Cơ lý thuyết - Phần II: Động học

ủa vật. Kết quả nghiờn cứu trong phần động học sẽ được ứng dụng để phỏt triển ở phần Động lực học và cỏc học phần Nguyờn lý mỏy, Thiết kế mỏy, Cơ học kết cấu, ... Chương 6. ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM A. MỤC TIấU - Hiểu được cỏc phương phỏp thiết lập phương trỡnh chuyển động và cỏc đại lượng đặc trưng của động học. - Nhớ cỏc cụng thức xỏc định cỏc đại lượng đặc trưng của chuyển động và mối quan hệ giữa chỳng để giải cỏc bài toỏn kỹ thuật. B. NỘI DUNG 6.1. Khỏi niệm về động học chất điểm 6.1.1. Nhiệm vụ của động học chất điểm Động học chất điểm nghiờn cứu hai vấn đề chớnh: - Thiết lập phương trỡnh chuyển động của chất điểm. - Tỡm cỏc đặc trưng động học của chất điểm (vận tốc và gia tốc). 6.1.2. Cỏc khỏi niệm Chuyển động của chất điểm là sự thay đổi vị trớ của nú trong khụng gian và theo thời gian so với một vật được chọn trước gọi là hệ qui chiếu. Hệ qui chiếu là vật mốc để so sỏnh vị trớ của chất điểm khảo sỏt thường được chọn là một hệ trục toạ độ. 58 Tập hợp cỏc vị trớ của chất điểm trong khụng gian qui chiếu đó chọn gọi là quĩ đạo của chất điểm trong hệ qui chiếu đú. Khi đối tượng nghiờn cứu cú kớch thước quỏ nhỏ so với quỹ đạo của nú, hoặc khụng cần chỳ ý tới, thỡ coi là chất điểm chuyển động (động điểm) Ta cú chuyển động thẳng hay chuyển động cong là tựy thuộc quĩ đạo của chất điểm là đường thẳng hay đường cong. 6.1.3. Cỏc phương phỏp khảo sỏt động học chất điểm Cú nhiều phương phỏp để khảo sỏt chuyển động của chất điểm, nhưng cú ba phương phỏp thường sử dụng là: phương phỏp vector, phương phỏp tọa độ Descartes và phương phỏp tọa độ tự nhiờn. 6.2. Khảo sỏt động học chất điểm bằng phương phỏp vector 6.2.1. Phương trỡnh chuyển động của chất điểm x 0 r y z M Hỡnh 6.1. Vector định vị của chất điểm M Khảo sỏt chất điểm M trong hệ quy chiếu cố định Oxyz. Tại mỗi thời điểm, vị trớ của điểm M được xỏc định bởi vector định vị .OM r= uuuur r Khi M chuyển động thỡ vector r r biến thiờn cả hướng, độ dài và nú là hàm của thời gian t: ( )r r t= r r (6.1) Biểu thức (6.1) là phương trỡnh chuyển động của chất điểm dưới dạng vector và đồng thời cũng là phương trỡnh quỹ đạo của điểm M trong hệ Oxyz. 6.2.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm Gọi vận tốc trung bỡnh của điểm trong khoảng thời gian Δt là: ,tb tb rv v t D = D ruur uur mụ tả gần đỳng hướng đi và độ nhanh chậm của chuyển động. 59 x y z 0 r M r1 M1 v r v tb Hỡnh 6.2. Xỏc định vận tốc chuyển động của chất điểm Khi Δt → 0, tbv uur sẽ tiến đến vận tốc tức thời ( )vr của điểm M tại thời điểm t: 0 0 lim limtbt t r d rv v r t dtD đ D đ D = = = = D r rr uur r& (6.2) Vậy: Vận tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vector định vị .r r Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h. Phương của vận tốc của điểm luụn cựng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo chuyển động. 6.2.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm Hỡnh 6.3. Xỏc định gia tốc chuyển động của chất điểm Gia tốc của điểm là một đại lượng vector đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian. Tại thời điểm t, động điểm M cú vận tốc là .v r Tại thời điểm lõn cận: t1 = t + Δt, động điểm M cú vận tốc là: 1 .v v v= + D ur r r x y z 0 M v w v 1 v v 1 M1 60 Sau khoảng thời gian: Δt = t1 – t vận tốc biến đổi: 1v v vD = - r ur r (H. 6.3). Gia tốc trung bỡnh của động điểm trong khoảng thời gian Δt là: w tb v t D = D ruur . Khi Δt → 0, w tb uuur sẽ tiến đến gia tốc tức thời ( )wur của điểm M tại thời điểm t: 0 0 w lim w limtbt t v d v v r t dtD đ D đ D = = = = = D r ruur uuur r r& && (6.3) Vậy: Gia tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc v r hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của vector định vị .r r Đơn vị đo gia tốc: m/s 2 hay km/h 2 . * Chỳ ý: 1) Về mặt hỡnh học: vector ,vD r w uur luụn hướng về phần lừm của quỹ đạo đường cong. 2) Tớnh chất chuyển động: Căn cứ vào tớch v.w r uur cú thể xỏc định tớnh chất chuyển động: nếu động điểm chuyển động nhanh dần thỡ v r tăng, do đú 2 v.vv = uur r r tăng, từ đú suy ra 2 2.w v 0.d v dt = > uur uur r Kết quả: w .v 0> ị uur r động điểm chuyển động nhanh dần. w.v 0< ị uur r động điểm chuyển động chậm dần. w.v 0= ị uur r động điểm chuyển động đều. 6.3. Khảo sỏt động học chất điểm bằng phương phỏp tọa độ Descartes 6.3.1. Phương trỡnh chuyển động của chất điểm Vị trớ của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Oxyz được xỏc định bởi cỏc tọa độ x, y và z. Khi điểm M chuyển động thỡ cỏc tham số x, y, z biến đổi liờn tục theo thời gian t. Cho nờn: ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t ỡ = ù =ớ ù =ợ (6.4) Phương trỡnh (6.4) là phương trỡnh của động điểm trong hệ tọa độ Descartes. 61 Hỡnh 6.4. Vị trớ của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Khi khử biến số thời gian t trong cỏc phương trỡnh chuyển động, ta cú phương trỡnh quỹ đạo. 6.3.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm Gọi i, j, k r r r là cỏc vector đơn vị của ba trục x, y, z và hỡnh chiếu của vector vận tốc lờn ba trục tọa độ lần lượt là vx, vy, vz. Ta cú liờn hệ: i j kr x y z= + + r r r r (6.5) Mặt khỏc: ( i j k ) i j kd r d x y z dx dy dzv dt dt dt dt dt + + = = = + + r r r rr r r r (6.6) Chiếu biểu thức (6.6) lờn ba trục tọa độ ta cú: ;X dxv x dt = = & ;y dyv y dt = = & z dzv z dt = = & (6.7) Vậy: Hỡnh chiếu của vector vận tốc lờn một trục tọa độ nào đú bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng. Ta cũng dễ dàng xỏc định được độ lớn cũng như hướng của vector vận tốc v r theo cỏc hỡnh chiếu vx, vy, vz: 2 2 2 2 2 2X y zv v v v x y z= + + = + +& & & (6.8) Gọi α, β, γ là gúc hợp giữa v r với cỏc trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta cú: cos = cos cos x y z v v v v v v a b g ỡ ù ù ù =ớ ù ù =ùợ (6.9) x 0 r y z M k ji 62 6.3.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm Hoàn toàn tương tự như xỏc định vận tốc. Gọi hỡnh chiếu của vector gia tốc lờn cỏc trục tọa độ là wx, wy, wz và dựa vào kết quả của phần trước: 2 2w d v d r dt dt = = r rur ta cú được: 2 2 2 2 2 2 w w w x x y y z z dv d x x dt dt dv d y y dt dt dv d z z dt dt ỡ = = =ù ù ù = = =ớ ù ù = = =ù ợ && && && (6.10) Vậy: Hỡnh chiếu vộctơ gia tốc lờn một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của hỡnh chiếu vận tốc lờn trục đú hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của phương trỡnh động theo trục tương ứng. Trị số của vector gia tốc được xỏc định theo cụng thức: 2 2 2 2 2 2w w w wX y z x y z= + + = + +&& && && (6.11) Gọi α1, β1, γ1 là gúc hợp giữa w uur với cỏc trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta cú: 1 1 1 wcos = w w cos w wcos w x y z a b g ỡ ù ù ù =ớ ù ù =ùợ (6.12) * Chỳ ý: Căn cứ vào tớch: v.w .x+y.y+z.zx= r uur & && & && & && ta xỏc định tớnh chất chuyển động, kết quả cụ thể: w.v 0> ị uur r động điểm chuyển động nhanh dần. w.v 0< ị uur r động điểm chuyển động chậm dần. w.v 0= ị uur r động điểm chuyển động đều. 6.4. Khảo sỏt động học chất điểm bằng phương phỏp tọa độ tự nhiờn Phương phỏp tọa độ tự nhiờn dựng để nghiờn cứu chuyển động của điểm khi biết đường cong quỹ đạo của nú. Hệ trục cú ba trục: 63 + Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với vộctơ đơn vị .t r + Trục phỏp tuyến chớnh (trục n): nằm trong mặt phẳng đường cong và hướng về phớa lừm đường cong với vộctơ đơn vị .n r + Trục trựng phỏp tuyến (trục b): cú vộctơ đơn vị b, r tạo với trục τ và trục n thành một tam diện thuận (b ^ n )t= r r r 6.4.1. Phương trỡnh chuyển động của chất điểm b M n n b r Hỡnh 6.5. Vị trớ của động điểm M trong hệ tọa độ tự nhờn Hệ trục tọa độ tự nhiờn: trờn đường cong phẳng chọn gốc O và chiều dương đường cong như hỡnh 6.5. Vị trớ điểm M được xỏc định bằng cung ẳOM s= (s được gọi là tọa độ cong hay hoành độ cong của điểm M như hỡnh 6.6). Khi điểm M chuyển động thỡ tọa độ cong s biến thiờn theo thời gian: s = s(t) (6.13) Phương trỡnh (4.13) là phương trỡnh chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa độ tự nhiờn. * Chỳ ý: tọa độ cong s cú thể dương hoặc õm tựy vào chiều chuyển động. 6.4.2. Vận tốc của chất điểm Để xỏc định vận tốc của điểm ta dựa vào sự biến thiờn của tọa độ cong s. Giả sử ở thời điểm t, động điểm ở M được xỏc định bởi tọa độ cong OM = s. Tại thời điểm lõn cận: t1 = t + Δt, động điểm ở tại M1 cú tọa độ cong OM1 = s1 = s + Δs. Vận tốc trung bỡnh trong khoảng thời gian Δt: .tb sv t D = D Khi Δt → 0, tbv sẽ tiến đến vận tốc tức thời ( )v r của điểm M tại thời điểm t: 64 0 0v lim v limtbt t s ds s t dtD đ D đ D = = = = D & (6.14) Vậy: Giỏ trị vận tốc tại thời điểm t nào đú bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tọa độ cong s trờn quỹ đạo. 1 O M M 1 Hỡnh 6.6. Biến thiờn tọa độ cong s theo thời gian Phương chiều vector vận tốc v r luụn hướng theo tiếp tuyến của đường cong quỹ đạo tại M, do đú chiều của vector phụ thuộc vào dấu của giỏ trị v :s= & + Nếu v 0s= >& : v r hướng theo chiều dương quỹ đạo + Nếu v 0s= <& : v r hướng theo chiều õm quỹ đạo Nờn: v .s t= r ur & (6.15) 6.4.3. Gia tốc của chất điểm Ta cú: ( . )w .d v d s ds ds dt dt dt dt t t t= = = + r r ruur r& & & (6.16) Mà trong hệ tọa độ tự nhiờn, Xerơ – Frờnờ đó chứng minh được: d n ds t r = r r Trong đú: ρ là bỏn kớnh cong của đường cong tại điểm M. Nờn: d ds d ns dt dt ds t t r = = r r r & Do đú: 2 2 w . .( ) w w n s vds d ns s s s s n s n n dt dt t t t t t t t r r r = + = + = + = + = + r ruur r r r r r r r r&& & && & & && && Với: w ;dvs v dtt = = =&& & 2 w n v r = (6.17) Vậy: Gia tốc của điểm trong hệ tọa độ tự nhiờn bao gồm hai thành phần tiếp tuyến và phỏp tuyến chớnh: 65 + w :dvs v dtt = = =&& & gọi là gia tốc tiếp, nằm trờn tiếp tuyến của quỹ đạo, đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian. + 2 w :n v r = gọi là gia tốc phỏp, luụn nằm trờn phỏp tuyến chớnh của quỹ đạo, đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc. Vỡ: w w w nt= + uur uuur uuur và w w nt ^ uuur uuur nờn: 2 2w w w nt= + (6.18) 6.4.4. Cỏc dạng chuyển động đặc biệt của chất điểm a) Chuyển động đều Chuyển động đều là chuyển động cú vận tốc là hằng số (v = const, w 0t = ). Phương trỡnh chuyển động đều: os s vt= + (6.19) Trong đú: s0 là tọa độ ban đầu (t = 0). b) Chuyển động biến đổi đều Chuyển động biến đổi đều là chuyển động cú gia tốc tiếp khụng đổi ( wt = const). Vận tốc và đoạn đường được xỏc định bởi cụng thức: 0 2 0 0 v v w t; 1s s v t + w 2 t t t = +ỡ ù ớ = +ùợ (6.20) Trong đú: + s0 là tọa độ ban đầu (t = 0). + v0 là vận tốc ban đầu (t = 0). + wt > 0 khi chuyển động là nhanh dần đều. + wt < 0 khi chuyển động là chậm dần đều. 6.5. Bài toỏn động học của chất điểm 6.5.1. Cỏc loại bài toỏn Ta cú hai loại bài toỏn động học của chất điểm: - Bài toỏn 1: Biết phương trỡnh chuyển động. Tỡm cỏc đặc trưng chuyển động như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tớnh chất chuyển động của chất điểm? 66 - Bài toỏn 2: Biết một số điều kiện của chuyển động. Tỡm phương trỡnh chuyển động và cỏc đặc trưng chuyển động? 6.5.2. Phương phỏp giải bài toỏn Khi giải bài toỏn cần chỳ ý một số nội dung sau: 1) Chọn phương phỏp để giải: - Phương phỏp vector dựng để nghiờn cứu lý thuyết bài toỏn chuyển động. - Để giải cụ thể bài toỏn chuyển động ta sử dụng hai phương phỏp: toạ độ Descartes và toạ độ tự nhiờn. Phương phỏp toạ độ tự nhiờn được dựng khi ta biết quỹ đạo của chất điểm. 2) Tỡm phương trỡnh chuyển động: Căn cứ vào cỏc điều kiện chuyển động của chất điểm để thiết lập phương trỡnh. 3) Tỡm quĩ đạo: Cỏc phương trỡnh chuyển động đó cho là những phương trỡnh tham số. Để xỏc định phương trỡnh quĩ đạo ta cần khử t và thiết lập quan hệ giữa cỏc toạ độ. * Chỳ ý: Đối với phương trỡnh dạng lượng giỏc để khử t ta thường dựng cỏc cụng thức của lượng giỏc như: 1cossin 22 =+ aa . 4) Tỡm vận tốc và gia tốc: Tựy theo phương phỏp phự hợp ta dựng cụng thức tương ứng để tớnh. 5) Tỡm tớnh chất của chuyển động: Để xỏc định tớnh chất một chuyển động cụ thể ta căn cứ vào dấu hiệu là tớch vụ hướng: .wv r uur - Trong toạ độ Descartes: zzyyxxwv &&&&&&&&& .... ++= - Trong toạ độ tự nhiờn: twvwv .. = Ta cú tớnh chất chuyển động của cỏc dạng chuyển động trong bảng Tớnh chất chuyển động của cỏc dạng chuyển động. 6) Tỡm bỏn kớnh cong của quĩ đạo: Theo cụng thức: 2 wn v r = à 2 w n v r = 67 Bảng 6.1. Tớnh chất chuyển động của cỏc dạng chuyển động Dấu hiệu Dạng quĩ đạo chuyển động Tớnh chất chuyển động Thẳng Cong .w 0v đ đ > 0 0(0 90 )a< < Nhanh dần .w 0v đ đ < 0 0(90 180 )a< < Chậm dần .w 0v đ đ = 0( 90 )a = Đều Vớ dụ 6.1: Cho phương trỡnh chuyển động của chất điểm: 2 2 3 4 1 x t y t ỡ =ù ớ = -ùợ (x,y: m, t: s). Xỏc định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tớnh chất của chuyển động? Bài giải: - Xỏc định quỹ đạo: Ta cú: 2 2 3 ( ) 4 1 (b) x t a y t ỡ =ù ớ = -ùợ Từ (a) 2 (c) 3 xtị = Thay (c) vào (b), ta được: 4. 1 3 4x 3 0 3 xy y= - Û - - = 68 Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường thẳng cú phương trỡnh: 3 4x 3 0y - - = - Xỏc định vận tốc: 2 26 10 8 x x y y v x t v v v t v y t = =ỡù ị = + =ớ = =ùợ & & (m/s) - Xỏc định gia tốc: 2 2w 6 w w w 10 w 8 x x y y x y = =ỡù ị = + =ớ = =ùợ && && (m/s 2) - Tớnh chất chuyển động: .w + yy 6 .6 + 8t.8 = 100tv xx t= = r ur &&& &&& > 0 Mà w =10 (m/s2) = const Nờn chất điểm chuyển động nhanh dần đều. Vớ dụ 6.2. Một viờn đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật: 0 2 0 os ( ) sin ( ) 2 x v tc a gty v t b a a =ỡ ù ớ = - +ùợ (x, y: m, t: s). Với vo là vận tốc ban đầu của viờn đạn; α là gúc bắn hợp với phương ngang của viờn đạn. Tỡm: a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viờn đạn? b) Độ cao và tầm xa mà viờn đạn đạt được? Với gúc α bằng bao nhiờu thỡ độ cao và tầm xa đạt giỏ trị cực đại? Bài giải: x y 0 vx vy v Hmax LmaxLmax1/2. Hỡnh 6.7. Minh họa cho vớ dụ 6.2 a) Xỏc định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viờn đạn - Xỏc định quỹ đạo: 69 Rỳt t từ (a) ta được: 0 (c) os xt v c a = Thay (c) vào (b): ( ) 2 20 0 2 2 0 0 ( ) os sin tan 2 os 2 os xg x gv cy v x x v c v c a a a a a = - + = - + Vậy quỹ đạo là một parabol cú phường trỡnh: ( )22 2 0 tan 2 os gy x x v c a a = - + - Xỏc định vận tốc: 0 0 os sin x y v x v c v y gt v a a = =ỡù ớ = = - +ùợ & & 2 2 2 2 0 0( os ) ( sin )x yv v v v c gt va aị = + = + - + (m/s) - Xỏc định gia tốc: 2 2w 0 w w w w x x y y x g y g = =ỡù ị = + =ớ = = -ùợ && && (m/s 2) Gia tốc luụn cú chiều ngược chiều với Oy và cú độ lớn w = g (g là gia tốc trọng trường). b) Xỏc định độ cao, tầm xa, a - Xỏc định độ cao: Viờn đạn đạt độ cao khi 00 sinsin 0y vv y gt v t g a a= = - + = ị =& Nghĩa là thời điểm để viờn đạn đạt độ cao khi 0 sinvt g a = Thay 0 sinvt g a = vào (b) ta được độ cao: H = 2 2 2 0 0 0 0 sin sin sinsin 2 2 v v vgy v g g g a a a a ổ ử = - + =ỗ ữ ố ứ - Xỏc định tầm xa: Viờn đạn đạt tầm xa khi 2 0 0 2 sinsin 0 2 vgty v t t g a a= - + = ị = Nghĩa là thời điểm để viờn đạn đạt tầm xa khi 02 sinvt g a = 70 Thay 02 sinvt g a = vào (a) ta được tầm xa: L = 2 0 0 0 2 sin sin 2osv vx v c g g a a a= = - Xỏc định α để độ cao đạt giỏ trị cực đại: Như đó giải ở trờn ta cú độ cao: H = 2 2 20 0 0 0 sin sin sin( ) sin 2 2 v v vgy v g g g a a a a= - + = Độ cao H đạt giỏ trị cực đại Hmax khi: 2 0sin 1 90a a= ị = - Xỏc định α để tầm xa đạt giỏ trị cực đại: Như đó giải ở trờn ta cú tầm xa: L = 2 0 0 0 2 sin sin 2osv vx v c g g a a a= = Tầm xa L đạt giỏ trị cực đại Lmax khi: 0sin 2 1 45a a= ị = Vậy: 2 2 0 sin 2 vH g a = ; 2 0 sin 2vL g a = ; 090 ;a = 045a = . C. CÂU HỎI ễN TẬP 1. Viết phương trỡnh chuyển động, cụng thức tớnh vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương phỏp vector. 2. Viết phương trỡnh chuyển động, cụng thức tớnh vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương phỏp tọa độ Descartes. 3. Viết phương trỡnh chuyển động, cụng thức tớnh vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương phỏp tọa độ tự nhiờn. 4. Một số chuyển động đặc biệt. D. BÀI TẬP ễN TẬP Bài tập 1: Cho phương trỡnh chuyển động của chất điểm: 2 2 2 . 2 x t a y t ỡ = -ù ớ =ùợ 2 sin . 2 cos x t b y t =ỡ ớ =ợ (x,y: m, t: s). Xỏc định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tớnh chất của mỗi chuyển động trờn? Bài tập 2: Một viờn đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật: 71 0 2 0 os ( ) sin ( ) 2 x v tc a gty v t b a a =ỡ ù ớ = - +ùợ (x, y: m, t: s). Với vo = 5m/s là vận tốc ban đầu của viờn đạn; α là gúc bắn hợp với phương ngang của viờn đạn. Tỡm: a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viờn đạn? b) Độ cao và tầm xa mà viờn đạn đạt được? Với gúc α bằng bao nhiờu thỡ độ cao và tầm xa đạt giỏ trị cực đại? 72 Chương 7. CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN A. MỤC TIấU - Giỳp sinh viờn nắm vững những tớnh chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến, cỏc đặc trưng của vật quay quanh trục cố định - Giỳp sinh viờn hoàn thiện kĩ năng sử dụng cỏc cụng thức liờn hệ đặc trưng chuyển động của vật và điểm thuộc vật để giải cỏc bài toỏn chuyển động. B. NỘI DUNG 7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn 7.1.1. Định nghĩa Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho hai điểm bất kỳ thuộc vật luụn luụn chuyển động song song với chớnh nú. Vớ dụ: Toa tàu hỏa đang chuyển động trờn đường ray, trong quỏ trỡnh chuyển động ta luụn cú đoạn thẳng AB // A1B1 // Δ (H. 7.1). Thanh AB chuyển động nhờ cơ cấu bốn khõu, trong quỏ trỡnh chuyển động ta luụn cú thanh AB // A1B1 // Δ (H. 7.2). A B A1 B1 O A A1 B B1 O1 Hỡnh 7.1. Chuyển động của toa tàu Hỡnh 7.2. Chuyển động của Cơ cấu bốn khõu 7.1.2. Tớnh chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến Định lý: Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, mọi điểm thuộc vật sẽ chuyển động giống hệt nhau, nghĩa là quỹ đạo của mọi điểm trựng khớt lờn nhau, tại mỗi thời điểm vận tốc và gia tốc cỏc điểm đều bằng nhau. Chứng minh: Xột đoạn thẳng AB thuộc vật rắn đang chuyển động tịnh tiến trong hệ quy chiếu Oxyz (H. 7.3). Theo định nghĩa chuyển động tịnh tiến ta cú AB // A1B1 // // AnBn (tức là AB uuur = const). Theo hỡnh 7.3, ta cú: A Br r AB= + uur uur uuur (7.1) Lần lượt đạo hàm bậc nhất và bậc hai hàm biểu thức (7.1) theo thời gian ta được: 73 A B A B d r d r d AB v v dt dt dt = + Û = ur ur uuur uur uur 2 2 2 2 w w A B A B d r d r dt dt = Û = ur ur uuur uuur Hỡnh Hỡnh 7.3. Vật rắn AB chuyển động tịnh tiến Nhận xột: + Nghiờn cứu vật rắn chuyển động tịnh tiến thỡ ta chỉ cần nghiờn cứu một điểm bất kỳ thuộc vật. Vận tốc, gia tốc của điểm đú gọi vận tốc và gia tốc của vật. + Nếu một vật rắn chuyển động tịnh tiến thỡ ta cú thể xem là một chất điểm chuyển động. 7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định 7.2.1. Định nghĩa Định nghĩa: Vật rắn chuyển động quay quanh một trục là chuyển động mà trong suốt quỏ trỡnh chuyển động luụn cú hai điểm cố định. Vớ dụ: Cỏch cửa quay quanh trục đi qua hai bản lề (H. 7.4). Tấm phẳng quay quanh trục AB (H. 7.5). Hỡnh 7.4. Cỏnh cửa quay quanh bản lề Hỡnh 7.5. Tấm phẳng quay quanh trục AB B A Bn An rB rA (CA) (CB) I n O B1 A1 II Bk Ak k 74 7.2.2. Khảo sỏt chuyển động toàn vật 7.2.2.1. Phương trỡnh chuyển động Giả sử vật rắn quay quanh trục Oz (H. 7.6). Tại thời điểm t, ta chọn mặt phẳng (P0) làm mặt phẳng gốc, đồng thời gắn vào vật mặt phẳng (P) chứa trục quay. Khi vật quay mặt phẳng (P) cũng quay theo và vị trớ của nú xỏc định vị trớ của vật. Gúc hợp bởi hai mặt phẳng (P0) và (P) là φ. Khi vật quay gúc φ luụn biến đổi theo thời gian: φ = φ(t) (7.2) Biểu thức (7.2) là phương trỡnh chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. P0 P1 (P1) (P0) z 0 Hỡnh 7.6. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định Qui ước dấu: Để xỏc định chiều quay của vật, ta quy ước: + φ > 0: nếu nhỡn từ ngọn của trục quay ta nhỡn thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. + φ < 0: nếu nhỡn từ ngọn của trục quay ta nhỡn thấy vật quay cựng chiều kim đồng hồ. Đơn vị của gúc quay φ là radian (rad). (rad là gúc phẳng chắn trờn đường trũn một cung bằng bỏn kớnh). 1 rad = 0360 2p = 570 17’ 44,8”. * Chỳ ý: Trong kỹ thuật gúc quay j cũn được tớnh theo số vũng quay N 75 2 N j p = (7.3) 7.2.2.2. Vận tốc gúc (ω) Trong chuyển động quay, gúc φ là một hàm số phụ thuộc vào thời gian. Để đặc trưng cho chiều quay và tốc độ nhanh chậm của chuyển động, người ta dựng khỏi niệm vận tốc gúc ω. Giả sử trong khoảng thời gian Δt = t1 - t, gúc quay biến đổi một lượng Δφ = φ1 - φ. Ta gọi: tb t j w D = D là vận tốc gúc trung bỡnh của vật rắn. Khi Δt → 0, ωtb → ω. ω gọi là vận tốc gúc tức thời của vật tại thời điểm t: 0 0 lim limtbt t d t dt j j w w j D đ D đ D = = = = D & (7.4) Vậy: Vận tốc gúc của vật rắn quay quanh một trục cố định cú giỏ trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của gúc quay φ. Quy ước dấu của ω: + ω > 0: nếu nhỡn từ ngọn của trục quay ta nhỡn thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. + ω < 0: nếu nhỡn từ ngọn của trục quay ta nhỡn thấy vật quay cựng chiều kim đồng hồ. Đơn vị tớnh vận tốc gúc là: rad/s hoặc 1/s hoặc s-1. Vector vận tốc gúc w ur : Để biểu thị độ nhanh chậm, chiều quay, trục quay thỡ ta dựng vector w ur : + Phương ở trờn trục quay + Chiều dương sao cho nhỡn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. + Trị số d dt j w j= = & * Chỳ ý: trong kỹ thuật người ta cũn biểu diễn vận tốc gúc bằng số vũng quay trong một phỳt, kớ hiệu là n (vũng/phỳt). Biểu thức liờn hệ giữa n và ω là: 2 60 30 n np p w = = (rad/s) (7.5) 76 7.2.2.3. Gia tốc gúc (ε) Để đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc gúc theo thời gian ta cú khỏi niệm gia tốc gúc. Giả sử trong khoảng thời gian: Δt = t1 - t, vận tốc gúc biến đổi một lượng: Δω = ω1 - ω. Ta gọi: tb t w e D = D là gia tốc gúc trung bỡnh của vật rắn. Khi Δt → 0, εtb → ε . ε là gia tốc gúc tức thời của vật tại thời điểm t: 0 0 lim limtbt t d t dt w w e e w j D đ D đ D = = = = = D & && (7.6) Vậy: Gia tốc gúc của vật rắn quay quanh một trục cố định cú giỏ trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc gúc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của gúc quay. Đơn vị tớnh gia tốc gúc là: rad/s2 hoặc 1/s2 hoặc s-2. Vector gia tốc gúc e r : Gọi k r là vộctơ đơn vị của trục quay z, ta cú kw w= ur r . Khi đú: d d k k dt dt w w e e= = = urr r r . Vậy e r cú: + Phương: ở trờn trục quay + Chiều dương: sao cho nhỡn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. + Trị số: d dt w e w= = & 7.2.2.4. Tớnh chất của chuyển động quay - Nếu ε = 0: chuyển động quay đều. - Nếu ε = const ( 0)e ạ , ta xột dấu: 2 2 2 d dt w ew= + Nếu ω.ε > 0: chuyển động quay nhanh dần đều + Nếu ω.ε < 0: chuyển động quay chậm dần đều. 7.2.2.5. Cỏc chuyển động quay đặc biệt a) Chuyển động quay đều Vật rắn chuyển động quay đều khi ε = 0 và ω = const, phương trỡnh chuyển động: φ = φ0 + ω0t 77 Trong đú: φ0 là gúc quay ban đầu lỳc t = 0. φ là gúc quay tại thời điểm t lỳc khảo sỏt. b) Chuyển động quay biến đổi đều Vật rắn chuyển động quay biến đổi đều khi ε = const Vận tốc gúc của vật rắn: ω = ω 0 + εt Phương trỡnh chuyển động: 20 0 1 2 t tj j w e= + + Trong đú: φ0, ω0 lần lượt là gúc quay và vận tốc gúc ban đầu. ε là gia tốc của vật đang xột ε > 0: vật chuyển động nhanh dần đều. ε < 0: vật chuyển động chậm dần đều. 7.2.3. Khảo sỏt chuyển động của cỏc điểm thuộc vật 7.2.3.1. Quỹ đạo và phương trỡnh chuyển động Giả sử xột vật rắn chuyển động quay quanh một trục z cố định. Ta lấy một điểm M bất kỳ trờn vật cỏch trục quay một đoạn CM = r. Khi chuyển động quay chất điểm M vạch ra quỹ đạo là một đường trũn tõm C (H. 7.7). z r V MC O Hỡnh 7.7. Khảo sỏt chuyển động của điểm M thuộc vật Vậy: Cỏc điểm trờn vật quay cú quĩ đạo là những đường trũn vuụng gúc với trục quay cú tõm nằm trờn trục quay, cú bỏn kớnh là khoảng cỏch từ cỏc điểm đú tới trục quay. Chọn điểm O trờn đường trũn tõm C bỏn kớnh r làm gốc, chiều dương ngược chiều với kim đồng hồ. Điểm M được xỏc định bởi cung: 78 OM = s = r.φ(t) (7.7) Phương trỡnh (7.7) là phương trỡnh chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định. 7.2.3.2. Vận tốc của điểm Ta cú: dsv r r dt j w= = =& (7.8) Vậy: Vận tốc của điểm cú trị số bằng tớch của vận tốc gúc của vật rắn và khoảng cỏch từ điểm đú đến trục quay. Vận tốc của điểm v r cú: + Phương: vuụng gúc với bỏn kớnh + Chiều: cựng chiều với vận tốc gúc ω. + Trị số: dsv r r dt j w= = =& * Chỳ ý: 1) Xột cỏc điểm nằm trờn cựng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận tốc và khoảng cỏch từ cỏc điểm đú đến trục quay là bằng vận tốc gúc ω. Chẳng hạn như hỡnh 7.8 ta cú: M Nv v OM ON w= = 2) Trờn cựng một vật rắn chuyển động quay, khoảng cỏch từ điểm đến trục quay càng lớn thỡ giỏ trị vận tốc của điểm càng lớn và ngược lại (H. 7.8). 0 N R M s M vM vN O Hỡnh 7.8. Vận tốc cỏc điểm cựng thuộc một vật rắn quay 3) Vận tốc của điểm trờn vật quay cũn cú thể tớnh theo cụng thức: v = r.w = r. 30 np 79 Hay: 30 60 rn Dnv p p= = (7.9) 7.2.3.3. Gia tốc của điểm Gia tốc của điểm M được chia thành hai thành phần: gia tốc phỏp tuyến và gia tốc phỏp tuyến: w w w n M M M t= + uuur uuur uuur (7.10) - Gia tốc tiếp w M t uuur cú: + Phương: vuụng gúc với bỏn kớnh của quỹ đạo. + Chiều: cựng với chiều quay của vật rắn + Trị số: ( )w M dv d r r dt dt t w e= = = - Gia tốc tiếp w nM uuur cú: + Phương: theo bỏn kớnh của quỹ đạo. + Chiều: hướng vào tõm quay. + Trị số: ( ) 2 22 .. ww R R R R vwn === . - Gia tốc toàn phần: cú trị số: 2 2 2 4w (w ) (w )nM M M r t e w= + = + (7.11) * Chỳ ý: 1) Xột cỏc điểm nằm trờn cựng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận tốc và khoảng cỏch từ cỏc điểm đú đến trục quay bằng hệ số 2 4e w+ . Chẳng hạn như hỡnh 7.9 ta cú: 2 4w .A OA e w= + 2 4w .B OB e w= + 2 4w wA B OA OB e wị = = + 80 w M w Mw0 M n M Hỡnh 7.9. Gia tốc điểm cựng thuộc một vật rắn quay 2) Gọi α là gúc hợp bởi gia tốc toàn phần w nM uuur với phương bỏn kớnh của quỹ đạo, ta cú: tanα = 2 2 w w M n M r r t e e w w = = 7.3. Cỏc vớ dụ về bài toỏn chuyển động cơ bản của vật rắn Vớ dụ 7.1. Trục một động cơ trong giai đoạn khởi động mỏy chuyển động biến đổi đều. Sau 5 phỳt đạt vận tốc n =120 vũng/phỳt. Tớnh gia tốc gúc của trục và số vũng quay được trong thời gian đú? Bài giải: Gia tốc gúc của trục động cơ: 0 0t t w w e - = - Với: t = 5 phỳt = 300s, t0 = 0. 120 4 30 30 np p w p= = = rad/s 0 0w = (lỳc khởi động mỏy). Do đú: 0 0 4 0 300 0 75t t w w p p e - - = = = - - rad/s2 > 0 ị Trục động cơ quay nhanh dần đều. Phương trỡnh chuyển động quay của trục: 2 2 0 0 1 10 0 300 600 2 2 75 t t pj j w e p= + + = + + = rad Số vũng trục động cơ quay được: 600 300 2 N p p = = vũng. 81 Vậy: 2/ ; 75 rad spe = 300N = vũng.vvvvvbbbbnnnn Vớ dụ 7.2. Một vụ lăng đang quay với vận tốc n = 60 vũng/phỳt thỡ chuyển động quay chậm dần đều và sau 16s thỡ dừng hẳn. Tỡm gia tốc gúc của vụ lăng và số vũng vụ lăng quay được trong 16s đú? Bài giải: Gia tốc gúc của vụ lăng: 0 0t t w w e - = - Với: t = 16s; t0 = 0; 0 60 2 30 30 np p w w p= = = = 0w = (lỳc vụ lăng dừng hẳn). Do đú: 0 0 0 2 16 8t t w w p p e - - = = = - - rad/s2 < 0 ị Vụ lăng quay chậm dần đều Phương trỡnh chuyển động quay của trục: 2 2 0 0 1 10 2 .16 16 16 2 2 8 t t pj j w e p p-= + + = + + = rad. Số vũng trục động cơ quay được: 16 8 2 N p p = = vũng. Vậy: 2/ ; 8 rad spe = - 8N = vũng. Vớ dụ 7.3. Một thanh OA quay quanh trục đi qua O theo quy luật 3 8 tpj = (t: s, φ: rad). a) Xỏc định thời gian để thanh OA quay được 32 vũng. b) Tớnh chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vũng. c) Tỡm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc phỏp và gia tốc toàn phần của A tại thời điểm thanh quay được 32 vũng. Biết OA = 10cm. Bài giải: a) Thời gian để thanh OA quay được N = 32 vũng: Gúc quay: φ = 2 Np = 2 .32p = 64p rad. 82 Ta cú: 3 3 38 8.64 8 8 t t sp j pj p p = ị = = = Vậy: Sau t = 8s thanh OA quay được N = 32 vũng 0 A Aw A w A w n A v Hỡnh 7.10. Minh họa cho vớ dụ 7.3 b) Tớnh chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vũng: Theo cõu a, thời điểm thanh quay được 32 vũng là t = 8s Ta cú: 23 8 tpw j= =& (rad/s). 6 3 8 4 t tp pe w= = =& (rad/s2). 2 2 23 6 3 3. . 8 . 8 144. 0 8 8 8 4 t tp p p pw e pị = = = > ị Thanh OA quay nhanh dần đều c) Tỡm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc phỏp và gia tốc toàn phần của A - Vận tốc của A: 23. 10. 8 240 / 8A v OA cm spw p= = = - Gia tốc tiếp của A ( )w At uuur cú: + Phương: theo OA + Chiều: hướng vào tõm quay O + Trị số: 6 6w . 10. 10. 8 60 8 8A OA tt p pe p= = = = cm/s2. - Gia tốc phỏp của A ( )w nA uuur cú: 83 + Phương: vuụng gúc OA + Chiều: theo chiều quay của ω (ngược chiều kim đồng hồ như hỡnh 7.10) + Trị số: 2 2 2 2 2 23 3w . 10.( ) 10.( 8 ) 5760. 8 8 n A OA t p p w p= = = = cm/s2. - Gia tốc toàn phần của A: w w w nA A A t= + uuur uuur uuur cú: + Phương: hợp với OA một gúc α thỏa: tanα = 02 2 2 6 w . 2 2 1 18 arctan 14, 043w . 8 4 4 8 A n A tOA OA tt t p e e a pw w ổ ử= = = = = = ị = =ỗ ữ ố ứ + Chiều: theo chiều quay (ngược chiều kim đồng hồ như hỡnh 7.10) + Trị số của gia tốc toàn phần: 2 2 2 2 2 2w (w ) (w ) (