Các Meetric trên siêu không gian

trong suốt quá trình học tập. Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh. Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tơi những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn giáo sư Sam B. Nadle, Jr, trường đại học Georgia đã gửi nhiều tài liệu quí báu hỗ trợ cho chúng tơi trong quá trình làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Dương Minh Châu, Dương Minh Châu, Tây Ninh cùng tồn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận văn này. Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ và động viên tơi trong suốt quá trình học tập. Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2009 Tác giả Lê Cơng Mẫn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong luận văn này chúng tơi trình bài các vấn đề liên quan đến hyperspace (siêu khơng gian), các vấn đề trên siêu khơng gian được nhiều nhà tốn học quan tâm, như : M. Wojdyslawski, J. L. Kelly, R. W. Wardle, J. J. Charatonik, C. J. Rhee, Nadler, Felix Hausdorff , LeoPold Vietoris. . . . Vào những năm đầu của thế kỷ 20 lý thuyết siêu khơng gian được nghiên cứu bởi hai nhà tốn học Felix Hausdorff và LeoPold Vietoris, sau đĩ J. L. Kelly tiếp tục phát triển một số tính chất của siêu khơng gian, đặc biệt là siêu khơng gian của một continuum. Trong khoảng thời gian từ những năm 1920 đến những năm 1930 nhiều cấu trúc cơ bản của các siêu khơng gian đã được xác định. Đặc biệt năm 1931 Borsuk-Mazurkiewicz đã chứng minh được 2X và C(X) liên thơng đường. Ngồi ra trên siêu khơng gian cịn cĩ nhiều tính chất khác được rất nhiều nhà tốn học quan tâm. Và M. Wojdyslawski là người đầu tiên nghiên cứu về tính co của các siêu khơng gian 2X và ( )C X . Năm 1938 Wojdyslawski chứng minh được “Nếu X là một continuum liên thơng địa phương thì 2X và C(X) co rút được”. Tuy nhiên ơng khơng chỉ ra được kết quả trên đối với C(X), nhưng ơng chứng minh được: với kết quả của 2X cĩ thể áp dụng cho C(X). Năm 1942 Kelly tiếp tục phát triển kết quả trên của Wojdyslawski và ơng đã chứng minh được tính co của 2X và C(X) là tương đương, ngồi ra Kelly cịn đưa ra một điều kiện đủ (mà ta gọi là tính chất của Kelly hay tính chất k) về tính co của các siêu khơng gian, và sử dụng nĩ để tổng quát hĩa kết quả của Wojdyslawski, Kelly chứng minh rằng nếu X cĩ tính chất k thì các siêu khơng gian của X co rút được. Tính chất k của Kelly chỉ là điều kiện đủ mà khơng phải là điều kiện cần. Do đĩ: Năm 1978 Nadler đặt ra câu hỏi: làm thế nào để tìm ra điều kiện cần và (hoặc) đủ đối với các phần tử của X để 2X co rút được. Sau đĩ Nadler đưa ra một tính chất, gọi là tính chất C và chứng minh rằng một khơng gian X với tính chất C cĩ một siêu khơng gian C(X) co rút được nếu và chỉ nếu cĩ một thớ ánh xạ liên tục  sao cho ( ) ( )x x  với mỗi x X , ở đĩ ( )x là thớ chấp nhận được tại x. Cũng trong khoảng thời gian đĩ, năm 1977 Wardle giới thiệu một bài báo về tính chất của Kelly. Và nhiều kết quả ở bài báo này đã được tổng quát hĩa bởi J. J. Charatonik vào năm 1983, sau bài báo của R. W. Wardle, cĩ nhiều bài báo xuất hiện, các bài báo đĩ đã giới thiệu tính chất của Kelly ở nhiều khía cạnh khác nhau. Cho đến nay thì tính chất của Kelly vẫn được nhiều nhà tốn học trên quan tâm và nghiên cứu. Như vậy lý thuyết siêu khơng gian đã trở thành một phương tiện quan trọng để tìm kiếm thơng tin về tính compact, tính liên thơng của một khơng gian tơpơ X bằng cách nghiên cứu các tính chất của siêu khơng gian 2 { :X F X F  đĩng, khác rỗng} và ( ) { 2 :XC X F F  liên thơng}. Như trên đã đề cập, đề tài về siêu khơng gian là một đề tài được nhiều nhà tốn học quan tâm, một trong những vấn đề được quan tâm trên siêu khơng gian là các hàm khoảng cách trên siêu khơng gian và sự ứng dụng của các hàm khoảng cách này. Chẳng hạn ta cĩ thể dùng các hàm khoảng cách trên siêu khơng gian để đo quá trình phát triển của một robot như ví dụ sau đây: Cho một robot được thiết kế để điêu khắc, trước hết ta phải cĩ một mẩu gỗ (trong tốn học là một khối lập thể trong 3 ), mục đích là để tạo ra một hình dáng mong muốn (khối lập thể khác trong 3 ), ta đặt hình dáng cần điêu khắc vào trong mẩu gỗ ban đầu (khối lập thể ban đầu trong 3 ) và bằng cách cắt bỏ đi phần thừa để được sản phẩm cần điêu khắc (xem hình 1). Bằng phương pháp gắn cho khối lập thể ban đầu trong 3 một hệ tọa độ và dùng các hàm khoảng cách trên siêu khơng gian của các tập con đĩng trong 3 để biến khối lập thể ban đầu trong 3 thành hình dáng mong muốn (khối lập thể khác trong 3 ) (ta gọi quá trình này là quá trình phát triển của robot). Nếu nhát cắt đầu tiên được mơ tả như trong hình 1, thì khoảng cách Hausdorff giữa phần điêu khắc chưa xong và thành phẩm cần đạt được khơng đổi, mặc dù trên thực tế hàm khoảng cách này cĩ tiến bộ nhất định. Điều này gợi ý cho chúng ta rằng mêtric Hausdorff khơng là hàm khoảng cách tốt để đo quá trình phát triển của Robot. Do đĩ trong luận văn này ta sẽ xác định các hàm khoảng cách thích hợp hơn để sử dụng cho mục đích của chúng ta. Vì siêu khơng gian là một đề tài thời sự và cĩ nhiều ứng dụng trong thực tế nên trong luận văn này chúng tơi nghiên cứu một số vấn đề trên siêu khơng gian, và đề tài nghiên cứu của chúng tơi là “các mêtric trên các siêu khơng gian”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các mêtric trên các siêu khơng gian. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Các mêtric và các hàm khoảng cách trên các siêu khơng gian. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng các hàm khoảng cách trên các siêu khơng gian để đo tiến trình phát triển của robot. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn của chúng tơi gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài. Phần nội dung: Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về độ đo và tích phân Chương 2: Luận văn dành cho việc nghiên cứu các khái niệm về ánh xạ Whitney, các hàm phân kỳ và các tính chất của chúng. Chương 3: Giới thiệu một số hàm khoảng cách trên các siêu khơng gian. Nội dung chương này gồm hai phần. Phần 1, giới thiệu các hàm khoảng cách Hmax, H+, HLmax, HL+, Wmax, W+ và so sánh các hàm này với nhau. Phần 2, giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các mêtric tích phân này. Phần kết luận: Tĩm tắt và đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về các mêtric trên các siêu khơng gian. Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này là những kiến thức về độ đo, tích phân và tơpơ đại cương làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. 1.1 Độ đo và tích phân 1.1.1 Đại số,  - Đại số 1.1.1.1 Định nghĩa 1. Một họ M những tập con của một tập hợp X gọi là một đại số tập hợp con của X nếu a) X M (1) Với mọi , \cA A X A  M M (2) b) Với một họ hữu hạn tùy ý 1,..., nA A M , 1 n i i A   M (3) M gọi là một  - đại số những tập hợp con của X nếu nĩ thỏa mãn hai điều kiện (1), (2) và với một họ đếm được bất kỳ 1 2, ...A A M , 1 n n A    M (3’) Cặp (X, M ) trong đĩM là một  - đại số những tập hợp con của X gọi là một khơng gian đo được. Mỗi tập hợp AM gọi là một tập hợp đo được. Mỗi  - đại số là một đại số. Thật vậy, giả sử M là một  - đại số và 1,..., nA A M Đặt An+1 = An+2 = … = . Khi đĩ tập hợp 1 1 n i j i j A A       M . Vậy M là một đại số. Từ (1), (2) suy ra rằng tập hợp rỗng là một phần tử của đại số M . 1.1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1 Họ tất cả các tập hợp con của một tập hợp X cho trước là một - đại số. Ví dụ 2 Giả sử A là một tập hợp con của một tập hợp X. Khi đĩ { , , }cX A A là một  - đại số. 1.1.1.3 Định lí 1. Nếu M là một đại số thì a) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp thuộc M là một tập thuộc M b) Hiệu của hai tập thuộc M là một tập hợp thuộc M . Chứng minh. a) Giả sử 1,..., nA A M .Theo cơng thức Đờ Mĩocgăng ta cĩ 1 1 1 (( ) ) ( ( ) ) n n n c c c c i i ii i n A A A       M b) Nếu A, B M thì A \ B A Bc  M Hiển nhiên định lí 1 vẫn đúng nếu M là một  - đại số. 1.1.1.4 Định lí 2. Giao của một họ đếm được những tập hợp thuộc một -đại số M là một tập hợp thuộc M . Chứng minh. Nếu 1 2, ...A A M thì 1 1 ( ) ( )c cn nn nA A      M . Do đĩ 1 nn A   M 1.1.2 Độ đo 1.1.2.1 Định nghĩa 3. Giả sử M là một  - đại số những tập hợp con của một tập hợp X. hàm số : [0, ]  M gọi là một độ đo nếu. 1) µ() = 0 2) µ là  - cộng tính, tức là nếu A1, A2, … là một họ đếm được những tập hợp đơi một rời nhau thuộc M thì 1 1 ( ) ( )n nn n A A        Bộ ba (X, M , µ) trong đĩM là một  - đại số những tập hợp con của tập hợp X, : [0, ]  M là một độ đo, gọi là một khơng gian độ đo. Nếu AM thì số µ (A) gọi là độ đo của tập hợp A. Độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µ (X) < ∞. Độ đo µ gọi là  - hữu hạn nếu 1 n n X X    , nX M , µ (Xn) < ∞ với mọi số tự nhiên n. Hiển nhiên độ đo hữu hạn là  - hữu hạn. 1.1.2.2 Ví dụ Ví dụ 4 Hàm số xác định trên một  - đại số và đồng nhất bằng khơng là một độ đo. Đĩ là độ đo hữu hạn. Ví dụ 5 ChoM là một  - đại số những tập hợp con của một tập hợp X, xo  X. Hàm số : [0, ]  M xác định bởi 1 ( ) 0 o o nếu x A A nếu x A       M M là một độ đo hữu hạn. 1.1.2.3 Định lí 3.Giả sử µ là một độ đo xác định trên một  - đại sốM . Khi đĩ a) µ là cộng tính hữu hạn (gọi tắt là cộng tính), tức là nếu A1, …, Am là những phần tử đơi một rời nhau của M thì 1 1 ) ( ) mm ii i A   b) Nếu ,A BM và A  B thì µ(A) ≤ µ(B), ngồi ra nếu µ(A) < ∞ thì      B \ A Aµ µ B µ  c) Nếu A1, A2, …  M thì 1 1 ) ( )n nn n A A   Chứng minh a) Đặt Am+1 = Am+2 = … = . Do tính  - cộng tính của µ, ta cĩ 1 1 11 1 ) ) ( ) ( ) ( ) m m m i n n i i n i ii n A A A A A                      b) Ta cĩ B = A  (B\A). Theo a) µ(B) = µ (A) + µ(B\A). Vì µ(B\A)  0 nên    A Bµ µ . Nếu µ(A) hữu hạn thì từ đẳng thức trên suy ra µ(B\A) = µ (B) - µ(A). c) Đặt B1 = A1, 1 1 \ n n n i i B A A     , với n = 2, 3, … Các tập hợp Bn là đo được và 1 1 n n n n A B       . Vì Bn  An nên µ(Bn) ≤ µ(An) với mọi n. Các Bn đơi một rời nhau nên 1 11 1 ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nn n A B B A               . 1.1.2.4 Hệ quả 1 1) Tập hợp con đo được của một tập hợp cĩ độ đo khơng là một tập hợp cĩ độ đo khơng. 2) Nếu A, B  M , µ(B) = 0 thì µ(A  B) = µ (A\B) = µ(A). 3) Hợp của một họ hữu hạn hoặc đếm được những tập hợp cĩ độ đo khơng là một tập hợp cĩ độ đo khơng. Chứng minh. 1) Giả sử A, B  M , A  B và µ(B) = 0 Khi đĩ 0 ≤ µ(A) ≤ µ(B) = 0. Do đĩ µ(A) = 0. 2) Vì A  A  B nên µ(A) ≤ µ(A  B) Mặt khác µ(A  B) ≤ µ(A) + µ(B) = µ(A). Từ hai bất đẳng thức vừa chứng minh, suy ra µ(A  B) = µ(A). Ta cĩ A = (A\B)  (A  B). Vì A  B  B, µ(B) = 0 nên ( ) 0A B   Theo trường hợp vừa chứng minh, ta cĩ µ(A) = µ(A\ B). 3) Giả sử A1, A2, … M và µ(An) = 0 với mọi n. Khi đĩ 1 1 0 ( ) ( ) 0n nn n A A      . Do đĩ 1( ) 0nn A    1.1.3 Hàm số đo được Hàm số :f X   gọi là hữu hạn (trên X) nếu f(X)   . 1.1.3.1 Định nghĩa 4. Cho một khơng gian đo được (X, M) và A  M . Hàm số :f A  gọi là đo được trên tập hợp A nếu với mỗi a   , tập hợp { : ( ) }x A f x a  M . 1.1.3.2 Định lí 4. Giả sử A là một tập hợp đo được. Khi đĩ 4 điều kiện sau tương đương: 1) f là đo được trên A. 2) Với mọi a   , tập hợp {x  A : f(x)  a} là đo được. 3) Với mọi a   , tập hợp {x  A : f(x) > a} là đo được. 4) Với mọi a  , tập hợp {x  A : f(x) ≤ a} là đo được. Chứng minh Vì hai tập hợp {x  A :f(x) <a} và { x  A : f(x)  a} là bù nhau đối với tập hợp A nên 1) và 2) tương đương. Tương tự 3) và 4) tương đương. Ta chứng minh 2) tương đương với 3). Giả sử f thỏa mãn 2). Khi đĩ với mọi a  , {x  A : f(x)  a} = 1 1{ : ( ) } n x A f x a n      M Vậy f thỏa mãn 3). Nếu f thỏa mãn 3) thì với mọi a  . {x  A : f(x)  a} = 1 1{ : ( ) } n x A f x a n      M Vậy f thỏa mãn 2). 1.1.3.3 Hệ quả 2 1) Nếu hàm số f đo được trên A và B là một tập hợp con đo được của A thì f đo được trên B. 2) Nếu f đo được trên một họ hữu hạn hoặc đếm được tập hợp {An} thì f đo được trên nn A (giả thiết rằng f là một hàm số xác định trên nn A ) Chứng minh. 1) Với mọi a   , {x  B : f(x) < a} = B  {x  A : f(x) < a}  M 2) Với mọi a   , {x  nn A : f(x) < a} = n{x  An : f(x) < a}  M 1.1.3.4 Định lí 5. Giả sử (X, M ) là một khơng gian đo được và A  M. Khi đĩ a) Nếu f là một hàm số đo được trên A và c   thì cf cũng là một hàm đo được trên A. b) Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên A. c) Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A. Nếu f là một hàm số đo được trên A và  là một số dương thì |f| là một hàm số đo được trên A; nếu f(x)  0 với mọi x  A thì 1 f là một hàm đo được trên A. Chứng minh. a) Nếu c > 0 thì với mọi a  , {x  A : cf(x) < a} = {x  A : ( ) af x c  }  M. Nếu c < 0 thì {x  A : cf(x) < a} = {x  A : ( ) af x c  }  M. Nếu c = 0 thì cf(x) = 0 với mọi x  A. 0 { : ( ) } 0 Anếua x A cf x a nếua      Vậy cf đo được trên A. b) Vì tập hợp các số hữu tỉ Q là đếm được nên cĩ thể viết Q = {rn}. Với mọi a  , 1 1 { : ( ) ( ) } { : ( ) ( )} ({ : ( ) } { : ( ) }) ({ : ( ) } { : ( ) }) n n n n n n x A f x g x a x A f x a g x x A f x r x A a g x r x A f x r x A g x a r                              M M Vì f và g đo được trên A. c) Nếu a ≤ 0 thì {x  A : |f(x)| < a} = . Nếu a > 0 thì 1 1 1 { :| ( ) | } { :| ( ) | } { : ( ) } { : ( ) } x A f x a x A f x a x A f x a x A f x a                M Vì f đo được trên A. Đặc biệt bình phương của một hàm đo được là một hàm được. Nếu f và g là hai hàm số đo được hữu hạn đo được trên A thì từ đẳng thức 2 21 [( ) ( ) ] 2 fg f g f g    Và a), b) suy ra rằng tích fg là một hàm số đo được trên A. Giả sử f là một hàm số đo được trên A và f(x)  0 với mọi x  A. Trước hết ta chứng minh 21f là một hàm số đo được trên A. Thật vậy, nếu a ≤ 0 thì tập hợp 21{ : }( )x A af x   . Nếu a > 0 thì tập hợp 2 2 1 1{ : } { : ( ) } ( ) x A a x A f x f x a      M Vì f 2 đo được trên A. Do đĩ 21 1.ff f là một hàm số đo được trên A. 1.1.3.5 Khái niệm hầu khắp nơi Cho một khơng gian độ đo ( , , )X M , AM . Ta nĩi một tính chất (T) nào đĩ xảy ra hầu khắp nơi trên A (viết tắt là h.k.n) nếu tồn tại một tập hợp BM sao cho , ( ) 0B A B  và tại mỗi điểm \x A B đều cĩ tính chất (T). Nĩi cách khác, các điểm x A tại đĩ khơng cĩ tính chất (T) đều thuộc tập hợp cĩ độ đo khơng. 1.2 Tích phân Lơbegơ 1.2.1 Tích phân của hàm đơn giản đo được 1.2.1.1 Định nghĩa 5. Giả sử (X, M , µ) là một khơng gian độ đo, A M và 1 i m i A i s     là một hàm đơn giản đo được trên tập hợp A. Số 1 ) m i i i     (1) gọi là tích phân của hàm đơn giản đo được s trên tập hợp A đối với độ đo µ, ký hiệu là A s d hoặc ( ) ( ) A s x d x ; A s d là một số khơng âm hữu hạn hoặc vơ hạn. Chú ý rằng tổng (1) khơng phụ thuộc vào cách biểu diễn của hàm đơn giản s. Thật vậy, giả sử s được viết dưới một dạng khác: 1 j m j B j s     , trong đĩ B1, …, Bn là những tập hợp đo được đơi một rời nhau, 1 , n j j B A   và 1, …, n là những số thực hữu hạn khơng âm. Khi đĩ 1 1 ( ), n n i i j i j j j A A B A B           với i = 1,…, m. Hiển nhiên các tập hợp (Ai  Bj), j = 1, …, n, đơi một khơng cĩ điểm chung. Do đĩ 1 ( ) ) n i i j j A B      và 1 1 1 ( ) ( ) m m n i i i i j i i j A A B          (2) Tương tự 1 1 1 ( ) ( ) m n m j j j i j j j i B A B          (3) Nếu x  Ai  Bj thì i = s(x) = j. Từ đĩ suy ra rằng các tổng ở vế trái của hai đẳng thức (2) và (3) bằng nhau. Từ định nghĩa vừa nêu suy ra các tính chất sau của tích phân của các hàm số đơn giản. 1.2.1.2 Định lí 6. Giả sử s và t là những hàm đơn giản đo được trên một tập hợp A. Khi đĩ a) , , 0, A A csd c sd c R c      b) ( ) , A A A s t d sd td       c) Nếu s ≤ t thì , A A sd td   d) {sn} là một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản hội tụ đến hàm đơn giản s trên A thì lim nn A A s d sd    Chứng minh. Các tính chất a) và c) là hiển nhiên. Ta chứng minh b) và d). b) Giả sử 1 i m i A i s     , 1 j m j B j t     trong đĩ A1, …, Am và B1, …, Bn là những tập hợp đo được đơi một rời nhau, , 1 1 , [0, ) m n i j i j i j A B A          . Dễ dàng thấy rằng 1 1 ( i j m n i j A B i j s t           . Do đĩ 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ) ) ) ) m n i j i j i jA m n n m i i j j i j i j j i m n i i j i i j A A s t d A B A B A B A B sd td                                                  d) Giả sử 1 i m i A i s     và t là một số bất kỳ thuộc (0, 1). Đặt Ai,n = {x  Ai : sn  ti}, i = 1, …, m, n  N. Hiển nhiên Ai,n là những tập hợp đo được. Vì sn ≤ sn+1 nên Ai,n  Ai,n+1. Do lim ( ) ( ),nn s x s x x A   nên , 1 i n i n A A    . Từ đĩ ,( ) lim ( )i i nnA A   (1) Đặt , 1 ( ) ( ), , i m n i A n i f x t x x A n N      Hiển nhiên fn ≤ sn ≤ s với mọi n. Từ đĩ, theo c), , 1 ( ) m i i n n n i A A A t A f d s d sd          với mọi n. Cho n  và sử dụng đẳng thức (1), ta được 1 ( ) lim m i i nniA A A t sd t A s d sd         (2) Giới hạn lim nn A s d  tồn tại vì n A s d     là một dãy số đơn điệu tăng. Trong (2) cho 1t  , ta được đẳng thức cần chứng minh. 1.2.2 Tích phân của hàm đo được khơng âm Định nghĩa 6. Số lim nn A s d  gọi là tích phân của hàm số đo được khơng âm f trên tập hợp A đối với độ đo µ, ký hiệu là A f d hoặc ( ) ) A f x d x . Tích phân của một hàm số đo được khơng âm bao giờ cũng tồn tại. Đĩ là một số khơng âm hữu hạn hoặc vơ hạn. 1.2.3 Tích phân của một hàm số đo được bất kỳ Định nghĩa 7. Giả sử :f A  là một hàm đo được bất kỳ trên tập hợp A. Nếu một trong hai tích phân A f d  và A f d  hữu hạn thì hiệu A A f d f d    được gọi là tích phân của hàm số f trên tập hợp A đối với độ đo µ, ký hiệu là A f d hoặc ( ) ) A f x d x . Đối với một hàm số đo được bất kỳ f trên một tập hợp A khơng phải bao giờ tích phân A f d cũng tồn tại. Nếu tích phân đĩ tồn tại thì nĩ là một số thực hữu hạn hoặc vơ hạn. Nếu A f d hữu hạn thì f gọi là một hàm khả tích trên A. 1.2.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 1.2.4.1 Định lí 7. Nếu f là một hàm số đo được trên một tập hợp A và ( ) 0A  thì 0 A fd Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng định lí đúng đối với hàm đơn giản. Từ đĩ suy ra định lí đúng đối với hàm số đo được khơng âm, từ đĩ lại suy ra rằng định lí đúng đối với hàm số đo được bất kỳ trên A (theo các định nghĩa 2 và 3). 1.2.4.2 Định lí 8. Giả sử f và g là hai hàm số đo được trên một tập hợp A. Nếu f ≤ g thì A A f d gd   , (Giả sử hai tích phân đều tồn tại). Chứng minh. Ta đã biết rằng bất đẳng thức cần chứng minh đúng trong trường hợp f và g là những hàm đơn giản. Giả sử 0 ≤ f ≤ g. Khi đĩ tồn tại hai dãy đơn điệu tăng {fn} và {gn} những hàm đơn giản đo được trên A sao cho lim ( ) ( )nn f x f x  và lim ( ) ( )nn g x g x  với mọi x  A. Đặt hn = min(fn, gn), n  N. {hn} cũng là một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản đo được trên A, trong đĩ lim ( ) ( ),nn h x f x x A   và hn ≤ gnvới mọi n. Do đĩ n n A A h d g d   với mọi n. Từ đĩ lim limn nn n A A A A fd h d g d gd        Bây giờ giả sử f và g là hai hàm số đo được bất kỳ cĩ tích phân trên A. Nếu f ≤ g thì f + ≤ g + và f -  g-. Theo điều vừa chứng minh trên, từ đĩ suy ra A A f d g d    (1) và A A f d g d    (2) Từ hai đẳng thức (1) và (2) suy ra A A A A A A f d f d f d g d g d gd                1.2.4.3 Định lí 9. Giả sử A và B là hai tập hợp đo được khơng giao nhau và f là một hàm số đo được trên A  B. Nếu A B fd   tồn tại thì hai tích phân A fd và B fd cũng tồn tại, và A B A B fd fd fd       (1) Đảo lại, nếu tổng ở vế phải của (1) cĩ nghĩa thì A B fd   tồn tại và ta cĩ đẳng thức (1). Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh định lí cho ba trường hợp: f là một hàm đơn giản, f khơng âm và f cĩ dấu bất kỳ trên A  B. 1) f là một hàm đơn giản đo được trên A  B. Giả sử 1 i m i E i f     , trong đĩ E1, …, Em là những tập hợp đo được đơi một rời nhau, 1 m i i E A B    và 1,…, m là những số khơng âm hữu hạn. Khi đĩ 1 | i m A i E A i f       và 1 | i m B i E B i f       Vì ( ) ( ) ( )i i i iE E A B E A E B       và hai tập hợp iE A và iE B khơng giao nhau nên ( ) ( ) ( ), 1,2,...,i i iE E A E B i m       Do đĩ 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m i i i i i i i i iA B A B fd E E A E B fd fd                     2) f là một hàm số đo được khơng âm trên A  B. Khi đĩ tồn tại một dãy đơn điệu tăng {sn} những hàm đơn giản đo được trên A  B hội tụ đến hàm số f trên A  B. Theo phần 1) vừa chứng minh, ta cĩ n n n A B A B s d s d s d       với mọi n. Trong đẳng thức trên, cho n  . Theo định nghĩa tích phân của một hàm số đo được khơng âm, ta được A B A B fd fd fd       3) f là một hàm số đo được bất kỳ trên A  B và tồn tại A B fd   . Khi đĩ f f f   , trong đĩ f + và f – là những hàm số đo được khơng âm trên tập hợp A  B. Theo phần 2) vừa chứng minh, ta cĩ A B A B f d f d f d         (2) Và A B A B f d f d f d         (3) Vì A B fd   tồn tại nên ít nhất một trong hai tích phân A B f d   và A B f d   hữu hạn. Giả sử chẳng hạn A B f d   hữu hạn. Từ (3) suy ra rằng cả hai tích phân A f d  và B f d  đều hữu hạn. Trừ (2) cho (3) ta được đẳng thức cần chứng minh. Nếu tổng ở vế phải của (1) cĩ nghĩa thì một trong hai tổng A B f d f d    và A B f d f d    hữu hạn. Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra rằng A B f d   hoặc A B f d   hữu hạn. Vậy A B fd   tồn tại. 1.2.4.4 Hệ quả 3. Giả sử A và B là hai tập hợp đo được, B  A và f là một hàm số đo được trên A. a) Nếu f  0 trên A thì , B A fd fd    b) Nếu A fd tồn tại thì B fd cũng tồn tại, Chứng minh. a) là hiển nhiên. b) suy ra từ định lí 9 vì A = B  (A\B). 1.2.4.6 Hệ quả 4. Nếu f là một hàm số đo được khơng âm trên một tập hợp A và 0 A fd thì f = 0 h.k.n trên A. Chứng minh. Đặt B = {x  A : f(x) > 0} và An = { x  A : 1( )f x n }, n = 1, 2, … Hiển nhiên 1 nn B A   . Do đĩ 1( ) ( )nnB A     . Vì 1 1( ) 0 n n n A A A A d fd fd n n          , nên µ(An) = 0 với mọi n. Từ đĩ suy ra µ(B) = 0. 1.2.4.7 Hệ quả 5. Nếu µ(B) = 0 thì \A A B A B fd fd fd       (giả thiết rằng một trong ba tích phân tồn tại). Chứng minh. Giả sử chẳng hạn A fd tồn tại A  B = A  (B\A), A và B\A khơng giao nhau. Vì B\A  B nên µ(B\A) = 0, do đĩ \ 0 B A fd . \A B A B A A fd fd fd fd         Ta cĩ A = (A\B)  (A  B), A\B và A  B khơng giao nhau và ( ) 0A B   . Theo điều vừa chứng minh, ta cĩ: \A A B fd fd   1.3 Khơng gian mêtric 1.3.1 Khơng gian mêtric Cho X là một tập. Một hàm 2:d X   là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i)    , 0; , 0 ;d x y d x y x y    (ii)    , ,d x y d y x ; (iii)      , , , , , ,d x z d x y d y z x y z X    . Khơng gian mêtric  ,X d là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu  ,X d là một khơng gian mêtric thì mỗi x X gọi là một điểm và với mọi ,x y X ta gọi  ,d x y là khoảng cách từ x đến y. 1.3. 2 Khoảng cách Cho A, B là hai tập con khác rỗng của khơng gian mêtric X. Đặt , ( , ) inf ( , ) x A y B d A B d x y  Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Nếu A  B   thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nĩi chung khơng đúng. 1.4 Khơng gian tơpơ 1.4.1 Tơpơ. Khơng gian tơpơ Cho một tập X. Một họ  các tập con của X gọi là một tơpơ trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) X và  thuộc  ; (ii) Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ; (iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  . 1.4.2 Cơ sở Cho  là một tơpơ trên X. Một họ  của  gọi là một cơ sở của  nếu mọi tập thuộc  đều bằng hợp của một họ các tập thuộc  . Nĩi cách khác, họ con  của  là cơ sở của  nếu mọi G  mọi x G tồn tại V  sao cho x V G  . Chương 2: ÁNH XẠ WHITNEY VÀ CÁC HÀM PHÂN KỲ Tất cả các khơng gian được xét ở đây là khơng gian mêtric và tất cả các ánh xạ là liên tục. 2.1 Ánh xạ Whitney 2.1.1 Định nghĩa và định lí 2.1.1.1 Định nghĩa 1 - Khơng gian mêtric X là một continuum nếu X là khơng gian liên thơng, compact, chứa nhiều hơn một điểm. - Continuum con là khơng gian con liên thơng, compact, khác rỗng của khơng gian đã cho (continuum con cĩ thể là khơng gian một điểm). Cho 2 { :X A X A  đĩng, khác rỗng} và ( ) { 2 :XC X A A  liên thơng}, một mêtric trên 2X được xác định như sau: 2.1.1.2 Định nghĩa 2 Nếu 0  và 2XA , định nghĩa  ( , ) : ( , ) ,dN A x X d x a a A     Nếu , 2XA B , định nghĩa:  ( , ) inf 0 : ( , ), ( , )d d dH A B A N B B N A      Ta thấy dH là một hàm từ tích 2 2X X vào tập hợp các số thực khơng âm. Ta sẽ chứng minh dH là một mêtric trên 2X và gọi là mêtric Hausdorff sinh bởi mêtric d. Khi khơng sợ nhằm lẫn ta viết H thay cho dH và ( , )N thay cho ( , )dN . Trong suốt luận văn này H và dH luơn là mêtric Hausdorff. 2.1.1.3 Định lí 1 Hàm : 2 2 [0, )X XH    là một mêtric trên 2X . Chứng minh Các điều kiện i), ii) về mêtric dễ dàng kiểm tra, ta kiểm tra điều kiện về bất đẳng thức tam giác. Cho , , 2XA B C , ta chỉ ra ( , ) ( , ) ( , )H A C H A B H B C  . Cho n > 0 và 2 n  . Từ định nghĩa của H ta thấy rằng: (1) ( ( , ) , )A N H A B B  (2) ( ( , ) , )B N H B C C  Cho a A . Từ (1) tồn tại b B sao cho (3) ( , ) ( , )d a b H A B   Từ (2) tồn tại c C sao cho (4) ( , ) ( , )d b c H B C   Từ (3), (4) và định nghĩa của  ta suy ra ( , ) ( , ) ( , )d a c H A B H B C n   vì a là một điểm bất kỳ thuộc A nên ta cĩ: (5) ( ( , ) ( , ) , )A N H A B H B C n C   Tương tự ta cĩ (6) ( ( , ) ( , ) , )C N H A B H B C n A   Vì n là một số dương bất kỳ, từ (5), (6) và định nghĩa của H(A,C) suy ra ( , ) ( , ) ( , )H A C H A B H B C  2.1.1.4 Quy ước - Khi ta viết 2X ta hiểu đây là khơng gian 2X với tơpơ cảm sinh từ mêtric Hausdorff. - Khi ta viết C(X) ta hiểu đây là khơng gian C(X) với tơpơ trên C(X) cảm sinh từ tơpơ trên 2X . Các khơng gian 2X và C(X) được gọi là các siêu khơng gian (hyperspace) của X. 2.1.1.5 chú ý 1 Với , 2Xx X K  bất kỳ, cho ( , ) inf{ ( , ) : }d x K d x y y K  . Mêtric ( , )dH A B trên 2 X cịn được cho bằng cơng thức sau: với , 2XA B  ( , ) max sup ( , ),sup ( , ) ( , )d a A b B D A B d a B d b A H A B     2.1.1.6 Định nghĩa 3 Cho 2 , 1,2,...XiA i  . lim infA :i x X  Nếu U là một tập con mở của X, x U thì iU A   ngoại trừ một số điểm hữu hạn i} lim supA :i x X  nếu U là một tập con mở của X, x U thì iU A   với mọi i hữ hạn. Nếu lim infA lim supAi iA  thì ta nĩi dãy   1i iA  hội tụ về A, ta viết lim iA A hay iA A 2.1.1.7 Chú ý 2: Cho 2 , 1,2,...XiA i  khi đĩ a) lim infA limsupAi i b) lim infAi và limsupAi là các tập con đĩng của X c) Nếu  ( ) 1i j jA  là một dãy con của   1i iA  thì ( )lim infA lim infAi i j và ( )limsupA limsupAi j i 2.1.1.8 Định lí 2 Cho 2 , 1,2,...XiA i  Nếu dãy   1i iA  hội tụ về A theo định nghĩa 3 thì 2XA và dãy   1i iA  hội tụ về A theo theo mêtric Hausdorff. Ngược lại, nếu dãy   1i iA  hội tụ về 2XA theo mêtric Hausdorff thì dãy   1i iA  hội tụ về A theo định nghĩa 3. Chứng minh Giả sử   1i iA  hội tụ về A theo định nghĩa 3. Vì X compact và iA   , suy ra limsup iA   . Mà limsup iA A , suy ra A   . Từ b) suy ra A là tập con compact của X. Do đĩ 2XA . Tiếp theo ta chỉ ra   1i iA  hội tụ về A theo mêtric Hausdorff. Cho 0  . Chú ý: (1) limsup ( , )iA A N A  , ( , )N A là tập con mở của X (2) Phần bù của ( , )N A là một tập con compact của X Từ (1), (2) và (c) suy ra tồn tại một số tự nhiên 1N sao cho (3) ( , )iA N A với mỗi 1i N . Vì A là tập con compact khác rỗng của X nên tồn tại một số hữu hạn các tập con mở 1 2, ,..., kU U U của X sao cho 1 k jj A U      đường kính của mỗi ( )jU i j k  nhỏ hơn  và , 1,2,...jU A j k   . Vì lim inf iA A nên tồn tại một số tự nhiên , 1,2,..., .jM j k sao cho i jA U  với mọi ji M . Cho 2 1 2max{ , ,..., }kN M M M , suy ra (4) ( , )iA N A với mỗi 2i N Cho 1 2max{ , }N N N . Từ (3), (4) và định nghĩa của H ta thấy rằng ( , )iH A._. A  với mỗi i N . Vậy   1i iA  hội tụ về A theo mêtric Hausdorff. Giả sử   1i iA  hội tụ về 2XA theo mêtric Hausdorff. Trước hết ta chứng minh (5) limsup iA A . Cho 0  . Vì   1i iA  hội tụ về A theo mêtric Hausdorff H nên tồn tại một số tự nhiên N sao cho ( , )iH A A  với mỗi i N . Do đĩ từ định nghĩa của H ta cĩ ( , )iA N A với mỗi i N . Suy ra limsup iA A . Tiếp theo ta chứng minh (6) lim inf iA A . Cho 00,a A   và  0: ( , )U x X d a x    . Vì   1i iA  hội tụ về A theo mêtric Hausdorff H nên tồn tại một số tự nhiên N sao cho ( , )iH A A  với mỗi i N . Từ định nghĩa của H ta cĩ ( , )iA N A với mỗi i N . Do đĩ iU A  với mỗi i N , vì 0  bất kỳ, 0 lim inf ia A . Suy ra lim inf iA A . Kết hợp (5), (6) và a) ta được dãy   1i iA  hội tụ về A theo định nghĩa 3. 2.1.1.9 Chú ý 3: Từ đây khi ta nĩi dãy   1i iA  hội tụ trong 2X thì ta hiểu hội tụ theo định nghĩa 3 hoặc hội tụ theo mêtric Hausdorff. 2.1.1.10 Định lí 3 Các khơng gian 2X và C(X) là compact. Chứng minh (*) Chứng minh 2X compact Ta chỉ ra mọi dãy trong 2X cĩ một dãy con hội tụ theo định nghĩa 3 như sau: Cho   1i iA  là một dãy các tập 2XiA  . Ta định nghĩa các dãy       1 1 1 1 1 21 2 2 2 2 1 21 1 21 ... ... ... ... ................................ ... ... ................................. i ni i ni n n n n i ni A A A A A A A A A A A A          Bằng quy nạp như sau: Cho  1 2, ,..., ,...nU U U U là một cơ sở đếm được đối với tơpơ trên X. Định nghĩa  1 1i i A   bằng 1 i iA A với mỗi 1,2,...i  Theo giả thiết quy nạp ta cĩ định nghĩa của dãy   1 n i i A   . Ta định nghĩa  1 1 n i i A   theo một trong hai cách sau. (1) Nếu   1 n i i A   cĩ một dãy con  ( ) 1ni j jA  sao cho ( )limsup ni j nA U      thì  1 1 n i i A   là một trong những dãy con của   1 n i i A   ; (2) Nếu mọi dãy con của   1 n i i A   cĩ một điểm của limsup trong nU , thì  1 1 n i i A   được cho bởi 1n ni iA A  với mỗi 1,2,...i  Bây giờ ta cĩ dãy   1 n i i A   với mỗi 1,2,...i  , xét dãy   1 n n n A   . Rõ ràng   1 n n n A   là một dãy con của   1i iA  , ta sẽ chỉ ra   1nn nA  hội tụ. Giả sử   1 n n n A   khơng hội tụ. Từ a) tồn tại một điểm limsup nnp A sao cho lim inf nnp A . Do đĩ tồn tại mU U sao cho mp U và ( )( )n im n iU A  với dãy con  ( )( ) 1n in i iA  nào đĩ của   1nn nA  . Rõ ràng  ( )( )n in i i mA  là một dãy con của   1 m i i A   . Do đĩ   1 m i i A   thỏa mãn (1) ở trên (với m thay thế cho n trong (1)). Do đĩ 1limsup mi mA U      . Vì   1nn n mA   là một dãy con của  1 1mi iA   và từ c) suy ra limsup nn mA U      , ta cĩ điều mâu thuẩn vì limsup nn mp A U    . Do đĩ   1 n n n A   hội tụ. Vậy 2X compact. (**) Chứng minh C(X) compact. Ta chứng minh C(X) là một tập con đĩng của 2X . Cho   1n nK  là một dãy trong C(X) sao cho   1n nK  hội tụ tới 2XK  . Ta sẽ chỉ ra ( )K C X . Giả sử ngược lại, K khơng phải là một tập con liên thơng của X. Khi đĩ tồn tại các tập con mở rời nhau U và V của X sao cho [ ]K U V  , K U   và K V   . Vì   1n nK  hội tụ tới K theo định nghĩa 3 và vì U V là một tập con mở của X chứa K nên tồn tại một số tự nhiên N sao cho [ ]nK U V  với mỗi n N . Vì mỗi nK là liên thơng và vì U, V là các tập con mở rời nhau của X, ta lại cĩ: với n N bất kỳ, nK U hoặc nK V . Suy ra lim inf nK K . Mâu thuẩn với dãy   1n nK  hội tụ tới K. Do đĩ ( )K C X . 2.1.1.11 Kí hiệu: Cho S là một tập hợp cùng với tơpơ T thì: d) ( ) { :CL S A A là một tập con đĩng khác rỗng của S }. e) Cho 1 2, ,..., nU U U T đặt 1 2 1 , ,..., ( ) : và A U , 1,2,..., n n i ii U U U A CL S A U i n                  2.1.1.12 Định lí 4 Cho S là một tập hợp cùng với tơpơ T. Thì 1 2 1 , ,..., ( ) : và A U , 1,2,..., n n i ii U U U A CL S A U i n                  là một cơ sở của tơpơ trên CL(S). Chứng minh Cho  1 2, ,..., : , 1,2,...,   n iU U U U T i n . Vì S và ( ), ( )  S CL S CL S . Cho 1 2 1 1 2, , , ,..., nB B B U U U  , 2 1 2, ,..., mB V V V và 1 1, n n i ii i U U V V       . Suy ra 1 2 1 1,..., , ,...,n mB B U V U V V U V U      Suy ra  là một cơ sở của tơpơ trên CL(S) 2.1.1.13 Định nghĩa 4 Tơpơ trên CL(S) nhận được từ định lí 4 gọi là tơpơ Vietoris hay tơpơ hữu hạn. 2.1.1.14 Định lí 5 Tơpơ Vietoris và tơpơ mêtric Hausdorff trên 2X là như nhau. Chứng minh Kí hiệu VT là tơpơ Vietoris trên 2X và HT là tơpơ mêtric Hausdorff trên 2X . Từ định lí 3 ta cĩ: (1) 2X với HT là compact (2) 2X với VT là khơng gian Hausdorff Do đĩ từ (1) và (2) suy ra H VT T Ta chứng minh V HT T (*) Cho 1 2, ,..., , 1,2,...,n VA U U U T i n   và [ ]i ia U A  . Với mỗi 1,2,...,i n , cho 0i  sao cho (3)  : ( , )i i ix X d x a U   Và cho 0 0  sao cho (4) 0 1( , ) n ii N A U       Cho 0 1min{ , ,..., }n    . Từ (3), (4) và định nghĩa 2 suy ra   1 22 : ( , ) , ,...,X nK H A K U U U   Do đĩ V HT T Vậy tơpơ Vietoris và tơpơ mêtric Hausdorff trên 2X là như nhau. Cho X là một tập hợp và ( )X là tập hợp tất cả các tập con của X, với ( )X  . Ta xem  như “ siêu khơng gian “. 2.1.1.15 Định nghĩa 5 Cho : [0, ]      và xét các điều kiện sau trên  : ( ) ( , ) 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) i A A ii A C A B B C        ( ) ( , ) 0 ( , )iii A B B A   kéo theo A = B ( ) ( , ) ( , )iv A B B A  Khi đĩ: Hàm  là một giả đối xứng nếu thỏa mãn (i) và (iv). Hàm  là một đối xứng nếu  là giả đối xứng và thỏa mãn (iii). Hàm  là một giả -tựa mêtric nếu thỏa mãn (i) và (ii). Hàm  là một tựa mêtric nếu  là giả-tựa mêtric và thỏa mãn (iii). Hàm  là một giả mêtric nếu  là giả-tựa mêtric và thỏa mãn (iv). Hàm  là một mêtric nếu thỏa mãn (i) đến (iv). 2.1.2 Định nghĩa ánh xạ Whitney Một ánh xạ : 2 [0, )X   là ánh xạ Whitney nếu nĩ thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Với mọi , ({ }) 0x X x  và (2) Với mọi , 2XA B , với A B và , ( ) ( )A B A B   Ta xét các ánh xạ Whitney đặc biệt, thỏa mãn thêm điều kiện (3) Với mọi , , 2XA B C với A B ( ) ( ) ( ) ( )B C A C B A        . 2.2 Mêtric được định nghĩa bằng các hàm phân kỳ Ở phần này ta giới thiệu khái niệm hàm phân kỳ như một hàm giá trị thực mở rộng mà ứng với một cặp (A,U) của các tập hợp cĩ một số thực mở rộng khơng âm ( , )w A U thỏa mãn các tính chất đặc trưng. Cặp (A,U) là cặp đã biết của các tập hợp sao cho A U , và với A cố định, hàm w nhận các giá trị khơng âm nhỏ tùy ý khi U biến đổi. 2.2.1 Định nghĩa và định lí Cho ( )X là tập hợp tất cả các tập con của X, với ( )X  . Ta xem  như “siêu khơng gian“, ta sẽ định nghĩa các kiểu hàm khoảng cách khác nhau trên . Với mỗi A , đặt ( ) { ( ) / }A U X A U    , được cho bởi : ( )X   Và đặt ( , ) {( , ) / ( )}A U U A     2.2.1.1 Định nghĩa 6 Cho : ( , ) [0, ]w     là một hàm giá trị thực mở rộng. Ta định nghĩa: - w là hàm phân kỳ nếu nĩ thỏa mãn (df1) inf{ ( , ) / ( )} 0w A U U A  Trong trường hợp này, số w(A,U) được gọi là sự phân kỳ giữa A và U. - w là hàm t-phân kỳ nếu thỏa điều kiện (df1) và điều kiện sau: (df2) Nếu A B C  , ( ), ( ),U A V B B U    và C V , thì cĩ ( )W A sao cho C W và ( , ) ( , ) ( , )w A U w B V w A W  . - w là hàm phân kỳ riêng nếu thỏa điều kiện (df1) và điều kiện sau: (df3) Nếu ,A B và A B , thì inf{ ( , ) / } 0w A U B U  Dĩ nhiên, một hàm w thỏa (df1)-(df3) là một hàm t-phân kỳ riêng. Tiếp theo ta sẽ sử dụng các hàm phân kỳ này để xây dựng các hàm khoảng cách trên tập . 2.2.1.2 Định nghĩa 7 Với ,A B : ta định nghĩa ( , ) inf{ ( , ) / }ws A B w A U B U  và ( , ) max{ ( , ), ( , )}w w wd A B s A B s B A . Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu w là một hàm phân kỳ, thì dw là một giả đối xứng, nếu w là một hàm phân kỳ riêng, thì sw là một tựa đối xứng và dw là một đối xứng. Trong trường hợp w là một hàm t-phân kỳ thì sw là một giả tựa mêtric và dw là một giả mêtric. Cuối cùng, nếu w là một hàm t-phân kỳ riêng, thì sw là một tựa mêtric và dw là một mêtric. Để thuận tiện, trong phần tiếp theo khi ta sử dụng khơng gian độ đo X thì khơng gian độ đo đĩ là ( , )X  với một tơpơ mêtric sao cho, với 0  , inf{ ( ( ; )) / } 0   x x X , ở đây , ( ; )x X x   là quả cầu bán kính  , tâm tại x. 2.2.1.3 Định nghĩa 8 Cho X là một tập hợp và ( )X  , : [0, ]d X    . Thì bộ ba (X, ,d) là một khơng gian xấp xỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn. (a1) Với mỗi ,{ }x X x  và d(x,{x}) = 0; (a2)   và với mỗi , ( , )x X d x    (a3)  đĩng với phép hợp và với mỗi x X , ,A B X . ( , ) min{ ( , ), ( , )}d x A B d x A d x B  (a4) Cho A và 0  , cho ( ) { / ( , ) }A x X d x A    . Thì với mỗi [0, ]   , ( ),A A    và với mỗi ( ), ( , ) ( , )x X d x A d x A     . 2.2.2 Định lí chính và một vài ví dụ 2.2.2.1 Các ví dụ của các hàm phân kỳ Ví dụ 1. Cho X là một khơng gian độ đo,  là tập hợp các tập con đo được của X. Với A   , cho ( ) { / }A U A U    và độ đo  trên X, định nghĩa ( , ) ( ) ( )w A U U A   . Thì w là một hàm t-phân kỳ, nhưng nĩ cĩ thể khơng là hàm t-phân kỳ riêng. Ta gọi là hàm t-phân kỳ độ đo. Chứng minh Ta cĩ: inf{ ( , ) / ( )} inf{ ( ) ( ) / ( )} 0w A U U A U A U A       Do đĩ w là hàm phân kỳ Cho A B C  , ( ), ( ),U A V B B U    và C V . ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) w A U w B V U A V B U V B A                 ( ) ( ) ( ) ( )U C B A       (vì ( ) ( )C V V C    ) Mặt khác ,B C B U C U B     nên ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) C U C U C U C U B               Suy ra ( , ) ( , ) ( ) ( )w A U w B V C U A     Đặt W C U  , hiển nhiên ( )W A . Suy ra ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )w A U w B V W A w A W     Vậy w là hàm t-phân kỳ Ví dụ 2. Như ví dụ 1, cho X là một khơng gian độ đo, với độ đo , nhưng bây giờ  là tập hợp các tập con đĩng, khác rỗng của X, cĩ độ đo hữu hạn. Với [0, ]   và A , đặt ( , ) { ( , )} x A N A x      . Thì với mỗi tập A , đặt ( ) { ( , ) / 0}A N A    . Định nghĩa ( , ) ( ) ( )w A U U A   thì w là một hàm phân kỳ. Trong trường hợp này w cũng là hàm phâ kỳ riêng. Ví dụ 3. Hàm phân kỳ rời rạc được cho bởi   1 nếu A U ( , ) 0 nếu A = U w A U Với ( ) \{ } X  và (A)={U X/A U}  , thì w là một hàm t-phân kỳ riêng. Ví dụ 4. Cho X là một khơng gian độ đo với độ đo  ,  là tập hợp các tập đĩng, khác rỗng cĩ độ đo hữu hạn. Với A và : (0, )A   , cho ( , ) { ( , ( )) / }N A x x x A    Với mỗi A , đặt ( ) { ( , ) / : (0, )}A N A A    Với A và ( )U A , ta định nghĩa ( , ) ( ) ( )w A U U A   Thì w là hàm phân kỳ riêng. Ta gọi là hàm phân kỳ Hausdorff-Lebesgue. Ví dụ 5. Xét ánh xạ Whitney  thỏa mãn điều kiện: Với mọi , , 2XA B C với A B (w4) ( ) ( ) ( ) ( )B C A C B A        . Đặt 2X , với mỗi A , đặt ( ) { / }A U A U    , ở đĩ X là một khơng gian tơpơ đã cho. Định nghĩa ( , ) ( ) ( )w A U U A   , với A và ( )U A . Thì w là một hàm t-phân kỳ riêng. (chú ý nếu (w4) khơng thỏa mãn, thì w vẫn là hàm phân kỳ riêng) Ví dụ 6. Cho (X,d) là một khơng gian mêtric tùy ý, cho { 2 /  XA A bị chặn}, và với A , đặt ( ) { / }A U A U    . Định nghĩa w trên ( , )   bằng cơng thức ( , ) sup{ ( , ) / }w A U d x A x U  Thì w là một hàm t-phân kỳ riêng, ta gọi là hàm t-phân kỳ Hausdorff. Chứng minh Dễ thấy w là hàm phân kỳ riêng, ta kiểm tra w là hàm t-phân kỳ. Cho A B C  , ( ), ( ),U A V B B U    và C V . ( , ) ( , ) sup{ ( , ) / } sup{ ( , ) / } sup{ ( , ) ( , ) / } sup{ ( , ) / } = (A,U V) w A U w B V d x A x U d x B x V d x A d x B x U V d x A x U V w              Vậy cĩ ( )W U V A   , C W , và ( , ) ( , ) ( , )w A U w B V w A W  Suy ra w là hàm t-phân kỳ riêng. 2.2.2.2 Định lí chính và các ví dụ của các mêtric 2.2.2.2.1 Định lí 2 (định lí chính) Cho w là một hàm t-phân kỳ. Thì sw là một giả-tựa mêtric và dw là một giả-mêtric. Nếu w là một hàm t-phân kỳ riêng thì sw là một tựa mêtric và dw là một mêtric. Trước khi chứng minh định lí này, ta đưa ra một vài hệ quả. Ví dụ 7 Cho w là một hàm t-phân kỳ độ đo trên một khơng gian độ đo X được định nghĩa ở ví dụ 1. Thì sw là một giả-tựa mêtric, và dw là một giả mêtric được xác định trên khơng gian của các tập con đo được của X. Ta sẽ chỉ ra rằng dw cĩ tơpơ tương đương với mêtric  đã biết. Với ( , ) ( ) ( )A B A B A B      Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được sw là giả-tựa mêtric và dw là giả mêtric Ta chỉ ra dw cĩ tơpơ tương đương với mêtric  . Cho nA A , ta cần chỉ ra ( , ) 0w nd A A  . Vì ( , ) max{ ( , ), ( , )}w n w n w nd A A s A A s A A Nên ta phải chỉ ra ( , ) 0 w ns A A và ( , ) 0w ns A A . Chú ý : ( , ) ( ) ( )w n n ns A A A A A    và ( , ) ( ) ( )w n ns A A A A A    Do đĩ ta phải chỉ ra ( ) ( ) 0   n nA A A và ( ) ( ) 0   nA A A Ta cĩ: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )n n n n nA A A A A A A A A            . Do đĩ: ( , ) ( ) ( ) 0w n n ns A A A A A     Chứng minh tương tự ta cĩ ( , ) 0w ns A A  Ngược lại: giả sử ( , ) 0w nd A A  , tức là ( ) ( ) 0   n nA A A và ( ) ( ) 0   nA A A . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n nA A A A A A A A A A               Suy ra ( , ) ( ) ( ) 0n n nA A A A A A       Ví dụ 8 Đặt { ( ) / ,A X A A     đĩng, cĩ độ đo hữu hạn} và ( ) { ( , ) / 0}A N A    Với A và  ( , ) { ( , ) / }N A x x A    Cho ( , ) ( ) ( )  w A U U A với ( )U A . Thì dw là một đối xứng. Hơn nữa với các tập bị chặn trong X, dw cĩ tơpơ mạnh nghiêm ngặt hơn mêtric Hausdorff h, tức là: Nếu An, A là các tập con đĩng và bị chặn của X, thì wdnA A kéo theo hnA A , chiều ngược lại thường khơng đúng. Với  được cho như trong ví dụ 7. Thì dw cũng cĩ tơpơ mạnh nghiêm ngặt hơn  . Hơn nữa: tơpơ của dw trùng với giao của tơpơ Vietoris (được sinh ra bởi mêtric Hausdorff) và tơpơ giả mêtric hiệu đối xứng được sinh ra bởi , trên miền các tập con compact của X. Chứng minh Để thấy dw cĩ tơpơ mạnh hơn mêtric Hausdorff h, cho wdnA A . Khi đĩ ( , ) 0w ns A A và ( , ) 0w ns A A . Giả sử hnA A , thì với  cố định nào đĩ (đưa vào dãy con nếu cần), ( , ) ,nh A A n  . Với mỗi n, cĩ n nx A sao cho ( , )nx N A  hoặc cĩ n nx A sao cho ( , )nx A   . Trong trường hợp cĩ n nx A sao cho ( , )nx N A  , vì ( , ) \N A A là tập mở nên ta cĩ ( , ) inf{ ( , ( , )) / ( , )} = inf{ ( ( , )) ( ) / ( , )} inf{ ( ( , )) ( ) / ( , )} 0 w n n n n s A A w A N A A N A N A A A N A N A A A N A                   Trong trường hợp cĩ n nx A sao cho ( , )nx A   , ta cĩ ( , ) inf{ ( , ( , )) / ( , )} = inf{ ( ( , )) ( ) / ( , )} inf{ ( ( , )) ( ) / ( , )} 0 w n n n n n n n n n n s A A w A N A A N A N A A A N A N A A A N A                   Trái với giả thiết ( , ) 0w ns A A và ( , ) 0w ns A A . Suy ra h nA A . Để thấy bao hàm giữa các tơpơ đĩ là nghiêm ngặt, ta chứng tỏ rằng cĩ các tập ,nA n N và A sao cho h nA A nhưng wd nA A . Thật vậy trong trường hợp này ta lấy / [0,2 ] 2 n n n pA p N      và [0,1]A  . Để thấy dw mạnh nghiêm ngặt hơn  , cho wdnA A trong  . Thì với mỗi n, cĩ hàm : (0, )n A   sao cho ( , )n nA N A  Và với n này, ta cĩ ( ( , )) ( ) 0nN A A    khi n  . Nhưng vì ( , )n nA A A N A    , ta cĩ ( ) ( ) 0nA A A    khi n  . Cũng vì wdnA A , với mỗi n N , cĩ hàm , : (0, )n nA   sao cho ,( , )n nA N A  Và với ,n , này ta cĩ ,( ( , )) ( ) 0n n nN A A    khi n  . Nhưng vì ,( , )n n n nA A A N A    , và ( ) ( ) 0n nA A A    khi n  . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n nA A A A A A A A A A               Suy ra ( , ) 0nA A  . Vì  là một giả-mêtric, khơng là mêtric, nên ta thấy rằng tơpơ Hausdorff- Lebesgue mạnh hơn tơpơ được sinh ra bởi  . Ta sẽ chỉ ra tơpơ Hausdorff-Lebesgue là giao của tơpơ Vietoris với tơpơ được sinh ra bởi  . Để chỉ ra như vậy, ta sẽ chỉ ra sự hội tụ của tơpơ Vietoris và tơpơ được sinh ra bởi  kéo theo sự hội tụ của tơpơ Hausdorff-Lebesgue. Để làm điều đĩ ta giả sử nA A và hnA A . Sau đĩ chỉ ra wdnA A . Do đĩ với mỗi n N , cho (0, )n   sao cho '( , )n nA N A  và sao cho khi n  , 0n  thì 1 ( ( , )) ( , ) ( )n nnN A N A A             . Do đĩ ( ( , )) ( ) 0nN A A    . Để hồn thành chứng minh, ta chỉ ra rằng khi n  , ( ( , )) ( ) 0n n nN A A    . Trước hết, chú ý rằng ( , ) ( ,2 )n nN A N A  và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n nA A A A A A A A A              (Chú ý rằng bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( )n nA A A A A       được suy ra từ việc xét các trường hợp ( ) ( )nA A  và ( ) ( )nA A  . Ở trường hợp thứ nhất, ( ) ( ) ( ) ( ) 0n nA A A A A        , Ở trường hợp thứ 2, ( ) ( ) ( ) ( ) 0n nA A A A A        ). Vì ( ) ( ) 0n nA A A A     , suy ra ( ) ( ) 0nA A   . Do đĩ ta cĩ 0 ( ( , )) ( ) ( ( ,2 )) ( ) ( ) ( ) 0n n n n nN A A N A A A A              Và vì vậy hiển nhiên ( ( , )) ( ) 0n n nN A A    Do đĩ wdnA A . Ví dụ 9. Cho w là hàm t-phân kỳ rời rạc, như đã được định nghĩa ở ví dụ 2.   1 nếu A X ( , ) 0 nếu A=X w A U Ở đĩ ( ) \{ }X   và ( ) { / }A U X A U   Thì sw là một giả mêtric được cho bởi    0, nếu A B ( , ) 1, trường hợp khácw s A B Và dw là một mêtric rời rạc. Ví dụ 10 Cho  là ánh xạ Whitney như ở ví dụ 5 và w là hàm t-phân kỳ ( , ) ( ) ( )w A U U A   Thì sw là một tựa mêtric và dw là một mêtric. Ví dụ 11. Cho (X,d) là một khơng gian mêtric, như ở ví dụ 6 và w là hàm t-phân kỳ Hausdorff trên các tập con đĩng và bị chặn của X. ( , ) sup{ ( , ) / }w A U d x A x U  Thì sw là một giả tựa mêtric và dw là một giả mêtric. 2.2.2.2.2 Chứng minh định lí chính Chứng minh định lí chính. Cho w là một hàm t-phân kỳ. Trước hết ta cần chỉ ra sw là một giả-tựa mêtric. Điều kiện (i) đối với giả-tựa mêtric là một hệ quả của điều kiện (df1) đối với một hàm t-phân kỳ. Điều kiện (ii) được suy ra từ điều kiện (df1) và (df2). Kiểm tra dw là một giả mêtric. Điều kiện (i) và (ii) được kiểm tra tương tự như đối với sw. Điều kiện đối xứng (iii) được suy ra từ định nghĩa của dw. Giả sử w là hàm t-phân kỳ riêng. Thì điều kiện (df3) suy ra sw là một tựa mêtric và dw là một mêtric. Chương 3: MÊTRIC TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN Ở chương hai ta đã giới thiệu khái niệm về hàm phân kỳ và cũng đã chỉ ra khái niệm mới này cĩ thể được sử dụng để định nghĩa các hàm khoảng cách trên siêu khơng gian như thế nào. Trong chương ba này ta xét một vài ví dụ được định nghĩa bằng cách này. Sau đĩ ta sẽ dùng một phương pháp khác để xác định khoảng cách giữa hai tập hợp. 3.1 Các ví dụ về khoảng cách được xác định bằng các hàm phân kỳ 3.1.1 Định nghĩa 3.1.1.1 Định nghĩa 1 Một hàm khoảng cách trên tập X là hàm : [0; ]d X X   , d nhận giá trị thực mở rộng khơng âm trên X. Ta sẽ tập trung vào các hàm khoảng cách mà thỏa mãn các tính chất sau a1) ( , ) 0d x x  a2) ( , ) ( , )d x y d y x a3) d(x,y) = 0 = d(y,x) kéo theo x = y. Một hàm khoảng cách thỏa mãn các tính chất trên được gọi là một đối xứng. 3.1.1.2 Định nghĩa 2 Một mêtric là một hàm khoảng cách mà thỏa mãn các tính chất phía trên, và bất đẳng thức tam giác a4) ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z  . Trong trường hợp đặc biệt, nếu một hàm khoảng cách chỉ được biết là thỏa mãn d(x,y) = 0, ta nhấn mạnh rằng nĩ cĩ thể khơng thỏa d(x,y) = 0 = d(y,x) kéo theo x = y bằng cách xem d như là một giả đối xứng. Nhưng nếu d là một giả đối xứng mà cũng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác thì ta nĩi rằng d là giả mêtric. 3.1.1.3 Định nghĩa 3 Tựa đối xứng là một hàm khoảng cách mà cĩ tính chất d(x,y) = 0 = d(y,x) kéo theo x = y. Tựa mêtric là một tựa đối xứng mà thỏa mãn bất đẳng thức tam giác ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z  3.1.2 Các hàm khoảng cách Cho X là một tập compact trong 2 , và 2X là tập hợp các tập con đĩng (do đĩ compact), khác rỗng của X. Với A X và hàm bất kỳ : [0, ]r A  , đặt ( , ) ( , ( )) x A A r x r x     , Với x  X và [0, ]   , ( , ) { / }x y X y x     Với , 2XA B , ta đặt ( , ) inf{ [0, ] / ( , )}Hs A B A       và 1 21( , ) [inf{ ( ( , )) / : (0, ], ( , )} ( )]HLs A B A r r A B A r A          Ở đĩ  là độ đo Lebesgue. Chú ý: trong cơng thức sHL nếu khơng cĩ căn bậc hai thì kết quả sẽ khơng xác định một tựa mêtric. Chẳng hạn xét các điểm x0 = (0,0), x1 = (1,0), và x2 = (2,0). Thì khoảng cách 2HLs giữa {x0} và {x1} bằng 1, khoảng cách 2HLs giữa {x1} và {x2} bằng 1, nhưng khoảng cách 2HLs giữa {x0} và {x2} bằng 4. Tiếp theo cho  là ánh xạ Whitney, , 2XA B , đặt ( , ) ( ) ( )Ws A B A B A    3.1.2.1 Định lí 1 Các ánh xạ Hs và Ws là các tựa mêtric Chứng minh Các ánh xạ Hs và Ws là các tựa đối xứng gần như hiển nhiên. Ta kiểm tra thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Với ánh xạ Hs : Ta thấy rằng nếu 1 2( , ), ( , )B A C B    thì 1 2( , )C A    1 2( , )Hs A C     Cho 1 2( , ), ( , )H Hs A B s B C   , ta được ( , ) ( , ) ( , )H H Hs A C s A B s B C  Với ánh xạ Ws : Với , , 2XA B C , ta cĩ A C A B C    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A C A B C A B C B C B C A B B B C                          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )W W W A C A A B A B C B s A C s A B s B C                  Các ánh xạ SH, SW là các tựa mêtric và cĩ thể được sử dụng để định nghĩa các mêtric trên 2X (xem ví dụ 10, ví dụ 11 và định lí 2 chương 2) và ánh xạ SHL là tựa đối xứng nhưng ta giả thiết rằng nĩ là tựa mêtric. Tiếp theo ta xét sáu hàm khoảng cách như vậy, mỗi hàm khoảng cách đĩ được xác định từ các tựa mêtric (tựa đối xứng) tương ứng như sau. 3.1.2.2 Định nghĩa 4 Cho một tựa mêtric (tựa đối xứng) s, định nghĩa D bằng: ( , ) max{ ( , ), ( , )}D A B s A B s B A hoặc bởi ( , ) ( , ) ( , )D A B s A B s B A  Ta cĩ sáu hàm khoảng cách như sau: 1/ Hmax là mêtric được định nghĩa như trên, sử dụng max và tựa mêtric SH. max ( , ) max{ ( , ), ( , )}H HH A B s A B s B A (Chú ý: đây là mêtric Hausdorff ) 2/ H+ là mêtric được định nghĩa như trên, sử dụng phép cộng và tựa mêtric sH: ( , ) ( , ) ( , )H HH A B s A B s B A   3/ HLmax là hàm khoảng cách được định nghĩa như trên, sử dụng max và tựa đối xứng sHL: max ( , ) max{ ( , ), ( , )}HL HLHL A B s A B s B A (Chú ý: ta gọi đây là đối xứng Hausdorff-Lebesgue) 4/ HL+ là đối xứng được định nghĩa như trên, sử dụng phép cộng và tựa đối xứng sHL: ( , ) ( , ) ( , )HL HLHL A B s A B s B A   5/ Wmax là mêtric được định nghĩa như trên, sử dụng max và tựa mêtric sW: max ( , ) max{ ( , ), ( , )}W WW A B s A B s B A 6/ W+ là mêtric được định nghĩa như trên, sử dụng phép cộng và tựa mêtric sW: ( , ) ( , ) ( , )W WW A B s A B s B A   Từ đây trở về sau khi ta sử dụng ký hiệu Dmax, D+ đối với một mêtric, ta quy ước max max max max{ , , }D H HL W , { , , }D D HL W    . Và ký hiệu D cĩ thể đại diện cho các ký hiệu bất kỳ sau đây: H, HL,W, Hmax, H+, HLmax, HL+, Wmax, W+. 3.1.3 Sử dụng các hàm phân kỳ để định nghĩa các hàm khoảng cách Với mỗi 2XA , đặt ( ) { ( , ) / [0, ]}H A A      ( ) {( , ) / ( )}H HA U U A    Và định nghĩa hàm giá trị thực mở rộng sau trên ( )H  , ( , ) sup{ ( , ) / }Hw A U d x A x U  Ở đĩ d là hàm khoảng cách Euclide thơng thường trong mặt phẳng. Tiếp theo, đặt ( ) { ( , ) / : [0, ]}HL A A r r A    Và đặt ( ) {( , ) / ( )}HL HLA U U A    . Với ( , ) ( )HLA U   , ta định nghĩa 1 21( , ) ( ( ) ( ))HLw A U U A      Ở đĩ  là độ đo Lebesgue. Cuối cùng, đặt ( ) { / } ( ) {( , ) / ( )} W W W A U X A U U A U U A           Với ( , ) ( )WA U   , định nghĩa ( , ) ( ) ( )Ww A U U A   Ở đĩ  là ánh xạ Whitney. Mỗi { , }H Ww w w là một hàm t-phân kỳ riêng (xem chương 2). Cĩ nghĩa là thỏa mãn các tính chất sau: Với , , 2XA B C và với D  {H, W}: (df1) inf{ ( , ) / ( )} 0Dw A U U A  (df2) Nếu , ( ), ( ), ,D DA B C U A V B B U C V       thì cĩ ( )DW A sao cho C W và ( , ) ( , ) ( , )w A U w B V w A W  . (df3) Nếu A B , thì inf{ ( , ) / } 0w A U B U  Với mỗi hàm phân kỳ như vậy, ta định nghĩa một tựa mêtric s trên 2X (xem chương 2) bằng cơng thức sau. ( , ) inf{ ( , ) / }s A B w A U B U  Từ đây ta định nghĩa các tựa đối xứng. (1) ( , ) inf{ ( , ) / ( )}H H Hs A B w A U B U A   , (2) ( , ) inf{ ( , ) / ( )}HL HL HLs A B w A U B U A   , (3) ( , ) inf{ ( , ) / ( )}W W Ws A B w A U B U A   , 3.1.4 Sự so sánh của sáu đối xứng Ở các hình 2,3 và 4, ta giới thiệu một tập với 2 xấp xỉ. Xấp xỉ tập S được biểu diễn bằng một dải được gấp lại và mặt cắt ngang của một vị trí với một đồi. Xấp xỉ A tới S được biểu diễn bằng một đường liền và diễn một vị trí xấp xỉ bằng một sai số. Xấp xỉ B khác được biểu diễn bằng một đường gạch và cĩ sai số khác, ngồi sai số của A. Do đĩ, bằng trực giác, ta thấy A là một xấp xỉ tới S tốt hơn B. Chú ý: S là tập con một chiều của 2 và được biểu diễn tượng trưng bằng một dãy. Ta cĩ thể chọn S là đa giác hình cung, với các đỉnh (0,0), (2,0), (3,1), (4,0), và (6,0). Ở hình 2, một vị trí S với một đồi được xấp xỉ trước hết bằng một vị trí A với một đồi và một cột cờ, và sau đĩ bằng một vị trí B với một đồi và 2 cột cờ. Các cột cờ biểu diễn các sai số trong các xấp xỉ. Các khoảng cách max max( , ), ( , ), ( , ), ( , )H A S H B S H A S H B S  Thỏa mãn max max( , ) ( , ) ( , ) ( , ) H A S H B S H A S H B S    Do đĩ cả hai kiểu khoảng cách “Hausdorff” trên chưa đủ để nhận ra sự khác nhau về cấp bậc sai số của A đối với B (cùng xấp xỉ tới S). Tuy nhiên, ta cĩ max max max max ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), HL A S HL B S HL A S HL B S W A S W B S W A S W B S         Hình 3 biểu diễn tương tự, vị trí S với 2 xấp xỉ A và B, xấp xỉ A lập lại như trong hình 2, xấp xỉ B bây giờ cĩ sai số thứ 2 nhỏ hơn, và rất gần với sai số thứ nhất. Trong trường hợp này, các đối xứng Hmax, H+, HLmax, và HL+ khơng thích hợp để phân biệt xấp xỉ A tốt hơn với xấp xỉ B xấu hơn. Mặt khác, Wmax và W+ nhận ra các xấp xỉ đĩ. Ở hình 4, xấp xỉ A giống như ở hình 3 (S là một tập con thật sự của A), B cũng là một tập con thật sự của A. Nhưng B khơng so sánh với S, và độ dài của đoạn S\B là đủ nhỏ. Ở ví dụ này các đối xứng D+ cĩ thể phân biệt A với B (cùng xấp xỉ tới S), trong khi các đối xứng Dmax khơng phân biệt được. Chú ý: nếu w là hàm phân kỳ thì max ( , ) ( , )wD S A s S A max ( , ) max{ ( , ), ( , )} ( , )w w wD S B s S A s A B s S A  ( , ) ( , )wD S A s S A  và ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )w w wD S B s S A s B A s S A D S A     . Ta tĩm tắt kết quả của các ví dụ trên trong bảng sau: ta đưa vào bảng tĩm tắt dấu “ + “ nếu ví dụ đĩ chứng minh ( , ) ( , )D A S D B S Và đưa vào dấu “ - “ nếu ví dụ đĩ chứng minh ( , ) ( , )D A S D B S Hình Hmax H+ HLmax HL+ Wmax W+ 2 - - + + + + 3 - - - - + + 4 - + - + - + 3.1.5 Mệnh đề và định lí 3.1.5.1 Mệnh đề 1 (Wlodzimierz J. Charatonik and Matt Insall) Nếu S A B  thì 1/ Nếu { , , }D H HL W thì max ( , ) ( , )D A S D A S và max ( , ) ( , )D B S D B S 2/ max max( , ) ( , )H A S H B S kéo theo max max( , ) ( , )HL A S HL B S và max max( , ) ( , )HL A S HL B S kéo theo max max( , ) ( , )W A S W B S 3/ Nếu A B thì max max( , ) ( , )W A S W B S thậm chí nếu max max( , ) ( , )H A S H B S hoặc max max( , ) ( , )HL A S HL B S 4/ Cĩ một vài trường hợp ở đĩ A B nhưng max max( , ) ( , )H A S H B S và max max( , ) ( , )HL A S HL B S (xem hình 3) Suy ra mơ tả trong kết quả sau là áp dụng cho tình huống được mơ tả ở hình 4. 3.1.5.2 Định lí 2 (Wlodzimierz J. Charatonik and Matt Insall) Nếu A S B  thì với max max max{ , , , , , }D H H HL HL W W   , ta cĩ ( , ) ( , )D A S D B S Nếu A B , thì với { , , }D H HL W ta cĩ ( , ) ( , )D A S D B S  Chứng minh Với max max, , ,H H HL HL  đây là một hệ quả trực tiếp của các định nghĩa các khoảng cách khác nhau. Ta chứng minh max max( , ) ( , )W A S W B S max max ( , ) max{ ( , ), ( , )} ( , ) ( , ) ( ) ( ) = (S B) - (S B) = 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) = (S B) - (S) ( , ) max{ ( , ), ( , )} ( , ) W W W W W W W W W W A S s A S S S A S A S S S B S S B S S B S S A S S S B S S B S W B S s B S S S B S B S                             ( ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) W W W B S B S A S S S B S B S S S A            Suy ra max max( , ) ( , )W A S W B S Tương tự ta cĩ ( , ) ( , )W A S W B S  Nếu A B ta dễ dàng suy ra được với { , , }D H HL W thì ( , ) ( , )D A S D B S  3.1.6 Hàm khoảng cách hấp thụ 3.1.6.1 Định nghĩa 5 Cho  là một siêu khơng gian (tức là một tập con của 2X ), và D là hàm khoảng cách được xác định trên  . Thì ta nĩi rằng D hấp thụ nếu thỏa mãn ( , ) ( , )D A B D A C B C   Ở đĩ , , , ,A B C A C B C   . Khái niệm hàm khoảng cách hấp thụ xuất phát._.