Dạy học các khái niệm toán học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 10

on người phát triển toàn diện, tư duy sáng tạo và năng lực thực hành giỏi thì sự nghiệp giáo dục và đào tạo cần được đổi mới. Trong đó, một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có phương pháp dạy học môn Toán. Thực trạng dạy học Toán ở trường phổ thông trong những năm gần đây cho thấy: Giáo viên rất ít chú ý đến rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh. Điều đó đã và đang làm cho tư duy học sinh bị trì trệ, phát triển không toàn diện. Trong quá trình học toán, học sinh bộc lộ những yếu kém về năng lực tư duy biện chứng, nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biến đổi, quá trình hình thành và phát triển, chưa thấy được sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối lập. Từ đó dẫn đến nhiều em gặp khó khăn khi tiếp cận một khái niệm toán học mới, cũng như khi giải các bài toán, nhất là các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo trong lời giải. Một trong những nguyên nhân có thể là giáo viên chưa thấy được tầm quan trọng tư duy biện chứng, và quan trọng hơn là thực hiện bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học toán như thế nào? Tư duy biện chứng được một số nhà Sư phạm, Giáo sư, phó giáo sư, tiến sĩ, các thầy giáo quan tâm và đề cập với một số các khía cạnh khác nhau.Tuy vậy, hiện nay, bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học toán vẫn là một đề tài tương đối mới. Thông qua dạy học môn Toán, cùng với tư duy logic, tư duy biện chứng góp phần tạo cơ sở PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 trang bị cho học sinh nhưng hiểu biết về thế giới quan duy vật biện chứng, để nhận thức hiện thực khách quan, hiểu sâu sắc bản chất toán học, góp phần đào tạo học sinh trở thành những con người phát triển toàn diện năng động, sáng tạo, phù hợp yêu cầu xã hội hiện nay. Từ yêu cầu cấp thiết đổi mới phương pháp dạy học, từ thực trạng dạy và học toán hiện nay, chúng tôi chọn đề tài : "Dạy học các khái niệm toán học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 " II. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy biện chứng, từ đó đưa ra một số biện pháp "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh" vào thực tiễn, thực tế dạy học Hình học 10 nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học toán. III. Giả thuyết khoa học Trong quá trình dạy học toán, nếu chú ý "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh" trên cơ sở kết hợp với tư duy logic và tuân thủ nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành thì chất lượng dạy học toán sẽ được nâng cao. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được những mục đích trên, khoá luận có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau. 1. Khái niệm tư duy biện chứng 2. Các đặc trưng cơ bản của tư duy biện chứng 3. Vai trò quan trọng và sự cần thiết "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh" trong dạy học khái niệm toán học. 4. Một số biện pháp thực hiện "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học Hình học 10 ". PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3 V. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến tư duy biện chứng, triết học Mác - Lênin và toán học. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tế. Thông qua dự giờ, điều tra, phỏng vấn giáo viên và học sinh để sơ bộ rút ra một số nhận xét về việc "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh". 3. Phương pháp kiểm chứng sư phạm. Tiến hành một số giờ dạy kiểm chứng sư phạm ở trường Trung học phổ thông, kiểm tra, đánh giá kết quả kiểm chứng, so sánh đối chiếu giữa lớp kiểm chứng và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tương đối, nhằm minh hoạ bước đầu những biện pháp đã được đề ra trong khoá luận. VI. Đóng góp của khoá luận 1. Về lý luận. Góp phần làm sáng tỏ nội dung "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh" trong dạy học toán ở trường phổ thông. 2. Về thực tiễn. - Xây dựng được một số biện pháp "Bồi dưỡng một số năng lực tư duy biện chứng cho học sinh". - Vận dụng một số biện pháp "Bồi dưỡng một số năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 ". PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4 Chương 1. Cơ sở lí luận xung quanh việc dạy học khái niệm toán học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh 1.1.Tư duy biện chứng và các đặc trưng cơ bản của tư duy biện chứng 1.1.1. Khái quát về tư duy biện chứng a. Tư duy Từ sự định nghĩa về tư duy của từ điển triết học: “ Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận,...Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật của thực tại”. Ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy: - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy (mà cũng là điều khó khăn) là ở sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh, với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm phản ánh đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. b. Khái niệm về tư duy biện chứng Vấn đề trung tâm của logic học là vấn đề chân lý, đó là sự phản ánh đúng đắn của tư duy con người đối với hiện thực. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5 Chủ nghĩa duy vật biện chứng dựa vào những quy luật, (còn gọi là những nguyên tắc) của phép biện chứng trong việc nghiên cứu tư duy, để vạch ra phép biện chứng của tư duy. Chính từ đó làm cho logic học trở thành khoa học về sự phát triển của tư duy con người, phản ánh sự phát triển của thế giới khách quan, xem xét tư duy và vạch ra con đường phải đi để nhận thức được đúng đắn thế giới bên ngoài, đi đến chân lý. Từ đó ta có thể nói: “Tư duy biện chứng là một dạng tư duy, xem xét sự vật trong sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển, trong sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc với các sự vật khác”. 1.1.2. Các đặc trưng cơ bản của tư duy biện chứng Tư duy biện chứng được đặc trưng bởi sự nhận thức tính thay đổi, tính hai mặt (thống nhất và mâu thuẫn) và tính toàn diện (sự liên hệ tương hỗ, phụ thuộc, giữa các khái niệm, quan hệ tương ứng). a. Tính thay đổi Một trong ba quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật là: Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lượng thành những sự thay đổi về chất và ngược lại. Quy luật này rất phổ biến trong toán học, ta có thể nhìn thấy một cách rõ nét nhất ở các bài toán khảo sát hàm số, các phương trình chứa tham số, hoặc các bài toán quỹ tích trong hình học... Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2 1( ) 3 3 f x x x x= - - . Hãy xét sự biến thiên của hàm số trên. Giải. Ta có: TXĐ: Ă . Và 2'( ) 2 3 f x x x= - - ( 1)( 3)x x= + - Khi đó 1 '( ) 0 3 x f x x = -ộ = Û ờ =ở ta có 3 '( ) 0 1 x f x x >ộ > Û ờ < -ở và '( ) 0f x < Û 1 3x- < < . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6 Vậy hàm số đồng biến trong (- ; 1Ơ ]U [3; Ơ ) và nghịch biến trong khoảng (-1; 3). Nhận xét. Từ ví dụ trên, ta thấy sự thay đổi của đối số x đến một giới hạn thì sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất của hàm số. Đó chính là sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất. Nhưng đồng thời ta cũng thấy được mối liên hệ phụ thuộc giữa các đối tượng toán học: Đối số và hàm số. Ví dụ 2. Cho phương trình: 2 (2 1) 0mx m x m+ + + = (1). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên. Giải. Phương trình đã cho có TXĐ : Ă . Trường hợp 1. Nếu 0m = : Phương trình đã cho trở thành: 0x = . Vậy nếu 0m = thì (1) có duy nhất một nghiệm là 0x = . Trường hợp 2. Nếu 0m ạ , thì (1) là một phương trình bậc hai, có: 2(2 1) 4. .m m mD = + - 2 24 4 1 4m m m= + + - 4 1m= + . Khả năng 1: Nếu 1 4 m < - thì 0D < : phương trình (1) vô nghiệm. Khả năng 2: Nếu 1 4 m = - thì 0D = : phương trình (1) có nghiệm kép. Khả năng 3: Nếu 1 4 m > - thì 0D > : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Vậy, kết luận: Nếu 0m = hoặc 1 4 - : phương trình đã cho có một nghiệm 0x = . Nếu 1 4 m < - : phương trình đã cho vô nghiệm. Nếu 1 4 m > - ( 0m ạ ): phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7 Nhận xét. Trong bài toán này, vấn đề cốt lõi là số nghiệm của phương trình thay đổi tuỳ theo sự thay đổi của tham số m . Như vậy nếu nhìn nhận vấn đề một cách biện chứng thì sự thay đổi của tham số m là sự thay đổi về lượng, còn sự thay đổi số nghiệm là sự thay đổi về chất. Bên cạnh đó, mối liên hệ phụ thuộc tương hỗ lẫn nhau giữa các đại lượng cũng được thể hiện rõ nét. Ví dụ 3. Xét hàm số ( )f x xa= (a ẻZ ) TXĐ: *Ă Ta thấy, khi a thay đổi nhưng vẫn thoả mãn 1a ạ - thì nguyên hàm của hàm số trên cũng thay đổi theo, là 1 1 xa a + + , nhưng vẫn là hàm số luỹ thừa. Khi 1a = - thì hàm số trên có dạng 1( )f x x = , và có nguyên hàm là ln x lại là một hàm số logarít. Như vậy, khi a thay đổi (tức là lượng đổi) thì nguyên hàm của hàm số ( )f x xa= cũng thay đổi: từ hàm số luỹ thừa số sang hàm số logarít, tức là đã có sự thay đổi về chất. Sự nhận thức tính thay đổi: sự vận động và phát triển là một trong những đặc trưng cho tính chất biện chứng của tư duy. Vì vậy để bồi dưỡng, rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh, thì trong quá trình dạy- học, mà ban đầu là dạy học khái niệm toán học, người giáo viên cần chú đến sự vận động, phát triển dần của các khái niệm để học sinh thấy được tính thay đổi, góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho các em. b. Tính hai mặt: Mâu thuẫn và thống nhất Để nhận thức đúng bản chất sự vật, tìm ra phương hướng và giải pháp đúng để giải quyết vấn đề, cần phải đi sâu nghiên cứu phát hiện ra những mâu thuẫn của sự vật. Muốn phát hiện ra mâu thuẫn, phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt, những khuynh hướng trái ngược nhau, tức là tìm ra những mặt đối lập và tìm ra những mối liên hệ, tác động qua lại lẫn nhau giữa các mặt đối lập đó. Ví dụ. Khi dạy định lí Cosin ở lớp 10, giáo viên chỉ đưa ra định lí và hướng dẫn học sinh chứng minh. Cách dạy này đã góp phần làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 8 một cách thụ động và thiếu sáng tạo, phần nào đã làm cho học sinh bị hạn chế trong sự phát triển tư duy nói chung và tư duy biện chứng nói riêng. Người giáo viên nên khéo léo, bằng khả năng sư phạm của mình, gợi lên một tình huống có vấn đề, gợi động cơ cho học sinh (bằng việc nhắc các kiến thức có liên quan), sau đó cho học sinh tự tìm tòi, phát hiện ra định lí Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lí Cosin khi tam giác mà ta đang xét là tam giác vuông. Cụ thể: - Giáo viên đưa ra yêu cầu học sinh chứng minh định lí Pitago, bằng kiến thức vectơ đã học. - Sau đó giáo viên có thể hỏi học sinh rằng: Giả thiết tam giác ABC vuông tại A đã được sử dụng ở đâu trong phép chứng minh? Khi đó, học sinh sẽ phát hiện ra rằng, trong phép chứng minh: 22 2 2( )a BC BC AC AB= = = - uuur uuur uuur 2 2 2. . (*)AC AB AC AB= + - uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2AC AB b c= + = + uuur uuur thì giả thiết tam giác ABC vuông tại A được sử dụng ở bước (*): . 0AC AB = uuur uuur . Từ đó, học sinh sẽ rút ra rằng nếu góc A không phải là góc vuông thì . 0AC AB ạ uuur uuur và . . ( , )AC AB AB AC cos AC AB= uuur uuur uuur uuur uuur uuur . Đến đây giáo viên cần hướng dẫn để học sinh tự nêu bật lên định lí, giống như là các em đã tự tìm ra định lí vậy. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9 Như vậy, ta có thể thấy tính chất hai mặt của vấn đề trong việc dạy học định lí này. Nếu xét tam giác vuông (là cái riêng) và tam giác (là cái chung), là mâu thuẫn với nhau mà không chú ý đến tính thống nhất của tư duy biện chứng rằng tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, thì ta sẽ không nghĩ ra rằng tam giác không có tính chất đó. Ngược lại phải nghĩ rằng tam giác ắt phải có tính chất tổng quát hơn, mà nó nhận định lí Pitago làm một trường hợp đặc biệt. Điều này, giúp học sinh phát hiện ra vấn đề và học tập một cách chủ động, sáng tạo và tích cực, tự giác hơn để phát hiện ra cái mới. Đồng thời nó cũng góp phần làm phát triển tư duy biện chứng cho học sinh khi học toán. c. Tính toàn diện, sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm và các quan hệ Khi ta xem xét một sự vật, ta phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, đặt nó trong mối quan hệ với các sự vật khác. Tuân thủ theo nguyên tắc này, giáo viên sẽ giúp học sinh tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện, một chiều. Giúp học sinh có cách nhìn biện chứng hơn, góp phần bồi dưỡng tư duy biện chứng cho các em. Ví dụ 1. Vectơ và các phép toán trên vectơ. Khi giáo viên dạy khái niệm vectơ cho học sinh, giáo viên có thể nói cho các em biết: trong thực tế cuộc sống, có những đại lượng có hướng cần được biểu diễn, ví dụ như vận tốc, gia tốc, lực,....Chính từ yêu cầu đó, khái niệm vectơ ra đời. Khi đã có khái niệm vectơ, người giáo viên đặt ra vấn đề: Ta đã có khái niệm hai số bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau.... Vậy liệu có khái niệm hai vectơ bằng nhau hay không? Và nếu có thì được định nghĩa như thế nào? Qua đó, giáo viên đã làm cho học sinh thấy được mối liên hệ liên môn trong nhà trường phổ thông. Nhất là giữa vật lí và toán học, để các em thấy được rằng toán học có mối quan hệ chặt chẽ với các môn học khác trong nhà trường. Ví dụ . Dạy học phép dời hình. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10 Phép tịnh tiến được định nghĩa: “Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M’ sao cho 'MM v= uuuuur r (v r là vectơ cố định) gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v r ”. Sau khi đã nêu định nghĩa phép tịnh tiến, trong khi tiến hành tổ chức hoạt động “ thể hiện, nhận dạng” và “củng cố” khái niệm cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh thấy được “cái hay” của phép tịnh tiến, và thấy được mối quan hệ giữa các giả thiết trong bài toán với phép tịnh tiến. Giáo viên có thể đưa ra một số ví dụ sử dụng phép tịnh tiến khá điển hình. Bài toán. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và có hai điểm B, C cố định, còn điểm A chạy trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC. Giải. Trước hết, giáo viên yêu cầu để cho học sinh xác định rõ đâu là yếu tố cố định, đâu là yếu tố thay đổi trong bài toán trên. Cụ thể, dễ thấy hai điểm B, C là cố định, còn A thay đổi. Đồng thời H là trực tâm của tam giác nên AH BC^ , mà BC không đổi nên phương của AH cũng không thay đổi. Từ những yếu tố cố định đã cho là đường tròn tâm O, hai điểm B, C, ta có thể tạo thêm những yếu tố cố định khác. Ví dụ như điểm xuyên tâm đối của B, C. Gọi B’ là điểm xuyên tâm đối của B. Khi đó B’ cũng là điểm cố định. Ta có: ' ' B C BC AH B C AH BC ^ỡ ịớ ^ợ P PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 11 ' ' B A AB B A CH CH AB ^ỡ ịớ ^ợ P ị AHCB’ là hình bình hành ị AHPB’C và AH=B’C. ị 'AH B C= uuur uuuur với mọi A thay đổi trên (O). ị H là ảnh của A qua phép tịnh tiến BC uuur . Vì A chạy trên (O) nên quỹ tích H là đường tròn (O’), ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ BC uuur . Từ những định hướng mà giáo viên đưa ra, sẽ giúp học sinh thấy được mối liên hệ: Khi gặp các bài toán mà trong đó vectơ nối tạo ảnh và ảnh có phương không đổi thì ta nghĩ ngay đến phép tịnh tiến. Bên cạnh đó, bằng các ví dụ cụ thể, dần dần giáo viên giúp cho học sinh hình thành cách nhìn biện chứng, nhìn sự vật luôn để nó vào trong mối quan hệ phụ thuộc với các sự vật khác. Từ đó nhìn nhận rõ vấn đề và giải quyết vấn đề rõ ràng hơn. Như vậy, trong quá trình dạy học toán, nhất là các khái niệm toán học, nếu giáo viên nắm được các đặc trưng cơ bản của tư duy biện chứng thì có thể có được nhiều biện pháp định hướng: Muốn bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho các em thì cần làm những gì, điều này đặc biệt rất quan trọng. 1.2. Bình luận vai trò của tư duy biện chứng trong việc dạy học các khái niệm toán học Khi dạy học một khái niệm toán học thì quá trình hình thành các khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa. Bởi, hình thành được một khái niệm cho học sinh bao gồm việc phát biểu được định nghĩa, củng cố khái niệm và vận dụng các khái niệm đó vào giải toán. 1.2.1. Vai trò của tư duy biện chứng trong hình thành định nghĩa khái niệm “Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không ” PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 12 Trong dạy học người ta phân chia 3 con đường tiếp cận khái niệm: - Con đường quy nap. - Con đường suy diễn. - Con đường kiến thiết. a. Vai trò của tư duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình vẽ, người giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đó dẫn đến một định nghĩa tường minh, hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó, tuỳ theo yêu cầu của chương trình. Như vậy, ta có thể thấy, tiếp cận khái niệm bằng con đường quy nạp này rất mang màu sắc “tư duy biện chứng” . Từ những ví dụ cụ thể, từ vật thật, từ mô hình, hình vẽ, qua hoạt động tư duy của học sinh để đi đến một định nghĩa tường minh. Đó chính là sự thể hiện của quy luật “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” . Quy luật trên càng được làm rõ hơn qua qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đường quy nạp: Bước1. Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt các đối tượng nào đó. Bước2. Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu. Bước3. Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm. Ví dụ1. Để hình thành khái niệm phép dời hình trong mặt phẳng ( Hình học 10 ) có thể tiến hành như sau: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 13 Bước1. Giáo viên cho học sinh nêu lại khái niệm các phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép tịnh tiến, cùng những tính chất của các phép đó. Bước2. Với mỗi phép trong 3 phép trên, ứng với mỗi điểm M, ta đều có thể chỉ ra một điểm M’ hoàn toàn xác định. Và nếu có 2 điểm M, N thì tương ứng ta sẽ có M’, N’ và MN = M’N’. Giáo viên dẫn dắt cho học sinh phân tích, so sánh các trường hợp trên để rút ra tính chất chung cho cả 3 phép đó. Bước3. Trên cơ sở nhận xét đã đạt được ở (bước 2), giáo viên gợi ý cho học sinh phát biểu được định nghĩa: Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một điểm M’ (gọi là tương ứng với M) sao cho nếu hai điểm M’ và N’ tương ứng với hai điểm M và N thì MN = M’N’. Ví dụ 2. Để hình thành khái niệm cấp số nhân (Đại số và Giải tích 11), ta có thể tiến hành như sau: Bước 1. Cho các dãy số: 1,2,4,8,16. (1) và 1 1 11, , , ,... (2) 3 9 27 . Bước 2. Giáo viên yêu cầu học sinh có nhận xét gì về mỗi dãy số, mối quan hệ giữa các số hạng trong từng dãy số? Học sinh sẽ nêu lên được: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 14 Dãy (1) : - Là dãy hữu hạn, tăng. - số sau gấp hai lần số liền trước nó. Dãy (2): - là dãy số vô hạn, giảm. - số sau gấp 1 3 lần số liền trước nó. Giáo viên yêu cầu học sinh rút ra đặc điểm chung của cả hai dãy số trên: Mỗi số hạng đứng sau bằng tích của số hạng đứng trước với một số không đổi. Bước 3. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi, gọi là công bội. Nhận xét. Ví dụ trên cho thấy vai trò quan trọng của “tư duy biện chứng” trong việc hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp. Tính biện chứng là sự tuân theo quy luật “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” và “tư duy biện chứng” được thể hiện ở các hoạt động tìm mối liên hệ, phân tích, so sánh, xem xét và khái quát hoá để tìm được đặc điểm chung của hai dãy số, từ đó đi đến định nghĩa. b. Vai trò của tư duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh là con đường suy diễn, trong đó việc định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm mà học sinh đã được học. Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau: Bước 1. Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm. Bước 2. Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ vào khái niệm tổng quát hơn, cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó. Bước 3. Đưa ra ví dụ đơn giản để minh hoạ cho ví dụ vừa được định nghĩa. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 15 Ví dụ. Để hình thành khái niệm bình phương vô hướng của véc tơ a r , ta có thể tiến hành như sau: Bước 1. Giáo viên nhắc lại tích vô hướng của hai véc tơ a r và b r : . ( , )a b a b cos a b= r r r r r r Nếu trong công thức trên, thay b r bởi a r thì ta có được điều gì? Đến đây học sinh sẽ tự rút ra được 22 .a a a a= = r r r r . Bước 2. Giáo viên nêu định nghĩa bình phương vô hướng của véc tơ a r : Tích vô hướng của véc tơ a r với chính nó gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a r và kí hiệu là 2 a r . Bước 3. Giáo viên đưa ra vài ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa. Nhận xét. Từ ví dụ trên, ta thấy được tính chất biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn, đó chính là sự tuân theo quy luật “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng , từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn”. Hơn nữa, tính “biện chứng” thể hiện rõ nét ở sự suy diễn, tổng kết và đặt các sự vật vào trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, cũng như luôn đặt trong trạng thái vận động. c. Vai trò của tư duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con đường kiến thiết Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ, đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa. Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 16 Bước 1. Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn. Bước 2. Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành. Bước 3. Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2. Ví dụ. Khái niệm cộng hai vectơ (Hình học 10). Đây là một khái niệm mới mà ta không sử dụng con đường quy nạp để tiếp cận được, bởi chưa hình thành được ngoại diên khái niệm. Mặt khác, giáo viên cũng không sử dụng con đường suy diễn để tiếp cận khái niệm này, bởi chưa phát hiện được một khái niệm “ loại ” nào để xuất phát. Vì vậy con đường kiến thiết là con đường thích hợp nhất để hình thành khái niệm này. Để hình thành khái niệm cộng hai vectơ, ta có thể tiến hành như sau: Bước 1. Xét ba lực cùng đặt từ điểm A của một vật rắn có độ lớn bằng nhau, và đôi một tạo với nhau cùng một góc bằng 0120 . Chúng được biểu diễn bởi các vectơ: , ,AB AC AD uuur uuur uuur , thuộc một mặt phẳng, lần lượt bằng 1 2 3, ,F F F uur uur uur . Yêu cầu học sinh giải thích khi đó tại sao vật đứng yên? Hiện tượng trên giống như khi neo một con thuyền, chịu ảnh hưởng sức đẩy của dòng nước 1F uur , sức gió thổi 2F uur và sức căng dây neo 3F uur . Giải thích vì sao thuyền PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 17 đứng yên không chuyển động?Yêu cầu học sinh phân tích, so sánh và giải thích? Chẳng hạn trường hợp con thuyền, nó đứng yên vì hợp của hai lực 1F uur , 2F uur là một lực trùng với 3F uur . Nghĩa là nếu 1 2 4F F F+ = uur uur uur , biểu thị bởi vectơ AE uuur thì 3F uur và 4F uur là ngược hướng và có cùng độ dài 3 4F F= uur uur . Khi đó các điểm D, A, E thẳng hàng. Do góc à à à,A,B D đều bằng 120o và D, A, E thẳng hàng nên góc BAE =60o . Mặt khác, tam giác BAE cân, do AE = 3 1F F= uur uur =ABị tam giác BAE đều. Lập luận tương tự ta có tam giác EAC là tam giác đều, và từ đó suy ra ABEC là hình bình hành. Vậy 2F AC BE= = uur uuur uuur . Khi đó người ta nói rằng: 1 2 4 (1)F F AB BE AE F+ = + = = uur uur uuur uuur uuur uur Nhận xét. Nếu thay điểm đặt A của ba lực 1 2 3, ,F F F uur uur uur , giữ nguyên hướng và độ lớn, khi đó ta hình dung: 1 ' 'AB F A B= = uuur uur uuuur (A’ là điểm khác A thuộc vật rắn xét ở trên). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 18 2' 'A C F AC= = uuuur uur uuur 3' 'A C F AD= = uuuur uur uuur ' 'A E AE= uuuur uuur là hợp của hai lực trên. Bằng lập luận tương tự ta cũng có: ' 'B E BE= uuuur uuur , và từ đó ta có: 1 2 4' ' ' ' ' ' (2)F F A B B E A E AE F+ = + = = = uur uur uuuur uuuur uuuur uuur uur Từ các hệ thức (1) và (2), ta có nhận xét: Tổng của hai lực 1 2F F+ uur uur là một lực 4F uur không phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt, chỉ phụ thuộc vào độ lớn và hướng của chúng. Bước 2. Tổng quát tình huống trên, cho hai vectơ a r ,b r bất kì trong mặt phẳng, làm thế nào để xác định tổng a b+ r r .Yêu cầu học sinh nhận xét dẫn tới: Đặt từ điểm A vectơ AB a= uuur r , tiếp đó đặt từ điểm B vectơ BC b= uuur r , khi đó vectơ AC uuur là tổng của hai vectơ a r và b r và viết: AC uuur = a b+ r r . Học sinh cần nhận xét a b+ r r không phụ thuộc vào việc chọn điểm A. Bước 3. Từ những gợi ý ở bước 2, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu chính xác định nghĩa tổng của hai vectơ. Nhận xét. Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình thành khái niệm. Hơn nữa, bởi con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn nên quy luật biện chứng “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” được tuân thủ triệt để. Chính điều đó rất kích thích sự phát triển tư duy biện chứng cho học sinh. 1.2.2. Tư duy biện chứng trong các hoạt động củng cố khái niệm a. Tư duy biện chứng trong nhận dạng và thể hiện khái niệm PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 19 Nhận dạng và thể hiện khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hay ẩn tàng) là hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm vào giải toán. Hơn thế nữa, nhận dạng một khái niệm là hoạt động để từ cái riêng đến cái chung, từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, tức là xem xét một lớp đối tượng với những đặc điểm đó có thoả mãn định nghĩa của một khái niệm nào đó hay không. Đi ngược lại với hoạt động này là thể hiện khái niệm. Đây là hoạt động đi từ cái chung đến cái riêng, từ cái trừu tượng đến cái cụ thể, tức là chỉ ra được những đặc điểm thuộc tính của một khái niệm qua định nghĩa của nó, từ đó, tạo ra được những đối tượng thoả mãn định nghĩa của khái niệm. Như thế hoạt động thể hiện và nhận dạng một khái niệm có tác dụng bồi dưỡng tư duy đi từ cái chung đến cái riêng, cái trừu tượng đến cái cụ thể, và ngược lại cho học sinh. Vì vậy, nhằm phát triển tư duy biện chứng cho học sinh, khi dạy khái niệm, giáo viên cần tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất, để từ đó tổng hợp lại, nhận biết và phân biệt với các khái niệm khác hay để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau. Ví dụ. Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm hai vectơ bằng nhau. Cho các hình vẽ sau: 1. Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và giải thích? a. AE EB= uuur uuur . b. AE FC= uuur uuur . 2. Trên hình vẽ (b), các cặp vectơ sau bằng nhau, đúng hay sai và giải thích tại sao? PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 20 a. MQ NP= uuuur uuur . b. MN QP= uuuur uuur . c. PQ MN= uuur uuuur . 3. Trên hình vẽ (a), hãy xác định điểm I sao cho bộ ba vectơ EF uuur , BI uur , IC uur thoả mãn: Hai vectơ bất kì trong bộ đó bằng nhau? Giải. 1. a. ?AE EB= uuur uuur Để xem xét mệnh đề này có đúng hay không, học sinh cần đối chiếu với khái niệm hai vectơ bằng nhau, xem hai vectơ AE._. uuur và EB uuur có thoả mãn định nghĩa hay không. Khi đó sẽ thấy AE EB= uuur uuur bởi vì: + AE uuur và EB uuur có cùng hướng. + AE = EB, do E là trung điểm của AB, hay AE uuur và EB uuur có cùng độ dài. b. ?AE FC= uuur uuur Mệnh đề này sai. Vì đối chiếu với khái niệm hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ này không thoả mãn. 2. Tương tự, học sinh muốn biết các mệnh đề: MQ NP= uuuur uuur , MN QP= uuuur uuur , PQ MN= uuur uuuur , mệnh đề nào đúng, thì các em phải xem xét các cặp vectơ ấy có thoả mãn định nghĩa hai vectơ bằng nhau hay không. Hoạt động trên chính là hoạt động nhận dạng hai vectơ bằng nhau. 3. Xác định được điểm I sao cho EF uuur , BI uur , IC uur bằng nhau chính là hoạt động thể hiện khái niệm hai vectơ bằng nhau, tức là tạo ra các đối tượng thoả mãn định nghĩa. Khi đó, các em sẽ thấy EF uuur = BI uur = IC uur nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài với nhau. Do EF BCP nên để EF uuur và BI uur có cùng hướng thì I phải nằm trên đường thẳng BC và I nằm về phía phải của điểm B. Đồng thời vì EF là đường trung bình nên 1 2 EF BC= . Vì vậy để EF uuur và BI uur có cùng độ dài thì EF = BI. Khi đó I PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 21 chính là trung điểm BC. Kiểm tra lại ta cũng sẽ thấy với điểm I đó ta cũng có: EF uuur = IC uur và BI uur = IC uur . Vậy điểm I cần tìm là trung điểm của BC. ở mức độ cao hơn, giáo viên có thể yêu cầu học sinh thể hiện và biết so sánh các khái niệm gần gũi nhau, như hai vectơ cùng phương, cùng hướng trên tập hợp các vectơ. Đặc biệt, cần chú trọng để học sinh có thể tìm các ví dụ lấy trong thực tế, trong vật lí các đại lượng vectơ thoả mãn định nghĩa hai vectơ cùng phương, cùng hướng, khác hướng và bằng nhau của hai vectơ. Các ví dụ lấy trong vật lí để thể hiện khái niệm hai vectơ bằng nhau, hoặc hai vectơ có độ lớn bằng nhau mà ngược chiều có thể là các tình huống: - Một vật treo bằng sợi dây trên xà ngang, thì dây treo có các vectơ lực: Trọng lực P ur và sức căng sợi dây T ur cùng phương, có cùng độ lớn nhưng ngược hướng. - Hai vật có khối lượng như nhau treo theo phương thẳng đứng có trọng lực 1P ur , 2P uur có cùng độ lớn, cùng phương, cùng hướng và bằng nhau. b. Tư duy biện chứng trong hoạt động ngôn ngữ Khi dạy học khái niệm, giáo viên cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ dưới đây sẽ vừa có tác dụng củng cố khái niệm, vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh: - Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình một cách chính xác, rõ ràng , ngắn gọn. Biết diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau, ví dụ như chuyển ngôn ngữ từ nói sang viết, sang kí hiệu toán học, hoặc chuyển ngôn ngữ từ hình học tổng hợp sang vectơ hoặc sang biến hình hay toạ độ... PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 22 - Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng, để từ đó có thể phát biểu định nghĩa bằng nhiều cách tương đương. Ví dụ 1. Trong hình học tổng hợp ta nói G là trọng tâm của tam giác ABC, thì sang ngôn ngữ véc tơ, ta có thể biểu diễn điều đó dưới dạng : 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r . Ví dụ 2. Khái niệm tứ diện gần đều, ta có thể phát biểu bằng nhiều cách: - Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau. - Tứ diện có tổng các góc phẳng ở đỉnh là 180o . - Tứ diện có các mặt là các tam giác bằng nhau. - Tứ diện có các đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện đi qua trung điểm hai cạnh ấy. Nhận xét. Qua các hoạt động ngôn ngữ như đã nêu trên trong dạy học khái niệm, giáo viên đã góp phần phát triển và rèn luyện năng lực trí tuệ cho học sinh, giúp các em linh hoạt trong việc nhìn nhận một khái niệm và đặt khái niệm đó trong mối liên hệ với các khái niệm có liên quan. Từ đó sẽ tăng khả năng ứng dụng của khái niệm và giúp các em phát triển tư duy biện chứng tốt hơn. c. Tư duy biện chứng trong các hoạt động: Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá Trong dạy học khái niệm, giáo viên còn cần thiết và có thể thực hiện nhiều hoạt động khác nữa (ngoài các hoạt động đã nêu trên), trước hết là: - Khái quát hoá, tức là mở rộng khái niệm. Chẳng hạn, khi học khái niệm cộng hai vectơ, ở ví dụ mục c, trong hình bình hành ABEC, ta có: AB AC AE+ = uuur uuur uuur . Từ đó, khái quát lên cho mọi hình bình hành. - Đặc biệt hoá, là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái tổng quát. Nó thường được sử dụng trong trường hợp định nghĩa một khái niệm mới từ khái niệm đã biết, (trường hợp hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 23 Ví dụ. xét những hình bình hành đặc biệt với một góc vuông, ta được hình chữ nhật, hoặc hai cạnh liên tiếp bằng nhau ta được hình thoi. - Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng - loại của hai khái niệm. Nhận xét. Những hoạt động trên là những hoạt động trí tuệ, giúp học sinh phát huy tính sáng tạo và linh hoạt hơn trong việc nhìn nhận các đối tượng, hiện tượng dưới nhiều góc độ khác nhau trong sự vận động và phát triển của chúng. 1.2.3. Vai trò của tư duy biện chứng trong vận dụng khái niệm a. Vai trò của tư duy biện chứng trong khai thác và ứng dụng khái niệm vào dạy học định lí Ví dụ. Dạy học định lí cosin trong tam giác. hoạt động gợi động cơ nhằm phát hiện định lí: Từ cấp II, học sinh đã học và chứng minh định lí Pitago bằng hình học tổng hợp. Lên lớp 10, học sinh đã học khái niệm vectơ và các phép toán trên vectơ. Trước hết để gợi động cơ ban đầu cho học sinh phát hiện định lí cosin, ta yêu cầu học sinh chứng minh lại định lí Pitago bằng cách sử dụng vectơ. Khi đó học sinh sẽ chứng minh: 22 2 2( )a BC BC AC AB= = = - uuur uuur uuur 2 2 2. .AC AB AC AB= + - uuur uuur uuuruuur 2 2 0AC AB= + - PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 24 2 2b c= + . Như vậy, định lí Pitago đã được chứng minh bằng công cụ vectơ. Đến đây, giáo viên yêu cầu học sinh nghiên cứu cách chứng trên để tìm ra hệ thức tổng quát hơn cho tam giác thường. Khi đó nếu tư duy biện chứng của học sinh đã “khá”, ắt hẳn học sinh sẽ nhìn nhận được mối liên hệ giữa tam giác vuông và tam giác thường và nhìn nhận được trong phép chứng minh ở trên, vì nhờ có giả thiết góc A = 90o nên . 0AB AC = uuur uuur . Vậy trong tam giác thường thì sao? từ đó, học sinh sẽ khám phá ra được trong tam giác thường: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + - . đó chính là nội dung của định lí cosin trong tam giác. Nhận xét. Dạy học một khái niệm mới rất có ý nghĩa trong việc nâng cao kiến thức và tầm hiểu biết. Đồng thời giúp học sinh biết vận dụng khái niệm để tiếp cận và phát hiện định lí mới chính là đã giúp cho các em biết nhìn nhận mối quan hệ giữa các sự vật hiện tượng-là một đặc trưng của tư duy biện chứng. b. Vai trò của tư duy biện chứng trong việc khai thác và ứng dụng khái niệm vào dạy học giải bài tập toán Trong dạy học giải bài tập toán, khi giáo viên đưa ra một số bài toán cho học sinh tìm tòi lời giải,các em sẽ suy nghĩ đến giả thiết của bài toán, các dữ kiện cho trong giả thiết, cùng những mối liên hệ giữa các dữ kiện với nhau. Bên cạnh đó, bằng sự suy luận một cách logic và tính biện chứng trong nhìn nhận vấn đề, các em có thể tạo thêm được những mối liên hệ mới, đồng thời tạo ra những yếu tố thoả mãn định nghĩa....Từ đó, các em tìm ra mấu chốt của vấn đề, tìm ra được chìa khoá để mở ra hướng giải quyết. Ví dụ. Khi học sinh đã tiếp cận được khái niệm phép đồng dạng, giáo viên cần tiến hành các hoạt động thể hiện, nhận dạng nhằm củng cố khái niệm qua việc giải các bài tập toán. - ứng dụng phép đồng dạng trong bài toán chứng minh PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 25 Ví dụ. Trên cạnh AB của tam giác ABC, lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Các điểm A1, B1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AC. BB1 I CN =P; AA1 I CM=K. Chứng minh rằng PKPBA. Giải.Giả sử O là trọng tâm của tam giác ABC (hình vẽ). MB1PNC (đường trung bình của tam giác ANC). Từ đó : BP=PB1. Ta có : 1 1 1 2 2 3 OP BP BO BB BB= - = - uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 1 6 4 BB OB= - = uuur uuur . Tương tự, ta có: 1 4 OK OA= uuur uuur . Nghĩa là 1( ; ) : 4 V O B Pa ; A Ka . Từ đó BA PKP . - ứng dụng của phép đồng dạng trong bài toán quỹ tích Ví dụ. Cho tam giác ABC. Qua điểm M thuộc cạnh AB, vẽ các đường thẳng song song với các đường trung tuyến AA1, BB1 tương ứng cắt BC và CA tại các điểm P, Q. Hãy tìm quỹ tích các điểm S sao cho MPSQ là hình bình hành. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 26 Giải. Giả sử MQI AA1 = E. MP I BB1 = F. Khi đó: 1 ME MQ BG BB = uuur uuuur uuur uuur với G = AA1 I BB1 . 1 2 3 ME BG MQ BB ị = = uuur uuur uuuur uuur 2 3 ME MQị = uuur uuuur . Tương tự ta có : 2 3 MF MP= uuur uuur . Mặt khác MEFG là hình bình hành nên: MG ME MF= + uuuur uuur uuur 2 2 3 3 MQ MP= + uuuur uuur 2 3 MS= uuur (S là đỉnh của hình bình hành). Từ đó có: 1 2 GS GM = - uuur uuuur hay S là ảnh của M qua phép tịnh tiến vị tự 1 2 GV - . Vậy tập các điểm S là ảnh của đoạn AB qua phép vị tự trên, chính là đoạn A1B1. - ứng dụng phép đồng dạng trong các bài toán dựng hình PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 27 Ví dụ. Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng a tại điểm A cho trước. Giả sử P là điểm thuộc (O). Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với (O) tại P và với đường thẳng a . Giải. Giả sử đã dựng được đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại P và tiếp xúc vớia tại B như yêu cầu bài toán. Nếu dựng được điểm B thì điểm O’ tâm của đường tròn (O’) là giao của đường thẳng vuông góc với a tại B và đường thẳng qua 1O P . Ta sẽ sử dụng phép đồng dạng để dựng B. Ta thấy phép vị tự tâm P biến (O’) thành (O), a thành 'a tiếp xúc với (O) tại B1 và 'a aP . Từ đó B1 là điểm xuyên tâm đối của A và điểm B là giao của B1P với a . Cách dựng. - Dựng đường thẳng AO cắt (O) tại B1. - Dựng giao của đường thẳng PB1 và a ta có B. - Dựng đường thẳng qua B và vuông góc với a . - Dựng giao của OP với đường vuông góc vừa dựng, ta được O’. Nhận xét. Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn, là một trong các yêu cầu của việc dạy học các khái niệm toán học ở trường phổ thông, mà giáo viên phải làm cho học sinh dần dần đạt được. Nó có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, bồi PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 28 dưỡng thế giới quan cho học sinh. Điều đó cũng có nghĩa rằng nó góp phần không nhỏ trong việc phát triển và bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh. Nhưng ngược lại, để học sinh nắm được khái niệm và vận dụng được các khái niệm và phân loại được khái niệm mới trong hệ thống các khái niệm, học sinh cần phải có sự linh hoạt trong nhìn nhận vấn đề, cần xem xét hết mọi khía cạnh của vấn đề trong sự thay đổi của nó và trong sự phụ thuộc của nó với các vấn đề khác. Đó chính là vai trò của tư duy biện chứng trong việc dạy học khái niệm toán học. c. Vai trò của tư duy biện chứng trong việc vận dụng khái niệm toán học vào thực tiễn Ví dụ 1. Khái niệm cộng hai vectơ (ví dụ ở 1.3). + Khái niệm cộng hai vectơ ra đời xuất phát từ nhu cầu thực tế của cuộc sống, xuất phát từ bài toán thực tế tìm hợp các lực cùng tác dụng vào một vật, tức là xuất phát từ thực tế “khách quan”, đó là sự thể hiện quy luật “khách quan” của tư duy biện chứng. + Từ một việc cụ thể trong “thực tế” toán học đã khái quát và “trừu tượng hoá ” từ đó đưa ra một định nghĩa thuần tuý toán học: Khái niệm cộng hai vectơ. Từ định nghĩa này, khái niệm cộng hai vectơ lại được áp dụng một cách rất phổ biến và hiệu quả trong thực tiễn như: tìm hợp của các lực cùng tác dụng vào một vật vào cùng một thời điểm. Điều này thêm một lần nữa thể hiện vai trò của tư duy biện chứng qua quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn”. Mặt khác, nó cũng giúp học sinh cảm nhận được quy luật và nhằm hình thành trong họ quy luật đó, để phát triển hơn năng lực tư duy biện chứng. Ví dụ 2. Khái niệm đạo hàm (Giải tích ) Bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng. Cho một chất điểm M chuyển động trên một trục Os. ứng với mỗi thời điểm t đã cho thì chất điểm M có hoành độ s OM= , do đó s là một hàm số của t : ( )s f t= . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 29 Phương trình ( )s f t= được gọi là phương trình chuyển động. Để đơn giản ta giả sử ( )s f t= là một hàm số tăng của t . Bây giờ, ta hãy khảo sát chuyển động trong thời gian tD từ thời điểm 0t đến thời điểm 0t t+ D . ở thời điểm 0t chất điểm M có hoành độ 0 0( )s f t= . ở thời điểm 0t t+ D , chất điểm M có hoành độ 0 0( )s s f t t+ D = + D . Vậy trong khoảng thời gian tD , chất điểm M đã đi được một quãng đường là: 0 0( ) ( )s f t t f tD = + D - . Nếu chất điểm M có chuyển động đều vận tốc v (v là hằng số) thì s v t D = D . Nếu chuyển động của M không đều thì tỉ số s t D D được gọi là vận tốc trung bình mv của chuyển động trong khoảng thời gian tD từ thời điểm 0t đến thời điểm 0t t+ D . 0 0( ) ( ) m s f t t tv t t D + D - = = D D . Nếu tD càng nhỏ thì vận tốc trung bình miêu tả càng chính xác tính chất nhanh, chậm của chuyển động trong thời gian ấy. Từ đó, lẽ tất nhiên dẫn đến vấn đề tìm giới hạn của vận tốc trung bình khi 0tD đ . Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0t , kí hiệu là 0( )v t . Vậy: 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t s f t t f tv t t tD đ D đ D + D - = = D D + Đạo hàm tại một điểm: Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= xác định trong một lân cận của điểm 0x . Khi biến số nhận một số gia xD tại điểm 0x thì hàm số có số gia tương ứng là : 0 0( ) ( )y f x x f xD = + D - . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 30 Nếu tồn tại giới hạn 0 lim x y xD đ D D , ta nói hàm số có đạo hàm tại 0x và giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại 0x , kí hiệu là 0'( )f x hay 0'xy . Vậy ta có định nghĩa đạo hàm: 0 0 0 0 0 ( ) ( )'( ) lim lim x x y f x x f xf x x xD đ D đ D + D - = = D D . Nhận xét. Khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm ra đời từ thực tiễn, xuất phát từ bài toán thực tế tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng, tức là xuất phát từ thực tế “khách quan”, thể hiện rõ quy luật “khách quan” của tư duy biện chứng. Từ phát hiện một dạng vận động trong “ thực tế”, toán học đã “khái quát” và “trừu tượng hoá”, từ đó đưa ra một định nghĩa thuần tuý toán học: Khái niệm đạo hàm. Từ định nghĩa này, khái niệm đạo hàm lại được áp dụng một cách rất hiệu quả vào thực tiễn: tiếp tuyến với đường cong phẳng, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t , tỷ khối địa phương của một thanh đồng chất...điều này vừa giúp học sinh cảm nhận, vừa thể hiện rõ quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn”. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 31 Chương II. Các biện pháp để thực hiện bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình Học 10 2.1. Cơ sở khoa học để đưa ra các biện pháp 2.1.1. Đặc điểm xây dựng chương trình Hình học lớp 10 a. Đặc điểm chung 1. Sách giáo khoa Hình học năm học 2000-2001 đã được chỉnh lí và hợp nhất, có những điều chỉnh cơ bản sau: + Loại bỏ một số kiến thức không thật cơ bản: Khái niệm phép biến hình, sự xác định phép dời hình. + Nội dung sách được điều chỉnh khá nhiều, ví dụ như trong sách cũ, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến được nêu sơ qua, sau khi đã học khái niệm phép dời hình. Nhưng trong sách giáo khoa mới, mỗi phép đó được sắp xếp một tiết riêng trong chương trình, và phép dời hình được sắp xếp sau như là sự tổng hợp cái bản chất nhất của các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, và tịnh tiến. Bên cạnh đó trong cuốn sách giáo khoa cũ sắp xếp: Đ18. phép vị tự và Đ19. Đường tròn và phép vị tự, còn sách giáo khoa mới đã thu gọn lại thành một bài: Đ5. Phép vị tự. Đặc biệt, khái niệm tích vô hướng của hai vectơ đã có sự thay đổi: Trong sách giáo khoa Hình học 10, Văn Như Cương( chủ biên ), 3/ 1999 đã định nghĩa: “Tích vô hướng của hai vectơ a r và b r là một số, được kí hiệu là .a b r r ( hoặc ab r r ) và được xác định bởi: 2 21. ( ) 2 a b a b a b= + - - r r r r r r ”. Còn trong sách giáo khoa Hình học 10, chỉnh lý hợp nhất năm 2000, lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ thông qua khái niệm góc của hai vectơ: “Tích vô hương của hai vectơ a r và b r là một số, kí hiệu là .a b r r được xác định bởi công thức: . . cos( , )a b a b a b= r r r r r r ”. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 32 + Đề cao các yếu tố sư phạm thống nhất các kí hiệu và các thuật ngữ dùng trong sách. Ví dụ. Trước đây, trong Hình học 10 chưa chỉnh lý, có định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin, còn trong sách mới thì gọi là định lý cosin, định lý sin. Điều đó hoàn toàn thống nhất với việc chuyển đổi từ thuật ngữ hàm số lượng giác sina , cosa ,..., sang thuật ngữ tỉ số lượng của góca hay giá trị lượng giác của góca . 2. So với chương trình Hình học ở trung học cơ sở, kiến thức chương trình Hình học 10 gần như mới lạ hoàn toàn, và dường như rất khó hiểu đối với học sinh. Chẳng hạn: + Khái niệm vectơ, các phép toán trên vectơ. + Các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. + Các phép dời hình, các phép đồng dạng. Lần đầu tiên các em làm quen với một đối tượng hoàn toàn mới lạ là vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng, phép trừ các vectơ, phép nhân vectơ với một số,... Những kiến thức này khá khó, phức tạp và trừu tượng. Để học sinh hiểu và nắm vững không phải là điều dễ dàng gì đối với mỗi người giáo viên. b. Những đặc điểm liên quan đặc biệt đến việc bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng 1. Xuất hiện đối tượng toán học mới. Ví dụ. + Từ trung học cơ sở, học sinh quen với việc làm toán với các con số. Lên đến lớp 10, các em bỡ ngỡ với việc xuất hiện khái niệm vectơ. Vectơ có nhiều điểm giống với số thực, như: Vectơ có khái niệm hai vectơ bằng nhau, cũng như số thực thì có hai số bằng nhau; có khái niệm phép cộng, trừ hai vectơ giống như có phép cộng, phép trừ hai số thực,... Nhưng thật lạ là vectơ có phương, có hướng, và lạ hơn nữa là tích vô hướng của hai vectơ lại là một số thực. 2. Xem xét mối quan hệ giữa các yếu tố trong một hình cụ thể hơn. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 33 Ví dụ. Trong một bài toán có sự xuất hiện của hai đường tròn, ta có thể nghĩ ngay đến việc có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Hơn nữa, học sinh đã từng biết đến phép đối xứng tâm và đối xứng trục, nhưng đối với các em, phép tịnh tiến, hay phép quay, phép đối xứng trượt vẫn thật là lạ lùng. 3. Tính trừu tượng và tính cụ thể có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. ở trung học cơ sở, học sinh đã được làm quen với khái niệm hai tam giác đồng dạng mà các em được học ở lớp 8. ở lớp 10, các em được học về phép đồng dạng và tỉ số của phép đồng dạng, đó là một khái niệm mới tổng quát hơn, trừu tượng hơn. Hơn nữa, trong chương trình Hình học10 hiện hành, tính trừu tượng và tính cụ thể trong việc sắp xếp các khái niệm thể hiện rất rõ ràng. Cụ thể là: Học sinh được học phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép tịnh tiến, đó là các trường hợp cụ thể của phép dời hình. Sau khi được học phép dời hình, học sinh tiếp tục được học đến hai phép dời hình khác, đó là phép quay quanh một điểm, và phép đối xứng trượt. Chúng cũng là những trường hợp cụ thể của phép dời hình, nhưng lại trừu tượng hơn một bậc, bởi chúng là tích của các phép dời hình. (Phép quay quanh một điểm là tích của hai phép đối xứng trục, phép đối xứng trượt là tích của phép đối xứng trục với phép tịnh tiến.) 4. Sách giáo khoa hiện hành đã được chỉnh lí theo hướng loại bỏ những kiến thức không thật cơ bản, những cách định nghĩa khái niệm không hợp lí. Thay vào đó là PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 34 sự đề cao các yếu tố sư phạm - là một điều kiện thuận lợi để chúng ta có thể rèn luyện và bồi dưỡng tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy biện chứng. 2.1.2. Một số căn cứ đưa ra các biện pháp thực hiện a. Căn cứ khoa học 1. Đặc điểm của toán học Theo Nguyễn Bá Kim, về đặc điểm môn toán, trước hết phải kể đến tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng của môn toán. Toán học nghiên cứu các tính chất trừu tượng của các đối tượng và toán học tuyệt đối hoá các tính chất trừu tượng. Tính chất trừu tượng của toán học và môn toán trong nhà trường được quy định do chính đối tượng và phương pháp của toán học. - Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan, bỏ qua những đặc điểm không bản chất của đối tưọng mà chỉ nghiên cứu những đặc điểm bản chất nhất. Ví dụ như số không phải là tập hợp các đồ vật, hay hình hình học không phải là tập hợp các vật thể. - Toán học là khoa học nghiên cứu về các cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề. Trong toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. như vậy, toán học có tính chất trừu tượng cao độ. Mặt khác, cần phải nhấn mạnh tính logic và tính thực nghiệm của toán học. Phương pháp cơ bản của toán học là suy diễn logic không dựa trên thực nghiệm. khi xây dựng toán học, cũng như khi dạy học toán học, người ta dùng suy diễn logic, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ, các tiền đề, rồi dùng các quy tắc logic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh các mệnh đề khác. 2. Đối tượng của toán học Khác với các khoa học tự nhiên khác. toán học nghiên cứu các hình dạng khác nhau của các chuyện động vật chất (cơ học, vật lí, hoá học, sinh học,... ) hay các dạng truyền tin (tin học, động lực học,...). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 35 Toán học nghiên cứu hình dạng của thế giới hiện thực được tách khỏi nội dung của chúng. vì vậy toán học không nghiên cứu các hình dạng chuyển động của vật chất cụ thể nào. mà theo như Angghen đã định nghĩa: “Toán học thuần tuý có đối tượng là hình dạng không gian và quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, vì vậy nó trở nên rất hiện thực”. Như vậy, từ những điều trên, ta có thể thấy sự sáng tạo toán học là sự phối hợp giữa mối liên hệ biện chứng với mối liên hệ logic, và mối quan hệ giữa tư duy biện chứng với tư duy logic. Dẫu rằng, ta có thể thấy trong mục tiêu giáo dục có bàn tới việc bồi dưỡng thế giới quan cho học sinh, tuy nhiên chương trình học lại chưa đặt ra một cách tường minh. Do vậy, việc bồi dưỡng không thực hiện một cách rõ ràng, đầy đủ trong giờ chính khoá mà chủ yếu là thông qua dạy học khái niệm, định lí và bài tập toán để lồng ghép việc bồi dưỡng tư duy biện chứng vào, hoặc thông qua các hoạt động ngoại khoá. Chính vì vậy, việc thầy giáo quan tâm bồi dưỡng tư duy biện chứng cho học sinh là rất cần thiết. Tư duy biện chứng đóng vai trò vô cùng quan trọng trong nghiên cứu toán học cũng như trong dạy và học toán. b. Thực tiễn bồi dưỡng tư duy biện chứng ở nhà trường phổ thông hiện nay 1. Thực tiễn bồi dưỡng tư duy biện chứng ở nhà trường phổ thông hiện nay qua việc dạy học khái niệm toán học: Khi dạy học các khái niệm toán học, một số nhiều các giáo viên chỉ “trình bày” , “giới thiệu ” các khái niệm một cách thụ động mà không có sự dẫn dắt, hoặc là không làm cho học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học đó. Ví dụ 1. Khi dạy “Hàm số luỹ thừa” ở Đại số và giải tích 11, một số giáo viên dạy như sau: “Hàm số y xa= , trong đó a là một số thực tuỳ ý được gọi là hàm số luỹ thừa. Hàm số này xác định với mọi số thực 0x > ”. Tuy nhiên, giáo viên đó đã không giải thích tại sao hàm số luỹ thừa chỉ xác định khi 0x > . Ví dụ 2. Khi dạy định lí “Các phép toán trên các giới hạn của hàm số” ở Đại số và giải tích 11, một giáo viên đã không giải thích “bản chất”, nội dung định lí, hay phạm vi có hiệu lực của định lí, là chỉ áp dụng cho hữu hạn các hàm số. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 36 2. Khi dạy xong một số chương, một số giáo viên không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một “đối tượng toán học” nằm trong một chương. Hay, khi dạy học sinh giải bài tập, giáo viên đã không khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau, nhờ vào việc nhìn bài toán một cách linh hoạt, dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Ví dụ 1. Khi dạy xong chương III - Quan hệ vuông góc - Hình học 11, một giáo viên đã không hệ thống lại các dấu hiệu để nhận biết “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” nằm rải rác trong chương. Ví dụ 2. Xét bài toán: Chứng minh rằng trong một tam giác, trong tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng. Để chứng minh H, G, O thẳng hàng, nếu giáo viên hướng dẫn và khuyến khích các em nhìn nhận bài toán dưới nhiều hướng khác nhau, thì bài toán này sẽ có nhiều cách giải khác nhau. Cách 1. dùng vectơ: Để chứng minh H, O, G thẳng hàng, ta sẽ chứng minh: GH kGO= uuur uuur . Cách 2. xem O là ảnh vị tự của H qua phép vị tự 1 2 GV - , thì 1 2 GO GH= - uuur uuur . Cách 3. Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau: ã ãHGA OGM= bằng cách chứng minh ~AHG MOGD D . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 37 3. Khi dạy toán, một số giáo viên chỉ dạy kiến thức toán mà học sinh đang học, không để ý đến kiến thức mà học sinh đã học, các giai đoạn phát triển của kiến thức toán đang dạy Ví dụ 1. Khi dạy học “Hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc trong không gian ” ở Hình học 12, lẽ ra giáo viên nên giới thiệu cho học sinh thấy quá trình phát triển của hệ toạ độ Đề các vuông góc trong mặt phẳng và tính hữu ích của nó, để đưa tới việc mở rộng hệ trục toạ độ này sang không gian, tuy vậy một số giáo viên đã không nêu. 4. Trong quá trình dạy toán, một số giáo viên đã không chỉ cho học sinh thấy mối liên hệ giữa lượng và chất của sự vật, điều này không thể hiện quy luật: Từ những thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất của logic biện chứng. Ví dụ. Khái niệm phép quay quanh một điểm Sách Hình Học 10 chỉnh lí đã định nghĩa: Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ như sau: Trước hết lấy M1 đối xứng với M qua a sau đó lấy điểm M’ đối xứng với M1 qua b. Phép đặt điểm M’ tương ứng với điểm M như vậy gọi là phép quay quanh điểm O. Điểm O gọi là tâm của phép quay. Tuy vậy, khi góc j giữa hai đường thẳng a, b thay đổi, cụ thể là khi 90j = ° , tức là a b^ thì góc quay của phép quay là 2 180j = ° . Khi đó O là trung điểm của MM’ và phép quay trở thành phép đối xứng tâm O, tức là đã có sự thay đổi về chất. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 38 5. Trong quá trình dạy toán, giáo viên thường chỉ chú ý đến một mặt của vấn đề mà ít để ý đến tính hai mặt của nó: mẫu thuẫn và thống nhất; nội dung và hình thức; cái riêng và cái chung,...làm cho học sinh học toán một cách thụ động, không sáng tạo. Ví dụ. Bài toán: Cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, trọng tâm, trực tâm của tứ diện thẳng hàng. Giáo viên đưa ra bài toán trên cho học sinh, sau đó hướng dẫn các em giải mà không nêu lên kiến thức cũ, rằng ta đã có bài toán tương tự trong tam giác: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là ba điểm thẳng hàng. Nếu xét tam giác (là cái riêng) và tứ diện (là cái chung) là mâu thuẫn với nhau, mà không tính đến tính thống nhất của tư duy biện chứng: Vì tam giác là trường hợp riêng xét trong mặt phẳng, còn tứ diện là trường hợp tổng quát của tam giác xét trong không gian. Khi đó ta sẽ thấy sự tương tự giữa tam giác và tứ diện, để từ đó học sinh thấy được bài toán trong tứ diện gợi nhớ về bài toán tương tự trong tam giác. Khi đó, học sinh sẽ nhận thấy cách giải bài toán tứ diện sẽ có một số nét giống với cách giải bài toán trong tam giác. Vì vậy, sẽ giúp các em tìm được một cách giải cho bài toán trên một cách chủ động và sáng tạo hơn. 6. Trong quá trình học toán, học sinh ít được rèn luyên vận dụng kiến thức toán học đã học để giải quyết những vấn đề trong thực tế, các em thường bỡ ngỡ, lúng túng, không biết giải như thế nào. điều này thể hiện sự yếu kém của học sinh về tính “thực tiễn” của tư duy biện chứng và chưa rèn được kĩ năng thực hành cho học sinh. Như vậy, có thể thấy, trong quá trình học toán, rất nhiều học sinh đã bộc lộ những yếu kém về tư duy biện chứng, nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biến đổi, qua trình hình thành và phát triển, chưa thấy được sự thống nhất và mâu thuẫn với nhau giữa các mặt đối lập của cùng một vấn đề. Bởi vậy, hầu như các em còn chưa nắm được bản chất toán học của các đối tượng. Từ đó đã dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi tiếp cận một khái niệm mới, một định lí mới, hay gặp PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 39 khó khăn trong việc giải bài tập toán, nhất là các bài toán có sự mới lạ, hoặc cần tư duy, cần sự sáng tạo trong lời giải. Từ đó, có thể thấy tình hình rèn luyện và bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng ở trường phổ thông ._.BC nhọn, ta chỉ cần chứng minh góc B nhọn. Từ giả thiết ta đã cho, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . . . ( )n n n n n nb a a c c a b c b b a c- - - - -= + < + = + Suy ra, 2 2 2b a c< + . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 78 áp dụng định lí Cosin trong tam giác, ta có: 2 2 2 cos 0 2. . a c bB a c + - = > . Vậy B là góc nhọn, do đó A, C cũng là góc nhọn hay tam giác ABC nhọn. Nhận xét. Khi ta nâng luỹ thừa từ 2 lên 3n ³ , tức là tạo ra sự biến đổi về lượng thì tam giác ABC từ tam giác vuông chuyển sang tam giác nhọn, tức là có sự thay đổi về chất. Ví dụ 2. Các bài toán có chung một nội dung, chúng chỉ có sự khác nhau nhỏ về giả thiết đã đòi hỏi những cách giải quyết khác nhau. Bài toán 1. Bên trong đường tròn bán kính 5, cho 7 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 5. Giải. Chia hình tròn tâm O ra 6 hình quạt bằng nhau. Theo nguyên lí Đirichlê, tồn tại hai điểm đã cho thuộc cùng một hình quạt. Giả sử A, B thuộc hình quạt COD (A, B không thuộc cung của hình quạt). Nếu một trong hai điểm A, B trùng O thì bài toán đã cho được chứng minh. Giả sử hai điểm A, B không trùng O, trên OC lấy A’ sao cho OA’ = OA, trên OD lấy B’ sao cho OB= OB’, thế thì ' 'AB A BÊ (hai tam giác có cặp cạnh tương ứng bằng nhau). Tam giác OA’B’ có góc O bằng 60° nên một trong hai góc A , B không nhỏ hơn 60° . Chẳng hạn àA 60³ ° , thế thì ã à' ' A'A OB Ê . Suy ra: ' ' ' 5.A B OB ODÊ < = Vậy 5AB < . Bài toán 2. Bên trong đường tròn bán kính 5 cho 6 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 5. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 79 Nhận xét. Bài toán này chỉ khác bài toán trên ở chỗ “cho 6 điểm” và “cho 7 điểm”, tuy nhiên nếu ta giải bài toán theo cách ở bài toán trên, ta chia hình tròn thành 5 hình quạt bằng nhau để tồn tại một hình quạt chứa hai điểm thì chưa giải được, vì trong hình quạt trong cung 360 :5 74° = ° , có hai điểm có khoảng cách lớn hơn bán kính, tức là lớn hơn 5. Ta sẽ giải bài toán 2 bằng cách xét các trường hợp để chọn được khoảng cách nhỏ nhất. Như vậy, giả thiết của bài toán có sự thay đổi (tức là có sự thay đổi về lượng) thì cách giải bài toán phải thay đổi (tức là có sự thay đổi về chất). Giải. Xét hai trường hợp: - Trường hợp trong 6 điểm đã cho, tồn tại một điểm là tâm đường tròn. Khi đó, bất kì điểm nào trong 5 điểm còn lại cũng cách tâm một khoảng nhỏ hơn 5, bài toán được chứng minh. - Trường hợp trong 6 điểm đã cho không có điểm nào là tâm đường tròn. Nếu có hai điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 5. Bài toán được chứng minh. Nếu không có hai điểm nào thuộc cùng một bán kính, ta vẽ các bán kính qua mỗi điểm đã cho. Vì có 6 bán kính nên tồn tại hai bán kính tạo với nhau một góc không quá 60° , giả sử đó là các bán kính OC, OD theo thứ tự đi qua hai điểm đã cho A, B. Tam giác OAB có àO 60Ê ° nên một trong hai góc à àO AÊ , do đó 5AB OB ODÊ < = . Vậy 5AB < . Bài toán 3. Bên trong đường tròn bán kính 5 cho 13 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 4. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 80 Nhận xét. cách chia hình tròn tròn thành 12 hình quạt bằng nhau (như cách giải bài toán 1) hoặc chia hình tròn bởi các bán kính đi qua 13 điểm đã cho (như cách giả bài toán 2) không giúp ta giải được bài toán này. Ta phải giải bài toán này bằng một phương pháp khác. Như vậy, sự thay đổi giả thiết bài toán (có sự thay đổi về chất đã dẫn đến sự thay đổi về cách giải một cách hoàn toàn). Giải. Giả sử bất kì hai điểm nào trong 13 điểm đã cho cũng có khoảng cách lớn hơn hơn hoặc bằng 4. Ta sẽ chỉ ra sự mâu thuẫn. Vì khoảng cách giữa hai điểm nào trong 13 điểm đã cho cũng có khoảng cách lớn hơn hay bằng 4 nên nếu vẽ 13 đường tròn bán kính 2, có tâm là 13 điểm đã cho thì chúng nằm ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài nhau và đều nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 5 + 2 = 7. Do đó: 2 213. .2 .7 52. 49.p p p p< ị < . Vậy phải tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 4. Như vậy bằng phương pháp giải này, giáo viên sẽ giúp học sinh có được cách nhìn biện chứng đối với một số vấn đề, một bài toán, ở khía cạnh “Lượng - chất”. Từ đó giúp các em có thể mở rộng được bài toán, hoặc giải các bài toán tương tự bằng những cách giải khác nhau khi cho thay đổi giả thiết hay kết luận. Điều đó góp phần làm phát triển tư duy biện chứng cho các em. Biện pháp 6. Xem xét đối tượng toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất Tác dụng: - Tư duy biện chứng: giúp học sinh cảm nhận được quy luật: “phân đôi cái thống nhất” của tư duy biện chứng, tránh được những sai lầm của cách xem xét phiến diện. - Dạy học toán: Giúp học sinh phát hiện vấn đề, học sinh học toán một cách chủ động và sáng tạo, làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn về đối tượng toán học đang học. Ví dụ 1. Tam giác và tam giác vuông. Xét các tính chất sau của tam giác vuông. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 81 Tính chất 1. Trong tam giác vuông ABC, tổng bình phương các cosin các góc bằng 1. 2 2 2 1cos A cos B cos C+ + = . Việc chứng minh tính chất này bạn đọc có thể tham khảo thêm. Thông thường, với cách dạy và học quen thuộc thì câu nói “ Một tam giác không phải là một tam giác vuông thì không có tính chất này” là hoàn toàn đúng. Như thế, ta không có vấn đề gì phải suy nghĩ thêm. Nếu suy nghĩ một cách tích cực hơn, ta sẽ thấy: a. Phát hiện vấn đề. Với tư duy biện chứng, ta sẽ giúp các em học sinh phát hiện vấn đề để các em chủ động và sáng tạo hơn khi học toán. Nếu nhìn nhận tam giác và tam giác vuông ở khía cạnh “mâu thuẫn” thì câu nói trên là đúng. Nếu nhìn nhận tam giác và tam giác vuông ở khía cạnh “thống nhất ” với nhau, cụ thể là “tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, bởi tam giác vuông cũng là một tam giác”. Khi đó, ta cần giúp học sinh nghĩ rằng: Tam giác vuông có tính chất trên thì tam giác bình thường sẽ có một tính chất tổng quát hơn, nhận tính chất 1 làm một trường hợp đặc biệt. b. Giải quyết vấn đề. Nhờ xem xét đối tượng toán học trong sự “mâu thuẫn” và “thống nhất”. Xem xét mối quan hệ giữa “cái chung” và “cái riêng”, mỗi học sinh sẽ phát hiện được vấn đề. Khi đó, giáo viên sẽ giúp các em học toán một cách chủ động và sáng tạo, để tìm ra tính chất tổng quát hơn tính chất 1. Nghĩa là thôi thúc học sinh tìm tòi trong tam giác bất kì các tổng bình phương 2 2 2cos A cos B cos C+ + sẽ như thế nào? Ta có mối liên hệ giữa A, B, C là các góc trong một tam giác: tổng ba góc của một tam giác bằng 180° : A + B + C = 180° . Do đó: A+B = 180° - C. ị ( ) (180 )cos A B cos C+ = ° - . sin .sincosA cosB A B cosCị ì - = - . 2 2 2 2 2. sin .sin 2cos .cos .sin .sin . (1)cos C cos A cos B A B A B A Bị = + - PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 82 Nhận thấy trong (1) có sự xuất hiện của các bình phương 2cos A , 2cos B , giáo viên cần thôi thúc để học sinh suy nghĩ đến “mối liên hệ”: 2 2sin 1A cos A+ = , 2 2sin 1B cos B+ = . Thay 2 2sin 1A cos A= - , 2 2sin 1B cos B= - vào (1) ta có: 2 2 2 2 2. (1 )(1 ) 2.cos .cos .sin .sin .cos C cos A cos B cos A cos B A B A B= + - - - 2 2 2 1 2. . (cos .cos sin .sin ).cos A cos B cos C cosA cosB A B A Bị + + = + - 1 2. . .( cos )cosA cosB C= + - 1 2. . .coscosAcosB C= - . Như vậy tính chất mà giáo viên cần thôi thúc học sinh tìm ra, đó chính là tính chất 2: Với mọi tam giác ABC ta có: 2 2 2 1 2. . .cos (2)cos A cos B cos C cosA cosB C+ + = - . Khi tam giác ABC vuông thì (2) trở thành: 2 2 2 1cos A cos B cos C+ + = . Như vậy, có thể thấy rõ ràng tính chất (2) tổng quát hơn tính chất (1), nhận tính chất (1) làm trường hợp đặc biệt. Ví dụ 2. Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau có phải là hình bình hành không? Để trả lời được câu hỏi trên thì học sinh phải liên tưởng, tái hiện lại định nghĩa hình thang: là tứ giác có hai cạnh đối song song. Và học sinh phải liên tưởng cách nhận biết hình bình hành: - Tứ giác có các cạnh đối song song. - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau. - Tứ giác có các góc đối bằng nhau. - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau. Dựng hình tượng trực quan, học sinh liên tưởng và vẽ ra hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 83 Hình thang ABCD có ||AB CD , do đó hai đáy AB và CD theo giả thiết AB = CD. Do đó tứ giác ABCD có ||AB CD và AB = CD nên ABCD là hình bình hành. Như vậy phát biểu trên đúng. Qua ví dụ trên, ta có thể thấy được mối quan hệ biện chứng của các cặp phạm trù “cái riêng ” và “cái chung ”. Trong đó hình bình hành là “cái riêng” là cái đặc biệt của hình thang. Vậy: Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau. Một cái chung đem đặc biệt hoá từng bộ phận khácnhau bằng những cách khác nhau sẽ cho những cái riêng khác nhau. Chính vì lí do đó, nếu giáo viên biết cách hướng dẫn học sinh xem xét đối tượng toán học dưới các góc độ khác nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, trong mối quan hệ biện chứng giữa “cái riêng ” và “cái chung ” thì các em sẽ học toán chủ động và sáng tạo hơn. Biện pháp 7. Xem xét một đối tượng toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tượng đó Tác dụng - Tư duy biện chứng: A và phủ định của A luôn tồn tại song song, đó là hai mặt đối lập trong phạm vi một đối tượng. - Dạy học toán: Khi dạy học toán, nếu ta giúp học sinh biết xem xét một đối tượng toán học đồng thời với phủ định của đối tượng đó sẽ giúp học sinh hiểu đối tượng toán học sâu sắc hơn, và tránh được nhiều sai lầm trong suy luận. đương nhiên trong toán học, A đúng thì không A là sai. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 84 Ví du 1. Khi dạy về khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn, ta có hệ quả của định lí: “Nếu vẽ qua điểm M hai đường thẳng cắt đường tròn (O; R) lần lượt tại A, B và C, D thì: MA.MB = MC.MD”. Từ hệ quả trên, giáo viên sẽ nêu ra bài toán ngược: Nếu từ điểm M dựng hai đường thẳng chứa A, B và C, D sao cho: MA.MB = MC.MD thì A, B, C, D có cùng thuộc một đường tròn hay không? Đây là bài toán “phủ định” của hệ quả trên, nhằm mục đích khắc sâu cho học sinh định lí, cũng như hệ quả khi học phương tích của một điểm đối với đường tròn. Đó chính là ví dụ áp dụng của bài Hệ thức lượng trong đường tròn (Hình học 10). Như vậy, từ bài toán ngược đó, ta có thể vẽ ra một phản ví dụ cho học sinh thấy, từ đó khắc sâu cho các em biết thêm một cách để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, đó là chứng minh: . .MA MB MC MD= uuur uuur uuur uuuur . Hình vẽ minh hoạ phản ví dụ: MA.MB = MC.MD nhưng A, B, C, D không cùng thuộc một đường tròn. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 85 Ví dụ 2. Ta đã có bài toán: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2. .AB CD BC AD AC BD+ - - = uuur uuur . Từ bài toán trên ta thấy: Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc thì . 0AC DB = uuur uuur , khi đó 2 2 2 2 0AB CD BC AD+ - - = . Nhưng đặt ra vấn đề ngược lại: Nếu tứ giác ABCD có . 0AC DB = uuur uuur suy ra 2 2 2 2 0AB CD BC AD+ - - = thì hai đường chéo có vuông góc với nhau không? Câu trả lời là có. Thật vậy: 2 2 2AB AO BO= + 2 2 2CD DO CO= + 2 2 2 2 2 2AB CD AO BO CO DOị + = + + + 2 2 2 2( ) ( )AO DO BO CO= + + + suy ra 2 2 2 2 0AB CD BC AD+ - - = . Như vậy, từ bài toán đã cho, nếu ta xét bài toán phủ định của nó, ta sẽ có kết quả là điều kiện cần và đủ để một tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , với G là trọng tâm. Chứng minh rằng: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r . Giải. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 86 Gọi M là trung điểm của BC, ta có: 2.GA GM= - uuur uuuur 2.GB GC GM+ = uuur uuur uuuur . Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta có: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r (đpcm). Từ bài toán “một chiều ” trên, giáo viên cần giúp học sinh nhìn nhận theo cách nhìn “hai chiều”, tức là giúp các em “phát hiện ” ra bài toán phủ định: Cho tam giác ABC, G là một điểm sao cho: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r thì liệu G có phải là trọng tâm của tam giác hay không? Câu trả lời là có. Thật vậy, ta có: 2.GB GC GM+ = uuur uuur uuuur . Do GA GB GC= - - uuur uuur uuur 2GA GMị = - uuur uuuur . 2.GA GMị = .Tương tự 2.GB GN= (với N là trung điểm của AC). Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có kết luận: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r . Như vậy với việc nhìn nhận một vấn đề theo cách nhìn hai chiều, ta sẽ giúp học sinh phát hiện những vấn đề mới, trên cơ sở phủ định vấn đề vừa có, đồng thời củng cố khắc sâu thêm cho học sinh về đối tượng toán học mà ta đang bàn đến. Ví dụ 4. Cho bài toán. Hai tam giác ABC và A’B’C’. Gọi G và G’ là trong tâm hai tam giác đó. Chứng minh rằng: ' ' ' 3. 'AA BB CC GG+ + = uuur uuur uuuur uuuur . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 87 Lời giải bài toán bạn đọc tự quan tâm. Từ bài toán này, ta đặt bài toán “phủ định ” là: Hai tam giác ABC là A’B’C’ có cùng trọng tâm khi nào? Câu trả lời dựa vào bài toán đang xét ở trên. Hai tam giác ABC là A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi ' ' 'AA BB CC O+ + = uuur uuur uuuur ur . Tóm lại, khi dạy cho học sinh một đối tượng toán học nào đó, có thể là một khái niệm, một định lí, hệ quả hay một bài tập toán, giáo viên rất nên hướng dẫn học sinh nhìn nhận đối tượng toán học và các mối quan hệ của chúng theo hai chiều. Điều đó, sẽ giúp các em phát hiện ra những đối tượng và mối quan hệ mới trong học toán, như thế sẽ gây hứng thú mới trong học tập cho các em rất nhiều. Biện pháp 8. Làm cho học sinh thấy được toán học đi từ thực tiễn và thấy được các mối liên hệ giữa các kiến thức toán học với thực tiễn Tác dụng: - Tư duy biện chứng: Làm rõ mối quan hệ biên chứng: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn ” với tư cách là quy luật của logic biện chứng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí “kiến thức toán học”. - Dạy học toán: Thực tiễn trong dạy học toán có hai phạm vi, trong toán học thì đó là vận dụng lý thuyết để giải các bài tập toán. Trong thực tế, đó là giải các bài toán thực tế, minh hoạ hay chứng minh các kiến thức toán học là tồn tại. Qua đó giúp học sinh học toán một cách tốt hơn và giúp các em biết vận dụng điều đó vào thực tiễn của xã hội. Ví dụ 1. Khoảng cách từ A đến B không thể đo được trực tiếp vì phải qua một đầm lầy (hình vẽ). Người ta xác định một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B. Các giả thiết được cho trên hình vẽ. Tính khoảng cách AB. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 88 Giải. Từ bài toán thực tế trên, ta có bài toán hình học. Cho tam giác ABC có BC = 160 m; AC = 200 m; ãBCA 52 16'= ° . Tính AB. áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: ã2 2 2 2. . BCAAB AC BC AB BCcos= + - Thay số vào 2 2 2200 160 2.200.160 52 16'AB cos= + - ° 161,8( )AB mị = . Vậy khoảng cách AB cần tìm là 161,8( )m . Đây là một bài toán xuất phát từ thực tế, có thể dùng để minh hoạ cho học sinh khi hoc về định lí cosin trong tam giác, để từ đó giúp học sinh thấy được rằng: Toán học bắt nguồn từ thực tiễn rồi trở về phục vụ thực tiễn. Ví dụ 2. Bài toán thực tế. Cho hai lực có độ lớn là 100 N, có điểm đặt tại O và tạo với nhau một góc 60° . Tìm cường độ lực tổng hợp của hai lực ấy. Giải. Theo quy tắc hình bình hành, ta dựng hình bình hành nhận OF1, OF2 làm các cạnh. Khi đó ta có hợp lực cần tìm là: 1 2F F F= + ur uur uur . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 89 Theo định lí cosin trong tam giác, ta có: ã2 2 2 1 2 1 2 1 22. .OF OF OF OF OF cosFOF= + - 2 2 2100 100 2.100.100 30OF cosÛ = + - ° 2 2 2 32.100 (1 ) 100 (2 3) 2 OFÛ = - = - 100 2 3OFÛ = - . Vậy độ lớn của hợp lực cần tìm là 100 2 3F = - (N). Ví dụ 3. Trên ngọn đồi có một tháp cao 100m. Từ đỉnh B và chân C của tháp nhìn điểm A ở chân đồi dưới góc tương ứng là 30° và 60° (hình vẽ). Xác định chiều cao h của ngọn đồi. Giải.Từ bài toán thực tế, ta có bài toán hình học: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 90 Trong hình vẽ trên, có: ã ãCBA 30 ACE= ° = ; 100BC m= ; CD h= . Từ giả thiết ta có: ãDCA 60= ° Xét tam giác vuông CDA, ta có ãtgDCA DA CD = 60 (1)DAtg h ị ° = . Mặt khác, xét tam giác vuông BDA, có: ãtgDAB DA DB = . Thay số vào 30 100 DAtg h ° = + 1 (100 ) (2) 3 DA hị = + Từ (1) và (2) ta có: 1 (100 ) 3 3 h h + = 3 100h hị = + 50hị = . Vậy ngọn đồi có chiều cao 50( )h m= . Bài toán trên là một bài toán thực tế, được áp dụng khi cho học sinh học về khái niệm các tỉ số lượng giác của góc xét trong một tam giác. 2.3. Sự lựa chọn và phối hợp các biện pháp PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 91 Trong các biện pháp đã được nêu ra ở trên, mỗi biện pháp chỉ chủ yếu nhằm rèn luyện một nội dung của tư duy biện chứng. Trong một bài dạy trên lớp, có thể có nhiều nội dung tư duy biện chứng cần rèn luyện. Thậm chí, ngay trong một nội dung kiến thức cũng có thể rèn một số nội dung tư duy biện chứng cho học sinh. Do vậy, người giáo viên dựa trên mục đích yêu cầu của bài dạy mà quyết định chọn biện pháp nào, rèn luyện nội dung nào cho phù hợp. Ví dụ1. Phép cộng hai vectơ. Định nghĩa tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ a r và b r . Từ một điểm A nào đó vẽ vectơ AB a= uuur r , rồi lại từ điểm B vẽ vectơ BC b= uuur r . Khi đó vectơ AC uuur được gọi là tổng của hai vectơ a r và b r , và ta viết AC a b= + uuur r r . Khi dạy định nghĩa này cho học sinh, ta có thể chọn biện pháp 1 và biện pháp 8, giúp các em hiểu được mối liên quan giữa phép công hai vectơ với thực tiễn cuộc sống, và thấy được bản chất của định nghĩa trên. Phân tích định nghĩa, ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào điểm A ban đầu. Nếu ta chon một điểm 'A Ạ thì ta cũng sẽ có ' 'A B a= uuuur r ; ' 'B C b= uuuur r ; ' 'A C a b= + uuuur r r . Ví dụ 2. Phép dời hình. Định nghĩa. Phép dời hình là một quy tắc để ứng với mỗi điểm M có thể xác định được một điểm M’ (gọi là tương ứng với điểm M) sao cho nếu hai điểm M’ và N’ tương ứng với hai điểm M và N thì MN = M’N’. Khi dạy khái niệm phép dời hình, ta có thể chọn biện pháp 2: “Xem xét đối tượng toán học trong mối liên hệ với đối tượng toán học có liên quan ”, phối hợp PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 92 với biện pháp 4 “Xem xét đối tượng toán học trong cả quá trình phát triển lịch sử của nó”. Trước hết cần làm cho học sinh thấy mối liên quan giữa “Phép dời hình ” và phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay và phép đối xứng trượt. Sau đó chỉ ra cho các em về quá trình hình thành nó (tổng quát từ ba phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến) và quá trình phát triển của nó (phép quay và phép đối xứng trượt). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 93 Chương III. Kiểm chứng sư phạm 3.1.Mục đích kiểm chứng. Vận dụng một số biện pháp: “ Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 ” trong chương II vào thực tiễn dạy học toán nhằm mục đích: Khẳng định bước đầu tính khả thi, tính hiệu quả của đề tài. 3.2. Nội dung kiểm chứng. Do thời gian kiểm chứng sư phạm có hạn: 1 tháng (Từ 15/03/2006 đến 15/04/2006 ) nên kiểm chứng sư phạm chủ yếu tập trung vào chương cuối cùng của Hình học10: Chương III: Các phép dời hình và phép đồng dạng. Kiểm chứng sư phạm gồm có 3 bài. Bài 1. Phép tịnh tiến – 1 tiết. Bài 2. Phép dời hình – 1tiết. Bài 3. Phép vị tự – 1 tiết. Trong quá trình kiểm chứng sư phạm, chúng tôi tuân theo phân phối chương trình sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 do Bộ giáo dục và Đào tạo ban hành; Phát hiện nội dung tư duy biện chứng trong các bài kiểm chứng sư phạm, chọn lựa và phối hợp các biện pháp trong chương II để rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh. 3.3. Tổ chức kiểm chứng. Người làm khoá luận dựa vào các biện pháp: “Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh” ở chương II, soạn các giáo án kiểm chứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm. Tiến hành kiểm chứng sư phạm tại trường: THPT Huỳnh Thúc Kháng, Thành phố Vinh, Nghệ An. Chọn học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng có trình độ học vấn tương đương bằng cách dựa vào điểm tổng kết năm học trước và điểm tổng kết Học kì I. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 94 Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng và lớp đối chứng làm bài kiểm tra cùng đề. Chấm các bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá. 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. Bảng 1. Thống kê điểm bài kiểm tra Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài Lớp kiểm chứng 10 10 10 8 16 1 45 Lớp đối chứng 10 2 4 14 9 10 11 50 Điểm trung bình của bài kiểm tra của lớp kiểm chứng. X =6,733 Điểm trung bình của bài kiểm tra của lớp đối chứng. Y =6,08 Bảng 2. Thống kê tỉ lệ phần trăm (Yếu - kém, Trung bình, Khá - giỏi ) bài kiểm tra. Xếp loại (Điểm ) Yếu – Kém (1,2,3,4) Trung bình (5,6) Khá - Giỏi (7,8,9,10) Lớp kiểm chứng 10 0% 44,44% 55,56% Lớp đối chứng 10 12% 46% 42% Sơ bộ đánh giá PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 95 1. Đánh giá qua ba giáo án a. Giáo án kiểm chứng 1 Vận dụng biện pháp 2: “Xem xét đối tượng toán học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác có liên quan ”: Thể hiện trong giáo án ở mối quan hệ giữa phép tịnh tiến với phép đối xứng trục và đối xứng tâm. Nhằm mục đích: - Kiến thức toán: Giúp học sinh thấy được mối quan hệ giống và khác nhau giữa phép tịnh tiến với phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm, để cũng từ đó các em phân biệt được phép tịnh tiến với các phép còn lại nhờ vào bất biến riêng của phép tịnh tiến và biết cách sử dụng phép tịnh tiến vào giải toán, nhất là các bài toán quỹ tích. - Tư duy biện chứng: Giúp học sinh cảm nhận được quy luật “Toàn diện” qua quan điểm “Xem xét sự vật trong mối liên hệ tương hỗ, phong phú, đa dạng và phức tạp của nó với các sự vật khác ” của tư duy biện chứng. b. Giáo án kiểm chứng 2 Vận dụng biện pháp 4: “Xem xét đối tượng toán học trong cả quá trình lịch sử, phát triển của nó” thể hiện trong giáo án: Xây dựng khái niệm phép dời hình qua tính chất tổng quát nhất của ba phép dời hình đã học trước đó (phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến), cụ thể chẳng hạn xây dựng phép quay quanh một điểm trên nền tảng là phép đối xứng trục: Phép quay quanh một điểm là tích của hai phép đối xứng qua hai trục cắt nhau. Nhằm mục đích: - Kiến thức toán: Giúp học sinh thấy được mối quan hệ “bao trùm“ của khái niệm phép dời hình so với các phép đã học và mở rộng các phép dời hình. - Tư duy biện chứng: Giúp học sinh cảm nhận quy luật “lịch sử” và sự tự thân vận động của sự vật. c. Giáo án kiểm chứng 3 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 96 Vận dụng biện pháp 2 và biện pháp 7: “Xem xét đối tượng toán học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác có liên quan” và “Xem xét một đối tượng toán học đồng thời phải xem xét phủ định của đối tượng đó”, thể hiện qua giáo án: Trong các bài toán tìm quỹ tích, tìm mối liên hệ giữa yếu tố di động (cần tìm quỹ tích) và các yếu tố cố định, các yếu tố đã có quỹ tích, lập ra mối quan hệ cụ thể qua phép vị tự cụ thể nào đó, từ đó ta sẽ tìm được quỹ tích cần tìm của điểm di động, ta cần xem xét chiều ngược lại: Một điểm bất kì thuộc quỹ tích vừa tìm được có thoả mãn các tính chất ban đầu hay không, đó chính là phần đảo của bài toán quỹ tích, Mục đích: - Kiến thức toán: Giúp học sinh nắm vững hơn cách giải một bài toán quỹ tích nói chung, và cách tìm quỹ tích bằng việc thiết lập các mối liên hệ với nhau giữa các yếu tố di động và cố định. - Tư duy biện chứng: Giúp học sinh cảm nhận được quy luật “toàn diện” và quy luật “hai mặt ” của tư duy biện chứng. 2. Đánh giá kết quả kiểm tra Bài kiểm tra: - Thời gian kiểm tra 45 phút. - Yêu cầu kiểm tra: +Kiến thức toán: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. + Tư duy biện chứng: Thể hiện trong bài làm là: Mối liên hệ giữa các yếu tố thay đổi và các yếu tố cố định; mối liên hệ giữa bài toán tìm quỹ tích trọng tâm và bài toán tìm quỹ tích trực tâm đã quen thuộc; xét hai phần: thuận và đảo của bài toán quỹ tích. Nhận xét. +Về cách làm: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 97 Học sinh lớp đối chứng chủ yếu chỉ biết làm một cách và thường chỉ làm phần thuận mà quên mất phần đảo. Học sinh lớp kiểm chứng nhờ biết liên hệ giữa bài toán đang làm với bài toán tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC vốn đã quen thuộc nên các em làm được nhiều cách hơn, đồng thời bài làm cũng đầy đủ cả hai phần thuận và đảo. + Về điểm số: Nhìn vào bảng thống kê điểm bài kiểm tra: Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng: X = 6,733 Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng: Y =6,08 3. Đánh giá chung Qua ba giáo án kiểm chứng sư phạm và bài kiểm tra, chỉ mới xét điểm trung bình của các bài kiểm tra thì chưa đủ tin cậy theo thống kê toán học nhưng ta mới chỉ làm đến thế mà chưa thể làm hơn. Do đó, chỉ có thể coi các sự khác nhau giữa hai lớp kiểm chứng và đối chứng là một minh họa cho các biện pháp “Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng” đã nêu trong chương II, chứ chưa khẳng định được điều gì về khoa học. Qua kiểm chứng sư phạm bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh, chúng tôi nhận thấy có một số khó khăn: - Khối lượng kiến thức trong một tiết dạy tương đối nhiều. Hướng khắc phục: - Giáo viên cần nghiên cứu kỹ lưỡng nội dung SGK, từ đó phát hiện và tận dụng các yếu tố biện chứng ẩn trong SGK để bồi dưỡng, rèn luyện cho học sinh. - Giáo viên phải khéo léo gợi mở, dẫn dắt học sinh tư duy theo quy luật tư duy biện chứng. Dần dần hình thành thói quen và thành thạo tư duy theo các quy luật của tư duy biện chứng. Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh là một quá trình lâu dài, bởi vậy giáo viên không thể nóng vội. Trong một bài dạy, giáo viên nên chọn một đến hai yếu tố biện chứng nổi bật để bồi dưỡng cho học sinh, không nên tham kiến thức, đòi hỏi cao về mặt tư duy biện chứng ở các em. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 98 Kết luận Nội dung khoá luận: "Dạy học các khái niệm toán học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 ở trường phổ thông ". Khoá luận đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Dạy học các khái niệm toán học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh". Khoá luận đã xây dựng được một số biện pháp: "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh trong dạy học toán". Vận dụng một số biện pháp: "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh trong dạy học toán". Kiểm chứng sư phạm tuy trong thời gian không dài, chưa phải là diện rộng, sơ bộ minh hoạ tính khả thi một số biện pháp "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học Hình học 10 ". Đã soạn được một số giáo án cho các tiết lên lớp trong chương "Các phép dời hình và phép đồng dạng" theo hướng "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh ". Nếu thực hiện tốt các biện pháp "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chức cho học sinh " thì học sinh không những rèn luyện, phát triển tư duy biện chứng mà chất lượng, hiệu quả dạy học toán được nâng cao, học sinh học toán sẽ tích cực, chủ động, sáng tạo. Kết quả nghiên cứu của khoá luận có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán ở trường phổ thông trong lĩnh vực "Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng cho học sinh ". PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 99 Tài liệu tham khảo [1]. Văn Như Cương-Phan Văn Viện, Hình học 10, Nxb Giáo dục, 2000. [2]. Văn Như Cương-Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 10, Nxb Giáo dục, 2000. [3]. Văn Như Cương-Trần Văn Hạo, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Nxb Giáo dục, 2000. [4]. Trần Văn Hạo-Cam Duy Lễ-Ngô Thúc Lanh-Ngô Xuân Sơn-Vũ Tuấn, Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục, 2000. [5]. Nguyễn B áKim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm, 2004. [6]. Nguyễn Bá Kim-Vũ Dương Thuỵ, Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục, 2001. [7]. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Phương pháp dạy học môn Toán (Phần II - Dạy học những nội dung cơ bản), Nxb Giáo dục, 1994. [8]. Đào Tam, Giáo trình Hình học sơ cấp, Nxb Đại học sư phạm, 2004. [9]. Đào Tam, Phương pháp dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông, Nxb Đại học sư phạm, 2005. [10]. Trần Quốc Thông, Rèn luyện và phát triển tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích lớp 11, Khoá luận thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Huế, Trường Đại học sư phạm, 2001. [11]. Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu khoa học, Tập 1, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997. [12]. Tuyển tập 30 năm Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nxb Giáo dục, 1999. [13]. V. M. Môlốtsi, Một số vấn đề Triết học về cơ sở của Toán học, Bản dịch tiếng Việt, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Văn Thành và Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, 1962. [14]. G. Polya, Giải một bài toán như thế nào, Bản dịch tiếng Việt, Hồ Thuần và Bùi Tường, Nxb Giáo dục, 1997. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ._.