi đưa ra câu hỏi:
Phải chăng khi dạy học khái niệm giới hạn, thể chế hiện hành không đặt nặng việc tính
toán giới hạn (nghĩa là không nhắm vào quan điểm đại số) và mong muốn muốn học sinh
hiểu rõ về khái niệm giới hạn từ các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ? Các SGKHH
có thực hiện đúng yêu cầu của chương trình không?
Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích các SGKHH để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên.
Trong SGK Mỹ, chúng tôi tìm thấy một lựa chọn khác về mặt chương trình như sau:
- SGK Mỹ định nghĩa giới hạn hàm số độc lập với khái niệm giới hạn dãy số.
- Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn hàm số và các khái niệm liên quan như sau: Hàm
số liên tục→Tiệm cận→Đạo hàm→Tích phân→Giới hạn hàm số.
- Giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa, " "∞ chính là " "+∞ ,
lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) ,
x a xx a
f x f x f x
±→ →±∞→
= ±∞ = ±∞ = ±∞ chỉ là kí hiệu mà thôi. Và do đó không có
bất kì một quy tắc đại số nào cho việc tính các giới hạn vô cực của hàm số.
- Như vậy chúng tôi nhận thấy sự khác biệt giữa chương trình Mỹ và chương trình Việt
Nam như sau (đây chỉ là dự đoán vì chúng tôi không có tài liệu về chương trình Mỹ
mà chỉ có một quyển SGK Mỹ mà thôi):
- Chương trình Việt Nam định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số dựa vào
khái niệm giới hạn dãy số, còn chương trình Mỹ định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực
hàm số độc lập như vốn có của nó.
- Chương trình Việt Nam chú trọng đến trình tự logic của khái niệm trong khi chương
trình Mỹ chú trọng đến vai trò công cụ của khái niệm toán học.
- Chương trình Mỹ không thừa nhận lim ( ) ,
x a
f x
→
= ±∞ lim ( )
x
f x
→±∞
= ±∞ , lim ( )
x a
f x
±→
= ±∞ là
những giới hạn mà chỉ xem chúng là những kí hiệu như chương trình chỉnh lý hợp
nhất mà thôi.
2.2. Phân tích SGK
Ở đây chúng tôi sẽ phân tích các hoạt động xây dựng các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số,
phân tích các định nghĩa, các định lí, nhận xét, quy tắc của giới hạn vô cực của hàm số và so sánh
chúng với SCL nhằm tìm thấy sự tiến triển về các yếu tố trên của khái niệm giới hạn vô cực của
hàm số so với SCL và xét xem quan điểm nào của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện
trong các phần này.
Như chúng tôi đã trình bày ở trên, các SGK của chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình
hiện hành đều trình bày khái niệm giới hạn hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số. Vì vậy,
chúng tôi cần phân tích cả hai khái niệm: dãy số dần tới vô cực và hàm số dần tới vô cực. Chúng tôi
sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số
2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:
Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào các hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm mà các
SGK đã đưa ra.
Chúng tôi giải thích lại các kí hiệu như sau :
SCL: Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
SGK.C11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGK.N11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao lớp 11
Bảng so sánh hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
SCL SGK.C11 SGK.N11
Xét dãy số
uRnR=(-1)PnP2n.
Dạng khai
triển của nó
là
-2, 4, -6, 8,
-10,…,
(-1)PnP2n, …
Ta nhận
thấy khi n
“Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0.1 mm. Ta xếp chồng
liên tiếp tờ giấy này lên tờ giấy khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc
xếp giấy như vậy một cách vô hạn.
Gọi u R1R là bề dày của 1 tờ giấy, uR2 Rlà bề dày của hai tờ giấy, uR3R là bề dày
của ba tờ giấy, …, uRnR là bề dày của n tờ giấy. Tiếp tục như vậy ta có dãy
số vô hạn (uRnR).
Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.
uR1 … uR1000 … uR1000000 … uR1000000000 … uRn …
0.1 … 100 … 100000 … 100000000 …
10
n
…
“Xét dãy số
(uRnR) với
uRnR=2n-3.
Ta thấy khi
n tăng thì
uRnR trở nên
lớn bao
nhiêu cũng
được miễn
là n đủ lớn.
càng lớn thì
nu càng
lớn. Nó có
thể lớn bao
nhiêu tùy ý;
miễn là n
đủ lớn.
Chẳng hạn
nu
=2n>1000
thì chỉ việc
lấy n>500.
Ta nói ràng
dãy số đã
cho dần tới
vô cực”
[SCL,
tr113]
a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của uRnR khi n tăng lên vô
hạn.
b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày
lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt trăng? (cho biết khoảng
cách này ở một thời điểm xác định là 384000km hay
384.10P9Pmm)
(Ta cũng chứng minh được rằng
10n
nu = có thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số uRnR nói
trên được gọi là dần tới dương vô cực khi n →+∞ )”
[SGK.C11,tr117]
Nói cách
khác, mọi
số hạng của
dãy số, kể
từ số hạng
nào đó trở
đi, đều lớn
hơn một số
dương tùy
ý cho
trước. Ta
nói rằng
dãy số (2n-
3) có giới
hạn là +∞
”
[SGK.N11,
tr138]
- Nhìn vào hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số của ba sách giáo khoa,
chúng ta thấy chỉ có hoạt động của SGK.C11 yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau khi đã
trình bày thực nghiệm số. Tuy nhiên cả ba hoạt động đều không yêu cầu học sinh tự thực
hiện các thực nghiệm số và cũng không đặt trong một tình huống cần thiết phải khảo sát u RnR
khi n ngày càng lớn. Từ đây chúng tôi cho rằng có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số
theo cả hai SGK, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để
hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số.
Chúng ta cũng chú ý rằng về mặt thuật ngữ SGK.C11 vẫn dùng cụm từ “dãy số dần tới
dương vô cực”. Trong khi SGK.N11 đã sử dụng cụm từ “dãy số có giới hạn là +∞”. Tham khảo
nghiên cứu của Cornu (1983) liên quan đến các quan niệm tự nhiên của học sinh đối với các cụm từ
mô tả khái niệm giới hạn trong thể chế Pháp, chúng tôi cho rằng sự khác nhau này ít nhiều ảnh
hưởng đến các quan niệm của học sinh Việt Nam sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn.
2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số:
Sau đây là ba định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số trong ba quyển sách giáo khoa được
nghiên cứu.
Bảng so sánh khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
SCL SGK.C11 SGK.N11
“Ta nói rằng dãy số
(uRnR) dần tới vô cực
nếu mọi số dương
M ( lớn bao nhiêu
tùy ý) tồn tại một số
dương N sao cho
với mọi n>N thì nu >
Ta viết limu RnR=∞
hay
nu →∞ ” [SCL,
tr113]
- “Ta nói dãy số (u RnR) có
giới hạn +∞ khi n →+∞
nếu uRnR có thể lớn hơn một
số dương bất kì, kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim nu = +∞ hay
nu khi n→+∞ → +∞
- Dãy số uRnR được gọi là có
giới hạn là −∞ khi
n →+∞ nếu lim(-uRnR)= +∞
Kí hiệu: lim nu = −∞ hay
nu khi n→−∞ → +∞ ”
[SGK.C11, tr118]
“- Ta nói dãy số uRnR có giới hạn là +∞
nếu với mọi số dương tùy ý cho trước,
mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng
nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim( )nu = +∞hoặc
lim nu = +∞ hoặc nu →+∞
- Ta nói dãy số u RnR có giới hạn là −∞
nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào
đó trở đi, đều lớn hơn số âm đó. Khi đó
ta viết: lim( )nu = −∞hoặc lim nu = −∞
hoặc nu →−∞ ”
[SGK.N11, tr139]
Như vậy, các SGKHH không dùng ngôn ngữ hình thức (M, N) như SGKCL để định nghĩa giới
hạn dãy số ở vô cực mà định nghĩa dãy số có giới hạn là dương vô cực thông qua cụm từ “uRnR có thể
lớn hơn một một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi” theo yêu cầu của chương trình
hiện hành.
Với sự phân biệt àv−∞ +∞ , các SGKHH đã có định nghĩa riêng biệt cho từng trường hợp giới
hạn vô cực của dãy số.
Có một điểm khác biệt trong cách định nghĩa của hai bộ SGK hiện hành. Trong khi SGK.N11
định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -∞” thì SGK.C11 lại định nghĩa trường
hợp này thông qua khái niệm “dãy số có giới hạn là +∞”.
Trong SGK.C11, sau định nghĩa là một ví dụ về biểu diễn các số hạng của dãy số u RnR trên trục
số, đây là một minh họa hình học thể hiện u RnR có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng
nào đó trở đi. Qua đó chúng ta nhận thấy mặc dù không định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn
ngữ hình thức ( , ) ( , )hayε ε δΝ nhưng SGK.C11 cố gắng để giúp học sinh hình thành quan điểm xấp
xỉ của khái niệm giới hạn và tiếp cận được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp
xỉ f(x) bằng việc đưa ra hoạt động ban đầu trong phạm vi số và một ví dụ minh họa hình học về biểu
diễn các số hạng của dãy số dần tới vô cực.
Còn SGK.N11 thì không có dạng ví dụ này mà chỉ có ví dụ về việc áp dụng định nghĩa trên
để chứng minh một số dãy số có giới hạn vô cực như: 3lim , lim , limn n n= +∞ = +∞ = +∞
Như vậy chúng ta thấy cả hai SGKHH đều muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ f(x) trong
việc định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và SGK.C11 thể hiện điều đó rõ hơn.
2.3.1.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được nêu
trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.
+ SGK.C11
Sau khi đưa ra định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số với ví dụ minh họa có biểu diễn hình học minh
họa thể hiện u RnR có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi SGK.C11 đã
đưa ra các nhận xét và định lí sau:
“Nhận xét:
• lim lim( )n nu u= +∞⇔ − = −∞
• lim kn = +∞ nếu k nguyên dương
• lim nq = +∞ nếu q>1” [SGK.C11, tr118]
“Định lí:
a. “Nếu lim nu a= và lim nv = ±∞ thì lim 0n
n
u
v
=
b. “Nếu lim 0nu a= > , lim 0nv = và vRnR>0 với mọi n thì lim n
n
u
v
= +∞
c. “Nếu lim nu = +∞ và lim 0nv a= > thì lim .n nu v = +∞ ”
[SGK.C11, tr119]
Các nhận xét và định lí trên đều được thừa nhận mà không hề có một sự giải thích hay chứng
minh nào, sau đó là hai ví dụ vận dụng trực tiếp các nhận xét và định lí trên, điều này cho thấy
SGK.C11 không chỉ mong muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo
quan điểm xấp xỉ mà còn mong muốn học sinh biết vận dụng “đại số các giới hạn” vào việc tính
giới hạn vô cực của các dãy số.
SGK.N11
Sau định nghĩa lim( )nu = +∞ là hoạt động áp dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn vô cực
của các dãy số : 3lim , lim , limn n n= +∞ = +∞ = +∞ .
Sau định nghĩa lim nu = −∞ , SGK.N11 đưa ra các chú ý, nhận xét, định lí như sau:
- Nhận xét: "lim lim( ) "n nu u= −∞⇔ − = +∞
- Chú ý : “Dãy số có giới hạn àv−∞ +∞ được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực
hay dần dến vô cực.”
- Nhận xét: “Nếu lim nu = +∞ thì nu trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ
lớn. Do đó
1 1
n nu u
= trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.
- Định lí: “Nếu lim nu = +∞ thì
1lim 0
nu
= ” [tr140]
Mặc dù chương trình hiện hành đã phân biệt àv−∞ +∞ , không chấp nhận kí hiệu ∞ , SGK.N11
cũng đã đáp ứng yêu cầu đó nhưng vẫn chấp nhận tên gọi chung “dãy số có giới hạn vô cực hay dãy
số dần đến vô cực” như SCL.
Việc SGK.N11 định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -∞” sau đó nêu nhận
xét lim lim( )n nu u= +∞⇔ − = −∞ và SGK.C11 định nghĩa trường hợp này thông qua khái niệm “dãy
số có giới hạn là +∞” sau đó nêu nhận xét: "lim lim( ) "n nu u= −∞⇔ − = +∞ , chúng tôi thấy có thể xuất
hiện trong các SGKHH một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (uRnR) dần ra -∞ đó là chứng minh
dãy số (-uRnR) dần ra +∞ và ngược lại.
Chúng ta lưu ý một điểm mới của SGK.N11 so với các SGK đang cùng xem xét là việc lần đầu
tiên các quy tắc đại số trên các vô cực được giới thiệu chính thức và rõ ràng trong SGK Việt Nam.
“Quy tắc 1: Nếu lim ,nu = ±∞ và lim nv = ±∞ thì lim n nu v được cho trong bảng sau:
Quy tắc 2: Nếu lim ,nu = ±∞ và lim 0nv L= ≠ thì lim n nu v được cho trong bảng sau:
LimuRn Dấu của L Lim(uRnRv RnR)
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 3: Nếu lim 0nu L= ≠ và lim 0nv = và vRnR>0 hoặc v RnR<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì
lim n
n
u
v
được cho trong bảng sau:
[SGK.N11, tr140,141]
Và sau mỗi quy tắc, SGK.N11 đều đưa ra ví dụ vận dụng trực tiếp quy tắc đó, vậy ta có thể
thấy SGK.N11 đưa ra nhiều quy tắc đại số hơn SGK.C11 và như vậy quan điểm đại số được thể
hiện mạnh hơn.
Bảng sau đây cho phép so sánh số lượng các định lý thể hiện các quy tắc đại số trên các giới
hạn vô cực của dãy số của ba quyển sách giáo khoa đang xét.
Bảng so sánh các nhận xét, định lí, quy tắc.
SCL SGK.C11 SGK.N11
Định lí: “Nếu
limuRnR=0 (
Nhận xét: Nhận xét:
lim nu lim nv lim( )n nu v
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Dấu của L Dấu của vRn Lim(uRnR/v RnR)
+
+
−
−
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
*0,nu n≠ ∀ ∈ )
thì 1lim
nu
= ∞ .
Ngược lại
limuRnR=∞ thì
1lim 0
nu
= ”
[SCL, tr114]
"lim
lim( ) "
n
n
u
u
= +∞
⇔ − = −∞
[tr118]
Một vài giới hạn
đặc biệt:
a. “ lim kn = +∞ nếu
k nguyên dương
b. lim
nq = +∞ nếu
q>1
[SGK.C11, tr118]
"lim
lim( ) "
n
n
u
u
= −∞
⇔ − = +∞
“Dãy số có giới hạn àv−∞ +∞ được gọi chung là
dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Nếu nlim ì unx u th→∞ = +∞ trở nên lớn bao nhiêu cũng
được, miễn là n đủ lớn. Do đó
1 1
n nu u
= trở nên nhỏ
bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn”
[tr139]
Nhận xét: “ lim kn = +∞ nếu k nguyên dương.
Định lí:
a. “Nếu lim nu a=
và lim nv = ±∞ thì
lim 0n
n
u
v
=
b. Nếu
lim 0nu a= > ,
lim 0nv = và vRnR>0
với mọi n thì
lim n
n
u
v
= +∞ ”
c. “Nếu lim nu = +∞
và lim 0nv a= > thì
lim .n nu v = +∞ ”
[SGK.C11, tr119]
Định lí: “Nếu lim nu = +∞ thì
1lim 0
nu
= ” [tr140]
Quy tắc 1:
LimuRn LimvRn Lim(uRnRvRnR)
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 2: lim , limn nu v L= ±∞ =
Dấu
của L
Dấu
của vRn
Lim(uRnR/vRnR)
+
+
−
−
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 3: limvRnR=L
LimuR
n
Dấu
của L
Lim(uRnRvRnR
)
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Từ bảng so sánh trên chúng ta nhận thấy ở phần giới hạn dãy số, các SGK hiện hành đưa vào
nhiều quy tắc đại số hơn SGKCL. Và SGK.N11 giới thiệu nhiều quy tắc đại số trên các giới hạn vô
cực nhất.
Như vậy chúng ta thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho đại số trên các giới hạn. Điều
này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính
giới hạn. Và giải quyết mẫu thuẫn về việc thiếu các yêu tố công nghệ mà SCL đã mắc phải như đã
nói ở chương 1.
2.2.1.4. Phân tích phần bài tập :
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt
trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong
mỗi KNV ở SCL.
. Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số trong 3 quyển
sách giáo khoa nghiên cứu.
Bảng tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số
KIỂU NHIỆM VỤ SGK.C11 SGK.N11 SCL
TR1R : Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực
4 có
TR2R: Tìm giới hạn của dãy số.
5 29 có
TR3R: Tìm n để uRnR>M cho trước
1
TR4R: Quan sát bảng giá trị của dãy số và
nhận xét về giá trị của uRnR khi n tăng
lên vô hạn
1
Tổng cộng 7._.iệm “dãy số uRnR dần tới dương vô cực”.
Chương trình phân biệt hai khái niệm +∞ và −∞ . Tuy nhiên không có bất cứ hoạt động nào giới
thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực”.
- Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng
lim ( )
x a
f x
−→
= +∞ và lim ( )
x a
f x
+→
= −∞ trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy có
thể học sinh sẽ sử dụng quy tắc hành động:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
− +→ →
= −
- Không có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Vậy định nghĩa giới hạn vô cực của
hàm số có sống được trong thể chế dạy học hiện hành không?
- Kĩ thuật xuất hiện trong SGLM chủ yếu là đồ thị. Phần hình thành các khái niệm tiệm cận,
các SGKHH cũng có dựa vào đồ thị, nhưng kĩ thuật tìm tiệm cận và kĩ thuật tìm giới hạn hàm số
trong các SGKHH của Việt Nam hoàn toàn là kĩ thuật đại số. Học sinh cũng đã được ứng dụng giới
hạn vào việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (phần tìm tiệm cận và giới hạn hai đầu mút). Chúng tôi
tiếp tục đặt câu hỏi: Đối với học sinh Việt Nam: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó
được hiểu như thế nào; Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và biểu thức đại số của nó có tốt hơn mối
liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó không.
- Hoạt động mở đầu giới vô cực của dãy số và giới hạn hữu hạn của hàm số, SGKCB trình bày
thực nghiệm số. Như vậy có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số, giáo viên cũng trình bày
thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số
và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số.
Từ những nhận xét trên chúng tôi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm
số có giới han vô cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu.
Ngoài ra chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau :
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện
hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn vô cực
H2:Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −→ →
= −
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới
hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: Máy tính bỏ túi có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số.
Chúng tôi sẽ xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên ở chương III.
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM
3.1 Mục đích thực nghiệm :
Với nhận xét trên chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm trên các học sinh sau khi đã
học khái niệm giới hạn và khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhằm tìm hiểu quan niệm của học sinh về
khái niệm hàm số có giới hạn vô cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu, kiểm chứng các
giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở cuối chương 2 như sau:
Giả thuyết nghiên cứu
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện
hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn
H2: Trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −→ →
= −
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới
hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: MTBT có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số.
Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tôi là:
- Điều tra nghĩa của cụm từ x dần đến âm vô cực (hoặc dương vô cực)
- Điều tra quan điểm nào về giới hạn vô cực tồn tại chủ yếu ở học sinh.
- Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số có “sống” được trong thể chế dạy học Việt Nam hay
không?
- Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số và mối liên hệ giữa hàm số cho bằng
công thức với giới hạn của hàm số được thể hiện như thế nào trong học sinh học chương
trình hiện hành.
- Học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đoán giới hạn của hàm số hay không?
3.2 Hình thức thực nghiệm:
- Thực nghiệm sẽ được thực hiện với hai đối tượng học sinh học chương trình cơ bản và
chương trình nâng cao.
- Học sinh làm việc cá nhân, trả lời 4 câu hỏi trong 1 phiếu điều tra trong vòng 35 phút.
3.3 Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiêm
Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 (những học sinh chưa học
khái niệm giới hạn) hiểu cụm từ “x dần tới +∞” có nghĩa là gì ?
Câu 2. Cho hàm số 2
1( )
2 1
y f x
x x
a) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là gì.
b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đoán
1
lim ( )
x
f x
mà không
cần tính toán.
Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +∞) và thỏa mãn lim ( )
x
f x
a) Hãy viết một định nghĩa toán học cho tình huống này.
b) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này.
c) Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞ (chỉ cần vẽ
phác họa đồ thị của hàm số)
d) Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞
f) Em biết những phương pháp nào để chứng minh hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞
Câu 4.
a) Em có sử dụng máy tính cầm tay khi tính giới hạn của hàm số không ?
Rất hay sử dụng
Cũng thường sử dụng
Ít khi sử dụng
Chẳng bao giờ sử dụng
b) Theo em, máy tính cầm tay có thể sử dụng để làm gì khi tính giới hạn của hàm số ? (Em
có thể cho một ví dụ để giải thích rõ hơn)
3.4 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM
1. Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 hiểu cụm từ “x
dần tới +∞” có nghĩa là gì ?
Ua. Phân tích tiên nghiệm :
Mục đích của câu hỏi : Nhằm điều tra nghĩa của cụm từ “x dần tới +∞ ” trong học sinh. Vì
cả hai SGKHH đều không có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm
(hoặc dương) vô cực »
Các lựa chọn : âm vô cực hoặc dương vô cực
Lí do chúng tôi chọn +∞ là vì cả hai SGKHH đều có đưa ra hoạt động hoặc ví dụ giới thiệu
khái niệm dãy số dần tới dương vô cực và SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu
khái niệm “dãy số uRnR dần tới dương vô cực”
Những kiểu trả lời đó có thể là :
U x luôn chuyển động sang phải trục số :
- “x dần tới +∞”có nghĩa là x tiến tới một giá trị dương vô cùng lớn ».
Hoặc các câu trả lời gắn với các cụm từ :
- « x tăng dần »
- « x tiến tới một giá trị cực đại »,
- « x tiến về bên phải trục số »
- Nghĩa là x luôn nhận giá trị dương
- Giá trị của x là vô hạn, không đếm được
...
UDùng để tính giới hạnU:
Khi tính giới hạn của hàm số mà x tiến tới dương vô cực thì ta thế giá trị x rất lớn
(hay thế x=+∞ ) vào hàm số.
Khi tính giới hạn của hàm số chứa ăn x mà x tiến tới dương vô cực thì hàm số đó tiến
tới một giá trị nào đó.
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cực để điền vào bảng biến thiên.
UĐọc lại kí hiệuU: “Nghĩa là x dần tới dương vô cực”
Vì SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số uRnR dần tới dương vô
cực’’ theo quan điểm xấp xỉ x, và có thể giáo viên cũng lấy thực nghiệm này để dạy cho học sinh
học chương trình nâng cao, nên chúng tôi dự đoán các câu trả lời theo kiểu “x chuyển động sang
phải trục số” sẽ được nhiều học sinh lựa chọn nhất. Tiếp đó là kiểu dùng để tính giới hạn, bởi vì
phân tích thể chế cho thấy học sinh thường xuyên thực hiện các KNV tính giới hạn của hàm số ẩn x
mà x dần tới dương vô cực, và KNV khảo sát hàm số mà trong đó phải tính các giới hạn tại vô cực
để điền vào bảng biến thiên .
Ub. Phân tích hậu nghiệm:
Chúng tôi thóng kê kết quả thực nghiệm câu 1 trong bảng 1 sau:
Bảng 1
Câu 1
x luôn chuyển
động qua phải
trục số
Dùng để tình
giới hạn
Không giải thích được
Đọc kí hiệu
Khác
Không giải
thích
69(52,7%) 24(18,3%)
21(16%) 7(5,3%) 10(7,6%)
28,9%
Nhận xét:
-Có đến 28.9% học sinh không giải thích được kí hiệu này. Trong đó có 21/131 học sinh chỉ viết
lại cụm từ “x dần tới +∞”
- Trong số 52,7% câu trả lời thể hiện “ x luôn chuyển động qua phải trục số” không có học sinh
nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn nào cho trước” hay “
x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”.
Trong những câu trả lời này chúng tôi tìm thấy một số học sinh có quan niệm: Kí hiệu : +∞ là
giá trị dương lớn nhất trên trục. Cụ thể các câu trả lời như sau”
- “có nghĩa là x dần tới một giá trị cực đại và tới +∞
- “giá trị x nhận được sẽ luôn theo chiều dương và x dần đến +∞ ”
- “nghĩa là giá trị x nhận được là một số dương không xác định chính xác giá trị nhưng tiến
dần ra và lớn hơn rất nhiều so với 0”
- “nghĩa là x là biến số có thể thay đổi từ một số dương đến một số vô cực”
…
Tuy chúng tôi đã chọn yêu cầu rằng giải thích “x dần tới +∞ ” và không có kí hiệu lim trong
câu hỏi, nhưng đối với một bộ phận đáng kể học sinh 18,3% gắn kí hiệu này với bài toán tính giới
hạn mà không giải thích gì thêm.
2. Câu 2. Cho hàm số 2
1( )
2 1
y f x
x x
Câu 2a. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là gì.
a. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích của câu hỏi: Điều tra quan điểm nào của giới hạn tồn tại chủ yếu ở học sinh. Một câu
hỏi tương tự cho trường hợp giới hạn hữu hạn đã được nêu ra trong nghiên cứu của Lê Thái Bảo
Thiên Trung (2004).
Từ nghiên cứu này, chúng tôi dự kiến các câu trả lời có thể như sau :
Theo quan điểm đại số: Tính hoặc nêu cách tính giới hạn 21
1lim
2 1x x x
Theo quan điểm xấp xỉ x:
•
1
lim ( )
x
f x
nghĩa là khi x tiến tới 1 mà x lớn hơn 1 thì f(x) tiến tới +∞ (hay x càng gần 1
thì f(x) càng lớn)
•
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là với dãy số (xRnR) bất kì, xRnR>1 và 1nx → ta có ( )nf x →+∞ ”
Theo quan điểm xấp xỉ f(x):
f(x) có thể lớn hơn một số dương bất kì với những x lớn hơn 1 và đủ gần 1.
Không giải thích được mà chỉ đọc kí hiệu:
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là giới hạn của f(x) khi x 1+→ là
+∞ .
Giá trị của f(x ) là dương:
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là f(x) nhận giá trị dương khi x dần tới 1 từ bên
phải.
Dự đoán câu trả lời theo kiểu đọc kí hiệu sẽ chiếm tỉ lệ nhiều nhất, tiếp đó là quan điểm đại
số vì phân tích thể chế cho thấy trong sách giáo khoa hiện hành các KNV như thế này chưa từng
xuất hiện và quan điểm đại số thống lĩnh, quan điểm xấp xỉ f(x) sẽ không xuất hiện vì các SGKHH
không có hoạt động giới thiệu khái niệm giới hạn theo quan điểm này.
b. Phân tích hậu nghiệm:
Bảng 2a: thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2a
Câu
2a
QĐ ĐẠI SỐ
QĐ XẤP XỈ
X
QĐ
XẤP XỈ
f(x)
F(x)>0
Không giải thích được
Đọc kí hiệu Khác
Không
trả lời
28(21%) 8(6,3%) 0 10(7,6%)
70(53,4%) 8(6,1%) 7(5,3%)
64,8%
UNhận xét:
- Có 64,8% (53,4%+6,1%+5,3%) học sinh không hiểu kí hiệu này có nghĩa là gì. Chúng tôi giải
thích rằng có lẽ học sinh ít làm việc với giới hạn một bên. Giới hạn 1 bên chỉ xuất hiện trong bài
khảo sát tính liên tục của hàm số và không còn thể hiện vai trò của mình khi khảo sát hàm số.
- Kế đến là quan điểm đại số chiếm ưu thế khi học sinh viết một đoạn chỉ dẫn tính giới hạn.
- Các quan điểm xấp xỉ gần như không xuất hiện khi có kí hiệu lim.
Ngoài ra có một câu trả lời như sau:
“khi ta giải nghiệm của phương trình bậc hai dưới mẫu ở trên ta sẽ có hai nghiệm và xét dấu,
sau đó tìm y’, rồi vẽ bảng biến thiên. Khi biết x không xác định tại x=1 nên hàm số có chiều biến
thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là +∞ ”
Ở đây có thể nói đã xuất hiện mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và bảng biến thiên, học sinh
này cho rằng hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì hàm số có giới hạn là +∞ khi x tiến đến b
(“hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là +∞ ”)
Phải chăng trong kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ khảo sát hàm số, học sinh được phép nhìn vào
chiếu biến thiên của hàm số để dự đoán các giới hạn? ( Trong khi về mặt toán học ta phải tính
giới hạn rồi mới điền vào bảng biến thiên)
2b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đoán
1
lim ( )
x
f x
mà không
cần thực hiện tính toán
a. Phân tích tiên nghiệm:
Mục đích của câu hỏi này là: Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa
ra các bài tập dạng lim ( )
x a
f x
−→
= −∞ và lim ( )
x a
f x
+→
= +∞ mà f(x) là những phân thức có mẫu là nhị
thức bậc nhất vậy chúng tôi xem học sinh có sử dụng quy tắc hành động :
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
− +→ →
= −
Lí do lựa chọn hàm số f(x) như trên là để phá vỡ hợp đồng thể chế : f(x) là những phân thức
có mẫu là nhị thức bậc nhất
UCác câu trả lời có thể có là:
- Câu trả lời đúng : 21
1lim
2 1x x x
Câu trả lời đúng này có thể được tìm thấy bằng nhiều cách:
• Tính giới hạn bằng quy tắc đại số : 2 21 1
1 1lim lim
2 1 ( 1)x xx x x
• Sử dụng máy tính bỏ túi để tính gần đúng các giá trị x gần 1 và nhỏ hơn 1 để đoán giới hạn
- Câu trả lời theo quy tắc hành động :
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
− +→ →
= −
Các câu trả lời theo quy tắc hành động trên cho đáp số là −∞
Chúng tôi dự đoán nhiều học sinh sẽ trả lời sai theo quy tắc hành động trên.
Bảng 2b thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2b
Câu 2b
Đúng
Theo quy
tắc hành
động
Khác
Không trả
lời
24(18,3%) 51,1% 8(6,1%) 32(24,4%)
Nhận xét:
- Có đến 51,1% học sinh trả lời theo quy tắc hành động trên.
- 24,4% học sinh không trả lời.
- Chỉ có 18% học sinh trả lới đúng câu hỏi này.
- Số học sinh cho câu trả lời khác là 6,1%
Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của học sinh như sau:
“
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −→ →
= +∞⇒ = −∞ ”
“Ta thay 1 vào mẫu số, khi đó mẫu số sẽ bằng 0 nên hàm số f(x) không có nghĩa. Lúc đó ta thấy
mẫu dần tới bên trái của số 1 có nghĩa là mẫu nhỏ hơn 0. Tử bằng 1>0 suy ra
1
lim ( )
x
f x
−→
= −∞ ”
Như vậy chúng tôi cho rằng trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −→ →
= −
3. Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +∞) và thỏa mãn lim ( )
x
f x
a) Hãy viết một định nghĩa toán học cho tình huống này
Mục đích câu hỏi: Xem định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số đặc biệt là định nghĩa theo ngôn
ngữ dãy số như sách giáo khoa có sống được trong thể chế hay không?
Với mục đích ấy, ta quan tâm đến câu trả lời
UTrả lời bằng định nghĩa SGK (ngôn ngữ dãy số): U lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ nếu với mọi dãy số (xRnR) trong
tập hợp (0;+∞ ) mà limxRnR=+∞ ta đều có limf(xRnR)=+∞”
UTrả lời bằng cách việc mô tả kí hiệu bằng ngôn ngữ tự nhiên hay kí hiệu khácU:
- kiểu: (0; )x∀ ∈ +∞ mà x →+∞ thì ( )f x →+∞
-“f(x) có tập xác định là (0; )+∞ thì giới hạn của nó khi x dần tới dương vô cực bằng dương
vô cực”
- “f(x) có tập xác định là (0; )+∞ thì lim ( )
x
f x
”
Chúng tôi dự kiến định nghĩa SGK không được học sinh sử dụng, mà nhiều học sinh sẽ sử dụng
định nghĩa theo kiểu nhắc lại vì phân tích thể chế cho thấy các SGKHH hầu như không có KNV
mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng đinh nghĩa
b. Phân tích hậu nghiệm:
Bảng 3a thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3a
Câu 3a
ĐN
SGK
Mô tả bằng kí
hiệu khác
Khác
Không trả lời
0 56(42,6%) 18(13,7%) 57(43,5%)
UCác câu trả lời khác
- “ f(x) là hàm số đồng biến” (Câu trả lời này dựa vào quy tắc hành động đọc giới hạn từ
bảng biến thiên)
- “f(x) nhận giá trị dương”
UNhận xét:
Định nghĩa “dãy số” mà các SGKHH đã giới thiệu không có ấn tượng gì đối với học sinh,
hay nói cách khác là định nghĩa ấy không “sống” được trong thể chế.
Định nghĩa giới hạn hàm số theo kiểu khác 13,7 % trong các câu trả lời của câu hỏi này.
Số học sinh trả lời được câu hỏi theo kiểu mô tả bằng kí hiệu khác chiếm đến 42,6%
Số học sinh không trả lời là 43,5%, chiếm tỉ lệ cao nhất.
Chúng tôi quan tâm đến các câu trả lời:
“Khi tập xác định là (0; )+∞ và thỏa mãn lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ thì ta biết được chiều biến thiên của
nó là đồng biến”
“Cho hàm số f(x) xác định trên (0; )+∞ , với xR2R>xR1R thì limf(xR2R)>limf(xR1R) khi x →+∞ thì
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ ”
Một lần nữa học sinh khẳng định “ lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ thì ta biết được chiều biến thiên của nó là
đồng biến” và ngược lại.
“Cho hàm số f(x) xác định trên (0; )+∞ , tức là f luôn dương với mọi x do đó lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ ”
“ lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ luôn nhận giá trị dương trong khoảng (0; )+∞ ”
Tương tự như x →+∞ , lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ thì f(x) sẽ luôn nhận giá trị dương.
Câu trả lời mà chỉ nhắc lại kí hiệu hoặc chỉ quan tâm đến tập xác định của hàm số được khá nhiều
học sinh sử dụng.
3b. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này.
Mục đích câu hỏi: để thu thập thêm các thông tin cho câu 3a.
Cũng phù hợp với câu 3a, có đến 80% học sinh không giải thích được.
Ngoài ra chúng tôi thu được một số thông tin sau:
“Vì x (0;+ )∈ ∞ , vì x tăng từ 0 đến +∞nên theo lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ thì khi x tăng đến một số rất lớn
thì f(x) cũng nhận một giá trị rất lớn hay hiểu đơn giản là hàm số đồng biến”
“khi ta thay các giá trị x (0;+ )∈ ∞ thì hàm số luôn đạt giá trị dương.
Vậy là ở câu này tiếp tục xuất hiện những câu trả lời thể hiện mối liên hệ giữa tính đồng biến
của hàm số và giới hạn vô cực cuả hàm số.
3c. Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞ (chỉ
cần vẽ phác họa đồ thị của hàm số)
Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được thể hiện như thế
nào ở học sinh.
Sau đây là một số ví dụ
Trường hợp này có thể học sinh sẽ để trống hoặc vẽ “đại” những đồ thị mà các em biết như là
đường thẳng, parabol, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị ham số bậc bốn trùng phương…
Bảng 3c thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3c
Câu 3c
Vẽ 4 đồ thị
Ít nhất một ô bỏ trống
Đúng 4 đồ thị Ít nhất một đồ thị sai
31(23,5%) 47(35,9%) 65(49,6%)
Nhận xét:
- Chỉ có 23,6% vẽ đúng 4 đồ thị
- 35,9% vẽ được 4 đồ thị nhưng trong đó có ít nhất một đồ thị sai
- Có đến 49,6% học sinh bỏ trống ít nhất một ô
Kiểu sai phổ biến: vẽ các đồ thị mà lim ( )
x
f x
→+∞
= −∞ hoặc lim ( )
x
f x L
→+∞
= ( L hữu hạn)
Như vậy mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và đồ thị thể hiện rất mờ nhạt ở học sinh dù
rằng đối tượng mà chúng tôi tiến hành thực nghiệm là những học sinh đã được học khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số.
Chúng tôi scan 2 bài làm của học sinh như sau:
6
4
2
-10 -5 5 10
g x( ) =
1
x
+ x3
2
-2
5 10
2
-2
5 10
4
2
-2
3d. Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞
Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của nó thể hiện
như thế nào trong học sinh?
2 1( ) xh x
x
−
=
1( ) osx-
x
f x xc=
Trường hợp này hàm số được học sinh lựa chọn nhiều nhất là hàm đa thức và hàm phân thức vì
các bài tập trong các SGK hiện hành chủ yếu thuộc hai dạng này.
Bảng 3d thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3d
Câu 3d
Cho 5 hàm số
Ít nhất một ô bỏ trống
Đúng 5 hàm số Ít nhất một hàm số sai
48(36,6%) 40(30,5%) 43(32,9%)
Nhận xét:
- Chỉ có 36,6% cho đúng 5 hàm số
- 32,9% học sinh bỏ trống ít nhất một ô
- 30,5% học sinh cho được 5 hàm số nhưng có ít nhất một hàm số sai.
Kiểu sai phổ biến của học sinh ở câu này là: Học sinh nêu các hàm hữu tỉ mà bậc của tử nhỏ hơn
hoặc bằng bậc của mẫu.
Trường hợp này học sinh chỉ ghi các hàm số có giới hạn vô cực mà các em đã được thường
xuyên tình giới hạn ở lớp 11 khi học về giới hạn của hàm số, không có hàm lượng giác hay hàm lũy
thừa…
g x( ) =
1
x
+ x3
q x( ) =
1
3
1
x
r x( ) = x4-x3-
1
x
Và vậy mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và hàm số cho bằng công thức thể hiện
tốt hơn mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và đồ thị hàm số, Điều này cho thấy học sinh
quen làm việc với hệ thống biểu đạt đại số hơn. Tuy là có tốt hơn hệ thống biểu đạt bằng đồ thị
nhưng củng chỉ có 36,6%.
Chúng tôi scan 2 bài làm của học sinh như sau:
3e. Em biết những phương pháp nào để chứng minh hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới
+∞
Mục đích câu hỏi: Xem kĩ thuật chứng minh một hàm số có giới hạn vô cực theo quan điểm xấp xỉ
có tồn tại trong học sinh không?
PP1: Sử dụng định nghĩa
PP2: Tính giới hạn vô cực đó
Dự đoán hầu hết học sinh sẽ nêu PP2 vì các SGKHH hầu như không có bài tập dạng này.
Bảng 3e thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3e
Câu 3e
PP1 PP2 Khác Không trả lời
10(7,6%) 62(47,3%) 9(6,9%) 50(38,2%)
Nhận xét:
- Quan điểm đại số chiếm ưu thế ở câu này (47,3%).
- Số học sinh không trả lời là 38,2%
- Học sinh trả lời theo quan điểm xấp xỉ chỉ chiếm 7,6%
- Số khác là 6,9%
Vậy số học sinh không trả lời được rất lớn (38,2%+6,9%). Quan điểm xấp xỉ vẫn chiếm tỉ lệ nhỏ
bé (7,6%)
Một số câu trả lời chúng tôi quan tâm
Có một học sinh liệt kê như sau:
- phương pháp định nghĩa
- phương pháp dùng tính chất
- chứng minh hàm số đồng biến.
Một học sinh khác: “Muốn biết hàm số có giới hạn +∞ khi x dần tới +∞ ta dựa vào bảng biến
thiên của hàm số đó và hàm số luôn đồng biến trên ”
Một lần nữa học sinh khẳng định lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞⇔ f(x) đồng biến.
Câu 4.
Mục đích của câu hỏi: Điều tra xem học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đoán giới hạn của
hàm số hay không?
a) Em có sử dụng máy tính cầm tay khi tính giới hạn của hàm số không ?
Rất hay sử dụng
Cũng thường sử dụng
Ít khi sử dụng
Chẳng bao giờ sử dụng
b) Theo em, máy tính cầm tay có thể sử dụng để làm gì khi tính giới hạn của hàm số ? (Em có
thể cho một ví dụ để giải thích rõ hơn)
Chúng tôi dự đoán nhiều học sinh sẽ ít khi hoặc không bao giờ sử dụng máy tính, nếu có thì chỉ
để tính những phép tính đơn giản như ví dụ sau chứ không biết sử dụng với mục đích dự đoán
giới hạn hàm số.
Ví dụ:
3 3
2 29 2
3 9 3lim lim 3
1 9 1x x
x
x→ →
− −
= =
− −
Bảng 4a thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 4a
Câu 4a
Rất hay SD Thường SD Ít khi SD Không bao giờ SD
0 18(13,7%) 45(34%) 69(52,3%)
Vai trò mờ nhạt của MTBT khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số. Mặc dù Bộ giáo dục khuyến
khích sử dụng MTBT trong dạy học toán.
Bảng 4b thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 4b
Câu 4b
Thế một giá trị Thế nhiều giá trị Không sử dụng
63(47,7%) 1(0,07%) 68(51,5%)
Nếu học sinh có sử dụng máy tính thì chỉ để tính các phép toán đơn giản.
Như vậy là phù hợp với phân tích thể chế, học sinh không biết sử dụng máy tính để tính hay dự
đoán giới hạn của hàm số.
3.5 KẾT LUẬN THỰC NGHIỆM
Thực nghiệm giúp chúng tôi rút ra một số kết luận sau:
- Phần lớn học sinh hiểu “x đần tới +∞ ” nghĩa là “x luôn chuyển động sang phải trục số” và
không có học sinh nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn
nào cho trước” hay “ x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”.
- Đa số học sinh không hiểu kí hiệu lim ( )
x a
f x
−→
= +∞ theo quan điểm xấp xỉ. Quan điểm đại số
chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn
- Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −→ →
= −
- Học sinh hiểu rằng lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞ thì f(x) luôn dương và đồng biến.
- Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành
- Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm
số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
- Vai trò mờ nhạt của máy tính bỏ túi khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số. Mặc dù Bộ
giáo dục khuyến khích sử dụng máy tính bỏ túi trong dạy học toán.
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN
Kết luận:
Việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có các nghiên cứu về giới hạn cho thấy khái niệm
giới hạn đã được các tác giả nghiên cứu chi tiết trên phương diện khoa học luận và phương diện thể
chế dạy học chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và đã có nhiều kết quả thú vị. Tuy nhiên chưa có nghiên
cứu nào về vai trò công cụ của khái niệm giới hạn trong các khái niệm khác cũng như mối liên hệ
giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số trong học sinh.
Phân tích thể chế dạy học hiện hành cho phép chúng tôi làm rõ sự tiến triển của khái niệm giới
hạn vô cực của hàm số trong các SGKHH so với SGKCL hợp nhất và SGK Mỹ cụ thể như sau:
• Chương trình hiện hành không có nhiều tiến triển so với chương trình chỉnh lí hợp nhất. Thể
chế dạy học Việt Nam từ năm 2000 đến nay luôn đưa vào khái niệm giới hạn theo tiến trình:
Đối tượng-công cụ, trong khi SGK Mỹ thì ngược lại. Chương trình hiện hành phân biệt hai
khái niệm +∞ và −∞ và xem vô cực cũng là giới hạn của hàm số trong khi SCL và SGK Mỹ
thì không phân biệt hai khái niệm này, không xem vô cực là giới hạn.
• Về Lý Thuyết:
o Cũng như SCLHN, các SGKHH không dùng ngôn ngữ ( , )ε δ để định nghĩa giới hạn,
mà dùng giới hạn dãy số để định nghĩa giới hạn hàm số. Khái niệm giới hạn hàm số
thể hiện quan điểm xấp xỉ x trong các đinh nghĩa này. SGK Mỹ không đưa vào khái
niệm giới hạn dãy số và không định nghĩa giới hạn hám số theo ngôn ngữ ( , )ε δ , cũng
không định nghĩa thông qua dãy số mà định nghĩa thông qua đồ thị và bảng giá trị của
hàm số.
o Vì chương trình hiện hành phân biệt âm vô cực và dương vô cực nên nhiều quy tắc đại
số về giới hạn âm vô cực và dương vô cực cũng được đưa vào tường minh trong các
SGKHH, đặc biệt là bộ sách nâng cao. Trong khi ở bộ SCLHN thì thiếu các yếu tố
công nghệ này.
• Về các TCTH
o Các SGKHH đưa vào nhiều TCTH hơn SGKCL. trong đó, SGKCB có đưa vào các
TCTH thể hiện mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và giới hạn của nó, điều này không có
trong SGKNC và SGKCLHN. Tuy nhiên các bài tập vẫn tập trung vào các TCTH là
vết của OM1 (TCTH theo quan điểm đại số). Điều này thể hiện quan điểm đại số của
giới hạn chiếm vị thế gần tuyệt đối trong các TCTH, dẫn đến mối liên hệ giữa giới hạn
hàm số với biểu thức của nó thể hiện rõ hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số với đồ
thị của nó trong học sinh. Kỹ thuật giải của các TCTH liên quan đến giới hạn vô cực
của hàm số trong SCL và SGKHH là theo quan điểm đại số, trong khi đó trong SGK
Mỹ thì kĩ thuật chủ yếu là sử dụng đồ thị và bảng số.
Trong suốt quá trình phân tích chúng tôi cũng không nhận thấy vai trò của máy tính bỏ túi đối với
việc dạy học khái niêm giới hạn vô cực của hàm số.
• Từ phân tích thể chế chung tôi rút ra các giả thuyết nghiên cứu và đã kiểm chứng trong
chương 3 như sau:
o Phần lớn học sinh giải thích cụm từ “x dần tới +∞ ” gắn với các cụm từ sau
- “x dần tới +∞”có nghĩa là x tiến tới một giá trị dương vô cùng lớn ».
Hoặc các câu trả lời gắn với các cụm từ :
- « x tăng dần »
- « x tiến tới một giá trị cực đại »,
- « x tiến về bên phải trục số »
- Nghĩa là x luôn nhận giá trị dương
- Giá trị của x là vô hạn, không đếm được
...
và như vậy, không có sự thống nhất trong học sinh về việc giải thích nghĩa của cụm từ: “x dần
tới +∞ ”
• Các giả thuyết nghiên cứu
o H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế
dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của
giới hạn.
o H2: Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −→ →
= −
o H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ
giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
o H4: Máy tính bỏ túi có vai trò mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn
của hàm số.
Hướng mở ra của luận văn:
• Xây dựng đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi trường tích hợp cả
phạm vi số và đồ thị.
• Nghiên cứu về mức độ quan tâm của giáo viên đến sự tiến triển của SGKHH so với
SGKCLHN.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
1. Bộ giáo dục và đào tạo(2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD,
TPHCM
2. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến(2009), Annie Bessot, Claude Comiti Những yếu tố cơ bản
của didactic toán, NXB Đại học quốc gia TP HCM
3. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Đại số và Giải tích 11,
NXBGD, TPHCM
4. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Tài liệu hướng dẫn
giảng dạy toán lớp 11, NXBGD, TPHCM
5. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGK Đại số và
giải tích 11, NXBGD, TPHCM
6. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGV Đại số và
giải tích 11, NXBGD, TPHCM
7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGK
Giải tích 12, NXBGD, TPHCM
8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGV
Giải tích 12, NXBGD, TPHCM
9. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học Toán ở
trường THPT, Luận án thạc sĩ, TP.HCM.
10. Nguyễn Thị Phương Mai(2005), quan niệm của gíao viên và học sinh về khái niệm vô hạn,
luận văn thạc sĩ, TPHCM.
11. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng
Thắng(2007), SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM
12. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng
Thắng(2007), SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM
13. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng
Thắng(2009), SGK Giải tích 12, NXBGD, TPHCM
14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng
Thắng(2009), SGV Giải tích 12, NXBGD, TPHCM
15. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy – học
Toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, TP.HCM
16. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2006), Một số kết quả tri thức luận…, Luận án tiến sĩ, Pháp
UTiếng anh:
17. Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy(2007), Precalculus
(graphical, nemberical, algebraic) , Addison Wesley, United States of America
._.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LA5491.pdf