Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường Phổ thông

an và cơng sức để giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ mơn didactic Tốn, giúp chúng tơi cĩ đủ hành trang để tiếp thu bộ mơn didactic Tốn này. Tơi cũng xin chân thành cảm ơn: − Ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh. − Ban chủ nhiệm và các giảng viên Khoa Tốn Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh. − Tất cả những học viên cùng khĩa đã giúp đỡ tơi học tập và nghiên cứu về bộ mơn didactic Tốn trong suốt khĩa học. − Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cơ trong tổ Tốn Trường THPT Bù Đăng đã tạo nhiều điều kiện và giúp đỡ tơi cĩ thời gian học tập và tiến hành nghiên cứu thực hành giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số của giáo viên. Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn tơi thực hiện và hồn thành luận văn này. Cuối cùng, tơi xin được chia sẻ niềm hạnh phúc đến những người thân yêu trong gia đình, những người đã và luơn động viên tơi trong suốt quá trình học tập. TƠI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN Lê Thành Đạt T DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT : Bài tập CLHN : Chỉnh lí hợp nhất CT : Chương trình GD & ĐT : Giáo dục và Đào tạo GV : Giáo viên HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thơng SGK : Sách giáo khoa SGK. M : Sách giáo khoa Mỹ SGK 11.CB : Sách giáo khoa 11 cơ bản SGK 11.CLHN : Sách giáo khoa 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 SGK 11.NC : Sách giáo khoa 11 nâng cao SGK 12.CB : Sách giáo khoa 12 cơ bản SGK 12.NC : Sách giáo khoa 12 nâng cao VD : Ví dụ ĐẶT VẤN ĐỀ  I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” (Nhĩm AHA, 1999), một câu hỏi được đặt ra : “ Giải tích tốn học là gì? ”. Theo các tác giả của Group AHA : “Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thơng qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đĩ phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài tốn tiếp tuyến, tiệm cận, diệ n tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng : cĩ thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), cĩ thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành vi tiệm cận) . Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn [ …]. Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực” Khẳng định này cũng được thể hiện một cách khá rõ ràng ở chương trình tốn học phổ thơng Việt Nam với vai trị là cơng cụ để nghiên cứu các khái niệm c ơ sở của Giải tích như : khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận … Trong chương trình hiện hành hồn tồn vắng mặt ngơn ngữ ( ); ε δ khi định nghĩa giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Bên cạnh đĩ chúng tơi ghi nhận sự cĩ mặt của những hoạt động và kiểu bài tốn xấp xỉ khi nghiên cứu khái niệm giới hạn trong bộ sách giáo khoa cơ bản, đồng thời máy tính bỏ túi được chương trình hiện hành sử dụng một cách chính thức để tính các giá trị gần đúng. Trong luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả đã xây dựng một đồ án didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong mơi trường máy tính bỏ túi với giả thuyết cơng việc : “Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo cĩ mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng ( ); ε δ : quan điểm xấp xỉ được xuất hiện nhờ các thực nghiệm số.” (trang 33) Trong thực tế dạy học ở trường phổ thơng, giáo viên và học sinh chắc chắn gặp nhiều khĩ khăn khi tổ chức dạy và học khái niệm giới hạn thơng qua các bài tốn xấp xỉ cĩ mặt trong chương trình hiện hành, vì đây là một trong những điểm mới so với các chương trình trước đĩ. Những nhận xét trên dẫn chúng tơi tới câu hỏi khởi đầu sau : - Nếu khơng sử dụng ngơn ngữ ( ); ε δ để định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, thì việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số được thể chế hiện hành tổ chức thực hiện như thế nào ? - Những bài tốn xấp xỉ nào được xuất hiện trong các sách giáo khoa hiện hành khi xây dựng và trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ? Những khĩ khăn và thuận lợi nào giáo viên và học sinh cĩ thể gặp phải khi làm việc trên những bài tốn này ? Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số được chương trình hiện hành sắp xếp trình bày một cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn của hàm số - giới hạn vơ cực của hàm số” thơng qua các hoạt động cụ thể để xây dựng và hình thành các khái niệm. Trong giới hạn về thời gian và khuơn khổ của một luận văn thạc sỹ và để nghiên cứu cĩ thể hồn thành tốt, chúng tơi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình vào khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. II. Khung lí thuyết tham chiếu Chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Tốn. Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Sau đây chúng tơi trình bày tĩm tắt những khái niệm lý thuyết cơ bản mà chúng tơi sử dụng cho nghiên cứu của mình trong luận văn. Một đối tượng O là một cái gì đĩ tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể chế. Một số yếu tố của thuyết nhân học – Những thuật ngữ cơ bản Quan hệ của cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O) là tập hợp những tác động qua lại mà X cĩ thể cĩ với O như: thao tác nĩ, sử dụng nĩ, nghĩ về nĩ, nĩi về nĩ, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời gian và hồn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này cĩ thể thay đổi. “Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển : những đối tượng trước đây khơng tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác ngừng tồn tại, đối với những đối tượng khác thì quan hệ các nhân của X thay đổi. Trong sự tiến triển này, cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người” (Chavallard 1992) Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nĩ chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nĩ đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. Thế nhưng, một cá nhân khơng thể tồn tại độc lập ở đâu đĩ mà luơn luơn phải ở trong ít nhất một thể chế I, từ đĩ dẫn đến việc thiết lập hay biến đổi mối quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đĩ cĩ sự tồn tại của X, như vậy giữa I và O cũng phải cĩ một quan hệ xác định gọi là quan hệ thể chế với đối tượng O, ký hiệu là R(I, O). Quan hệ này là một ràng buộc (thể chế) đối với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I và nĩ phụ thuộc vào vị trí mà cá nhân chiếm trong thể chể I. Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I cĩ với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đĩng vai trị gì trong I. Trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I, O). Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần Tổ chức tốn học [ ], , , T τ θ Θ trong đĩ : T là một kiểu nhiệm vụ phải giải quyết, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là cơng nghệ cho phép giải thích kỹ thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ , nghĩa là cơng nghệ của cơng nghệ θ . Một praxéologie mà trong đĩ T là kiểu nhiệm vụ tốn học được gọi là một tổ chức tốn học (organisation mathématique), ký hiệu là OM . Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O cĩ thể được tiến hành thơng qua nghiên cứu các tổ chức tốn học gắn liền với O. “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đĩ trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch. M và Chevallard Y., 1999). Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu các tổ chức tốn học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì : “ Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đĩ nĩ là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nĩ với đối tượng nĩi trên ”. Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đĩ kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nĩ là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “nghiên cứu tác phẩm O như thế nào ?”. Tổ chức didactic Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hỏi : • Làm thế nào để mơ tả và phân tích một tổ chức tốn học được xây dựng trong một lớp học cụ thể ? • Làm thế nào để mơ tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã triển khai để truyền bá một tổ chức tốn học cụ thể trong một lớp học cụ thể? Cơng cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ơng, dù khơng phải là mọi tổ chức tốn học đều được tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn cĩ một số những thời điểm nghiên cứu nhất thiết phải cĩ mặt cho dù dưới những hình thức rất khác nhau. Cụ thể, ơng cho rằng một tình huống học tập nĩi chung bao gồm 6 thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic (moment didactique). Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức tốn học OM được diễn ra dưới hình thức thơng báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể. Đĩ chính là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O. Sự gặp gỡ như vậy cĩ thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, cĩ một cách gặp (hay « gặp lại ») hầu như khơng thể tránh khỏi là cách gặp thơng qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ T i cấu thành nên O (trừ khi người ta chưa thực sự quan tâm đến việc nghiên cứu O). Sự « gặp gỡ lần đầu tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti • Cái gì được gặp trong lần gặp đầu tiên với tổ chức tốn học liên quan đến O? cĩ thể xảy ra qua nhiều lần tùy vào mơi trường tốn học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này, cụ thể : người ta cĩ thể khám phá lại một kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết rõ. Cĩ hai câu hỏi cần xem xét trong thời điểm này : • Lần gặp đầu tiên cĩ thể xảy ra dưới những hình thức nào? Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ T i và xây dựng nên một kỹ thuật τi Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng mơi trường cơng nghệ - lý thuyết [θ/Θ] liên quan đến cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này được diễn ra dưới các hình thức: giáo viên thơng báo kỹ thuật và học sinh giải quyết nhiệm vụ, học sinh tự xây dựng kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, … Như thế, nghiên cứu một bài tốn cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này lại là phương tiện và cơng cụ để giải quyết mọi bài tốn “cùng kiểu”. iτ , nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập. Thời điểm thứ tư : là thời điểm làm việc với kỹ thuật . Thời điểm này là thời điểm hồn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nĩ trở nên hiệu quả nhất, cĩ khả năng vận hành tốt nhất trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, điều này nĩi chung thường địi hỏi chỉnh sửa lại cơng nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đĩ. Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một số nhiệm vụ khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này địi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ. Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hĩa. Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài tốn liên quan đến kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật được ưu tiên giải, các yếu tố cơng nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đĩ, … Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức tốn học đã tham gia vào quá trình xây dựng này với những yếu tố của tổ chức tốn học thực sự muốn nhắm đến. Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá. Thời điểm này cĩ mục đích xem xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ : kỹ thuật nào cĩ thể giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử dụng ? Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hĩa. Trong thực tế, việc dạy học phải đi đến một thời điểm mà ở đĩ người ta phải «điểm lại tình hình» : cái gì đã học được, cái gì cĩ giá trị,… Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mơ tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ Tδ : dạy một tổ chức tốn học như thế nào ? Phân tích một tổ chức didactic cĩ nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay khơng được thực hiện). Trong đĩ ba thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh. Đánh giá các kiểu nhiệm vụ : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn Đánh giá một tổ chức tốn học • Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ iT đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn cĩ để sử dụng chưa ? Hay ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu? • Tiêu chuẩn về lý do tồn tại : lý do tồn tại của cá c kiểu nhiệm vụ iT đã được nĩi rõ chưa ? Hay ngược lại, chúng dường như khơng cĩ lý do gì để tồn tại ? • Tiêu chuẩn thỏa đáng : những kiểu nhiệm vụ được xem xét cĩ thỏa đáng với nhu cầu tốn học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay khơng ? Hay ngược lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu tốn học của học sinh ? Đánh giá kỹ thuật : Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ iT đã thực sự được xây dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo ? Nĩ cĩ dễ sử dụng và dễ hiểu khơng ? Nĩ cĩ giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể khơng ? Tương lai của nĩ ra sao và nĩ cĩ thể tiến triển theo một cách thức thích hợp hay khơng ? Đánh giá cơng nghệ : Với một thơng báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật thì vấn đề giải thích nĩ cĩ được đặt ra hay khơng ? Hay người ta thừa nhận thơng báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử dụng cĩ gần gũi và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong tốn học khơng ? Cách giải thích đĩ cĩ phù hợp với hồn cảnh và điều kiện sử dụng nĩ khơng ? … III. Phương pháp nghiên cứu Với khung lý thuyết tham chiếu ở trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tơi lựa chọn là : - Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, qua đĩ ghi nhận một số kết quả nghiên cứu thể chế đối với khái niệm giới hạn trước đây để dùng làm cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế hiện hành. - Phân tích và so sánh chương trình - SGK hiện hành với chương trình - SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm rõ những tiến triển của thể chế hiện hành trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số so với các thể chế trước kia. Bên cạnh đĩ phân tích một bộ SGK M ỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam, nhằm làm rõ những lựa chọn sư phạm khác cĩ thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thơng. Từ đĩ cho phép xây dựng và bổ sung tổ chức tốn học mới cho thể chế Việt Nam dưới ánh sáng của kết quả phân tích tri thức luận. - Tiến hành quan sát và xây dựng protocol những tiết dạy của giáo viên cĩ nội dung liên quan đến việc giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số (ở gĩc độ là đối tượng nghiên cứu), sau đĩ phân tích và đánh giá các tổ chức tốn học, tổ chức didactic của các tiết học được quan sát. Trong phần này chúng tơi sẽ làm rõ các vấn đề : + Các tổ chức tốn học được giáo viên xây dựng trong tiết dạy. + Các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên triển khai để xây dựng các tổ chức tốn học đĩ. + Đánh giá các tổ chức tốn học được giáo viên xây dựng trong lớp học. IV. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần : PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần này chúng tơi trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát , khung lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu của luận văn. CHƯƠNG 1 Trình bày tĩm tắt các kết quả nghiên cứu khoa học luận đã cĩ của khái niệm giới hạn, qua đĩ làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử tiến triển của nĩ. Đồng thời nêu lên các tổ chức tốn học tham chiếu liên quan đến khái niệm giới hạn của hàm số. Trong chương gồm các mục : 1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn 1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng 1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1 CHƯƠNG 2 Phân tích chương trình và sách giáo khoa Tốn phổ thơng để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Đầu tiên, chúng tơi phân tích bộ sách giáo khoa của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và hai bộ sách giáo khoa của chương trình hiện hành, qua đĩ làm rõ mối quan hệ thể chế với giới hạn hữu hạn của hàm số, đồng thời cũng làm rõ những tiến triển trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở thể chế hiện hành so với các thể chế trước kia. Tiếp theo, chúng tơi đi phân tích một bộ sách giáo khoa Mỹ để làm rõ các ràng buộc của thể chế và hợp đồng didactic gắn liền với giới hạn hữu hạn của hàm số. Đồng thời so sánh và tổng hợp với việc nghiên cứu thể chế Việt Nam, qua đĩ đề ra các giả thuyết nghiên cứu như là hệ quả của việc phân tích khoa học luận trong chương 1 và phân tích quan hệ thể chế trong chương 2. Trong chương này gồm các mục : 2.1 Phân tích chương trình 2.2 Phân tích sách giáo khoa 2.3 Kết luận và so sánh 2.4 Câu hỏi nghiên cứu Q2 và giả thuyết nghiên cứu CHƯƠNG 3 Trình bày việc nghiên cứu thực tế giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số của giáo viên Việt Nam thơng qua việc : phân tích tổ chức tốn học cần giảng dạy và tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn. Qua đĩ kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu mà chúng tơi đã đặt ra ở cuối chương 2. Trong chương gồm các mục : 3.1 Các tổ chức tốn học cần xây dựng 3.2 Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn 3.3 Đánh giá tổ chức tốn học 3.4 Một số kết luận KẾT LUẬN Tĩm tắt những kết quả đạt được ở chương 1, chương 2, chương 3. Đề xuất hướng nghiên cứu cĩ thể mở ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ CÁC VẤN ĐỀ ĐẶT RA CHƯƠNG 1 Chương này cĩ mục tiêu là : tĩm lại vắn tắt những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử đã được tổng hợp từ các cơng trình nghiên cứu trước đây; Ghi nhận một số kết quả nổi bật từ việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn của hàm số trong chương trình chỉnh lí hợp nhất. Từ đĩ chúng tơi sử dụng các kết quả này làm cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế hiện hành và đặt ra các câu hỏi định hướng cho nghiên cứu trong chương 2. Mục tiêu của chương Chúng tơi tập trung tham khảo và p hân tích hai cơng trình nghiên cứu trong nước về khái niệm giới hạn (2004) : Một là luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung; Hai là luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thành Long. Ghi nhận các kết quả về sự vơ hạn trong luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), các kết quả liên quan đến khái niệm giới hạn trong luận án của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007). 1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn 1.1.1 Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn Đĩ chính là khía cạnh vơ tận (vơ hạn) trong khái niệm này. Tiến trình vơ hạn trong khái niệm giới hạn chỉ là một trường hợp đặc biệt của khái niệm vơ hạn nĩi chung. Như vậy cĩ những quan niệm thế nào về sự vơ hạn ? Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả của một số cơng trình nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm vơ hạn, trong luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), tác giả đã rút ra những quan điểm khác nhau về vơ hạn : « Vơ hạn chỉ một dạng vật chất khơng xác định là cơ sở đầu tiên của thế giới Vơ hạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất cả các số Vơ hạn là một quá trình liên tục, khơng cĩ điểm kết thúc Vơ hạn là phủ định của hữu hạn Vơ hạn là một cái gì đĩ khơng cĩ bờ, mênh mơng, vượt qua tất cả những giới hạn đã biết, khơng xác định được ranh giới Vơ hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng Vơ hạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vơ hạn » [8, tr.19-20] Đối với một tiến trình vơ hạn thì các quy tắc đại số đối với các tiến trình hữu hạn khơng cịn hợp thức. Việc vận dụng vơ tình những quy tắc của hữu hạn vào quá trình vơ hạn đã dẫn đến sai lầm thể hiện qua một số nghịch lí như : « Nghịch lý Asin đuổi rùa : Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa chạy với vận tốc 1km/h. Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là 100km. Hỏi nếu A -sin và rùa xuất phát cùng một lúc thì A-sin cĩ đuổi kịp rùa khơng? D. Zenon lý giải rằng, khi A-sin chạy đến vị trí A (100km) thì rùa đã chạy đến vị trí A1 (1km), khi A-sin chạy đến A1 thì rùa đã chạy đến vị trí A2 1 100 km ( ), … Do vậy A -sin khơng bao giờ đuổi kịp rùa. Nghịch lí này xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vơ hạn khơng thể là một số hữu hạn. » [8, tr.10] « Nghịch lí chia đơi : Nếu cĩ thể cắt đơi một đối tượng, bằng cách lặp quy trình này một cách vơ hạn, thì về mặt Tốn học luơn cịn lại một đoạn nào đĩ. Ngược lại về mặt vật lý ta biết rằng sẽ cĩ một thời điểm ta khơng cịn cĩ thể cắt đơi được nữa! Khĩ khăn là ở chỗ ta khơng thể trừ một số vơ hạn các độ dài ngày càng bé và khĩ khăn để quan niệm tổng này cĩ thể là một số hữu hạn. » [8, tr.7] « Nghịch lí 1 = 0 : Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … Ta cĩ : S = (1 – 1) + (1 – 1) + … + (1 – 1) + … = 0 (1) S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + … + (-1 + 1) + … = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 = 0! Nghịch lý -2 là số dương: Cho 23 3 3 1 ... ... (3) 2 2 2 n x = + + + + +           33 3 3 3 ... ... (4) 2 2 2 2 n x⇒ = + + + +           x là tổng các số dương nên x > 0. Nhưng lấy (3) – (4) ta cĩ x = -2 hay -2 là số dương! » [6, tr.121] Các nghịch lí trên chỉ ra rằng các phép tốn và quy tắc đại số khơng hồn tồn hợp thức cho việc nghiên cứu các quy trình vơ hạn. Trong luận văn của mình, tác giả Nguyễn Thị Phương Mai cũng đưa ra một nhận định : “Với khái niệm giới hạn thì vơ hạn cĩ vai trị vừa như một chướng ngại vừa như một động cơ. Khơng thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu khơng cĩ quan niệm thỏa đáng về vơ hạn.” [8, tr.9] 1.1.2 Các quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn của hàm số Dựa vào việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển khái niệm giới hạn của các tác giả trong nước, cĩ ba quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn của hàm số lim ( )f x l x a = → đã được trình bày trong luận án của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), sau khi tác giả tổng hợp các kết quả nghiên cứu của Cornu B (1983) và Trouche (1996) : « Quan điểm đại số : Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính tốn các giới hạn bằng các quy tắc đại số. Thật vậy, quan điểm này cho phép thao tác trên các định lí và sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn thơng dụng” mà khơng cần làm rõ bản chất của khái niệm. Quan điểm này là kết quả của việc mơ hình hĩa các quy tắc đại số về sự chuyển qua giới hạn trong các phép tốn hàm số. Nĩ cho phép tránh vấn đề vơ hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu lim ( )f x x a→ hoặc với một số thực hoặc với vơ cùng. Quan điểm xấp xỉ x : Theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ ( )f x đến l . “Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa là nĩ lấy những giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị l. Nếu x dần dần xích lại gần a kéo theo đại lượng y xích lại gần l” (BKOUCHER 1996). Quan điểm xấp xỉ ( )f x : Theo quan điểm này, độ xấp xỉ ( )f x với l mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ x với a. Định nghĩa theo ( ) khơng gì khác hơn là sự hệ thống hĩa quan điểm xấp xỉ này. (BKOUCHER 1996)» [13, tr.1-2] 1.1.3 Tổ chức Tốn học tham chiếu Trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả tĩm tắt một vài kết quả từ nghiên cứu của Bosch, Espinoza và Gascon (2002) về hai tổ chức tốn học địa phương tham chiếu OM1 và OM2 « OM1 : Xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T của khái niệm giới hạn như sau : 1 lim ( )f x x a→ : “Tính ” (ở đây a là một số thực, hoặc là vơ cực). Kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ này là việc sử dụng các định lý và các giới hạn thơng dụng để tính giới hạn. Yếu tố cơng nghệ để giải thích cho các kỹ thuật được xây dựng qua hệ thống các định lí tổng, hiệu, tích, thương và khai căn cùng một số các kết quả của giới hạn đặc biệt. OM2 : Xoay quanh bản chất tơpơ của khái niệm giới hạn, để trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một biểu thức xác định hàm số. Câu hỏi này được xử lý qua kiểu nhiệm vụ T2 lim ( )f x x a→ : Chứng minh tồn tại (hay khơng tồn tại) . Kỹ thuật và yếu tố cơng nghệ liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2 [12, tr.4-5] là việc vận dụng định nghĩa khái ni ệm giới hạn. » Từ các kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn, cho phép các tác giả đặt ra các câu hỏi định hướng cho việc nghiên cứu thể chế chỉnh lí hợp nhất : Trong chương trình chỉnh lí hợp nhất tồn tại những quan điểm khoa học luận nào của khái niệm giới hạn ? Quan điểm nào chiếm ưu thế ? Các kiểu nhiệm vụ là vết của các tổ chức Tốn học OM1 và OM2 xuất hiện như thế nào ? Đặc biệt vết của OM2 cĩ sống được trong thể chế của chương trình hay khơng ? Cĩ những quy tắc hợp đồng nào trong việc dạy học khái niệm giới hạn ? 1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn của hai tác giả : Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) cho phép chúng tơi rút ra một số kết luận để trả lời cho các câu hỏi được nêu ở phần trên : • Quan điểm xấp xỉ ( )f x xuất hiện trong định nghĩa giới hạn của dãy số, quan điểm xấp xỉ x thể hiện trong định nghĩa giới hạn của hàm số, quan điểm đại số thể hiện hầu hết trong chương trình qua việc tính giới hạn của dãy số (hàm số) bằng các quy tắc đại số. Và nhìn một cách tổng thể, quan điểm đại số được thể hiện một cách rõ ràng và chiếm vị trí gần như tuyệt đối trong việc dạy học khái niệm giới hạn. Điều này thể hiện qua những nhận định của hai tác giả : « Việc xây dựng và tổ chức các kiến thức cần giảng dạy về khái niệm giới hạn dựa gần như tuyệt đối trên quan điểm đại số hĩa. » [7, tr.49] « Sách giáo khoa hiện hành chỉ tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại số về khái niệm giới hạn ở học sinh. Chỉ cĩ vài dấu vết nhỏ của các quan điểm khoa học luận khác trong sách giáo khoa này. » [12, tr.19] • Kiểu nhiệm vụ chỉ dùng đến phép tốn đại số giới hạn chiếm hầu hết trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, theo thống kê của tác giả Nguyễn Thành Long « kiểu nhiệm vụ này chiếm 80,6% trong các ví dụ và 87% trong phần bài tập; Số kiểu nhiệm vụ cho phép thao tác các kỹ thuật bản chất giải tích chiếm 16,1% trong các ví dụ và 9,1% trong phần bài tập ; Kiểu nhiệm vụ cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x giữ vị trí yếu nhất, chiếm 3,2% trong các ví dụ và 3,9% trong phần bài tập » [7, tr.48]. Cũng trong nhận xét này, chúng tơi ghi nhận thêm khơng cĩ loại bài tập nào liên quan đến yếu tố đồ thị của biểu thức hàm số cần tính giới hạn, đây là một trong những điểm khác biệt giữa chương trình hiện hành so với các chương trình mà cả hai tác giả nghiên cứu. • Ngồi ra với việc sử dụng hai tổ chức tốn học địa phương tham chiếu OM1 và OM2 để giải thích cho các tổ chức tốn học cần giảng dạy, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung nhận định : « Vết của OM2 trong chương trình chỉnh lí hợp nhất giai đoạn 2000 – 2005 rất yếu so với vết của OM1 (8 nhiệm vụ so với 43 nhiệm vụ). Từ đĩ dự đốn khả năng sống được của các nội dung tốn học là vết của OM2 gần như khơng cĩ. » [12, tr.18] • Đồng thời cả hai tác giả cũng nhất trí với các quy tắc hợp đồng didactic : « Trong các bài tốn liên quan đến giới hạn hữu hạn, học sinh khơng cĩ trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, khơng phải dự đốn giới hạn, khơng xem xét hàm số và khơng quan tâm đến tính thích đáng của bài tốn, nhiệm vụ của họ là tính giới hạn bằng cách nhận dạng chúng, sau đĩ thực hiện các quy tắc hành động thích ứng để tính giới hạn của hàm số. Thể chế đảm bảo giới hạn đĩ tồn tại. » [7, tr.50], [12, tr.21] Qua việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên, chúng tơi đặt ra câu hỏi : Với việc phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn được giảng dạy trong chương trình, các tác giả đã xây dựng những đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn nhằm hình thành quan điểm xấp xỉ ở học sinh dựa trên những yếu tố nào ? Hiệu quả của các đồ án didactic đĩ ra sao ? Các vấn đề nào cịn đặt ra ? Để trả lời, chúng tơi đi vào nghiên cứu các đồ án didactic. 1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng 1.3.1 Đồ án didactic trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Qua tổng hợp các nghiên cứu về vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích nĩi chung và trong giảng dạy khái niệm giới hạn nĩi riêng ở Pháp, và._. qua k ết quả nghiên cứu thể chế trong nước về mối quan hệ cá nhân của học sinh với máy tính bỏ túi. Tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung xây dựng một đồ án didactic với mục tiêu là giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong mơi trường máy tính bỏ túi với các giả thuyết cơng việc : - Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo cĩ mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng (ε ; δ) : quan điểm xấp xỉ được xuất hiện nhờ các thực nghiệm số. - Trong một số trường hợp, các kiến thức tốn học được xây dựng một các đồng thời với việc nảy sinh cơng cụ. [12, tr.40] Trên cơ sở giả thiết cơng việc, tác giả xây dựng đồ án didactic với nội dung: Cho hàm số ( ) 2 2 0,1 0,02 0,25 0,01 x xf x x − − = − . Được tổ chức qua 3 hoạt động : • Hoạt động 1 với yêu cầu : Giải phương trình ( ) 3f x = • Hoạt động 2 với 2 yêu cầu được ghi trên Phiếu 2A : Tìm ba giá trị của x sao cho ( )2,99 3,01f x≤ < Phiếu 2B : Tìm ba giá trị của x sao cho ( )2,99 3,01f x< ≤ • Hoạt dộng 3 với 2 yêu cầu ghi trên : Phiếu 3A : Hãy đề nghị một cặp số ( ); ( )x f x sao cho giá trị ( )f x gần số 3 nhất mà em cĩ thể tìm được và 0,2x < . Phiếu 3B : Hãy đề nghị một cặp số ( ); ( )x f x sao cho giá trị ( )f x gần số 3 nhất mà em cĩ thể tìm được và 0,2x < Tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung tiến hành thực nghiệm ở lớp 11 sau khi học sinh đã học xong khái niệm giới hạn của hàm số. Kết quả của việc thực hiện đồ án didactic chứng tỏ rằng : « Việc giảng dạy khái niệm giới hạn cĩ lẽ là cơ hội cho sự trở lại cần thiết trên tập hợp các số thực, trên bản chất của các số thực, trên ý nghĩa của sự thập phân hĩa chúng và ý nghĩa của các yếu tố lân cận và khoảng cách. » [12, tr.55] Từ đĩ tác giả cũng đặt ra các vấn đề để thực hiện một đồ án didactic khác : « xác định những đầu tư cần thiết và các yếu tố đặc tr ưng để hồn thành đồ án didactic (dưới những ràng buộc của thể chế Việt Nam), sao cho sự kiểm sốt các kết quả hiển thị trong máy tính bỏ túi được thực hiện bằng cách điều chỉnh các kiến thức về số thực sẽ đi kèm với việc giảng dạy khái niệm giới hạn trên quan điểm xấp xỉ. » [12, tr.55] 1.3.2 Đồ án didactic trong luận văn của tác giả Nguyễn Thành Long Dựa vào kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn , tác giả Nguyễn Thành Long cho rằng tính diện tích hình phẳng là một trong những động cơ hình thành nghĩa của khái niệm giới hạn hàm số từ quan điểm xấp xỉ ( )f x . Từ đĩ tác giả đưa ra giả thuyết cơng việc : « Về mặt tốn học vấn đề tính diện tích hình phẳng là cơ sở của việc thiết lập những tình huống cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ f(x). » [7, tr.6] Trên cơ sở giả thuyết cơng việc và những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, tác giả Nguyễn Thành Long xây dựng những tình huống và cơng đoạn didactic về tính diện tích hình phẳng dựa trên tình huống cơ sở : « Cho hàm số ( )y f x= liên tục và khơng âm trên đoạn [ ]; a b với 0a ≥ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho, trục hồnh Ox và hai đường thẳng x a= và x b= » [7, tr.6]. Mục đích nhằm kiểm định tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu : « Các tình huống tính diện tích hình phẳng cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ f(x), trong sự vắng mặt của định nghĩa hình thức theo ngơn ngữ ( );ε δ . » [7, tr.7] Thực nghiệm được tác giả Nguyễn Thành Long triển khai vào cuối tháng 11/2003 ở lớp 11 trước khi đề cập đến chương giới hạn. Qua phân tích tác giả thấy xuất hiện ở học sinh các yếu tố sau : - Xấp xỉ hình học. - Tổng hữu hạn xấp xỉ một đại lượng : xấp xỉ diện tích một hình (chưa tính được) với tổng một số rất lớn các hình rất nhỏ (đã cĩ thể tính được). - Vơ cùng bé : thể hiện trong yêu cầu sai số và tính gần đúng. [7, tr.81] Kết thúc luận văn nghiên cứu của mình, tác giả Nguyễn Thành Long nhận định : « Đại số hĩa và xấp xỉ là hai mặt biện chứng về khái niệm giới hạn nĩi riêng và về giải tích nĩi chung. Trong ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số hĩa vẫn cĩ thể tiếp cận được quan điểm xấp xỉ » [7, tr.88]. Từ quan điểm đĩ, tác giả mạnh dạn đặt vấn đề : « cĩ thể nghiên cứu để xây dựng một hệ thống các tình huống nhằm tăng cường quan điểm xấp xỉ trong dạy học giải tích ở trường THPT » 1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1 Trên cơ sở của việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu và phân tích các đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tơi rút ra một số kết luận sau : + Trong các nghiên cứu về khái niệm giới hạn, các tác giả thật sự quan tâm đến việc dạy học khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ thơng qua các bài tốn hoặc liên quan đến xấp xỉ số (nghiên cứu của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung), hoặc liên quan đến xấp xỉ hình học (nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thành Long), điều này hồn tồn trùng khớp với hướng tiếp cận bộ mơn Giải tích trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” mà chúng tơi đã đề cập trong phần đầu của luận văn. + Các đồ án dạy học đã xây dựng và thực hiện chỉ tập trung đến việc dạy học giới hạn của hàm số tại một điểm và khơng xét đến khía cạnh đồ thị của biểu thức hàm số cần tính giới hạn. Qua đĩ cho phép chúng tơi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cần giải quyết trong chương sau, cụ thể : • Q1: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số trong chương trình hiện hành đã được xây dựng như thế nào? Và cĩ những tiến triển gì so với chương trình chỉnh lí hợp nhất ở trường THPT ? Đặc biệt, sự xuất hiện của những bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học ảnh hưởng như thế nào đến sự tiến triển này ? MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG THPT CHƯƠNG 2 Nghiên cứu mối quan hệ của thể chế hiện hành đối với việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường THPT và so sánh với các chương trình trước kia để làm rõ những tiến triển của thể chế hiện hành liên quan đến việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Mục đích của chương Phân tích khả năng “ sống được ” của những kiểu bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học liên quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số cĩ mặt trong thể chế hiện hành. Phân tích một bộ SGK Mỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam. Qua đĩ nhằm làm rõ những lựa chọn sư phạm khác cĩ thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thơng. Các tài liệu dùng trong phân tích của chương bao gồm : 1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (11.CLHN) 2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản) năm 2007 (11.CB) 3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) năm 2007 (11.NC) 4. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11. Bộ giáo dục và đào tạo, NXBGD 2001 5. Chương trình giáo dục phổ thơng. Bộ GD & ĐT, NXBGD 2005 (CT) 6. Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn) năm 2007 7. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn) năm 2007 8. Sách giáo khoa Giải tích 12 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (12.CLHN) 9. Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản) năm 2008 (12.CB) 10. Sách giáo khoa Giải tích 12 (nâng cao) năm 2008 (12.NC) 11. Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic – year 12 (SGK.M) 2.1 PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH Trong chương trình hiện hành, hai khái niệm cơ sở của Giải tích là giới hạn và đạo hàm được đưa vào trong chương IV và chương V của bộ sách giáo khoa lớp 11. Trong chương trình chỉnh lí hợp nhất thì tri thức đạo hàm của hàm số mãi đến lớp 12 mới bắt đầu được trình bày. Về khái niệm giới hạn, trong phần kiến thức, chương trình hiện hành yêu cầu: «Biết khái niệm giới hạn của dãy số (thơng qua ví dụ cụ thể) và khái niệm giới hạn của hàm số (thơng qua ngơn ngữ giới hạn của dãy số), khơng dùng ngơn ngữ ε δ− để định nghĩa giới hạn ; 1u 2u 3u 100u 1 1 2 1 3 0 biết (khơng chứng minh) các định lí về giới hạn.» [CT, tr. 162-164] Trong phần kỹ năng chương trình hiện hành yêu cầu : « Biết ứng dụng nội dung định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản, tìm tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, trong một số trường hợp đơn giản tính được: giới hạn của hàm số tại một điểm; giới hạn một bên của hàm số; giới hạn của hàm số tại ±∞ .» [CT, tr.162-164] Tiếp theo là khái niệm hàm số liên tục trong chương IV và khái niệm đạo hàm trong chương V để nêu lên một số ứng dụng của khái niệm giới hạn hàm số trong việc xét tính liên tục và tính đạo hàm của hàm số. So với chương trình chỉnh lí hợp nhất, điểm khác nhau cơ bản giữa hai chương trình là :  Về giới hạn của dãy số Chương trình hiện hành khơng dùng ngơn ngữ ( ); Nε để định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, thay vào đĩ thơng qua hoạt động cụ thể để hình thành định nghĩa giới hạn 0. Chẳng hạn, SGK Giải tích 11 bộ cơ bản thể hiện quan điểm của chương trình hiện hành như sau : « Cho dãy số ( )nu với 1 nu n = . Biểu diễn ( )nu dưới dạng khai triển : 1 1 1 1 11, , , , ,..., ,... 2 3 4 5 1 0 0 Biểu diễn ( )nu trên trục số : a) Nhận xét xem khoảng cách từ nu tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn. b) Bắt đầu từ số hạng nu nào của dãy số thì khoảng cách từ nu đến 0 nhỏ hơn 0,01 ? 0,001 ? ĐỊNH NGHĨA 1 Ta nĩi dãy số ( )nu cĩ giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực, nếu nu cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Kí hiệu : lim 0nn u→+∞ = hay 0nu → khi n →+∞ » [11.CB, tr. 112] từ đĩ dẫn tới giới hạn khác 0. « ĐỊNH NGHĨA 2 Ta nĩi dãy số ( )nv cĩ giới hạn là a (hay nv dần tới a) khi n →+∞ nếu ( )lim 0nn v a→+∞ − = . Kí hiệu : lim nn v a→+∞ = hay 0nu → khi n →+∞ » [11.CB, tr. 113] Với mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp 12, chương trình hiện hành khơng cịn dùng khái niệm « Dãy số dẫn tới vơ cực » và kí hiệu ∞ chung chung, mà phân biệt một cách rõ ràng +∞ và −∞ , đồng thời xem ±∞ như là giới hạn của dãy số, từ đĩ cĩ thể áp dụng các quy tắc và định lí để tìm giới hạn của dãy số. Về điều này sách giáo viên cĩ nhận định : « Do vậy, phù hợp với yêu cầu của chương trình, SGK mới khơng cịn dùng khái niệm «Dãy số dẫn tới vơ cực» và viết lim unn = ∞ →∞ như trước đây, mà đưa vào hai khái niệm khác nhau : giới hạn −∞ và giới hạn +∞ . Chương trình chỉnh lí hợp nhất khơng coi ∞ là giới hạn của dãy số, vì lí do ∞ là một kí hiệu chứ khơng phải là số thực, mặc dù trong sách giáo khoa vẫn dùng khái niệm lim unn = ∞ →∞ » [11.SGV, tr.122-123] Trong chương trình hiện hành cĩ sự biến mất của các định lí về tính duy nhất của giới hạn dãy số, điều kiện cần và điều kiện đủ để một dãy số cĩ giới hạn, định lí giới hạn kẹp của giới hạn dãy số.  Về giới hạn của hàm số Trong chương trình hiện hành cĩ sự xuất hiện và tồn tại các bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học liên quan đến việc xây dựng và hình thành khái niệm giới hạn của hàm số. Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm giới hạn vơ cực của hàm số : giới hạn −∞ và giới hạn +∞ , đồng thời xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số khi x →+∞ và x →−∞ (trong khi chương trình chỉnh lí hợp nhất lại đưa ký hiệu lim ( )f xx→∞ ). Các định lí về tính duy nhất của giới hạn hàm số, định lí giới hạn kẹp, định lí « Nếu khi x → a, hàm số f(x) cĩ giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L ≥ 0 (hoặc L ≤ 0) » được “ giảm tải ” trong nội dung bài học. Tĩm lại, đối với khái niệm giới hạn, trong chương trình hiện hành hồn tồn vắng mặt các yếu tố lý thuyết của tổ chức tốn học OM2 xoay quanh kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại hay khơng tồn tại giới hạn của hàm số. Từ đĩ chúng tơi đặt câu hỏi về “ cuộc sống ” của các tổ chức tốn học là vết của OM2 trong thể chế hiện hành như thế nào ? 2.2 PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA 2.2.1 Sách giáo khoa Việt Nam Phân tích này chủ yếu dựa trên các bộ sách : Đại số và Giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), NXBGD 2007; Đại số và Giải tích 11 sách giáo viên - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), NXBGD 2007; Đại số và Giải tích 11 nâng cao – Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), NXBGD 2009; Giải tích 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), NXBGD 2008; Giải tích 12 nâng cao – Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), NXBGD 2009 Trong phần này, bên cạnh việc phân tích SGK hiện hành chúng tơi cịn cố gắng tìm ra những điểm giống và khác so với bộ SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000, qua đĩ làm rõ những tiến triển của thể chế hiện hành trong việc dạy khái niệm giới hạn của hàm số so với thể chế trước đây. Nhắc lại rằng trong khuơn khổ của luận văn, chúng tơi chỉ phân tích nội dung “Giới hạn hữu hạn của hàm số” và xét dưới hai gĩc độ : Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng đối tượng nghiên cứu1 ; Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng cơng cụ nghiên cứu2 . 2.2.1.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng đối tượng nghiên cứu a) Phần lý thuyết  Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Để so sánh việc giới thiệu định nghĩa khái niệm giới hạn tại một điểm theo ba bộ sách giáo khoa Giải tích 11 của các chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình hiện hành, chúng tơi trình bày chúng trong bảng 2.1 bên dưới với ký hiệu như sau : - 11.CLHN : Đại số và Giải tích 11 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000, - 11.NC : Đại số và Giải tích 11 bộ nâng cao chương trình hiện hành - 11. CB : Đại số và Giải tích 11 bộ cơ bản chương trình hiện hành SGK ĐỊNH NGHĨA HOẠT ĐỘNG 11.CLHN Định nghĩa b ằng « ngơn ngữ dãy số » Định nghĩa được xây dựng theo con đường quy nạp qua việc cho hàm số 2 1( ) 1 xf x x − = − , nếu x lấy những giá trị lập thành một dãy số ( )nx , *1,nx n N≠ ∀ ∈ thì ( )f x lấy những giá trị lập thành một dãy số ( )( )nf x sao cho : 1 1( ) 1,..., ( ) 1,...n nf x x f x x= + = + Giả sử ( )nx là một dãy số bất kì : *1,nx n N≠ ∀ ∈ và cĩ giới hạn là 1, khi đĩ : lim ( ) lim( 1) lim 1 1 1 2n n nf x x x= + = + = + = . Ta nĩi 1 “ … Trong phạm vi tốn học ở trường phổ thơng, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nĩ là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất, … ” [10, tr.56] 2 “ Ta nĩi, một khái niệm hoạt động dưới dạng Cơng cụ khi nĩ được sử dụng một cách ngầm ẩn hay rõ ràng như phương tiện để giải quyết một bài tốn, một vấn đề … ” [10, tr.55] rằng khi x dần tới 1, thì hàm số 2 1 1 x x − − dần tới 2 11.NC Định nghĩa b ằng « ngơn ngữ dãy số » Định nghĩa xây dựng qua việc xét bài tốn : Cho hàm số 22 8( ) 2 xf x x − = − và một dãy bất kì 1 2, ,..., ,...nx x x những số thực khác 2 sao cho lim 2nx = . Hãy xác đ ịnh dãy các giá trị tương ứng 1 2( ), ( ),..., ( ),...nf x f x f x của hàm số và tìm lim ( )nf x 11.CB Định nghĩa b ằng « ngơn ngữ dãy số » Định nghĩa xây dựng thơng qua hoạt động : xét hàm số 22 2( ) 1 x xf x x − = − với 2 yêu cầu cần thực hiện : 1. Cho x những giá trị khác 1 lập thành dãy số ( ) , 1n nx x → như trong bảng x 1 2x = 2 3 2 x = ... 1 n nx n + = ... 1→ f(x) ( )1f x ( )2f x ... ( )nf x ... ?→ a) Chứng minh 2 2( ) 2n n nf x x n + = = b) Tìm giới hạn của dãy số ( )( )nf x 2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì ( ) , 1n nx x ≠ và 1nx → , ta luơn cĩ ( ) 2nf x → Trong hoạt động này, SGK ghi chú : với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nĩi hàm số 22 2( ) 1 x xf x x − = − cĩ giới hạn là 2 khi x dần tới 1. Bảng 2.1 Nhận xét : Sách giáo khoa của chương trình hi ện hành và chương trình ch ỉnh lí hợp nhất đều lựa chọn cách định nghĩa giới hạn của hàm số qua « ngơn ngữ dãy số », điều này cho phép tránh được những khĩ khăn của học sinh khi sử dụng các định nghĩa theo ngơn ngữ , ε δ mà vẫn đảm bảo tính hợp thức tốn học. Khi đem so sánh hai bộ sách của chương trình hiện hành với SGK chương trình ch ỉnh lí hợp nhất về cách xây dựng và trình bày định nghĩa giới hạn của hàm số tại x a= , chúng tơi nhận thấy : + Cách xây dựng của bộ sách 11.NC và 11.CLHN là hồn tồn tương đương, giữa bộ sách 11.CB và 11.CLHN cĩ một số điểm khác biệt sau : SGK 11.CB xây dựng khái niệm giới hạn hàm số thơng qua một hoạt động cụ thể liên quan đến bài tốn xấp xỉ số, từ đĩ mới hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm 0x . + Một điểm khác biệt chung giữa hai bộ SGK của chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất đĩ là việc đưa ví dụ vận dụng định nghĩa đ ể tìm giới hạn hoặc chứng minh lim ( )f x L x a = → ngay sau khi trình bày nội dung định nghĩa giới hạn của hàm số, mà kiểu nhiệm vụ này là một dấu vết của OM2. Trong định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, hai bộ sách giáo khoa cơ bản và nâng cao cĩ sự trình bày khác nhau về khoảng xác định của hàm số : Bộ sách giáo khoa nâng cao dùng khái niệm hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( ) { }0; \a b x , bộ sách giáo khoa cơ bản dùng khái niệm hàm số ( )f x xác định trên khoảng K hoặc trên { }0\K x . Bảng 2.2 dưới đây trích lại các định nghĩa trong hai bộ sách giáo khoa hiện hành. SGK Định nghĩa 11.CB “Cho khoảng K chứa điểm x0 { }0\K x và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên . Ta nĩi hàm số y = f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn { }0\nx K x∈) bất kì, và 0nx x→ , ta cĩ ( )nf x L→ . ” [tr.124] 11.NC “Giả sử ( ); a b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp ( ) { }0; \a b x . Ta nĩi rằng hàm số f cĩ giới hạn là số thực L khi 0x x→ (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số ( )nx trong tập hợp ( ) { }0; \a b x (tức là ( ); nx a b∈ và 0nx x≠ với mọi n ) mà 0lim nx x= ta đều cĩ ( )lim nf x L= .” [tr. 146] Bảng 2.2 Về định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, trong trang 133 của bộ sách giáo viên của chương trình chuẩn yêu cầu : « Cần lưu ý học sinh rằng giả thiết «hàm số xác định trên khoảng K » khơng cĩ nghĩa K là tập xác định của nĩ, mà thơng thường K cĩ thể chỉ là một tập con của tập xác định. Tương tự, nếu nĩi « hàm số ( )y f x= xác định trên { }0|K x » thì phải hiểu rằng nĩ cĩ thể xác định tại 0x hoặc khơng xác định tại điểm này. » Việc SGK 11.CB cho ví dụ 1 : Cho hàm số ( ) 2 4 2 xf x x − = − . Chứng minh rằng ( )lim 4 2 f x x = − → .», SGV nhấn mạnh mục đích : « giải thích lý do vì sao trong định nghĩa lại cho giả thiết hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng K hoặc trên { }0|K x ».[6, tr.134] Cuối cùng khi đi phân tích và xem xét SGK 11.CB, chúng tơi nhận thấy mặc dù cĩ sự xuất hiện bài tốn xấp xỉ số trong hoạt động xây dựng và hình thành đ ịnh nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, nhưng với các yêu cầu được đưa ra trong SGK thì g ần như việc tính tốn các giá trị cụ thể của hàm số ( )f x ứng với các giá trị cụ thể của biến x khơng được đề cập đến một cách rõ ràng, như vậy quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn cũng khĩ cĩ cơ hội để xuất hiện. Chúng tơi cho rằng giáo viên cĩ thể khai thác triệt để hoạt động này theo hướng thực nghiệm số với mục đích cĩ thể làm xuất hiện quan điểm xấp xỉ x của định nghĩa gi ới hạn hàm số với phương án : Biểu diễn những giá trị cụ thể của biến số x dưới dạng số thập phân và yêu cầu học sinh tìm các giá trị của hàm số tương ứng với giá trị biến số x bằng máy tính bỏ túi, khi đĩ học sinh cĩ thể trả lời cho câu hỏi khi 1x → thì ( ) 2f x → , hay nĩi một cách khác hàm số ( )f x cĩ giới hạn là 2 khi x dần tới 1. Tĩm lại, qua việc phân tích các hoạt động và bài tốn được trình bày trong sách giáo khoa của cả hai chương trình, chúng tơi nhận thấy chúng cĩ cùng mục đích : Hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, hình thành kỹ thuật để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa (hoặc chứng minh lim ( )f x L x a = → ). Đồng thời là sự cĩ mặt quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn trong cách định nghĩa giới hạn của hàm số, nhưng ngầm ẩn bên trong vẫn là quan điểm đại số. Điều này một lần nữa được thể hiện rõ qua việc thừa nhận nội dung định lí về giới hạn của hàm số, cũng như áp dụng định lí này để giải quyết các ví dụ tìm giới hạn mà sách giáo khoa đưa ra. Định lí giới hạn của hàm số Để so sánh việc giới thiệu nội dung các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số, chúng tơi thực hiện trình bày trong bảng 2.3 bên dưới : SGK Định lí 11.CB a) Giả sử lim ( ) 0 f x L x x = → và lim ( ) 0 g x M x x = → . Khi đĩ [ ] [ ] ( ) lim ( ) ( ) 0 lim ( ). ( ) . 0 ( )lim 0 ( )0 f x g x L Mx x f x g x L Mx x f x L Mx x g x M ± = ±→ =→ = ≠→ b)Nếu ( ) 0f x ≥ và lim ( ) 0 f x L x x = → , thì 0L ≥ và lim ( ) 0 f x L x x = → 11.NC - Đại số các giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương và khai căn. - Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì [ ]lim . ( ) 0 c f x cL x x = → - Định lí 2 : Giả sử lim ( ) 0 f x L x x = → . Khi đĩ ) lim ( ) ; 0 33) lim ( ) ; 0 a f x L x x b f x L x x = → = → 11.CLHN - Đại số các giới hạn : tổng, hiệu, tích, thương và khai căn - Định lí về tính duy nhất của giới hạn - Định lí giới hạn kẹp - Định lí 4. Nếu khi x → a, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L ≥ 0 (hoặc L ≤ 0) Bảng 2.3 Ví dụ 2 : Cho hàm số ( ) 2 1 2 xf x x + = . Tìm ( ) 3 lim x f x → Giải : Theo định lí 1 ta cĩ ( ) ( )2 22 3 3 3 3 3 3 3 3 lim 1 lim lim11 5lim lim 2 lim 2 lim 2.lim 3 x x x x x x x x x xxf x x x x → → → → → → → → + ++ = = = = [11.CB, tr.125] Nhận xét : So với SGK 11.CLHN, trong chương trình hiện hành chúng tơi nhận thấy sự biến mất của các định lí : Định lí về tính duy nhất của giới hạn; Định lí giới hạn kẹp; Định lí : “ Nếu khi x → a, hàm số f(x) cĩ giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L ≥ 0 (hoặc L ≤ 0) ”. Điều này được SGV của chương trình chuẩn giải thích lý do là : « để phù hợp với quy định của chương trình và cũng phù hợp với tinh thần giảm tải ». [SGV, tr.123]. Bộ sách giáo khoa nâng cao của chương trình hiện hành đưa ra thêm các định lí liên quan về đại số giới hạn là : trị tuyệt đối, căn bậc 3. Các định lí giới hạn kẹp của dãy số và hàm số được đề cập đến trong bài đọc thêm, mặc dù chúng hồn tồn vắng mặt trong nội dung bài học. Trong cả ba bộ SGK trên, nội dung của định lí : lim ( ) 0 f x L x x = → khi và chỉ khi lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x L x x x x = = + −→ → xuất hiện cùng với một mục đích hình thành yếu tố cơng nghệ - kỹ thuật để giải quyết một số bài tốn thuộc kiểu nhiệm vụ xét sự tồn tại hay khơng tồn tại ( )lim f x x a→ . Ví dụ 4 : Cho hàm số ( ) 2 5 2 khi 1 3 khi 1 x x f x x x + ≥ =  − < Tìm ( ) ( ) 1 1 lim , lim x x f x f x − +→ → và ( ) 1 lim x f x → (nếu cĩ). Giải : Ta cĩ, ( ) ( )2 1 1 lim lim 3 2 x x f x x − −→ → = − = − ; ( ) ( ) 1 1 lim lim 5 2 5 2 7 x x f x x + +→ → = + = + = ⇒ khơng tồn tại ( ) 1 lim x f x → (theo nội dung định lí 2) [11.CB, tr.127] Kết thúc việc phân tích ở nội dung giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, chúng tơi rút ra một số kết luận sau : - Quan điểm xấp xỉ x cĩ thể được hình thành trong cách định nghĩa giới hạn của hàm số trong cả ba bộ SGK thơng qua hoạt động thực nghiệm số. - Quan điểm đại số thể hiện qua nội dung định lí tổng, hiệu, tích, thương của giới hạn hàm số và áp dụng vào trong các bài tốn tìm giới hạn hàm số.  Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực Để so sánh việc giới thiệu định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực theo sách giáo khoa Giải tích 11 của chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình hiện hành, chúng tơi trình bày chúng trong bảng 2.4 bên dưới với ký hiệu như sau : - 11.CLHN : Đại số và Giải tích 11 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000. - 11.NC : Đại số và Giải tích 11 bộ nâng cao chương trình hiện hành. - 11. CB : Đại số và Giải tích 11 bộ cơ bản chương trình hiện hành. SGK ĐỊNH NGHĨA HOẠT ĐỘNG 11.CLHN Ta nĩi rằng hàm số f(x) cĩ giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới vơ cực, nếu với mọi dãy số ( )nx sao cho lim lim ( )n nx f x L= ∞⇒ = Ta viết: lim ( ) x f x L →∞ = (tr.123) Định nghĩa đư ợc xây dựng theo con đường quy nạp qua việc cho hàm số 1( ) xf x x + = , mỗi khi x lấy những giá trị lập thành một dãy số 1 2, ,..., ,...nx x x mà nx →∞ thì các giá trị tương ứng của ( )f x lập thành dãy số : 1 2 1 2 1 2 11 1( ) , ( ) ..., ( ) nn n xx xf x f x f x x x x ++ + = = = và ( ) 1nf x → . Ta nĩi rằng hàm số f(x) dần tới 1 khi x dần tới vơ cực. 11.NC Định nghĩa hàm số f cĩ giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ (hoặc −∞ ) tương tự như giới hạn của hàm số tại một điểm. 11.CB Định nghĩa hàm s ố f(x) cĩ giới hạn là L khi x dần đến +∞ (hoặc −∞ ) tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Định nghĩa được xây dựng thơng qua hoạt động: quan sát đồ thị hàm số 1( ) 2 f x x = − (hình 2.1 bên dưới) và cho biết : - Khi x →+∞ thì ( ) ?f x → - Khi x →−∞ thì ( ) ?f x → Bảng 2.4 Hình 2.1 Nhận xét : Điểm chung của chương trình CLHN và chương trình hiện hành khi định nghĩa giới hạn của hàm số tại vơ cực là các định nghĩa đều được trình bày theo « ngơn ngữ dãy số ». Điểm khác nhau cơ bản trong nội dung « giới hạn của hàm số tại vơ cực »: Chương trình chỉnh lí hợp nhất tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số ( )f x khi x →∞ , chương trình hiện hành chỉ tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số ( )f x khi , x x→+∞ → −∞ , khơng tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số ( )f x khi x →∞ . Điểm khác biệt giữa SGK 11.CB so với SGK 11.NC và 11.CLHN thể hiện trong cách xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số tại vơ cực cụ thể : SGK 11.CB xây dựng định nghĩa theo con đường quy nạp thơng qua một bài tốn xấp xỉ hình học , khi yêu cầu học sinh quan sát đồ thị của hàm số 1( ) 2 f x x = − và cho biết giá trị tương ứng của hàm số khi biến x tiến dần đến +∞ và −∞ , từ đĩ dẫn đến định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực theo quan điểm xấp xỉ x. Hơn nữa, sau khi trình bày đ ịnh nghĩa, SGK 11.CB đưa ra ví dụ mà nhiệm vụ của bài tốn là một dấu vết của tổ chức OM2 qua yêu cầu : vận dụng định nghĩa để tính lim ( ), lim ( )f x f x x x→+∞ → −∞ . Ví dụ 5 : Cho hàm số ( ) 2 3 1 xf x x + = − . Tìm ( )lim f x x →−∞ và ( )lim f x x →+∞ Giải : Hàm số đã cho xác định trên ( ); 1−∞ và trên ( )1; +∞ Giả sử ( )nx là một dãy số bất kì, thỏa mãn 1nx < và nx →−∞ Ta cĩ ( ) 32 2 3lim lim lim 211 1 n n n n n x xf x x x + + = = = − − Vậy ( ) 2 3lim lim 2 1x x xf x x→−∞ →−∞ + = = − [11.CB, tr. 128] Để tìm hiểu lý do vì sao SGK 11.CB lại đưa hoạt động 3 vào trong quá trình xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực, chúng tơi đi phân tích SGV của chương trình chuẩn, đối với hoạt động 3 trong SGK 11.CB, SGV nêu nhận định : « Do cách định nghĩa khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại ±∞ tương tự với cách định nghĩa giới hạn của hàm số đã biết trước đĩ (định nghĩa qua giới hạn của dãy số) và do hạn chế về thời gian, nên SGK chỉ đưa vào một hoạt động dưới dạng quan sát đồ thị đơn giản. Sau đĩ trình bày ngay định nghĩa » [SGV, tr.134]. Từ đĩ, ở bài tốn xấp xỉ đồ thị khi dạy học định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực trong bộ SGK cơ bản chúng tơi đặt ra một giả thuyết : giáo viên cĩ thể chỉ chú trọng đến việc hình thành định nghĩa , vì các yêu cầu được đặt ra cho giáo viên là khơng nhiều, bên cạnh là sự thiếu vắng của vấn đề thực nghiệm số ở hoạt động này. Kết thúc việc phân tích phần lý thuyết về giới hạn hữu hạn của hàm số, chúng tơi đặt ra một số câu hỏi : + Hoạt động 1 (trang 123) và hoạt động 3 (trang 127) trong SGK 11.CB được giáo viên phổ thơng tổ chức giảng dạy như thế nào ? Và làm thế nào để cĩ thể nhận được các câu trả lời đúng từ học sinh về kết quả bài tốn tìm giới hạn của hàm số qua việc quan sát đồ thị của hàm số cần tìm giới hạn ? + Mặc dù các yếu tố lý thuyết để giải thích cho kỹ thuật liên quan đến tổ chức tốn học OM2 hồn tồn vắng mặt trong chương trình hiện hành, nhưng vẫn tồn tại kiểu nhiệm vụ “chứng minh tồn tại hay khơng tồn tại lim ( )f x L x a = → ”. Vậy làm thế nào để giáo viên thực hiện thời điểm thứ ba, thời điểm xây dựng mơi trường cơng nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật của tổ chức didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ này ? b) Tổ chức tốn học liên quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số Sau phần lý thuyết, chúng tơi hệ thống và phân tích các bài tốn về giới hạn của hàm số trong SGK và sách bài tập, đồng thời sử dụng hai tổ chức tốn học địa phương tham chiếu OM1 và OM2 để giải thích cho các tổ chức tốn học giảng dạy trong chương trình hiện hành.  Dấu vết của OM1 trong chương trình hi ện hành (xoay quanh kiểu nhiệm vụ chung “ Tính lim ( )f x x a→ ”) thể hiện qua các tổ chức tốn học liên quan tới các kiểu nhiệm vụ sau : Kiểu nhiệm vụ T1 lim ( )f xx a→ : Tính với a là một số thực, -∞ hoặc +∞ Kỹ thuật 1τ : Các kỹ thuật đại số giới hạn Cơng nghệ 1θ : - Các định lí về giới hạn hữu hạn : tổng, hiệu, tích, thương và khai căn. - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực. - Các giới hạn đặc biệt : lim ; lim 0cC C kx x x = = → ±∞ → ±∞ - Định nghĩa 2 : Giới hạn một bên của hàm số. Ví dụ : Tính 2 1 2lim 1x x x x→ + − − Giải : Vì ( )1 0 khi 1x x− → → , nên ta chưa thể áp dụng Định lí 1. Nhưng với 1x ≠ ta cĩ 2 2 2 1 x x x x + − = + − . Do đĩ ( ) 2 1 1 2lim lim 2 3 1x x x x x x→ → + − = + = − [11.CB, tr.127] Ví dụ (BT 4 trang 132 – ĐS & GT 11 năm 2007) : Tìm 1 2 7lim 1x x x−→ − − Giải : Ta cĩ ( ) ( ) 1 1 1 lim 2 72 7lim 1 lim 1 x x x xx ._.ểm làm việc với kỹ thuật đại số liên quan đến kiểu nhiệm vụ “tính lim ( ) x a f x → ” (67 – 70) Thời điểm này diễn ra dưới hình thức giáo viên gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải, sau đĩ tổ chức cho cả lớp nhận xét kết quả của bài tốn : 67. GV tiếp tục cơng việc: “Thầy mời 2 bạn lên bảng giải BT lấy điểm: Câu 3b, 3c và 3f; Câu 4a, 4b và 4c. Ai xung phong khơng?”. Nhiều HS giơ tay, Nhi và Nam được gọi lên bảng để thực hiện lời giải. Trong khi đĩ GV đi xuống lớp học để kiểm tra vở bài tập của HS, đồng thời nhắc nhở hai HS trên bảng chú ý trình bày bài giải một cách cẩn thận. Sau khi hai HS trên bảng thực hiện xong lời giải, GV tổ chức cho HS nhận xét các lời giải trên bảng. 68. Đầu tiên với câu 3b GV chỉ ra đây là dạng vơ định 0 0 và yêu cầu HS nêu phương pháp tìm giới hạn. HS nhất trí với việc phân tích ( )( )24 2 2x x x− = − + rồi sau đĩ đơn giản 2 x+ . 69. Đến câu 3c GV đặt câu hỏi: “để khử dạng vơ định 0 0 trong trường hợp này ta làm như thế nào?”. HS trả lời nhân và chia với biểu thức liên hiệp của 3 3x + − , GV gọi một HS đứng tại chổ nhận xét nhanh lời giải của Nhi. HS này nhận xét đúng và GV cho điểm HS Nhi là 9 điểm. 70. Với lời giải của Nam, vì HS này hầu như chỉ đưa ra kết quả của bài tốn nên GV yêu cầu Nam lên bảng tự tổ chức hướng dẫn cho các HS dưới lớp hiểu vì sao lại cĩ thể đưa ra các kết quả của BT4. HS này khơng lên, nên GV khơng cho điểm và bắt đầu hướng dẫn HS dưới lớp cùng giải quyết lại kết quả của BT4. Ở thời điểm này, chúng ta cĩ thể nhận thấy học sinh sử dụng kỹ thuật đại số để giải quyết các bài tốn thuộc kiểu nhiệm vụ “ tính lim ( ) x a f x → ” tương đối dễ dàng, và tuyệt đối vắng mặt hồn tồn kỹ thuật định nghĩa. Qua đĩ cũng chỉ rõ : quan điểm đại số của khái niệm giới hạn hồn tồn lấn át quan điểm xấp xỉ ở kiểu nhiệm vụ “ tính lim ( ) x a f x → ”. Thời điểm làm việc với kỹ thuật đồ thị (71 – 76) Thời điểm này được thực hiện qua việc giáo viên tổ chức hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài tập 5 (SGK 11.CB, tr.133) dưới hình thức gợi mở : 71. Cơng việc lại được GV tổ chức tiếp tục: “Chuyển qua BT5, tất cả cùng quan sát đồ thị và trả lời các câu hỏi sau: giá trị h àm số f(x) dần về đâu khi ?; 3 ?; 3 ?x x x− +→ −∞ → →− ”. 72. Cĩ những tiếng thảo luận về kết quả, GV gọi HS ở bàn đầu đứng dậy nêu câu trả lời. HS: “ x →−∞ thì ( )f x →−∞”. Nhiều HS khác nĩi kết quả sai và cho rằng ( ) 0f x → . 73. GV yêu cầu HS vừa trả lời xem lại đồ thị và GV nĩi lại kết quả: x →−∞ thì ( ) 0f x → . 74. GV tiếp tục cơng việc: “Khi 3x −→ nghĩa là 3x ≤ , thì ( )f x cĩ giá trị như thế nào?”. Một số HS: “ ( )f x →−∞”. 75. GV: “Khi 3x +→ − thì ( ) ?f x → ”. HS: “ ( )f x →+∞”. 76. GV yêu cầu HS kiểm tra lại các kết quả bằng cách tính ( )lim ; lim ( ); 3 f x f x x x −→ −∞ → lim ( ) 3 f x x +→ − trong vở nháp, HS thực hiện yêu cầu của GV và hầu hết đều đồng ý với các kết quả lúc đầu. Ở đây chúng tơi cĩ những nhận xét sau : + Vì khơng cĩ thực nghiệm số đi kèm, nên vấn đề tổ chức thực nghiệm bằng đồ thị g ặp nhiều khĩ khăn đối với học sinh. Hơn nữa, giáo viên cũng khơng thật sự quan tâm đến việc hình thành kỹ thuật này ở học sinh, cụ thể : giáo viên khơng làm rõ cho học sinh biết cách làm thế nào cĩ thể dựa vào đồ thị để cĩ được câu trả lời hồn tồn đúng. + Trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn của hàm số, bộ SGK 11.CB tồn tại hoạt động tính giới hạn bằng kỹ thuật đại số, đi kèm với hệ thống biểu đạt bằng đồ thị. Mặc dù loại nhiệm vụ này cĩ số lượng rất ít (2/41 nhiệm vụ) + Quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn thể hiện ở đây là quan điểm xấp xỉ x, nhưng ngầm ẩn bên trong vẫn là quan điểm đại số khi yêu cầu sử dụng kỹ thuật đại số để kiểm tra lại các kết quả tìm được. Thời điểm đánh giá của kỹ thuật đồ thị (77 – 78) Thời điểm này xuất hiện rất ngắn vào cuối tiết dạy 56, khi giáo viên đặt câu hỏi về khả năng sử dụng kỹ thuật đồ thị để tìm giới hạn của hàm số : 77. GV: “Như vậy, ta cĩ thể dựa vào đồ thị để nhận xét về giới hạn của hàm số. Bây giờ nếu x →+∞ thì ( ) ?f x → ”. 78. Một số HS suy nghĩ rồi trả lời: “Thưa Thầy ( ) 0f x → ” 3.3 Đánh giá tổ chức tốn học 3.3.1 Đánh giá kiểu nhiệm vụ  Tiêu chuẩn xác định Kiểu nhiệm vụ 2T : chứng minh tồn tại (hay khơng tồn tại) lim ( )f xx a→ được xác định tương đối rõ ràng qua các yêu cầu : chứng minh lim ( )f x a x a = → ; quan sát đồ thị và nêu nhận xét về lim ( )f x x a→ ; tìm lim ( ),f x x a+→ lim ( )f x x a−→ và lim ( )f x x a→ (nếu cĩ). Kiểu nhiệm vụ 2T được thể hiện qua số lượng nhiệm vụ tương đối ít (4 nhiệm vụ). Kiểu nhiệm vụ 1T : Tính lim ( )f xx a→ với a là một số thực, −∞ hoặc +∞ được xác định rõ ràng qua yêu cầu tính các giới hạn, và thể hiện qua số lượng nhiệm vụ khá lớn (14 nhiệm vụ).  Tiêu chuẩn về lý do tồn tại : lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ 1T và 2T khơng được nĩi rõ, đặc biệt câu hỏi «việc tìm lim ( )f x x a→ được dùng để làm gì?» khơng được nêu ra. Tuy nhiên hai kiểu nhiệm vụ này hồn tồn cĩ tính thỏa đáng về mặt nhu cầu tốn học của học sinh trong việc xét tính liên tục của hàm số, tính đạo hàm của hàm số ... trong các bài học tiếp đĩ. 3.3.2 Đánh giá kỹ thuật Các kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ 2T đã được soạn thảo nhưng khơng được thể chế hĩa bằng chữ viết, khơng thật dễ sử dụng và tầm ảnh hưởng khơng cao thể hiện qua số lượng mẫu quá ít. Đồng thời trong tương lai, khi xét đến các bài tốn cĩ liên quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số như : xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, tính đạo hàm của hàm số tại một điểm … thì những kỹ thuật này hầu như khơng được sử dụng đến. Các kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ 1T được soạn thảo và cĩ một số kỹ thuật được thể chế hĩa bằng chữ viết, kỹ thuật này dễ sử dụng và tầm ảnh hưởng tương đối lớn. Đồng thời trong tương lai, khi sử dụng giới hạn hữu hạn của hàm số nghiên cứu các khái niệm khác thì hầu như kỹ thuật đại số đều được sử dụng. 3.3.3 Đánh giá cơng nghệ Thơng báo cơng nghệ liên quan đến kỹ thuật của các kiểu nhiệm vụ được đưa ra dưới dạng định nghĩa và định lí để học sinh ghi vào vở. Tuy nhiên, vấn đề biện minh và giải thích cho các yếu tố cơng nghệ đã khơng được đặt ra, người ta xem thơng báo đĩ là mặc nhiên, đã được biết rõ (thể hiện qua việc thừa nhận khơng chứng minh nội dung các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số). Đặc biệt các yếu tố cơng nghệ để giải thích cho kỹ thuật đồ thị và kỹ thuật phản định nghĩa liên quan đến 2T đã khơng được xây dựng. 3.4 Một số kết luận Qua việc phân tích tổ chức tốn học, tổ chức didactic và đánh giá tổ chức tốn học được giáo viên giảng dạy, chúng tơi rút ra các kết luận sau đây : • Trong hoạt động xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm của bộ SGK 11.CB, giáo viên khơng quan tâm tổ chức cho học sinh thực hiện một thực nghiệm số với cá c giá trị của hàm số f(x) ứng với giá trị cụ thể của biến x, mà qua đĩ cĩ thể hình thành quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn. Ở đây giáo viên chỉ quan tâm đến mục đích hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số bằng ngơn ngữ khái niệm của dãy số mà học sinh đã học trước đĩ và hình thành kỹ thuật để giải quyết các nhiệm vụ “chứng minh lim ( )f x L x a = → ” hoặc “dùng định nghĩa tìm lim ( )f x x a→ ”. Điều này cho phép chúng tơi hợp thức giả thuyết H1. • Trong hoạt động xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực, mặc dù giáo viên cĩ tổ chức cho học sinh quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giới hạn của hàm số nhưng chỉ thể hiện ở mặt hình thức để cĩ thể dễ dàng phát biểu nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực (cụ thể khơng làm rõ cho học sinh phát hiện vì sao lại trả lời sai, và làm sao để cĩ câu trả lời luơn đúng), hồn tồn vắng mặt một thực nghiệm số đi kèm . Vì vậy trong hoạt động này, chúng tơi nhận thấy quan điểm xấp x ỉ x của khái niệm giới hạn cũng khĩ cĩ cơ hội xuất hiện qua vấn đề thực nghiệm bằng đồ thị, từ đĩ cho phép chúng tơi hợp thức giả thuyết H1. • Liên quan đến các tổ chức tốn học về giới hạn hữu hạn của hàm số : + Kỹ thuật được GV thật sự quan tâm và mong muốn HS nắm vững khi tìm giới hạn của hàm số đĩ là kỹ thuật đại số. Kỹ thuật định nghĩa chỉ được giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện khi đứng trước kiểu bài tốn : chứng minh lim ( )f x L x a = → hoặc dùng định nghĩa tìm lim ( )f x x a→ . + Kỹ thuật đồ thị khơng được quan tâm nhiều vì thiếu vấn đề thực nghiệm số, một việc làm cĩ thể giúp học sinh qua đĩ luơn tìm được câu trả lời đúng khi quan sát đồ thị hàm số. + Đặc biệt kỹ thuật phản định nghĩa để chứng minh khơng tồn tại giới hạn của hàm số (bằng cách chỉ ra hai dãy số ,n nu v cùng dần tới a nhưng lim ( ) lim ( )n nf u f v≠ ) khơng được GV quan tâm hình thành cho học sinh. + Lí do giáo viên kết luận khơng tồn tại giới hạn của hàm số (trong bài tập 2, trang 132 SGK 11.CB) cũng khơng được giải thích một cách thỏa đáng, theo chúng tơi là vì sự “ thiếu yếu tố lý thuyết của kỹ thuật ”. • Liên quan đến quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn tồn tại như thế nào trong thể chế hiện hành, chúng tơi kết luận : quan điểm đại số của khái niệm giới hạn hàm số hồn tồn sống được trong thể chế hiện hành, quan điểm xấp xỉ khơng cĩ khả năng sống mặc dù trong thể chế hiện hành tồn tại những bài tốn xấp xỉ và kiểu nhiệm vụ là vết của tổ chức tốn học OM2. Điều này cho phép chúng tơi hợp thức giả thuyết H2. KẾT LUẬN Việc phân tích và đối chiếu giữa một bộ sách giáo khoa Mỹ và bộ sách giáo khoa 11.CB của Việt Nam về cách xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn của hàm số, đồng thời kết hợp với nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên cho phép chúng tơi cĩ câu trả lời thỏa đáng cho những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2 và hợp thức hĩa được các giả thuyết nghiên cứu đặt ra trong luận văn. Sau đây là một số kết quả chính của nghiên cứu : Phân tích chương 1 của luận văn đã làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử, đồng thời ghi nhận được một số kết quả chính trong việc phân tích mối quan hệ thể chế của các cơng trình nghiên cứu trước đây về khái niệm giới hạn của hàm số. Phân tích trong chương 2 của luận văn đã làm rõ : Cách thức lựa chọn và trình bày kiến thức giới hạn hữu hạn của thể chế hiện hành và trong một bộ sách giáo khoa Mỹ ; những kiểu nhiệm vụ đặc trưng về giới hạn hữu hạn của hàm số và các yếu tố kỹ thuật, cơng nghệ liên quan đến các kiểu nhiệm vụ đĩ. Cụ thể : • Việc phân tích và nghiên cứu mối quan hệ của thể chế hiện hành đã cho thấy đâu là quan điểm khoa học luận nổi trội của khái niệm giới hạn hàm số, thể hiện qua số lượng nhiệm vụ và kỹ thuật được ưu tiên sử dụng trong việc tính giới hạn của hàm số. Đồng thời qua đĩ làm rõ những tiến triển liên quan đến việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số trong thể chế hiện hành so với các thể chế trước kia. • Việc phân tích một bộ sách giáo khoa Mỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam, đã làm rõ những lựa chọn sư phạm khác cĩ thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thơng Việt Nam. • Kết quả nghiên cứu chương 2 dẫn chúng tơi đến giả thuyết nghiên cứu : Giả thuyết H1 (Hợp đồng didactic liên quan đến hoạt động dạy học định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số) : R1 : Giáo viên khơng bị bắt buộc phải đảm bảo việc thực nghiệm số trong hoạt động 1 (trang 123) và hoạt động 3 (trang 127) của bộ sách 11.CB. Như vậy, thể chế khơng chú trọng hình thành quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn hàm số ở học sinh trong quá trình giảng dạy kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường THPT. R2 : Trong kiểu nhiệm vụ chứng minh giới hạn hàm số bằng định nghĩa, học sinh khơng cĩ trách nhiệm phải thực hiện một thực nghiệm số bằng việc tính tốn các giá trị của hàm số f(x) tương ứng với một dãy cụ thể các giá trị của biến x, mà chỉ phải thực hiện việc tính giá trị của hàm số từ một dãy số hình thức của biến. Giả thuyết H2 (liên quan đến khả năng sống của quan điểm xấp xỉ) Quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số khơng cĩ khả năng sống, khơng chỉ vì vai trị của nĩ thể hiện mờ nhạt trong việc xây dựng các khái niệm khác của Giải tích, mà cịn thể hiện ngay trong các tri thức được soạn giảng của giáo viên khi giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số, dưới vai trị là một đối tượng nghiên cứu. Phân tích chương 3 đã làm rõ những tổ chức didactic giáo viên sử dụng để giảng dạy và phản ánh thực tế giảng dạy kiến thức giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường THPT. Kết quả nghiên cứu cho thấy : Giáo viên chỉ tập trung vào việc xây dựng và củng cố kỹ thuật đại số trong việc tính giới hạn của hàm số, thơng qua việc áp dụng kỹ thuật để giải các bài tốn là vết của tổ chức tốn học OM1. Hầu như giáo viên khơng chú trọng đến các kiểu nhiệm vụ là vết của OM2 và kỹ thuật liên quan đến việc hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số. Đặc biệt là khơng chú trọng đến vấn đề thực nghiệm số đối với các hoạt động 1 và hoạt động 3 (trang 123, 127 của SGK 11_CB). Kết quả nghiên cứu chương III của luận văn cho phép chúng tơi hợp thức hĩa giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. Cuối cùng, qua việc phân tích bộ SGK.M , chúng tơi ghi nhận cĩ nhiều kiểu bài tốn tìm giới hạn của hàm số liên quan đến vấn đề thực nghiệm số và quan sát đồ thị của hàm số, trong khi bộ sách cơ bản của chương trình hiện hành ở Việt Nam chỉ xuất hiện những kiểu hoạt động và bài tập tìm giới hạn hoặc liên quan đến đồ thị hàm số hoặc liên quan đến thực nghiệm số (những dạng tốn này cĩ số lượng rất ít, khơng đáng kể). Trên cơ sở đĩ chúng tơi đặt hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: xây dựng một đồ án didactic dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số nhằm hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ở học sinh phổ thơng Việt Nam mà trong đĩ bao gồm cả thực nghiệm số và đồ thị của hàm số. TÀI LIỆU THAM KHẢO  1. Demana, Waits, Foley, Kennedy (2007), Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic. Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey. Tiếng Anh 1. Nhĩm AHA (1999), Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck. Tiếng Pháp 1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic Tốn, NXBĐHQG – TP.HCM. Song ngữ Việt – Pháp 1. Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngơ Thúc Lanh (2001), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Tốn 11, NXBGD, Hà Nội Tiếng Việt 2. Nguyễn Bá Đơ (chủ biên) – Đặng Khánh Hội – Nguyễn Văn Túc (2002), Các câu chuyện Tốn học, tập 4, Hữu hạn trong vơ hạn, NXBGD. 3. Trần Văn Hạo – Cam Duy Lễ (phần I) và Ngơ Thúc Lanh – Ngơ Xuân Sơn – Vũ Tuấn (phần II) (2001), Đại số và Giải tích 11 , NXBGD. 4. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2008), Đại số và Giải tích 11, NXBGD. 5. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2008), Giải tích 12, NXBGD. 6. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11, NXBGD. 7. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khá i niệm giới hạn trong dạy học Tốn ở trường THPT, Luận án thạc sĩ, TP.HCM. 8. Nguyễn Thị Phương Mai (2005), Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vơ hạn, Luận án thạc sĩ, TP.HCM. 9. Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2008), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXBGD. 10. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng (các tình huống dạy học điển hình), NXBĐHQG – TP.HCM 11. Vũ Tuấn (chủ biên) (2008), Bài Tập Đại số và Giải tích 11, NXBGD. 12. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy – học Tốn: Đồ án didactic trong mơi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, TP.HCM. 13. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2008), Một số kết quả tri thức luận …, Luận án Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), Trường ĐHSP_TP. Hồ Chí Minh 14. Bộ giáo dục và đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, NXBGD BIÊN BẢN DỰ GIỜ CÁC TIẾT DẠY (PHỤ LỤC TRANG 73) PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 53) Lớp học được quan sát là một lớp 11 gồm cĩ 45HS. Theo nhận định của GV thì đây là lớp ngoan, nhưng trình độ khơng đồng đều. Giờ học được quan sát vào ngày 8/1/2010, từ 7g50 đến 8g35. 27. GV bắt đầu giới thiệu bài dạy: “Chúng ta đã kết thúc bài giới hạn của dãy số. Hơm nay chúng ta bước sang bài 2: Giới hạn của hàm số”. GV vừa nĩi vừa ghi tiêu đề: I- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm – 1. Định nghĩa 28. GV ghi lên bảng: “Cho h/s 22 2( ) 1 x xf x x − = − . Cho 1n nx n + = , tìm ( )nf x ”. GV đặt câu hỏi: “Để tìm ( )nf x theo n ta làm như thế nào?” 29. Một số HS: “Thay 1n nx n + = vào x ” 30. GV: “Đúng rồi, tất cả hãy tính ( )nf x ” 31. Một HS: “ 2 2( )n nf x n + = ” 32. GV vừa nĩi vừa ghi lên bảng: “ 2 2 2( 1) 2 n n n x n n + + = = . Hãy tính lim , lim ( )n nx f x theo n?” 33. HS tính tốn bên dưới, một số HS đưa kết quả: “ ( )lim 1, lim 2n nx f x= = ” 34. GV: “Khi đĩ ta nĩi hàm số 22 2( ) 1 x xf x x − = − cĩ giới hạn là 2 khi 1x → . Tất cả mở SGK trang 124 ghi nội dung định nghĩa 1” 35. HS làm theo lời GV 36. GV: “Tất cả ghi xong chưa? Bây giờ chúng ta vận dụng định nghĩa để giải ví dụ sau: Cho h/s ( ) 2 9 3 xf x x − = + . Cm: ( ) 3 lim 6 x f x →− = − ” 37. GV: “Tìm TXĐ của hàm số trên?”. Một số HS: “ 3x ≠ − ” 38. GV vừa nĩi vừa viết trên bảng: “ ( ), 3n nx x∀ ≠ − và 3 khi nx n→− → +∞ . Ta cĩ ( )lim ?nf x = ”. Trong lớp một số tiếng xì xào nổi lên nhưng khơng cĩ câu trả lời. GV tiếp tục: “Vận dụng tương tự bài tốn lúc nãy, thay x bằng nx rồi tính ( )lim nf x ”. HS bắt đầu tính và đưa ra câu trả lời: ( )lim 6nf x = − 39. GV: “Theo nội dung định nghĩa ta cĩ ( ) 3 lim ? x f x →− = ”. Một số HS: “Bằng -6” 40. GV: “Chúng ta cĩ các nhận xét sau: 0 0 0lim ; limx x x xx x c c→ →= = ”. HS ghi lại nhận xét. 41. GV: “Về giới hạn hữu hạn của hàm số, ta cũng cĩ các định lí về tổng, hiệu, tích, thương và khai căn giống giới hạn của dãy số. Chúng ta về xem trong SGK. Và bây giờ chúng ta sẽ áp dụng nội dung định lí để tìm giới hạn của hàm số” 42. GV ghi lên bảng: “Tính các giới hạn sau: ( )2 1 2 2 31) lim 3 1 ;2) lim 5x x xx x x→ → + + + + 2 2 21 2 4 5 5 63) lim ; 4) lim 1 4x x x x x x x x→ → + − − + − − ” 43. HS ghi đề bài trên bảng vào tập. Một số HS hỏi làm thế nào để tính các giới hạn. 44. GV hướng dẫn: “với BT1 thì vận dụng định lí giới hạn của một tổng bằng tổng các giới hạn, ta cĩ được gì nào?”. 45. Hầu hết HS trả lời: ( )2 2lim 3 1 lim 3 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x + + = + + → → → → . 46. GV tiếp tục: “bây giờ áp dụng các giới hạn đặc biệt khi nãy, ta cĩ được kết quả của BT là bao nhiêu?”. Một số HS: “kết quả bằng 5”. GV nhận xét lại kết quả đồng thời hướng dẫn HS vì sao lại cĩ được kết quả đĩ, rồi trình bày nhanh lời giải. 47. GV: “muốn áp dụng định lí giới hạn của một thương thì cần điều kiện gì?”. HS trả lời: “mẫu số khác khơng”. GV tiếp tục: “BT2 cĩ áp dụng được định lí này khơng? Vì sao?”. HS trả lời được vì khi 2x → thì mẫu số khác 0. GV yêu cầu HS áp dụng định lí tìm giới hạn của BT2, HS vận dụng và giải đúng kết quả BT2 là 1. 48. Đến BT3 cĩ một số ý kiến: “Thầy ơi, 0 0 thì bằng ∞ hả Thầy?”.GV xuống xem xét lời giải của một vài HS sau đĩ đi lên bảng và giải thích: “Ở BT3 khi 1x → thì mẫu số cĩ giới hạn bằng 0, nên ta chưa thể áp dụng định lí để tìm gi ới hạn của BT3 được”. Cĩ một vài câu hỏi bên dưới: “Thầy ơi,vậy làm sao để giải?”. GV tiếp tục: “khi 1x → ta thấy tử và mẫu đều cĩ giới hạn bằng 0, ta gọi dạng tốn này là dạng vơ định 0 0 . Muốn tìm giới hạn ta phải khử dạng vơ định này”. 49. Một số HS dưới lớp nĩi làm sao để khử. GV nêu phương pháp bằng cách liệt kê thành các bước ghi trên bảng: “B1: phân tích các đa thức của tử và mẫu thành nhân tử; B2: đơn giản tử số và mẫu số; B3: thay giá trị của x để tính giới hạn”. HS ghi lại phương pháp. 50. Một số HS hỏi phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, GV trình bày hai cách: chia đa thức cho đa thức, sơ đồ hosner. Sau đĩ GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp đã ghi để giải BT3 và BT4, HS thực hiện các yêu cầu của GV để tìm lời giải BT. 51. GV: “chúng ta thấy cách tìm giới hạn bằng định nghĩa và bằng định lí, cách nào dễ thực hiện hơn?”. 52. Đa số HS đều cĩ sự lựa chọn là dùng định lí. GV gật đầu đồng ý nhưng nhắc nhở lại HS phải ghi nhớ điều kiện của định lí trong khi giải tốn. 53. Cuối cùng GV yêu cầu HS về nhà giải BT1, 2 và 3 trong SGK. HS đánh dấu BTVN. Trống đánh, giờ học kết thúc. PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 54) Lớp học được quan sát là một lớp 11 gồm cĩ 45HS. Theo nhận định của GV thì đây là lớp ngoan, nhưng trình độ khơng đồng đều. Giờ học được quan sát vào ngày 9/1/2010, từ 7g đến 7g45. 50. GV kiểm tra bài cũ: “Tính: 2 3 23 1 7 12 1) lim ; ) lim 3 2 3x x x x xa b x x x→ → − + − − + − ”. Một số HS giơ tay, GV gọi Nam lên bảng và HS này giải đúng, GV cho HS 8 điểm. 51. GV giới thiệu cơng việc: “Chúng ta tiếp tục nội dung bài giới hạn của hàm số, phần tiếp theo: Giới hạn một bên” 52. HS ghi tiêu đề bài học. Cĩ tiếng HS Nam: “Sao Thầy chỉ cho em 8 điểm, em xung phong mà”. GV giải thích: “Vì câu hỏi dễ, nếu bây giờ ai cĩ thể giải được bài to án sau thì được 10điểm”. GV ghi lên bảng: “Cho h/s ( ) 2 2 1 khi 1 2 3 khi 1 1 x x x f x x x x x  + + ≥ =  + − < − . Tính ( ) 1 lim x f x → ” 53. Dưới lớp cĩ nhiều tiếng xì xào, cĩ tiếng ai đĩ: “Thầy ác quá, cĩ đến hai biểu thức thì làm sao biết tính”. GV cũng nghe thấy và giải thích: “Vậy mới xứng đáng điểm 10 chứ. Thơi, chúng ta tạm ngưng BT này lại, mở SGK trang 126 đọc cho Thầy nội dung định nghĩa 2”. 54. HS mở SGK và GV gọi một HS đứng tại chổ đọc định nghĩa và yêu cầu HS về xem SGK. 55. GV tiếp tục cơng việc: “Trong phần giới hạn một bên, chúng ta cần ghi nhớ nội dung định lí sau: lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x L f x f x L x x x x x x = ⇔ = = + −→ → → ”. 56. Một số HS: “ 0x+ và 0x− là gì vậy thầy ?” GV: “ 0x+ nghĩa là giới hạn bên phải của hàm số, -0x là giới hạn bên trái của hàm số”. HS lại tiếp tục ghi nội dung định lí vào vở. 57. GV: “Bây giờ quay lại bài tốn vừa rồi, chúng ta cùng nhau đi tìm 1 lim ( ) x f x +→ và 1 lim ( ) x f x −→ ”. GV tiếp tục: “ khi 1x +→ , nghĩa là 1x ≥ thì hàm số được cho bằng biểu thức nào?”. HS : “ 2 1x x+ + ”. GV: “Lúc đĩ giới hạn của hàm số là bao nhiêu?”. Một số HS: “Bằng 3”. 58. GV: “Cả lớp cĩ đồng ý với kết quả đĩ khơng?”. Hầu hết HS đều trả lời: “Đồng ý”. GV: “Vậy chúng ta tiếp tục tìm 1 lim ( ) x f x −→ , nhưng trước hết cần phải biết được điều gì?”. Một HS: “phải biết lúc 1x < , hàm số được cho bằng biểu thức nào rồi mới tính giới hạn”. GV gật đầu và yêu cầu HS giải tiếp bài tốn và cho kết quả là 4. 59. GV: “Vậy 1 lim ( ) ? x f x → = ”. Một số tiếng tranh luận về kết quả, GV gợi ý: “Chúng ta xem lại định lí , 0 lim ( ) x x f x L → = khi nào?”. Một HS trả lời: “Khơng cĩ 1 lim ( ) x f x → ”, GV hỏi ngay HS đĩ: “Vì sao em lại nĩi khơng cĩ lim ( )? 1 f x x → ”. HS: “Vì lim ( ) lim ( ) 1 1 f x f x x x ≠ + −→ → ”. 60. GV: “ Đúng rồi, muốn cĩ lim ( ) 1 f x x → thì lim ( ) lim ( ) 1 1 f x f x x x = + −→ → . Chúng ta nhớ rõ điều này nhé!” 61. GV: “Chúng ta qua phần tiếp theo: Gi ới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực”. HS ghi tiêu đề vào tập. 62. GV: “Tất cả nhìn vào hình 52 trang 127, đây là đồ thị của hàm số ( ) 1 2 f x x = − . Chúng ta thấy khi x →+∞ thì giá trị ( )f x biểu diễn trên đồ thị dần đến giá trị nào trên hình vẽ?” 63. Một số HS: “Dần đến 2”. GV: “Khơng phải, đĩ là giá trị của x , nhìn lại thật kỹ khi x →+∞ , tức là x nhận các giá trị ngày càng xa gốc tọa độ về phía bên phải, thì ( ) ?f x → ”. Một số HS: “Dần tới 0” 64. GV: “Đúng rồi, tương tự khi x →−∞ thì ( ) ?f x → ”. Một số HS: “ ( ) 0f x → ” 65. GV: “Như vậy ta nĩi lim ( ) 0f x x = → +∞ hoặc lim ( ) 0f x x = → −∞ . Chúng ta đi vào nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực” 66. GV: Gọi một HS đứng tại chổ đọc nội dung định nghĩa, sau đĩ GV yêu cầu HS về xem và học thuộc định nghĩa trong SGK. 67. GV tiếp tục: “Bây giờ chúng ta ghi một vài chú ý: lim ; lim 0cc c kx x x = = → ±∞ → ±∞ ” 68. HS ghi các chú ý vào tập. Một số tiếng thở dài và cĩ tiếng HS than mệt. GV: “Thơi nào, cố gắng lên. Chúng ta xét ví dụ sau: Tìm 24 2lim 23 5 1 x x x x x + + → +∞ + + ” 69. Một HS: “Làm sao để tính hả Thầy?” 70. GV: “Chúng ta sẽ làm giống như giới hạn của dãy số. Bậc cao nhất của tử và mẫu là bao nhiêu?”. HS: “2”. GV: “Ta chia cả tử và mẫu cho x mũ mấy?”. HS: “Chia 2x ”. GV: “Đúng rồi, bây giờ thì tính giới hạn đi” 71. HS tính tốn và cho kết quả là 4 3 . GV nhận xét kết quả và cho thêm một vài ví dụ: tính các giới hạn sau 2 33 5 1) lim ; ) lim ; 2 4 31 2 2 x x x xa b x xx x x x − + + → +∞ → +∞+ + + + 2 22 3 1) lim ; ) lim 4 5 4 3 x x x xc d x xx x + + + + + −→ +∞ → −∞ 72. HS thực hiện giải. Đến câu d), do cĩ nhiều HS đưa ra kết quả là 1 4 nên GV hướng dẫn: “vì x →−∞ nên khi rút x ra bên ngồi căn ta cần phải đặt thêm dấu – vào trước căn, do vậy kết quả chính xác của câu d) là bao nhiêu?”, một số HS kiểm tra lại kết quả và đồng ý với đáp số là 1 4 − . 73. GV dặn dị HS cần chú ý với việc đưa biến số x ra ngồi dấu căn thức khi x →−∞ và yêu cầu về nhà làm BT4 và 5 trong SGK. PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 56) Lớp học được quan sát là một lớp 11 gồm cĩ 45HS. Theo nhận định của GV thì đây là lớp ngoan, nhưng trình độ khơng đồng đều. Giờ học được quan sát vào ngày 16/1/2010, từ 7g50 đến 8g35. 79. GV giới thiệu cơng việc: “Chúng ta bắt đầu sửa bài tập về giới hạn của hàm số. Các em mở SGK ra trang 132, ai cĩ thể lên bảng thực hiện giải BT1 câu a) trong SGK?”. 80. Nhiều HS trong lớp giơ tay, GV gọi HS Mai lên bảng và HS này giải đúng kết quả bài tốn, GV cho học sinh này 8 điểm. 81. GV tiếp tục cơng việc: “bây giờ đến BT2, em nào đã làm BT này rồi?”. 82. Khơng cĩ HS nào giơ tay mặc dù GV nĩi rằng sẽ cho 9 điểm nếu ai giải đúng và cĩ lời giải thích hợp lý về kết quả bài tốn. 83. GV hướng dẫn HS giải BT2: “Vậy chúng ta cùng bắt tay giải quyết BT2. Đầu tiên với 1 1,n nu vn n = = − thì lim ?;lim ?n nu v= = ” 84. HS: “ lim 0;lim 0n nu v= = ” 85. GV: “Tiếp theo làm thế nào để tính ( ) ( ),n nf u f v ?”. 86. Một số HS: “Thay x bằng 1 1,n nu vn n = = − ”. 87. GV: “Đúng rồi, nhưng quan trọng là thay 1nu n = vào biểu thức nào trong 2 biểu thức trên? Vì sao?”. 88. Một HS: “Thay vào biểu thức 1 vì 0nu > ”. GV: “Khi đĩ thì ( )lim ?nf u = ”. Một HS khác: “Bằng 1”. 89. GV: “Vận dụng tương tự như trên, ( )lim ?nf v = ”. GV gọi HS Thoa ở cuối lớp, HS này trả lời: “ ( ) 2lim lim 0nf v n  = − =    ” (GV khơng hỏi lý do vì sao HS này lại cĩ kết quả như vậy, chỉ cơng nhận kết quả) 90. GV: “Từ 2 kết quả trên, các em cĩ nhận xét gì về ( )lim ? 0 f x x → 91. Dưới lớp ồn vì các ý kiến khác nhau về kết quả, nhưng khơng cĩ HS nào xung phong trả lời. 92. GV tiếp tục: “Ta thấy 2 dãy số nu và nv cùng cĩ giới hạn là 0, nhưng ( )lim nf u và ( )lim nf v khác nhau. Theo nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm ta kết luận khơng tồn tại ( ) 0 lim x f x → . Được chưa, bây giờ thì các em ghi lời giải vào trong vở BT”. 93. HS tiến hành ghi chép lời giải. Một số HS khơng ghi, GV đến nhắc nhở phải ghi lại lời giải. 94. GV tiếp tục cơng việc: “Thầy mời 2 bạn lên bảng giải BT lấy điểm: Câu 3b, 3c và 3f; Câu 4a, 4b và 4c. Ai xung phong khơng?”. Nhiều HS giơ tay, Nhi và Nam đư ợc gọi lên bảng để thực hiện lời giải. Trong khi đĩ GV đi xuống lớp học để kiểm tra vở bài tập của HS, đồng thời nhắc nhở hai HS trên bảng chú ý trình bày bài giải một cách cẩn thận. Sau khi hai HS trên bảng thực hiện xong lời giải, GV tổ chức cho HS nhận xét các lời giải trên bảng. 95. Đầu tiên với câu 3b GV chỉ ra đây là dạng vơ định 0 0 và yêu cầu HS nêu phương pháp tìm giới hạn. HS nhất trí với việc phân tích ( )( )24 2 2x x x− = − + rồi sau đĩ đơn giản 2 x+ . 96. Đến câu 3c GV đặt câu hỏi: “để khử dạng vơ định 0 0 trong trường hợp này ta làm như thế nào?”. HS trả lời nhân và chia với biểu thức liên hiệp của 3 3x + − , GV gọi một HS đứng tại chổ nhận xét nhanh lời giải của Nhi. HS này nhận xét đúng và GV cho điểm HS Nhi là 9 điểm. 97. Với lời giải của Nam, vì HS này hầu như chỉ đưa ra kết quả của bài tốn nên GV yêu cầu Nam lên bảng tự tổ chức hướng dẫn cho các HS dưới lớp hiểu vì sao lại cĩ thể đưa ra các kết quả của BT4. HS này khơng lên, nên GV khơng cho điểm và bắt đầu hướng dẫn HS dưới lớp cùng giải quyết lại kết quả của BT4. 98. Cơng việc lại được GV tổ chức tiếp tục: “Chuyển qua BT5, tất cả cùng quan sát đồ thị và trả lời các câu hỏi sau: giá trị hàm số f(x) dần về đâu khi ?; 3 ?; 3 ?x x x− +→ −∞ → →− ”. 99. Cĩ những tiếng thảo luậ n về kết quả, GV gọi HS ở bàn đầu đứng dậy nêu câu trả lời. HS: “ x →−∞ thì ( )f x →−∞ ”. Nhiều HS khác nĩi kết quả sai và cho rằng ( ) 0f x → . 100. GV yêu cầu HS vừa trả lời xem lại đồ thị và GV nĩi lại kết quả: x →−∞ thì ( ) 0f x → . 101. GV tiếp tục cơng việc: “Khi 3x −→ nghĩa là 3x ≤ , thì ( )f x cĩ giá trị như thế nào?”. Một số HS: “ ( )f x →−∞ ”. 102. GV: “Khi 3x +→ − thì ( ) ?f x → ”. HS: “ ( )f x →+∞ ”. 103. GV yêu cầu HS kiểm tra lại các kết quả bằng cách tính ( )lim ; lim ( ); 3 f x f x x x −→ −∞ → lim ( ) 3 f x x +→ − trong vở nháp, HS thực hiện yêu cầu của GV và hầu hết đều đồng ý với các kết quả lúc đầu. 104. GV: “Như vậy, ta cĩ thể dựa vào đồ thị để nhận xét về giới hạn của hàm số. Bây giờ nếu x →+∞ thì ( ) ?f x → ”. 105. Một số HS suy nghĩ rồi trả lời: “Thưa Thầy ( ) 0f x → ” Trống đánh, giờ học kết thúc. GV dặn dị HS về làm tiếp các BT cịn lại trong SGK ._.