Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

át – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hồn thành khố luận của mình. Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, tồn thể thầy cơ trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cơ trong bộ mơn Tốn đã tạo điều kiện để em cĩ thể thực hiện khĩa luận này. Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ phản biện đã đĩng gĩp ý kiến cho khĩa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sĩt của bản thân mà khắc phục, chuẩn bị cho cơng việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường. Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cơ trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đĩng gĩp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành khảo sát. Cuối cùng, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cơ, bạn bè – tất cả những người đã động viên, giúp đỡ cơng sức và tinh thần cho cơng việc nghiên cứu của con được hồn thành tốt đẹp. Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cơ, chúc thầy cơ luơn hồn thành tốt các nhiệm vụ được giao. Chân thành cảm ơn ! Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 I. Lí do chọn đề tài . .................................................................................. 1 II. Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2 IV. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 2 V. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2 VI. Giả thuyết khoa học............................................................................... 2 VII. Lợi ích của luận văn .............................................................................. 2 VIII. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2 PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... ...4 A. Cơ sở lí luận .......................................................................................... 4 I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ......................... 4 II. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất......................... 4 1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số ....................................... 4 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức.............................................. 6 2.1. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................. 6 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski.................................................... 7 2.3. Các bất đẳng thức lượng giác .................................................. 8 2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản..................................... 9 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số ............................................... 9 4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn................................... 10 5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm .............................. 11 6. Phương pháp tọa độ - vectơ ........................................................... 13 7. Phương pháp lượng giác hĩa .......................................................... 14 B. Một số bài tốn minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất..................................................................................... 17 C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải tốn ........ 33 I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, ....................................................................................................... 33 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số cĩ chứa tham số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37 III. Ứng dụng vào một số bài tốn trong thực tế ................................... 40 D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50 I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50 II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50 III. Kết quả ........................................................................................... 50 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58 PHỤ LỤC ...................................................................................................................... TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 : TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604 Em đang thực hiện đề tài khĩa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ vào thực tiễn “ Kính mong các thầy cơ cho biết một số ý kiến về đề tài này : 1/- Đối với học sinh, bài tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài tốn : A/ Rất khĩ B/ khĩ C/ dễ D/ Rất dễ 2/- Số lượng các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các sách giáo khoa là : A/ Rất nhiều B/ Nhiều C/ ít D/ Rất ít 3/- Chúng ta cĩ thường gặp bài tốn “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay khơng ? A/- Thường xuyên B/ thỉnh thoảng C/ ít khi D/ Khơng cĩ 4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là việc làm : A/ Rất cần thiết B/ cần thiết C/ ít cần D/ Khơng cần 5/- Thầy cĩ nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của tốn học trong thực tế, đặc biệt là dạng tốn: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ? 6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tiễn cĩ ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … ) 7/- Ý kiến khác về đề tài : GV ký và ghi rõ họ tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 2: TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU THĂM DỊ Họ và tên : …………………………………………Lớp : ……………………… Trường : ………………………………………….. Học lực : …………………. Xin bạn vui lịng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp. 1/- Em cĩ cảm thấy thích giải tốn hơn khi cĩ các phương pháp để giải nĩ ? A/ Rất thích B/ thích C/ Khơng thích lắm D/ khơng 2/- Tự em cĩ nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng tốn nào đĩ hay khơng ? A/ Thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ khơng cĩ 3/- Thầy ( cơ ) của em cĩ thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạng bài tập cho các em hay khơng ? A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ khơng cĩ 4/- Đối với bản thân em bài tốn : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài tốn : A/Rất khĩ B/ khĩ C/ dễ D/ rất dễ 5/- Đối với bài tốn : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm : A/ nhiều B/ Ít C/ rất ít D/ khơng cĩ 6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của tốn học trong thực tiễn ? A/ Nhiều B/ ít C/ rất ít D/ khơng biết 7/- Thầy ( cơ ) của em cĩ thường giới thiệu cho các em ứng dụng của tốn học trong thực tiễn hay khơng ? A/ Thường xuyên B/ thỉnh thỏang C/ ít khi D/ khơng cĩ 8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của tốn học nĩi chung, của bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nĩi riêng thì em cĩ cảm thấy thích học mơn tốn hơn hay khơng ? Vì sao ? Ký tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 3 : MỘT SỐ Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH PHỔ THƠNG Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition. [2] Dỗn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Tốn ơn thi đại học ” . NXB Đại Học Sư phạm. [3] Hồng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài tốn cực trị ” . NXB Giáo Dục. [4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài tốn lượng giác ”. NXB Hải Phịng [5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài tốn rời rạc và cực trị ”. NXB Hải Phịng. [6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải tốn bằng Đại lượng phương pháp cực biên ” . NXB Giáo Dục. [7] Nguyễn Thái Hịe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập tốn ”. NXB Giáo Dục. [8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hồng Phị – Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục. [9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ”. NXB Đại Học Sư Phạm. [10] Phan Huy Khải. 2005. “ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ”. NXB Giáo Dục. [11] Trần Văn Hạo (chủ biên). 2005. “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học ” . NXB Giáo Dục. [12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hồi Đức. 2000. Các phương pháp đặc biệt tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. NXB Trẻ. [13] Vũ Hữu Bình. 2007. “ Nâng cao và phát triển tốn 9 ” . NXB Giáo Dục. [14] Ngơ Thúc Lanh ( chủ biên ). 2000. Giải tích 12 . NXB Giáo Dục. [15] Tốn học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng 4/2008 . [16] Tuyển chọn theo chuyên đề Tốn Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) – NXB Giáo Dục. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mục đích của việc giảng dạy mơn tốn ở trường trung học là dạy học sinh về kiến thức tốn, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải tốn, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung mơn tốn và hình thành tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đĩ, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải các dạng tốn. Chương trình tốn trung học cĩ rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đĩ cĩ rất nhiều dạng rất khĩ như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đĩ. Các dạng bài tập này được gọi chung là bài tốn tìm cực trị hay bài tốn cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khĩ của chương trình tốn trung học bởi vì các bài tốn cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nĩ lại là một trong những dạng tốn được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng, sách giáo khoa cĩ rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa khơng hệ thống lại các phương pháp giải. Do đĩ, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài tốn cực trị. Việc giải các bài tốn này địi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nĩ đưa chúng ta xích gần lại với các bài tốn thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định ( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đĩ làm cho học sinh thấy được tính thiết thực của tốn học trong cuộc sống. Đồng thời, nĩ cũng tạo nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải tốn. Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do thực tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần cĩ cách giải quyết tối ưu mới mang lại thành cơng trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất, ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, cơng sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ). Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà sản xuất luơn muốn giảm tối đa chi phí sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích. Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy tốn trong tương lai, tơi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thơng qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO THỰC TIỄN.” Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 2 II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ trong thực tế. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Hệ thống hĩa các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ”. Giới thiệu một số ứng dụng của nĩ trong thực tiễn. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải tốn tốt hơn. Nhờ đĩ, chất lượng học tập và giảng dạy mơn tốn được nâng cao. Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương pháp giải bài tốn cực trị nĩi riêng và của tốn học nĩi chung trong cuộc sống. Điều đĩ làm cho các em thích thú, say mê học tốn hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các em sẽ học tập tốt hơn. Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tơi đã sử dụng một số phương pháp sau : Nghiên cứu lý luận : Tơi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu tốn học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, các sách giáo khoa và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. Điều tra thực tế. Trị chuyện, phỏng vấn. Thống kê tốn học. VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC : Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài tốn cực trị và học sinh sẽ hứng thú học tốn hơn. VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN : Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà dựa vào đĩ, học sinh cĩ thể hệ thống lại các kiến thức cĩ liên quan và cĩ thể giải được các bài tốn cực trị, kể cả các bài tốn trong thực tế. Đồng thời, luận văn này cịn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa tốn học và thực tiễn. VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : Lời cảm ơn. Mục lục. Phần mở đầu. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 3 Phần nội dung. A. Cơ sở lý luận. B. Một số bài tốn minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải tốn. D. Khảo sát thực tế. Phần kết luận. Hệ thống bài tập tham khảo. Phụ lục. Tài liệu tham khảo. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 4 PHẦN NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ LUẬN I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D M = max f(x) ∈ hay x D M = max y ∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 1 1 x D :f(x) M x D:f(x ) = M ∀ ∈ ≤⎧⎨∃ ∈⎩ * Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D m = min f(x)∈ hay x Dm = min y∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 2 2 x D:f(x) m x D: f(x ) = m ∀ ∈ ≥⎧⎨∃ ∈⎩ II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng ta cĩ thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, tơi xin trình bày bảy phương pháp chính như sau : 1. Phương pháp đạo hàm : * Cơ sở của phương pháp này : chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc biệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả. * Bài tốn: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. * Cách giải : - Tính y′ . Cho y′= 0, tìm các nghiệm 1 2 nx , x , ..., x D∈ . - Lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. * Nếu f(x) cĩ tập xác định D = [a; b] thì khơng cần lập bảng biến thiên : - Tìm các điểm tới hạn 1 2 nx , x , ... , x của f(x) trên [a; b]. - Tính 1 2 nf(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x ) . - Kết luận : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 5 • }{ 1 2 nx [a;b]max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . • }{ 1 2 nx [a;b]min f(x) = min f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . * Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Hàm f tăng (giảm) trên (a; b) nếu ' 'f (x) 0 ( f (x) 0 ) ≥ ≤ với mọi x thuộc đoạn [a; b] ( dấu “ = ” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn [a; b] ). - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(a) ∈ = và x Dmax f(x) f(b) ∈ = . - Nếu f(x) giảm trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(b)∈ = và x Dmax f(x) f(a) ∈ = . Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y x 18 2x= − − . Giải Tập xác định : D = [ 3; 3]− . Ta cĩ: 2 2 2 18 2x 2x4xy ' 1 2 18 2x 18 2x − +−= − =− − . 2 2y ' 0 18 2x 2x 0 18 2x = 2x= ⇔ − + = ⇔ − − 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 3x 3 18 2x 4x x 3 x 3 ≤⎧≤ ≤ ⎪⎧ ⎧ ⎡⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −=⎨ ⎨ ⎨− = = ⎢⎩ ⎩ ⎪ = −⎢⎣⎩ . Ta cĩ : x = −3 thì y = − 3. x = 3 thì y = 3. x = 3− thì y = 3 3− . Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y là −3 3 , đạt được khi −x = 3 . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 x + 1y = x x 1+ + . Giải Tập xác định: D = . Ta cĩ : 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) (2 1)( 1) x 2y' = = (x 1) (x 1) x = 0 y' = 0 x 2x = 0 x = 2 x x x x x x + + − + + − − + + + + ⎡⇔ − − ⇔ ⎢ −⎣ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 6 10 1 3 − 0 −2 +∞ −∞ x y ' y 0 0 − + − 0 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta được: • Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0. • Giá trị nhỏ nhất của y là 1 3 − , đạt được khi x = −2. LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Dùng phương pháp đạo hàm cĩ thể giải hầu hết các bài tập dạng này. 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức : 2.1. Bất đẳng thức Cauchy : Với ia 0 ≥ với mọi i = 1, 2, … , n ta cĩ : n 1 2 n 1 2 na + a + ... + a n a a ...a≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi = =1 2 na a ... = a . * Nếu 1 2 na a ...a = P khơng đổi thì 1 2 na + a +...+ a = S đạt giá trị nhỏ nhất là nn P khi và chỉ khi n1 2 na a ... = a P= = = . * Nếu 1 2 na + a + ... + a = S khơng đổi thì 1 2 na a ... a = P đạt giá trị lớn nhất là nS n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ khi và chỉ khi 1 2 n Sa a ...=a n = = = . Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của x 1 2 xy = 3 3+ −+ . Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số khơng âm x+13 và 2 x3 − , ta được : x 1 2 x x 1 2 x 3y = 3 3 2 3 . 3 2 3 6 3+ − + −+ ≥ = = . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 x 1 3 3 x 1 2 x x 2 + −= ⇔ + = − ⇔ = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi 1x 2 = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 7 LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện các ia phải khơng âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, cĩ khi phải biến đổi một số bước mới cĩ thể áp dụng trực tiếp. 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski : Với i ia , b (i 1, ... , n)∈ ≥ : 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b ... a b a a ... a . b b ... b+ + + ≤ + + + + + + . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 1 2 n a a a ... b b b = = = . LƯU Ý: Khi dùng bất đẳng thức Bunhiacopski thì cĩ lúc ta chỉ cĩ thể tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A 2x 3y= + biết 2 22x 3y 5+ ≤ . Giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 222A 2x 3y 2. 2 x 3. 3 y 2 3 x 2 y 3= + = + ≤ + + ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ). hay ( )2 2 2A (2 3) 2x 3y 5.5 25≤ + + ≤ = . 2 2 2 2 2 x 2 y 3 x y x y 1 A 25 2 3 x y 12x 3y 5 2x 3y 5 ⎧ = = == ⎧ ⎡⎪= ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎢ = = −+ = ⎣⎩⎪ + =⎩ . Do 2A 25≤ nên 5 A 5− ≤ ≤ . Vậy : min A 5 x y 1= − ⇔ = = − . max A 5 x y 1= ⇔ = = . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1A 1 x x = +− với 0 x 1< < . Giải : Ta cĩ : ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1A . 1 x x1 x x 1 x x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥= + = + − + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1. 1 x . x 1 x x ⎛ ⎞≥ − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ). hay ( )2A 2 1 A 3 2 2≥ + ⇒ ≥ + . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 8 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ( ) 2 2 2 2 2 1 2 11 x x 2x (1 x) 1 x x x1 x − = ⇔ = ⇔ = −− − 2 1x x⇔ = − (vì 0 x 1< < ) ( )x 2 1 1 x 2 1⇔ + = ⇔ = − . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 2+ khi và chỉ khi x 2 1= − . 2.3. Các bất đẳng thức lượng giác : * sin u(x) 1≤ với mọi x D∈ . * cos u(x) 1≤ với mọi x D∈ . ( trong đĩ D là tập xác định của u(x) ) * sin u(x) + cos u(x) 2≤ . 2 2 2 tan x 2 tan x* sin 2x 1 1 tan x 1 tan x = ⇒ ≤+ + . 2 2 2 2 1 tan x 1 tan x* cos 2x = 1 1 tan x 1 tan x − −⇒ ≤+ + . Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x . Giải Với mọi x , ∈ ta cĩ : 20 sin x 1 sin x sin x≤ ≤ ⇒ ≤ . và 20 cos x 1 cos x cos x≤ ≤ ⇒ ≤ . Do đĩ : 2 2y = sin x + cos x sin x + cos x = 1≥ . Dấu “ = ” xảy ra khi ⎧ = =⎧ ⎧ =⎪ ⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= == ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ 2 2 sin x sin x sin x 0 sin x 1 cosx 1 cos x 0cos x cosx ⎡ π⇔ ⇔ = ∈⎢⎣ sin x = 0 x k (k ) cos x = 0 2 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi k ( ) 2 x kπ= ∈ . Xét ( )22y sin x cosx 1 2 sin x . cosx 1 sin 2x 2= + = + = + ≤ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 1 x n (n ) 4 2 π π= ⇔ = + ∈ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 9 Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi x n (n Z) 4 2 π π= + ∈ . 2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản : (1) a 0. (2) a b a b . (3) a b a b . ≥ + ≤ + − ≤ − Ở (1) : Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ≥ab 0 . LƯU Ý : Dạng (2), (3) cần sử dụng thêm tính chất = −a a ; ≤a a ; a a− ≤ . Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + − . Giải Xét f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + − . và 1 f (x) x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 4= − + − = − + − + ≥ − − + = . 2 f (x) x 3 x 7 x 3 x 7 x 3 x 7 4= − + − = − + − + ≥ − − + = . Do đĩ : 1 2 f (x) f (x) f (x) 4 4 8= + ≥ + = . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi (x 1).(5 x) 0 1 x 5 3 x 5 (x 3).(7 x) 0 3 x 7 − − ≥ ≤ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨− − ≥ ≤ ≤⎩ ⎩ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi ∈x [3; 5]. 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số : ™ Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) cĩ miền xác định D. Khi đĩ hàm số cĩ miền giá trị : { }f (D) y / y f (x), x D= ∈ = ∈ . ™ Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình 0y f (x)= cĩ nghiệm ( với 0y là một giá trị tùy ý của hàm số y f (x)= trên tập xác định D ). Sau đĩ, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng sau : 1. Nếu 0y M≤ thì x Dmax f (x) M∈ = . 2. Nếu 0 m y ≥ thì x Dmin f (x) m∈ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 10 3. Nếu 0m y M≤ ≤ thì x Dmax f(x) M∈ = và x Dmin f (x) m∈ = . LƯU Ý : Phương trình ( )2ax +bx + c = 0 a 0≠ cĩ nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 . Phương trình asin x + b cos x = c cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2a b c+ ≥ . Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2x x 1y x x 1 + −= − + . Giải : Tập xác định : D = ( do 2 2 1 3 x x 1 x 2 4 ⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ > 0 với mọi x∈ ). Gọi 0 y là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đĩ, cĩ x∈ sao cho phương trình 2 0 2 2x x 1y x x 1 + −= − + cĩ nghiệm. hay phương trình 20 0 0(2 y )x (1 y )x 1 y 0 (1)− + + − − = cĩ nghiệm x. 0y 2 := (1) trở thành 3 3 0 1x x− = ⇔ = . Do đĩ nhận 0 2y = . (*) 0y 2 :≠ (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi 20 0 0(1 y ) 4(2 y )(1 y ) 0+ + − + ≥ 2 0 0 0 9 6y 3y 0 1 y 3. ⇔ + − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Do đĩ, với 0 0y [ 1;3](y 2),∈ − ≠ phương trình (1) cĩ nghiệm. (**) Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi 0y [ 1;3]∈ − . Vậy min y = – 1 và max y = 3. 4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn : Ta biến đổi đưa về các biểu thức cĩ số mũ chẵn dạng : (1) 2k 2lM = m + A + B ( k, l ,+∈ m là hằng số ). Khi đĩ : M m≥ . Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là m khi và chỉ khi A = 0 B = 0 ⎧⎨⎩ . (2) 2k 2l +M = m A B ( k, l ,− − ∈ m là hằng số ). Khi đĩ : M m≤ . Vậy M đạt giá trị lớn nhất là m khi và chỉ khi A = 0 B = 0 ⎧⎨⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 11 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y− − + + + với x, y∈ . Giải : Ta cĩ : 2 2A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y− − + + + 2 2 2 24 ( x y 2xy) (4x 8x) (y 2y)= − + − − − − − 2 2 2 = 9 (x y) 4(x 1) (y 1) 9− − − − − − ≤ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x y 0 x 1 x y 1 y 1 − =⎧⎪ = ⇔ = =⎨⎪ =⎩ . Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x = y = 1. Ví dụ 2: Cho 2 số x, y thỏa mãn 2 2 2 18 4 4 x y x + + = . Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : Ta cĩ : ( )2 2 2 2 22 21 18x y 4 4x 2 4x y 4xy 4xy 2 04x 4x⎛ ⎞+ + = ⇔ + − + + + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )2 21 14xy 2x 2x y 2 2 xy 2x 2 ⎛ ⎞⇔ = − + + − ≥ − ⇔ ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 12x x x 2x 2 2 2x y y 1 y 1 ⎧ ⎧ ⎧= = = −⎪ ⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪− = = − =⎩ ⎩ ⎩ Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là 1 2 − , đạt được khi và chỉ khi ( ) 1x, y ; 1 2 ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ hoặc ( ) 1x, y ;1 2 ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm : ™ Hàm lồi : - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D . f(x) gọi là lồi với mọi 1 21 2 1 2 x xx D x , x D : f (x ) f (x ) 2f 2 +⎛ ⎞∈ ⇔∀ ∈ + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . - Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lồi với mọi x D∈ là: y" f "(x) 0= > với mọi x∈D. - Tính chất : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 12 1 2 n 1 2 n 1 2 n x x ... xx , x ,..., x D, f (x ) f (x ) ... f (x ) nf n + + +⎛ ⎞∀ ∈ + + + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Nếu 1 2 nx x ... xnf m n + + +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ (hằng số) thì tổng 1 2 nS f (x ) f (x ) ... f (x )= + + + cĩ giá trị nhỏ nhất là m, đạt được khi 1 2 nx x ... x= = = . ™ Hàm lõm : - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D . f(x) gọi là lõm với mọi 1 21 2 1 2 x xx D x , x D:f (x ) f (x ) 2f 2 +⎛ ⎞∈ ⇔ ∀ ∈ + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . - Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi Dx∈ là: y" f "(x) 0= < với mọi x∈D. - Tính chất : 1 2 n 1 2 n 1 2 n x x ... xx , x ,..., x D, f (x ) f (x ) ... f (x ) nf n + + +⎛ ⎞∀ ∈ + + + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Nếu 1 2 nx x ... xnf M n + + +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( hằng số ) thì tổng 1 2 nS f (x ) f (x ) ... f (x )= + + + cĩ giá trị lớn nhất là M, đạt được khi 1 2 nx x ... x= = = . Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen. ™ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và n điểm 1 2 nx , x , ...,x tùy ý trên [a; b], các số thực khơng âm 1 2 n, , ..., (n 2)λ λ λ ≥ sao cho 1 2+ + ...+ =1.nλ λ λ Nếu f "(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì : ( )1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf(x ) + f(x ) +... + f(x ) f x + x +... + xλ λ λ ≥ λ λ λ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2x ... nx x= = = . Nếu f "(x) < 0 trong khoảng (a; b) thì : ( )1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf(x ) + f(x ) + ... + f(x ) f x + x +...+ xλ λ λ ≤ λ λ λ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 nx x ... x= = = . Khi giải tốn ta cũng cĩ thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này. Ví dụ : Cho tam giác ABC là tam giác nhọn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = tan A + tan B + tan C. Giải Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 13 Xét hàm số : f(x) = tan x , x 0; . 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta cĩ : 2 1f '(x) cos x = . 4 3 2cos x. sin x 2sin xf "(x) = 0 cos x cos x = > với mọi x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đĩ f(x) là hàm lồi trên x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra : A + B +Cf(A) + f(B) + f(C) 3f 3 ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . hay A + B + Ctan A + tan B + tan C 3tan 3tan 3 3 3 3 π⎛ ⎞≥ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A = B = C = 3 π . Vậy min M = 3 3 khi A = B = C = ( ABC 3 π ∆ đều ). 6. Phương pháp tọa độ - vectơ: Cho hai vectơ 1 2a (a ,a )= r và 1 2b (b , b )= r . Ta cĩ các bất đẳng thức sau : (1) a. b a . b≤r r r r . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 1a b a b 0− = . (2) a b a b+ ≤ +r r r r . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , bur ur cùng hướng hay 1 2 2 1 1 1 2 2 a b a b 0 a b 0 a b 0 − =⎧⎪ ≥⎡⎨ ⎢⎪ ≥⎣⎩ . Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 2 2A = cos x cos y sin x sin y+ + + với mọi x, y∈ . Giải : Xét các vectơ : 2 2 2 2a (cos x ;cos y), b (sin x ;0), c (0;sin y)= = =r r r . a b c (1;1)+ ._.