Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng các lý thuyết khác nhau cũng như các phương pháp tính toán các loại kết cấu cụ thể, nhằm giải quyết các yêu cầu về độ bền và độ ổn định của kết cấu.Trong các phương pháp tính toán kết cấu hiện nay người ta thường dùng các phương pháp tính gần đúng, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn được thừa nhận là một phương pháp có hiệu quả nhất để tính toán các trạng thái ứng suất, chuyển vị trong kết cấu. Hơn nữa, nó lại có thể tính toán các kết cấu có hình dáng bất kỳ và sử dụng tính một cách thuận tiện nhất. Vì vậy, trong thời gian gần đây phương pháp phần tử hữu hạn được ứng dụng ngày càng phổ biến hơn. Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài được giao: “Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng” em đã tiến hành nghiên cứu và triển khai trên máy tính bằng Maple và Matlab. Kết quả tính toán đã được so sánh với kết quả của chương trình ứng dụng Sap 2000 và còn được thể hiện bằng đồ hoạ ra màn hình. chương 1 tổng quan về lý thuyết uốn tấm mỏng 1.1 Khái niệm. Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày của nó nhỏ so với các kích thước khác. Tấm mỏng là một vật thể hình trụ có chiều cao h nhỏ so với kích thước của hai mặt đáy. Chiều cao h gọi là bề dày của tấm. Mặt trung gian là mặt chia đôi bề dày của tấm ( hình 1.1 ). Mặt đàn hồi là mặt trung gian bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Tuỳ theo những hình dạng của tấm ta có những tên gọi thích hợp như : tấm tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tam giác… O x h mặt trung bình y z p mặt trung bình m m h x n n z mặt đàn hồi Hình 1.1 Khi nghiên cứu ta chọn mặt toạ độ xOy trùng với mặt trung gian. Trục z hướng xuống dưới. Khi đó chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ võng của tấm. Khi nghiên cứu tấm mỏng chịu uốn ta dựa trên một số giả thiết sau: Phần tử thẳng mn ( hình 1.1) ở trong tấm thẳng góc với mặt trung gian thì sau khi uốn vẫn thẳng góc với mặt trung gian ( mặt đàn hồi ) đã bị uốn, chiều dài đoạn đó không đổi. Người ta thường gọi đó là giả thiết về các phần tử phẳng của Kirchoff. Theo giả thiết về phần tử phẳng, nếu chọn mặt trung gian là Oxy thì góc vuông giữa pháp tuyến với các trục x và y sau khi uốn vẫn vuông tức là không có biến dạng trượt : suy ra (a) Còn chiều dài đoạn thẳng mn không đổi, suy ra ez = 0 (b) Bỏ qua sz gây ra do các lớp nằm ngang của tấm ép lên nhau. Theo giả thiết này ta có : (c) Trên mặt trung gian các điểm chỉ có dịch chuyển theo phương z nghĩa là xem : u(0) = 0 ; v(0) = 0 ; w(0) = 0 1.2 tương quan giữa chuyển vị – biến dạng - ứng suất. 1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyển vị. Véc tơ hay gọi là véctơ chuyển vị của điểm P trong hệ toạ độ Đềcác. u, v, w gọi là các thành phần chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng ( hình vẽ 1.2). Biến dạng dài tỉ đối theo các phương x, y, z xác định theo hệ thức Côsi ( hình vẽ 1.3): (1.1) z O y x Hình 1.2 y g a A’ B’ b B dx A u O x Hình 1.3 Biến dạng góc tương đối: Tương tự ta có : (1.2) Công thức trên có thể viết dưới dạng :với là thành phần của tenxơ biến dạng: hoặc (1.3) Trong đó : ui ( i=1, 2, 3 ) là các thành phần của véctơ chuyển vị . Nếu gọi véctơ chỉ phương của đoạn AB ở trạng thái trước khi biến dạng là ; véctơ chỉ phương của BC là , thì sự thay đổi góc giữa hai vécơ đó sau khi biến dạng được xác định theo công thức : ( i, j = 1, 2, 3 lấy tổng theo i, j ) 1.2.2 Định luật Hooke tổng quát Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến dạng – ứng suất tuân theo định luật Hooke : ( i, j, k, l = 1á 3, tổng theo k, l ) (1.4) Trong đó là tenxơ các hằng số đàn hồi và là tenxơ hạng bốn. hay : (1.5) Nếu vật liệu đẳng hướng, tenxơ các hằng số đàn hồi chỉ có hai hằng số độc lập l và y, gọi là hằng số Lamê, khi đó : gọi là biến dạng thể tích tỉ đối. là kí hiệu Kronecker. hay dưới dạng khai triển : (1.6) Trong đó : E – môđun đàn hồi ; m - hệ số Poátxông ; G – môđun trượt . Từ ( 1.1 ) ta có thể tính các thành phần biến dạng: ; với s = s11+ s22+ s33 (1.7) hay : (1.8) 1.2.3 Quan hệ giữa chuyển vị – biến dạng – ứng suất. Xét mặt tấm chịu tải trọng vuông góc với mặt trung gian. Từ giả thiết 1: Biến dạng dài , ta thấy chuyển vị w chỉ là hàm của hai biến x, y không phụ thuộc vào z. Do đó w = w(x,y). (d) Mọi điểm nằm trên đường vuông góc với mặt trung gian đều có chuyển vị w như nhau. Các chuyển vị u, v được tính theo chuyển vị w như sau : Từ điều kiện (a) ta có : Rút ra (e) Lấy tích phân biểu thức (e) theo z ta được : Trong đó f1, f2 là các hàm của hai biến (x,y). Để xác định f1(x,y), f2(x,y), tại z = 0 ta có : u(0) = f1(x,y), v(0) = f2(x,y) Theo giả thiết 3 ta có : u(0) = f1(x,y) = 0, v(0) = f2(x,y) = 0. Suy ra : (1.9) Thay (1.9) vào các công thức Côsi (1.1) ta tìm được các biến dạng theo chuyển vị w. , , (1.10) Khi đã biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luật Hoocke (1.8) ta nhận được các biểu thức ứng suất theo chuyển vị w : (1.11) 1.2.4 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực. Xét một phân tố được tách ra từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn dx và hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn dy. Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm ( hình 4) O x y z Tại một điểm có toạ độ z trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất sx, txy, txz tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất sy, tyx , tyz tác dụng. Còn các thành phần txz= tyz= 0 (theo giả thiết 1). Trong thực tế các ứng suất này là khác không, vì nếu không có nó thì sẽ không thoả mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát. Nhưng các ứng suất này là nhỏ so với các ứng suất sx , sy , txy nên ta đưa vào giả thiết 1 để bỏ qua cho bài toán được đơn giản. Đại lượng gọi là lực pháp trên một đơn vị dài theo phương x. Trong đó : dF = l.dz ; h là bề dày của tấm. Suy ra Tương tự : là lực pháp theo phương y. là lực tiếp trên một đơn vị dài. Thứ nguyên của Nx , Ny , T là [ lực/ chiều dài ].Thay trị số ứng suất theo (1.11) vào các biểu thức lực pháp và tiếp, thực hiện phép lấy tích phân, ta thấy các lực này trong tấm mỏng bằng không: Nx= Ny= T = 0. (1.12) Các đại lượng (1.13) được gọi là mômen uốn trên một đơn vị dài. Đại lượng là mômen xoắn trên một đơn vị dài. (1.14) Các mômen này có thứ nguyên là [(lực x chiều dài)/ chiều dài ], ví dụ Nm/m, kNm/m. Đại lượng là lực cắt trên một đơn vị dài, có thứ nguyên là [ lực/ chiều dài ], ví dụ N/m, kN/m . Sau khi lấy tích phân với các giá trị ứng suất theo (1.12), các giá trị mômen uốn và xoắn được tính theo độ võng là : Mx = - D (1.15) My = - D (1.16) Mxy = - D (1.17) Qx = (1.18) Qy = (1.19) Trong đó : D = gọi là độ cứng trụ của tấm. Quy ước chiều trên ( hình 1.5 ) biểu diễn các nội lực dương. So sánh (1.11) và (1.15) á (1.19) ta nhận được biểu thức quan hệ giữa ứng suất và nội lực. Mxy Mx x My Myx Qx y Qy Hình 1.5 (1.20) Trong đó : Vậy các ứng suất có giá trị lớn nhất, bé nhất tại các mặt . 1.2.5 Các phương trình cân bằng tĩnh học. 1.2.5.1 Phương trình cơ bản của uốn thuần tuý. My Mx x Mx y My z Hình 1.6 – Uốn thuần tuý tấm mỏng hình chữ nhật Tấm mỏng hình chữ nhật ở hình 1.6, dưới tác dụng của mômen uốn thuần tuý có cường độ Mx và My phân bố đều trên một đơn vị chiều dài dọc theo các cạnh. Dưới tác dụng của mômen uốn làm bề mặt trên của tấm bị nén lại và kéo căng trên bề mặt dưới. Xét một phân tố của tấm có bề rộng là dx , dy và chiều dày bằng chiều dày h của tấm. Giả thiết rằng bán kính cong của mặt trung hoà là rx và ry trong mặt phẳng xz và yz tách biệt nhau. Mặt lồi của tấm tương ứng với mômen uốn dương tạo ra chuyển vị theo hướng dương của trục z hay trục hướng xuống dưới. Mà theo lý thuyết dầm đơn, biến dạng chính ex , ey tương đương với ứng suất sx , sy của phần tử có chiều dày dz ở phía dưới mặt trung hoà một khoảng z, cho bởi công thức : ( 1.21) dx dy z ry rx sx sy dz a) b) Hình 1.7 – a) ứng suất pháp, b) Bán kính cong của tấm Định luật Hoocke tổng quát : ( 1.22) Thế ex , ey từ (1.21) vào (1.22), sau đó biến đổi ta được : ( 1.23) Từ giả thiết rằng các phân tố cùng nằm trên một mặt phẳng có ứng suất pháp chỉ thay đổi theo chiều dày của tấm, độ lớn của chúng phụ thuộc vào độ cong ( tức là mômen uốn) của tấm. Ta có phương trình cân bằng mômen của phân tố đang xét là: (1.24) Thế sx , sy từ (1.23) vào (1.24), ta có : (1.25) với gọi là độ cứng khi uốn của tấm. (1.26) Liên hệ giữa chuyển vị và bán kính cong : Thay vào (1.25), ta có : (1.27) Biểu thức (1.27) cho ta biết độ biến đổi hình dáng của tấm nếu đã Mx và My đã biết. Nếu Mx = 0 thì , hoặc My = 0 thì , do đó rx và ry trái dấu nhau, ta gọi đó là uốn lệch pha ( anticlastic). Nếu Mx = My = M thì , sự uốn theo mặt cầu gọi là uốn đồng pha ( syclastic) và . Mx My Hình 1.8 – Uốn lệch pha 1.2.5.2 Tấm chịu uốn và xoắn đồng thời. a) Mômen chính và độ cong chính. Thông thường, mômen uốn tác dụng lên tấm sẽ không nằm trong mặt phẳng vuông góc với các cạnh. Vì thế, mômen uốn có thể tách thành các thành phần đơn giản gồm thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến. Thành phần pháp tuyến Mx và My đã đề cập ở phần trên, còn các thành phần tiếp tuyến Mxy và Myx ( cũng là mômen đơn vị ) gây ra sự xoắn của tấm đối với các trục song song với trục x và y. Chỉ số thứ nhất của mômen xoắn chỉ phương pháp tuyến của mặt đang xét, chỉ số thứ hai của mômen xoắn chỉ độ dài cạnh song song trục nào. Quy ước dấu : Mx , My > 0 nếu làm căng thớ ở z > 0; Mxy ,Myx > 0 nếu quay ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn dọc trục của nó theo hướng song song với hướng dương của trục tương ứng x hoặc y. Trong hình vẽ tất cả các cường độ mômen đều dương. Mxy Myx( = - Mxy ) My Mx Mx x Mxy y Myx My z Hình 1.9 – Uốn và xoắn đồng thời tấm phẳng D Mxy Myx My Mx a Mx x Mxy y F Myx My z Mt Mn A a Mx C Mxy Mxy My B Hình 1.10 – Mômen trong mặt phẳng bất kì Vì Mxy và Myx sinh ra ứng suất tiếp txy = - tyx nên Mxy = - Myx. Trên mặt phẳng chéo FD có các mômen tác dụng là mômen tiếp Mt và mômen pháp Mn . Chúng ta có thể biểu diễn các mômen này qua các Mx, My, Mxy nhờ vào các phương trình cân bằng phân tố tam giác ABC ( hình 1.10 ). Trong mặt phẳng vuông góc với AC có : ị Mn = Mx cos2a + Mysin2a - Mxysin2a (1.28) Tương tự cho cân bằng trong mặt phẳng song song với AC, cũng có : (1.29) Từ (1.28) và (1.29) ta nhận thấy có hai giá trị của a, chênh nhau 900 thoả mãn và : (1.30) Thay (1.30) vào (1.28), Mn có hai giá trị max và min, ta có : (1.31) Các mômen chính gây ra các độ cong chính tương ứng. Trong trường hợp tấm chịu uốn và xoắn thuần tuý trong đó Mx, My và Mxy không đổi trong suốt chiều dài các cạnh của tấm thì các mômen chính là đại lượng lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm và được tính theo công thức (1.31). Từ đó ta thấy không có ứng suất cắt trên mặt phẳng đó và các ứng suất pháp tương ứng ( phụ thuộc vào z và Mx , My , Mxy) là ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm. b) Liên hệ giữa mômen xoắn và chuyển vị w. Trở lại tấm chịu tải như hình 1.10 a), chúng ta đã thành lập được mối liên hệ giữa cường độ mômen uốn Mx và My với chuyển vị w của tấm cho bởi các công thức (1.27). Tiếp theo chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa mômen xoắn Mxy và chuyển vị w. Từ định lý siêu định vị chúng ta có thể xét riêng Mxy tác dụng bỏ qua Mx và My. Như ta đã biết Mxy bị chống lại bởi hệ các cặp ứng suất bù nhau trong mặt phẳng thẳng đứng của phân tố được lấy ra suốt chiều dày của tấm và song song với các trục x và y. B A E z Xét một phân tố thuộc phân tố đang xét ( hình 1.11 ). Các ứng suất tiếp bù nhau trên lân cận của phân tố cách một khoảng z phía dưới mặt trung hoà là txy. Cho nên trên mặt ABCD có : dx dy và trên mặt ADEF có : Mxy Mxy dz txy txy F C Hình 1.11 – ứng suất tiếp do mômen xoắn gây ra (1.32) Trong đó : G : mô đun đàn hồi. gxy: độ dãn dài góc. Chúng ta có mối quan hệ giữa biến dạng góc gxy và các chuyển vị cho bởi công thức : Ta cần biểu diễn gxy qua chuyển vị w của tấm. Lấy một phân tố có chiều dày của tấm sẽ bị quay một góc bằng và trong các mặt phẳng xz và yz. Xét sự quay của một phân tố trong mặt phẳng xz của một điểm ở phía dưới mặt trung hoà một khoảng z là : Tương tự, chuyển vị theo phương y là : z O x h dz z -u Hình 1.12 – Góc xoay của phân tố Thay u, v vào biểu thức gxy ta có : (1.33) Từ (1.32) : Thay cho ta : Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với (1- m) thì : (1.34) Biểu thức (1.27) và (1.34) cho ta mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với chuyển vị của tấm và chúng cũng tương đương với mối quan hệ giữa mômen uốn và độ cong trong dầm đơn. 1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm. q y x z Hình 1.13 – Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc Mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với chuyển vị của tấm sẽ được sử dụng trong việc thiết lập phương trình vi phân tổng quát cho bài toán tấm hình chữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm (hình 1.13) Trong trường hợp tổng quát tải trọng phân bố có thể thay đổi theo một hàm phụ thuộc vào x và y. Chúng ta vẫn giả thiết mặt trung gian trùng với mặt trung hoà, mặt cắt ngang vẫn phẳng trong suốt quá trình biến dạng. Giả thiết sau chỉ rõ sự mâu thuẫn trong lý thuyết, đó là nếu mặt cắt ngang vẫn phẳng trong quá trình biến dạng thì các biến dạng góc gxz và gyz phải bằng 0, trong khi tải trọng phân bố gây các lực cắt vuông góc mặt tấm vẫn tồn tại ( và là ứng suất đã biết ). Vì thế chúng ta giả thiết rằng mặc dù và là không đáng kể nhưng các lực cắt tương ứng lại giống với độ lớn của tải trọng phân bố q và các mômen Mx , My và Mxy. Giả thiết này tương tự trong lý thuyết dầm đơn mà trong đó biến dạng góc được bỏ qua. Xét một phân tố của tấm như hình 1.14, chịu mômen uốn và xoắn như mô tả lần trước, và các lực Qx và Qy tác dụng lên một đơn vị chiều dài trong từng mặt phẳng vuông góc với trục x và y. Thay đổi của ứng suất cắt txz và tyz theo các cạnh nhỏ dx và dy của phân tố là không đáng kể và hợp lực của lực cắt Qxdy và Qydx đặt ở trọng tâm các mặt phẳng của phân tố. Ta có : và (1.35) Phương trình cân bằng lực của phân tố theo trục Oz và giả thiết là trọng lượng riêng của tấm được kể trong q, có dạng : (1.36) Lấy mômen với trục x : Đơn giản phương trên và bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta được: (1.37) Tương tự lấy mômen đối với trục y, ta có : (1.38) 1.2.5.4 Tấm chịu uốn đồng thời với lực tác dụng trong mặt phẳng trung gian của tấm. Trong các trường hợp đã xét chúng ta giả thiết rằng các mặt trung hoà của tấm không có ứng suất. Nếu trong mặt phẳng của tấm thêm vào tải trọng kéo, nén hoặc tiếp thì sẽ gây ra ứng suất trong mặt trung gian và nếu như nó đủ lớn sẽ ảnh hưởng đến sự uốn của tấm. Xét một phân tố nhỏ dxdy thuộc mặt phẳng trung gian của tấm mỏng, vị trí chuyển vị của nó như hình 1.15. Chiều và độ lớn của lực trên một đơn vị dài được tạo bởi tải trọng trong mặt phẳng tấm là Nx, Ny , và Nxy và quy ước dấu của nó như đối với ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Ngoại lực theo phương vuông góc với tấm không tham gia vào phương trình cân bằng chiếu theo phương x và y, do đó : dx Mxy dy q Qy My Mxy Qx Mx Hình 1.14 – Trạng thái chịu lực của phần tử tấm Theo phương x : do w nhỏ nên nhỏ, suy ra : cos ằ 1, cos ằ 1 Vậy ta có : = 0 (1.39) O dx x Nx- O Nyx Ny x Nxy y Nx Hình 1.15 – Lực tác dụng trong mặt phẳng tấm Tương tự theo phương y : = 0 (1.40) Những phương trình này hoàn toàn độc lập với ba phương trình cân bằng ( đã nêu trong 2.5.3) và vì thế ta có thể sử dụng chúng một cách độc lập. Khi xét hình chiếu của các lực lên trục z, ta phải kể đến ảnh hưởng của các lực Nx, Ny, Nxy và Nyx do khi tấm bị uốn mà có những góc nhỏ giữa các phương của các lực này. Thành phần hình chiếu lên trục z do Nxy là : ( bỏ qua vô cùng bé bậc cao ) Tương tự ta có thành phần hình chiếu lên trục z do Nyz là : Thành phần hình chiếu lên trục z do Nx là : Tương tự do Ny là : Do đó tổng hợp lực do Nx, Ny, Nxy,( Nxy = Nyx ) chiếu lên phương z là : Sử dụng (1.39) và (1.40) ta có: Cộng hợp lực này với tải trọng qdxdy tác động vào phân tố và dùng phương trình (1.36) ta có phương trình cân bằng dưới đây: (1.41) Chương 2 Dao động uốn của tấm mỏng 2.1 Thiết lập phương trình uốn của tấm mỏng. Xét dao động uốn của tấm mỏng đồng chất bề dày h, mật độ khối r không đổi. Để thiết lập các phương trình dao động của tấm, ta thừa nhận các giả thiết của lý thuyết tấm mỏng cổ điển như sau : Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo định luật Hooke. Trong tấm luôn tồn tại một lớp trung hoà mà khoảng cách giữa các điểm của nó không thay đổi. Khi tấm đồng chất bị uốn ít, lớp trung hoà trùng với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm. Ta gọi mặt này là mặt trung hoà. Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hoà, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó vẫn vuông góc với mặt trung hoà. Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hoà. Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay. Ta chọn mặt phẳng trùng với mặt trung hòa trạng thái chưa biến dạng làm mặt phẳng toạ độ xy, trục z được chọn vuông gócvới mặt phẳng xy và hướng về phía dưới. Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M(x,y,z) của tấm tương ứng theo các trục x, y và z. Ký hiệu u0,v0,w0 là các thành phần dịch chuyển tương ứng của điểm A thuộc mặt trung hoà mà MA vuông góc với mặt trung hoà. Từ các giả thiết trên ta có: u0= v0 = 0 , w0= w(x,y,t) u = -z , v = -z (2.1) Với các lực và mômen đã vẽ như trên, áp dụng nguyên lý d’Alembert ta nhận được các phương trình sau: (2.2) (2.3) (2.4) Thế các biểu thức (2.3) và (2.4) vào phương trình (2.2) ta được : (2.5) Trong các phương trình trên ta sử dụng các ký hiệu: Qx , Qy : Lực cắt trên một đơn vị chiều dài ở các mặt cắt x = const, y = const theo hướng z. x y z Mx , My : Mômen uốn trên một đơn vị chiều dài, vuông góc với mặt cắt x = const, y = const, (Mxy = Myx). p(x,y,t) : Tải trọng ngoài trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hoà. w(x,y,t) : Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hoà theo phương z. Từ các công thức Cauchy quen thuộc trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta có các quan hệ hình học sau [ ] : , , (2.6) Từ các định luật Hooke đối với trạng thái suất phẳng [ ] ta có : (2.7) Từ đó ta tính được các mômen mặt cắt [ ] : Mx = - D My = - D (2.8) Mxy = - D Trong đó : D = (2.9) Gọi là độ cứng trụ của tấm, còn m gọi là hệ số Poisson. Thế các biểu thức (2.8) vào phương trình (2.5) ta nhận được phương trình dao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff. D (2.10) Phương trình (2.10) là phương trình dao động uốn của tấm mỏng. Nếu ta sử dụng toán tử (2.11) Thì phương trình (2.10) có dạng : D (2.12) Nếu chỉ xét dao động uốn tự do của tấm, ta lấy p(x,y,t) = 0, từ phương trình (2.12) ta suy ra : D (2.13) 2.2 Các điều kiện biên. Điều kiện biên là những điều kiện trên mặt ngoài của tấm mà ta cần cho trước để nghiệm phương trình (2.10) tương ứng với từng bài toán cụ thể. Trong các điều kiện biên có cả tải trọng q(x,y) tác động ở mặt trên và mặt dưới của tấm. Khi đặt bài toán tổng quát của tấm đã tính đến nó và nó đã có mặt ở một số hạng tự do của phương trình (2.10). Do đó ta chỉ còn điều kiện trên các cạnh của tấm. 2.2.1 Tấm tựa tự do ( gối tựa). Độ võng bằng 0, mômen bằng 0. VD : x = 0 có wùx = 0 = 0, Mxùx = 0 = = 0 Mặt khác, khi wùx = 0 = 0 ị = 0 Vậy điều kiện biên là : wùx = 0 = 0 , = 0 2.2.2 Tấm bị ngàm. Độ võng và góc xoay bằng 0. VD : x = 0 có wùx = 0 = 0 , = 0 2.2.3 Biên tự do. Lực cắt, mômen uốn và mômen xoắn đều bắng 0. VD : x = 0 có Hai điều kiện cuối được sát nhập theo điều kiện Kirchoff. Như vậy ta có điều kiện biên đối với cạnh tự do x = 0 là : 2.3 Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật. 2.3.1 Dao động tự do. Ta tìm nghiệm phương trình (2.13) dưới dạng : w(x,y,t) = W(x,y)sin(wt + d) (2.14) Thế (2.14) vào phương trình (2.13) ta có : (2.15) Trong đó ta ký hiệu (2.16) Phương trình (2.15) có thể viết dưới dạng : (2.17) Trong đó toán tử có dạng Nghiệm của phương trình (2.17) có thể tìm dưới dạng W(x,y) = W1(x,y) + W2(x,y) Trong đó W1, W2 tương ứng là nghiệm của các phương trình (2.18a) (2.18b) Nếu xét bài toán dao động tự do của tấm trên nền đàn hồi, thì phương trình dao động tự do của tấm có dạng : Phương trình này có thể đưa về dạng (2.15), nếu ta ký hiệu : Phương trình vi phân đối với các dạng dao động riêng của tấm: (2.19) Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc, phương trình (2.19) có dạng: (2.20) Ta có nghiệm phương trình trên dưới dạng W = W1 + W2. Trong đó W1 , W2 là nghiệm của phương trình : (2.21) (2.22) Nghiệm của phương trình (2.21) có dạng : (2.23) Nghiệm của phương trình (2.22) có dạng : W2(x,y) = X(x).Y(y) (2.24) Thế biểu thức (2.24) vào phương trình (2.22) ta có : (2.25) Từ đó suy ra : (2.26) (2.27) (2.28) Nghiệm của (2.26),(2.27) có dạng : (2.29a) (2.29b) Nghiệm của phương trình (2.19) bây giờ có dạng : Trong đó Các giá trị và do đó b và w được xác định từ điều kiện biên. 2.3.2 Dao động cưỡng bức. Dao động uốn cưỡng bức không cản của tấm hình chữ nhật được biểu diễn bởi phương trình vi phân : (2.30) Để tìm nghiệm riêng của phương trình (2.30) ta có nhiều phương pháp khác nhau. Nếu đã biết được các hàm riêng của bài toán dao động tự do Wm,n(x,y), ta có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (2.30) dưới dạng: (2.31) Trong đó qm,n(t) là các hàm cần tìm. Dựa trên tính chất trực giao của các hàm riêng, ta có thể tìm phương trình vi phân đối với hàm qm,n(t) tương tự như trong tính toán dao động uón của dầm. Thế biểu thức (2.31) vào phương trình (2.30) ta được : (2.32) Do Wm,n(x,y) là các hàm riêng nên theo phương trình (2.15) ta có : (2.33) Thế biểu thức (2.33) vào phương trình (2.32) ta suy ra : (2.34) Nhân cả hai vế của phương trình (2.34) với hàm riêng rồi lấy tích phân trên diện tích mặt tấm, chú ý đến tính chất trực giao của hàm riêng . ta nhận được hệ phương trình vi phân thường đối với qm,n(t) (2.35) với (2.36) Nếu không biết trước các hàm riêng Wm,n(x,y) ta áp dụng phương pháp Rit – Galerkin tìm nghiệm dưới dạng : (2.37) trong đó được chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên. 2.4 Một Số Bài Toán Ví Dụ 2.4.1 Bài toán 1. Xét dao động cảu tấm mỏng hình chữ nhật chịu điều kiện biên như hình vẽ, chịu tác động của lực phân bố đều q. a x y Giải : Phương trình dao động uốn của tấm mỏng : (1) Với Điều kiện biên bài của toán : x = 0, x = a : y = 0 : y = : Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng : w = w1 + w2 (2) Trong đó : (3) (4) Với w1 : là nghiệm của bài toán chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài của cạnh ( tương đương với cạnh chịu ngàm ). w2 : là nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do. Khi tấm có 4 cạnh tựa tự do thì độ dốc của mặt võng tại cạnh là : (5) Tại cạnh ngàm chặt nên độ võng do mômen gây ra trên cạnh này sẽ là: (6) Hai biểu thức (5) và (6) bằng nhau nên ta có : (7) Ta có : (8) (9) (10) (11) Mômen uốn Mx được tính như sau : Mx = Mx1 + Mx2 (12) Trong đó : (13) (14) Mômen uốn My được tính như sau : My = My1 + My2 (15) Trong đó : (16) (17) 2.4.2 Bài toán 2. b a Xét dao động của tấm mỏng hình chữ nhật chịu liên kết như hình vẽ, chịu tác dụng của lực phân bố đều trên toàn mặt tấm. A B x y Giải Có thể coi tấm chữ nhật ABCD có hai cạnh kề nhau, x = 0, y = 0 tựa tự do, hai cạnh kia bị ngàm như một phần của tấm bị ngàm tại toàn bộ chu vi x = ± a, y =± b. b a y Tải trọng phân bố đều trên diện tích của tấm cho trước. Lúc này, việc chia ô trên diện tích 2ax2b như hình vẽ sẽ xác định điều kiện tựa tự do tại x = 0 và y = 0. Như vậy, bài toán này được đưa về bài toán tấm ngàm tại toàn bộ chu vi. A B x D C Điều kiện biên của bài toán : x = 0 : y = 0 : x = a : x = b : Ta tìm nghiệm bài toán dưới dạng : w = w1 + w2 (1) Trong đó : w2 – nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do. (2) w1 – nghiệm của bài toán tấm chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài. (3) ở đây : Góc xoay của mặt phẳng tấm hay độ dốc ở cạnh y = b là : (4) Độ dốc tương ứng với độ võng w1 ở cạnh y = b là : (5) Hai biểu thức (4) và (5) bằng nhau về trị số nhưng ngược dấu nên ta có : (6) Thay (6) vào (3) ta được : Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w1 là : (7) Đạo hàm (3) hai lần theo x và hai lần theo y, sau đó thay vào (7) ta được : (8) (9) (10) Với Em được tính trong công thức (6). Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w2 là : (11) Đạo hàm (2) hai lần theo x và hai lần theo y ta có : (12) (13) Thay (12) và (13) vào (11) ta có : (14) Mômen uốn My tương ứng w1 là : (15) Thay (8) và (9) vào (15) ta có : (16) Mômen uốn My tương ứng w2 là : (17) Thay (12) và (13) vào (17) ta được : (18) Như vậy, mômen uốn Mx sẽ được tính là : Mx = M1x + M2x Với M1x được tính trong (10), M2x được tính trong (14). Mômen uốn My sẽ được tính là : My = M1y + M2y Với M1y được tính trong (16), M2y được tính trong (18). 2.4.3 Bài toán 3. Xét dao động của tấm mỏng hình chữ nhật chịu điều kiện biên như hình vẽ, dưới tác dụng của lực phân bố đều q. x y a b Giải Điều kiện biên của bài toán : x = 0, x = a : (1) y = 0 : (2) y = b : (3) Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng : w = w1 + w2 Trong đó : w1 – là độ võng của dải tựa tự do có chiều dài a chịu tải trọng phân bố đều và được biểu thị bằng chuỗi : (4) Còn w2 có thể xác định theo chuỗi : (5) Với (6) Những chuỗi (4) và (5) thoả mãn điều kiện biên (1), bốn hằng số trong biểu thức (6) được chọn sao cho điều kiện (2) và (3) được nghiệm đúng. Từ điều kiện (2) ta được : (7) Từ hai điều kiện còn lại, tìm thấy : (8) Trong đó : Sau khi thay các hằng số (7) và (8) vào phương trình (6) và dùng các chuỗi (4) và (5) ta rút ra biểu thức của mặt võng. Đạo hàm hai lần theo x biểu thức (4) ta có : (9) Đạo hàm hai lần theo x biểu thức (5) ta có : (10) Đạo hàm hai lần theo y biểu thức (5) ta có : (11) Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w1 là : (12) Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w2 là : (13) Mômen uốn My tương ứng w1 là : (14) Mômen uốn My tương ứng w2 là : (15) Như vậy, mômen uốn Mx sẽ được tính là : Mx = M1x + M2x Với M1x được tính trong (12), M2x được tính trong (13). Mômen uốn My sẽ được tính là : My = M1y + M2y Với M1y được tính trong (14), M2y được tính trong (15). Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 3.1 Giới thiệu chung. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Bằng cách thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình dùng để tính toán bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các điểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác dụng qua lại giữa các phần tử kề nhau, nhằm đơn giản hoá tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức chính xác yêu cầu. 3.2 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn. Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó ( chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ…). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau : Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó. Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. Các miền con ve được gọi là các phần tử hữu hạn. 3.3 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn. 3.3.1 Nút hình học. Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các phần tử hữu hạn. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó. 3.3.2 Quy tắc chia miền thành các phần tử. Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai quy tắc sau : Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là điểm, đường hay mặt. Biên giới Biên giới Biên giới Hình 3.1 – Biên giới của phần tử hữu hạn Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 3.3.3 Các dạng phần tử hữu hạn. Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất ( gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba…Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử thường gặp. a. Phần tử một chiều. PT bậc nhất PT bậc hai PT bậc ba b. Phần tử hai chiều. PT bậc nhất PT bậc hai PT bậc ba Hình 3.3 – Phần tử hai chiều c. Phần tử ba chiều. PT bậc ba PT bậc hai PT bậc nhất Hình 3.4 – Phần tử ba chiều 3.3.4 Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất. Có thể chia lực tác dạng ra làm ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột : Lực thể tích f: f = f [fx, fy, fz]T. Lực diện tích T: f = T [Tx, Ty, Tz]T. Lực tập trung Pi: fi = Pi [Tx, Ty, Tz]T. Chuyển vị của một điểm thuộc vật được kí hiệu bởi : u = [u, v, w]T Các thành phần của tenxơ biến dạng được kí hiệu bởi ma trận cột : e = [ex, ey, ez, gyz, gxz, gxy]T Trường hợp biến dạng bé : Các thành phần của tenxơ ứng suất được kí hiệu bởi ma trận: s = [sx, sy, sz, syz, sxz, sxy]T Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng : s = De Trong đó : E là môđun đàn hồi, m là hệ số Poisson của vật liệu. 3.3._.