Các MD5- Đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các phân lá tạo bởi các K-Quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-Nhóm liên thông tương ứng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------------------- Dương Quang Hoà CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ CÁC PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tác giả 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1 Lời cam đoan ....................................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................................ 3 Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 4 MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 5 Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 10 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 11 1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 16 1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 19 Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 22 2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều................ 25 2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét ....................................... 29 Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM Đà XÉT 3.1. Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 36 3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét ............................ 41 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 51 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V. Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G. B: tập hoành Borel. ^ : trường số phức. ( )C V∞ : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V. End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V. exp : ánh xạ mũ exp. G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G. GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực. ( )J F : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F. Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G. Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực. \ : trường số thực. eT G là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e. /V F : không gian lá của phân lá. FΩ : quỹ đạo Kirillov qua F. ∧ : độ đo hoành (đối với phân lá). 5 MỞ ĐẦU Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu). Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các K- quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm. Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số). 6 Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều ( ), đại số Lie 2-chiều aff\ và đại số Lie 4-chiều aff . n\ 1n ≥ ^ Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo: tầng các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các quỹ đạo là các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho ta liên tưởng đến một phân lá. Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích các phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của Reeb (xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành ngành tôpô phân lá – một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – tôpô. Tôpô phân lá tìm được nhiều ứng dụng trong Toán học, cũng như trong vật lý, cơ học. Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn giản, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có thể kí hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều là n. Vì rằng tất cả các đại số Lie dưới 4-chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với . 4n ≥ Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại, toàn bộ lớp các MD4-đại số. Năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Đồng thời, Lê Anh Vũ còn chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4- nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của 7 Connes. Hơn nữa, Lê Anh Vũ cũng đã phân loại tôpô các MD4-phân lá và đặc trưng các C*- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK-song hàm tử. Như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số đã được giải quyết triệt để trong trường hợp 4n ≤ . Do đó ta chỉ xét bài toán này trong trường hợp . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn. 5n ≥ Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với 4n ≤ . Điều này được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các MD5-đại số bất khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD- đại số thay cho MD-đại số bất khả phân. Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được một số kết quả. Trong các năm từ 2003 đến 2006, Lê Anh Vũ cùng các học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) và Dương Minh Thành (xem [Vu9] và [Vu-Tha]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 3 chiều. Đồng thời các tác giả cũng chứng minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá. Cũng trong năm 2006, Lê Anh Vũ (xem [Vu10] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4-chiều. Dựa trên kết quả này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết quả sau đây: 1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê. 8 2) Phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các MD5-phân lá tương ứng. Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận văn này được mang tên “Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4- chiều và các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5- nhóm liên thông tương ứng”. Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, K- biểu diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các MD5-phân lá tương ứng. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp tục nghiên cứu. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi]. 9 Cũng cần nói thêm rằng, về cơ bản thì phương pháp nghiên cứu và cơ sở lý thuyết cho những kết quả nghiên cứu trong luận văn đã được trình bày khá đầy đủ trong các tài liệu trước như: đề tài cấp bộ “Về một lớp con các MD5- đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng” của Lê Anh Vũ và luận văn thạc sĩ cùng tên của Dương Minh Thành,… Tuy nhiên, để tiện cho việc theo dõi, chúng tôi xin trình bày lại lần nữa. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Anh Vũ, người thầy kính mến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Anh Vũ. Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bán công Mỏ Cày cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. 10 Chương 1. LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD-nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực). Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch]. 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie 1.1.1. Định nghĩa Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) G là một nhóm. (ii) G là đa tạp thực khả vi. (iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y) xy khả vi. 6 1− Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp (tức là đa tạp tôpô) có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp 0C C∞ tương thích với cấu trúc nhóm. Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G. Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân,... để nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie. 11 1.1.2. Các ví dụ a. Đường thẳng thực với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie giao hoán. \ b. Đường tròn đơn vị với phép toán (.) (có thể xem là tập hợp các số phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán. 1S 1S c. Tập hợp các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi ). Đặc biệt, khi thì ( , )GL n \ 2n ≥ 1n = (1, ) *GL =\ \ . d. Nếu là các nhóm Lie thì tích 1,G G2 21G G× cũng là một nhóm Lie. Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng ...n = × × ×\ \ \ \ , xuyến n- chiều . 1 1 ...nT S S S= × × × 1 e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie. Nhóm này được ký hiệu là . Cụ thể nhóm \ aff\ { }aff ( , ) / *,a b a b= ∈ ∈\ \ \ . 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 1.2.1. Định nghĩa Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi: [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ,y,zx∀ ∈G. Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G. 12 Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở { }1 2, ,..., ne e e đã chọn trước trên G như sau: k ij 1 , , 1 i< n i j k e e c = ⎡ ⎤ = ≤⎣ ⎦ ∑ j n≤ . Các hệ số được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G. kij , 1 i<j nc ≤ ≤ Khi trường K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. \ 1.2.2. Các ví dụ a. Không gian với móc Lie n\ [ ],x y 0≡ (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao hoán. b. Không gian với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-chiều. 3\ c. Cho A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp ( ),x y ∈A , ta định nghĩa [ ],x y xy y= − x , khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng ta có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với móc Lie [ ], ; , ( , )A B AB BA A B Mat n K= − ∀ ∈ . d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [ ],A B A B B= −D D A e. Cho A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính :ϕ →A A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: 13 ( ) ( ) ( ). . .x y x y xϕ ϕ ϕ= − y ) Kí hiệu là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên (Der A A. Khi đó trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh xạ. (Der A) ( )Der A sẽ trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [ ]1 2 1 2 2, 1ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= −D Dϕ ( )Der A gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên . 1.2.3. Đồng cấu đại số Lie Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K- tuyến tính 1: 2ϕ →G G sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là: ( )1([ , ]) [ ( ), ( )] ,x y x y x yϕ ϕ ϕ= ∀ ∈ G Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie :ϕ G1 ⎯⎯→ End(V) (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính". Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp. Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều. 14 Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. 1.2.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Với mỗi x∈G, kí hiệu xad là toán tử trong ( )Der G được xác định bởi: [ ]( ) , ; xad y x y y= ∀ ∈G. Khi đó xad là một ánh xạ tuyến tính từ và ta thu được biểu diễn tuyến tính của G trong chính G như sau: →G G ( ): x ad End x ad → 6 G G Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn này là { }( ) / 0xKer ad x ad= ∈ ≡ G chính là tâm của G. Ví dụ: Xét đại số Lie G 3=\ với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: 0 0 0 c b ad c a b a −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie G 3=\ với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. 1.2.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo M là đại số con của G nếu [ ],M M M⊂ . 15 Ta bảo M là ideal của G nếu [ ], M M⊂G . Trong đó ký hiệu: [ ] [ ]{ }, , | ,M M x y x y M= ∈ , [ ] [ ]{ }, , | ,M x y x y M= ∈ ∈G G . Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên. Cho G là K-đại số Lie. Đặt : G1 = [ G , G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1] G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., G n = [ G n-1 , G ] ( n ¥ 2 ) Mệnh đề 1.2: (i) G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,………) (ii) G   G1   G 2   ……   G n   …… ÎÎ ∩ ∩ G   G1   G 2   ……   G n   …… (iii) Nếu dim G < +¶ thì $ nœ N sao cho: G n = G n+1 = …… k.h= G ¶ G n = G n+1 = …… k.h= G ¶ Đại số Lie G gọi là giải được nếu G¶ = {0}, G gọi là lũy linh nếu G¶ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G. Ví dụ: ( ){ }( , ) ( , ) / 0,1ij ijT n K A a Mat n K a j i n= = ∈ = ≤ < ≤ (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. ( ){ }0 ( , ) ( , ) / 0,1ij ijT n K A a Mat n K a j i n= = ∈ = ≤ ≤ ≤ (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. 16 Định lý 1.3 (Định lý Lie) Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là ( ) ( , ), x T n K xϕ = ∀ ∈G. Hệ quả 1.4 Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1=[ G , G ] là đại số Lie lũy linh. Định lý 1.5 (Định lý Engel) Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi , xx ad∈G là toán tử lũy linh ( tức là tồn tại sao cho *n∈` ( ) 0nxad = ). Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở. 1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie 1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau: eT G e G∈ [ ], , ,X Y XY YX X Y= − ∀ ∈G Tức là: [ ] ( ) ( ) ( ), , , , X Y f X Yf Y Xf X Y f C G∞= − ∀ ∈ ∀ ∈G Trong đó ( )C G∞ là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực. Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G. 17 Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau: Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó (X + Y)g = Xg + Yg , "g œ G (lX)g = lXg , l œ R , "g œ G [ ] ( ) ( ) ( ) (, , , , )X Y f X Yf Y Xf X Y X G f C G∞= − ∀ ∈ ∀ ∈ Với mọi g œ G . Đặt Lg : G Ø G, x 6 gx là phép tịnh tiến trái theo g, Rg: G Ø G, x6 xg là phép tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ Lg* : T(G) Ø T(G), Rg* : T(G) Ø T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G. Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , "g œ G. Điều này đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X , "g œ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg Gọi G = { X œ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G @ Te(G) (như không gian vectơ lẫn đại số Lie). 1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau: Định lý 1.6: (i) Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie liên thông đơn liên G~ sao cho đại số Lie của G~ chính là G . (ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G~ sao cho G = D G~ . 18 Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh). 1.3.3. Ánh xạ mũ exponent Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G . Mệnh đề 1.7 : Với mỗi X œ G , tồn tại duy nhất nhóm con { x(t) / tœ R} Õ G sao cho : (i) x(0) = eG . (ii) x(t+s) = x(t).x(s) ; " t,sœ R. (iii) x/(0) = X (= Xe) và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G. Khi đó: • exp (X) d. x(1)œ G, exp (tX) n= d.n= x(t)œ G • exp : G Ø G, X exp(X) 6 Định lý 1.8: (về tính chất của ánh xạ exp) (i) Ánh xạ exp là vi phôi địa phương (ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên : G1 ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ Lie) nhomcau (dong f G2 G *f exp exp f=D D 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ f * G2 Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential. Hệ quả 1.9: Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên. exp exp 19 1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số 1.4.1. K-biểu diễn của một nhóm Lie G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên G bởi :Ad G Aut⎯⎯→ G được định nghĩa như sau: 1 *( ) ( . )g gAd g L R −= :G ⎯⎯→G, g G∀ ∈ Trong đó gL (tương ứng 1gR − ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo phần tử (tương ứng, g G∈ 1g − G∈ ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G. Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra tác động :K G A⎯⎯→ ut ∀ F G* của G lên G* theo cách sau đây: 1( ) , , ( ) ,K g F X F Ad g X X− = ∈G, ∀ ∈G*, g G∀ ∈ Ở đây ta ký hiệu , ,F X F ∈G*, X ∈G là chỉ giá trị của dạng tuyến tính G* tại trường vectơ (bất biến trái) F ∈ X ∈G. Tác động K được gọi là K- biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ). Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G. Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô thương của tôpô tự nhiên trong G* . Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”: nó có thể không tách, thậm chí không nửa tách. 1.4.2. Các MD-nhóm và MD-đại số Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G. 20 Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD- nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số). Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và MD -đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức (xem [So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD-đại số. Mệnh đề 1.10 (xem [So-Vi, Théorème 4]): Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số con giao hoán trong G . Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4-đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Tra]), tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Năm 1990, Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số đó (xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]). Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4-đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn. Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Từ năm 2003 đến 2006, Lê Anh Vũ đã liệt kê và phân loại các lớp con của các MD5- 21 đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều 4, đồng thời cùng các học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8], [Vu-Tri]), Dương Minh Thành (xem [Vu9], [Vu-Tha]) đã mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với số chiều ≤ ≤ 3 và xem xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm này. Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu lại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, đồng thời mô tả bức tranh các K- quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng và xem xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm này. 22 Chương 2. LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG. Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại định lý phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều của Lê Anh Vũ, đồng thời mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD-đại số đó. Nhưng trước hết chúng ta sẽ nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu2]. 2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 2.1.1. Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi: ( ) ( )1, , , , ,g gK F X F Ad X g G X F−= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ *G G Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo FΩ của G qua F được xác định bởi: { }( ) /F gK F g GΩ = ∈ (2.1.1) Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K- quỹ đạo của G, với mỗi FΩ F ∈G* . Vì rằng, khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thường thông tin chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu do luật nhóm của G chưa được cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang nghiên cứu đại số Lie thông qua một công cụ là ánh xạ mũ exp. 23 Ký hiệu expG : G ⎯⎯→G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG ⎯⎯→AutRG là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG_các tự đẳng cấu -tuyến tính của G. \ Nhắc lại rằng vi phân Ad∗ = ad : G ⎯⎯→EndRG của biểu diễn phụ hợp của G trong G được xác định bởi công thức: ( ) [U,X], U,XUad X = ∀ ∈G. Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau: G Ad ⎯⎯⎯⎯⎯→ AutRG G ad ⎯⎯⎯⎯⎯→ EndRG Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad Với mỗi U G, mỗi ∈ F ∈G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau: , , exp( ) ,U UF X F ad X X= ∀ ∈G. expG exp 2.1.2. Bổ đề 2.1 Nếu gọi là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức FΩ FΩ ⊃ { /UF U ∈G} (2.1.2) Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra Chứng minh: Với mỗi U ∈G , đặt exp ( )Gg U G= − ∈ . Khi đó ta có: U G 1 , ,exp(ad ) , (exp ( )) , ( ) ( ) , , UF X F X F Ad U X F Ad g X K g F X X− = = = = ∀ ∈G Do đó, và ( )UF K g F= UF F∈Ω (theo công thức 2.1.1) 24 Tức là FΩ ⊃ { /UF U ∈G}. Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi , luôn tồn tại g G∈ 0U ∈G để ( )1 0exp Ug − = . Khi đó ta có: 0 0 1 G 0 U ( ) , , ( ) , (exp ( )) ,exp(ad ) , , U K g F X F Ad g X F Ad U X F X F X X − = = = = ∀ ∈G Do đó và 0 ( )UF K g= F FΩ ⊂ { /UF U ∈G}. Nghĩa là ta có đẳng thức: FΩ = { /UF U ∈G}. ■ Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập { /UF U ∈G} là F ( )Ω G . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là: F F( ) , FΩ ⊂Ω ∀ ∈G G* Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh. Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức F ( ) FΩ ⊂ ΩG . Cụ thể ta có khẳng định dưới đây: 2.1.3. Bổ đề 2.2 Giả sử G liên thông. Nếu họ các FΩ (G), F ∈G* lập thành một phân hoạch của G* và mọi (G),'FΩ 'F∀ ∈G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong , G*. Khi đó: FΩ F ∈ FΩ (G) F= Ω , F∀ ∈G*. Chứng minh: Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo FΩ cũng liên thông (trong G*). Chú rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng có G* để F ∈ F ( ) FΩ ≠ ΩG . Khi đó tồn tại họ { }i i IF ∈ các phiếm hàm trong G* 25 chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho ( ) iF F i I∈ Ω = Ω∪ G . Vì hợp này gồm các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong nên không thể liên thông. Mâu thuẩn n._.