Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê thị Thiên Hương về sự hướng dẫn tận tình của cơ trong suốt quá trình tơi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cơ thuộc khoa Tốn – Tin trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho tơi trong suốt thời gian học tập tại trường. Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tơi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tơi xin được gửi đến gia đình tơi, nơi đã tạo cho tơi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hồn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................... 2 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC .................................................................. 8 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác ..................................................................... 8 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm .............................. 8 1.1.2. Ý nghĩa hình học của mơđun đạo hàm ................................ 10 1.1.3. Ánh xạ bảo giác ................................................................... 11 1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại hai ...................................................... 12 1.2. Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác ..................................................... 15 1.2.1. Ánh xạ hình trịn đơn vị lên chính nĩ.................................. 15 1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác ............... 18 Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC ... 20 2.1. Nguyên lí bảo tồn miền......................................................... 20 2.2. Nguyên lí ánh xạ một-một ..................................................... 26 2.3. Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars................................... 27 2.4. Tổng quát hĩa nguyên lí đối xứng.......................................... 33 2.5. Nguyên lý thác triển giải tích Schwars................................... 34 2.6. Nguyên lí đối xứng đối với hàm điều hịa .............................. 36 2.7. Ứng dụng nguyên lí đối xứng................................................. 40 Chương 3. ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN................................. 42 3.1. Miền giới hạn bởi hyperbol .................................................... 42 3.2. Miền giới hạn bởi parabol ...................................................... 44 3.3. Miền giới hạn bởi parabol và ellip ......................................... 50 3.4. Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng ........................... 58 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác là một cơng việc rất hữu ích. Nĩ giúp cho việc tính tốn một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và dễ dàng hơn. Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngồi việc nắm được khái niệm, ta cần nắm vững các nguyên lý của nĩ trong quá trình thực hiện ánh xạ. Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tơi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác (cĩ kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý). Đồng thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trị của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác, chúng tơi đã đưa ra một số ví dụ minh họa. Luận văn gồm bốn chương: - Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. - Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và mơđun đạo hàm, từ đĩ đưa ra khái niệm ánh xạ bảo giác và điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn tại và xác định duy nhất. - Chương 2 phát biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và chứng minh các nguyên lý đĩ. - Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi các đường: parabol, ellip,... lên nửa mặt phẳng trên. Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. 2 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. Các khái niệm 0.1.1. Một số khái niệm của số phức - Cho số phức z x iy= + .Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định được điểm M ( ),x y gọi là tọa vị của số phức z . - Cho số phức z cĩ tọa vị là M. Khi đĩ, độ dài của OM JJJJG gọi là mơđun của số phức z , ký hiệu z OM r= =JJJJG . - Trong mặt phẳng Oxy , cho số phức z cĩ tọa vị là M . Khi đĩ argument của số phức z là gĩc tạo nên giữa hướng dương của trục thực và OM JJJJG , nhận hướng ngược chiều kim đồng hồ làm hướng dương. Ký hiệu Argz ( ), 2Ox OM kϕ π= = +JJJGJJJJG . Đặc biệt, trị số của Arg ( ],z π π∈ − gọi là giá trị chính của Argument, ký hiệu arg z . Trường hợp 0z = thì Arg z khơng xác định. - Cho 2 số phức 1 2,z z ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 2 * . 2 * 2 0 Arg z z Argz Argz k zArg Argz Argz k z z π π = + + ⎛ ⎞ = − + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 0.1.2. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức Mọi số phức z x iy= + đều cĩ thể biểu diễn dưới dạng lượng giác ( )cos sinz r iϕ ϕ= + trong đĩ ,r z Argzϕ= ∈ . Dạng mũ của số phức đĩ là iz re ϕ= . 0.1.3. Tập liên thơng Tập X là tập liên thơng nếu khơng tồn tại hai tập mở ,A B sao cho , ; ;X A X B X A B X A Bφ φ φ∩ ≠ ∩ ≠ ∩ ∩ = ⊂ ∪ . 3 0.1.4. Miền - Miền là tập hợp con X của ^ cĩ hai tính chất i. Với mỗi điểm thuộc X luơn tồn tại hình trịn đủ bé nhận điểm đĩ làm tâm và nằm hồn tồn trong X (tập mở). ii. Cĩ thể nối hai điểm bất kỳ thuộc X bằng một đường cong nằm hồn tồn trong X (tập liên thơng). - Miền X cĩ biên là một tập liên thơng được gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X cĩ biên khơng phải tập liên thơng là miền đa liên. 0.1.5. Một số khái niệm liên quan đến đường cong - Một đường cong cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đĩng. Đường cong khơng cĩ điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đĩng gọi là chu tuyến. - Giả sử ( )tϕ và ( )tµ là các hàm thực trên đoạn [ ],a b của đường thẳng thực. Khi đĩ phương trình ( ) ( ) ( ) ,z z t t i t a t bϕ µ= = + ≤ ≤ biểu diễn tham số một đường cong [ ]( ),L z a b= trong mặt phẳng phức ^ . Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm ( ) ( ),t tϕ µ cĩ đạo hàm liên tục và các đạo hàm đĩ khơng đồng thời bằng khơng với mọi [ ],t a b∈ . Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc. 0.1.6. Cung giải tích - Một cung của đường cong được gọi là giải tích nếu tọa độ chạy ,x y của nĩ là hàm số của tham số t trong khoảng a t b< < và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở lân cận của mỗi điểm t . - Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nĩ khơng cĩ điểm bội mà tại đĩ ', 'x y triệt tiêu đồng thời. 0.1.7. Hàm đơn trị Xét hàm số ( )w f z= , nếu mỗi giá trị của đối số cĩ một giá trị duy nhất của hàm số thì hàm số đĩ được gọi là hàm đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số thì hàm số được gọi là hàm đa trị. 4 0.1.8. Hàm đơn diệp Một hàm số :f D D∗→ được gọi là đơn trị một đối một, hay đơn diệp, nếu với hai điểm bất kỳ 1 2 1 2, ,z z D z z∈ ≠ thì ảnh ( ) ( )1 2f z f z≠ . 0.1.9. Hàm chỉnh hình (hàm giải tích) - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số :f D → ^ được gọi là khả vi phức (^ -khả vi) tại 0z D∈ nếu tồn tại hàm 1 :f D →^ liên tục tại 0z và ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 ,f z f z z z f z z D= + − ∀ ∈ - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số :f D → ^ được gọi là chỉnh hình trên D nếu nĩ khả vi phức tại mọi điểm thuộc D . - Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm 0z D∈ , nếu tồn tại một lân cận mở U của 0z nằm trong D sao cho hàm f U chỉnh hình trên U . 0.1.10. Hàm điều hịa -Hàm ( ),v x y được gọi là điều hịa trong một miền nếu nĩ đơn trị trong miền đĩ, cĩ đạo hàm liên tục đến cấp hai và thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 0 v vv x y ∂ ∂∆ = + =∂ ∂ - Phần thực, phần ảo của một hàm giải tích là những hàm điều hịa. 0.1.11. Khơng điểm và cực điểm - Điểm z a= gọi là điểm khơng (hay khơng điểm) của hàm ( )f z nếu ( )lim 0 z a f z→ = . - Điểm z a= gọi là cực điểm (∞ -điểm) của hàm ( )f z nếu ( )lim z a f z→ = ∞ . 0.1.12. Yếu tố Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nĩ. 0.2. Một số định lý sử dụng trong luận văn 0.2.1. Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính cĩ tính chất biến vịng trịn này thành vịng trịn kia. (Coi đường thẳng là đường trịn với bán kính vơ cùng lớn). 5 0.2.2. Định lý 2 Ánh xạ tuyến tính biến hình trịn đơn vị trong mặt phẳng z thành hình trịn đơn vị trong mặt phẳng w cĩ dạng: 1 i zw e z θ α α −= − , trong đĩ: 1,α θ< là số thực bất kỳ. 0.2.3. Định lý 3 ( định lý tích phân Cauchy) Nếu hàm f giải tích trong miền đơn liên D ⊂ ^ thì tích phân của nĩ theo chu tuyến đĩng : I Dγ → bất kỳ là bằng khơng, tức là ( ) 0f z dz γ =∫ 0.2.4. Định lý 4 ( cơng thức tích phân Cauchy) Cho hàm f giải tích trên miền D và γ là một chu tuyến trong D sao cho miền Dγ hữu hạn giới hạn bởi γ nằm trong D . Khi đĩ, 0z Dγ∀ ∈ ta cĩ - Cơng thức tích phân Cauchy ( ) ( )0 0 1 2 f z f z dz i z zγπ = −∫ - Cơng thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm ( ) ( )( )0 10 ! ; 0,1, 2,... 2 n n f znf z dz n i z zγπ + = =−∫ 0.2.5. Định lý 5 (cơng thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy) Giả sử f giải tích trên miền D và D∗ là miền giới nội thuộc D cùng với biên gồm một số hữu hạn đường cong đĩng Jordan đo được. Khi đĩ ( ) ( )1 , 2 0,D f f z z Dd i z z D ζ ζπ ζ∗ ∗ ∗∂ ⎧ ∈⎪= ⎨− ⎪ ∉⎩ ∫ D 0.2.6. Định lý 6 Giả sử γ là đường cong đĩng Jordan đo được và γ →^:f là hàm liên tục trên γ . Khi đĩ tích phân 6 ( ) ( )1 2 f F z d i zγ ζ ζπ ζ= −∫ sẽ xác định những hàm chỉnh hình trên các thành phần liên thơng của phần bù \ γ^ . 0.2.7. Định lý 7 (bất đẳng thức Cauchy đối với hệ số của chuỗi lũy thừa) Nếu chuỗi lũy thừa ( ) 0 1 ... ...nnf z a a z a z= + + + + hội tụ trong hình trịn z R< và biểu diễn hàm số ( )f z cĩ mơđun nhỏ hơn M thì ( 0,1,2,...)n n Ma n R ≤ = . 0.2.8. Định lý 8 (nguyên lý mơđun cực đại) Mơđun của hàm số chỉnh hình trong miền mở G khơng đạt được cực đại tại mọi điểm của miền này, ngoại trừ hàm đồng nhất là hằng số. 0.2.9. Định lý 9 (tính duy nhất của hàm giải tích) Nếu hai hàm số ( )f z và ( )zϕ chỉnh hình trong miền G nào đĩ và nhận các giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp E gồm vơ hạn các điểm của G , trong đĩ E cĩ ít nhất một điểm giới hạn nằm bên trong G , thì hai hàm số này bằng nhau khắp nơi trên G . 0.2.10. Định lý 10 Nếu hàm số đơn trị khơng cĩ điểm bất thường nào khác cực điểm trên mặt phẳng “mở rộng” thì nĩ là hàm hữu tỷ. 0.2.11. Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren) A là tập compắc khi và chỉ khi từ mọi phủ mở của A đều cĩ thể trích một phủ con hữu hạn, tức là cĩ một số hữu hạn chỉ số 1 2 ni , i ,..., i sao cho { } 1 2 n ki i i i A U U ... U , U U , k 1, 2,..., n⊂ ∪ ∪ ∪ ∈ = với { }U là một phủ mở của A . 0.2.12. Định lý 12 (định lý thặng dư lơga) Nếu ( )f z giải tích tại mọi điểm trong chu tuyến Γ (đĩng kín và trơn từng 7 khúc) khơng trừ điểm nào, thì tích phân ( )( ) '1 2 Γ −∫ f z dz i f z aπ cho ta số nghiệm của phương trình ( ) =f z a ở trong chu tuyến Γ . 8 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm Giả sử hàm ( )w f z= là hàm số giải tích trên miền G . Ta sẽ biểu diễn gía trị của hàm số w u iv= + bởi điểm trên mặt phẳng w . Mỗi diểm z x iy= + trên mặt phẳng của biến số độc lập z sẽ tương ứng với một điểm w u iv= + trên mặt phẳng w (hình 1.1 và 1.2). Khi điểm z chuyển động trên mặt phẳng z theo một đường cong C nào đĩ thì điểm tương ứng w nĩ sẽ chạy trên đường cong Γ trong mặt phẳng w , là ảnh của đường cong C . u v 0 Φ Ψ w0 w0 + w∆ 0 z0 y x 0 C’ C z0+ z∆ 0 ϕ ψ Hình 1.1 Hình 1.2 Gọi 0z là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước cĩ hướng xác định, C đi qua 0z và cĩ tiếp tuyến xác định tại 0z . Giả sử ( )' 0 0f z ≠ . Trên mặt phẳng w , ảnh của C là Γ đi qua điểm ( )0 0w f z= . Nếu phương trình của C là ( ) (0 1)z z t t= ≤ ≤ thì phương trình của Γ sẽ là ( ) ( ) ( ) (0 1)w f z f z t w t t⎡ ⎤= = = ≤ ≤⎣ ⎦ . Để giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm ( )0'f z , ta sẽ biểu diễn số phức ( )0'f z ở dạng lượng giác ( )' 0 (cos sin )f z r iα α= + và nêu ý nghĩa hình học của argument α và mơđun r của đạo hàm. 9 Lấy điểm bất kỳ 0 0z z+ ∆ trên đường cong C và ký hiệu 0 0w w+ ∆ là điểm tương ứng với nĩ trên mặt phẳng w thuộc đường cong Γ . Khi điểm 0 0z z+ ∆ tiến về điểm 0z trên đường cong C thì điểm tương ứng 0 0w w+ ∆ sẽ tiến về điểm 0w trên đường cong Γ , trong đĩ 0 0,z w∆ ∆ cùng tiến về 0. Từ đẳng thức ( ) ( ) 0 ' 0 0 0 0 lim cos sin z wf z r i z α α∆ → ∆= = +∆ , ta cĩ 0 0 0 0 lim z w r z∆ → ∆ =∆ (1.1) 0 0 0 0 lim arg z w z α ∆ → ⎛ ⎞∆ =⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (1.2) (chính xác đến bội của 2π ). Lưu ý rằng ở đây phải thỏa mãn điều kiện ( )' 0 0f z ≠ vì nếu trái lại thì gĩc α khơng cĩ giá trị xác định. Xét đẳng thức (1.2), ta cĩ 0 0 0 0 0 00 0 0 0 lim arg lim arg lim arg z z z w w z z α∆ → ∆ → ∆ → ∆ = ∆ − ∆ =∆ (1.2’) Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.2’) sử dụng các hình 1, hình 2. Rõ ràng, ( )0 0 0 0z z z z∆ = + ∆ − được biểu diễn bởi vecto nối điểm 0z với điểm 0 0z z+ ∆ , cịn 0w∆ là vecto nối từ điểm 0w đến điểm 0 0w w+ ∆ . Suy ra, 0arg z∆ là gĩc ϕ nằm giữa hướng dương của trục Ox và vecto 0z∆ tương ứng, cịn 0arg w∆ là gĩc φ giữa trục Ou và vecto 0w∆ . Vậy (1.2’) sẽ cĩ dạng 0 00 0 lim lim z z φ ϕ α∆ → ∆ →− = (1.2’’) Ở vị trí giới hạn, hướng của vecto 0z∆ sẽ trùng với hướng của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm 0z (hình 1.1), cịn hướng của vecto 0w∆ trùng với hướng của tiếp tuyến với Γ tại điểm 0w (hình 1.2), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức (1.2’). Ký hiệu ψ và Ψ là các gĩc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng của C và Γ tại 0z và 0w . Ta cĩ thể viết (1.2’’) dưới dạng ψ αΨ − = hay ψ αΨ = + (1.3) 10 Ta quy ước hướng dương của các trục Ox và Ou trùng nhau. Khi đĩ, từ (1.3) ta cĩ α là gĩc mà tiếp tuyến với C tại điểm 0z đã quay trong ánh xạ ( )w f z= . Nĩi một cách khác, α là gĩc giữa hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ. Để ý rằng đường cong C được chọn tùy ý, khi hướng của C thay đổi thì ψ và Ψ đều thay đổi nhưng gĩc α khơng đổi. Do đĩ, nếu tại 0z ta cĩ đường cong 'C khác và gọi đường cong tương ứng với nĩ tại 0w là 'Γ (hình 1.1 và 1.2) thì (1.3) cĩ dạng ' 'ψ αΨ = + trong đĩ ', 'ψ Ψ là các giá trị ,ψ Ψ tương ứng đối với 'C và 'Γ . Từ (1.3) và (1.3’) suy ra ' 'ψ ψΨ −Ψ = − (1.4) Để ý rằng gĩc 'ψ ψ− là gĩc giữa các tiếp tuyến tại điểm 0z với các đường cong C và 'C , cịn 'Ψ −Ψ là gĩc tương ứng với Γ và 'Γ . Từ (1.4) ta cĩ hai đường cong bất kỳ xuất phát từ 0z ánh xạ tương ứng vào hai đường đi qua điểm ( )0 0w f z= sao cho gĩc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ban đầu và gĩc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ảnh bằng nhau cả về độ lớn và hướng . Điều đĩ cĩ nghĩa là nếu hướng dương của đường cong C tại điểm 0z quay một gĩc α (cĩ hướng xác định) đến hướng dương của đường cong 'C , thì hướng tương ứng của đường cong Γ cũng quay một gĩc α đến hướng của 'Γ với cùng hướng đĩ. Vậy ánh xạ bởi hàm giải tích cĩ tính chất bảo tồn gĩc giữa tất cả các điểm mà tại đĩ ( )' 0f z ≠ . 1.1.2. Ý nghĩa hình học của mơđun đạo hàm Xét đẳng thức (1.1) ta cĩ ( ) 0 0 0 0 0 ' lim z w f z r z∆ → ∆= =∆ (1.1’) Về mặt hình học, 0z∆ là độ dài vecto 0z∆ , tức là khoảng cách giữa 0z và 0 0z z+ ∆ (hình 1.1); tương tự, 0∆w là khoảng cách giữa các điểm 0w và 0 0w w+ ∆ tương ứng (hình 1.2). Đẳng thức (1.1’) chỉ ra rằng tỷ số giữa khoảng cách vơ cùng 11 bé giữa các điểm ảnh và điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là ( )0'r f z= khơng phụ thuộc vào hướng của C . Do đĩ cĩ thể xem ( )0'r f z= là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm 0z trong ánh xạ bởi hàm số ( )w f z= . Nếu 1r > thì tỷ lệ tăng, nghĩa là cĩ sự giãn của phần tử vơ cùng bé tại 0z ; nếu 1r < thì ngược lại cĩ sự co; nếu 1r = thì tỷ lệ này khơng đổi, nghĩa là phần tử vơ cùng bé tại 0z được thay thế bởi phần tử vơ cùng bé tương đương với nĩ tại điểm 0w . Vì ( )0'r f z= chỉ phụ thuộc vào 0z mà khơng phụ thuộc vào hướng của C nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm 0z và nĩ sẽ khơng phụ thuộc vào hướng. Vậy cĩ thể nĩi rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích ( )w f z= cĩ độ co giãn khơng phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm 0z sao cho ( )0' 0f z ≠ . 1.1.3. Ánh xạ bảo giác 1.1.3.1. Khái niệm Ánh xạ cĩ tính chất bảo tồn gĩc và cĩ độ co giãn khơng đổi được gọi là ánh xạ bảo giác. 1.1.3.2. Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo giác và ánh xạ giải tích Ta đã biết mọi ánh xạ giải tích, tức là ánh xạ cho bởi hàm số giải tích ( )w f z= tại mọi điểm 0z mà tại đĩ ( )0' 0f z ≠ đều cĩ hai tính chất 1. Bảo tồn gĩc; 2. Độ co giãn khơng đổi. Nếu trên mặt phẳng của biến số phức z , ta lấy một tam giác vơ cùng bé sao cho 0z là một trong các đỉnh của nĩ thì trên mặt phẳng của biến w sẽ cĩ tam giác cong vơ cùng bé với một đỉnh là 0w (hình 1.3 và 1.4). Các gĩc tương ứng của hai tam giác này sẽ bằng nhau theo tính chất bảo tồn gĩc; tỷ số các cạnh tương ứng chính xác đến vơ cùng bé sẽ bằng số cố định 0r ≠ . Hai tam giác vơ cùng bé như vậy được gọi là đồng dạng với nhau. Vậy ánh xạ giải tích là ánh xạ đồng dạng trong vơ cùng bé (tại lân cận mỗi điểm z sao cho ( )' 0f z ≠ ). 12 z0 0 x y u v 0 w0 Hình 1.3 Hình 1.4 Từ các lập luận ở mục 1.1.1 và 1.1.2 trên đây ta cĩ thể khẳng định rằng: mọi ánh xạ được cho bởi hàm số giải tích ( )w f z= là ánh xạ bảo giác tại mọi điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số này khác khơng. Ngược lại, nếu hàm đơn trị ( )w f z= xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số ( )f z là hàm giải tích với đạo hàm khác khơng. 1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại II 1.1.4.1. Khái niệm Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức z (hay một phần của nĩ) lên mặt phẳng w trong đĩ gĩc được bảo tồn về độ lớn, cịn hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại và cĩ độ co giãn khơng đổi được gọi là ánh xạ bảo giác loại II. Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ bảo giác loại I. Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số cĩ liên quan chặt chẽ với hàm giải tích. 1.1.4.2. Ví dụ Cho ánh xạ w z= . Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi đĩ ta thấy rằng mọi điểm của z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nĩ qua trục thực. Rõ ràng trong ánh xạ này, hai hướng bất kỳ xuất phát từ z và tạo thành gĩc α nào đĩ sẽ biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, gĩc giữa chúng sẽ là α− , nghĩa là độ lớn của gĩc được bảo tồn nhưng hướng quy chiếu được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5). Ngồi ra, ánh xạ này cĩ độ co giãn khơng đổi vì khơng cĩ sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này. 13 Vậy ánh xạ w z= đã cho là ánh xạ bảo giác loại II. 0 y x z z Hình 1.5 1.1.4.3. Tính chất Định lý 1 Mọi ánh xạ được cho bởi hàm số cĩ giá trị là số phức liên hợp của giá trị của hàm giải tích, đều là ánh xạ bảo giác loại II. Chứng minh Giả sử ( )f z là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ ( )w f z= là ánh xạ bảo giác loại II. Thật vậy, phép biến đổi này cĩ thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ( )f zζ = và w ζ= . Trong ánh xạ thứ nhất, gĩc được bảo tồn về hướng và độ lớn. Trong ánh xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại. Do đĩ sau hai ánh xạ, gĩc được bảo tồn về độ lớn nhưng hướng quy chiếu biến đổi thành hướng ngược lại. Ngồi ra, ánh xạ này cĩ độ co giãn khơng đổi vì cả hai ánh xạ thành phần đều cĩ tính chất này. Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. Định lý 2 Mọi ánh xạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm giải tích nào đĩ. 14 Chứng minh Thật vậy, nếu ( )w F z= là ánh xạ bảo giác loại II thì ( )w F z= sẽ xác định ánh xạ bảo giác loại I, suy ra ( )F z là hàm số giải tích trên miền đang xét: ( ) ( )F z f z= , suy ra ( ) ( )F z f z= . Vậy định lý đã được chứng minh. Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích cĩ hai tính chất đặc trưng: bảo tồn gĩc và độ co giãn khơng đổi. Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục cĩ tính chất bảo tồn gĩc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo tồn gĩc cĩ kéo theo tính chất độ co giãn khơng đổi? Nĩi cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục cĩ độ co giãn khơng đổi luơn là ánh xạ bảo giác lọai I hoặc loại II. Khơng đi sâu vào việc giải quyết hai vấn đề này, ta chỉ nhận xét rằng cả hai vấn đề này đều đã được giải quyết bởi câu trả lời khẳng định bằng các phương pháp sơ cấp. Ta cĩ giả thiết với w u iv= + thì u và v đều cĩ các đạo hàm riêng liên tục. Vấn đề sẽ khĩ giải quyết hơn nếu ta chỉ xét các ánh xạ liên tục bất kỳ mà khơng cĩ điều kiện các đạo hàm riêng của u và v liên tục. Tuy nhiên gần đây người ta đã giải quyết được hai bài tốn trên trong trường hợp tổng quát. Cụ thể, người ta đã chứng minh được rằng: mọi ánh xạ liên tục và là song ánh mà bảo tồn gĩc đều là ánh xạ giải tích. Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh cĩ thể bỏ qua được khơng?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để. Ngồi ra, người ta cũng chứng minh được rằng: mọi ánh xạ song ánh liên tục cĩ độ co giãn khơng đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II. Ở đây điều kiện ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta cĩ thể xét một ví dụ sau đây. Cho ánh xạ z,nếu điểm thuộc z nằm nửa mặt phẳng trên w z ,nếuđiểm thuộcz nằm nửamặt phẳngdưới ⎧⎪= ⎨⎪⎩ Lưu ý: trên trục thực z z= 15 Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên tồn bộ mặt phẳng của biến số phức z và cĩ độ co giãn khơng đổi nhưng nĩ khơng là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng khơng là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích. 1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 1.2.1. Ánh xạ hình trịn đơn vị lên chính nĩ Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều cĩ tính chất biến vịng trịn thành vịng trịn. Bây giờ ta chứng minh tính chất đĩ đặc trưng cho ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, giả sử ( )w f z= là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt trịn thành mặt trịn khác. Ta sẽ chứng minh nĩ là ánh xạ tuyến tính. Đầu tiên, ta gọi Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt trịn đã cho của mặt phẳng z thành mặt trịn đơn vị của mặt phẳng τ , và 1Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt trịn đã cho của mặt phẳng w thành mặt trịn đơn vị đĩ của mặt phẳng τ . Vậy thì ánh xạ 1 1S f −= Γ Γ sẽ biến mặt trịn đơn vị trên mặt phẳng τ thành chính nĩ. Nếu chứng minh được S là tuyến tính thì ta kết luận 11f S−= Γ Γ cũng là tuyến tính. Thế thì, vấn đề được đưa về xét tính đặc trưng của ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ. Ánh xạ tuyến tính biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ như đã biết ở định lý 2 cĩ dạng 1 i zw e z θ α α −= − (2.1) trong đĩ 1α < và θ là số thực bất kỳ. Nĩ chứa ba tham số thực tùy ý, nên được xác định duy nhất bởi ba điều kiện. Cho trước một yếu tố gồm điểm α và hướng θ đi qua điểm đĩ, thì ánh xạ tuyến tính biến yếu tố đĩ thành yếu tố gồm gốc tọa độ và hướng dương trục thực, được xác định duy nhất bởi cơng thức (2.1). Về giải tích, dữ kiện cho trước cĩ thể viết là ( ) ( )'0, argw wα α θ= = (2.2) 16 Để chứng minh rằng phép biến đổi (2.1) là ánh xạ song ánh và bảo giác duy nhất biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ, thỏa mãn điều kiện đầu (2.2) thì chỉ cần chứng minh ánh xạ song ánh và bảo giác ( )w f z= biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ với điều kiện đầu ( ) ( )'0 0, 0 0f f= > (2.3) là phép biến đổi đồng nhất. Thật vậy, giả sử ( )w F z= là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ thỏa mãn (2.2). Bằng cách ký hiệu L là phép biến đổi tuyến tính (2.1), ta xét phép biến đổi bổ trợ 1FL− thỏa mãn điều kiện (2.3) và biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ. Nếu chứng minh được 1FL− là phép biến đổi đồng nhất thì từ đĩ ta cĩ được ( ) ( )F z L z= nên khi đĩ L là duy nhất. Vậy tĩm lại, ta phải chứng minh rằng ánh xạ song ánh và bảo giác ( )w f z= biến mặt trịn đơn vị thành chính nĩ với điều kiện (2.3) là phép đồng nhất. Ta chứng minh mệnh đề tổng quát hơn sau đây Mệnh đề “Nếu hàm số ( )f z thỏa mãn điều kiện ( ) ( )', 0f fα α α= > và là song ánh bảo giác, biến miền G nằm trong phần hữu hạn của mặt phẳng cĩ chứa điểm α thành chính nĩ thì ( )f z z≡ ”. Chứng minh Ta cĩ thể xem 0α = (điều này luơn cĩ được bằng phép biến đổi ( ) ( ),z fξ α ϕ ξ ξ α α= − = + − ). Ngồi ra, cĩ thể xem ( )' 0 1f α= ≥ vì nếu ( )' 0 1f < thì ta xét hàm ngược của ( )f z thay cho ( )f z . Và ta hãy chú ý rằng cùng với hàm số ( ) ( )1f z f z= , các phép lặp của nĩ 17 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2, ,...f z f f z f z f f z⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ cũng biến miền G thành chính nĩ và ta luơn cĩ ( ) ( )'0 0, 0 1n nf f= ≥ Tại lân cận điểm gốc, hàm số ( )f z cĩ khai triển ( ) ...vf z az bz= + + trong đĩ 2v ≥ và 1a ≥ . Tất nhiên ở lân cận điểm 0z = khai triển thành chuỗi lũy thừa của hàm số ( )nf z sẽ cĩ dạng ( ) ...nnf z a z= + Đầu tiên, ta giả thiết rằng 1a > . Điều đĩ cĩ nghĩa là ( )' 0 nnf a= với n khá lớn thì ( )' 0nf cĩ thể lớn hơn một số dương A tùy ý cho trước. Ta ký hiệu M là bán kính mặt trịn tâm tại gốc tọa độ và chứa trọn vẹn miền G , thế thì trong miền G sẽ cĩ ( )nf z M< . Tiếp theo, giả sử ρ là bán kính mặt trịn tâm tại khơng điểm và nằm hồn tồn trong miền G , kể cả biên của nĩ. Khi đĩ theo định lý 7, ta cĩ ( )' 0n n Ma f ρ= ≤ Vì bất đẳng thức đĩ phải đúng với mọi giá trị n và 1a > nên điều đĩ khơng thể cĩ được. Vậy phải cơng nhận rằng 1a = . Vậy từ khai triển ( ) ...vf z z bz= + + suy ra ( )2 2 ...vf z z bz= + + và tổng quát ( ) ...vnf z z nbz= + + Mà ta cĩ v Mn b ρ≤ 18 và vế phải của bất đẳng thức đĩ cĩ số khơng phụ thuộc n , vậy 0b = . Như vậy, ( )f z z= . Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. 1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác Giả sử cho miền đơn liên G nào đĩ trong mặt phẳng số phức z .Vấn đề đặt ra là cĩ chăng một hàm số ( )w f z= chỉnh hình trong miền G , và ánh xạ một đối một G thành mặt trịn đã cho trong mặt phẳng w . Đây là vấn đề cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác được Riemann đưa ra và đã được giải quyết triệt để đối với miền cĩ biên chứa nhiều hơn một điểm. Với giả thiết tồn tại một hàm ( )w f z= như vậy, thì ta thấy rằng tập hợp các hàm số đĩ là vơ số. Thật vậy, ta đã biết cĩ vơ số các hàm tuyến tính biến mặt trịn thành chính nĩ. Chẳng hạn, nếu ( )w f z= là hàm số ánh xạ miền G thành mặt trịn 1w < thì hàm số 1 iw we θ= cũng sẽ ánh xạ miền G thành mặt trịn 1w < với θ bất kỳ. Mệnh đề: “Nếu cho hai yếu tố tương ứng: một trong miền G và một trong mặt trịn 1w < thì cĩ chỉ một hàm số ( )w f z= ánh xạ đơn trị hai chiều và bảo giác biến miền G thành mặt trịn 1w < trong đĩ các yếu tố đã cho biến cái này thành cái kia (hình 1.6)”. Chứng minh: Giả sử ( )w f z= và ( )w F z= Hình 1.6 Hình 1.7 19 đều là ánh xạ bảo giác biến miền G thành mặt trịn sao cho một yếu tố của miền G với cả hai ánh xạ đều biến thành cùng một yếu tố của mặt trịn. Vậy thì, ( ) ( )1w fF wϕ −= biến mặt trịn thành chính nĩ. Ký hiệu α là tọa vị của điểm của yếu tố đĩ, ta cĩ ( )ϕ α α= và ( )' 0ϕ α > Vì theo mục 1.2.1, ( ) ( )1w fF w wϕ −= = Do đĩ, thay ( )w F z= , thì cuối cùng ta cĩ ( ) ( )f z F z= . Mệnh đề đã được chứng minh. Vậy tất cả những tính chất trên của ánh xạ miền đơn liên G thành mặt trịn đều đúng với ánh xạ miền G thành miền đơn liên bất kỳ∆ (hình 1.7). Thật vậy, ta dùng phép ánh xạ từ miền G lên mặt trịn làm trung gian: đầu tiên ánh xạ miền G thành mặt trịn và sau đĩ ánh xạ mặt trịn thành ∆ . 20 Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC 2.1. Nguyên lý bảo tồn miền 2.1.1. Nguyên lý “Một hàm số giải tích đơn trị ánh xạ một miền xác định của nĩ thành một miền mới (đơn diệp hay đa diệp).” 2.1.2. Chứng minh Ở định lý 13, ta đã thấy rằng hàm số ( )w f z= đơn diệp trong miền G của mặt phẳng z , luơn ánh xạ miền đĩ lên một miền E trong mặt phẳng w và giữa các điểm của hai miền cĩ sự tương ứng đơn trị hai chiều. Để mở rộng mệnh đề đĩ cho một hàm số giải tích tùy ý thì cần phải mở rộng khái niệm miền. Nên cần cĩ một sự mở rộng như vậy khi xét các hàm số ,n zz e và sin z . Để tượng trưng cho ảnh của mặt phẳng z trong phép ánh xạ thực hiện nhờ các hàm số đĩ, ta lập diện Riman nhiều tờ tạo nên bằng cách dán các nửa mặt phẳng dọc theo phần trục thực tương ứng. Phương pháp đĩ biểu diễn bằng những nửa mặt phẳng, các miền biến thiên của hàm số giải tích là khơng thích hợp trong trường hợp tổng quát và cần phải thay đổi bằng cách lập miền nhờ những mặt trịn một tờ và nhiều tờ. Để đơn giản, giới hạn vào những hàm số đơn trị, ta xét hàm số ( )f z giải tích trong miền G nào đĩ và giả sử a là một điểm hữu hạn nào đĩ của miền. ŠNếu ( )' 0f a ≠ thì cĩ thể lấy một lân cận khá bé của điểm a để trong nĩ hàm số ( )f z là đơn diệp. Thật vậy, ( ) ( ) ( )20 1 2 1...( 0)f z a a z a a z a a= + − + − + ≠ ta chọn ρ khá bé để 2 1 2 32 3 ... 0a a aρ ρ− − − > Khi đĩ, với hai điểm bất kỳ 1 2 1 2, ( )z z z z≠ nằm trong mặt trịn z a ρ− < . Bằng cách đặt 1 1z a ζ− = và 2 2z a ζ− = , ta cĩ 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 ... 2 3 ... 0 f z f z z z a a a z z a a a ζ ζ ζ ζ ζ ζ ρ ρ − = − + + + + + + > − − − − > nghĩa là ( ) ( )1 2f z f z≠ Vậy ta cĩ điều phải chứng minh, hay ( )f z là hàm đơn diệp. Như vậy, hàm số ( )w f z= ánh xạ mặt trịn z a ρ− < đơn trị hai chiều thành một miền nào đĩ của mặt phẳng w chứa điểm t._.