Các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất–giá trị nhỏ nhất

nên đi theo những đoạn đường nào thì sẽ là nhanh nhất ? Tất cả những bài toán thực tế đó được toán học gọi là bài toán tối ưu, mà bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (hay còn gọi là bài toán cực trị) ở phổ thông chỉ là dạng sơ cấp nhất. Chính sự kết hợp giữa thực tế và toán học đã làm cho bài toán tìm giá trị lớn nhất–giá trị nhỏ nhất trở thành một vấn đề hay, hấp dẫn và được sự quan tâm nhiều ở các kỳ thi từ phổ thông đến thi tuyển sinh vào các trường đại học–cao đẳng cho tới các kỳ thi học sinh giỏi. Bài toán tìm giá trị lớn nhất –giá trị nhỏ nhất thường phong phú, đa dạng nên việc giải chúng đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách hợp lý đôi khi độc đáo và bất ngờ.Do vậy ,việc giải bài toán giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất giúp học sinh củng cố và đào sâu kiến thức về:biến đổi đồng nhất,tam thức bậc hai,miền giá trị,bất đẳng thức,lượng giác, đạo hàm,đồng thời giúp học sinh rèn luyện được nhiều hình thức tư duy:tư duy thuật toán,tư duy lôgic,tính linh hoạt,óc thông minh sáng tạo. Tuy vậy, trong chương trình phổ thông vấn đề này không được trình bày theo một hệ thống hoàn chỉnh. Học sinh chưa được nghiên cứu sâu sắc về định nghĩa cũng như các phương pháp để giải bài toán này. Vì vậy, để học sinh có được một hệ thống các phương pháp cơ bản để giải bài toán đồng thời mang lại cho học sinh khả năng tự hình thành kinh nghiệm giải toán và củng cố kỹ năng giải toán, tôi đã chọn đề tài “Các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất–giá trị nhỏ nhất ” để làm khoá luận tốt nghiệp. II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu. Trình bày khái quát về khái niệm, các tính chất cơ bản của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Hệ thống các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Tìm hiểu các vấn đề có liên quan đến bài toán. III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. Đối tượng : Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đại số. Phạm vi : Chương trình đại số trong toán học ở trường phổ thông trung học. IV. Phương pháp nghiên cứu. -Sưu tầm nghiên cứu, tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến đề tài. -Tìm hiểu về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở chương trình toán phổ thông. -Tham khảo các khoá luận tốt nghiệp có liên quan tới đề tài. -Trao đổi với thầy giáo hướng dẫn về kiến thức, phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu. V. Cấu trúc khoá luận. 1. Phần mở đầu. 2. Chương I : Cơ sở lý thuyết của phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Các vấn đề có liên quan. 3. Chương II : Các phương pháp giải bài toán giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất . 4.chương III:ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất trong lượng giác. 5. Kết luận . 6. Tài liệu tham khảo. Chương I : cơ sở lý thuyết của phương pháp tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất và Các vấn đề có liên quan I. Vấn đề cực trị và bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 1.Vị trí và tầm quan trọng của hàm số và cực trị: Trong chương trình toán ở phổ thông, khái niệm hàm số là khái niệm cơ bản giữ vị trí trung tâm. nói như nhà toán học khinsin thì không có một khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm. Vì vậy việc đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số cũng rất được coi trọng “Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt bậc phổ thông trung học”.( Dự thảo chương trình môn toán ở trường phổ thông năm 1989). Giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở phổ thông, hàm số được tìm hiểu với nhiều nội dung, nhiều vấn đề. Những nội dung cơ bản của hàm số mà học sinh cần nghiên cứu,nắm vững đó là: -Khái niệm hàm số -Tính đơn điệu của hàm số -Đạo hàm. -Cực trị của hàm số. -Tính lồi, lõm, điểm uốn. -Tiệm cận của đồ thị hàm số -Tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị. -Khảo sát hàm số. Mỗi nội dung đó đều cần phải tìm hiểu nghiên cứu một cách sâu sắc bởi nó có ý nghĩa khoa học, ý nghĩa thực tiễn và sự liên quan với nhiều ngành khoa học khác. Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, tôi chỉ đi sâu về nội dung cực trị , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đó là một nội dung quan trọng mà xét trên phạm vi rộng thì cực trị có thể xem như một vấn đề lớn của toán học, nó có liên quan đến vật lý học, hoá học, kinh tế học, quân sự… Ngày nay, trong xu thế của toán học hiện đại, cực trị được coi như một hướng phát triển mạnh. Trong phụ lục của “cuốn một số vấn đề về triết học cơ sở toán học” Giáo sư Hoàng Tuỵ có nói “ Những ngành liên quan đến 3 hướng chính: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những nét phát triển nhất của toán học hiện đại”(trang 192). Trong phạm vi hẹp là chương trình toán ở phổ thông, vấn đề cực trị, giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất , cũng có vai trò nhất định. Việc giải bài toán cực trị giúp học sinh ôn tập nhiều kiến thức đã học đồng thời rèn luyện khả năng sáng tạo tư duy độc đáo. 2.Cực trị hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và điểm x0 (a,b) - Điểm x0 được coi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu với= V(d), (d > 0) ,V(d)(a,b) ta có: f(x) < f(x0) (x x0) Khi đó ta nói hàm số đạt cực đại tại x0 , f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Tương tự như khái niệm trên ta cũng có khái niệm cực tiểu; giá trị cực tiểu của hàm số. Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị và giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi là cực trị của hàm số đã cho . Bài toán đặt ra là : cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đó hãy tìm và . Với bài toán này, học sinh có thể giải theo quy tắc sau: 1)Tìm các điểm tới hạn x1, x2,... xn 2)Tính f(x1), f(x2),…, f(xn) và f(a), f(b) 3)= max {f(x1),f(x2),…,f(xn),f(a),f(b)] 4)= min{f(x1),f(x2),…,f(xn),f(a),f(b)] Vì khái niệm cực trị của hàm số là một khái niệm mang tính chất địa phương nên một hàm số có thể có nhiều cực trị đồng thời có thể có những trường hợp giá trị cực tiểu lớn hơn giá trị cực đại của hàm số II. Cơ sở lý thuyết của phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . 1. Bài toán thực tế. Trong thực tế đời sống hàng ngày có rất nhiều bài toán mà ta có thể mô hình dưới dạng bài toán tối ưu : Đó là đưa về tìm giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất ) của một biểu thức chứa biến mà các biến phải thoả mãn một hệ điều kiện nào đó. Một ví dụ tiêu biểu trong kinh tế đó là bài toán lập kế hoạch sản xuất: Một xí nghiệp sản xuất ra hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số lượng dự trữ của từng loại nguyên liệu để sản xuất ra một sản phẩm được cho trong bảng sau: Loại nguyên liệu Dự trữ Số lượng đơn vị nguyên liệu cần dùng sản xuất một sản phẩm A B I 8 2 1 II 24 0 6 III 12 4 0 Biết sản phẩm A lãi 3 triệu đồng, sản phẩm B lãi 5 triệu đồng. Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số lãi thu được là nhiều nhất. Ta xây dựng mô hình toán học của bài toán : Gọi x, y là số sản phẩm loại A, B sản xuất . Khi đó, tiền lãi thu được z=3.x+5.y Bài toán trở về tìm x, y để z đạt giá trị lớn nhất với hệ điều kiện ràng buộc là: 2.x + y Ê 8 6.y Ê 24 4.x Ê 12 Tương tự như bài toán lập kế hoạch sản xuất thì bài toán như: Làm thế nào để xây dựng được một mạng lưới đường đi ngắn nhất nối liền các xã trong một huyện để giảm được chi phí xây dựng. Trong nông nghiệp, phải kiến thiết một hệ thống kênh dẫn nước phục vụ cho tưới tiêu vừa thoả mãn nhu cầu đồng ruộng vừa phải tính sao cho phí tổn bỏ ra là nhỏ nhất.… Tất cả các bài toán đó đều được mô hình hoá thành các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến với các biến có điều kiện. ở dạng thông thường, nó được phát biểu giống như giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số một biến. 2.Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau: + f(x) Ê M + Tồn tại x0ẻD sao cho f(x0) = M Khi đó ta kí hiệu : M = f(x) Hoặc ký hiệu đơn giản là : M = f(x) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau : + f(x) ³ m + Tồn tại x0 ẻ D sao cho f(x0) =m khi đó ta cũng kí hiệu : m = f(x) (Hoặc m = f(x)) * Đối với hàm nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự Cho hàm số f(x), có miền xác định W è Rn với x =(x1, x2,…,xn) M f: W đ R Giá trị M(m) gọi là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của f trên miền W nếu 1.f(x) M, x W. (f(x)m,xW) 2. x0 W : f(x0) =M ( x0W : f(x0)=m ) Chú ý: ở đây miền xác định W là miền x= (x1,..,xn) W đều thoả mãn hệ điều kiện (yêu cầu ràng buộc ). 3. Một số các tính chất của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . ở mục này, ta chỉ xét các tính chất cơ bản của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đây là những tính chất hay sử dụng và được coi là cơ sở cho phương pháp giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Tính chất 1: giả sử A è B. Khi đó: i) f(x) f(x). ii) f(x) f(x). Tính chất 2: giả sử D = D1 D2 . Khi đó ta có: i) f(x) =max{f(x), f(x) } ii) f(x) =min {f(x), f(x) } Từ tính chất trên ta thấy có những trường hợp ta phải tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên tập hợp D phức tạp, ta có thể đưa về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên các tập D1, D2 đơn giản hơn. Tính chất 2 cũng có thể phát biểu ở dạng tổng quát: nếu D = D1 D2.. Dn. thì : i) f(x) = max{f(x), f(x),.., f(x),} ii) f(x) = min{f(x), f(x),.., f(x),} Tính chất 3: f,g là 2 hàm số xác định trên D i) (f(x) + g(x)) f(x) + g(x) (1) ii) (f(x) + g(x)) f(x) + g(x) (2) Đẳng thức (1) xẩy ra khi tồn tại ít nhất 1 điểm x0 sao cho f(x) và g(x) cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự đẳng thức (2) xẩy ra khi tồn tại ít nhất 1 điểm x0 sao cho f(x) và g(x) cùng đạt giá trị nhỏ nhất. Từ tính chất 3 ta thấy rằng: nói chung giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một tổng các hàm số không bằng các giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của từng hàm số, nó chỉ bằng khi các giá trị hàm số cùng đạt giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) tại ít nhất 1 điểm chung. Do vậy ta chú ý điều này khi thay thế việc tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một hàm số bằng nhiều hàm số đơn giản hơn. Tính chất 4: f(x) = - (-f(x)) Tính chất 5: Nếu f(x) > 0 x ; f(x) = f(x) = Tính chất 5 cho phép ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức không âm f(x) thông qua biểu thức f2(x). Điều này rất quan trọng khi giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn, một số bài mà khi ta bình phương biểu thức f(x) mới xuất hiện các yếu tố để đặt ẩn phụ. Tính chất 6: M = f(x), m = f(x) = max Tính chất7: Giả sử D1 = D2 = = min III. Các vấn đề có liên quan đến việc giải bài toán giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất. 1. Những kiến thức liên quan Như chúng ta đã biết bài toán cực trị có trong cả đại số, hình học và lượng giác.Do vậy việc giải bài toán cực trị có liên quan đến rất nhiều kiến thức khác nhau, ở đây tôi chỉ đề cập đến những kiến thức cơ bản, những kiến thức làm nền tảng cơ sở cho các phương pháp giải. -Các phép biến đổi tương đương trong đại số và lượng giác. -Tính chất của luỹ thừa với số mũ chẵn và tích của 2 biểu thức cùng dấu A2k A.B với A,B cùng dấu -Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số -Các bất đẳng thức quan trọng, đặc biệt là bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpski Bất đẳng thức Cauchy: Nếu a1, a2,… an là các số không âm Ta có Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: nếu a1, a2,… an và b1, b2,… bn là 2n số tuỳ ý ta có: (a12+ a22+…+ an2)(b12+ b22 +…+ bn2) (a1.b1+ a2.b2+…+ an.bn)2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi . -Tính chất của giá trị tuyệt đối + - với x,y -Định lý về dấu của tam thức bậc hai: Định lý thuận : Cho tam thức f(x) =ax2+bx +c (a0) và =b2 – 4ac. Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, x R. Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, x. Nếu >0 thì f(x) có hai nghiệm x1và x2 (x1< x2) và f(x) cùng dấu với hệ số a với x ngoài đoạn [x1;x2] và f(x) trái dấu với a khi x (x1; x2). Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx +c (a0) và một số thực . Nếu af() < 0 thì tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 (x1<x2) và x1<<x2 . -Khái niệm miền giá trị hàm số: Cho hàm số f: D R x y= f(x). Khi đó miền giá trị của hàm số f(x)(kí hiệu là Tf) : Tf ={ y R|x D: y=f(x) } Vậy tập giá trị (miền giá trị) của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm đối với x -Khái niệm đạo hàm, tính liên tục của hàm số. -Tính chất về đường gấp khúc: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A,B cho trước thì đường thẳng nối AB là đường có độ dài nhỏ nhất. * Trong 1 tam giác độ dài tổng 2 cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh thứ 3. * Tổng quát: cho n điểm A1, A2,…An. A1 A2 + A2 A3 + …+ An-1 An A1 An. * Cho điểm M và 1 đường thẳng d cho trước khi đó độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống cùng đường thẳng ấy. - Tính chất của hàm số lượng giác, các phép biến đổi lượng giác: Sin2x + Cos2x = 1 - Tính chất hàm lồi : y = f(x) là hàm lồi trên [a,b] ,x2 và , ta có: f() Đặc biệt ta có Bất đẳng thức Jensen: Cho f(x) là lồi trên đoạn [a,b] giả sử x1, x2 … xn thuộc [a,b] và Khi đó ta có : f() Việc tìm một phương pháp chung để giải bài toán giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất là điều không thể. Mỗi bài toán với đặc thù của nó sẽ cung cấp cho ta một ý tưởng sáng tạo và cách vận dụng các kiến thức vào bài toán cũng rất linh hoạt, nhiều khi khá độc đáo. Ngoài những kiến thức đó, trong quá trình giải bài toán có thể cần tới những kiến thức khác của toán học mà tôi không thể trình bầy hết tất cả. 2. Những sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải khi tiến hành giải các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Đối với học sinh phổ thông, khi giải bài tập toán nói chung và bài toán cực trị nói riêng thường mắc phải những sai lầm như không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc … Vận dụng một các máy móc , không chú ý đến các điều kiện hạn chế phạm vi tác dụng của chúng, biến đổi ẩn số không đặt điều kiện cho ẩn mới… Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f(x) = (x2 + 1)2 +2 Một học sinh có lời giải như sau: Vì (x2 + 1)2 nên f(x) . Vậy minf(x) = 2. ở đây kết luận min f(x) =2 là sai lầm do không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số ở định nghĩa có 2 điều kiện học sinh đó đã không kiểm tra điều kiện thứ 2: bài này không tồn tại x0 thuộc tập xác định của hàm số để f(x0)=2. Ví dụ 2: cho x,y > 0 và x +y =1 tìm giá trị nhỏ nhất của T = xy + Có một học sinh làm như sau: Vì x, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương ta được T = xy + vậy min T = 2. ở đây học sinh mắc phải sai lầm không kiểm tra điều kiện xẩy ra dấu đẳng thức của bất đẳng thức cauchy vì dấu đẳng thức xẩy ra khi xy = x2y2 = 1 xy =1 x(1- x) = 1 x2 – x +1 = 0 vô nghiệm Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của y = sin3x + 14cos3x. Học sinh đã làm như sau: Vì sin3x 1 ; Cos3x 1 suy ra y Vậy max y =15. Sai lầm ở đây là không tồn tại x0 để f(x0) =15 dấu “=” không đồng thời xẩy ra ở 2 bất đẳng thức. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = (x2 + 4)2 – 16x2 – 19 Học sinh đã giải bài toán như sau: y = (x2 + 4)2 - 6.(x2 + 4)2 +5 Đặt t = x2 + 4 suy ra y = t2 – 6t + 5 do f(t) = t2 – 6t + 5 là một parabol lõm nên f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh S(3, - 4) khi t = 3 Sai lầm của học sinh mắc phải ở đây chính là chỗ khi đặt ẩn mới t = x2 + 4 phải có điều kiện t Do không có điều kiện ở ẩn mới nên bài toán ban đầu đã chuyển thành bài toán mới không tương đương : giá trị nhỏ nhất của y = (x2 + 4)2 – 16x2 – 19 khác giá trị nhỏ nhất của f(t) = t2 – 6t + 5 với t . Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x3 + 3x2 – 4 trên đoạn [- 4, 2]. Học sinh giải bài toán như sau: y’ = 3x2 + 6x ị y’ = 0 y’ > 0 y’ < 0 Xét bảng biến thiên: x -4 -2 0 2 y + 0 - + y 00 0 0 -4 Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [- 4, 2] là 0 giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 4, 2] là - 4. Trong ví dụ này sai lầm của học sinh là nhầm lẫn giữa giá trị lớn nhất của hàm số với cực đại, giá trị nhỏ nhất của hàm số với cực tiểu. ở đây 0 và -4 chỉ là cực đại và cực tiểu của hàm số chứ không phải là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 4, 2]. Các ví dụ kể trên là những sai lầm thưòng gặp của học sinh khi giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Để giúp học sinh có thể hiểu sâu sắc về định nghĩa cũng như các phương pháp giải bài toán, khắc phục được các sai lầm đó và thành thạo khi giải bài tập, chương tiếp theo của khoá luận tôi sẽ trình bầy một số phương pháp giải bài toán này. Chương ii:các phương pháp giải bài toán giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất i-phương pháp nhóm so sánh. Đối với phương pháp này, để tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa biểu thức đã cho về các dạng sau: P = A2 + k ³ k P = -B2 + l Ê l P = A2+ B2 + m ³ m P = AB2 + n ³ n với A ³ 0 P = AB ³ k.l với A ³ k > 0, B ³ l > 0 với điều kiện dấu đẳng thức xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra ta có thể sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số như sau: m ³ n , a > 1 ị am ³ an m ³ n , 0 < a < 1 ị am Ê an A ³ B > 0, a > 0 ị Aa ³ Ba A ³ B > 0, a < 0 ị Aa Ê Ba Ví dụ 1: Cho x, y ẻ R thoả mãn: x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2, B = x4 + y4 Giải: Ta có A = x2 + y2 = = +2 ³ 2 Dấu “=” xảy ra Û x – y = 0, kết hợp với điều kiện x + y =2 ị x = y = 1. Vậy min A = 2 khi x = y = 1. Từ kết quả trên ta có: B = ³ ³ 2 Dấu “=” xảy ra Û Û x = y =1 Vậy Min B = 2 khi x = y =1 Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có thể khái quát lên thành bài toán tổng quát như sau: Cho x, y ẻ R, thoả mãn điều kiện x + y =2. Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x2n + y2n với n ẻ N, n ạ 0. Ví dụ 2: Cho a > 0. Tìm a để biểu thức M = đạt giá trị lớn nhất. Giải: Vì a > 0 nên M = > 0. Do vậy M đạt max Û đạt min. Ta có: = = = = + 8000 ³ 8000. Do đó ³ 8000. Dấu “=” xảy ra Û a = 2000. Vậy min = 8000 khi a = 2000, Max M = khi a = 2000. Ví dụ 3: Cho dãy n số thực a1, a2, ..., an thoả mãn: a1 = 0, ,..., . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= Giải: Ta thêm vào dãy số số hạng an+1 với . Ta có: = 0, + 2a1 + 1 = + 2a2 + 1 ............................................ = + 2an-1 + 1 = +2an + 1 Từ đó ị + n Do đó: 2 (a1 + a2 + .... + an) = -n + ³ -n Û A ³ - Dấu “=” xảy ra khi an+1 = 0 ị an = -1 ị an-1 = 0 Hoặc an-1 = -2, ...., a3 = 0 Vậy min A = - Ví dụ 4: Cho x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = xy + yz + zx Giải: Ta có ³ 0 ị x2 + y2 + z2 + 2 (xy + yz + zx) ³ 0 Û 1 + 2T ³ 0 ị T ³ - Dấu “=” xảy ra khi x + y + z = 0 Khi x = 0, y = , z = - Hoặc x = , y = 0, z = - Hoặc x = , y = - , z = 0 Hoặc x = 0, y = - , z = Hoặc x = -, y = 0, z = Hoặc x = -, y = , z = 0 Chú ý: ở ví dụ này, khi xét điều kiện xảy ra dấu “=”, ta phải xét hết các trường hợp. Đôi khi học sinh thường mắc phải sai lầm khi biện luận, như ở ví dụ này có thể có học sinh làm như sau: T = - khi Û x = 0, y= , z = - Kết luận như vậy là vội vàng do không nhận thấy vai trò bình đẳng của x, y, z nên đã xét thiếu trường hợp. Ví dụ 5: Cho x, y, z ẻ [0, 1]. Tìm giá trị lớn nhất của: Q = 2 (x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) Giải: Với x, y, z ẻ [0, 1] ta có: (1 - x)(1 – y2) + (1 - y)(1 – z2) + (1- z)(1 – x2) ³ 0 (1) 1 – x – y2 + xy2 +1 – y – z2 + yz2 + 1 – z – x2 +zx2 ³ 0 3 ³ (x + y + z) + (x 2 + y2 + z2) – (xy2 + yz2 + zx2) 3 ³ 2(x3 + y3 + z3) - (x2y + y2z + z2x) (2) Vì x3 Ê x2 Ê x, y3 Ê y2 Ê y, z3 Ê z2 Ê z. Nên dấu “=” ở đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi: và (1 - x)(1 – y2) = (1 - y)(1 – z2) = (1 – z)(1 – x2) = 0 khi x = y = z = 1 hoặc 2 số trong x, y, z bằng 1 và một số bằng 0. Vậy maxQ = 3 Nhận xét: ở ví dụ 5, ta đã sử dụng so sánh bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) nên dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở cả 2 bất đẳng thức (1) và (2). ii-phương pháp sử dụng các bất đẳng thức. 1.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Từ bất đẳng thức Cauchy ta áp dụng vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức như sau: Cho n số dương a1, a2,..., an mà tích P = a1a2...an không đổi thì tổng S = a1 + a2 + .... + an đạt được giá trị nhỏ nhất là n Û a1 = a2 = ... = an Thật vậy: theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a1 + a2 + .... + an ³ n Û S ³ n Dấu “=” xảy ra Û a1 = a2 = ... = an. Từ đó ta cũng có: nếu cho n số dương a1, a2,..., an có tổng S = a1 + a2 + .... + an không đổi thì tích P = a1a2...an đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an. 2.Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski. a) Bất đẳng thức Bunhiacopski được sử dụng trong trường hợp ta phải tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một biểu thức dạng (AC +BD) mà A2 + B2 = K2, C2 + D2 = L2 (K, L là hằng số dương). Khi đó ta có: với điều kiện Thật vậy: Û Ê K2L2 Û -KL Ê AC +BD Ê KL b) Bất đẳng thức Bunhiacopski còn được sử dụng trong trường hợp tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng: S = A2 +B2 mà aA + b B = P không đổi (với a, b là hằng số). Ta có: Ê (A2 + B2)(a2 + b2) Û A2 + B2 ³ = Û S ³ Dấu “=” xảy ra Û c) Trường hợp tổng quát hơn ta phải tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng S = (x1y1 + x2y2 +.....+ xnyn) mà: + + ... + = K2 và = L2 thì maxS = KL, minS = -KL với điều kiện: . Hoặc trường hợp tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + + ... + mà x1a1 + x2a2 +....+ xnan = m, (a1, a2,...,an:hằng số) thì minS = . Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x,y,z) = Giải: Ta có: f(x,y,z) = áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: Ê ị Ê ị ị ị f(x,y,z) Ê Dấu “=” xảy ra Û Û Vậy max f(x,y,z) = khi x=6, y=4, z=2. Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x,y,z) = Giải: Ta có: xy2z3 = .6x(3y)(3y)(2z)(2z)(2z) áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 6 số dương 6x, 3y, 3y, 2z, 2z, 2z ta được: xy2z3 Ê Û xy2z3 Ê Û ³ = Dấu “=” xảy ra Û 6x = 3y = 2z. Vậy min f(x,y,z) = khi x, y, z thoả 6x = 3y = 2z Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x,y) = x2y(4-x-y) khi x ³ 0, y ³ 0, x+y Ê 6 Giải: a)Tìm max f(x,y): Nếu x + y ³ 4 ị 4 – x – y Ê 0. Do x ³ 0, y ³ 0 nên: f(x,y) = x2y(4-x-y) Ê 0 Nếu x + y 0 f(x,y) = x2y(4-x-y) = 4 áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 4 số dương , , y và 4 – x – y ta được: f(x,y) Ê 4= 4 ị f(x,y) Ê 4 Đẳng thức xảy ra Û = y = 4 – x – y Û x = 2, y = 4 Vậy max f(x,y) = 4 b)Tìm min f(x,y): Ta có -f(x,y) = Nếu x + y Ê 4 thì f(x,y) ³ 0 Nếu 4 0. áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: -f(x,y) Ê 4Û -f(x,y) Ê 4 Do 4 < x + y Ê 6 ị -f(x,y) Ê 4= 64 ị f(x,y) ³ -64 Dấu “=” xảy ra Û = y = x + y – 4 Û x = 4, y = 2 Vậy min f(x,y) = -64 khi x = 4, y = 2 Nhận xét: ở ví dụ 3 ta đã sử dụng tính chất: D = D1ẩ D2 thì: với D1, D2 ở câu a là D1 = , D2 = và D1,D2 ở câu b là D1 = D2 = Từ đó ta thấy tuỳ theo dữ kiện bài toán mà ta có thể chia D thành từng miền D1, D2,..., Dn cho phù hợp. Đối với câu b, ta còn sử dụng tính chất: = - Ví dụ 4: Cho Tìm giá trị lớn nhất của P = a.b.c.d Giải: Từ giả thiết ta có: = (1-) + (1 - ) + (1 - ) (1 - ) = + + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: + + ³ 3 Û ³ 3 Tương tự: ³ 3 ³ 3 ³ 3 Nhân các bất đẳng thức trên ta có: Û abcd Ê . Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = d = Vậy maxP = Û a = b = c = d = Ta có bài toán tổng quát: Cho Tìm giá trị lớn nhất của Pn = a1a2...an Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: F(x) = Giải: Ta có TXĐ: D = R\ {0} F(x) = = = = ( +15)( +13) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ³ 2.6 = 12 ị f(x) ³ 27.25 =675 " x ẻ D Dấu “=” xảy ra Û Û x = ± 6 Vậy min f(x) = 675 khi x = ± 6 Nhận xét: Ví dụ 5 có thể giải bằng phương pháp khảo sát hàm số thông qua ẩn phụ t =, tuy nhiên các bước tính toán rất phức tạp. Đây là một trường hợp thể hiện tính ưu việt của phương pháp dùng bất đẳng thức so với phương pháp hàm số khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 (y- z) + y2(z-y) + z2(1-z), trên miền D = {(x,y,z): 0 Ê x Ê y Ê z Ê 1}. Giải Vì 0 Ê x Ê y Ê z ị x2 (y- z) Ê 0 (1) ị P Ê y2(z-y) + z2(1-z) = Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số y, y, 2z-2y ta được: P Ê + z2(1-z) (2) = + z2(1-z) = z2( +1-z) = z2(1- ) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ³ (3) ³ z2(1- ) Ê = P Ê Dấu “=” xảy ra Û Û Vậy maxP = Û x = 0, y= , z= Chú ý : ở ví dụ 6 này đẳng thức P = xảy ra khi đồng thời xảy ra cả 3 đẳng thức (1), (2), (3). Đối với những bài ta phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (hoặc các bất đẳng thức khác) nhiều lần thì giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) đạt được khi xảy ra đồng thời các đẳng thức đánh giá trong bài. Ví dụ 7: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = Giải: Đặt x = , y = , z = khi đó ị A = áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ³ 2 = x tương tự: ³ y ³ z A = ³ Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x+y+z ³ 3 = 3 ị A ³ ; A = Û Û x = y = z Û Û a = b = c = 1 Vậy minA = Û a = b = c = 1 Ta có bài toán tương tự: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = Ví dụ 8: Cho x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 12 = Ê (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2) = Ê (1 + 1 + 1) (x4 + y4 + z4) Û 3A ³ 1 Û A ³ Đẳng thức xảy ra Û Û x = y = z = ± Ví dụ 9: Cho Tìm giá trị lớn nhất của B = , C = Giải: +) Ta có: B2 = Ê (12 + 12 + 12) (x + y + z) (theo bất đẳng thức Bunhiacopski ) Û B2 Ê 3 ị B Ê Đẳng thức xảy Û x = y = z . Kết hợp với điều kiện xy + yz + zx = 1 ta được: x = y = z = ị Max B = khi x = y = z = +) Sử dụng kết quả bên trên và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: C2 = Ê 3 () Ê 3 ị C Ê Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = . Vậy MaxC = khi x = y = z = Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: F(x,y) = ax + by + c (với a2 + b2 ạ 0), trên miền xác định x, y thoả x2+y2= 1 Giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Ê (a2 +b2) (x2 + y2) = a2 +b2 Û -Ê ax + by Ê Û -Ê ax + by + c Ê +c Đẳng thức xảy ra Û Û Vậy max f(x,y) = c + tại min f(x,y) = c - tại Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + + a + b, trong đó a, b là 2 số thực dương thoả mãn điều kiện a + b < 1. Giải: Ta có P = ( + 1 + a) + ( + 1 + b) + - 2 = + + - 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( + + )((1 – a) + (1 - b) + a + b) ³ + + ³ ị P ³ - 2 = Đẳng thức xảy ra Û a = b = Vậy minP = khi a = b = Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có thể phát biểu tổng quát bài toán: Cho a1, a2,....., an > 0 với a1 + a2 .....+ an < 1. Hãy tìm giá trị của biểu thức: P = + a1 + a2 +...+ an Với lời giải tương tự như trên ta có: Min P = Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: F(x,y,z) = Xét trên miền: D = {(x,y,z,t): x,y,z,t ³ 0 và xy+yz+zt+tx=1} Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số: và , , , ta có: f(x,y,z,t)=[x(y+z+t)+ y(z+t+x) + z(t+x+y) + t(x+y+z)] ³ ị f(x,y,z,t) ³ (1) lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (x2 + y2 + z2 + t2) (1 + 1 + 1 + 1) ³ ị - (x2 + y2 + z2 + t2) Ê 3(x2 + y2 + z2 + t2) (2) Từ (1) và (2) ị f(x,y,z,t) ³ (x2 + y2 + z2 + t2) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 1 lần nữa ta có: Ê Vì ị f(x,y,z,t) ³ " (x,y,z) ẻ D Mặt khác f(, , ,) ³ và (, , ,) ẻ D ị Min f(x,y,z,t) = khi x = y = z = t = Ví dụ 13: Cho + + =1 Tìm giá trị lớn nhất của: T = Giải: Ta có T = = ị Ê (12 + 22 + 32) [+ + ] = 14 Û T Ê Dấu “=” xảy ra khi Û Vậy MaxT = Nhận xét chung: Việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp sử dụng các bất đẳng thức được vận dụng rất linh hoạt. Có những bài ta không chỉ vận dụng một bất đẳng thức một lần mà phải áp dụng nhiều lần một bất đẳng thức hoặc trong một bài ta có thể sử dụng các bất đẳng thức khác nhau bên cạnh những nhận xét rút ngắn lời giải. Do vậy, việc tách hoặc sắp xếp các cặp số, thêm bớt các nhân tử để thuận lợi trong ứng dụng bất đẳng thức là điều cần thiết. iii-phương pháp sử dụng tam thức bậc hai. Để tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của một hàm số có dạng: y = ax2 + bx + c, (a ạ 0) (hoặc một biểu thức mà có thể đưa về dạng trên) ta có thể khai thác tính chất của tam thức bậc hai và định lý về dấu của tam thức bậc hai. Đây cũng là một phương pháp hữu hiệu để vận dụng các tính chất và định lý của tam thức bậc hai. Sử dụng phương pháp này ta có các chú ý sau: -Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, a ạ 0. +Nếu phương trình có nghiệm thì ³ 0 +Nếu Ê 0 thì af(x) ³ 0 "x -Đồ thị y = ax2 + bx + c , a ạ 0 là một parabol với đỉnh S(-) -Nếu dùng ẩn phụ để đưa một hàm số (hoặc một biểu thức về dạng bậc hai thì phải chú ý điều kiện kèm theo) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = 19a2 + 54b2 + 16c2 +36ab – 16ac – 24bc Giải: Ta có thể coi T là một tam thức bậc hai, ẩn là a ta có: T = 19a2 + 2(18b – 8c)a + 54b2 +16c2 –24bc ị = = -720b2 + 168bc – 204c2 Ta lại coi là một tam thức bậc hai theo b: G(b) = = -702b2 + 168cb – 204c2 = - 204c2.702 = -161424c2 Ê 0 " c ẻ R = G(b) Ê 0 " b,c (do hệ số của b2 là -702 < 0) T ³ 0 " a,b,c (do hệ số của a2 là 19 > 0) Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 0 Vậy min T = 0 đạt được khi a = b = c = 0 Ví dụ 2: Cho x2+ y2 –xy = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = x4 + y4 – x2y2 Giải: Từ giả thiết suy ra: 1 = x2+ y2 –xy ³ 2xy – xy = xy 1 = - 3xy ³ -3xy ị - Ê xy Ê 1 Mặt khác cũng từ giả thiết ta có x2+ y2 = 1+xy ị x4+ y4= -- 2x2y2 = - 2x2y2 = - x2y2 + 2xy + 1 ị M = x4 + y4 - x2y2 = - 2x2y2 + 2xy +1 Đặt t = xy, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai f(t) = -2t2 + 2t + 1 với - Ê t Ê 1 ị maxM = f() = khi Û hoặc MinM = f(-) = khi Û Ví dụ3: Cho a, b thoả mãn + 4a2b2 – a2 – b2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T = a2 + b2. Giải: Ta có: + 4a2b2 – a2 – b._.