Dạy học giới hạn ở lớp 11 Trung học phổ thông (THPT) theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------    --------------- VŨ THỊ HẠNH DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH (THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------    --------------- VŨ THỊ HẠNH DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH (THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN) CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TOÁN MÃ SỐ: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC UY THÁI NGUYÊN - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo- TS. Nguyễn Ngọc Uy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp giảng dạy Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn . Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường THPT Trại Cau đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Thái nguyên, tháng 9 năm 2008 Vũ Thị Hạnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỤC LỤC Mở đầu ..................................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1 II. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 3 IV. Giả thiết khoa học ................................................................................ 3 V. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 3 VI. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 3 Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ...................................................... 4 1.1. Tính tích cực của học sinh khi học môn toán .................................... 4 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực ............................................................... 4 1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực .......................................... 6 1.1.3. Những biểu hiện của tính tích cực ...................................................... 7 1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng đến tính tích cực ......................................... 8 1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh ............. 10 1.2. Thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT ....................................... 11 1.2.1 Thuận lợi ........................................................................................ 11 1.2.2 Khó khăn ........................................................................................ 11 1.2.3 Những sai lầm thường mắc phải của học sinh ................................... 12 Chƣơng 2. Dạy học giới hạn lớp 11 theo hƣớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ................................................................................ 17 2.1 Mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT ........................................... 17 2.2. Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn ......................... 17 2.2.1. Dạy học khái niệm.......................................................................... 17 2.2.2. Dạy học định lý .............................................................................. 21 2.2.3. Dạy học quy tắc.............................................................................. 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 2.2.4. Dạy học bài tập .............................................................................. 29 2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 47 2.3.1 Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập ..................... 48 2.3.2. Truyền thụ tri thức phương pháp qua ............................................. 51 2.3.3.Kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy ......................................... 53 2.3.4. Khai thác và sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu quả ........................ 63 2.3.5. Kiểm tra đánh giá ............................................................................ 68 Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm ........................................................ 71 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 71 3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 71 Một số giáo án dạy thực nghiệm giới hạn ............................................ 71 3.3. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................106 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm............................................................107 3.5. Kết luận chung về thực nghiệm ..........................................................108 Kết luận .................................................................................................110 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 BT Bài tập 2 BTVN Bài tập về nhà 3 DH Dạy học 4 GV Giáo viên 5 HS Học sinh 6 KL Kết luận 7 NXB Nhà xuất bản 8 PPDH Phương pháp dạy học 9 TH Trường hợp 10 THPT Trung học phổ thông 11 SGK Sách giáo khoa 12 SGV Sách giáo viên 13 VD Ví dụ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với thay đổi về nội dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học. Hội nghị TW khoá IV đặc biệt nhấn mạnh “Một trong những nhiệm vụ cần tập trung giải quyết từ nay đến năm 2010 là nâng cao chất lượng và hiệu quả của giáo dục. Muốn vậy phải thực hiện đổi mới giáo dục toàn diện, đổi mới mạnh mẽ về nội dung, chương trình và phương pháp giáo dục theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá”. Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lai niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”. Và trong chương I điều 5 có ghi “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên”. Đứng trước nhu cầu đó đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục đào tạo, dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của phương pháp dạy học cũ như: Thuyết trình tràn lan, GV cung cấp kiến thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi phát hiện. Thầy áp đặt, trò thụ động, thiên về dạy, yếu về học, không kiểm soát được việc học. Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy học, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 với những tư tưởng chủ đạo được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau như “Lấy học sinh làm trung tâm”, “Phương pháp dạy học theo hướng tích cực”,“Tích cực hoá hoạt động dạy và học”. Đây là một hướng đổi mới PPDH được đông đảo các nhà nghiên cứu, các nhà lí luận và các Thầy cô giáo quan tâm. Việc vận dụng phương pháp này vào dạy học môn toán còn gặp rất nhiều hạn chế, còn có những vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể. Trong các vấn đề đó có vấn đề dạy học giới hạn ở trường THPT. Trong giải tích toán học thì khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm. Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng nó chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá…nó đòi hỏi phẩm chất tư duy như : Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Mặt khác giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình giới hạn chiếm một thời gian rất ít nên việc nắm vững lí thuyết và vận dụng vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn, HS gặp không ít lúng túng sai sót khi làm bài tập. Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: “Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh ở trường THPT trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay. Vận dụng các biện pháp đó vào phần dạy học giới hạn ở lớp 11 sách giáo khoa Đại số và Giải tích ban cơ bản,nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn toán ở trường THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Tìm hiểu cơ sở lí luận về dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh + Nghiên cứu thực trạng của học sinh khi dạy học giới hạn + Đề xuất những biện pháp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh khi dạy học giới hạn. + Thực nghiệm sư phạm, thăm dò ý kiến, kiểm tra tính khả thi của đề tài. IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh khi dạy học nội dung giới hạn thì sẽ làm cho học sinh hứng thú, chủ động, tích cực học tập, nắm vững kiến thức và phương pháp giải toán giới hạn. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán. + Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp. + Nghiên cứu SGK Đại số - Giải tích lớp 11 ban cơ bản và sách tham khảo. + Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học giới hạn ở trường THPT. + Thực nghiệm sư phạm. VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN + Mở đầu + Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn + Chương 2 : Dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng phát huy tích cực hoạt động học tập của học sinh + Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm + Kết luận. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tính tích cực học tập của học sinh 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực Theo V.O.Kôn “Khi nói đến tính tích cực, chúng ta quan niệm là mong muốn hành động được nảy sinh một cách không chủ định và gây nên những biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”. Theo I.kodak : “Tính tích cực nhận thức được thể hiện bằng nhiều biểu hiện như sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng mạnh mẽ, sự phân tích tổng hợp sâu sắc”. Theo I.F.Kharlamôp: “Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể nghĩa là người hành động. Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt động đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức” và “Sự học tập là trường hợp riêng của nhận thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng hơn và thực hiện được dưới sự chỉ đạo của giáo viên”. Vì vậy khi nói đến tính tích cực của nhận thức là nói đến tính tích cực học tập. Cũng có những ý kiến cho rằng: “Tính tích cực học tập và tính tích cực nhận thức có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất, tính tích cực học tập là hình thức bên ngoài của tính tích cực nhận thức”. Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tính tích cực nhận thức là thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự huy động ở mức độ cao chức năng tâm lí, nhằm giải quyết vấn đề học tập nhận thức. Nó là mục đích hoạt động, là phương tiện, là điều kiện để đạt được mục đích,đồng thời là kết quả của hoạt động học tập. Nó là phẩm chất nhân cách một thuộc tính của quá trình nhận thức,làm cho quá trình nhận thức luôn đạt kết quả cao giúp cho con người có khả năng học tập không ngừng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS đòi hỏi phải có nhân tố, tính lựa chọn thái độ với đối tượng nhận thức, đề ra cho mình mục đích nhiệm vụ cần giải quyết sau khi đã lựa chọn đối tượng, cải tạo đối tượng trong hoạt động sau này nhằm giải quyết vấn đề. Hoạt động mà thiếu những nhân tố trên thì chỉ có thể nói: Đó là sự thề hiện trạng thái, hành động nhất định của con người mà không thể nói là tính tích cực của nhận thức. Ví dụ: Khi ngồi trong lớp học, GV có thể theo yêu cầu của HS là:Trật tự,đọc sách, nhìn lên bảng, nghe giảng, ghi chép đầy đủ.Tuy nhiên nếu chỉ dừng ở đó, HS tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Bởi vì HS không thể hiện thái độ cải tạo đối với những điều đã nghe thấy, họ không hề động não, không có ý định suy ngẫm mối liên hệ giữa điều thấy được, nghe được với điều họ đã biết và tìm ra dấu hiệu mới sau này. Ngược lại nếu HS chăm chú nghe giảng đào sâu suy nghĩ, chủ động tiếp cận kiến thức mới, thể hiện ở chỗ hăng hái phát biểu, biết nhận xét đúng sai khi nghe các ý kiến của các HS khác thì có thể nói rằng HS đó đã tích cực hoạt động học tập. Như vậy tính tích cực là kết quả của quá trình tư duy là mục đích cần đạt được của quá trình dạy học. Có 3 mức độ tư duy khác nhau. + Tư duy tích cực: HS chăm chú nghe giảng để hiểu bài.Nghiêm túc thực hiện các yêu cầu của GV. + Tư duy độc lập: HS tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm, phân tích định lý…Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra HS chịu khó tự suy nghĩ tìm tòi cách giải quyết. + Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở cái chỗ đã biết mà tìm tòi giải pháp mới hoặc tự khám phá vấn đề. Ba mức độ tư duy được biểu diễn bằng ba đường tròn đồng tâm,do đó khi soạn bài GV cần quan tâm đến cả 3 mức độ tư duy, nâng cao hay hạ thấp một cách linh hoạt tuỳ thuộc vào đối tượng HS cụ thể. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Trong hoạt động học tập tính tích cực của nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, giúp HS hướng sự chú ý của mình vào hoạt động học tập, bồi dưỡng trí tò mò khoa học và lòng ham hiểu biết, hình thành nhu cầu nhận thức. Vì thế HS có thể sẵn sàng dồn hết sức lực trí tuệ để hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập. 1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực Hoạt động của HS,tuỳ theo việc huy động chủ yếu những chức năng tâm lý nào và mức huy động những chức năng tâm lý đó, mà tính tích cực học tập của HS được phân hoá theo các cấp độ khác nhau. Theo G.I.Sukina trong học tập tính tích cực được phân ra thành ba cấp độ khác nhau. + Tính tích cực tái hiện và bắt trước: Là tính tích cực chủ yếu dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện xuất hiện do các tác động bên ngoài (Các yếu tố bắt buộc của giáo viên). Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt trước theo mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của tư duy. Loại này thường phát triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ trung bình và dưới trung bình. Nhưng nó lại là tiền đề cơ bản giúp HS nắm được nội dung bài giảng có điều kiện nâng tính tích cực cao lên. Ví dụ 1: Để giúp học sinh biết cách giải một dạng bài tập, GV có thể giải một bài tập mẫu lên bảng, HS dựa vào bài tập mẫu để giải quyết các bài tập tương tự cùng dạng đó. + Tính tích cực tìm tòi: Là tính tích cực đi liền với quá trình lĩnh hội khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,…Nó được được trưng bằng sự bình phẩm, phê phán, tìm tòi tích cực về mặt nhận thức, về sáng kiến, lòng khát khao hiểu biết, hứng thú học tập và được thể hiện ở sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả. Tính tích cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của GV. Trong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 giờ học.loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những HS có lực học trung bình và trên mức trung bình.( khá, giỏi). Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán, người học không chỉ dừng lại ở việc giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất, đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi. + Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất nó được đặc trưng bằng sự khẳng định con đường riêng của mình không giống con đường mà con người đã thừa nhận, đã trở thành chuẩn hoá,để đạt được mục đích. Nó thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm tòi kiến thức mới. Tự tìm ra những phương thức hành động riêng trong đó có các cách thức giải quyết mới mẻ, không dập khuôn máy móc. Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo ở việc cố gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều phương pháp khác nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau. Đối với học sinh THPT các em đang ở lứa tuổi hội tụ đầy đủ các yếu tố tâm lý, thể lực, khả năng làm việc độc lập có lòng khao khát thể hiện bản thân có ý thức tích luỹ kiến thức để phục vụ cuộc sống sau này.Điều cần thiết là phải vươn lên tới mức độ tìm tòi và sáng tạo đặc biệt là học sinh khá giỏi. Dựa vào các cấp độ khác nhau của tính tích cực học tập của HS, GV có thể đánh giá tính tích cực ở mỗi HS khi học tập, tuy nhiên sự đánh giá đó còn tương đối khái quát. Do vậy để nhận biết học tập của HS có tích cực hay không người GV thông qua một số dấu hiệu nhận biết sau: 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết tính tích cực trong hoạt động học tập + Dấu hiệu về hoạt động nhận thức: Thể hiện ở các thao tác tư duy,ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành kỹ năng kỹ xảo các câu hỏi nhận thức của HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 + Dấu hiệu chú ý nghe giảng: Thể hiện ở chỗ chú ý nghe giảng, thực hiện đầy đủ các yêu cầu của GV, hoà nhập với không khí của cả lớp,giải đáp đầy đủ các yêu cầu của GV đưa ra nhanh chóng,chính xác và nhận biết đúng sai sau khi bạn đưa ra ý kiến. + Dấu hiệu về tinh thần,tình cảm học tập: Thể hiện qua sự say mê sốt sắng của HS khi thực hiện yêu cầu mà GV đặt ra: HS thích được trả lời câu hỏi, HS làm bài tập một cách hồ hởi tự nguyện. + Dấu hiệu về ý chí,quyết tâm học tập: Thể hiện ở sự nỗ lực ý trí giải quyết nhiệm vụ học tập, kiên trì tìm tòi đến cùng và cao hơn nữa là vạch ra được mục tiêu kế hoạch học tập. + Dấu hiệu về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến thức nhanh chóng chính xác và tái hiện được khi vận dụng trong các tình huống cụ thể. Ngoài các dấu hiệu dễ nhận biết như trên còn có các dấu hiệu khác khó nhận biết hơn như dấu hiệu nhận thức cảm tính dấu hiệu nhận thức lý tính, dấu hiệu sự biến đổi sinh lý tinh thần, dấu hiệu về trạng thái hoạt động …Vì vậy để có thể điều chỉnh phương pháp của mình sao cho phù hợp với đối tượng HS, người GV cần phải thu nhận các thông tin ngược từ học sinh. Tính tích cực học tập của học sinh tuy nảy sinh trong quá trình học tập nhưng nó lại là kết quả của nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân được phát sinh trong lúc học tập, có nguyên nhân được hình thành trong quá khứ, thậm chí từ lịch sử lâu dài của nhân cách, nhưng nhìn chung tính tích cực trong hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào các yếu tố sau: 1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh + Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của HS, khi HS có hứng thú với đối tượng nào đó, họ thường hướng toàn bộ quá trình nhận thức của mình vào đối tượng, làm cho sự quan sát tinh nhậy hơn, ghi nhớ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 nhanh chóng và lâu bền, tưởng tượng phong phú, tư duy tích cực góp phần nâng cao tính tích cực học tập của HS. Hứng thú phát triển đến mức độ nào đó sẽ biến thành nhu cầu, HS thấy cần phải hành động để thoả mãn hứng thú đó và hành động hết sức tự giác , đầy sáng tạo mang lại hiệu quả cao. Với vai trò đó, khi được củng cố và phát triển một cách có hệ thống hứng thú đó sẽ trở thành cơ sở của thái độ tích cực đối với học tập, là một trong những động cơ quan trọng nhất của HS. + Nhu cầu: Nhu cầu và hành động có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhu cầu thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính tích cực học tập. Có những lúc, nhu cầu là nguyên nhân nẩy sinh những hứng thú trực tiếp trong học tập (Ví dụ như nhu cầu được điểm tốt). Nhưng quan trọng hơn là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức vào thực tiễn, điều đó sẽ kích thích được HS thường xuyên hoàn thiện bổ xung tri thức trong quá trình học tập cũng như trong công việc lao động. + Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra trong tình huống cụ thể. Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát được mở rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua mọi khó khăn. Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã được học sinh ý thức trở thành động lực tâm lý nội tại, có tác dụng phát huy mọi sức mạnh về tinh thần và vật chất ở người HS, thúc đẩy họ học tập một cách tích cực. Đồng thời động cơ học tập với tư cách là mục đích sẽ quy định chiều hướng tâm lý của hoạt động học tập. + Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh hội với tốc độ nhanh, tức là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng hợp cao với tính mềm dẻo của tư duy. + Ý chí: Một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con người là ý chí, ý chí giúp con người vượt qua mọi khó khăn, đi sâu vào nhận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 thức các quy luật khách quan, tức là một biểu hiện của tính tích cực. Ngược lại có tình cảm học tập và một số mặt tự phát của tính tích cực như: Tò mò yêu thích hoạt động sẽ kích thích được HS có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS.Vì vậy ý chí có sự liên hệ chặt chẽ với tính tích cực của học tập. + Sức khoẻ: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của HS, người có sức khoẻ, thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn trạng thái vui tươi, cường độ hoạt động học tập cao, tập chung chú ý được lâu bền. + Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính tích cực của nhận thức của HS, góp phần tạo cho HS những hứng thú học tập. 1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh Trong luật giáo dục 1998 chương 1 điều 2 quy định “Mục tiêu của giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Và chương 2 mục 2 điều 23 nêu rõ: “Giáo dục THPT nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS hoàn thiện học vẫn phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học lên đại học và cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”. Bên cạnh đó nhiệm vụ cơ bản của trường THPT là đảm bảo cho HS lĩnh hội cơ sở khoa học một cách tích cực, tự giác và có hệ thống Để thể hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ trên trong toàn ngành giáo dục cần có một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học một chiều sang dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, làm cho “học” là quá trình kiến tạo HS tìm tòi khám phá,phát hiện nguyên nhân, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm chất.Tổ chức hoạt động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 cho học sinh là dạy cho HS cách tìm ra chân lý chú trọng hình thành các năng lực. Dạy tri thức phương pháp và kỹ thuật khoa học, dạy cách học, học để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển của xã hội 1.2 Phân tích thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT 1.2.1 Thuận lợi - Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tức là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới. - Phân biệt rõ cho HS hiểu được khái niệm và chứ không trình bầy chung chung là như SGK cũ. - Các khái niệm giới hạn 0 giới hạn vô cực của dãy được đưa vào theo con đường quy nạp. Cụ thể qua các hoạt động khái niệm được mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó định nghĩa tổng quát dưới dạng mô tả làm cho HS dễ hiểu vấn đề hơn. - Các bài tập trong SGK tuy ít nhưng đa dạng, phong phú phù hợp với trình độ học sinh. 1.2.2. Khó khăn Kiến thức: - Đây là một trong những chương khó của giải tích ở THPT. Các khái niệm về giới hạn, hàm số liên tục là hoàn toàn mới mẻ, trừu tượng đối với HS THPT. - Cách tiếp cận khái niệm cũng khác trước đây, trong thời gian ngắn của phân phối chương trình HS khó có thể hiểu một cách thấu đáo mọi vấn đề. - Trong chương trình SGK không đưa quy tắc tìm giới hạn dạng vô định dẫn tới khó khăn cho GV khi dạy phần này. - Việc vận dụng quy tắc ở SGK rất khó, HS dễ nhầm khi gặp giới hạn dạng này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Về tư duy: Trong các quá trình giải các bài toán về giới hạn đòi hỏi HS phải vận dụng linh hoạt các quy tắc các phép biến đổi đại số, điều này không phải HS nào cũng làm được. Phương pháp: Khi học phần này HS đôi khi phải sử dụng đến phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá… để làm công cụ học tập. Khả năng phân tích tổng hợp, so sánh trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn tới việc học giới hạn còn gặp không ít khó khăn. Kỹ năng: Đối với HS đã chọn học ban cơ bản thì kỹ năng biến đổi đại số còn rất hạn chế dẫn tới tính giới hạn không đúng. 1.2.3. Sai lầm thường mắc phải của học sinh + Sai lầm khi áp dụng sai định lý Ví dụ 1: Khi tính 2 2 2 1 1 1 lim( ... ) 1 2n L n n n n Học sinh làm như sau: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim( ... ) 1 2 1 1 1 lim lim ... lim 1 2 0 0 ... 0 0 n n n n L n n n n n n n n Vậy HS sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì? Sai lầm ở chỗ học sinh hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn.định lý này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này tổng là vô hạn nên không thể áp dụng định lí đó được Lời giải đúng là 2 2 2 1 1 1 n n n k n với k = 1,2, ..., n 2 2 1 1 1 1 n kn n n k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Mà 2 1 1 lim lim 1 1 1 n n L n n n Vậy 2 1 1 lim 1 n n k L n k + Sai lầm do biến đổi đại số Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2 2 4 lim 2x x x Học sinh giải như sau: 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim lim( 2) 4 2 2x x x x x x x x x Lời giải trên là chưa chính xác do học sinh coi 2 2x x với mọi x Lời giải đúng là: 2 2 2 ( 2) 2 x khi x x x khi x Tức là khi 2x thì 2 ( 2)x x Khi 2x thì 2 ( 2)x x Để xem giới hạn khi 2x có tồn tại không ta tính các giới hạn: 2 2 4 lim 2x x x và 2 2 4 lim 2x x x ta có 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim 4 2 2x x x x x x x 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim 4 2 ( 2)x x x x x x x Ta thấy 2 2 2 2 4 4 lim lim 2 2x x x x x x vậy không tồn tại giới hạn. 2 2 4 lim 2x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 + Sai lầm khi học sinh tìm giới hạn bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 3: Tính 0 2 1 1 lim x x x Học sinh giải như sau: Đặt 2 2 12 1 2 1 2 t t x t x x Vậy 2 0 0 0 2 1 1 1 2 lim lim lim 2 1 1 2 x t t x t tx t Vậy HS sai lầm ở chỗ sau khi biến x chuyển sang biến t học sinh chưa tìm giới hạn cho biến t Lời giải đúng là : đặt 2 2 12 1 2 1 2 t t x t x x khi 0x thì 1t Vậy 2 0 1 1 2 1 1 1 2 lim lim lim 1 1 1 2 x t t x t tx t + Sai lầm của học sinh khi gặp giới hạn vô cực Ví dụ 4: Tìm 2 1 lim 2x x x Học sinh tính như sau: lim(2 1)2 1 lim 1 2 lim( 2) x x x xx x x Lời giải ở trên sai lầm ở chỗ +Áp dụng định lý về các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn +Học sinh chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số cụ thể mà chỉ là ký hiệu. Lời giải đúng là : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 1 1 1 (2 ) 2 lim(2 ) 2 1 lim lim lim 2 2 1 12 (1 ) 1 lim(1 ) x x x x x x x x x x x x x x x Ví dụ 5: Tính 2lim( 1 ) x x x Học sinh giải như sau: 2 2lim( 1 ) lim 1 lim 0 x x x x x x x Lời giải trên sai ở chỗ HS coi là một số cụ thể nên áp dụng định lý các phép toán về giới hạn hữu hạn và thực hiện phép toán =0 một cách bình thường. Lời giải đúng là 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim( 1 ) lim 1 1 lim 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x + Sai lầm khi không hiểu rõ khái niệm giới hạn một phía Ví dụ: Cho hàm số 1 íi x > 1 ( ) 1 2 íi x < 1 x v f x x v Tìm 1 lim ( ) x f x Học sinh làm như sau: 1 1 1 1 1 1. 1 lim ( ) lim lim lim 1 0 1 1x x x x x x x f x x x x Lời giải trên sai ở chỗ khi viết 1x tức là 1x và 1x Vậy lời giải đúng là 1 1 1 1 1 1. 1 lim ( ) lim lim lim 1 0 1 1x x x x x x x f x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 1 1 lim ( ) lim2 2 x x f x Vì 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x Nên không tồn tại 1 lim ( ) x f x Như vậy những sai lầm phổ biến của HS khi làm các bài tập về giới hạn thường xuất phát từ chỗ các em chưa nắm vững lý thuyết. Kỹ năng biến đổi đại số chưa thành thạo, khả năng vận dụng tri thức chưa cao. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động, trong đó ._. học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh. Tính tích cực nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của HS, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức. Tính tích cực học tập được nhận biết qua những dấu hiệu về nhận thức, xúc cảm, ý trí …và chia thành ba cấp độ : tính tích cực tái hiện và bắt chước,tính tích cực tìm tòi,tính tích cực sáng tạo. Muốn HS hoạt động học tập một cách tích cực,người GV cần thiết phải thúc đẩy được các yếu tố như :hứng thú,nhu cầu,động cơ,năng lực,… cho HS. Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kỹ năng giải toán của HS nói chung cũng như kỹ năng giải bài tập về giới hạn nói riêng còn gặp rất nhiều hạn chế. Để khắc phục tình trạng này,trong chương II của luận văn đề cập tới vấn đề dạy học giới hạn lớp 11 theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Chƣơng 2 DẠY HỌC GIỚI HẠN LỚP 11 THPT THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 2.1. Mục tiêu của dạy học giới hạn lớp 11 THPT Khi dạy học chủ đề này GV phải làm cho HS nắm vững được các nội dung sau: + Các khái niệm về giới hạn của dãy số, của hàm số + Các định lí, tính chất về giới hạn của dãy số, hàm số + Các quy tắc phương pháp tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn một bên của dãy số, hàm số. + Học sinh biết cách vận dụng các định nghĩa, tính chất,định lí, quy tắc để làm các bài tập về giới hạn và giải các bài toán thực tế trong đời sống. + Qua chủ đề này, rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi đại số, lượng giác. Rèn luyện tính tự giác, tích cực, độc lập phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức. Trong hoạt động học tập, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán. 2.2 Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn 2.2.1.Dạy học khái niệm. Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học ở bất kỳ bộ môn nào ở trường THPT, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững trắc cho HS một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề để xây dựng cho HS khả năng vận dụng kiến thức đã học. Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng rất lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần phát triển thế giới quan cho HS. Việc dạy học khái niệm toán nói chung và dạy khái niệm giới hạn nói riêng cần phải làm cho HS dần dần đạt được các yêu cầu sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 + Nắm vững được các đặc điểm, đặc trưng cho một khái niệm + Biết nhận dạng khái niệm. + Biết phát hiện một cách chính xác, rõ ràng định nghĩa của một số khái niệm. + Biết vận dụng khái niệm trong các tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tế. + Biết phân loại khái niệm và nắm vững được nội dung quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong cùng một hệ thống khái niệm. Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chắt chẽ với nhau nhưng tùy từng khái niệm mà đặt ra các yêu cầu khác nhau. Chẳng hạn đối với khái niệm giới hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi làm bài tập. Còn đối với khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải nêu được khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm, một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể. Từ trước tới nay, giới hạn vẫn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với học sinh THPT. Do vậy GV, cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm. Đó là khâu đầu tiên, trong quá trình hình thành khái niệm giới hạn. Thông thường,trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm bao gồm: Con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết. Tùy theo từng khái niệm cụ thể, mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm khác nhau. Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau: + Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số. (1) Dãy (un) với 1 un n (2) Dãy (un) với 1 n un n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 (3) Dãy (un) với 1 ( 1) un n n (4) Dãy (un) với 2 1n un n (5) Dãy (un) với 6 1n un n (6) Dãy (un) với 3 1 5 2 n un n + Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng ? + GV hướng dẫn HS nhận xét : Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1), (2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của dãy (5) gần bằng 6, các số hạng của dãy (6) gần bằng 3 2 . Sau khi đã cùng học sinh quan sát và nhận xét, GV hoặc HS có thể đưa ra định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số. Qua ví dụ trên,GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp. Quá trình này chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa của khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng trong dạy học khái niệm là củng cố khái niệm. Trong hoạt động củng số khái niệm thường được tiến hành bằng các hoạt động sau: + Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm : Đây là hai dạng hoạt động theo hai chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho vận dụng khái niệm. Sau khi học xong khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, HS làm bài tập sau: Bài tập 1 : CMR 2 lim 1 1 5 n (Nhận dạng ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Bài tập 2 : Cho 1 2n un tìm lim(un) ( Thể hiện ) + Hoạt động ngôn ngữ : Tức là GV cho HS phát biểu định nghĩa bằng lời lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau, phân tích nêu bật những ý quan trọng chứa trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng. Hoạt động này góp phần phát triển ngôn ngữ cho HS. Ví dụ 2: Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số theo các cách như sau: Cách 1 : Dãy (un) được gọi là có giới hạn a nếu khoảng cách từ un đến a càng dần tới 0 khi n càng lớn. Cách 2 : Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm cho un sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ lớn. Cách 3: Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây được thoả mãn: Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm cho nu a miễn là chọn n đủ lớn. Cách 4: Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn : Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý đều tồn tại N sao cho với mọi n >N ta đều có nu a Cách 5: lim ( 0); ,( )n nu a N n N u a + Khái quát hóa đặc biệt hóa và hệ thống hóa Ví dụ 3: Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở rộng ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái niệm giới hạn một phía. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Ví dụ 4 : Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy Giới hạn của hàm số. + Phân chia khái niệm Khi dạy học khái niệm giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau: Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS thấy rõ không phải dãy số nào, hàm số cũng có giới hạn Ví dụ 5: Dãy số (un) với un = (-1) n . dãy này không có giới hạn vì khi biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số ta thấy nếu n chẵn thì un = 1 và nếu n lẻ thì un = -1. Ví dụ 6: Cho hàm số x +1 f(x) = x x hàm số này cũng không có giới hạn khi x 1 2.2.2. Dạy học định lí về giới hạn. “ Dạy học những mệnh đề thực chất là các định lý toán học dù cho nó có được nêu thành định lý trong sách giáo khoa hay không”, Với quan điểm trên thì các công thức, các hệ thức toán học cũng là các định lý. Giới hạn Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực Giới hạn tại vô cực Giới hạn hữu hạn Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Nếu x >1 Nếu x <1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Các định lý, cùng với các nội dung toán học tạo thành các nội dung cơ bản của môn toán,làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng suy luận, chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, việc dạy học định lý toán học nói chung và định lý về giới hạn nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau: + Học sinh phải nắm được, hệ thống các định lý và mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào những hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. + Học sinh thấy được, sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng, trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học + Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bầy chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ,để tìm ra cách chứng minh Việc dạy định lý toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này được minh họa như sau: Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra Con đường có khâu suy đoán Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý Con đường suy diễn Gợi động cơ phát biểu vấn đề Chứng minh định lý Phát biểu định lý Củng cố định lý Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện, mà tùy theo mỗi nội dung của định lý và tùy theo điều kiện cụ thể của HS, mà lựa chọn con đường nào cho thích hợp. Chẳng hạn, khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm bài tập sau: Bài tập 1: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) với lim un = lim wn = L và n n nu v w Hãy tìm limvn ? HS có thể giải như sau: Xuất phát từ giả thiết n n nu v w suy ra 0 n n n nv u w u *n N Theo định lý về giới hạn ta có Lim (wn- un) = Limwn – Lim un = L- L = 0 Nên Lim (vn – un) = 0 Do đó Lim vn = Lim [(vn- un )+ un] = Lim(vn – un ) + Lim un = 0 + L = L Vậy Lim vn = L. Từ bài toán trên HS có thể suy diễn dẫn tới phát biểu thành định lý sau: Định lý: Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) nếu *n N ta có n n nu v w và Limwn = Lim un = L thì Lim vn = L. n n nu v w Sau khi phát biểu xong định lý GV cho HS vận dụng định lý để giải bài toán sau L Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Bài toán 2 Tìm 3sin 4cos lim 1 n n n Giải : Học sinh nhận xét 2 2 2 2 2(3sin 4cos ) (3 4 )(sin ) 25n n n cos n 3sin 4cos 5 5 3sin 4cos 5n n n n vì n+ 1 > 0 *n N nên 5 3sin 4cos 5 1 1 1 n n n n n Mà 5 5 lim lim 0 1 1n n nên 3sin 4cos lim 0 1 n n n Trong việc dạy học định lý cũng như dạy học khái niệm việc phát triển ngôn ngữ cho HS là không thể thiếu được. GV cần cho học sinh phát biểu định lý dưới nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như : Dạng công thức, dạng mệnh đề có liên từ. “ Nếu – thì”. Ví dụ 1: Từ định lý ở sách giáo khoa là : “Giả sử 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M khi đó 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Ta có thể cho HS phát biểu như sau: “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Từ định lý này có thể khái quát thành định lý sau: “Nếu 0 1 1lim ( ) x x f x M , 0 2 2lim ( ) x x f x M …, 0 lim ( )n n x x f x M (M1, M2…Mn R) thì 0 1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n n x x f x f x f x M M M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 hoặc cũng từ định lý “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M ” Ta có thể đặc biệt hóa như sau: Nếu f(x) = a và g(x) = x k thì 0 0 0lim ( ). ( ) lim( . ) . k k x x x x f x g x a x a x Khi dạy định lý cho HS cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý, tránh những sai lầm đáng tiếc Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2 1 2 lim 1x x x x Khi gặp bài toán này, không thể áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn của một hàm số được vì 1 lim( 1) 0 x x vi phạm điều kiện ( ) 0g x trong định lý. Hoặc sau khi học xong định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các mệnh đề đó có đúng không. Ví dụ 3: Xét xem mệnh đề sau có đúng không : Nếu hai dãy số( Un ) và ( Vn )đều không có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn . Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì : Xét 2 dãy số Un = (-1) n và Vn = (-1) n+1 ta thấy rằng(U n )và (Vn )đều không có giới hạn nhưng Lim(Un+Vn) = lim[(-1) n + (-1) n+1 ] = lim 0 = 0 Như vậy hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể có giới hạn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 2.2.3 Dạy học quy tắc Thực ra quy tắc không hoàn toàn đối lập với định nghĩa định lý có khi nó chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay một định lý. Tuy nhiên việc dạy loại hình này có những nét riêng. Trong luận văn này đề cập dạy học quy tắc để tìm giới hạn dựa trên khái niệm thuật giải. Hằng ngày, con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán,từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái niệm này được dùng từ lâu kéo dài suốt mấy nghìn năm lịch sử toán học. Thuật giải, theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước. Ví dụ 1: Khi dạy cho HS quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, GV có thể hướng dẫn HS làm như sau: Gọi h(x) = f(x).g(x) Để tính 0 lim ( ). ( ) x x f x g x ta tính Bước 1: Tính 0 lim ( ) x x f x , 0 lim ( ) x x g x Bước 2: Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Trong quá trình dạy học, ta cũng gặp một số quy tắc, tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực, khi chỉ dẫn hành động và giải toán, đó là những quy tắc tựa thuật giải. Ví dụ 2: Khi gặp giới hạn dạng 0 0 ( biểu thức có chứa căn) Ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp sau đó tính giới hạn bình thường Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải có một số điều cần lưu ý sau: + Nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho HS nắm vững được nội dung từng bước và trình tự thực hiện từng bước quy tắc đó. + Cần trình bầy rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian thích hợp. Ví dụ 3: Khi tính giới hạn 2 1 1 lim 1x x x Bước 1: Nhận dạng giới hạn Ta thấy 2 1 lim( 1) 0 x x và 1 lim( 1) 0 x x Giới hạn có dạng 0 0 Bước 2: Khử dạng 0 0 + Phân tích x 2 -1 = (x-1)(x+1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 + Giản ước 2 1 ( 1)( 1) 1 1 1 x x x x x x Bước 3: áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính 2 1 1 1 lim lim( 1) 2 1x x x x x + Cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu trong thuật giải, hoặc quy tắc tựa thuật giải, nếu chủ thể không biết thực hiện các chỉ dẫn như vậy thì dù có thuộc quy tắc tổng quát cũng không áp dụng nó vào trong trường hợp cụ thể. Ví dụ 4: Khi tính 3lim ( 2 ) x x x Nếu HS không biết phân tích (x 3 -2x) thành 3 2 2 (1 )x x thì mặc dù có thuộc công thức cũng không tính được giới hạn. Hoặc khi tính 1 2 3 lim 1x x x . Nếu học sinh không biết là 1 lim( 1) 0 x x và x - 1 < 0 khi x < 1 Thì cũng không áp dụng được quy tắc tìm giới hạn. + Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước. + Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS. Ví dụ 5: Ta biết khi tính giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức chứa căn đồng bậc thì ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp. Dựa vào điều đã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 biết đó học sinh có thể phát triển tư duy thuật giải cho trường hợp giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức có chứa căn không đồng bậc chẳng hạn như : Tìm 0 ( ) ( ) lim ( ) m n x x f x g x h x Cùng với thuật giải và tựa thuật giải ta không được lãng quên một số quy tắc và phương pháp có tính chất tìm đoán như : Quy lạ về quen, khái quát hóa trừu tượng hóa… Hiện nay, quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường, trong điều kiện đó những quy tắc phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường. + Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động. + Tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta mong muốn họ biết thực hiện Những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn rằng sẽ dẫn tới thành công. Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS mềm dẻo, linh hoạt biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng ngại, nếu HS không thành công khi áp dụng quy tắc, phương pháp nào đó. Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phát hiện ra sự nhầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công. Đó chính là học phát hiện và giải quyết vấn đề. Đó chính là cách học, một yêu cầu căn bản đối với mục tiêu và phương hướng dạy học hiện nay. 2.2.4. Dạy học giải bài tập giới hạn, các dạng bài tập về giới hạn. 2.2.4.1. Vai trò của bài tập giới hạn Bài tập giới hạn có vai trò rất quan trọng trong bộ môn giải tích ở THPT. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 như: Nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những hoạt động ngôn ngữ… Khi dạy bài tập giáo viên cần phải hướng tới mục tiêu dạy học là: + Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo, những khâu khác của quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng giới hạn vào thực tiễn. + Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất của con người lao động mới. Những bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động liên hệ với nội dung nhất định một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã trình bày trong lý thuyết. Phương pháp dạy học bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. 2.2.4.2.Các yêu cầu đối với lời giải. Khi giải các bài tập về giới hạn yêu cầu phải có lời giải tốt tức là: + Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả bước trung gian. + Lập luận chắt chẽ + Lời giải đầy đủ + Ngôn ngữ chính xác + Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Ngoài ra còn có yêu cầu dành cho học sinh khá giỏi là: + Tìm ra nhiều lời giải, chon lời giải ngắn gọn hợp lý nhất. + Nghiên cứu sâu lời giải. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Trên đây là các yêu cầu đối với các câu hỏi tự luận, bốn yêu cầu đầu tiên là cơ bản, hai yêu cầu cuối dành cho học sinh khá giỏi, yêu cầu thứ 5 là yêu cầu về trình bầy. Ví dụ 1: Khi giải bài tập tính giới hạn. lim2 2 2 2 ... 2nG HS giải như sau : Ta biết: 2 2 2 2. 2 2 2 4 2 cos cos nên 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2(1 ) 4 2 2 2 2 2 cos cos cos cos Tương tự suy ra 2 2 2 ... 2 = 2. 2n cos ( n-1 dấu căn) Do đó 2 2 2 ... 2 = ( n dấu căn) = 2 1 1 2 2 2(1 ) 4sin 2.sin 2 2 2 2n n n n cos cos Vậy 1 1 1 1 1 sin 2lim2 .2sin lim(2 .sin ) lim 2 2 2 n n n n n n G Lời giải trên đã đảm bảo được 5 yêu cầu đó là lời giải tốt. Ví dụ 2:Tìm giới hạn 2 30 2 lim 4x x H x x Học sinh giải như sau: Ta có 2 30 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 44x x x x x H x x xx x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Ta thấy lời giải trên chưa tốt vì nó vi phạm yêu cầu 1 và 3 của lời giải, sai lầm ở bước trung gian về biến đổi đại số dẫn tới kết quả sai. Lời giải đúng là 2 30 0 2 2 lim lim 44x x x x H x xx x Xét x > 0 thì 1 0 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 4 4x x x x x H x x x x x Xét x < 0 thì 2 0 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 ( ) 4 4x x x x x H x x x x x Ta thấy 2 3 2 30 0 2 2 lim lim 4 4x x x x x x x x Vậy không tồn tại giới hạn 2 30 2 lim 4x x H x x Trong thực tế dạy toán, tuỳ từng đối tượng mà dạy cho các em giải nhiều bài toán cùng một phương pháp hoặc hướng dẫn cho HS giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho học sinh tăng cường tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ để tìm ra các lời giải mới. Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: 6 2 2 lim 6x x x Cách 1 : Nhân và chia cả tử và mẫu với 2 2x ta có 6 6 6 2 2 ( 2 2)( 2 2) lim lim 6 ( 6)( 2 2) 2 4 1 lim 4( 6)( 2 2) x x x x x x x x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử Ta có 6 6 6 2 2 ( 2 2) 2 2 1 lim lim lim 6 ( 2) 4 4( 2 2)( 2 2)x x x x x x x x x x Cách 3 :đặt ẩn phụ ( Đổi biến số) đặt 2t x 2 20, 2 2t t x x t khi 6x thì 2t Vậy 26 2 2 2 2 2 2 1 lim lim lim 6 4 ( 2)( 2) 4x t t x t t x t t t Cách 4 : Dựa vào định nghĩa đạo hàm đặt ( ) 2 2f x x 1 1 '( ) '(6) 42 2 f x f x và ( ) 6g x x '( ) 1 '(6) 1g x g Ta có 6 6 6 2 2 ( ) '( ) 1 lim lim lim 6 ( ) '( ) 4x x x x f x f x x g x g x 2.2.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải các bài toán về giới hạn và các dạng bài tập giới hạn Hiện nay một bộ phận của GV khi dạy học giải bài tập toán học chỉ đơn thuần là cung cấp cho HS lời giải của bài toán. Với cách dạy đó không phát huy được các chức năng của bài tập toán học.Vấn đề đặt ra là dạy học như thế nào để HS có khả năng giải được các bài toán đó.Trong chương trình toán phổ thông có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải.Đối với những bài toán đó,có thể hướng dẫn HS suy nghĩ cách tìm tòi lời giải :nên bắt đầu từ đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào,nếu gặp khó khăn thì nên làm gì.v v...Chúng ta biết rằng không có phương pháp tổng quát nào,không có thuật toán nào để giải mọi bài toán. Chỉ có thể thông qua dạy HS giải một số bài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 toán cụ thể, dần dần truyền cho các em kinh nghiệm, nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ,giúp họ tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác.Với ý nghĩa đó, để tổ chức các hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập toán GV hình thành cho HS về cách thức giải bài toán theo bốn bước của G.Polya là : Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài. Bước 2: Tìm cách giải. Bước3: Trình bày lời giải. Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Khi dạy bài tập về giới hạn GV có thể phân dạng bài tập từ đó tìm ra phương pháp chung để giải mỗi dạng đó,cụ thể khi dạy phần bài tập về giới hạn GV có thể phân chia một cách tương đối thành các dạng sau: Dạng 1: Sự tồn tại của giới hạn Bài tập 1: CMR dẫy số Un = (-1) n không có giới hạn Bài tập 2 :CMR Hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 2 2 2 ( ) 1 1 x x f x x x x Bài tập 3: Cho hàm số 1 ( ) sinf x x và xét giới hạn của hàm số khi x dần tới 0 qua 2 dãy số xn sau dây: a. 1 nx n Xét limf(xn) b. 1 2 2 nx n Xét limf(xn) c. Có kết luận gì về 0 1 limsin x x Với x>1 Với x<1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Để làm được bài toán trên HS phải nắm vững định nghĩa giới hạn, các định lý về sự tồn tại giới hạn. Phương pháp: Dựa vào định nghĩa, định lý và các tính chất của giới hạn Dạng 2: Dạng xác định của giới hạn Đây là dạng bài tập chứng minh giới hạn bằng định nghĩa, tìm giới hạn bằng cách áp dụng trực tiếp định lý, các quy tắc.. Bài tập 1: Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng: 1 lim 1 2 n n Bài tập 2: Tính các giới hạn sau: a. 2 1 lim(4 2) x x x b. 1 3 1 lim 2x x x Bài tập 3: Tính giới hạn : 3sin 4cos lim 1 n n n Bài tập 4: Tính giới hạn: 2 sin3 lim x x x Phương pháp: Dựa vào định nghĩa định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số, sử dụng nguyên lý kẹp, sự biến thiên của hàm số Dạng 3: Các dạng vô định thƣờng gặp Giới hạn có dạng “vô định” ( dạng chưa xác định) là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản vì nó vi phạm các điều kiện của định lý Vấn đề đặt ra là muốn sử dụng được các định lý về giới hạn thì ta phải “khử” dạng vô định và biến chúng thành dạng xác định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Trong chương trình lớp 11 THPT các dạng vô định thường gặp là các giới hạn có dạng: 0 , , ,0. ... 0 Để giải bài tập giới hạn dạng vô định thì việc đầu tiên HS cần phải làm là nhận dạng giới hạn. Giả sử cho 0 lim x x x f x I g x Nếu 0 lim ( ) 0 x x x f x và 0 lim ( ) 0 x x x g x thì I có dạng giới hạn 0 0 Nếu 0 lim ( ) x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì I có dạng giới hạn Nếu 0 lim ( ) x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì 0 lim ( ) ( ) x x x f x g x có dạng giới hạn Nếu 0 lim ( ) 0 x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì 0 lim ( ). ( ) x x x f x g x có dạng giới hạn 0. Ta khử các dạng này như sau: + Đối với giới hạn có dạng 0 0 Trường hợp 1 Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích chúng thành các nhân tử tức là 0 0 0 0 1 1 01 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x f x x x f x f xf x I g x x x g x g x g x (Nếu limg1(x) 0 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Nếu 1 0 1 0( ) ( ) 0f x g x thì ta lại tiếp tục phân tích 1 0 2( ) ( ). ( )f x x x f x 1 0 2( ) ( ). ( )g x x x g x Quá trình khử dạng 0 0 là quá trình khử các nhân tử chung 0( ) kx x , quá trình này sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn gk(x) 0 Khi đó 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) k k x x x x k kx x f x f x f x I g x g x g x Bài tập1: Tìm giới hạn 2 2 4 lim 2x x M x Giải : + Nhận dạng giới hạn; 2 2 2 lim( 4) lim( 2) 0 x x x x vậy giới hạn có dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim lim( 2) 4 2 2x x x x x x M x x x Bài tập2 : Tìm giới hạn 4 3 2 4 21 2 5 3 1 lim 3 8 6 1x x x x x L x x x Bài tập 3: Tìm giới hạn 0 1 sin 2 2 lim 1 sin 2 2x x cos x L x cos x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Khi gặp giới hạn này yêu cầu HS phải có tri thức về phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đa thức, kỹ năng biến đổi lượng giác. Trường hợp 2 Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức đại số có chứa căn thức bậc 2 hoặc căn thức bậc 3 ở tử hoặc mẫu thì ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp nhằm loại các nhân tử (x-x0) ra khỏi căn thức Tìm lượng liên hợp bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức a 2 – b 2 = ( a-b)( a+b) 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b Bài tập 4: Tìm giới hạn 2 20 1 1 lim x x x + Nhận dạng giới hạn : dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 ( 1 1)( 1 1) 1 1 1 lim lim lim 2( 1 1) ( 1 1)x x x x x x x x x x x x Bài tập 5: Tìm giới hạn sau: a. 3 3 1 2 1 lim 1x x x x b. 3 4 2 1 3 lim 2x x x Bài tập 6: Tìm giới hạn sau 23 1 1 lim 1x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Cách 1 + Nhận dạng : giới hạn có dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 23 3 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1x x x x x x x x x x x x (Học sinh là tương tự như bài tập 4 và bài 1) Cách 2 : Đặt 33t x t x khi 1 1x t Vậy 2 6 3 3 53 3 21 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 lim lim lim 1 1 ( 1)( 1) 3x t t x x x t t t t t t x t t t t Nhận xét + Ở BT4 hàm số chỉ chứa 1 căn thức nên ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu với 1 biểu thức liên hợp + Ở bài 5 hàm số chứa hai căn thức ở tử và mẫu do vậy ta phải nhân cả tử và mẫu với 2 biểu thức liên hợp của cả tử và mẫu + Ở bài tập 6 đây là dạng khác các dạng trên ta phải dùng phép biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng quen thuộc ( quy lạ về quen) Trường hợp 3 Nếu f(x) hoặc g(x) là biểu thức có chứa căn không đồng bậc Giả sử ( ) ( ) ( )m nf x u x v x với 0 0( ) ( ) m nu x v x C , g(x0) = 0 Ta có thể sử dụng phương pháp chèn hằng số để quy lạ về quen 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) m n m n x x x x x x u x v x u x c v x cf x g x g x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 0 0 ( ) ( ( ) ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x u x c v x c g x g x Các giới hạn trên là dạng quen thuộc TH1 đã biết cách giải Bài tập 7: Tìm giới hạn 3 21 7 3 lim 3 2x x x x x . Sử dụng phương pháp trên Nhận xét Đối với các bài toán không ở dạng quen thuộc thì cần phải linh hoạt trong biến đổi để đưa nó về dạng đã biết cách giải, biến bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản. Trường hợp 4 Khử dạng 0 0 bằng đạo hàm (Sau khi học xong chương đạo hàm ở lớp 11) Trong trường hợp giới hạn có dạng 0 0 mà biểu thức của giới hạn cồng kềnh phức tạp, việc áp._.= 12 và lim nV vì 2008lim12.( 2)n nên lim( . )n nU V vậy phải chăng nếu limUn = a > 0 và lim nV thì lim( . )n nU V Học sinh nêu dự đoán của mình Gv nhận xét và khẳng định người ta đã chứng minh được rằng Định lý 2: + Nếu LimUn = a và lim nV thì lim 0n n U V + Nếu LimUn = a >0 và limVn = 0 , Vn > 0 với mọi n ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 86 thì lim n n U V + Nếu lim nU và limVn = a > 0 thì lim( . )n nU V HS Đọc lại một lần nữa định nghĩa Hoạt động 5: Củng cố định lý Phát biểu lại định lý theo cách khác a .Trong giới hạn của một thương nếu tử số có giới hạn là một hằng số và mẫu số có giới hạn là vô cực thì giới hạn thương đó bằng 0 b.Nếu tử số có giới hạn là 1 hằng số, mẫu số có giới hạn là 0 thì thương có giới hạn vô cực c.Trong 1 tích nếu thừa số thứ nhất có giới hạn là 1 hằng số và số thứ 2 có giới hạn vo cực thì tích có giới hạn vô cực. Ví dụ 1: Tìm 2 5 lim .3n n n GV: Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? vì sao Ta chưa áp dụng được định lý 2 vì nó không thỏa mãn được điều kiện của định lý là cả tử và mẫu đều có giới hạn vô cực, Làm thế nào để áp dụng được định lý Chia cả tử và mẫu cho n ta được 5 2 2 5 lim lim 0 .3 3n n n n n ( Vì 5 lim(2 ) 2 n và lim(3)n ) Nêu các bước tính giới hạn trên Bước 1 Chia cả tử và mẫu cho n ( Vì tử có chứa n 1 và là lũy thừa bậc cao nhất) Bước 2 : áp dụng định lý 2 ? ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 87 Ví dụ 2 Tìm giới hạn Lim(n 2 – 2n - 1 ) Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? Vì sao? Chưa áp dụng được định lý 2 vì đây là giới hạn của một tổng mà 2limn và lim2n Làm thế nào để áp dụng được định lý 2 Trong định lý 2 chỉ phát biểu cho giới hạn của một tích và 1 thương vậy ta đưa giới hạn trên về giới hạn của 1 tích Ta có: 2 2 2 2 1 lim( 2 1) lim .(1 )n n n n n Vì 2limn và 2 2 1 lim(1 ) 1 n n Nêu các bước tính giới hạn trên ? Bước 1 : Đặt thừa số chung, đưa giới hạn về dạng giới hạn của 1 tích Bước 2 : áp dụng định lý 2 Hoạt động 6: Củng cố toàn bài Hãy nêu sự khác biệt giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số - Đối với giới hạn hữu hạn : Khi n tăng các điểm biểu diễn của Un chụm lại quanh điểm 0 - Đối với giới hạn vô cực : Khi n tăng thì các điểm biểu diễn của Un trên trục số đi ra xa mai theo chiều dương hoặc chiều âm. GV Chú ý : + Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau + Không được áp dụng định lý 1 về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực ? ! ? ! ! ? ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 88 + Một dãy số bất kỳ có thể có giới hạn hữu hạn hoặc giới hạn vô cực hoặc không có giới hạn Ví dụ dãy số (Un) vơi Un = (-1) n (n+1) là dãy không có giới hạn Dụng ý sƣ phạm : Bằng sự kết hợp nhiều phương pháp dạy học. Bài soạn thể hiện tình huống dạy học khái niệm và dạy học định lý.Với hoạt động tiếp cận khái nệm theo con đường quy nạp HS tự hình thành được khái niệm một cách tự nhiên không gò ép.GV giúp HS khắc sâu định nghĩa bằng cách thực hiện các ví dụ củng cố. Thông qua các câu hỏi ở hoạt động 4 giúp HS phát hiện và dự đoán định lý.Trong hoạt động 5 củng cố định lý GV không những giúp HS khắc sâu định lý mà còn trang bị cho các em tri thức phương pháp khi làm bài tập giới hạn Tiết 54 BÀI TẬP A . Mục đích Mục đích sư phạm Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Nhằm củng cố kiến thức và kỹ năng về các vấn đề sau; + Tìm giới hạn của các dãy số (un) bất kỳ + Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn B. Chuẩn bị của Giáo viên và học sinh 1. Học sinh : Làm trước bài tập giáo viên cho về nhà 2. Giáo viên : Chuẩn bị câu hỏi và bài tập, máy chiếu bảng phụ, máy tính điện tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 89 C. Hoạt động dạy học Kiểm tra bài cũ : hãy điền Đ (đúng), S ( sai) vào ô trống Thứ tự Câu hỏi Đáp án 1 Ta nói rằng dãy (Un) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi 2 Ta nói rằng dãy số Un có giới hạn là số thực a nếu tồn tại giới hạn lim (Un – a ) 3 Dãy số (Un) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi nU có giới hạn là 0 4 Dãy q; q 2 ; q 3 ;.. có giới hạn là 0 5 Giả sử limUn = a và limVn = b ta có lim n n U a V b 6 Giả sử lim nU và lim nV ta có lim(Un –Vn) = 0 7 Giả sử limUn =a và lim nV thì lim n n U V Kiểm tra: Tình hình làm bài làm bài tập về nhà Bài mới Hoạt động 1: Luyện tập các bài toán chứng minh một dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 1 (121SGK) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu kỳ bán rã) Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n a.Tìm số hạng tổng quát Un của dãy (Un) b.CMR (Un) có giới hạn là 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 90 c.Từ kết quả của câu b chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài Đây là bài toán thể hiện ứng dụng thực tế của khái niệm giới hạn đối với môn học khác Em hiểu thế nào là giả thiết của bài toán? + Có 1 kg chất phóng xạ độc hại + T = 24.000năm là một chu kỳ + Sau 1 chu kỳ thì một nửa chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không còn độc hại đối với sức khỏe con người. Bước 2 Tìm cách giải + Phải lập được một dãy số ứng với giả thiết của đề bài : Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n + Tìm số hạng tổng quát Un của (Un) theo quy nạp + Dựa vào ĐN giới hạn để chứng minh sau 1 năm nào đó khối lượng của chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người. Bước 3: Trình bày lời giải + Ta gọi U1 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ nhất + Ta gọi U2là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ hai 2 1 4 U + Ta gọi U3 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ ba 3 1 8 U + Ta gọi U4 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ tư 4 1 16 U ………………………………………………….. Như vậy dãy số cần lập là 1 1 1 1 ; ; ; ;...;... 2 4 8 16 ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 91 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được số hạng tổng quát của dãy số là 1 2 n n U Vậy số hạng tổng quát của dãy (Un) là 1 2 n n U + Ta có : 1 lim lim 0 2 n n U vì theo tính chất lim 0nq do 1q + Ta biết rằng chất phóng xạ không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 9 1 10 10 g kg Theo b ta thấy limUn = 0 nên 0nU khi n tức là 1 2 n n U có thể bé hơn 1 số dương bé tùy ý kể từ 1 số hạng nào đó trở đi. Nghĩa là sau 1 năm ứng với chu kỳ này khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với sức khỏe con người nữa. Tức là muốn cho 9 1 1 2 10n ta cần chọn 0 92 10 n chẳng hạn n0 = 36 thì 2 36 = 16 9 > 10 9 vậy sau chu kỳ thứ 36 ( sau 36 x 24.000 = 864.000 năm) chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của chất phóng xạ còn lại. Bài 2 Cho dãy số ( Un) với 3 5 n n U n Chứng minh rằng limun = 3 Giải Theo định nghĩa 3 5 5 3 3n n U n n vậy 5 lim( 3) lim 0nU n vậy limun = 3 Nêu phương pháp tổng quát để giải dạng bài tập 2 Muốn chứng minh Limun = a ta thực hiện các bước sau: Bước 1 :Tính un- a ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 92 Bước 2 :Tìm lim(un – a) nếu lim(un = a) = 0 thì limun = a Hoạt động 2: Tìm giới hạn của một dãy số Bài 3 (121 SGK) Tìm các giới hạn sau: a. 6 1 lim 3 2 n n b. 2 2 3 5 lim 2 1 n n n c. 3 5.4 lim 4 2 n n n n d. 29 1 lim 4 2 n n n Giải b.Chia cả tử và mẫu cho n 2 ta được 2 2 2 2 1 5 3 3 5 3 lim lim 12 1 2 2 n n n n n n c. 3 5 3 5.4 4 lim lim 5 4 2 2 1 4 n n n nn n Ý a và d làm tương tự Hãy nêu phương pháp giải bài tập trên Đối với giới hạn có dạng ( ) ( ) P n Q n + Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất có mặt ở tử và mẫu + áp dụng định lý 1 để tìm giới hạn Theo phương pháp trên có thể đoán được giới hạn của dãy số không? đối với giới hạn có dạng ( ) ( ) P n Q n với P(n) có bậc m, P(n) = a1n m + a2n m-1 + …+am với P(n) có bậc q, Q(n) = b1n q + b2n q-1 + …+bq ? ! ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 93 Nếu m > q thì ( ) lim ( ) P n Q n Nếu m = q thì 1 1 ( ) lim ( ) aP n Q n b Nếu m < q thì ( ) lim 0 ( ) P n Q n Điều này rất cần thiết khi giải các bài toán trắc nghiệm Bài 4: Tính các giới hạn sau a. lim(n 3 + 2n 2 -n +1) c. 3 2 3 2 1 lim 2 n n n n b. lim(-n 2 + 5n -2 ) d. 32 lim 3 2 n n n Giải a. 3 2 3 2 3 2 1 1 lim( 2 1) lim (1 )n n n n n n n vì 3limn và 2 3 2 1 1 lim(1 ) 1 n n n nên lim (n 3 + 2n 2 -n +1) = b. 2 2 2 5 2 lim( 5 2) lim( )(1 )n n n n n vì 2lim( )n , 2 5 2 lim(1 ) 1 n n Nên lim(-n 2 + 5n -2 ) = c. 3 2 3 2 2 2 1 3 3 2 1 lim lim 2 12 n n n n n n n n vì 2 3 2 1 lim(3 ) 3 n n và 2 2 1 lim( ) 0 n n nên 3 2 3 2 1 lim 2 n n n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 94 d. 3 2 2 3 1 2 2 lim lim 3 23 2 n n n n n n vì 2 1 lim( 2 ) 2 0 n và 2 3 3 2 lim( ) 0 n n và 2 3 3 2 0 n n nên 32 lim 3 2 n n n Từ bài toán trên và từ định lý 2. hãy tìm quy tắc để tính giới hạn của 1 tích, thương hai dãy số Nếu lim nu và limvn = L khác 0 thì limun.vn được tính như sau limun Dấu của L limun.vn + - + - Nếu limun = L khác 0 và limvn = 0 thì lim n n u v được cho trong bảng sau Dấu của L Dấu của vn lim n n u v + + + - - + - - ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 95 Hoạt động 3: Dựa vào giới hạn để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau Bài 5: Tính tổng sau: a. 1 2 1 1 1 ( 1) 1 ... ... 10 10 10 n n S b. 2 2 1 1 1 ... 22 1 2 2 S Nhận xét các số hạng của tổng. Tìm q a.Ta thấy 2 1 1 1 ( 1) 1; ; ;...; ;... 10 10 10 n n lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 1 10 q b.Ta thấy 2 1 1 1 ; ; ;... 22 1 2 2 lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với 2 2 2 q Tính tổng của cấp số nhân đó + 1 ( 1) 10 1 11 1 10 S + 2 ( 2 1) 4 3 2 2 2 2 1(1 ) 2 S Bài tập về nhà: tr 60 - 61 Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trên thể hiện tình huống điển hình trong dạy bài tập. Mỗi dạng bài bập GV ngầm truyền thụ cho HS tri thức phương pháp giải dạng đó.Với hoạt động 1 GV hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán theo gợi ý của Pôlya. Đồng thời qua bài tập làm cho HS thấy được ứng dụng của giới hạn để giải các bài toán thực tế đời sống. ? ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 96 Tiết 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.Mục tiêu 1. Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy quy tắc theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh. 2. Kiến thức + Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vô cực + Các giới hạn đặc biệt + Các quy tắc về giới hạn vô cực 3. Kỹ năng + Biết áp dụng quy tắc để tìm giới hạn vô cực 4. Thái độ: Tự giác tích cực trong hoạt động học tập B. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh 1. Học sinh Học và làm bài tập về nhà Đọc trước phần III giới hạn vô cực của hàm số 2. giáo viên Chuẩn bị hình vẽ, các câu hỏi, phiếu học tập, máy chiếu và các đồ dùng khác C. Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Đảm bảo trình độ xuất phát Tìm giới hạn của các hàm số sau: a. 2 17 lim 1x x b, 1 3 2 lim 7 1x x x c. 24 1 lim 1x x x Giải a. 2 17 lim 0 1x x ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 97 b, 1 3 2 5 lim 7 1 6x x x c. 24 1 lim 1x x x ta thấy hàm số 24 1 ( ) 1 x f x x không có giới hạn hữu hạn khi x GV hàm số 24 1 ( ) 1 x f x x khi x được gọi là có giới hạn vô cực. Vậy thế nào là hàm số có giới hạn vô cực khi x 1. Định nghĩa Hoạt động 2 :Tiếp cận khái niệm GV Cho học sinh quan sát đồ thị của hàm số y = x 3 – 3x +1 Khi x thì y dần tới bao nhiêu? Khi x thì y dần tới bao nhiêu? Khi x thì y dần tới Khi x thì y dần tới GV: Khi đó ta nói rằng hàm số y = x 3 – 3x +1 có giới hạn là khi x và có giới hạn là khi x Vậy thế nào là giới hạn vô cực của hàm số Giáo viên Nhận xét và bổ xung câu trả lời của học sinh, chính xác hóa định nghĩa HS: nêu định nghĩa Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) có giới hạn là khi x Nếu dãy số (xn) bất lỳ, xn > a, nx ta có ( )nf x Ký hiệu lim ( ) x f x hay ( )f x khi x GV Nhận xét lim ( ) lim ( ( )) x x f x f x ? ! ? 3 -1 1 2 0 -2 x y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98 Hoạt động 3: Củng cố khái niệm Hãy phát biểu định nghĩa tương tự cho các trường hợp giới hạn vô cực khác Chứng minh rằng 3lim ( 1) x x Thật vậy + TXĐ D = R + Cho dãy (xn) bất kỳ; nx khi n Ta có 3 3 3 1 ( ) ( ) 1 (1 )n n n n f x x x x 3 3 1 lim ( )1 lim( (1 ))n n n f x x x Vậy 3lim ( 1) x x 2. Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa có thể xẩy ra a, lim k x x b, lim k x x nếu k lẻ c, lim k x x nếu k chẵn 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực Hoạt động 4: Hình thành quy tắc giới hạn vô cực của một tích GV chia lớp thành 4 nhóm Mỗi nhóm hoàn thành 1 phiếu học tập Nhóm 1 Nhóm 2 ? ! Phiếu 1 Cho hàm số f(x)= (x 3 – 2x) a.Tìm giới hạn của f(x) khi x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 99 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 GV Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút Cử đại diện trình bày lời giải HS: Nhóm 1 a. 3 3 2 2 lim ( ) lim ( 2 ) lim (1 ) x x x f x x x x x Vì 3lim x x và 2 2 lim (1 ) 1 0 x x Vậy đặt f(x) = x 3 và 2 2 ( ) 1g x x ta có lim ( ). ( ) x f x g x Nếu lim ( ) x f x và lim ( ) 0 x g x a thì lim ( ). ( ) x f x g x Các ý còn lại HS nhận xét tương tự GV Qua VD trên ta rút ra được quy tắc tìm giới hạn vô cực của tích f(x).g(x) Phiếu 3 Cho hàm số f(x) = 5x- x 5 a.Tìm giới hạn của lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Phiếu 4 Cho hàm số f(x) = 5x- x 5 a.Tìm giới hạn của lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Phiếu 2 Cho hàm số f(x)= (x 3 – 2x) a.Tìm giới hạn của f(x) khi x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 100 Nếu 0 lim ( ) 0 x x f x L 0 lim ( ) x x g x ( hoặc ) thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x được tính như bảng sau: HS điền vào bảng 0 lim ( ) x x f x 0 lim ( ) x x g x 0 lim ( ). ( ) x x f x g x L > 0 L < 0 Hoạt động 5: Hình thành quy tắc giới hạn vô cựu của thương ( ) ( ) f x g x GV Phát phiếu học tập Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Cho hàm số 5 1 ( ) 2 x f x x a.Tìm 2 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Cho hàm số 5 1 ( ) 2 x f x x a.Tìm 2 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Cho hàm số 5 ( ) 1 x f x x a.Tìm 1 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 101 Nhóm 4 Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút Cử đại diện trình bầy lời giải GV Nhận xét bổ xung nếu cần Từ các ví dụ cụ thể ta có thể rút ra quy tắc tìm giới hạn vô cực cho thương ( ) ( ) f x g x Quy tắc: Nếu 0 lim ( ) 0 x x f x L và 0 lim ( ) x x g x (hoặc ) hoặc 0 lim ( ) 0 x x g x . Thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x được tính như trong bảng sau 0 lim ( ) x x f x 0 lim ( ) x x g x Dấu của g(x) 0 ( ) lim ( )x x f x g x L > 0 0 + 0 - L < 0 0 + 0 - L Tùy ý 0 Hoạt động : Củng cố VD a. tìm 1 2 3 lim 1x x x b. 1 2 3 lim 1x x x Giải a. 1 2 3 lim 1x x x do 1 lim( 1) 0, 1 0, 1 x x x x Cho hàm số 5 ( ) 1 x f x x a.Tìm 1 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 102 và 1 lim(2 3) 1 0 x x b 1 2 3 lim 1x x x vì do 1 lim( 1) 0, 1 0, 1 x x x x và 1 lim(2 3) 1 0 x x Bài tập về nhà: Bài 7,8.9 (SGK) Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy học quy tắc.Với cách tổ chức hoạt động của HS đa dạng phù hợp với nội dung bài dạy và kết hợp các phương pháp dạy học khác nhau làm cho HS tự giác tích cực trong hoạt động học tập. Hoạt động 1nhằm tạo cho HS tình huống gợi vấn đề. Hoạt động 2, giúp HS tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực một cách trực quan dựa vào hình vẽ, dẫn tới định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Hoạt động 4,5 GV sử dụng phương pháp hợp tác theo nhóm nhỏ chia lớp thành 4 nhóm cùng thảo luận để hoàn thành phiếu học tập của nhóm. Thông qua các bài tập cụ thể đó HS tổng kết thành các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Tiết 57 : BÀI TẬP A. Mục tiêu Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập giới hạn hàm số theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh. + Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các định lý, quy tắc để tìm giới hạn của hàm số với thái độ tự giác, tích cực học tập B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh HS làm bài tập về nhà GV Chuẩn bị bài tập câu hỏi gợi mở, bảng biểu, máy chiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 103 C.Hoạt động dạy học Hoạt động 1 : Bài 1: Tính các giới hạn sau a. 2 3 1 lim 1x x x b. 2 1 lim(3 2 1) x x x Học sinh đứng tại chỗ nêu cách làm a. 2 3 1 8 lim 4 1 2x x x b. 2 1 lim(3 2 1) 6 x x x Nêu các bước làm bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn của dạng bài tập trên Cho hàm số f(x) xác định trên K, x0 thuộc K khi đó 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x Hoạt động 2: Bài 2: Tính các giới hạn sau a. 2 2 4 lim 2x x x b. 6 3 3 lim 6x x x HS đứng tại chỗ giải : Nêu các bước giải bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn của 2 dạng bài tập trên Với ý a ta thấy khi tử số dần tới 0, mẫu dần tới 0 Vậy giới hạn có dạng 0 0 + Phân tích đa thức thành tích, đơn giản với mẫu + Tính giới hạn như bài tập 1 Vậy với bài toán tổng quát có dạng 0 ( ) lim ( )x x P x Q x ? ! ? ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104 mà 0 0 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x P x Q x Ta làm như sau: Bước 1 Phân tích đa thức tử và mẫu 0 1 0 1 ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( ) x x P xP x Q x x x Q x Bước 2 0 1 1 ( ) lim ( )x x P x Q x GV Nhận xét Tổng kết thành phương pháp tìm giới hạn dạng 0 0 đối với hàm ( ) ( ) P x Q x ý b ta thấy khi x dần tới 6 thì tử số dần tới 0 và mẫu số dần tới 0 6 6 6 3 3 ( 3 3)( 3 3) lim lim 6 ( 6)( 3 3) 1 1 lim 63 3 x x x x x x x x x x Nêu các bước giải dạng bài trên, từ đó rút ra phương pháp giải cho từng loại bài tập này Bài tập trên có dạng 0 0 đối với hàm chứa căn bậc hai Bước1: Nhân chia với biểu thức liên hợp Bước 2: Đưa về dạng bài tập 1 Bài 3: (Bài tập đề nghị) Tìm 3 1 7 3 lim 1x x x x (Giành cho học sinh khá giỏi) Gọi học sinh đứng tại chỗ giải ? ! ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 105 Ta có 3 3 1 1 3 1 1 7 3 ( 7 2) ( 3 2) lim lim 1 1 7 2 3 2 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x x Cách giải 2 bài này tương tự như bài 2 ý b Nêu cách giải bài 3 tù đó suy ra phương pháp giải chung cho dạng bài tập này Phương pháp : Đối với dạng bài toán tìm 0 0 ( ) ( )( ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x U x V xf x g x G x với 0 ( ) ( ) ( ) 0 m nU x V x c g x Ta làm như sau 0 0 0 0 ( ( ) ) ( ( ) )( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x m n x x x x U x c V x cf x I g x G x U x c V x c G x G x Tính giới hạn trên như bài tập 2 Hoạt động 3: Bài 4 : Tìm giới hạn a. 2 2 5 6 1 lim 2 1x x x x b. lim ( 1 ) x x x Giải: a. 2 2 5 6 1 5 lim 2 1 2x x x x làm tương tự như đối với dãy số ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 106 ( 1 )( 1 ) lim ( 1 ) lim 1 1 lim 0 1 x x x x x x x x x x x x x c. 2 2 1 lim ( 1 ) lim 21 1 1 x x x x x x x Nêu cách giải ý b và c bài tập trên, từ đó suy ra phương pháp cho các dạng bài tập này Cách giải ý b và c Phương pháp + Đối với giới hạn có dạng b ta làm như sau : biến đổi đưa về dạng nhân và chia với lượng liên hợp.. + Đối với giới hạn dạng 0. ta làm như sau: Biến đổi đưa về dạng Nhân và chia với lượng liên hợp Hoạt động 4: Củng cố: Dùng bảng phụ hướng dẫn HS cách tìm giới hạn dạng vô định một cách tổng quát. Bài tập về nhà: Bài 3,4,5 (sgk), Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy bài tập.Với mỗi hoạt động GV hướng dẫn HS giải bài tập cụ thể đồng thời qua bài tập cụ thể đó HS phát hiện ra tri thức phương pháp để giải các bài toán cùng dạng.Với mục đích chính của giờ dạy là trang bị chính thức phương pháp để giải bài tập giới hạn dạng vô định. 3.3. Tổ chức thực nghiệm ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 107 + Đối tượng thực nghiệm; Là học sinh gồm 2 lớp 11D và 11E của trường THPT Trại cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên. lớp 11E làm lớp thực nghiệm còn lớp 11D làm lớp đối chứng, theo khảo sát trình độ nhận thức của 2 lớp là tương đương + Tiến hành thực nghiệm : Quá trình thực nghiệm được tiến hành theo đúng phân phối chương trình và theo sự xắp xếp của nhà trường để đánh giá kết quả thực nghiệm, ngoài việc quan sát lớp học, trao đổi ý kiến với các giáo viên dự giờ, cả 2 lớp cùng làm bài kiêm tra 1 tiết Nội dung như sau: Đề kiểm tra 45 phút A.Trắc nghiệm ( 4 điểm) Câu 1: Tính 3 3 2 2 5 3 lim 3 n n n n ta được kết quả sau A. 3 B. C, 3 2 D. 2 3 Câu 2: Tính 2 1 2 3 lim 1x x x x ta được kết quả là A. 2 B. -2 C, 1 D. kết quả khác Câu 3 : Tính 1 4 1 lim 2x x x được kết quả là A. 4 B. 1 2 C, 3 D. -3 Câu 4: Tính 1 3 1 lim 1x x x kết quả là A. 3 B. -1 C, D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 108 B: Tự luận (6 điểm) Câu 5 : Tính tổng 1 1 9 3 1 ... 3 9 S Câu 6: Tính các giới hạn sau a. 3 2lim ( 2 1) x x x x b. 2 2 4 2 16 lim 2x x x x Câu 7: Tính a. lim ( ( 1 ) x x x x b. 23 2 1 3 lim 1 1x x x x 3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.4.1 Đánh giá định lượng Kết quả học tập của HS trong quá trình thử nghiệm được thể hiện trong bảng sau: Điểm Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 1 Tần số (n=40) Tần xuất (%) Tần số (n= 43) Tần xuất (%) 0 2 4,7 2 1 2,5 3 6,9 3 1 2,5 5 11,6 4 4 10 6 14,0 5 8 20 13 30,2 6 7 17,5 5 11,6 7 7 17,5 2 4,7 8 5 12,5 4 9,43 9 3 7,5 2 4,7 10 4 10 1 2,3 Khá giỏi 19 47,5 9 20,9 Tb trở lên 34 85 27 62,8 Yếu kém 6 15 16 37,2 6,4 5,0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 109 Từ kết quả trên cho thấy + Tỷ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt TB trở lên cao hơn nhiều so với lớp đối chứng chênh lệch là 22,2% + Tỷ lệ học sinh khá giỏi lớp thực nghiệm cũng cao hơn lớp đối chứng, chênh lệch là 26,6% + Điểm trung bình của lớp đối chứng là 5,0 chênh lệch 1,4 điểm so với lớp thực nghiệm. Như vậy nếu dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh làm cho học sinh quen với tác phong làm việc độc lập, tự giác, tích cực, nắm trắc kiến thức từ đó dẫn tới kết quả học tập sẽ cao hơn. 3.4.2. Đánh giá định tính - Qua các giờ dạy, phần giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh cho thấy + Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn vị kiến thức trong bài, điều đáng kể là các em không những hiểu bài mà còn phát biểu được các khái niệm về giới hạn, các định lý về giới hạn, các quy tắc để làm bài tập về giới hạn. + Thông qua các hoạt động học sinh bị cuốn hút vào các công việc học tập, tạo cho học sinh lòng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dạy khả năng tiềm ẩn của mỗi học sinh + Việc sử dụng phương pháp và phương tiện dạy học hợp lí đã tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả năng của mỗi học sinh. + Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn toán hơn, đặc biệt là kiến thức về giới hạn 3.5 Kết luận chung về thực nghiệm Qua việc đánh giá các kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy : Việc xây dựng phương án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 trường THPT Trại Cau theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã thu được những kết quả nhất định như: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 110 Học sinh phải làm việc nhiều hơn, suy nghĩ nhiều hơn, qua đó phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh. Giờ dạy tạo sự lạc quan, niềm vui hứng thú say mê học tập hơn nữa phẩm chất tư duy cũng được hình thành và phát triển tốt hơn, Như vậy qua thực nghiệm sư phạm cho thấy phương án dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh bước đầu có hiệu quả và có tính khả thi cao, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần giới hạn ở lớp 11 THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 111 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học giới hạn ở trường THP T theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”,có thể rút ra một vài kết luận sau: 1. Trong khoa học giáo dục nhà trường,dù ở thời điểm nào cũng cần có những biện pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,tự giác,chủ động,sáng tạo của HS. Nhờ đó mới có thể khuyến khích,khơi dậy nội lực của HS – là nguồn tài nguyên quý giá tiềm ẩn trong mỗi con người,mỗi dân tộc. 2. Luận văn đã hệ thống hóa được một số vấn đề cơ sở lý luận của việc dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. Làm sáng tỏ khái niệm tính tích cực hoạt động học tập của học sinh, các yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực, những biểu hiện của tính tích cực, qua đó thấy được sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh. 3. Luận văn đã nêu lên các tình huống điển hình trong dạy học và vận dụng tình huống đó vào dạy học giới hạn lớp 11 THPT. Đồng thời nêu lên năm biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 4. Luận văn đã trình bầy sự vận dụng các biện pháp trên vào xây dựng một số bài soạn giới hạn theo phân phối chương trình lớp 11(ban cơ bản) và đã tiến hành thực nghiệm sư phạm. Kết quả thực nghiệm cho thấy rằng luận văn có tính khả thi và có tác dụng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. Có thể kết luận rằng giả thiết khoa học của luận án là chấp nhận được. Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Hữu Bình: Kinh nghiệm dạy toán và học toán -NXB Giáo dục năm 1998. 2. Nguyễn Cam (Chủ biên)-ThS Nguyễn Văn Phước: Tuyển chọn 400 Bài tập Đại số và Giải tích 11 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội 3. Lương Mậu Dũng-Nguyễn Khắc Báu –Nguyễn Hữu Ngọc –Trần Hữu Nho-Lê Đức Phúc –Lê Mậu Thống: Rèn luyện kỹ năng giải bì tập trắc nghiệm Đại số và giải tích 11 -.NXB Giáo dục năm 2007 4. Nguyễn Hữu Điển: Sáng tạo trong giải toán phổ thông - NXB Giáo dục, năm 2002 5. Nguyễn Hữu Điển: Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông - NXB Giáo dục, năm 2002 6. Lê Hồng Đức (Chủ biên) - Đào Thiện Khải –Lê Bích Ngọc –Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán giải tích- NXB Giáo dục 7. Nguyễn Thị Lan Hương: Dạy học phương trình lượng giác ở trường trung học chuyên nghiệp theo hướng phát huy tính tích cực,chủ động của người học Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, Thái nguyên, năm 2005. 8. Trần Văn Hạo –Vũ Tuấn -Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên: Đại số và giải tích 11,sách giáo khoa thí điểm ban khoa học tự nhiên . NXB giáo dục năm 2004 9. Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học môn toán –NXB Đại học sư phạm, năm 2007. 10. Nguyễn Bá Kim: Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động (Sách bồi dưỡng thừng xuyên chu kỳ 1997 - 2000)-NXB Giáo dục, năm 1999 11. Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy – Phạm Văn Kiều: Phát triển lý luận trong dạy học môn toán –NXB Giáo dục, năm 1997 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 113 12. Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho Chương –Nguyễn Hạnh Cảng –Vũ Dương Thụy – Nguyễn Văn Thường: Phương pháp dạy học môn toán (phần II)- NXB Giáo Dục năm 1994 13. Nguyễn Bá Kim –Vương Dương Minh –Tôn Thân: Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh môn toán ở trường THCS - NXB Giáo dục năm 1998. 14. Phan Huy Khải –Nguyễn Đạo Phương: Các phương pháp giải toán đại số và giải tích 11- NXB Hà Nội 15. Trần Luận: Một hướng nghiên cứu triển khai dạy học nêu vấn đề vào thực tiễn - Tạp chí nghiên cứu giáo dục Số 4,1999. 16. Vương Dương Minh: Soạn bài dạy toán ở trương THPT theo hướng đổi mới phương pháp dạy học. Hội nghị tập huấn phương pháp dạy học toán PTTH Bộ giáo dục và đào tạo. 17. Trần Phương: Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán hàm số- .NXB Hà Nội 18. Đoàn Quỳnh (Chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm –Nguyễn Khắc Minh -Đặng Hùng Thắng: Đại số và giải tích 11 cơ bản, nâng cao-NXB Giáo dục, năm 2006 19. Lê Mậu Thống –Trần Đức Huyên –Lê Mậu Thảo: Phân loại và phương pháp giải toán đại số –giải tích .NXB Hà nội 20. Trần Vinh: Thiết kế bài giảng đại số và giải tích 11- NXB Hà Nội năm 2007. 21. Ô Kôn .V. Những cơ sở của dạy học nêu vấn đề – NXB Giáo dục, năm 1976 22. Khar la môp.I..F: Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế nào- NXB Giáo dục, năm 1979. ._.