Công thức Quy Net và một vài ứng dụng

n tình hướng dẫn em nắm bắt được. Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học. Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp đỡ em rất nhiều trong việc hoàn thiện kiến thức, hoàn thành luận văn và hướng dẫn những bước đi chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy. Ngoài ra, em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy phản biện đã đọc luận văn của em và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề. Xin chân thành cảm ơn. 4cho qua cua MỤC LỤC trang Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1. Phức và đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Một số mệnh đề thường dùng . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Phép giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Một số mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Tích tenxơ giữa các môđun . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Một vài tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ . . . . . 15 1.4.1. Tích xoắn các môđun . . . . . . . . . . . . . . . 15 51.4.2. Tích xoắn các nhóm aben . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG – ZILBER 19 2.1. Tích tenxơ giữa các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Một số mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Định lý Eilenberg – Zilber . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Các model acyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Định lý Eilenberg – Zilber . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 38 3.1. Công thức Quy net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1. Một vài mệnh đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Công thức Quy net . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.3. Trường hợp đặc biệt đối với nhóm aben . . . . . 51 3.2. Một vài ứng dụng của công thức Quy net . . . . . . . . 55 3.2.1. Định lý hệ tử phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2. Luật kết hợp của hàm tử Tor . . . . . . . . . . 56 3.2.2. Tính đồng điều kì dị của không gian tích . . . . 62 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6cho qua cua MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số, chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trong đó, các tri thức về phức kì dị đóng vai trò khá quan trọng. Việc tính các đồng điều kì dị có những ứng dụng cụ thể trong Tôpô Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính đúng sai của sự đồng phôi hoặc đồng luân giữa các không gian Tôpô hay làm rõ một kết quả nào đó,. . . Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân giữa tích tenxơ của hai phức kì dị của hai không gian tôpô và phức kì dị của không gian tôpô tích (định lý Eilengberg – Zilber), ta có được sự đẳng cấu đồng điều của hai phức này. Từ đó, nếu tính được đồng điều của tích tenxơ của hai phức thông qua đồng điều của các phức thành phần thì ta có thể tính đồng điều kì dị của không gian tích thông qua đồng điều kì dị của các không gian thành phần. Điều này được giải quyết bởi định lý công thức Quy net (Ku¨nneth). Cho nên, việc hiểu rõ về công thức Quy net có vai trò hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều và Tôpô Đại Số. Đó là lý do chọn đề tài. 7Mục đích Tìm hiểu rõ về công thức Quy net và cho thấy một vài ứng dụng của nó. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu trên phạm trù các phức, tích tenxơ các phức, các phức kì dị và những vấn đề có liên quan. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Làm rõ một số vấn đề về công thức Quy net, bên cạnh đó, cho thấy được một vài ứng dụng của nó, đặc biệt trong việc tính đồng điều kì dị. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phức và đồng điều 1.1.1. Các định nghĩa • Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R môđun là họ {Kn, ∂n} gồm các R−môđun Kn và các R−đồng cấu ∂n : Kn → Kn−1 được cho theo tất cả các số nguyên n, −∞ < n < ∞, hơn nữa ∂n ◦ ∂n+1 = 0. Điều kiện sau cùng này tương đương với đòi hỏi Ker ∂n ⊃ Im ∂n+1. Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu: K : · · · Kn−1oo Kn∂noo Kn+1∂n+1oo · · ·oo trong đó, tích hai đồng cấu liên tiếp bằng 0. • Chu trình n chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn(K) = Ker ∂n. • Phần tử bờ (hay biên) n chiều của phức K là phần tử thuộc môđun con ∂n+1Kn+1. • Đồng điều H(K) là họ các môđun Hn(K) = Ker ∂n / Im ∂n+1 . Đẳng thức Hn(K) = 0 có nghĩa là dãy K khớp tại Kn. 8 9• Nếu K và K ′ là các phức thì một biến đổi dây chuyền f : K → K ′ là họ các đồng cấu môđun {fn : Kn → K ′n, n ∈ Z} sao cho ∂′nfn = fn−1∂n với mọi n. f∗ = Hn(f) : Hn(K) −→ Hn(K ′) c+ ∂Kn+1 7−→ f(c) + ∂K ′n+1 được cảm sinh từ f là một đồng cấu. • Đồng luân dây chuyền s giữa hai biến đổi dây chuyền f, g : K → K ′ là họ các đồng cấu môđun {sn : Kn → K ′n+1, n ∈ Z}, hơn nữa ∂n+1sn + sn−1∂n = fn − gn Khi đó, ta viết s : f ' g. • Ta nói rằng biến đổi dây chuyền f : K → K ′ là tương đương dây chuyền nếu tồn tại một biến đổi dây chuyền h : K ′ → K và các đồng luân s : hf ' 1K , t : fh ' 1K ′. 1.1.2. Một số mệnh đề thường dùng Định lý 1.1. Nếu s : f ' g : K → K ′ thì với mọi n ∈ Z, f∗ = g∗ : Hn(K) −→ Hn(K ′) Hệ quả 1.1. Nếu f : K → K ′ là tương đương dây chuyền thì với mỗi n ∈ Z, ánh xạ Hn(f) : Hn(K) → Hn(K ′) là đẳng cấu. Mệnh đề 1.1. Cho K, K ′ là các phức trong phạm trù các nhóm aben, các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Kn−1. Khi đó, nếu f, g : K → K ′ là các biến đổi dây chuyền với Hn(f) = Hn(g) : Hn(K) → Hn(K ′), ∀n ∈ Z 10 thì f ' g. Hệ quả 1.2. Cho K, K ′ là các phức trong phạm trù các nhóm aben, các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Kn−1. Khi đó, nếu có f : K → K ′ là biến đổi dây chuyền sao cho Hn(f) là đẳng cấu với mọi n ∈ Z thì hai phức K và K ′ là tương đương đồng luân. Mệnh đề 1.2. Nếu s : f ' g : K → K ′ và s′ : f ′ ' g′ : K ′ → K ′′ là các đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền: f ′s+ s′g : f ′f ' g′g : K −→ K ′′. Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức E : 0 // K χ // L σ // M // 0 (χ, σ là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi n), dãy dài các nhóm đồng điều sau là khớp: · · ·Hn+1(M)En+1 // Hn(K) χ∗ // Hn(L) σ∗ // Hn(M) En // Hn−1(K) · · · trong đó, En : Hn(M) → Hn−1(K) gọi là đồng cấu nối và được xác định như sau: En(clsM m) = clsK(χ −1∂Lσ−1m) 1.1.3. Phép giải Định nghĩa 1.1. Một phép giải của môđun C là dãy khớp dạng: . . . // Xn ∂ // Xn−1 // . . . // X1 ∂ // Xo ε // C // 0 11 tức phức (X, ε) với các nhóm đồng điều Hn(X) = 0 khi n > 0 và Ho(X) ∼= C. Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh. Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh). Nếu γ : C → C ′ là đồng cấu, ε : X → C là phức xạ ảnh trên C và ε′ : X ′ → C ′ là phép giải của C ′, thế thì tồn tại biến đổi dây chuyền f : X → X ′, hơn thế ε′ ◦ fo = γ ◦ ε và bất kỳ hai biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân. 1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị 1.2.1. Các định nghĩa • q−đơn hình chuẩn: Cho q ≥ 0. Một q−đơn hình chuẩn, kí hiệu: ∆q là tập con của Rq+1, xác định bởi: (xo, x1, . . . , xq) ∈ ∆q ⇐⇒  0 ≤ xi ≤ 1 q∑ i=0 xi = 1 eo, e1, . . . , eq là cơ sở chính tắc của Rq+1 thì ej ∈ ∆q và gọi là đỉnh thứ j của ∆q. Ánh xạ ε j q được xác định như sau: εjq : ∆q−1 −→ ∆q (j = 0, 1, . . . , q − 1) εjq(xo, . . . , xj−1, xj, . . . , xq−1) = (xo, . . . , xj−1, 0, xj, . . . , xq−1) X là không gian tôpô • q−đơn hình kì dị là ánh xạ σ : ∆q → X liên tục. • SqX là nhón aben tự do, sinh bởi tập tất cả các q−đơn hình kì dị. 12 • Phức kì dị SX, là phức dây chuyền các nhóm aben có hạng tử thứ n là SnX và đồng cấu bờ được xác định như sau: ∂n : SnX −→ Sn−1X σ 7−→ n∑ j=0 (−1)jσεjn • HX = H(SX) được gọi là đồng điều kì dị (tuyệt đối) của không gian tôpô X. Nếu A là không gian con của X thì H(X,A) = H(S(X,A)) được gọi là đồng điều tương đối của không gian tôpô X mod A. • Cho X, Y là hai không gian tôpô. Nếu f : X → Y là ánh xạ liên tục thì Sf : SX → SY trở thành biến đổi dây chuyền, đôi khi không sợ nhầm lẫn ta có thể viết f : SX → SY . • Trường hợp P là một điểm, ánh xạ liên tục γX : X → P cảm sinh đồng cấu đồng điều: γX∗ : HX → HP Khi đó, ta gọi Ker γX∗ ⊂ HX là nhóm đồng điều dẫn xuất của X và kí hiệu: H˜X. 1.2.2. Một số mệnh đề Mệnh đề 1.4. Cho X là không gian tôpô, ta có: Hq(X) = H˜qX, q 6= 0 và Ho(X) = Z⊕ H˜o(X) Mệnh đề 1.5. X là tập lồi trong Rn, η : SX → (Z, 0) là tương đương đồng luân, đặc biệt H˜X = 0. 13 Mệnh đề 1.6. Cho Sn là mặt cầu trong không gian Euclide, Sn = {x ∈ Rn+1, ‖x‖ = 1} Khi đó, ta có: H˜k(S n) =  0 nếu k 6= nZ nếu k = n 1.3. Tích tenxơ giữa các môđun 1.3.1. Định nghĩa • Tích tenxơ hai môđun: Cho XR và RY là các môđun phải và môđun trái trên cùng một vành hệ tử R. Tích tenxơ của các môđun X và Y là nhóm aben nào đó, kí hiệu X ⊗R Y , sao cho có ánh xạ song tuyến tính τ : X × Y → X ⊗R Y mà đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính ϕ : X × Y → G (với G là nhóm aben), luôn tồn tại duy nhất đồng cấu f : X ⊗R Y → G thỏa mãn ϕ = f ◦ τ (τ được gọi là ánh xạ tenxơ). • Tích tenxơ của hai đồng cấu: Cho f : XR → X ′R là đồng cấu các R−môđun phải, g : RY → RY ′ là đồng cấu các R−môđun trái. Ta định nghĩa tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, kí hiệu: f ⊗ g là đồng cấu nhóm aben từ X ⊗X ′ vào Y ⊗ Y ′ sao cho ta có: (f ⊗ g)(x⊗ y) = f(x)⊗ g(y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y • R−môđun phải A được gọi là môđun dẹt phải nếu hàm tử (A⊗−) là hàm tử khớp. Khái niệm dẹt trái đối với các R−môđun trái cũng 14 được xác định một cách tương tự. Các môđun dẹt phải, dẹt trái, để đơn giản ta gọi chung là các môđun dẹt. 1.3.2. Một vài tính chất Mệnh đề 1.7. Cho Zm(c) là nhóm aben cấp m với phần tử sinh c. Khi đó, với bất kỳ nhóm aben A ta luôn có: Zm(c)⊗ A ∼= A/mA trong đó, mA = {ma|a ∈ A}. Định lý 1.3. Cho họ {Xi}i∈I là họ R−môđun phải và {Yj}j∈J là họ các R−môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:(⊕ i∈I Xi ) ⊗ ⊕ j∈J Yj  ∼= ⊕ (i,j)∈I×J (Xi ⊗ Yj). Định lý 1.4. Cho X, Y, M là các môđun trên vành giao hoán R. Khi đó, chúng ta có các đẳng cấu: X ⊗ Y ∼= Y ⊗X và (X ⊗ Y )⊗M ∼= X ⊗ (Y ⊗M) Định lý 1.5. Tổng trực tiếp một họ môđun A = ⊕ i∈I Ai là môđun dẹt khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần Ai là môđun dẹt. Hệ quả 1.3. Mỗi môđun tự do là môđun dẹt. Hệ quả 1.4. Mỗi môđun xạ ảnh là môđun dẹt. 15 1.4. Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ 1.4.1. Tích xoắn các môđun Định nghĩa 1.2. Cho GR là R−môđun phải và RC là R−môđun trái, ta xác định TorRn (G,C) là tập tất cả các bộ ba: t = (µ, L, ν). Trong đó, L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, µ : L→ G, ν : L∗ → C là các biến đổi dây chuyền (xem G, C là phức tầm thường, L∗ = HomR(L,R)). Nếu L′ là một phức khác, và ρ : L → L′ là biến đổi dây chuyền thì ánh xạ liên hợp ρ∗ : L′∗ → L∗ cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các biến đổi µ′ : L′ → G và ν : L∗ → C, ta xem (µ′ρ, L, ν) = (µ′, L′, νρ∗) và quan hệ bằng nhau trong TorRn là quan hệ tương đương bé nhất bảo toàn hệ thức trên. Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể viết Torn thay cho Tor R n . Mệnh đề 1.8. 1. Torn(G,C) là nhóm cộng aben với phép toán được xác định như sau: với t1, t2 ∈ Torn(G,C) thì t1 + t2 = (∇G)∗(∇C)∗(t1 ⊕ t2) ∈ Torn(G,C) trong đó, ∇G : G⊕G −→ G ∇C : C ⊕ C −→ C (g1, g2) 7−→ g1 + g2 (c1, c2) 7−→ c1 + c2 16 2. Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R−môđun phải và R−môđun trái đến phạm trù các nhóm aben. Mệnh đề 1.9. Bộ ba (µ, L, ν) trong Torn cộng tính theo µ và ν, chẳng hạn: (µ1 + µ2, L, ν) = (µ1, L, ν) + (µ2, L, ν) Định lý 1.6. Tồn tại đẳng cấu tự nhiên G⊗R C ∼= Toro(G,C). Đối với dãy khớp ngắn E = (χ, σ) : A // // B // // C và phần tử t = (µ, L, ν) ∈ Torn(G,C) với n > 0, có thể xác định tích Et ∈ Torn−1(G,A). Giả sử ν : L∗ → C và E là phức trên C với L∗ là xạ ảnh còn E là khớp. Theo định lý so sánh, tồn tại biến đổi dây chuyền ϕ, thỏa: . . . // L∗n−1 // ϕn−1  L∗n ν // ϕn  C E : 0 // A // B // C // 0 Kí hiệu n−1oL là phức độ dài n− 1, có được khi bỏ môđun Ln khỏi L và đặt: E(µ, L, ν) = (µ, n−1oL, ϕn−1) Mệnh đề 1.10. Tích Et xác định như trên là hợp lý. Định lý 1.7. Với mỗi dãy khớp ngắn E : A // // B // // C các R−môđun trái và R−môđun phải G, ta có dãy khớp dài sau: · · ·Torn(G,A) // Torn(G,B) // Torn(G,C) E∗ // Torn−1(G,A) · · · được kết thúc bởi Toro(G,C) = G ⊗ C → 0. Ánh xạ E∗ được xác định như sau: E∗(µ, L, ν) = E(µ, L, ν). 17 Định lý 1.8. Đối với mỗi phép giải ε : X → G của môđun GR và đối với môđun RA, tồn tại đồng cấu: ω : Torn(G,A) −→ Hn(X ⊗ A), n = 0, 1, . . . tự nhiên theo A. Nếu X là phép giải xạ ảnh, thì ω là đẳng cấu tự nhiên theo G và A. Ta cũng có một kết quả tương tự như sau: Định lý 1.9. Giả sử η : Y → A là phép giải xạ ảnh của môđun RA. Khi đó, với môđun GR, ta có đẳng cấu: Torn(G,A) ∼= Hn(G⊗ Y ) 1.4.2. Tích xoắn các nhóm aben Các nhóm aben được xem là Z−môđun, do đó, nó cũng có định nghĩa về hàm tử Tor tương tự như môđun. Tuy nhiên, ở đây, phức L có thể chọn là phức (Z) (các hạng tử đều là Z). Ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1. Cho G là nhóm aben và f : A → B là đơn cấu nhóm aben. Khi đó, f∗ : Tor1(G,A) −→ Tor1(G,B) cũng là đơn cấu. Chứng minh. Ta có: ν : Z∗ = Z → A được xác định bởi ν(1) = a ∈ A. Khi đó, cùng với lý do f đơn cấu nên f ◦ ν(1) = 0 khi và chỉ khi ν(1) = 0 hay ν = 0. Do vậy Ker f∗ = {(µ, (Z), ν) ∈ Tor1(G,A)|(µ, L, f ◦ ν) = 0} = 0 18 Như vậy, khi kết hợp với định lý 1.7 ở trên, ta được: Định lý 1.10. Nếu E = (χ, σ) : A // // B // // C là dãy khớp các nhóm aben thì với mỗi nhóm aben G, ta có dãy khớp: 0 // Tor1(G,A) χ∗ // Tor1(G,B) σ∗ // Tor1(G,C) E∗  0 G⊗ Coo G⊗B1⊗σoo G⊗ A1⊗χoo Đối với các nhóm aben, hầu hết chỉ làm việc với Tor1 nên người ta kí hiệu Tor thay cho Tor1. Đặc biệt, đối với các nhóm aben G, A thì nhóm aben Tor(G,A) còn có một cách biểu diễn khác. Đó là nhóm aben có các phần tử sinh là tất cả các bộ ba 〈g,m, a〉, trong đó, m ∈ Z, gm = 0 trong G và ma = 0 trong A, thỏa các hệ thức cộng tính và trượt với các nhân tử m, n sau: 〈g1 + g2,m, a〉 = 〈g1,m, a〉+ 〈g2,m, a〉, gim = 0 = ma (i = 1, 2) 〈g,m, a1 + a2〉 = 〈g,m, a1〉+ 〈g,m, a2〉, gm = 0 = mai (i = 1, 2) 〈g,mn, a〉 = 〈gm, n, a〉, gmn = 0 = na 〈g,mn, a〉 = 〈g,m, na〉, gm = 0 = mna Chương 2 TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG – ZILBER 2.1. Tích tenxơ giữa các phức 2.1.1. Định nghĩa Cho phức K các R−môđun phải K : . . . Kn−1oo Kn ∂Koo Kn+1 ∂Koo . . .oo và phức L các R−môđun trái L : . . . Ln−1oo Ln ∂Loo Ln+1 ∂Loo . . .oo Ta đi xây dựng tích tenxơ K ⊗ L Trước hết, mỗi hạng tử trong phức K ⊗ L là một nhóm aben được xác định như sau: (K ⊗ L)n = +∞∑ p=−∞ Kp ⊗ Ln−p (2.1) 19 20 Và nếu x ∈ (K ⊗ L)n thì x sẽ có dạng (xp)p∈(−∞,+∞), trong đó: xp =∑ k ⊗ l ∈ Kp ⊗ Ln−p. Từ đây, để tiện trong tính toán, ta viết phần tử (. . . , 0, ∑ k⊗ l, 0, . . .) (tất cả các thành phần bằng 0 trừ một thành phần thứ p nào đó có giá trị ∑ k ⊗ l) ở dạng ∑ k ⊗ l. Tiếp theo, ta xây dựng đồng cấu bờ cho phức K⊗L: với mỗi p, tương ứng fnp : Kp ⊗ Ln−p −→ (K ⊗ L)n−1 biến mỗi phần tử sinh k ⊗ l thành ∂Kk ⊗ l + (−1)pk ⊗ ∂Ll. Khi đó, với k1, k2 ∈ K, l ∈ L, ta có: fnp [(k1 + k2)⊗ l] = ∂K(k1 + k2)⊗ l + (−1)p(k1 + k2)⊗ ∂Ll = (∂Kk1 + ∂ Kk2)⊗ l + [(−1)pk1 + (−1)pk2]⊗ ∂Ll = ∂Kk1 ⊗ l + ∂Kk2 ⊗ l+ (−1)pk1 ⊗ ∂Ll + (−1)pk2 ⊗ ∂Ll = (∂Kk1 ⊗ l + (−1)pk1 ⊗ ∂Ll)+ (∂Kk2 ⊗ l + (−1)pk2 ⊗ ∂Ll) = fnp(k1 ⊗ l) + fnp(k2 ⊗ l) tương tự, với k ∈ K, l1, l2 ∈ L ta cũng có: fnp [k ⊗ (l1 + l2)] = fnp(k ⊗ l1) + fnp(k ⊗ l2) Và với k ∈ K, l ∈ L, r ∈ R thì: fnp(kr ⊗ l) = ∂K(kr)⊗ l + (−1)pkr ⊗ ∂Ll = (∂Kk)r ⊗ l + (−1)pk ⊗ r∂Ll = ∂Kk ⊗ rl + (−1)pk ⊗ ∂L(rl) = fnp(k ⊗ rl) 21 Vậy, fnp là đồng cấu tenxơ. Do tính phổ dụng của tổng trực tiếp, ta có đồng cấu ∂n : (K ⊗ L)n −→ (K ⊗ L)n−1 sao cho biểu đồ sau giao hoán: (K ⊗ L)n ∂n ((PP PPP PPP PPP P Kp ⊗ Ln−p ip OO fnp // (K ⊗ L)n−1 với ip là đồng cấu nhúng. Và từ đó, ∂n được xác định qua phần tử sinh như sau: ∂n(k ⊗ l) = ∂Kk ⊗ l + (−1)deg kk ⊗ ∂Ll (2.2) với deg k = p nếu k ∈ Kp. Với cách xác định trên thì họ {∂n}n thỏa mãn là đồng cấu bờ của K ⊗ L. Thật vậy, với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n, ta có: ∂n−1∂n(k ⊗ l) = ∂n−1 ( ∂Kp k ⊗ l + (−1)deg kk ⊗ ∂Ln−pl ) = ∂Kp−1∂ K p k ⊗ l + (−1)deg(∂ K p k)∂Kp k ⊗ ∂Ln−pl+ (−1)deg k (∂Kp k ⊗ ∂Ln−pl + (−1)deg kk ⊗ ∂Ln−p−1∂Ln−pl) = (−1)deg ∂Kp k (∂Kp k ⊗ ∂Ln−pl − ∂Kp k ⊗ ∂Ln−pl) = 0 Như vậy, ta có định nghĩa về tích tenxơ của 2 phức như sau: Định nghĩa 2.1. Cho phức K các R−môđun phải và phức L các R−môđun trái. Ta định nghĩa tích tenxơ K ⊗ L là một phức các nhóm aben (K ⊗ L) : . . . (K ⊗ L)n−1oo (K ⊗ L)n∂oo (K ⊗ L)n+1∂oo . . .oo 22 với (K ⊗ L)n được xác định theo (2.1) và đồng cấu bờ được xác định theo (2.2). Nếu K và L là các phức dương thì K ⊗ L cũng vậy và tổng trực tiếp ở (2.1) là hữu hạn với p đi từ 0 tới n. 2.1.2. Một số mệnh đề Mệnh đề 2.1. Nếu f : KR −→ K ′R và g : RL −→ RL′ là các biến đổi dây chuyền, thì (f⊗g)(k⊗l) = fk⊗gl xác định một biến đổi dây chuyền f ⊗ g : K ⊗ L −→ K ′ ⊗ L′. Hơn nữa, ta có các tính chất sau: (i) Nếu 1K : KR −→ KR và 1L : RL −→ RL lần lượt là các biến đổi dây chuyền đồng nhất của các phức K và L thì 1K ⊗ 1L = 1K⊗L. (ii) Nếu KR f // K ′R f ′ // K ′′R và RL g // RL ′ g′ // RL ′′ là các biến đổi dây chuyền, thì (f ′.f)⊗ (g′.g) = (f ′ ⊗ g′).(f ⊗ g) (iii) Nếu f1, f2 : KR −→ K ′R và g : RL −→ RL′ là các biến đổi dây chuyền, thì ta có (f1 + f2)⊗ g = f1 ⊗ g + f2 ⊗ g Tương tự, với f : KR −→ K ′R và g1, g2 : RL −→ RL′ là các biến đổi dây chuyền thì ta cũng có f ⊗ (g1 + g2) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2 23 Nhận xét. Trong mệnh đề trên, đồng cấu thứ n trong biến đổi dây chuyền f ⊗ g : (f ⊗ g)n thực chất là tổng trực tiếp các đồng cấu fp ⊗ gn−p với p ∈ (−∞,+∞). Chứng minh. Ta xét biểu đồ: K ⊗ L : · · · (K ⊗ L)n−1oo (f⊗g)n−1  (K ⊗ L)n∂oo (f⊗g)n  (K ⊗ L)n+1∂oo (f⊗g)n+1  . . .oo K ′ ⊗ L′ : · · · (K ′ ⊗ L′)n−1oo (K ′ ⊗ L′)n∂′oo (K ′ ⊗ L′)n+1∂′oo . . .oo Với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n, ta có: (f ⊗ g)∂(k ⊗ l) = (f ⊗ g)(∂Kk ⊗ l + (−1)deg kk ⊗ ∂Ll) = f∂Kk ⊗ gl + (−1)deg kfk ⊗ g∂Ll = ∂K ′ fk ⊗ gl + (−1)deg fkfk ⊗ ∂L′gl = ∂′(fk ⊗ gl) = ∂′(f ⊗ g)(k ⊗ l) Do đó, f ⊗ g là biến đổi dây chuyền từ K ⊗ L vào K ′ ⊗ L′. Tiếp theo ta chứng minh các tính chất Với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n bất kỳ, ta có: (i) (1K ⊗ 1L)(k ⊗ l) = k ⊗ l = 1K⊗L(k ⊗ l). (ii) (f ′f ⊗ g′g)(k ⊗ l) = f ′fk ⊗ g′gl = (f ′ ⊗ g′)(fk ⊗ gl) = (f ′ ⊗ g′)(f ⊗ g)(k ⊗ l) (iii) [(f1 + f2)⊗ g] (k ⊗ l) = (f1 + f2)k ⊗ gl = (f1k + f2k)⊗ gl = f1k ⊗ gl + f2k ⊗ gl = [(f1 ⊗ g) + (f2 ⊗ g)] (k ⊗ l) 24 Tương tự, f ⊗ (g1 + g2) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2. Từ mệnh đề 3.2, đặc biệt là hai tính chất (i) và (ii), ta dễ thấy (K⊗_) và (_⊗L) là những hàm tử hiệp biến. Hơn nữa, (K⊗_)(L) ≡ K ⊗ L ≡ (_ ⊗ L)(K). Từ tính chất (ii) của mệnh đề 3.2, nếu ta có f : K → K ′, g : L→ L′ thì (f ⊗ 1L′)(1K ⊗ g) = (f ⊗ g) = (1K ′ ⊗ g)(f ⊗ 1L). Từ đó, suy ra tích tenxơ giữa hai phức xác định một song hàm tử hai lần hiệp biến từ tích 2 phạm trù phức các môđun vào phạm trù phức các nhóm aben. Mệnh đề 2.2. Nếu s : f1 ' f2 : K → K ′ và t : g1 ' g2 : L → L′ thì f1 ⊗ g1 ' f2 ⊗ g2. Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.1. Cho s : f1 ' f2 : K → K ′, t : g1 ' g2 : L→ L′. Khi đó, f1 ⊗ 1L ' f2 ⊗ 1L : K ⊗ L→ K ′ ⊗ L 1K ⊗ g1 ' 1K ⊗ g2 : K ⊗ L→ K ⊗ L′ Chứng minh bổ đề. Ta có [(f1 ⊗ 1L)− (f2 ⊗ 1L)] (k ⊗ l) = (f1 ⊗ 1L)(k ⊗ l)− (f2 ⊗ 1L)(k ⊗ l) = f1k ⊗ l − f2k ⊗ l = [(f1 − f2)k]⊗ l = [ (∂K ′ s+ s∂K)k ]⊗ l = ∂K ′ sk ⊗ l + s∂Kk ⊗ l 25 Nếu ta đặt ∂ = ∂K⊗L, ∂′ = ∂K ′⊗L thì ta có: ∂(k ⊗ l) = ∂Kk ⊗ l + (−1)deg kk ⊗ ∂Ll ∂′(sk ⊗ l) = ∂K ′sk ⊗ l + (−1)deg sksk ⊗ ∂Ll Từ đó, ta biến đổi tiếp như sau: [(f1 ⊗ 1L)− (f2 ⊗ 1L)] (k ⊗ l) = ∂K ′sk ⊗ l + (−1)deg sksk ⊗ ∂Ll+ s∂Kk ⊗ l − (−1)deg sksk ⊗ ∂Ll = ∂′(sk ⊗ l)+ s∂Kk ⊗ l + (−1)deg ksk ⊗ ∂Ll = ∂′(s⊗ 1L)(k ⊗ l)+ (s⊗ 1L)∂(k ⊗ l) Vì thế, f1 ⊗ 1L ' f2 ⊗ 1L với đồng luân dây chuyền s ⊗ 1L. Tương tự, 1K ⊗ g1 ' 1K ⊗ g2 với đồng luân 1K ⊗ t.  Bây giờ ta chứng minh mệnh đề. Theo bổ đề, ta có s⊗ 1L : f1 ⊗ 1L ' f2 ⊗ 1L : K ⊗ L→ K ′ ⊗ L 1K ′ ⊗ t : 1K ′ ⊗ g1 ' 1K ′ ⊗ g2 : K ′ ⊗ L→ K ′ ⊗ L′ Mặt khác, f1 ⊗ g1 = (1K ′ ⊗ g1)(f1 ⊗ 1L) f2 ⊗ g2 = (1′K ⊗ g2)(f2 ⊗ 1L) Do đó, theo mệnh đề 1.2, ta có f1 ⊗ g1 ' f2 ⊗ g2. Hệ quả 2.1. Nếu f : K → K ′ và g : L → L′ là các tương đương dây chuyền thì f ⊗ g : K ⊗ L→ K ′ ⊗ L′ cũng là tương đương dây chuyền. 26 2.1.3. Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích xoắn Định nghĩa 2.2. Cho 2 phức dương XR : Xo X1oo · · ·oo Xnoo · · ·oo RY : Yo Y1oo · · ·oo Ynoo · · ·oo với một số k ∈ N, ta định nghĩa: F kX⊗Y là một phức con của X ⊗ Y sinh bởi tất cả các Xi ⊗ Yj với j ≤ k. Xo ⊗ Yo (Xo ⊗ Y1)⊕ (X1 ⊗ Yo)oo · · ·oo k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yjoo · · ·oo Từ đó, ta dễ thấy 0 = F−1X⊗Y ⊂ F oX⊗Y ⊂ F 1X⊗Y ⊂ . . . ⊂ X ⊗ Y Mệnh đề 2.3. Cho hai phức dương XR và RY . Khi đó phức thương F kX⊗Y / F k−1X⊗Y đẳng cấu với phức Xo ⊗ Yk X1 ⊗ Yk∂ X⊗1oo X2 ⊗ Yk∂ X⊗1oo · · ·oo Chứng minh. Xét phức F k X⊗Y / F k−1X⊗Y , ta có hạng tử ở chiều thứ n là k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj / k−1∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj và đồng cấu bờ là ∂∗ cảm sinh từ đồng cấu bờ ∂ trong F kX⊗Y . Ta dễ dàng thấy rằng: • Phức đang xét có các hạng tử ở chiều m < k đều bằng 0. • x⊗ y = [ x⊗ y + k−1∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj ] ∈ k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj / k−1∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj khác không khi và chỉ khi x ∈ Xn−k, y ∈ Yk. (∗) 27 Với mỗi chiều thứ n, ta có tương ứng pn : k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj −→ Xn−k ⊗ Yk là đồng cấu chiếu và từ (∗), ta suy ra pn : k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj / k−1∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj −→ Xn−k ⊗ Yk là đẳng cấu. Đồng thời, họ p = {pn}n là biến đổi dây chuyền. Thật vậy, với 0 6= x⊗ y ∈ k∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj / k−1∑ j=0 Xn−j ⊗ Yj thì (∂X ⊗ 1)npn (x⊗ y) = ∂Xx⊗ y và pn−1∂n (x⊗ y) = pn−1 ( ∂Xx⊗ y ± x⊗ ∂Y y ) = pn−1 ( ∂Xx⊗ y ) (do (∗)) = ∂Xx⊗ y Vậy, ta có đẳng cấu cần chứng minh. Định lý 2.1. Nếu ε : X → G và η : Y → A là các phép giải xạ ảnh của các R−môđun GR và RA. Khi đó, ε⊗ 1 : X ⊗Y → G⊗Y cảm sinh một đẳng cấu đồng điều Hn(X ⊗R Y ) ∼= Hn(G ⊗R Y ) và do đó ta có đẳng cấu: Hn(X ⊗R Y ) ∼= TorRn (G,A), n = 0, 1, . . . Chứng minh. Đặt F k = F kX⊗Y , M k = F kG⊗Y . Khi đó, dễ thấy ε⊗ 1 ánh xạ F k vào Mk. Đặt (ε⊗ 1)k : F k →Mk là hạn chế của ε⊗ 1 lên F k vào 28 Mk. Theo mệnh đề (2.3) thì: F k /F k−1 đẳng cấu với phức Kk : Xo ⊗ Yk X1 ⊗ Yk∂ X⊗1oo · · ·oo và M k /Mk−1 đẳng cấu với phức chỉ có G⊗ Yk ở chiều thứ k, các hạng tử trong những chiều còn lại đều bằng 0. Ta có dãy 0 Goo Xooo · · ·oo là khớp. Vì Yk xạ ảnh nên dãy 0 G⊗ Ykoo Xo ⊗ Ykoo · · ·oo cũng là dãy khớp. Ta suy ra phứcKk cóHn(K k) = 0, n > k vàHk(K k) ∼= G⊗ Yk, nói khác đi, ta có: (ε⊗ 1)k : F k/F k−1 −→ M k /Mk−1 cảm sinh ra đẳng cấu đồng điều với mọi k. Mặt khác, bộ ba ( (ε⊗ 1)k−1, (ε⊗ 1)k, (ε⊗ 1)k ) biến dãy khớp F k−1 // // F k // // F k /F k−1 thành dãy khớp Mk−1 // // Mk // // M k /Mk−1 Từ đó, ta có biểu đồ giao hoán với dòng là khớp sau: Hn+1 ( F k/F k−1 ) →Hn (F k−1)→Hn (F k)→Hn (F k/F k−1)→Hn−1 (F k−1) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Hn+1 ( Mk/Mk−1 )→Hn (Mk−1)→Hn (Mk)→Hn (Mk/Mk−1)→Hn−1 (Mk−1) 29 Từ biểu đồ ta có: Hn(F k) ∼= Hn(Mk). Thật vậy, với k < 0 và mọi n thì Hn(F k) = 0 và Hn(M k) = 0, nên đương nhiên Hn(F k) ∼= Hn(Mk). Tiếp theo, ta giả sử đẳng cấu trên luôn xảy ra với m < k và mọi n. Khi đó, kết hợp với biểu đồ giao hoán trên, ta có bốn ánh xạ dọc hai bên là các đẳng cấu. Áp dụng bổ đề về 5 đồng cấu, ta suy ra ánh xạ dọc ở giữa cũng là đẳng cấu. Ở chiều thứ n, mọi chu trình và biên của X ⊗ Y đều xuất hiện trong F n+1. Do đó, từ Hn(F k) ∼= Hn(Mk), với k lớn (cụ thể là k ≥ n + 1) sẽ dẫn đến Hn(X⊗Y ) ∼= Hn(G⊗Y ). Từ đây, do Hn(G⊗Y ) ∼= TorRn (G,A) (định lý 1.9) nên ta có điều phải chứng minh. 2.2. Định lý Eilenberg – Zilber Định lý Eilenberg – Zilber cho thấy mối quan hệ giữa tích tenxơ của hai phức kỳ dị của hai không gian tôpô và phức kỳ dị của không gian tôpô tích. Trước khi vào nghiên cứu định lý, ta tìm hiểu thêm về các model acyclic. 2.2.1. Các model acyclic Định nghĩa 2.3. Cho K là một phạm trù bất kỳ, Ab là phạm trù các nhóm aben và F : K → Ab là một hàm tử hiệp biến. Một họ các phần tử {mj ∈ FMj|Mj ∈ K}j∈J được gọi là một cơ sở của F nếu với mọiX ∈ K, nhóm abel FX là tự do sinh bởi {(Fσ)mj} với j ∈ J, σ ∈ K(Mj, X). Ta nói F là tự do nếu nó có cơ sở. Nếu M ⊂ Ob(K) là một lớp các vật chứa tất cả các Mj. Khi đó, ta cũng 30 nói rằng, F có cơ sở trong M hay F tự do với các model trong M. Nhận xét. M phải là phạm trù con đầy đủ của K. Ví dụ 2.1. Xét K = T op (phạm trù các không gian tôpô), F : T op → AG, FX = SnX và với f : X → Y , thì (F (f))(σ) = f.σ, trong đó, σ ∈ Sn(X) là phần tử sinh của SnX. Ta đã biết SnX là tự do sinh bởi các ánh xạ liên tục σ : ∆n → X, tuy nhiên, ta có thể xem SnX là tự do sinh bởi (Fσ)(tn) với tn = id ∈ Sn(∆n). Do đó, trong trường hợp này, phần tử tn là cơ sở của F và F có cơ sở trong {∆n}. Ví dụ 2.2. Xét K = T op× T op. Ta quan tâm hai hàm tử sau đây: • F : T op × T op −→ AG với F (X, Y ) = Sn(X × Y ) và với cấu xạ f : (X, Y ) → (X ′, Y ′), thì F (f, g)(σ) = (f, g) ◦ σ trong đó, σ = (σ1, σ2) là phần tử sinh của Sn(X × Y ). Tương tự như ví dụ 2.1, Sn(X × Y ) được sinh bởi tất cả các ánh xạ liên tục σ = (σ1, σ2) : ∆n → X × Y . Nếu ta đặt σ′ : ∆n ×∆n −→ X × Y (x, y) 7−→ (σ1(x), σ2(y)) thì ta có thể xem Sn(X × Y ) là tự do sinh bởi σ′ ◦ (tn, tn) = (F (σ1, σ2))(tn, tn) với tn như trong ví dụ 2.1, và (tn, tn) ∈ Sn(∆n,∆n) Do đó, ở đây (tn, tn) là cơ sở của F và F có cơ sở trong {(∆n,∆n)}. 31 • F : T op× T op −→ AG với F (X, Y ) = (SX ⊗ SY )n = ⊕ p+q=n (SpX ⊗ SqY ) và nếu (f, g) ∈ Mor((X, Y ), (X ′, Y ′)) thì (F (f, g))(σX ⊗ σY ) = f.σX ⊗ g.σY với σX , σY lần lượt là các phần tử sinh trong SpX và SqY . Rõ ràng SpX ⊗ SqY được sinh bởi các phần tử σX ⊗ σY nên ta dễ dàng suy ra F có cơ sở trong M = {(∆p,∆q)}p+q=n là {tp ⊗ tq}p+q=n. Mệnh đề 2.4. Cho F : K → Ab là hàm tử tự do với cơ sở {mj ∈ FMj}j∈J , và W : K → Ab là một hàm tử bất kỳ. Nếu {wj ∈ WMj}j∈J là một họ bất kỳ thì có duy nhất một phép biến đổi tự nhiên: Φ : F → W sao cho Φ(mj) = wj với mọi j ∈ J Chứng minh. Ta xác định Φ như sau: Lấy X ∈ K bất kỳ. Do F là tự do, nên ta có thể xác định ΦX : FX → WX thông qua các phần tử sinh (Fσ)mj, với σ : Mj → X. Ta đặt ΦX((Fσ)mj) = (Wσ)wj Khi đó, đương nhiên Φ thỏa mãn điều kiện Φ(mj) = wj với mọi j ∈ J . Việc còn lại là kiểm tra tính tự nhiên: Nếu g : X ′ → X là một cấu xạ thì (ΦX ◦ F (g))((Fσ)mj) = ΦX(F (gσ)mj) = W (gσ)wj = W (g)W (σ)wj = (W (g) ◦ ΦX ′)((Fσ)mj) do đó ΦX ◦ F (g) = W (g) ◦ ΦX ′. Tính duy nhất của Φ được suy ra trực tiếp từ cách xác định Φ. 32 Hệ quả 2.2. Cho M ⊂ K là một phạm trù con đầy đủ và giả sử F : K → Ab có một cơ sở {mj ∈ FMj}j∈J sao cho mj ∈ M với mọi j (F có cơ sở trong M). Khi đó, mọi phép biến đổi tự nhiên F|M → W|M có một mở rộng duy nhất F → W (với W : K → Ab là một hàm tử bất kỳ). Mệnh đề 2.5. Cho F1 ρ // Fo pi // G // 0 là một dãy khớp các phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử K → Ab (khớp theo nghĩa: khớp với mọi X ∈ K). Giả sử Fo có cơ sở trong Mo ⊂ K và F1 có cơ sở trong M1 ⊂ K. Gọi W : K → Ab là một hàm tử mà với bất kỳ w′ ∈ WM ′ khác không, M ′ ∈ M1, có một cấu xạ g : M ′ → M với M ∈ Mo và (Wg)w′ 6= 0 (khả năng này luôn xảy ra nếu M1 ⊂ Mo). Khi đó, mọi phép biến đổi tự nhiên ψ : G|Mo → W|Mo đưa tới một mở rộng duy nhất đến phạm trù K là Ψ : G→ W Chứng minh. Trước hết ta chứng minh sự duy nhất: Nếu Ψ1,Ψ2 : G→ W trùng nhau trên Mo thì Ψ1pi,Ψ2pi cũng trùng nhau trên Mo, do đó Ψ1pi = Ψ2pi theo hệ quả 2.2, do vậy, Ψ1 = Ψ2 do pi là toàn cấu. Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của mở rộng: Cho ψ : G|Mo → W|Mo thì ϕ = ψ(pi|Mo) : Fo|Mo → W|Mo đưa đến mở rộng Φ : Fo → W do hệ quả 2.2. Từ đây, ta có thể xây dựng mở rộng Ψ như sau: F1 ρ // Fo pi // Φ B BB BB BB B G // Ψ  0 W Với X ∈ K bất kỳ, mỗi phần tử x ∈ GX có tạo ảnh pi−1x ∈ FoX (do pi là toàn cấu), ta đặt Ψ(x) = Φ(pi−1x). Khi đó, để Ψ thỏa mãn là đồng 33 cấu thì mỗi phần tử nằm trong Ker pi cũng phải nằm trong KerΦ, có nghĩa là Φρ = 0 (do dòng trong biểu đồ trên là khớp), và điều đó được chứng minh như sau: Cho m ∈ F1M ′,M ′ ∈ M1, và g : M ′ →M là một cấu xạ, M ∈ Mo. Khi đó: (Wg)(Φρ)m = (Φρ)(F1g)m = ((Φ|Mo)(ρ|Mo))(F1g)m = (ψ(pi|Mo)(ρ|Mo))(F1g)m = 0. Đẳng thức cuối cùng bằng 0 do piρ = 0. Vì thế w′ = (Φρ)m bị linh hóa bởi tất cả g : M ′ →M , do đó nó là 0 theo giả thiết, do vậy (Φρ)|M1 = 0 nên Φρ = 0 vì F1 có cơ sở trên M1. Bổ đề 2.2. Cho biểu đồ giao hoán các phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử K → Ab: F τ1 // ϕ  Wo τo // ϕo  W−1 ϕ−1  W ′1 τ ′1 // W ′o τ ′o // W ′−1 (2.3) trong đó ϕ là chưa biết. Giả sử F có cơ sở trong M ⊂ K, τoτ1 = 0 và dòng thứ hai là khớp trên M (nghĩa là: W ′1M // W ′oM // W ′−1M khớp với mọi M ∈ M). Khi đó, (2.3) sẽ được hoàn tất bởi sự xác định của phép biến đổi tự nhiên ϕ. Chứng minh. Với mọi m ∈ FM , ta có: τ ′o(ϕoτ1(m)) = ϕ−1τoτ1(m) = 0 Nếu M ∈ M thì tồn tại w ∈ W ′1M sao cho ϕoτ1(m) = τ ′1(w) vì dòng thứ hai khớp. Nói riêng, có các phần tử {wj ∈ W ′1M ′j}j∈J sao cho τ ′1(wj) = ϕoτ1(mj), với phần tử cơ sở mj ∈ FMj của F . Từ mệnh đề 2.4, ta suy 34 ra có một phép biến đổi tự nhiên ϕ : F → W ′1 sao cho ϕ(mj) = wj. Khi đó, τ ′1ϕ và ϕoτ1 trùng nhau ._.