Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông

đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho đề tài. Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả Đặng Minh Hải DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành GVNC11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành GVCB11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12). Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau: hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax2+bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax3+bx2+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+c, hàm phân thức ax b y cx d    (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức 2ax bx c y a' x b'     (a≠0, a’≠0)1. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng2, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học? Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục- khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi. Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ? Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết. 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức. Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái 1 Chỉ đề cập trong SGK nâng cao. 2 Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56] niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số. Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau: -Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu. Nghiên cứu này trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông. -Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra câu hỏi nghiên cứu mới. -Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan đến đồ thị. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn. Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích một số giáo trình đại học. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới. Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học sinh Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn. Chương 1 MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :  [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục.  [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo dục. [21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở một số nội dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :  [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.  [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).  [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America.  [25]-Discontinuous and monotone Functions (www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html) Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn. Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định nghĩa không ? Sau đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí, tính chất liên quan đến ba đối tượng này. 1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi 1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu [21] đưa vào định nghĩa như sau: “ NếuJ IR3, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Tăng nghiêm ngặt trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Giảm trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Giảm nghiêm ngặt trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46] Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]: “ Cho ( )X R và Xf R 4 1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm. 6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt. ” 5 [22, tr.103] Nhận xét : Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc 3 Trong [21] kí hiệu A B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, AB nghĩa là mọi phần tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B. 4 P(R) là tập các tập con của R, RX là tập các hàm số từ X vào R. 5 f là hàm số từ X vào R. f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt. 1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục  Liên tục tại một điểm “ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại ( , )ox a b nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x   ” [21, tr.89] “Cho f: I →K, a I . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi: 0, 0, , ( ( ) ( ) )x I x a f x f a              .” 6 [22, tr.120] Nhận xét: [21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ ,  ), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ ,  (định nghĩa của Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho :f I K , a I . Để f liên tục tại a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên. Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa về điểm gián đoạn và phân loại chúng: “Hàm số f(x) không liên tục tại điểm ox được gọi là gián đoạn tại điểm ấy. Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], [ , ]ox a b là một điểm gián đoạn của f . Ta nói ox là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu ( 0) ( 0)o of x f x   7; ox là điểm gián đoạn loại một nếu ( 0) , ( 0)o of x R f x R    nhưng ( 0) ( 0)o of x f x   , hiệu ( 0) ( 0)o of x f x   được gọi là bước nhảy của f tại ox ; ox được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90] “Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a. […] Gián đoạn loại 1 Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên phải a). 6 I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là  hoặc R. Trong luận văn này, ta hiểu K là R. 7 ( 0) lim ( ) o o x x f x f x    , ( 0) lim ( ) o o x x f x f x    Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f có điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121] Nhận xét: Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn loại 1 của [22].  Liên tục trên khoảng “Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi ( , )x a b .” [21, tr.91] “Cho :f I K . Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.” [22, tr.121] 1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi “ Cho a I , If K . Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi 0 ( ) ( ) lim h f a h f a h   tồn tại và hữu hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22, tr.139] “Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm ( , )c a b nếu tồn tại giới hạn ( ) ( ) lim , x c f x f c A x c x c     Số A; giới hạn của tỉ số ( ) ( ) , f x f c x c x c    , khi x c được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119] Nhận xét: Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này qua nhận xét sau: “Nếu đặt x c x   thì biểu thức định nghĩa trở thành 0 ( ) ( ) lim : '( ) x f c x f c f c x       ” [21, tr.119] Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình học của đạo hàm. “Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó; và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120] “[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong Cf biểu diễn f. Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”. Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không có tiếp tuyến tại điểm đó. 1.1.4 Kết luận Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các định nghĩa của chúng. 1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi 1.2.1 Đơn điệu-Liên tục Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21] “ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103] Nhận xét : Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21], chúng tôi thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau : “ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và chỉ khi nó đơn ánh trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu ngặt và sự đơn ánh của một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy, một hàm đơn điệu ngặt trên I thì đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này được nêu rõ trong [22] : “ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không đúng như ở ví dụ sau : , 1 à 1 1 , 1 1 , 1           R R x x v x x x x [22, tr.103] Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục trên I. Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa mãn thêm điều kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I. Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy nhiên, ta biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau: O x 2 1 1 2 4 y Ví dụ : :[0,2] , [0,1) 2 , [1, 2]      f R x x x x x Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một đường đi lên từ trái sang phải nhưng không liên nét trên [0 ;2]. Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:  Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián đoạn loại 1.  Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ” (tham khảo [25]) Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó là đếm được. Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì để liên tục trên I ? Xét định lí sau: “Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”(*) [6, tr.94] Nhận xét: Như vậy, một hàm đơn điệu trên một khoảng I sẽ liên tục trên I nếu ảnh của I qua nó là một khoảng nào đó của R. Theo một hệ quả trong [6]: “ nếu hàm f xác định và liên tục trên khoảng X bất kì (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) thì các giá trị mà hàm nhận cũng sẽ lấp đầy một khoảng nào đó”([6, tr.104]), ta thấy rằng một hàm liên tục trên khoảng I thì ảnh của khoảng I qua nó là một khoảng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau: “ 1 ( ) sin ( 0), (0) 0f x x f x    ” [6, tr.105]. Hàm đã cho biến [-2,2] thành [-1,1] nhưng rõ ràng không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0. Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu trên khoảng I”. Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?”. Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng quan trọng của định lí này. Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng. Từ sự liên tục của hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục. Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit y=logax (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = x µ(µ>0 hay µ<0), các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn: “2o. Hàm mũ y = ax (a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng X=(-∞;+∞). Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì lôgarit x = logay tồn tại đối với bất kì y>0. Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x bất kì.” [6, tr.95] Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96]. Kết luận Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:  Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I. Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.  Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I.  Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I. 1.2.2 Liên tục-Khả vi Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau: “Cho a I , If K . Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a” [22, tr.141] Nhận xét: Mệnh đề trên cho thấy, một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. Chiều ngược lại thì sao? Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa ra nhận xét: “Khẳng định đảo của mệnh đề trên là sai. Một ánh xạ có thể liên tục tại a nhưng không khả vi tại a như trong các ví dụ sau: i) . : R R x x   Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0. ii) .:R R x x    Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì 0 0 1 0, h h h h h       iii) : 1 sin , 0 0 , 0        f R R x x x x x Liên tục tại 0 (vì 0 ( ) 0 x f x x    ) và không khả vi tại 0 vì ( ) (0) 1 sin f h f h h   không có giới hạn khi h→0. [22, tr.142] Vấn đề trên cũng được nêu rõ trong [21], nhưng không có ví dụ và minh họa rõ ràng bằng đồ thị như [22]. Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng có một giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870, nhiều bài viết về giải tích đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm, ngay cả Cauchy8 cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã làm sửng sốt cộng đồng toán học khi đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả:   0 ( ) cosn n n f x b a x     trong đó a là số nguyên lẻ, b là số thực trong khoảng (0,1) và 3 1 2 ab    (Bolzano đã đưa ra một ví dụ như thế vào năm 1834 nhưng không được chú ý) (tham khảo [24, tr.293]). Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể có hữu hạn các điểm tại đó hàm không khả vi, ví dụ của Weierstrass đã chỉ ra có những hàm liên tục trên R nhưng không đâu khả vi. Từ đó, ta thấy rằng khi một hàm liên tục thì chưa thể kết luận gì về sự khả vi của nó, một hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó, một hàm liên tục trên một 8 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): một nhà toán học nổi tiếng người Pháp khoảng có thể có hữu hạn hay vô hạn các điểm tại đó hàm không khả vi hay có thể không đâu khả vi trên khoảng đó. Phân tích trên cũng chỉ ra rằng, trong lịch sử phát triển của toán học, đã tồn tại một “chướng ngại” liên quan đến cực “liên tục → khả vi”, đó là: một hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó trừ ra tại một số hữu hạn các điểm. Sau đây, chúng tôi giới thiệu một định lí về “giới hạn của đạo hàm” trong đó nêu ra một số điều kiện để một hàm liên tục tại một điểm khả vi tại điểm đó: “Hệ quả (“định lý giới hạn của đạo hàm”) Cho ox R , I là một khoảng của R sao cho o ox I , f : I→R là một ánh xạ. Nếu f liên tục tại xo , f khả vi tại I-{xo}, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại xo thì f khả vi tại xo và f’(xo)=l, và do đó f’ liên tục tại xo .” [22, tr.161] Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại xo nếu khả vi tại mọi điểm của I khác xo và f’ có giới hạn hữu hạn l tại xo thì nó khả vi tại xo và f’(xo)=l . Kết luận Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:  Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.  Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.  Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm. 1.2.3 Đơn điệu-Khả vi Chúng tôi bắt đầu bằng định lí sau: “Định lý 5.7 Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn [a,b] và khả vi trong khoảng mở (a,b), khi đó: (1) Điều kiện ắt có và đủ để f(x) tăng (giảm) trên [a,b] là f’(x)0 (f’(x)0) với mọi ( , )x a b (2) Nếu f’(x)0 (f’(x)0) với mọi ( , )x a b và nếu f’(x)>0 (f’(x)<0) tại ít nhất một điểm x thì f(a)>f(b) ( f(a)<f(b)).” [21, tr.161] “Định lý 1: Cho f : I → R liên tục trên I, khả vi trên o I . Để f tăng trên I điều kiện cần và đủ là : , '( ) 0 o x I f x   . […] Khi khảo sát –f thay cho f, ta thu được định lý tương tự như định lý trên bằng cách thay tăng bởi giảm và 0 bởi 0.” [22, tr.164-165] Nhận xét: O x 2 1 1 4 y Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng, nửa khoảng, đoạn), khả vi trên o I 9 thì hàm đơn điệu tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc o I . Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau: “Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên o I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là: , '( ) 0   o x I f x và {  o x I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.” [22, tr.165] Như vậy, ngoài các điều kiện giống với định lý 1, để f tăng nghiêm ngặt, ta còn cần thêm điều kiện tập các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 “không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.” Từ đó mặc dù [22] không đề cập nhưng ta có thể suy ra hệ quả sau: “ Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên o I . Nếu , '( ) 0   o x I f x và {  o x I , f’(x)=0} nhiều nhất đếm được thì f tăng nghiêm ngặt”. Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang xét, ta đặt ra câu hỏi: “tồn tại hay không những hàm không khả vi trên o I nhưng vẫn đơn điệu trên I ?”. Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay rằng: tồn tại những hàm không khả vi trên o I nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy rõ qua ví dụ sau: Ví dụ: : (0,2) , (0,1) 3 2 , [1, 2)       f R x x x x x Hàm số f(x) không khả vi trên (0,2) vì nó không có đạo hàm tại x=1, nhưng đơn điệu tăng trên (0,2). Như vậy, một hàm đơn điệu trên khoảng I có thể không khả vi trên I. Tuy nhiên, khi một hàm đơn điệu trên khoảng I thì tập các điểm không khả vi của hàm đó trên I lại có một tính chất khá đặc biệt : “ Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I, nghĩa là tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm không khả vi có độ đo lesbgue bằng không.” [23, tr.40] 9 o I là phần trong của khoảng I, ví dụ phần trong của [a,b] là (a,b). Kết luận:  Hàm liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn), khả vi trên o I thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc o I .  Hàm liên tục trên I, khả vi trên o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên o I và {  o x I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác rỗng.  Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.  Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I. 1.3 Kết luận chương 1 Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có nhiều mối liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau: Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng các câu hỏi và câu trả lời đối với từng cực: Cực Đơn điệu-Liên tục Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?  Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I. Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I. Điểm gián đoạn và tập các điểm gián đọan nếu có của một hàm số đơn điệu trên I có gì đặc biệt?  Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 (tồn tại giới hạn trái và phải) và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được. Hàm đơn điệu trên khoảng I cần thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?  Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng nào đó của R thì liên tục trên I. Một hàm số liên tục trên I cần thêm điều kiện gì thì đơn điệu trên I ?  Hàm liên tục và đơn ánh trên khoảng I thì đơn điệu ngặt trên I. Cực Đơn điệu-Khả vi Hàm số khả vi trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì đơn điệu trên I khi nào?  Hàm liên tục trên I, khả vi trên o I (phần trong của I) thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi Liên tục Khả vi Đơn điệu f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc o I .  Hàm f liên tục trên I, khả vi trên o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên o I và {  o x I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác rỗng. Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên o I và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều nhất đếm được. Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?  Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Như vậy, một hàm số đơn đi._.ệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi của hàm số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?  Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0). Cực Liên tục-Khả vi Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:  Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.  Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó. Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?  Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm. Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 : Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Đơn điệu-Liên tục Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng không liên tục trên khoảng đó có xuất hiện không? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Đơn điệu-Khả vi Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) khả vi trên o I đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên I có được được đề cập không? Nếu có thì như thế nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Xuất hiện hay không hàm số đơn điệu trên I nhưng không khả vi trên I? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Liên tục-Khả vi Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc biệt, có hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan? Chương 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1. Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam. Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục được chính thức đưa vào giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12, trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới được đề cập. Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3 cấp lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang được sử dụng, bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để thuận lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GKNC10, GKNC11, GKNC12, GVNC10, GVNC11, GVNC12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GKCB10, GKCB11, GKCB12, GVCB10, GVCB11, GVCB12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ cơ bản: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng. Phân tích của chúng tôi sẽ tập trung trên từng cực của sơ đồ sau: Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản chúng tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định nghĩa hàm số đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt ở bậc đại học. Tuy nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các tính chất đã nêu ở chương 1 vào Liên tục Khả vi Đơn điệu phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số đơn điệu nghiêm ngặt. 1.4 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để làm rõ mối liên hệ này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu (hàm số đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên tục đang ở giai đoạn ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương 1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó, ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được đề cập trước khi khái niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp 11. Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề cập, mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập. 1.4.1 SGK nâng cao 1.4.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét” *Phần bài học (vị trí GV) Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về hàm số, chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau: Bài 1:Đại cương về hàm số Bài 2:Hàm số bậc nhất Bài 3:Hàm số bậc hai Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9: “Một cách tổng quát: Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến). b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến). Nói cách khác, với x1, x2 bất kì thuộc R: Nếu x1 < x2 mà f(x1)<f(x2) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên R. Nếu x1 f(x2) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.” [3, tr.44] Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa thực sự tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GKNC10 đưa ra định nghĩa tổng quát hơn trong bài 1: “Cho hàm số f xác định trên K Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu 1 2 1 2 1 2x , x K , x x f ( x ) f ( x )     ; Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu 1 2 1 2 1 2x , x K , x x f ( x ) f ( x )     .” [GKNC10, tr.38] ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó của R”. [GKNC10,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định nghĩa trên tương đương với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi: khái niệm đơn điệu của hàm số được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông, hàm số thường được nghiên cứu trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được định nghĩa trên tập con khác rỗng bất kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (nửa khoảng, đoạn). Tiếp theo định nghĩa, GKNC10 đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K: “Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa (xem ví dụ 3), hoặc dựa vào nhận xét sau : Điều kiện “ 1 2 1 2x x f ( x ) f ( x )   ” có nghĩa là 1 2x - x và 1 2f ( x ) f ( x ) cùng dấu. Do đó Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi: x ,x K 1 2 và x x1 2 ,    f x f x x x    2 1 2 1 0 Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi: x ,x K 1 2 và x x1 2 ,    f x f x x x    2 1 2 1 0 Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu tỉ số    f x f x x x   2 1 2 1 trên K” [GKNC10, tr.39] “Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên; Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống. (Khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể từ trái sang phải )”[GKNC10, tr 38] Qua hai trích dẫn trên, GKNC10 cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong trường hợp hàm số được cho bằng công thức và đồ thị. Đối với hàm số cho bằng công thức, có hai kĩ thuật đại số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số    f x f x x x   2 1 2 1 . Đối với hàm số cho bằng đồ thị thì dùng kĩ thuật đọc đồ thị: từ trái sang phải nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến. Phù hợp với điều này, GVNC10 viết: “ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần: […] +Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên. […] -Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần: […] +Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị của nó.”[GKNC10, tr.69] Sau định nghĩa và giới thiệu các kĩ thuật để khảo sát sự biến thiên của hàm số, SGK giới thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ cụ thể: “Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của nó. Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau: x -∞ 0 +∞ 2( ) ( 0)f x ax a  Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính nghịch biến của hàm số. Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau: f(0)=0 và khi x tăng trên khoảng (0;+∞) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) theo chiều tăng, còn khi x tăng trên 0 +∞ +∞ khoảng (-∞;0) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) nhưng theo chiều giảm.”[GKNC10, tr.40] Như vậy, GKNC10 đưa ra bảng biến thiên dựa trên ví dụ đã được nghiên cứu tính biến thiên trước đó, trong trường hợp này, hàm số y=ax2 được nghiên cứu có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của nó. Như đã phân tích ở chương 1, có những hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K nghĩa là có đồ thị không liền nét trên K. Chúng tôi tự hỏi: trong trường hợp, một hàm đơn điệu trên K nhưng đồ thị không liền nét trên K thì bảng biến thiên sẽ được lập như thế nào? Mũi tên được vẽ ra sao? GKNC10 và ngay cả GVNC10 không lưu ý gì đến vấn đề này. Kế tiếp các vấn đề nêu trên, trong bài 2 và bài 3, GKNC10 giới thiệu tính biến thiên của các hàm số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y ax b  và hàm số bậc 2. Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được học ở lớp 9, nên GKNC10 chỉ nhắc lại, tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn mạnh. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng. Dường như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời cũng liên tục trên khoảng đó. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên. *Phần bài tập (vị trí GV) Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T: “khảo sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công nghệ tương ứng như sau: Ttt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1 và hàm bậc 2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước. Ví dụ: Bài tập 12 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a) y x   1 2 trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GKNC10, tr.46] Kĩ thuật τ1tt: Lấy bất kì x ,x K1 2 thoả mãn 1 2x x , sau đó so sánh    1 2f x , f x .  Nếu    1 2f x f x thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.  Nếu    1 2f x f x thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K. Kĩ thuật τ2tt: Lấy bất kì x ,x K1 2 sao cho x x1 2 , sau đó, xét dấu của tỉ số    f x f x x x   2 1 2 1 .  Nếu    f x f x x x    2 1 2 1 0 thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.  Nếu    f x f x x x    2 1 2 1 0 thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K. Công nghệ θtt: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. Tb2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ: Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số 2 4 3y x x    [GKNC10, tr.57] Kĩ thuật τb2: Xét dấu của hệ số a:  Nếu 0a  thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng 2 b ; a        , đồng biến (tăng) trên khoảng 2 b ; a        .  Nếu 0a  thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng 2 b ; a        , nghịch biến (giảm) trên khoảng 2 b ; a        . Công nghệ θb2: Đồ thị của hàm số bậc hai. “Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây […]” [GKNC10, tr.57] Tđt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số được cho bằng đồ thị Ví dụ: Bài tập 3 Hình 2.9 là đồ thị một hàm số có tập xác định là R, dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. [GKNC10, tr. 45] Kĩ thuật τđt: Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm số đồng biến (tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến (giảm) trên K. Công nghệ θđt: Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.  Nhận xét Bảng 2.1: Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số” 1 y -1 -2 -3 3 0 Hình 2.9 x Kiểu nhiệm vụ Số lượng nhiệm vụ Tỉ lệ Ttt 8 29.6% Tb2 4 14.8% Tđt 15 55.6% Qua bảng trên ta thấy, kiểu nhiệm vụ Tđt được nhấn mạnh, số lượng nhiệm vụ chiếm đến 55.6% trong các nhiệm vụ liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số. Kiểu nhiệm vụ Ttt và Tb2 chỉ đóng vai trò thứ yếu. Điều này cũng được thể hiện rõ trong SGV: “Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số. […] Do cách làm trên, giáo viên cần chú ý luyện tập nhiều cho học sinh về cách nhận biết các tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó (phương pháp đọc đồ thị). Chẳng hạn, học sinh phải nhận biết được sự biến thiên (và biết lập bảng biến thiên) của hàm số đã cho thông qua đồ thị của nó.” [GKNC10, tr.67] “ […] SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên những khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm đơn giản (như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, và hàm số phân tuyến tính). Hơn nữa, các bài toán này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thôi. Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nó” [GKNC10, tr.70] Như vậy, liên quan đến khảo sát tính biến thiên của hàm số, kiểu nhiệm vụ Tđt đóng vai trò quan trọng và được đặc biệt nhấn mạnh. Chính đồ thị trở thành một công cụ đắc lực để khảo sát sự biến thiên của hàm số chứ không phải kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ số biến thiên. Một đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là tất cả các hàm số đều có đồ thị là “đường liền nét” trên từng khoảng đơn điệu của nó, nói rõ hơn chúng liên tục trên từng khoảng đơn điệu. Vai trò quan trọng của Tđt cùng với đặc trưng vừa nêu, kết hợp với phân tích ở phần lý thuyết, cho phép chúng tôi đi đến kết luận về một ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này: hàm số liên tục trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) đơn điệu của nó. Chính tầm quan trọng của Tđt cùng với ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm: hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục10 trên khoảng đó. Một câu hỏi được đặt ra: sau khi khái niệm liên tục được chính thức nghiên cứu, ràng buộc trên có thay đổi không? Có hay không một giải thích hay ví dụ minh hoạ về một hàm đơn điệu trên K nhưng 10 “liên tục” được hiểu theo nghĩa ngầm ẩn: đồ thị là một đường “liền nét” trên khoảng (nửa khoảng, đoạn). không liên tục trên K? 1.4.1.2 Thời điểm khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh Khái niệm liên tục được chính thức đưa vào ở lớp 11 trong chương Giới hạn, theo tiến trình sau: Giới hạn dãy số→Giới hạn hàm số→Hàm số liên tục. Với mục tiêu: “ Về kiến thức Giúp học sinh nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này. Về kĩ năng Giúp học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản.”[GKNC11, tr.203] Về định nghĩa hàm số liên tục, trước tiên, GKNC11 giới thiệu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: “ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và ox ( a,b ) . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm xo nếu o o x x lim f ( x ) f ( x )   Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo.” [GKNC11, tr.168] Sau đó, GKNC11 đưa vào định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: “ĐỊNH NGHĨA a)Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và         x a x b lim f x f a , lim f x f b      . ” [GKNC11, tr.169] Chúng tôi lưu ý đến nhận xét được GKNC11 đưa ra sau định nghĩa trên: “Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên một đoạn có đồ thị là một đường “liền nét”. Trong ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x = - 1; đồ thị của nó là một đường không liền nét.” [GKNC11, tr.170] Theo nhận xét trên, một hàm số liên tục trên K thì có đồ thị liền nét trên K, một hàm số không liên tục trên K thì có đồ thị không liền nét trên K. Qua đó, noosphere muốn HS biết được ý nghĩa hình học của một hàm số liên tục (không liên tục) trên một khoảng (đoạn, nửa khoảng), nó là cơ sở để đưa ra minh họa bằng hình học của định lí giá trị trung gian mà HS được học ngay sau đó. Liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-khả vi, chúng tôi cho rằng đây là cơ hội để cho một ví dụ minh họa (bằng đồ thị) về một hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K nhằm loại bỏ quan niệm11 có thể đã hình thành ở giai đoạn khái niệm liên tục còn hoạt động ngầm ẩn, đáng tiếc một ví dụ như thế đã không xuất hiện. GVNC11 cũng không lưu ý gì đến vấn đề này. Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến khái niệm hàm số liên tục: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) hoặc liên tục trên tập xác định của nó, chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a,b). Kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ này được suy ra từ định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), hoặc định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục. Không có một bài tập hay ví dụ nào đề cập đến mối liên hệ “một hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể không liên tục trên K”. Trong chương 1, định lý (*)12 cho thấy vai trò của nó trong việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản. Sau khi khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh, (*) đã không được đưa vào, hệ quả kéo theo là sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản (các hàm lượng giác (lớp 11), hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm lũy thừa (lớp 12)) trên miền xác định của nó được thừa nhận. Đây là một lựa chọn hợp lý so với yêu cầu chung “không quá nhấn mạnh tính hàn lâm và yêu cầu quá chặt chẽ về mặt lý thuyết” [GVNC11, tr.4], việc đưa vào định lý (*) cùng với chứng minh đầy đủ về sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản là khá “nặng nề” đối với HS phổ thông, nó phù hợp hơn với cấp độ đại học. Điều khiến chúng tôi ngạc nhiên là các nội dung trên cũng không được đề cập trong SGV, dường như noosphere đã không chú ý đến những vấn đề này. Những phân tích trên cho thấy, trong SGK nâng cao, mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ xuất hiện trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn. Trong giai đoạn này, kiểu nhiệm vụ quan trọng và thể hiện rõ nét mối liên hệ đơn điệu-liên tục chính là Tđt với đặc trưng đồ thị hàm số liền nét trên khoảng đơn điệu của hàm số. Đến giai đoạn khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh thì mối liên hệ này không được đế cập. Như đã nói ở trên, tầm quan trọng của Tđt cùng với đặc trưng của nó có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm : liên tục trên khoảng K là điều kiện cần để hàm đơn điệu trên trên khoảng đó. 11 hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục trên khoảng đó. 12 “Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.” [23, tr.94] 1.4.2 SGK cơ bản 1.4.2.1 Thời điểm khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên tục hoạt động ngầm ẩn *Phần bài học (vị trí GV)  Những điểm giống nhau Về định nghĩa hàm số đơn điệu: định nghĩa hàm số đơn điệu được đưa vào ở đầu lớp 10 trong bài 1- Hàm số, chương 2-Hàm số bậc nhất và bậc hai “Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu 1 2 1 2 1 2x , x ( a;b ), x x f ( x ) f ( x )     . Hàm số y=f(x) gọi là nghịch biến (giảm) nếu 1 2 1 2 1 2x , x ( a;b ), x x f ( x ) f ( x )     .” [GKCB10,tr.36] Cũng cần lưu ý thêm rằng, định nghĩa này không hẳn giống hoàn toàn với định nghĩa hàm số đơn điệu của GKNC10. GKNC10 định nghĩa trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng sau đó chỉ yêu cầu xét tính đơn điệu trên khoảng, GKCB10 chỉ định nghĩa trên khoảng. GVCB10 và GVNC10 đã không giải thích gì về sự lựa chọn này. Đến lớp 12, GVNC12 nêu rõ lí do của việc đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết hơn trong mục 2.2.1; GVCB12 cũng giới thiệu lại định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng cũng như ở lớp 10, người ta không giải thích rõ về lựa chọn này. Về bảng biến thiên: GKCB10 giới thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ đi kèm giải thích, trong đó yếu tố “liên tục” được thể hiện ngầm ẩn thông qua “mũi tên”: “Ví dụ 5. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x2 . x -∞ 0 +∞ y +∞ +∞ Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) (-∞;+∞) và khi x dần tới +∞ hoặc dần tới -∞ thì y đều dần tới +∞. Tại x = 0 thì y = 0. Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0). Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞). Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).” [GKCB10, tr.37] 0 Ở đây, người ta cũng không đề cập đến trường hợp các hàm đơn điệu trên khoảng nhưng đồ thị không liền nét trên khoảng đó. Trong giai đoạn này, các hàm số được xem xét luôn có đồ thị là đường liền nét (hàm bậc nhất, hàm bậc hai).  Những điểm khác nhau GKCB10 không nêu tường minh kĩ thuật xét tính đơn điệu của hàm số bằng tỉ số biến thiên. Kĩ thuật này chỉ được giới thiệu trong GVCB10 như một cách diễn đạt thứ hai của định nghĩa: “Cách thứ hai “ 1 2x ,x ( a;b )  và 1 2x x ,    f x f x x x    2 1 2 1 0 (hoặc    f x f x x x    2 1 2 1 0 )” [GVCB10,tr.54] Đặc biệt, khác với GKNC10 , kĩ thuật xét sự biến thiên của hàm số bằng đồ thị không được nêu tường minh mà chỉ “ngầm ẩn” thông qua ví dụ được nêu trước khi đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu: “Xét đồ thị hàm số y = f(x) = x2 (h.15a). Ta thấy trên khoảng (-∞;0) đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải(h.15b) và với 1 2 1 2 1 20x ,x ( ; ),x x f ( x ) f ( x )      Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. Ta nói hàm số y = x2 nghịch biến trên (-∞;0) . Trên khoảng (0;+∞) đồ thị “đi lên” từ trái sang phải (h.15b) và với 1 2 1 2 1 20x ,x ( ; ),x x f ( x ) f ( x )      Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. Ta nói hàm số y = x2 đồng biến trên (0;+∞) .” [GKCB10, tr.35] Kĩ thuật ngầm ẩn trên chỉ được dùng một lần duy nhất trong GKCB10 khi nghiên cứu tính biến thiên của hàm số bậc hai: “Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a≠0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp như sau” [GKCB10, tr.45] Điều đó cho thấy, dường như GKCB10 không chú trọng dùng đồ thị làm công cụ để khảo sát tính biến thiên của hàm số. Nó cũng thể hiện rõ qua yêu cầu được đặt ra cho HS trong GVCB10: “Học xong chương II học sinh cần đạt được các yêu cầu sau: 1.Nắm vững khái niệm tập xác định và biết tìm tập xác định của một hàm số đã cho bằng công thức. 2.Nắm vững các khái niệm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, biết lập bảng biến thiên để trình bày kết quả xét chiều biến thiên một hàm số. 3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này. 4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52] *Phần bài tập (vị trí HS) Đúng với yêu cầu đặt ra: “[…] 3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này. 4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52] Trong GKCB10, liên quan đến tính biến thiên của hàm số chỉ có kiểu nhiệm vụ T: xét tính biến thiên của hàm số với ba kiểu nhiệm vụ con: Tb1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất  0y ax b a   T’b1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số  0y ax b a   T’b2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai  2 0y ax bx c a    Trong đó, T’b2 có kĩ thuật giải quyết và công nghệ hoàn toàn tương tự Tb2 của GKNC10 nên chúng tôi chỉ nêu ra kĩ thuật và công nghệ của Tb1 và T’b1. Tb1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất  0y ax b a   Ví dụ: Bài tập 9 a,b “Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) 1 1 2 y x  b) 4 2y x  ” [GKCB10 tr.50] Kĩ thuật τb1: Xét dấu của hệ số a: -Nếu 0a  thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên R. -Nếu 0a  thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Công nghệ θb1: Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất …[GKCB10, tr.39] T’b1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số  0y ax b a   Ví dụ: Bài tập 9 d Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số c) 1y x  [GKCB10, tr.50] Kĩ thuật τ’b1: Phá trị tuyệt đối, chuyển hàm số đang xét thành hàm số cho bởi 2 công thức dạng ax b . Sau đó, sử dụng τb1 để xét sự biến thiên (đồng biến hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định. Công nghệ θ’b1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối và θb1  Nhận xét Có thể thấy rõ, so với SGK nâng cao, Ttt (khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng định nghĩa hoặc tỉ số biến thiên) và Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị của nó) không xuất hiện. Điều đó cho thấy việc xét sự biến thiên bằng định nghĩa và đồ thị không được SGK cơ bản chú trọng. Đặc biệt, trong SGK nâng cao, đồ thị vốn giữ vai trò trọng tâm khi nghiên cứu tính biến thiên của hàm số thì vai trò này lại khá mờ nhạt trong SGK cơ bản. Phân tích lý thuyết và bài tập cho thấy, ở giai đoạn này, noosphere chỉ yêu cầu nghiên cứu tính biến thiên hàm số bậc nhất, hàm trị tuyệt đối của hàm bậc nhất và hàm số bậc hai cùng với yêu cầu vẽ đồ thị của chúng. Một ví dụ hay bài tập trong đó hàm số được cho đơn điệu trên một khoảng nhưng lại có đồ thị không liền nét trên khoảng đó không xuất hiện. Như vậy, cũng như SGK nâng cao, có thể thấy rõ một ràng buộc ngầm ẩn của noosphere trong giai đoạn này là: hàm số có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng. Chúng tôi cũng đặt ra câu hỏi: sau khi khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy, ràng buộc trên có thay đổi không? Có hay không một giải thích và ví dụ minh họa về tính chất “hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể không liên tục trên K”? 1.4.2.2 Thời điểm khái niệm hàm số liên tục được chính thức giảng dạy Về cơ bản, cách đề cập giống với GKNC11. Sau khi khái niệm hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng được giới thiệu, GKCB11 đưa ra nhận xét: “Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó (h.56). Hình 57 cho ví._. hàm tại mọi điểm trên (a;b). B phát biểu đúng. B cho ví dụ cụ thể để chứng minh cho phát biểu của mình. Theo VD của B, dựa vào hình vẽ ta có thể thấy, hàm số liên tục tại các điểm có x=-1, x=1, x=2 nhưng không ltục (ở đây chúng tôi nghĩ nhóm này muốn nói “không có đạo hàm” nhưng người viết phiếu trả lời đã ghi sai ) do bị “gãy” tại các điểm này. Nhóm 7: A sai vì chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm xo thuộc (a;b). B đúng. Nhận xét: Hàm liên tục trên I thì chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc I, muốn có đạo hàm thì đồ thị phải “mềm” (chúng tôi hiểu nhóm này muốn nói đến: đồ thị phải “trơn”).  Ở một số nhóm, sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị không mang lại tác động phản hồi như mong đợi. 1/4 số nhóm có câu trả lời theo S3’a. Các nhóm này không đồng ý với ví dụ của HS B. Ngoài 2 nhóm (3, 10) chỉ trả lời A đúng, B sai. Chúng tôi chú ý đến 2 câu trả lời của nhóm 1 và 9: Nhóm 1: A đúng theo lí thuyết. B sai vì hàm số gãy không phải không có đạo hàm mà đó là điểm cực tiểu của đồ thị (A, B, C) Nhóm 9: A đúng. B đưa ra ví dụ trái đề do hàm số y=f(x)= 3 2x 2x x 2 1    không liên tục. Câu trả lời của nhóm 1 cho thấy, họ cho rằng trong ví dụ được cho A, B, C là các điểm cực trị nên phải có đạo hàm, rất có thể các HS trong nhóm này chịu ảnh hưởng của quy tắc sai sau: hàm số đạt cực trị tại điểm nào thì đạo hàm bằng không tại điểm đó. Cũng chính nhóm này trong câu trả lời ở tình huống S2’ cho rằng tại các “điểm gãy” hàm số liên tục nên phải có đạo hàm. Điều đó cũng cho thấy, muốn dùng đồ thị tạo tác động phản hồi nhằm điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS, cần phải thiết lập được vai trò của “điểm gãy” trong mối quan hệ cá nhân của HS. Câu trả lời của nhóm 9 cần được tìm hiểu thêm, vì nhóm này không nêu rõ lí do vì sao hàm số không liên tục, tuy nhiên một lí do có thể đưa ra là dường như những HS sinh này quan niệm rằng một hàm số liên tục trên một khoảng thì đồ thị của nó phải là một đường cong “trơn” (quan niệm này được làm rõ bởi Trần Anh Dũng(2005)).  Kết luận về pha 2: Sự xuất hiện của phản ví dụ đã bước đầu có những tác động đến HS, tuy nhiên vẫn chưa rõ nét. Trong các câu trả lời của các nhóm theo các chiến lược S1’b, S2’b, S3’b (là các chiến lược mong đợi), chúng tôi vẫn chưa thấy một giải thích rõ ràng về lí do các HS này đồng ý với phản ví dụ đi kèm đồ thị. Một chứng minh chặt chẽ bằng đại số dựa trên công thức của hàm số đã không xuất hiện như mong đợi (nhóm 7 trong câu trả lời tình huống 1’, nhóm 2 trong câu trả 16 Phần ngoặc đơn và in nghiêng là chú thích của chúng tôi. lời tình huống 2’ có dùng đến công thức, tuy nhiên chỉ dùng để tính đạo hàm), điều này cho thấy “đồ thị” đóng vai trò chính trong việc tạo tác động phản hồi và đa số HS chấp nhận những nhận xét trực quan dựa trên đồ thị. Pha này cũng cho thấy, đối với một bộ phận HS, vai trò của “điểm gãy” không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ và bảng biến thiên phải thể hiện đầy đủ các điểm đặc biệt của hàm số. Pha 3(thiếu chỉ mục) Tình huống 1’ HS dễ dàng chấp nhận hàm số không liên tục trên [-1;3] thông qua hình ảnh đồ thị bị “đứt” khi đi qua x=1, tuy nhiên việc giải thích “hàm số đồng biến trên [-1;3]” lại khá khó khăn. Một trong những nguyên nhân của trở ngại này là: kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) bằng định nghĩa không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của HS, đối với họ chứng minh hàm số đơn điệu trên K là đi chứng minh hàm số có đạo hàm dương (âm) trên K. Nó cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ của R1. Trong các tranh luận của HS ở tình huống này, không có ý kiến nào đề nghị dùng định nghĩa chứng minh hàm số đồng biến. Khi GV gợi ý: “thầy nhờ một em nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, nửa khoảng”(protocol câu 7). Một HS đã trả lời như sau: “hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn 0, nghịch biến khi đạo hàm bé hơn 0”(protocol câu 8). Các HS khác không có ý kiến gì với định nghĩa này, bởi vì ngay sau đó, khi chúng tôi hỏi: “các bạn khác có ý kiến gì không ?” (protocol câu 9) thì tất cả đều im lặng. Như vậy, mặc dù kết quả pha 1 và pha 2 cho thấy, có sự “dịch chuyển” từ S1’c sang S1’b ở nhiều HS nhưng sự “dịch chuyển” này dường như thiếu một “điểm tựa” vững chắc (các HS đã không giải thích được vì sao hàm số đồng biến, ngay cả một nhận xét dựa trên đồ thị cũng không xuất hiện). Rõ ràng, HS đã rất lúng túng khi được đặt vào một tình huống vượt ra ngoài phạm vi hợp thức của “kĩ thuật xét dấu đạo hàm”. Ghi nhận trên cũng cho thấy kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu bằng định nghĩa không sẵn có ở họ. Hiện tượng này phù hợp với phân tích của chúng tôi trong chương 2: sau sự xuất hiện của định lí về điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), khi xét sự biến thiên của hàm số, kĩ thuật tính và xét dấu đạo hàm luôn được ưu tiên, kĩ thuật dùng định nghĩa và tỉ số biến thiên dường như “biến mất”. Tình huống 2’  “Điểm gãy” một yếu tố quan trọng của môi trường tạo tác động phản hồi giúp HS nhận ra sai lầm trong quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó”. Chúng tôi không thấy có HS nào ý kiến về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Mọi tranh luận tập trung vào vai trò của “điểm gãy”. Có hai ý kiến trái ngược nhau: -Tại điểm gãy hàm số liên tục nên vẫn có đạo hàm, tại điểm gãy hàm số xác định nên vẫn tính được đạo hàm: Nhóm 1: Xét ví dụ, hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại 0. Câu đó là sai. Nó vẫn có đạo hàm tại 0. Khi x=0 thì 2 1 5 f ( x ) x  , nó vẫn tính được đạo hàm. Câu dưới cũng vậy (hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5). Nên ví dụ của B sai, không thể nói đồ thị hàm số bị gãy thì không có đạo hàm vì nó gãy nhưng vẫn liên tục. (protocol câu 15) -Tại điểm gãy đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nên không có đạo hàm: Nhóm 4 : “Theo em tại những điểm gãy như điểm 0 thì nó không có tiếp tuyến nên không có đạo hàm”. Ý kiến của nhóm 4 được nhiều HS hưởng ứng, tuy nhiên vẫn chưa thuyết phục được nhóm 1. Nhóm này ngay sau đó đã hỏi lại “cho em hỏi nhóm 4 tại sao nói tại x=0 không có đạo hàm nhưng tại x=0, 2 1 5 f ( x ) x  vẫn tính được đạo hàm 2 0 0 0 5 f '( ) .   ”(protocol câu 17). Giải thích của nhóm 4 sau đó đã thuyết phục được các nhóm về hai phương diện vì sao tại điểm gãy đồ thị không có tiếp tuyến và vì sao không tính được đạo hàm: “do ở đây lấy tiếp tuyến của 2 cái đồ thị đó ta thấy 2 tiếp tuyến không trùng nhau nên hai hệ số góc không bằng nhau thì ở đó không có đạo hàm” và “do nó chỉ có của một hàm nhỏ trên ( 2 1 5 f ( x ) x  ) thôi, nếu muốn có đạo hàm ở đó thì lim của cả hai bên phải bằng nhau thì mới có đạo hàm.”(protocol câu 18). Như vậy, thông qua pha này, HS đã thiết lập được mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ thị và đạo hàm của hàm số-tại hoành độ của “điểm gãy” hàm số không có đạo hàm. Một yếu tố quan trọng giúp hợp thức nhận xét trên là “tiếp tuyến”: tại “điểm gãy”, đồ thị không có tiếp tuyến nên hàm số không có đạo hàm. Điều này cho thấy đối với HS, tác động phản hồi của “điểm gãy” được tạo ra thông qua một trung gian “mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm” và rõ ràng mối liên hệ này đã hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ. Vấn đề này đã được làm rõ bởi Bùi Thị Thu Hiền (2007): “Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”. Tình huống 3’ Kế thừa sự hợp thức từ tình huống 2’, đối với tình huống này, thông qua 3 “điểm gãy” A, B, C, HS nhanh chóng đi đến sự thống nhất: ví dụ của B là đúng. Pha 4(thiếu chỉ mục) Với câu hỏi bài học rút ra từ các tình huống là gì? Chúng tôi thu được câu trả lời của 15 nhóm với kết quả như sau: Tình huống 1’ -14 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến trên một khoảng chưa chắc liên tục trên khoảng đó. -1 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến trên một đoạn chưa chắc có nghiệm trên đoạn đó. Tình huống 2’ -10 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. -3 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. -1 câu trả lời có ý: tại những điểm đồ thị hàm số không có tiếp tuyến thì hàm số không có đạo hàm. -1 câu trả lời có ý: tại những điểm gãy của đồ thị hàm số, hàm số không có đạo hàm. Tình huống 3’ -15 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Như vậy, đa số HS trong lớp thực nghiệm đã bước đầu nhận ra được sai lầm trong các quan niệm: -Hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì liên tục trên K. -Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì có đạo hàm tại mọi điểm thuộc K và đạo hàm không dương (không âm) trên K. -Hàm số liên tục tại một điểm thì có đạo hàm tại điểm đó. 1.9.5 Kết luận về thực nghiệm thứ 2 Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị đã bước đầu có những tác động nhất định, tạo sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của HS trên các mối liên hệ giữa ba đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số. Tuy nhiên, nó cũng cho thấy một vài vấn đề cần quan tâm để hoàn thiện hơn các tình huống hoặc phát triển thành các đồ án dạy học: -Kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) bằng định nghĩa: cần xây dựng lại ở HS và làm rõ vai trò của nó trong một vài trường hợp. -Mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số. -Bảng biến thiên: tồn tại hay không hợp đồng didactic liên quan đến bảng biến thiên: bảng biến thiên phải thể hiện đầy đủ các điểm “đặc biệt” (điểm gián đoạn, điểm gãy hay điểm tại đó hàm số không có đạo hàm) của hàm số? KẾT LUẬN Thực hiện đề tài “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông”, chúng tôi đạt được các kết quả sau: 1.Từ việc tổng hợp một số tài liệu, chúng tôi chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục, đơn điệu-khả vi, khả vi-liên tục ở cấp độ tri thức khoa học. 2.Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được ở chương 1 cho phép đi đến kết luận: - Mối liên hệ đơn điệu-liên tục thể hiện khá mờ nhạt trong chương trình và SGK hiện hành và chỉ xuất hiện trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua ngôn ngữ biểu đạt đồ thị của hàm số. Một đặc trưng liên quan đến mối liên hệ này là hàm số luôn liên tục trên khoảng đơn điệu của nó. - Thể chế chỉ chú trọng đến việc thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm, điều kiện sinh thái của mối liên hệ này khá phong phú thông qua hệ thống bài tập chủ yếu xoay quanh công nghệ là định lí về điều kiện đủ và định lí mở rộng. Điều này kéo theo ràng buộc, các hàm số luôn khả vi trên khoảng đơn điệu của chúng, tính đơn điệu của các hàm không khả vi trên khoảng không được đề cập và tất nhiên một minh họa bằng đồ thị cũng không xuất hiện. - Các tính chất liên quan đến mối liên hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đồ thị được sử dụng làm công cụ minh họa cho mối liên hệ này với đặc trưng trực giác: đồ thị “bị gãy” tại những điểm mà hàm số liên tục nhưng không khả vi hay đồ thị không liền nét tại những điểm hàm số không liên tục. Tuy nhiên, có rất ít bài tập liên quan đến mối liên hệ này. 3.Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đã cho phép hợp thức các giả thuyết nghiên cứu H1, H2 và trả câu hỏi LK được đặt ra ở cuối chương 2.  Thực nghiệm thứ nhất cho thấy những ràng buộc của thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân của HS: - Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”. - Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó”. Đối với câu hỏi LK, không như chúng tôi hình dung ban đầu, việc thể chế đề cập rõ ràng tính chất “hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” mà điểm nhấn là các minh họa trực quan bằng đồ thị, đã có những tác động nhất định lên mối quan hệ cá nhân của HS. Thực nghiệm cho thấy, bên cạnh một số đông HS vẫn còn quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”, một số đông HS khác đã thoát khỏi quan niệm này. Ở nhiều HS, sự tiến triển thể hiện rõ trong các câu trả lời với ví dụ cụ thể và chứng minh chặt chẽ, đặc biệt là việc xuất hiện các ví dụ bằng đồ thị.  Với mục đích tìm hiểu tác động của đồ thị cũng như điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS, trong thực nghiệm thứ 2, chúng tôi tổ chức các tình huống nhằm tạo điều kiện cho HS gặp gỡ một yếu tố mới của môi trường. Sự thay đổi rõ ràng đã được nhìn thấy. Qua đó, có thể nói, đồ thị là một yếu tố môi trường tốt cho việc dạy học Giải tích, tuy nhiên, nó lại chưa được thể chế dạy học Toán Việt Nam chú trọng. Do hạn chế về mặt thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, , chúng tôi chưa có điều kiện tiến hành thực nghiệm kiểm chứng hai hợp đồng R1 và R2. Việc xây dựng các tình huống kiểm chứng tính thỏa đáng của R1 và R2, cũng như hòan thiện hơn các tình huống trong thực nghiệm thứ 2 hoặc xây dựng một đồ án dạy học nhằm thiết lập các quan niệm đúng ở HS về các mối liên hệ giữa 3 đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số là một số hướng mở ra từ luận văn. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Annie Bessot, Claude Commiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic Toán, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM. 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn toán, NXB Giáo dục. 3. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo khoa toán đại số 9, NXB Giáo dục. 4. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo viên toán đại số 9, NXB Giáo dục. 5. Trần Anh Dũng (2005), Nghiên cứu didactic về khái niệm liên tục, luận văn thạc sĩ, ĐHSP TP.HCM. 6. G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích toán học tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. 7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục. 8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục. 9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo dục. 10. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục. 11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục. 12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản , NXB Giáo dục. 13. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, luận văn thạc sĩ, ĐHSP TP.HCM. 14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 15. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 16. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục. 17. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 19. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục. 20. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Quốc gia TPHCM. 21. Nguyễn Đình Trí (2008), Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số, NXB Giáo Dục. 22. Jean-Marie Monier (2002), Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1, NXB Giáo dục. Tiếng Anh 23. Richard F. Bass (2009), Real Analysis, www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf. 24. Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4, p. 282-300, Published by: Mathematical Association of America. 25. Phụ lục 1: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 1 : Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều. Họ và tên : ........................................................................................ Lớp ............................ Mã số HS: .............. Trường ................................................................................................ Tình huống 1 Cho bài toán: “Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?” Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau: Học sinh A: f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0 Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3). Học sinh B: Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng đề bài lại không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không, nên ta không thể đưa ra kết luận gì. Học sinh C: Tớ đồng ý với B ở chỗ để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng B nói “đề bài không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Tóm lại tớ đề nghị lời giải như sau: f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0. Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3). Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tình huống 2 Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 3 +∞ f(x) Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ” Hai học sinh A và B tranh luận như sau : Học sinh A: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(- ∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Học sinh B: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------ -∞ -∞ 11 Tình huống 3 Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?” Có hai học sinh đã tranh luận như sau: Học sinh A: Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x(a; b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm tại xo . Học sinh B: Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo . Câu hỏi cho em: Em đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 1 -1 1 -2 3 -1 y Phụ lục 2: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 2: Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều. Họ và tên : ........................................................................................ Lớp ............................ Mã số HS: .............. Trường ................................................................................................  Tình huống 1’ Cho bài toán: “Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?” Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau: Học sinh A: f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0 Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3). Học sinh B: Lời giải của A còn thiếu. Theo đề bài, hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Ta có: f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra      1 3 2 3 6 0     f . f . , f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3). Học sinh C: B nói “hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [ 1;3] ” là không đúng, do đó ta không thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm hay không có nghiệm trong khoảng (-1;3). Tớ có thể đưa ra một ví dụ: Cho hàm số 1 3 1 1 2 2 1 3 x , x f ( x ) x , x           có đồ thị như hình bên. Dựa vào đồ thị dễ dàng nhận ra hàm số f(x) đồng biến trên [-1;3] nhưng không liên tục trên [-1;3] vì đồ thị hàm số không liền nét trên đoạn này. Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?  Tình huống 2’ Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: x -∞ 3 +∞ f(x) Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ” Hai học sinh A và B tranh luận như sau : Học sinh A: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Học sinh B: Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? -∞ -∞ 11 Tớ không đồng ý với A, xét ví dụ sau: Cho hàm số 2 2 2 1 0 5 11 22 0 5 9 3 11 22 5 45 9 x ,x y f ( x ) x x , x x x ,x                  có đồ thị như hình bên. Dựa vào đồ thị ta thấy: hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại x=0 vì đồ thị hàm số bị “gãy” tại điểm O(0;0). Hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5 vì đồ thị hàm số bị “gãy” tại điểm A(5;55/9).  Tình huống 3’ Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?” Có hai học sinh đã tranh luận như sau: Học sinh A: Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x(a;b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm tại xo . Học sinh B: Tớ không đồng ý với A. Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo . Tớ đưa ra một ví dụ: Xét hàm số 3 22 2 1     y f ( x ) x x x có đồ thị như hình dưới đây: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục tại x = -1, x = 1 và x = 2 (đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm A, B, C) nhưng lại không có đạo hàm tại x = -1, x = 1 và x = 2 vì tại các điểm A, B, C đồ thị hàm số bị “gãy”. Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em đánh giá thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? Phụ lục 3: Bài làm của một số học sinh trong thực nghiệm thứ nhất Tình huống 1 HS134 HS136 HS150 HS157 Tình huống 2 HS52 HS69 HS81 HS111 HS220 Tình huống 3 HS122 HS125 HS132 HS157 HS159 Thực nghiệm thứ hai-Bài làm của một số nhóm pha 2 Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 5 Nhóm 7 Nhóm 16 PROTOCOL PHA 3 1.Nhóm 10: A sai vì bạn đã không có câu kết luận hàm số có liên tục không? Vì bạn lấy hai đầu f(a).f(b)<0, bạn phải có điều kiện hàm số liên tục trên đoạn đó. Vì nếu hàm số không liên tục thì đô thị không là đường liền nét nên không chắc là có cắt trục Ox hay không? 2.Nhóm 7: đề bài cho f(x) đồng biến trên [-1;3] thì đã bao hàm liên tục rồi. Trường hợp của C, mình không thể ghi f(x) đồng biến trên [-1;3] mà chỉ được ghi là f(x) đồng biến trên [-1;1) và đồng biến trên (1;3] nên ví dụ của C không thỏa yêu cầu. B đúng còn C sai. 3.GV: Nhóm 10 có ý kiến gì không? … 4.Nhóm 1: C đã đưa ra ý kiến phản bác A và B rồi. 5.Nhóm 7: (vẽ đồ thị hàm số y=1/x lên bảng) Ví dụ như hàm nhất biến nó tăng trên khoảng (- ∞;0) và (0;+∞) nhưng bị gián đoạn tại x=0, có ai dám nói nó đồng biến trên R không? 6.Một HS nhóm khác: dạ thưa thầy nó bị gián đoạn tại x=1 nhưng hàm số vẫn xác định tại x=1 nên vẫn có thể nói nó đồng biến trên [-1;3] được. 7.GV: Như vậy, ta sẽ tập trung xét xem ví dụ của C, thầy nhờ một em nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (đoạn, nửa khoảng) 8.HS: Hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn 0 nghịch biến khi đạo hàm bé hơn 0. 9.GV: Mọi người có ý kiến gì không?(cả lớp im lặng) 10.GV: Thầy muốn hỏi định nghĩa?(không có HS nào trả lời, GV buộc phải can thiệp) 11.GV: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K khi với mọi x1, x2 thuộc K sao cho x1< x2 ta luôn có f(x1)f(x2)). Ta sẽ thử dùng định nghĩa để xem thử hàm số trong ví dụ của C có đồng biến không? Xét x1 bé hơn x2 và thuộc [-1;3], có mấy trường hợp xảy ra? Là các trường hợp nào? 12.HS: Có 3 trường hợp, x1, x2 thuộc [-1;1), x1, x2 thuộc [1;3], x1 thuộc [-1;1), x2 thuộc [1;3] (GV dựa vào đổ thị hướng dẫn HS giải thích vì sao hàm số đồng biến) … 13.GV: Chúng ta sang tình huống 2’. 14.Nhóm 5: Hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng có thể không có đạo hàm trên khoảng này. 15.Nhóm 1: Xét ví dụ, hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại 0. Câu đó là sai. Nó vẫn có đạo hàm tại 0. Khi x=0 thì 2 1 5 f ( x ) x  , nó vẫn tính được đạo hàm. Câu dưới cũng vậy (hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5). Nên ví dụ của B sai, không thể nói đồ thị hàm số bị gãy thì không có đạo hàm vì nó gãy nhưng vẫn liên tục. 16.Nhóm 4 :Theo em tại những điểm gãy như điểm 0 thì nó không có tiếp tuyến nên không có đạo hàm. 17.Nhóm 1:Cho em hỏi nhóm 4 tại sao nói tại x=0 không có đạo hàm nhưng tại x=0, 21 5 f ( x ) x  vẫn tính được đạo hàm 2 0 0 0 5 f '( ) .   . 18.Nhóm 4: do ở đây lấy tiếp tuyến của 2 cái đồ thị đó ta thấy 2 tiếp tuyến không trùng nhau nên hai hệ số góc không bằng nhau thì ở đó không có đạo hàm” và “do nó chỉ có của một hàm nhỏ trên ( 2 1 5 f ( x ) x  ) thôi, nếu muốn có đạo hàm ở đó thì lim của cả hai bên phải bằng nhau thì mới có đạo hàm. (lời giải thích thuyết phục được các nhóm) 19.GV: Như vậy là ví dụ của B đúng và A sai? Có đúng như thế không? 20.Cả lớp: Đúng. 21.GV: Bây giờ ta sang tình huống 3. 22.GV: Tương tự các tình huống trên, ta sẽ xem xét ví dụ của B. 23.HS: Ví dụ của C đúng vì hàm số liên tục trên R và đồ thị hàm số bị gãy tại 3 điểm A, B, C. 24.GV: Điều đó cho ta kết luận gì? 25.Cả lớp: Liên tục nhưng không có đạo hàm. 26.GV: Ví dụ của B đúng hay sai? 27.Cả lớp: Đúng. ._.