Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

iên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hồn chỉnh nội dung của bài luận. Tơi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy trong tổ Bộ mơn Hình Học, khoa Tốn - Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tơi hồn thành tất cả các học phần của Khĩa học giúp tơi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên mơn và các phương pháp học tập hữu ích, giúp tơi hồn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phịng Khoa học Cơng Nghệ Sau Đại học, phịng Tổ chức Hành chính, phịng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đơng thị xã Gị Cơng tỉnh Tiền Giang cùng tồn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khĩa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010. Tác giả La Hồng Ngọc. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU An Khơng gian afin n-chiều. D Biệt thức của đa thức bậc 3. deg Bậc của đường cong phẳng. E(k) Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k. E(Fp) Tập hợp các điểm hữu tỷ của E trên trường Fq. #E(Fp) Cấp của E(Fp). 2| |k rE C Số các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn. q Trường hữu hạn q phần tử. G a Nhĩm cộng tính. G m Nhĩm nhân. G ( )a m Nhĩm xoắn. G(k) Nhĩm các điểm hữu tỷ. gcd( ) Ước số chung lớn nhất. (X) Ideal triệt tiêu của X. k[x1, …, xn] Vành đa thức trên k với n biến. [ ]k X Trường các hàm hữu tỷ trên X. Np(f(x)) Số nghiệm của phương trình đồng dư ( ) 0(mod )f x p . N(p) Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp. N(p)* Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp. (X) Vành các hàm chính quy trên X. P n Khơng gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đĩng đại số). Qp Tập hợp các thặng dư bậc 2 modulo p. T(A) Nhĩm con xoắn của A..  Tổng trực tiếp. X(k) Tập tất cả các điểm k-hữu tỷ trên X. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường cong và cách xác định các điểm đĩ là một trong những vấn đề hết sức quan trọng. Đối với cấu trúc của nhĩm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn trên chúng (được mơ tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rất đẹp nhưng chủ yếu mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, bởi vì trong thực tế việc xác định các đối tượng đã được mơ tả cũng khơng đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), thậm chí ngay cả trường hợp chỉ xét các đường cong trên trường hữu hạn thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ cĩ lực lượng hữu hạn và cĩ cấu trúc nhĩm nhưng việc tính tốn cũng khơng dễ dàng. Một mặt khác, trong thời gian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic khơng cịn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của các nhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số. Một trong những ứng dụng được quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường cong elliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hố thơng tin”. Vì vậy, cĩ một vấn đề tiếp theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật tốn tính tốn để xác định các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chúng tơi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới thiệu một số kiến thức chuyên mơn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn” cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mơ tả cấu trúc của nhĩm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật tốn tính tốn tương ứng. Trong phạm vi đề tài, chúng tơi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được mơ tả dưới dạng Weierstrass. Vì vậy, luận văn cĩ tên gọi là: “Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”. 2. Lịch sử của vấn đề Cơ sở lý thuyết và cơng cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây: a) Định lý Hasse mơ tả cận trên của lực lượng nhĩm E(Fq) của đường cong elliptic trên trường hữu hạn Fq. b) Các kết quả và phương pháp mơ tả luật nhĩm trên nhĩm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn . c) Các kết quả mơ tả về các nhĩm abel hữu hạn sinh. Luận văn của chúng tơi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhĩm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong trên trường Fq được cho dưới dạng Weierstrass: 2 3 y = x + Ax + B . Trong trường hợp đường cong được xét trên trường Zp thì vấn đề được xét sẽ là các thuật tốn xác định nhĩm các điểm hữu tỷ và tập các điểm trên đường cong. Một số kết quả nghiên cứu thuộc các hướng này đã và đang được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả, và là đề tài thường trực trong các Hội nghị Khoa học về “Lý thuyết trường hữu hạn và ứng dụng” – một trong các vấn đề rất được chú trọng trong Lý thuyết mã hĩa thơng tin. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc của nhĩm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong elliptic dưới dạng Weirstrass trên trường hữu hạn. - Xét một số họ các đường cong cĩ phương trình dạng: 2 3y =x +kx , 2 3y =x + b với , qk b F , qF cĩ q phần tử và cĩ đặc số p, nhằm mục đích là mơ tả nhĩm các điểm hữu tỷ trên chúng. Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E khơng kỳ dị trên trường hữu hạn F với ý tưởng là mơ tả cấu trúc nhĩm của tập các điểm hữu tỷ E(F) và mơ tả các thuật tốn tính tốn đã nêu (với F như đã mơ tả ở trên). 4. Mục đích nghiên cứu - Mơ tả cấu trúc nhĩm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic khơng kỳ dị E trên F. - Mơ tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic: 2 3 y x kx  , 2 3 y x b  trên trường qF . Trình bày phương pháp chứng minh một số Định lý mơ tả cách xác định các đối tượng đã liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn để mơ tả và xác định nhĩm các điểm hữu tỷ trên các họ đường cong được xét. - Sử dụng các phương pháp, cơng cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài tốn xác định nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về khoảng giới nội của lực lượng của nhĩm E(F) để xây dựng các thuật tốn tính tốn. Đây là một số hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật tốn được dùng trong Luận văn này dựa trên những cơng cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [6], [24], [30]. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu, 2 chương: nội dung, và phần kết luận. Cụ thể như sau: Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề và đặt bài tốn nghiên cứu. Chương 1: Một số kiến thức cơ bản. Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được cơng bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Tốn: - Các định lý cơ bản về các nhĩm abel hữu hạn sinh. - Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Trường hữu hạn. - Các đa tạp xạ ảnh, afin. - Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu đã được cơng bố về đường cong elliptic. Các đường cong trên trường hữu hạn. Các định lý cơ bản mơ tả về cấu trúc của nhĩm các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Các điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic trên trường hữu hạn - Mơ tả chung về luật nhĩm. - Nhĩm con các điểm hữu tỷ của các họ đường cong 2 3y x kx  , 2 3 y x b  , với , qk b F . Phần kết luận: Mơ tả tĩm tắt và nêu kết luận về các vấn đề, nội dung đã thực hiện trong Luận văn.. CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1. CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU Trong chương này, ta xem lại một số định nghĩa và các kết quả cơ bản trong Đại số giao hốn và Lý thuyết phạm trù, và ta suy ra một số thuật tốn cho việc nghiên cứu trong các vành đa thức. 1.1. ĐẠI SỐ Cho A là một vành. Một A-đại số là một vành B với một phép đồng cấu :Bi A B . Phép đồng cấu của A-đại số từ B C là một phép đồng cấu vành : B C  sao cho ( ( )) ( ), a A.B Ci a i a    Một A-đại số B sinh ra các phần tử x1, x2, ... , xn nêú như mọi phần tử của B cĩ thể được biểu diễn như một đa thức trong xi với tọa độ trong iB(A). Nghĩa là, nếu phép đồng cấu của A-đại số A[X1, X2, … , Xn]  B biến Xi thành xi là một song ánh. 1 2 i [ , ,..., ] X n i A X X X B x       là song ánh. Khi đĩ ta viết: B = (iBA)[x1, … , xn] Một A-đại số B được gọi là hữu hạn sinh (hoặc của một loại hữu hạn trên A) nếu nĩ được sinh ra bởi một tập hữu hạn các phần tử. Một phép đồng cấu vành A B là hữu hạn, và B là một A-đại số hữu hạn, nếu B hữu hạn sinh như một A-module. Cho k là một trường, và cho A là một k-đại số. Khi l 0 trong A, ánh xạ k  A là đơn ánh, và ta cĩ thể đồng nhất k với ảnh của nĩ. Ta cĩ thể xem k như một vành con của A. Khi l = 0 trong vành A, thì A là vành 0, A = {0}. Cho A[X] là vành đa thức ký hiệu X với các hệ số trong A. Nếu A là một miền xác định nguyên, thì deg(fg) = deg(f) + deg(g), và suy ra A[X] cũng là một miền xác định nguyên; hơn nữa A[X]X = AX. 1.2. IDEALS. Cho A là một vành. A vành con của A là một tập con chứa l mà bị đĩng dưới phép cộng, phép nhân, và sự cấu thành của các đại lượng âm. Một ideal a trong A là một tập con sao cho: (a) a là một nhĩm con của A được xem như một nhĩm cĩ phép cộng. (b) aa, rA  ra a. Ideal được sinh ra bởi một tập con S của A là tập giao của tất cả các ideal a chứa trong A- thực chất đây là một ideal, và nĩ bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của dạng i ir s với .,i ir A s S  Khi đĩ, S ={s1, s2, … }, ta viết là: (s1, s2, …). o Cho a và b là hai ideal trong A. Tập {a + b | aa, bb} là một ideal, kí hiệu: a + b. Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab. Rõ ràng, ab bao gồm tất cả các tổng hữu hạn i ia b với ia  a và bi b, và nếu a = 1( ,..., )ma a và b = (b1,, …, bn), thì ab = 1 1( ,..., ,..., ).i j m na b a b a b Chú ý rằng: aba  b. o Cho a là một ideal của A. Tập hợp của các lớp của a trong A hình thành một vành A/a, và a a a là một phép đồng cấu  : A  A/a. Ánh xạ b 1 (b) là một sự tương ứng một-một giữa các ideal của A/a và các ideal của A đang chứa a. o Một ideal p là nguyên tố nếu p  A và ab  p  a  p hoặc b  p. Do đĩ p là số nguyên tố nếu và chỉ nếu A/p khác 0 và cĩ tính chất: ab = 0, b  0  a = 0, nghĩa là: A/p là một miền nguyên. o Một ideal m là tối đại nếu m  A và khơng tồn tại ideal n chứa một cách nghiêm ngặt giữa m và A. Do đĩ m là tối đại nếu và chỉ nếu A/m khác 0 và khơng cĩ các ideal khác 0 thích hợp, và do đĩ nĩ là một trường. Chú ý rằng: m tối đại  m nguyên tố. Các ideal của A x B là tập tất cả các dạng a x b với a và b là các ideal trong A và B. Chú ý rằng, nếu c là một ideal trong A x B và (a, b)c, thì: (a, 0) = (1, 0)(a, b)  c và (0, b) = (0, 1)(a, b)  c. Vì thế, c = a x b với a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c}. Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa). Cho a1, a2, … , an là các ideal trong một vành A. Nếu ai là số nguyên tố cùng nhau với aj (nghĩa là: ai + aj = A), với bất kỳ i  j, khi đĩ ánh xạ: A  A/ a1 x . . . x A/an (1) là song ánh, với hạt nhân: ker ai = ai. Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng n = 2. Khi a1 + a2 = A, tồn tại ai  ai sao cho: a1 + a2 = 1. Khi đĩ x = a1x2 + a2x1 ánh xạ vào (x1 mod a1, x2 mod a2), sao cho chứng tỏ rằng (1) là song ánh. Với mỗi i, tồn tại các phần tử ai  a1 và bi  ai sao cho: ai + bi = 1, với mọi 2i  . Tích 2(a b ) 1  i i i và nằm trong a1 + 2i ai, và do đĩ: a1 + 2i  ai = A. Áp dụng định lý trong trường hợp n = 2 để thu được một phần tử y1 của A sao cho: 1 1mody a1 , 1 2 y 0mod   i a1. Suy ra 1 1mody a1 , 1 y 0mod aj , với mọi j >1. Tương tự, tồn tại các phần tử y2, … , yn sao cho: 1modiy ai , y 0modi aj , j  i. Phần tử i ix x y ánh xạ vào (x1 mod a1, … , xn mod an), để chứng tỏ rằng (1) là song ánh. Điều đĩ chứng minh rằng: ai = ai. Ta chú ý rằng: ai  ai. Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, và cho a1 + a2 = 1, như trước. Vì c  a1a2, ta cĩ: c = a1c + a2c  a1.a2 Ta chứng minh: a1 a2 = a1a2. Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp tốn học. Điều này cho phép chúng ta giả sử rằng:   2i ai = 2i ai. Ta đã chứng minh ở trên: a1 và 2i ai là nguyên tố cùng nhau, và do đĩ: a1.( 2  i ai) = a1 2 ( i  ai) = ai. 1.3. Các vành Noether Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau trên vành A là tương đương: (a) Mọi ideal trong A đều là hữu hạn sinh; (b) Mọi dãy tăng của các ideal 1 2 ...a a  dần dần trở thành hằng số, nghĩa là với một số m, 1 ...,m ma a   (c) Mọi tập khác rỗng của ideal trong A cĩ một phần tử lớn nhất (nghĩa là: một phần tử khơng tương thích chứa trong bất kỳ ideal nào đĩ trong một tập). Chứng minh: (a)  (b): Nếu 1 2 ...a a  là một dãy tăng, khi đĩ a = ai là một ideal  tồn tại một tập hữu hạn 1{ ,..., }na a các phần tử sinh. Với mọi m,  ia  am ta suy ra: am = am + 1 = … = a. (b)  (c): Cho S là một tập khác rỗng của các ideal trong A. Cho a1  S, nếu a1 khơng lớn nhất trong S, khi đĩ tồn tại một ideal a2  S thích hợp chứa a1. Tương tự, nếu a2 khơng lớn nhất trong S, thì tồn tại một ideal a3S thích hợp chứa a2, vân vân…Trong cách này, ta thu được một dãy tăng các ideal a1  a2  a3  ... trong S và xác định được giới hạn trong một ideal là ideal lớn nhất trong S. (c)  (a): Cho a là một ideal, và cho S là một tập của các ideal b  a hữu hạn sinh. Khi đĩ S là một tập khác rỗng, do đĩ nĩ chứa một phần tử lớn nhất c = ( 1 2, ,..., )ra a a . Nếu c  a, thì tồn tại một phần tử a a\c, và 1 2( , ,..., , )ra a a a sẽ là một ideal hữu hạn sinh trong a thích hợp chứa c. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của (c)  (điều phải chứng minh). Một vành A là Noether nếu nĩ thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Ta lưu ý trong một vành Noether, mọi ideal thích hợp được chứa trong một ideal lớn nhất (áp dụng (c) đối với tất cả các ideal thích hợp của A chứa các ideal đã cho). Thực tế, điều này đúng với mọi vành, nhưng việc chứng minh các vành khơng Noether phải sử dụng các tiên đề lựa chọn. Một vành A được xem là địa phương nếu nĩ cĩ chính xác một ideal m tối đại. Bởi vì mọi vành khơng đơn vị được chứa trong một ideal lớn nhất, vì một vành địa phương AX = A \ m. Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s). Cho A là một vành noether địa phương với ideal tối đại m, và cho M là một A-module hữu hạn sinh. (a) Nếu M = mM, thì M = 0. (b) Nếu N là một module con của M sao cho M = N + mM, thì M = N. Chứng minh: (a) Cho x1, x2, … ,xn sinh ra M, và viết: i ij j j x a x , với ija  m. Khi đĩ x1, x2, … , xn là nghiệm của hệ n phương trình với n biến sau: ( ) 0,ij ij j ij j a x Kronecker delta.     Do đĩ, theo quy luật của Cramer cho ta: det(ij – aij)xj = 0, với mọi i. Nhưng det(ij – aij) m, do đĩ nĩ là một đơn vị. Suy ra, mọi xi = 0, do đĩ M = 0. (b) Giả thuyết rằng M/N = m(M/N), và do đĩ M/N = 0, nghĩa là: M = N. Do đĩ, cho A là một vành Noether địa phương với ideal tối đại m. Khi ta xem m như một A- module, tác động của A trên các thừa số m/m2 với k = A/m. Hệ quả 1.3.3: Các phần tử 1,..., na a của m sinh ra m như một ideal nếu và chỉ nếu các thặng dư module m 2 sinh ra m/m2 như một khơng gian vectơ trên k. Đặt biệt, số nhỏ nhất của các phần tử sinh vì ideal tối đại bằng số chiều của khơng gian vectơ m/m2. Chứng minh: Nếu 1,..., na a sinh ra m, các thặng dư sinh ra m/m 2. Ngược lại, giả sử rằng các thặng dư của chúng sinh ra m/m2, sao cho m = ( 1,..., na a ) + m 2. Vì A là noether và do đĩ m là hữu hạn sinh. Áp dụng bổ đề Nakayama với M = m và N = ( 1,..., na a ), chứng minh rằng: m = ( 1,..., na a ). Định nghĩa 1.3.4: Cho A là một vành Noether. (a) Độ cao ht(p) của một ideal nguyên tố p  A là chiều dài lớn nhất của một dãy các ideal nguyên tố: p = pd  pd-1 … p0. (2). (b) Số chiều Krull của A là sup{ht(p) | pA, p nguyên tố}. Do đĩ, số chiều Krull của một vành A là cận trên đúng của chiều dài của dãy các ideal nguyên tố trong A (chiều dài của một chuỗi là số các kẻ hở, do đĩ chiều dài của (2) là d). Ví dụ, một trường cĩ số chiều Krull là 0, và ngược lại một miền nguyên của số chiều Krull bằng 0 là một trường. Chiều cao của mỗi ideal nguyên tố khác 0 trong miền xác định ideal chính là 1, do đĩ một vành cĩ số chiều Krull bằng 1. Chiều cao của bất kỳ ideal nguyên tố nào trong một vành noether là hữu hạn, nhưng số chiều Krull của vành cĩ thể vơ hạn. (Ví dụ: xét Nagata, các vành địa phương, 1962, appendix; phụ lục A1). Trong một ví dụ của Nagata, cĩ các ideal tối đại p1, p2, p3, … trong A sao cho dãy ht(pi) hướng tới vơ hạn. Định nghĩa 1.3.5: Một vành noether địa phương của số chiều Krull d được xem là chính quy nếu ideal tối đại của nĩ cĩ thể được sinh ra bởi các phần tử d. Nĩ suy ra từ hệ quả (1.3.3) mà một vành noether địa phương là chính quy nếu và chỉ nếu số chiều Krull của nĩ bằng với số chiều của khơng gian vectơ m/m2. Bổ đề 1.3.6: Cho A là một vành Noether. Tập bất kỳ của các phần tử sinh cho một ideal trong A chứa một tập con hữu hạn sinh. Chứng minh: Cho a là một ideal được sinh bởi một tập con S của A. Khi đĩ a = ( 1,..., na a ) với ia  A. Mỗi ia nằm trong ideal được sinh bởi một tập con hữu hạn Si của S. Bây giờ iS là hữu hạn và sinh ra a. Định lý 1.3.7: (Định lý tương giao Krull). Trong bất kỳ vành địa phương noether A nào với ideal tối đại m, thì 1 {0}.n n m   Chứng minh: Cho 1,..., ra a sinh ra m. Khi đĩ m n được sinh bởi các đơn thức bậc n trong ia . Mặt khác, m n bao gồm tất cả các phần tử của A mà bằng g( 1,..., ra a ) cho một số đa thức thuần nhất g(X1, . . . , Xr)  A[X1, . . . , Xr] bậc n. Cho Sm là tập tất cả các đa thức thuần nhất f cĩ bậc m sao cho f( 1,..., ra a ) 1 n n m  , và cho a là một ideal được sinh bởi tất cả các Sm. Theo bổ đề 1.3.6, tồn tại một tập hữu hạn f1, f2, . . ., fs các phần tử của mS mà sinh ra a. Cho di = degfi , và cho d = maxdi. Cho 1 n n b m   ; đặc biệt b md+1, và do đĩ b = f( 1,..., ra a ) với một số đa thức thuần nhất f bậc d + 1. Từ định nghĩa, f Sd +1 a, và do đĩ: f = g1f1 + . . . + gsfs, với gi  A. Khi f và fi là thuần nhất, từ mỗi gi ta cĩ thể bỏ qua tất cả các số hạng khơng cĩ bậc degf – degfi, vì các số hạng này triệt tiêu lẫn nhau. Do đĩ, ta cĩ thể chọn gi thuần nhất bậc degf - degfi = d + 1 – di > 0. Khi đĩ: 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) . . n r i r i rb f a a a g a a a f a a a m m    Do đĩ, .n nm m m  , và từ bổ đề của Nakayama ta suy ra: 0nm  . 1.4. Nhân tử hĩa duy nhất Cho A là một miền xác định nguyên. Một phần tử a của A là một phần tử tối giản nếu nĩ khác 0, khơng là một đơn vị, và chỉ cho các nhân tử hĩa tầm thường, nghĩa là: a bc b  hoặc c là một đơn vị. Nếu mọi phần tử khơng đơn vị khác khơng trong A cĩ thể được viết như một tích hữu hạn của các phần tử tối giản được một cách chính xác trong một cách nào đĩ (đối với các đơn vị và bậc của các nhân tử), khi đĩ A được gọi là một miền tầm thường hĩa địa phương. Như trong một vành, một phần tử tối giản a chỉ cĩ thể chia tích bc nếu nĩ là một nhân tử tối giản của b hoặc c (viết bc = aq và biểu diễn b, c, q như tích của các phần tử rút gọn). Mệnh đề 1.4.1: Cho (a) là một ideal chính thích hợp khác 0 trong một miền nguyên A. Nếu (a) là một ideal nguyên tố, khi đĩ a là tối giản, và ngược lại khi A là một miền nhân tử hĩa duy nhất. Chứng minh: Giả sử (a) là số nguyên tố. Bởi vì (a) khơng là (0) cũng khơng phải là A, a khác 0 mà cũng khơng là đơn vị. Nếu a = bc thì bc  (a), bởi vì (a) là số nguyên tố, nghĩa là b hoặc c thuộc (a), ta nĩi b = aq. Bây giờ a = bc = aqc, nghĩa là qc = 1, và khi đĩ c là một đơn vị. Ngược lại, giả sử rằng a tối giản. Nếu bc  (a), khi đĩ a|bc (mà ta đã chú ý ở trên) nghĩa là a|b hoặc a|c, nghĩa là: b hoặc c  (a). Mệnh đề 1.4.2: (Bổ đề Gauss) Cho A là một miền nhân tử hĩa duy nhất với trường của các phân số F. Nếu các thừa số f(X)  A[X] là tích của hai đa thức khơng hằng số trong F[X], khi đĩ là tích của hai đa thức khơng hằng số trong A[X]. Chứng minh: Cho f = gh trong F[X]. Cho c, d A, các đa thức g1 = cg và h1 = dh cĩ các hệ số trong A, và vì thế ta cĩ một nhân tử hĩa cdf = g1h1 trong A[X]. Nếu một phần tử tối giản p của A chia cho cd, khi đĩ, tìm modulo (p), ta thấy rằng: 0 = 1 1.g h trong (A/(p))[X]. Theo mệnh đề 1.4.1, (p) là số nguyên tố, và do đĩ (A/(p))[X] là một miền xác định nguyên. Do vậy, p chia hết cho tất cả các hệ số của một trong các đa thức nhỏ nhất g1, h1, giả sử g1, để cho g1 = pg2 với g2  A[X]. Do đĩ, ta cĩ một nhân tử hĩa (cd/p)f = g2h1 trong A[X]. Tiếp tục phương pháp này, ta cĩ thể di chuyển lại tồn bộ các thừa số tối giản của cd, và vì thế ta thu được một nhân tử hĩa của f trong A[X]. Cho A là một miền nhân tử hĩa duy nhất. Một đa thức khác 0 0 1 ... m mf a a X a X    trong A[X] được nĩi là nguyên hàm nếu ia khơng cĩ nhân tử chung (khác hơn những đơn vị). Mỗi đa thức f trong A[X] cĩ thể được viết f = c(f).f1 với c(f)  A và f1 nguyên hàm, và sự phân tích này là duy nhất đến các đơn vị trong A. Phần tử c(f), được định nghĩa tốt đối với phép nhân bởi một đơn vị, được gọi là dung lượng của f. Bổ đề 1.4.3. Tích của hai đa thức nguyên hàm là nguyên hàm. Chứng minh: Cho 0 1 0 1 ... , .... , m m n n f a a X a X g b b X b X         là các đa thức nguyên hàm, và cho p là một phần tử tối giản của A. Cho 0i a là hệ số đầu tiên của f khơng thể chia được bởi p và 0j b là hệ số đầu tiên của g khơng thể chia được bởi p. Khi đĩ tất cả các số hạng trong 0 0 i ji j i j a b    cĩ thể chia được bởi p, ngoại trừ 0 0i j a b , là khơng thể chia được bởi p. Do đĩ, p khơng thể chia hệ số thứ-(i0 + j0) của fg. Ta chứng minh rằng khơng cĩ phần tử tối giản của A chia tất cả các hệ số của fg, vì thế phải là nguyên hàm. Bổ đề 1.4.4: Cho các đa thức f, g  A[X], c(fg) = c(f). Khi đĩ, mọi nhân tử trong A[X] của một đa thức nguyên hàm là nguyên hàm. Chứng minh: Lấy f = c(f)f1 và g = c(g)g1 với f1, g1 là nguyên hàm. Khi đĩ fg = c(f)c(g)f1g1 với f1g1 là nguyên hàm, và do đĩ: c(fg) = c(f)c(g). Mệnh đề 1.4.5: Nếu A là một miền nhân tử hĩa duy nhất, thì A[X] cũng là miền nhân tử hĩa duy nhất. Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi phần tử f của A[X] là tích của các phần tử tối giản. Từ nhân tử hĩa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng đủ để làm được điều này vì f nguyên hàm. Nếu f khơng thể tối giản trong A[X], thì nĩ cĩ các thừa số như f = gh với g, h là các đa thức nguyên hàm trong A[X] của bậc thấp hơn. Thực hiện tiếp tục ta thu được nhân tử hĩa cần tìm. Từ nhân tử hĩa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng các phần tử tối giản của A[X] được tìm ra giữa các đa thức hằng số và các đa thức nguyên hàm. Lấy 1 1 1 1... ... ... ...m n r sf c c f f d d g g  là hai nhân tử hĩa của một phần tử f của A[X] vào các phần tử tối giản với các hằng số ci, dj và các đa thức nguyên hàm fi, gj. Khi đĩ: 1 1( ) ... ...m rc f c c d d  (tùy vào các đơn vị trong A) Tiếp tục sử dụng A là một miền nhân tử hĩa duy nhất, ta thấy m = r và sự phân biệt của ci chỉ từ di bởi các đơn vị và sự sắp xếp thứ tự. Do đĩ 1 1... ...n sf f g g (tùy vào các đơn vị trong A). Bổ đề Gauss chứng minh fi, gj là các đa thức tối giản trong F[X] và, sử dụng F[X] là một miền xác định nhân tử hĩa duy nhất, ta thấy n = s và sự khác nhau của fi chỉ từ gi bởi các đơn vị trong F và bởi sự sắp xếp thứ tự của chúng. Nhưng nếu i j a f g b  với a và b là các phần tử khác 0 của A, khi đĩ: bfi = a gj. Khi fi và gj là nguyên hàm, ta suy ra b = a (tùy vào một đơn vị trong A). Do đĩ a b là một đơn vị trong A. §2. CÁC NHĨM ABEL HỮU HẠN SINH. Phần này giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhĩm abel hữu hạn sinh. Định nghĩa 2.1: Một nhĩm abel A là hữu hạn sinh nếu cĩ hữu hạn phần tử 1 2, ,..., na a a A sao cho với bất kỳ x A , cĩ các số nguyên k1, k2, … , kn sao cho: 1 . n i ii x k a   Định nghĩa 2.2: Cho A là một nhĩm abel. Nhĩm con xoắn của A, ký hiệu T(A), là tập: T(A) = { | : 0}a A n na    . Định nghĩa 2.3: Một nhĩm abel A được gọi là khơng cĩ xoắn nếu T(A) = {0}. Bổ đề 2.4: Cho A là một nhĩm abel. Khi đĩ A/T(A) là khơng cĩ xoắn. Định nghĩa 2.5: ...n      tổng của n bản được gọi là nhĩm abel khơng cĩ hạng n. Định lý 2.6: Nếu A là một nhĩm abel khơng cĩ xoắn hữu hạn sinh mà cĩ một tập hợp các phần tử sinh cĩ lực lượng bé nhất với n phần tử, khi đĩ A đẳng cấu với nhĩm abel tự do hạng n. Chứng minh: Bằng phương pháp quy nạp trên số các phần tử sinh cực tiểu của A. Nếu A là cyclic (nghĩa là được sinh bởi một phần tử khác 0), thì khi đĩ A   . Giả sử rằng mệnh đề đúng với cho thấy tất cả các nhĩm abel khơng cĩ xoắn hữu hạn sinh với một tập hợp các phần tử sinh cực tiểu cĩ ít hơn n phần tử. Giả sử A là khơng cĩ xoắn và { 1 2, ,..., na a a } là một tập các phần tử sinh cực tiểu của A. Nếu T(A/)={0} khi đĩ A/ là khơng cĩ xoắn và được sinh bởi n - 1 phần tử, thì kết quả được suy ra từ phép quy nạp và .  Nếu T(A/) khơng là nhĩm tầm thường thì cĩ một nhĩm con B A sao cho: T(A/)  B/. Như vậy với bất kỳ phần tử 0 b B  tồn tại một số nguyên 0 i  sao cho ib. Nhưng, vậy thì 1ib ja với số nguyên j . Định nghĩa một ánh xạ :f B b f(b) = j/i   (và f(0) = 0). Ta cĩ thể kiểm tra ánh xạ này là một phép đồng cấu của các nhĩm abel, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ này cĩ hạt nhân tầm thường, và do đĩ là đơn ánh suy ra ( )B f B . Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì  là một vành Noether) thì B là cyclic. Thật vậy, giả sử B = . Khi đĩ: f(B) = = là một nhĩm con của nhĩm cyclic , do đĩ là cyclic. Nếu B = A thì A tự do sinh bởi một phần tử. Nếu khơng, khi đĩ: 1 2/ ,..., ,...,n nA B a a a a   và 1 1 1 1/ ( / ) / ( / ) ( / ) / ( / ).A B A a B a A a T A a          Do đĩ, A/B là khơng cĩ xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n – 1 phần tử, do đĩ là abel tự do hạng m < n bằng phương pháp quy nạp. Suy ra: mA B  sao cho: / mB A  và là hữu hạn sinh. Do trên, B là cyclic nên suy ra kết quả. Chú ý, m = n – 1 vì n là cực tiểu. Định nghĩa 2.7: Cho A là một nhĩm abel, và cho B và C là các nhĩm con của A. Ta nĩi rằng A là tổng trực tiếp trong của B và C, ký hiệu A B C  , nếu A = B + C và {0}B C  , với B + C = { b + c | bB và cC}. Định nghĩa 2.8: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu xạ f : X  Y được gọi là đơn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Z  X, nếu f i f j  thì i = j. Định nghĩa 2.9: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu xạ f : X  Y được gọi là tồn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Y  Z, nếu i f j f  thì i = j. Định nghĩa 2.10: Cho A và B là các nhĩm abel. Tổng trực tiếp ngồi của A và B trong phạm trù của các nhĩm abel, ký hiệu A B là một nhĩm abel A B với các phép đồng cấu chính tắc i : A  A B và j: B  A B thỏa mãn điều kiện với bất kỳ nhĩm abel C và các cấu xạ f : A  C và g : B  C, tồn tại một ánh xạ duy nhất k : A B  C sao cho biểu đồ sau giao hốn: i jA A B B   f k g C Suy ra i, j là các phép đơn cấu. Định lý 2.11: Cho A là một nhĩm abel hữu hạn sinh. Khi đĩ tồn tại một phép đẳng cấu: : ( ) / ( )f A T A A T A  . Chứng minh: Giả sử 1,...., nA a a  . Khi đĩ 1/ ( ) ,..., nA T A a a  nên A/T(A) là hữu hạn sinh. Giả sử 1,..., mx x  là một tập hợp cực tiểu các phần tử sinh của A/T(A). Nếu / ( )a A T A thì 1 m iii a k x   với các số nguyên ik  . Suy ra: 1 ( ) m i ii a k x T A    . Do đĩ, A = 1,..., ( )mx x T A   . Hơn nữa, vì A/T(A) là khơng cĩ xoắn, nĩ suy ra 1,..., ( ) {0}mx x T A   và do đĩ: A = 1,..., ( )mx x T A   . Chú ý: Nếu: : / ( )A A T A  là đồng cấu thương và : / ( )A T A A  được cho bởi ( )i ix x  thì   là một phép đồng cấu đồng nhất của A/T(A) và  là một phép đơn cấu. Hệ quả 2.12: Mỗi nhĩm abel hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhĩm hữu hạn và một nhĩm abel tự do của hạng n với số nguyên n   . Chứng minh: Ta cĩ thể kiểm tra rằng: T(A) là một nhĩm hữu hạn, và A/T(A) hữu hạn sinh và khơng cĩ xoắn. Và vì thế, do định lý 2.6, A/T(A) là một nhĩm abel tự do hạng n với số nguyên n   . §3. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC LÝ THUYẾT SỐ VÀ TRƯỜNG HỮU HẠN. Trong phần này chúng tơi giới thiệu đến một số khía cạnh về số học của các đường cong elliptic, nhằm nêu lại một ít kiến thức nền trong Lý thuyết số và Hình học Đại số. 3.1. Các đường cong phẳng. Cho k là một trường. Ví dụ chẳng hạn, k cĩ thể là trường  của các số hữu tỷ, trường  của các số thực, trường  của các số phức, trường p của số p – adic, hoặc trường hữu hạn q của q phần tử. Cho k là một bao đĩng đại số của k. Một đường cong phẳng X trên k được xác định bởi phương trình ( , ) 0f x y  , ở đây ( , ) [ , ]i jijf x y a x y k x y  là bất khả qui trên k . Ta định nghĩa bậc của X và f như sau: deg X = deg f = max{i + j : ija  0}. Một điểm k-hữu tỷ (hoặc đơn giản là k-điểm) trên X là một điểm ( , )a b với tọa độ thuộc k sao cho ( , ) 0f x y  . Tập tất cả các điểm k- hữu tỷ trên X được ký hiệu: X(k). Ví ._.dụ: Phương trình 2 26 11 0x y y   xác định một đường cong phẳng X trên  bậc 3 và (5, 1 2 )  X( ). Tại điểm này ta cĩ thể phát biểu một bài tốn mở, mà trong nhiều thế kỷ đã được dùng như một động lực thúc đẩy cho sự phát triển của nhiều ngành tốn học. Câu hỏi: Cho một đường cong phẳng X trên  , tồn tại hay khơng một thuật tốn xác định X() (liệu X( ) cĩ khác rỗng hay khơng)? Mặc dù X( ) khơng nhất thiết hữu hạn, nhưng ta sẽ thấy rằng, nĩ luơn luơn thừa nhận một sự mơ tả hữu hạn, vì thế vấn đề xác định X() cĩ thể được chính xác hĩa bằng cách sử dụng khái niệm của máy Turing; xem [8] để tiếp cận định nghĩa. Vì cĩ mối quan hệ của câu hỏi này với bài tốn thứ 10 của Hilbert, xin xem tổng quan trong [16]. Hiện nay cĩ tồn tại các phương pháp tính tốn trả lời câu hỏi cho một X đặc biệt, mặc dù nĩ chưa từng được chứng minh rằng các phương pháp này làm việc chung nhau. Thậm chí các vấn đề sau đây cịn bỏ ngỏ : (1) Cĩ hay khơng một thuật tốn khi cho một đa thức bậc bốn f(x) [x], liệu cĩ xác định được 2 ( )y f x cĩ một điểm hữu tỷ? (2) Cĩ hay khơng một thuật tốn khi cho một đa thức ( , ) [ , ]f x y x y bậc 3, liệu cĩ biết ( , ) 0f x y  cĩ một điểm hữu tỷ? Thực ra, ta cĩ thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương. 3.2. Các đường cong trên trường hữu hạn. Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc. Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X() ở đây X là một đường cong phẳng afin ( , ) 0f x y  trên hoặc bao đĩng xạ ảnh của nĩ. Cho d = deg f . Ta xét bài tốn khi tăng dần giá trị của d. Bậc d = 1: X là các đường thẳng. Ta cĩ thể tham số hĩa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng 0ax by c   với , , ; , , 0a b c a b c  . Bậc d = 2: X là các đường conic. Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse. Điều này nghĩa là: X cĩ một -điểm nếu và chỉ nếu X cĩ  điểm và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p. Vì một đường conic xạ ảnh được mơ tả bởi một dạng bậc hai cĩ 3 biến, kết quả của Legendre cĩ thể được xem như một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski [21, Chương IV, bài 3.2]. Định lý Legendre dẫn đến một thuật tốn để xác định sự tồn tại của một  -điểm trên đường conic X. Đây là một thuật tốn: bổ sung bình phương, nhân với một hằng số, và tập trung các bình phương vào các biến, để cảm sinh trường hợp 2 2 2 0aX bY cZ   trong 2, ở đây , , 0a b c  , khơng chính phương, đơi một nguyên tố. Khi đĩ ta cĩ thể chứng minh rằng tồn tại một - điểm nếu và chỉ nếu , ,a b c đều khơng cùng dấu và các phương trình đồng dư: 2 2 2 0 0 0 ax b (mod c) by c (mod a) cy a (mod b)       cĩ thể giải được trong tập các số nguyên. Hơn nữa, trong trường hợp này, 2 2 2 0aX bY cZ   cĩ một nghiệm khơng tầm thường trong tập các số nguyên X, Y, Z thỏa mãn 1/2 1/2| | | | , | | | | ,X bc Y ac  và 1/2| | | |Z ab . Xem [22]. Trong trường hợp đường conic X cĩ một -điểm P0, vấn đề là mơ tả tập hợp của tất cả các  -điểm. Vì cĩ một cách làm hợp lý là: với mỗi điểm P  X() vẽ một đường qua P0 và P,, và giả sử t là hệ số gĩc của nĩ trong  (hoặc cĩ thể là ). Ngược lại, cho t  , từ định lý Bézout suy ra rằng đường qua P0 với hệ số gĩc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này khơng tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ. Ví dụ: nếu X là đường trịn 2 2 1x y  và P0(-1, 0), thì: 2 2 2 1 2 , 1 1 ( , ) 1 t t t t t y x y x           Hình 1.1: Tham số hĩa hữu tỷ của một đường trịn. Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các tập con cĩ số chiều nhỏ hơn (một vài điểm), chúng là các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các biến mà cảm sinh một song ánh giữa các  -điểm. Những ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên  ; các hệ số của các hàm hữu tỷ thuộc  , vì thế chúng cũng cảm sinh một song ánh giữa các - điểm (bỏ qua các tập con như trước). Đặc biệt, tập hợp đầy đủ các nghiệm hữu tỷ của phương trình đường trịn 2 2 1x y  là: 2 2 2 1 2 , : {( 1,0)}. 1 1 t t t t t              Bậc d = 3: X các đường bậc 3 phẳng. Lind [11] và Reichardt [17] đã khám phá ra nguyên lý Hasse cĩ thể khơng đúng với các đường cong phẳng bậc 3. Ở đây là một ví dụ thích hợp thuộc về Selmer [20]: Đường cong 3X3 + 4Y3 + 5Z3 = 0 trong 2 cĩ một -điểm ((( -4/3)1/3:1:0) là một) và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p, nhưng nĩ khơng cĩ  -điểm. Vì p > 5, sự tồn tại các  p-điểm cĩ thể được chứng minh bằng cách dùng bổ đề của Hensel [10, định lý 3] với một biến biến thiên để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm modulo p. Vì p = 2, 3, 5, một dạng tổng quát hơn của của bổ đề Hensel cĩ thể được sử dụng [10, chương I, bài tập 6]. Sự khơng tồn tại của các  -điểm khĩ xây dựng hơn. §4. CÁC ĐA TẠP AFIN - ĐA TẠP XẠ ẢNH 4.1. Các đa tạp afin. Cho k là một trường. Nếu khơng cĩ giải thích gì thêm thì trường k luơn là đĩng đại số. Định nghĩa 4.1.1. Khơng gian afin n-chiều An (hoặc An(k)) trên trường k là tập hợp các bộ n-thành phần là các phần tử của k. Một phần tử p = (p1, p2, …, pn) nA được gọi là một điểm, các pi là các tọa độ afin của p. Ta ký hiệu k[x1, …, xn] là vành đa thức trên k với n biến. Các phần tử của k[x1, …, kn] thường thể hiện như các hàm kn  k. Định nghĩa 4.1.2: Một tập con nX A là một đa tạp đại số afin, nếu nĩ là một tập zero của một tập hữu hạn của các đa thức trong k[x1, …, xn]: cho f1, …, fk  k[x1, …, xn] thì: X = Z(f1, …, fk) = { | ( ) 0, }. n ip A f p i   Định nghĩa 4.1.3. Một đa tạp nX A là bất khả quy nếu nĩ khơng là hợp hữu hạn của các đa tạp con thực sự, nghĩa là nếu với mỗi đa tạp X1, X2 nA sao cho: X 1 2X X  cố định X = X1 hoặc X = X2. Mệnh đề 4.1.4. Bất kỳ đa tạp X cĩ thể được giải phân tích như một hợp hữu hạn của các đa tạp con bất khả quy 1 2 ... mX X X X   ở đây, iX  Xj với mọi i j . Vì thế phép phân tích trên là duy nhất sai khác một phép hốn vị. Ví dụ 1: Một đa tạp tuyến tính là một tập nghiệm của một hệ tuyến tính l1, …, lk. Nếu X = Z(l1,…, lk) khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đĩ số chiều của X là n – k và số đối chiều của X là: codimX = dimAn - dim X = k. Việc định nghĩa về số chiều của các đa tạp tuyến tính cĩ thể được lấy từ đại số tuyến tính. Trong trường hợp các đa tạp khơng tuyến tính ta dựa vào một khái niệm trực giác về số chiều. Ví dụ 2: Một siêu mặt nX A là một đa tạp được cho bởi phương trình, X = Z(f). Nĩ là một đa tạp cĩ đối chiều 1. Nếu n = 3, siêu mặt được gọi là một mặt. Cho f = (x2 + y2 - z2)(z – 1) [ , , ].k x y z Khi đĩ, 3( )Z f A là khả quy bao gồm hai thành phần: một hình nĩn qua O và một mặt phẳng. Đối với một siêu mặt, dễ dàng tìm được sự phân tích thành các thành phần bất khả quy: người ta chỉ cần tìm thừa số trong phương trình định nghĩa. Nhìn chung, đối với các đa tạp cĩ đối chiều cao hơn, nĩ là một bài tốn khĩ. Cĩ các thuật tốn giải quyết bài tốn này dựa trên việc tìm một cơ sở Grobner, chúng địi hỏi một sự tính tốn mất nhiều thời gian. Ví dụ 3: Một siêu mặt trong A2 là một đường cong đại số phẳng. Một parabol cĩ thể được cho bởi tham số hĩa 2( , )t t t hoặc hồn tồn bởi 2 [ ; ].y x k x y  Khơng phải mọi đường cong phẳng đều cĩ một tham số hĩa. Ví dụ 4: Cubic xoắn là một đường cong trong A3 được cho bởi tham số hĩa 2 3( , , ).t t t t Nĩ hồn tồn được cho bởi hai phương trình: 2 1f y x  và 2 [ ; ; ]f z xy k x y z   . Ví dụ 5: Hợp và giao hữu hạn các đa tạp afin lại là một đa tạp afin. Nếu . nX Y A với X = Z(f1, …, fk) và Y = Z(g1, …, gl), thì : 1 1( ,..., , ,..., )k lX Y Z f f g g  và ( | 1,..., . ,..., ).i jX Y Z f g i k j i l    Ví dụ 6: Cho nX A được xác định bởi f1, …, fk 1[ ,..., ]nk x x và mY A cho bởi 1 1,..., [ ,..., ].l mg g k y y Khi đĩ tích của X và Y là một đa tạp trong A m + n và là một tập zero của f1, …, fk, g1, …, gl với fi, gj được hiểu như các đa thức trong k[x1, …, xn, y1, …, ym]. 4.2. Định lý cơ bản của Hilbert: Nếu một đa tạp afin nX A được xác định như sau: X = Z(f1, …, fk), fi 1[ ,..., ]nk x x thì với mỗi f cĩ dạng ideal I = (f1, …, fk) ta cĩ f(p) = 0, với mọi .p X Hơn nữa, nếu hai tập hợp của các phương trình sinh ra cùng ideal, (f1, …, fk) = (g1, …, gl) thì dễ dàng chứng minh rằng: Z(f1, …, fk) = Z(g1, …, gl). Do đĩ ta cĩ thể thay đổi định nghĩa của một đa tạp afin sao cho thay vì nĩi các phương trình định nghĩa ta nĩi về ideal định nghĩa: nX A là một đa tạp afin nếu nĩ là một tập khơng của một ideal hữu hạn sinh trong k[x1, …, xn]. Cho R là một vành giao hốn với 1. (Trường hợp được xét: R là một trường hoặc một vành đa thức trên một trường). Định nghĩa 4.2.1. Vành R là Noether nếu mọi ideal của R đều hữu hạn sinh. Định lý 4.2.2. ( Định lý cơ bản của Hilbert). Nếu R là một vành Noether thì R[x] cũng là vành Noether. Hệ quả 4.2.3. Mọi ideal trong k[x1, …, xn] là hữu hạn sinh. Từ định lý cơ bản Hilbert kéo theo giao của các đa tạp đại số lại là một đa tạp, vì nĩ là một tập zero của một ideal được sinh bởi tất cả các phần tử sinh của các ideal định nghĩa. Hơn thế nữa, tập rỗng  và tồn bộ An cũng là các đa tạp trong An. Do đĩ ta luơn cĩ định nghĩa sau đây: Định nghĩa 4.2.4: Trong tơpơ Zariski các tập mở là các phần bù cho các đa tạp đại số. Các tập mở trong hình học tơpơ Zariski là rất lớn. Mỗi tập mở khác rỗng là trù mật trong An. Hơn nữa bất kỳ hai tập mở khác rỗng đều giao nhau, vì thế nĩ khơng phải là hình học tơpơ Hausdorff. 4.3. Nullstellensatz của Hilbert. Ví dụ 7: Ideal định nghĩa của một đa tạp là khơng duy nhất. Trong k[x, y] ta xét: f1 = x 2 – y2 I1 = (f1). f2 = (x – y) 2(x + y) I2 = (f2). Rõ ràng, I1  I2 nhưng Z(I1) = Z(I2). Định nghĩa 4.3.1. Cho 1[ ,..., ]nI k x x là một ideal. Căn của I là: 1{ [ ,..., ] | , }. m nI f k x x f I m    Nếu I I , thì ideal I được gọi là một ideal căn. Một số tính chất về căn bậc hai của một ideal: (i) Với mỗi ideal I, căn I cũng là một ideal. (ii) .I I Từ Ví dụ 7 trên ta cĩ: 1 2I I = (x 2 – y2). Định nghĩa 4.3.2. Cho nX A là một tập bất kỳ. Ideal triệt tiêu của X là: (X) = {f 1[ ,..., ] | ( ) 0, }nk x x f p p X    . Bổ đề 4.3.3. Với mỗi nX A , (X) là một ideal căn. Định lý 4.3.4. (Nullstellensatz của Hilbert, HNS). Cho An là một khơng gian afin trên một trường k đĩng đại số. Khi đĩ với bất kỳ iđêan 1[ ,..., ]nI k x x ta cĩ:  ( ( ))Z I I . Do đĩ, cĩ một song ánh X  (X) của tập các đa tạp đại số trong An và tập của các ideal căn trong k[x1, …, xn]. Định lý 4.3.5. (HNS, phiên bản thứ 2). Cho An là một khơng gian afin trên một trường k đĩng đại số và cho I là một ideal trong k[x1, …, xn]. Nếu 1[ ,..., ]nI k x x (nghĩa là, nếu 1 )I , thì Z(I)  . Giả thiết: k trở thành đĩng đại số thực chất được minh họa trong các ví dụ sau: Ví dụ 8: Cho k = C. Nếu 2 2( 1) [ , ]I x y k x y    thì , [ , ]I I I k x y  , nhưng ( ) .Z I  Ví dụ 9: Cho k = C. Trong k[x, y] lấy I1 = (x 2 + y2) và I2 = (x, y). Khi đĩ cả hai ideal đều là ideal căn. 1 2 ,I I nhưng 1 2( ) ( ).Z I Z I Nhờ định lý Hilbert’s Nullstellensatz, ta cĩ thể tạo được một loại “từ điển” giữa các khái niệm đại số và hình học như sau: X (X) 1 2X X (X1)  (X2) X bất khả quy (X) là số nguyên tố 1 ... mX X X   là một phép phân tích vào các đa tạp con bất khả quy. (X) = 1 .... mI I  là một phép giao của các ideal nguyên tố, ở đây Ii = (Xi) Bảng 1.1 Nhìn chung, nĩ khơng thể phân tích một ideal đã cho như một phép giao của các ideal nguyên tố (ví dụ: [ ]I k x được sinh bởi x2), trừ khi ideal đã cho là một ideal căn. 4.4. Các đa tạp xạ ảnh: Mặt phẳng xạ ảnh: Mặt phẳng afin 2 là mặt phẳng thơng thường, với 2(k) = {( , ) : , }a b a b k với trường k bất kỳ. Một compact hĩa 2 bằng cách nối một số điểm “tại vơ cùng” để sinh ra mặt phẳng xạ ảnh 2. Một trong những lý do chính cho việc làm này là làm cho lý thuyết tương giao tốt hơn: xem định lý của Bézout trong phần 4.5.9. Tập hợp của các k-điểm trên mặt phẳng xạ ảnh 2 cĩ thể được định nghĩa một cách trực tiếp như: 2(k) := (k3 – 0)/ k*. Nĩi cách khác, một điểm k-hữu tỷ trên 2 là một lớp tương đương của bộ ba ( , , )a b c với , ,a b c k và khơng đồng thời bằng 0, qua mối quan hệ tương đương ~. Ở đây: *( , , ) ( , , ),a b c a b c k     . Lớp tương đương của ( , , )a b c được ký hiệu ( : : )a b c . Ta cũng cĩ thể đồng nhất thức 2(k) với tập hợp của các đường qua O trong khơng gian ( , , )x y z . Phép đơn ánh 2(k)2(k) ánh xạ ( , )a b vào ( : :1)a b hầu như là một song ánh: các điểm của 2(k) khơng cĩ tạo ảnh, cĩ dạng ( : : 0)a b hình thành một đường xạ ảnh 1(k) của “các điểm tại vơ cùng”. Xem 2(k) như đường qua O trong khơng gian ( , , )x y z , 2(k) là tập hợp các đường như thế đi qua ( , ,1)a b với ,a b k , và phần bù 1(k) là tập hợp các đường qua O trong mặt phẳng ( , )x y . 2 cũng cĩ thể được bao phủ bởi 3 bản sao của 2, tên là: {( : : ) | 0}x y z x  , {( : : ) | 0}x y z y  , và {( : : ) | 0}x y z z  . Khơng gian xạ ảnh: Cho k là một trường. Định nghĩa mối quan hệ tương đương: Ta định nghĩa mối quan hệ tương đương  như sau trên tập k3\(0,0,0): *( , , ) ( ', ', ') : ( , , ) ( ', ', ').x y z x y z k x y z x y z       Với 3( , , ) \ (0,0,0)x y z k , ta kí hiệu [ , , ]x y z là lớp tương đương của nĩ đối với quan hệ này. Do đĩ, hai điểm trong khơng gian k3 là tương đương nhau khi cả hai điểm đĩ cùng nằm trên một đường đi qua điểm (0,0,0). Định nghĩa khơng gian xạ ảnh: Khơng gian xạ ảnh P2(k) được định nghĩa như sau: P2(k) = {[x, y, z] | 3( , , ) \ (0,0,0)x y z k } Do đĩ khơng gian xạ ảnh P2(k) là tập hợp các đường trong k3 đí qua điểm (0,0,0). Định nghĩa 4.4.1. Khơng gian xạ ảnh n-chiều Pn (hoặc Pn(k)) trên k là tập hợp các lớp tương đương của các bộ (n + 1)-phần tử của k, tất cả khơng đồng thời bằng 0, với mối quan hệ tương đương  , ở đây 0 1( ,..., ) ( ,..., )n na a b b nếu cĩ một hằng số khác 0, kl sao cho , i = 0, ..., n.i ib al  Một phần tử 0( :...: ) n np p p P  được gọi là một điểm. Các pi là các tọa độ thuần nhất của p. Một tập zero trong Pn của một đa thức bất kỳ f 0[ ,..., ]nk x x nhìn chung khơng được định nghĩa tốt. Nhưng nĩ được định nghĩa tốt nếu f là một đa thức thuần nhất, vì khi đĩ 0 0( ,..., ) ( ,..., ), d n nf p p f a al l l d là bậc của f. Định nghĩa 4.4.2. Ideal 0[ ,..., ]nI k x x là thuần nhất, nếu nĩ được sinh ra bởi các đa thức thuần nhất. Định nghĩa 4.4.3. Một tập con nX P là một đa tạp đại số xạ ảnh, nếu nĩ là một tập-zero của một ideal thuần nhất trong 0[ ,..., ].nk x x Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất lại là một iđêan thuần nhất, giống như căn của một ideal. Hơn thế nữa, nếu một ideal thuần nhất I khơng là một số nguyên tố thì tồn tại các đa thức thuần nhất f, g sao cho fg I nhưng ,f g I . Do đĩ tương tự như trong trường hợp afin, ta cĩ tơpơ Zariski trên Pn. Ta luơn cĩ thể nhúng một khơng gian afin vào khơng gian xạ ảnh cĩ cùng số chiều với ví dụ như sau: nA  n , 1 1( ,..., ) (1: : ... : ).n np p p p Nĩi một cách khác, một khơng gian xạ ảnh cĩ số chiều n cĩ thể bị phủ bởi n + 1 biểu đồ afin. 0 ... n nU U    với 0{ ( :... : ) | 0}. n i n iU p p p P p    Khi đĩ, một phép đẳng cấu niU A được mơ tả như sau: 10 10( : ... : ) :...: : : ...: . ii n n i i i i pp p p p p p p p p         Cĩ một ideal thuần nhất đặc biệt trong 0[ ,..., ].nk x x 0 1( , ,..., )nI x x x  được gọi là một ideal khơng thích hợp. Nĩ là một ideal căn khơng tầm thường, nhưng khơng cĩ đa tạp trong n tương ứng với nĩ, như ( ) (0,...,0)Z I  , nhưng nĩ khơng thể hiện là một điểm bất kỳ trong  n. Vì thế, với khơng gian xạ ảnh Nullstellensatz của Hilbert cần phải cĩ một cải tiến. Định lý 4.4.4 (HNS, phiên bản 1). Cho nP là một khơng gian xạ ảnh trên trường k đĩng đại số. Khi đĩ, cĩ một song ánh từ: X  (X) giữa tập hợp các đa tạp đại số trong nP và tập hợp các ideal căn thuần nhất trong 0[ ,..., ]nk x x , ngoại trừ I . Định lý 4.4.5 (HNS, phiên bản 2). Cho nP là một khơng gian xạ ảnh trên một trường k đĩng đại số và I là một iđêan thuần nhất trong 0[ ,..., ]nk x x . Nếu ( ) nZ I P là tập rỗng thì I chứa mI với một số giá trị m N . Ví dụ 10: Một đa tạp tuyến tính trong nP của số đối chiều k là một tập zero của các k dạng tuyến tính độc lập. Ví dụ 11: Cubic xoắn trong 3P được cho bởi tham số hĩa: 3 2 2 3( : ) ( : : : )s t s s t st t và được biểu diễn bằng ba đa thức: 2 2 0 2 1 1 3 2 0 3 1 2, ,x x x x x x x x x x   . Nếu ta bỏ một trong ba phương trình xác định thì tập-zero sẽ bao gồm cubic xoắn và một đường thẳng cắt cubic tại hai điểm. Hơn nữa, các cubic xoắn cĩ thể được tìm thấy trong [7]. Trong trường hợp siêu mặt, ta cĩ thể dễ dàng tìm được bao đĩng xạ ảnh của đa tạp: ta phải thuần nhất phương trình định nghĩa: Nếu ( ) nX Z f A  , trong đĩ: 0 1 ... df f f f    với 1[ ,..., ]i nf k x x cĩ bậc là i , thì bao đĩng của nĩ trong nP là 10 0 0 1( ... ) d d dZ x f x f f    . Ví dụ minh họa của cubic xoắn trong đa tạp afin của số đối chiều cao hơn thì khơng dễ dàng tìm được các phương trình của bao đĩng xạ ảnh. Trong trường hợp này ta cĩ thể thực hiện như sau: (i) chọn một số hạng cĩ bậc thích hợp được sắp thứ tự trong 0[ ,..., ]nk x x . (ii) tìm cơ sở Grobner g của iđêan xác định X . (iii) thuần nhất mỗi đa thức trong g. Ideal thuần nhất thu được bằng cách này là ideal định nghĩa của bao đĩng xạ ảnh X n của X . Ví dụ 12: Đường cong chuẩn tắc hữu tỷ bậc d , C d là tham số hĩa cho bởi: 1( : ) ( : : ... : )d d ds t s s t t Ta cĩ thể mơ tả nĩ bằng một tập hợp các phương trình bậc hai sao cho ma trận: 0 1 2 1 1 2 3 ... ... d d x x x x x x x x       cĩ hạng là 1. Nghĩa là đường cong là tập zero của các đa thức: 2 0 2 1 0 3 1 2, ,...x x x x x x x  Ví dụ 13: Hình chiếu của một đa tạp xạ ảnh từ một điểm nằm ngồi đa tạp cũng là một đa tạp xạ ảnh. Để chứng minh điều đĩ, ta dựa trên các kết quả đã biết và dùng lý thuyết loại trừ. Nhưng ta khơng thể làm được điều đĩ với các đa tạp afin. 4.5. Các hàm và các ánh xạ. 4.5.1. Các hàm chính quy trên các đa tạp afin. Cho nX A là một đa tạp afin trên trường đĩng đại số k , cho (X) là ideal triệt tiêu của X . Định nghĩa 4.5.1.1. Vành tọa độ (afin) của X là vành thương 1[ ] [ ,..., ] /nk X k x x (X). Nếu ta xem các phần tử của 1[ ,..., ]nk x x và [ ]k X như là các hàm thì ta xây dựng bằng cách đồng nhất tất cả các đa thức trong 1[ ,..., ]nk x x vào trong X: với 1, [ ,..., ]nF G k x x Ta cĩ F ~G (mod(X)), chính xác là nếu: ( ) ( )F x G x với mọi x X . Mệnh đề 4.5.1.2. Một đại số giao hốn A trên trường k đẳng cấu với vành tọa độ [ ]k X của một số đa tạp X nếu và chỉ nếu A khơng cĩ lũy linh và là hữu hạn sinh như một đại số trên k . Định nghĩa 4.5.1.3. Một hàm số :f X k là chính quy, nếu cĩ một đa thức 1[ ,.., ]nF k x x sao cho ( ) ( )f x F x , x X  . Vành các hàm chính quy trên X, ký hiệu là : (X). Từ định nghĩa này ta cĩ: (X) [ ]k X . Ví dụ 14: Nếu X n thì 1[ ] [ ,..., ]nk X k x x . Khi đĩ: (X) = 0. Ví dụ 15: Nếu X là điểm đơn thì [ ]k X k . Định lý cơ bản của Hilbert đối với [ ]k X được “thừa hưởng" từ vành đa thức 1[ ,..., ]nk x x : với một ideal [ ]I k X thì 1 1( ) [ ,..., ]nI k x x   cũng là ideal. Trong đĩ,  : 1[ ,..., ] [ ]nk x x k X là phép chiếu tự nhiên. Nếu 1  được sinh bởi 1,..., kF F thì I được sinh bởi 1( ),..., ( )kF F  . Do đĩ, ta cĩ thể định nghĩa hình học tơpơ Zariski trên X bằng cách lấy đa tạp con của X như là các tập đĩng (các tập zero của các ideal trong [ ]k X ). Tương tự, Nullstellensatz Hilbert cũng thỏa mãn trong [ ]k X , do đĩ ta cĩ song ánh ( )Y I Y giữa các đa tạp con của X và các ideal căn trong [ ]k X . Bổ đề 4.5.1.4. Các phát biểu sau là tương đương: (i nX A là bất khả quy, (ii một tập con mở khác rỗng của X là trù mật trong X , (iii ) nếu 1 2,U U là các tập con mở khác rỗng của X thì 1 2U U  . 4.5.2. Các ánh xạ chính quy của các đa tạp afin. Định nghĩa 4.5.2.1. Một ánh xạ : X Y  là chính quy (một cấu xạ), nếu cĩ m hàm chính quy 1,..., mf f (X) sao cho 1( ) ( ( ),..., ( ))mx f x f x  . Định nghĩa 4.5.2.2. Ánh xạ chính quy : X Y  là phép đẳng cấu, nếu tồn tại một ánh xạ nghịch đảo chính quy thì các đa tạp ,X Y được gọi là đẳng cấu. Ví dụ 16: Parabol 2( )P Z y x  đẳng cấu với đường afin: 1: A P  2( , )t t t cĩ ánh xạ ngược: 1:P A  ( , )x y x Rõ ràng,   là ánh xạ đồng nhất trên P và   là ánh xạ đồng nhất trên 1A . Một cấu xạ của các đa tạp : X Y  cảm sinh một đồng cấu của các k-đại số [ ] [ ]k Y k X từ [ ]f f Y vào f  . Thật vậy, nếu f là một hàm chính quy thì nĩ được mơ tả bởi đa thức 1[ ,..., ]mF k y y . Vì  là một cấu xạ nên cĩ 1 1,..., [ ,..., ]m nF F k x x sao cho 1( ,..., )mF F  . Do đĩ, nếu cĩ :f X k  thì ta cĩ: 1( ) ( ( ),..., ( ))mf x F F x F x  và nĩ thật sự là một hàm chính quy trên X . Ánh xạ * : [ ] [ ]k Y k X  từ f đến f  được gọi là cái níu lại của  thì * là đồng cấu k-đại số. Mặt khác, với mỗi đồng cấu k-đại số : [ ] [ ]k Y k X  thì tồn tại một cấu xạ : X Y  sao cho *  . Định lý 4.5.2.3. Các đa tạp afin X và Y là đẳng cấu nhau nếu và chỉ nếu [ ]k X và [ ]k Y là đẳng cấu như các k-đại số. 4.5.3. Các hàm hữu tỷ trên các đa tạp afin. Cho nX A là một đa tạp bất khả quy. Thì vành tọa độ [ ]k X của nĩ khơng cĩ ước số 0 và do đĩ cĩ thể được nhúng vào trường các thương của nĩ mà ta ký hiệu là [ ]k X . Nĩi cách khác, [ ]k X là tập các lớp tương đương { 1/ | , [ ,.., ],nG H G H k x x H (X)} |~, Trong đĩ, / ~ '/ 'G H G H nếu ' 'GH HG (X) và phép “+”, “.” được định nghĩa theo nghĩa thơng thường. Định nghĩa 4.5.3.1. Trường [ ]k X được gọi là trường các hàm hữu tỷ trên X hay là trường hàm của X . Định nghĩa 4.5.3.2. Hàm [ ]f k X được gọi là chính quy tại x X nếu cĩ 1, [ ,..., ]nG H k x x sao cho G f H  và ( ) 0H x  . Định lý 4.5.3.3. Nếu một hàm hữu tỷ [ ]f k X là chính quy tại mọi điểm x X thì nĩ chính quy (theo định nghĩa 4.5.3.1 ). 4.5.4. Các ánh xạ hữu tỉ của các đa tạp afin. Cho ,n mX A Y A  là các đa tạp afin bất khả quy. Định nghĩa 4.5.4.1. Một ánh xạ hữu tỷ : X Y  là một m-bộ các hàm hữu tỷ 1,..., [ ]mf f k X sao cho 1( ,..., )mf f  . Nếu if là chính quy tại x với mọi x X thì ánh xạ  là chính quy tại x . Định nghĩa 4.5.4.2. Một ánh xạ hữu tỷ : X Y  được gọi là trội, nếu ảnh của X qua  là trù mật trong Y . Định nghĩa 4.5.4.3. Một ánh xạ hữu tỷ : X Y  là song hữu tỷ (tương đương song hữu tỷ) nếu nĩ cĩ ánh xạ ngược hữu tỷ, nghĩa là nếu cĩ :Y X  sao cho:  Cả  và  đều trội,  1Y   và 1X   , tại mọi nơi các phép hợp thành là xác định. Khi đĩ, X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ (song hữu tỷ). Ví dụ 17: Cubic lùi 2 3( )C Z y x  là song hữu tỷ vào trong 1A : Ánh xạ 1 2 3 : ( , ) A C t t t    cĩ ánh xạ ngược hữu tỷ 1: ( , ) C A y x y x    Nếu ánh xạ hữu tỷ : X Y  là trội thì cái níu lại * : [ ] [ ]k Y k X  được xác định. Khi đĩ, với mỗi [ ]f k Y ta cĩ: *( ) [ ]f k X  . Ánh xạ này được mở rộng một cách duy nhất đến [ ]k Y . Tương tự như trường hợp các ánh xạ chính quy, * là một song ánh giữa các ánh xạ hữu tỷ trội X Y và các phép nhúng k-đại số ( )k Y  k(X). Định lý 4.5.4.4. Các đa tạp X và Y là song hữu tỷ nếu và chỉ nếu ( ) ( )k X k Y . 4.5.5. Các hàm trên các đa tạp tựa xạ ảnh. Với mỗi đa tạp xạ ảnh nX P , vành tọa độ của X được xác định tương tự như trong trường hợp afin: 0[ ] [ ,..., ] / ( )nk X k x x I X , nhưng bây giờ nĩ cĩ một cấu trúc cộng của một vành phân bậc, nghĩa là nĩ là tổng trực tiếp của các khơng gian vectơ: 0 1 2[ ] ...k X R R R    , trong đĩ, i j i jR R R  . Các phần tử của iR là các lớp tương đương của các dạng 0,..., nx x cĩ bậc là i . Ví dụ 18: Cho 2 2 2 21 2 0( )X Z x x x P    là đường trịn đơn vị. Thì [ ]k X là tổng trực tiếp của các khơng gian vectơ: 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 2 1 1 2 2 0 1 1 , , , , , , , , , ( ) k k k R R x x x R x x x x x x x x x x x            ------ Định nghĩa 4.5.5.1: Một đa tạp tựa xạ ảnh X n là một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh. Sau đây ta chỉ xét các đa tạp tựa xạ ảnh. Định nghĩa 4.5.5.2: Cho một đa tạp bất khả quy X  n, trường của các hàm hữu tỷ trên X (trường hàm của X) là một tập hợp các lớp tương đương { g / h g,h R mà d , h 0(mod d   (X))}|~. với g/h ~ g’/h’ nếu gh’ – hg’ = 0 (mod(X)) Các phần tử trên k(X) được gọi là các hàm hữu tỷ trên X. Định nghĩa 4.5.5.3: Hàm hữu tỷ f :X k là chính quy tại x X nếu tồn tại một tập con mở U X chứa x và với g,h k X   thuần nhất cùng bậc sao cho h khơng bị triệt tiêu trên U và f = g/h. Hàm f :X k là chính quy nếu nĩ chính quy tại mọi điểm x X . Vành các hàm chính quy trên X được ký hiệu là: (X). Định lý 4.5.5.4: Nếu X  n là đĩng (nghĩa là nĩ là một đa tạp xạ ảnh) thì (X)  k. 4.5.6. Các ánh xạ trên những đa tạp tựa xạ ảnh : Cho X  n và Y  m là những đa tạp tựa xạ ảnh. Định nghĩa 4.5.6.1: Một ánh xạ :X Y  của những đa tạp tựa xạ ảnh là chính quy (một cấu xạ) nếu với mọi tập con mở V Y và với mỗi hàm số f :V k chính quy trên V thì hàm số  1f : V k   cũng là chính quy. Sự giải thích sau đây cĩ thể là hữu ích hơn. Ánh xạ :X Y  là chính quy nếu với mỗi x X thì tồn tại các dạng  0 m 0 nf ;...;f k x ,..., x cĩ cùng bậc sao cho: +  0 mf :...: f xác định trên một tập mở U X chứa x và +  if x 0 tại ít nhất một giá trị i. Định nghĩa 4.5.6.2: Một cấu xạ :X Y  là một phép đẳng cấu nếu nĩ cĩ ánh xạ ngược chính quy. Khi đĩ X và Y được gọi là đẳng cấu. Một ánh xạ :X Y  được gọi là phép nhúng nếu nĩ là một đẳng cấu của X và ảnh của nĩ là  X . Ví dụ 19: Một conic  20 2 1C x x x   trên 2 đẳng cấu với đường thẳng xạ ảnh. Nếu  s : t là tọa độ thuần nhất trên 1 và  0 1 2x : x : x là tọa độ thuần nhất trên  2 thì ánh xạ chính quy: : 1 C    2 2s : t s : st : t cĩ ánh xạ ngược chính quy: :C 1    0 1 2 0 1x : x : x x :x trên U0 ( 0x 0 )  1 2x : x trên U2 ( 2x 0 ) Khi đĩ    0 2C C U C U    , ta cĩ thể mơ tả ánh xạ  tại mọi điểm. Định nghĩa  là một định nghĩa tốt kể cả trong trường hợp i x 0, i  ta luơn cĩ:        20 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2x : x x x :x x x : x x x : x   Lưu ý rằng, vành tọa độ của các đa tạp xạ ảnh chứa nhiều thơng tin hơn vành afin tương ứng. Trong ví dụ 19 trên, conic C là một đẳng cấu của 1, tuy nhiên các vành tọa độ của chúng khơng đẳng cấu, vì k C   được sinh ra bởi 2 phần tử. Vành k X   khơng những phụ thuộc vào lớp các phép đẳng cấu của các đa tạp mà cịn phụ thuộc vào phép nhúng của X vào khơng gian xạ ảnh. Trên thực tế, nếu các vành tọa độ của hai đa tạp là đẳng cấu thì những đa tạp này là tương đương xạ ảnh, cĩ nghĩa là tồn tại một phép biến đổi tuyến tính của khơng gian xạ ảnh ambient từ một đa tạp này đến một đa tạp khác. Định nghĩa 4.5.6.3: Ánh xạ :X Y  là hữu tỷ nếu nĩ được xác định ít nhất trên một tập con mở trù mật của X và nĩ chính quy trên những miền xác định của nĩ. Hơn nữa, ánh xạ đĩ cịn là song hữu tỷ nếu nĩ cĩ ánh xạ ngược hữu tỷ, khi đĩ X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ. Định nghĩa 4.5.6.4: Một đa tạp X được gọi là hữu tỷ nếu nĩ tương đương song hữu tỷ với d. Do đĩ, tương đương song hữu tỷ này được gọi là một tham số hĩa của X. Đa tạp X được gọi là đơn hữu tỷ nếu nĩ là ảnh hữu tỷ của một d. Định lý 4.5.6.5: Đa tạp X và Y là song hữu tỷ khi và chỉ khi    k X k Y . Định lý 4.5.6.6: Mọi đa tạp đại số bất kỳ đều là song hữu tỷ với một siêu mặt trên  m. Chứng minh: Vì k(X) là mở rộng hữu hạn sinh của một trường đĩng đại số, do đĩ:   1 m 1 mk(X) k y ,......, y y với 1 my ,..., y là độc lập siêu việt trên k và ym mang tính chất đại số trên k(y1,....,ym – 1). Gọi   1 m 1p ' k y ,..., y x là đa thức nhỏ nhất của ym. Bằng phép nhân thích hợp ta cĩ thể xĩa bỏ y1, …, ym – 1 từ các mẫu thức, thu được 1 1[ ,..., , ]mp k y y x . Khi đĩ X là song hữu tỷ với bao đĩng xạ ảnh của Z(p) là một siêu phẳng trong m. 4.5.7. Một vài ví dụ: Ví dụ 20: Ta gọi “đa tạp afin” với ý nghĩa là một đa tạp tựa xạ ảnh đẳng cấu với một đa tạp afin. Một “tập con mở chính” trên n là phần bù của một siêu mặt, nghĩa là tập hợp {p n f (p) 0 } với các đa thức đơn  1 nf k x ,..., x . Ta thấy rằng một tập con mở chính là một đa tạp afin. Cho : (n\Z(f))  n+1 xác định bởi    1 n 1 np ,...,p p ,...,p ,1 / f (p) thì  là chính quy với ảnh Y = Z(g) với g =  n 1 1 n 1fx 1 k x ,...., x   . Ánh xạ ngược là phép chiếu    1 n 1 1 n: p ,...,p p ,...,p  . Ví dụ 21: Ta gọi “một đa tạp xạ ảnh” là một vật thể bất kỳ mà cĩ thể được nhúng vào trong một khơng gian xạ ảnh như là một đa tạp xạ ảnh. Đặc biệt, tích  n  m là một đa tạp xạ ảnh vì nĩ cĩ thể được nhúng vào N với: N = (n + 1)(m + 1) - 1 như sau:      0 n 0 m 0 0 0 1 n m 00 01 nmx :...: x ;y :...: y x y : x y :... : x y z : z :... : z Ảnh là tập-zero của các đa thức: , , 0, ..., ; , 0, ..., . ij kl il kj z z z z i k n j l m   Ánh xạ nĩi trên được gọi là phép nhúng Segre. 4.5.8. Bao đĩng xạ ảnh của các đường cong: Hàm thuần nhất của một đa thức ( , )f x y bậc d là ( , , ) : ,d X Y F X Y Z Z f Z Z        . Bằng cách khác, ta thay đổi x bởi X, y bởi Y, và thêm vào đủ các thành phần của Z để mỗi đơn thức mang bậc tổng của của mỗi đơn thức là d. Ta cĩ thể thu lại f như sau: ( , ) ( , ,1)f x y F x y . Nếu ( , ) 0f x y  là một đườn._.      0 1 ( ( )) 0         hoặc 3, nếu 1 , nếu = -1 0 , nếu D p D p p D p N f x Đối với phương trình đồng dư bậc 3: 3 2 2 0(mod )x x kx r p    (10) Ta cĩ: 3 2 2 4 24 18 27 4 .D k k kr r r      Nếu ta lấy k và r sao cho k = p – r2, khi đĩ biệt thức của phương trình đồng dư bậc 3 trở thành: D = -4k(k + 1)2 – p(36k + 27p +4). Trong trường hợp này ta cĩ: 24 ( 1) (mod ).D k k p   Bây giờ ta sẽ xét hai trường hợp, hoặc là: 1(mod4)p  hoặc 3(mod4)p  . Ta ký hiệu Qp là tập hợp các thặng dư bậc hai modulo p. Trường hợp 1: Lấy 1(mod4)p  . Vì -1Qp và 2 (mod )k r p  , ta cĩ kQp. Do đĩ, -4k  Qp, và vì vậy ( ) 1Dp  . Từ định lý 4.2.1 ta biết rằng phương trình đồng dư bậc ba (10) khơng cĩ nghiệm hoặc cĩ 3 nghiệm. Trường hợp 2: Lấy 3(mod4)p  . Vì 1 pQ  , và * \p pk F Q Và 2 (mod )k r p  , ta cĩ - 4kQp. Do đĩ, 24 ( 1) ,pD k k Q    nghĩa là ( ) 1 D p  . Cũng trong trường hợp này phương trình đồng dư bậc ba (10) khơng cĩ nghiệm hoặc cĩ 3 nghiệm. Vì vậy ta cĩ hệ quả sau: Hệ quả 4.2.2: Cho p > 3 là một số nguyên tố, phương trình đồng dư bậc 3 sau đây: x3 + x2 + kx – r2 0 (mod p) khơng cĩ nghiệm hoặc cĩ 3 nghiệm. Bây giờ ta sẽ chứng minh phương trình đồng dư bậc 3 này cĩ 3 nghiệm. Bổ đề 4.2.3: Cho k + r2 = p. Khi đĩ các nghiệm của phương trình đồng dư bậc ba: x3 + x2 + kx – r2 0 (mod p) là r, -r, p – 1. Chứng minh: Nếu ta lấy k = p – r2 thì, từ phương trình (10) ta cĩ: x3 + x2 – r2x – r2 = (x + 1)(x + r)(x – r) 0(mod )p . Điều này chứng tỏ rằng các nghiệm của phương trình đồng dư này chỉ là r, - r, và p - 1. Vì vậy, phương trình đồng dư bậc ba: x3 + x2 + kx – r2 0 (mod p) cĩ 3 nghiệm với k + r2 = p. Nhưng những điểm từ phương trình đồng dư cấp 3 này khơng thể là những điểm như mong đợi, đĩ là những điểm khơng thể thuộc trên cả đường cong elliptic và họ đường trịn. Các nghiệm của phương trình đồng dư này cũng xác nhận phương trình đường trịn x2 + y 2 = r2. Với phương pháp này, với mỗi x, r2 – x2 phải là một bình phương trong Fp. Mặt khác, chỉ cĩ các nghiệm làm cho r2 – x2 là một bình phương sẽ cho chúng ta đối tượng mà chúng ta mong muốn cĩ. Vì x r  , 2 2 0r x  , nên rõ ràng cả hai điểm (r, 0) và (-r, 0) phải thuộc trên hai họ đường cong. Nếu r2 – (p - 1)2 khơng là một bình phương trong Fp, thì x = p – 1 khơng thể là điểm trên cả hai họ đường cong. Bây giờ, ta sẽ xác định điều đĩ khi điểm này là một điểm chung của hai họ đường cong. Để làm điều này ta phải xét cả hai trường hợp: Trường hợp 1: Cho 1(mod4)p  . Nếu ta viết x = p – 1 thuộc vào đường cong y2 = x3 + kx thì ta cĩ: 2 3( 1) ( 1) ( 1)(mod )y p k p k p       . Vì -(k + 1)  Qp  (k + 1)  Qp Điều đĩ suy ra rằng, 2( 1, 1)p r   là những điểm cần thiết nếu và chỉ nếu : k, k + 1  Qp. Mà k  Qp . Do đĩ, cĩ 2 khả năng: i) Nếu k + 1  Qp, thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn là: (r, 0), (- r, 0). ii) Nếu k + 1  Qp, thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn là : (r, 0), (- r, 0), 2( 1, 1)p r   . Trường hợp 2: Cho 3(mod4)p  . Trong trường hợp này ta biết rằng: k  * \p pF Q . Do đĩ: -(k + 1)  Qp  (k + 1)  * \p pF Q . Nghĩa là, 2( 1, 1)p r   là những điểm cần thiết nếu và chỉ nếu: k, k + 1  * \p pF Q . Mà k  * \p pF Q . Do đĩ, ta cũng cĩ 2 khả năng: i) Nếu k + 1  * \p pF Q , thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn là: (r, 0), và (- r, 0). ii) Nếu k + 1  * \p pF Q , thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn là: (r, 0), (- r, 0), 2( 1, 1)p r   . Vì thế ta đã chứng minh được định lý sau: Định lý 4.2.4: Cho p > 3 là một số nguyên tố và cho k + r2 = p. Khi đĩ, cho họ đường cong elliptic Ek : y 2 = x3 + kx và họ đường trịn 2 2 2 2: r C x y r  với mỗi x là một nghiệm của phương trình (10), và 2 2 2 2 2 2 , ( ) = 0 | | 4 , ( ) = 1, p k r p r x F E C r x F           ở đây 2| |k rE C cĩ nghĩa là số các điểm chung. Bằng cách tổng quát hĩa ký hiệu Legendre đến trường bất kỳ, 2 2 ( ) p r x F  cĩ nghĩa là: 2 2 ( ) p r x F  = 1 nếu t2 = r2 – x2 cĩ một nghiệm t  *pF ; 2 2 ( ) p r x F  = -1 nếu t2 = r2 – x2 khơng cĩ nghiệm t  *pF và 2 2 ( ) p r x F  = 0 nếu r2 = x2. Vì thế, các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường trịn là (r, 0), (-r, 0) và bổ sung vào những điểm này, ta cĩ (p – 1, 2 1r  ) nếu 2 2( 1) 1 p r p F         . Trong Fp, họ đường cong elliptic y 2 = x3 + kx và họ đường trịn x2 + y2 = r2 cĩ thể khơng cĩ các điểm chung. Chúng ta hãy xem ví dụ sau: Ví dụ 4.2.1: 1) Cho E2 : y 2 = x3 + 2x là một đường cong elliptic và C1 : x 2 + y2 = 1 là một đường trịn trên F7. Khi đĩ, phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + 2x – 1  0(mod 7) khơng cĩ nghiệm. Do đĩ, E2 và C1 khơng cĩ các điểm chung trong F7. 2) Cho E4 : y 2 = x3 + 4x là đường cong elliptic và C2 : x 2 + y2 = 2 là đường trịn trên F7. Khi đĩ, phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + 4x – 2  0(mod 7) chỉ cĩ một nghiệm 5x  (mod 7). Khi đĩ từ phương trình đường trịn chúng ta cĩ, 4 + y2 ≡ 2(mod 7) hoặc y2 ≡ 5(mod 7). Khơng cĩ giá trị y thỏa mãn phương trình này. Do đĩ, E2 và C4 khơng cĩ các điểm chung trên F7. Bây giờ chúng ta sẽ xác định cĩ bao nhiêu đường trịn và đường cong elliptic giao nhau đối với một số nguyên tố p. Chúng ta phải xem hai trường hợp sau. Trường hợp 1: Cho 1(mod4)p  . Khi đĩ k  Qp và k + r 2 = p. Vì thế đường cong elliptic và họ đường trịn cĩ giao nhau. Do đĩ, số các giao điểm của hai họ đường cong này là |Qp|, cụ thể là 1 2 p  đường trịn và họ đường cong elliptic cĩ giao điểm. Trường hợp 2: Cho p ≡ 3(mod 4). Khi đĩ k  * \p pF Q . Vì thế cĩ 1 1 1 2 2 p p p      đường trịn và các họ đường cong elliptic cĩ giao điểm, trong trường hợp này số các giao điểm của hai họ đường cong này cũng là 1 2 p  . Hệ quả 4.2.5: Với số nguyên tố p > 3, số các đường giao điểm của họ đường cong elliptic y2 = x3 + kx và họ đường trịn x2+ y2= r2 trong Fp là 1 2 p  . Ví dụ 4.2.2: Cho Ek : y 2 = x3 + kx và 2 2 2 2: r C x y r  . 1) Nếu p = 13, thì ta cĩ bảng sau: k r2 Các giao điểm 1 12 (5, 0), (8, 0) 3 10 (6, 0), (7, 0), (12, 3), (12, 10) 4 9 (3, 0), (10, 0) 9 4 (2, 0), (11, 0), (12, 4), (12, 9) 10 3 (4, 0), (9, 0) 12 1 (1, 0), (12, 0) 2) Nếu p = 19, thì ta cĩ bảng sau: k r2 Các giao điểm 2 17 (6, 0), (13, 0), (18, 4), (18, 15) 3 16 (4, 0), (15, 0) 8 11 (7, 0), (12, 0) 10 9 (3, 0), (16, 0) 12 7 (11, 0), (8, 0), (18, 5), (18, 14) 13 6 (5, 0), (14, 0), (18, 9), (18, 10) 14 5 (9, 0), (10, 0), (18, 2), (18, 17) 15 4 (2, 0), (17, 0) 18 1 (1, 0), (18, 0) 4.3. Một số kết quả khác về tương giao giữa các đường cong: Bây giờ ta sẽ xác định số đường giao điểm của đường cong elliptic và họ đường trịn mà cĩ các điểm (r, 0), (-r, 0) và (r, 0), (-r, 0), 2( 1, 1)p r   . Ta phải xét hai trường hợp như đã làm trước đĩ. Nhưng chúng ta cần phải biết định lý sau và cùng với các ví dụ trên để điền vào bảng số liệu trong ví dụ trên. Trong [1] đã chứng minh rằng: Định lý 4.3.1: Cho N(p) biểu thị số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp. Khi đĩ: 1 2( 4 ( 1) ) ( ) 4 p p N p      . Cho N(p)* biểu thị số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp, ở đây cặp thứ nhất khơng cịn là thặng dư bậc 2 và cặp thứ hai khơng là một thặng dư bậc 2 modulo p và: 1 2 * ( 2 ( 1) )( ) . 4 p p N p      Khi đĩ ta cĩ hai trường hợp: Trường hợp 1: Cho p ≡ 1( mod 4). Khi đĩ 2( 1, 1)p r   là các điểm địi hỏi nếu và chỉ nếu k, k + 1  Qp bởi sự chứng minh của định lý 4.2.4. Do đĩ, từ định lý 4.3.1, số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ bốn điểm là 2( 1, 1)p r   và ( ,0)r là 1 2( 4 ( 1) ) ( ) 4 p p N p      và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm là ( ,0)r là 1 1 2 21 ( 1) 2 ( 1) ( ) 2 4 4 p p p p p N p            . Ví dụ 4.3.1: Cho p = 13. Khi đĩ số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 4 điểm 2( 1, 1)p r   và ( ,0)r là N(13) = 13 1 213 4 ( 1) 2 4      Và số các trường hợp mà giao của các đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm là ( ,0)r là 13 1 (13) 6 2 4 2 N      . Các đường cong này cĩ thể được thấy trong ví dụ 2.2.2. Trường hợp 2: Cho p ≡ 3(mod 4). Khi đĩ, 2( 1, 1)p r   là các điểm địi hỏi nếu và chỉ nếu k, k + 1  * \pF Qp bởi sự chứng minh của định lý 4.2.4. Do đĩ từ định lý 4.3.1, số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ bốn điểm là 2( 1, 1)p r   và ( ,0)r là 1 2 * ( 2 ( 1) )( ) 4 p p N p      và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm ( ,0)r là 1 2 1 2 *1 1 ( 2 ( 1) )( ) 2 2 4 ( 1) . 4 p p p p p N p p              Ví dụ 4.3.2: Cho p = 19. Khi đĩ số các trường hợp nơi mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 4 điểm 2( 1, 1)p r   và ( ,0)r là: 19 1 2 * (19 2 ( 1) )(19) 4 4 N       và số các trường hợp nơi mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm ( ,0)r là: * 19 1 (19) 9 4 5. 2 N      Các đường cong này cĩ thể được xem trong ví dụ 4.2.2. Bởi vậy ta cĩ kết quả sau. Định lý 4.3.2: Số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 4 điểm 2( 1, 1)p r   và ( ,0)r là:                  1 2 1 2 * ( 4 ( 1) ) ( ) , nếu p 1(mod 4) 4 ( 2 ( 1) ) ( ) , nếu p 3(mod 4) 4 p p p N p p N p và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm ( ,0)r là                     1 2 1 2 * 1 2 ( 1) ( ) , nếu 1( 4) 2 4 1 ( 1) ( ) , nếu 3( 4) 2 4 p p p p N p p mod p p N p p mod Ta cũng cĩ thể xác định cĩ bao nhiêu điểm thuộc giao của đường cong elliptic y2 = x3 + kx và đường trịn x2 + y2 = r2. Ta biết rằng cĩ các điểm ( ,0)r , và biết cĩ 12 p họ đường cong. Vì thế số của các điểm này là: 1 2( ) 1 2 p p    . Thêm vào đĩ, cĩ các điểm 2( 1, 1)p r   . Vì thế nếu p ≡ 1(mod 4), thì số của những điểm này là: 2N(p) và nếu p ≡ 3 (mod 4) thì số những điểm này là: 2N(p)*. Vì thế ta cĩ hệ quả sau: Hệ quả 4.3.3: Số các điểm chung của họ đường cong elliptic y2 = x3 + kx cùng với họ đường trịn x2 + y2 = r2 là:                    p 1 2 p 1 2 * 3p 6 ( 1) p 1 2N(p) , nếu p 1(mod4) 2 3p 4 ( 1) p 1 2N(p) , nếu p 3(mod4) 2 Ví dụ 4.3.3: 1) Cho p = 13. Khi đĩ số các điểm chung của họ đường cong elliptic cùng với họ đường trịn là: 13 – 1 + 2N(13) = 16 2) Cho p = 19. Khi đĩ số các điểm chung của họ đường cong elliptic cùng với họ đường trịn là: 19 – 1 + 2N(19)* = 26 Sau đây là thuật tốn xác định số liệu trong các bảng của ví dụ 4.2.2 ở trên: Cho đường cong: Ek: 2 3y x kx  và đường trịn 2 2 2 2 r C : x y r  . Ta xét hai trường hợp như sau: Trường hợp 1 : p 1(mod4) , khi đĩ k  Qp và k + r 2 = p. Với p = 13, ta cĩ : Vì k  Qp nên : p 1 2k 1(mod13)   13 1 2k 1(mod13)    6k 1(mod13)  . Khi đĩ : k   pQ 1,3,4,9,10,12 . Số các đường giao nhau của hai họ đường cong elliptic và đường trịn là : p 1 13 1 6 2 2     . Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường trịn cĩ 4 điểm : 2(p 1, r 1)    và ( r,0) là : p 1 2 13 1 2 (p 4 ( 1) ) N(p) 4 (13 4 ( 1) ) N(13)= 2 4            Vì k +1Qp ta cĩ 4 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 3, và k = 9. Khi đĩ, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hồnh độ giao điểm của các đường cong. . k = 3 2 r = 13 - 3 = 10 , ta cĩ phương trình : 3 2 x 6 x x 3x 10 0(mod13) x 7 x 12            . k = 9 2 r = 13 - 9 = 4 , ta cĩ phương trình : 3 2 x 2 x x 9x 4 0(mod13) x 11 x 12            Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm: ( r,0) là : 13 1 N(13) 6 2 4. 2      Vì k + 1Qp ta cĩ 2 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 1, 4, 10 và k = 12. Khi đĩ, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hồnh độ giao điểm của các đường cong. . k = 1 2 r 13 1 12    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 5 x x x 12 0(mod13) x 8          . k = 4 2 r 13 4 9    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 3 x x 4x 9 0(mod13) x 10          . k = 10 2 r 13 10 3    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 4 x x 10x 3 0(mod13) x 9          . k = 12 2 r 13 12 1    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 1 x x 12x 1 0(mod13) x 12          Do đĩ, số điểm chung của họ đường cong elliptic và họ đường trịn là : p – 1 + 2N(p) = 13 – 1 + 2*N(13) = 12 + 2*2 = 16. Khi đĩ, với k + r2 = p ta cĩ bảng các giao điểm sau : K r2 Các giao điểm 1 12 (5, 0), (8, 0) 3 10 (6, 0), (7, 0), (12, 3), (12, 10) 4 9 (3, 0), (10, 0) 9 4 (2, 0), (11, 0), (12, 4), (12, 9) 10 3 (4, 0), (9, 0) 12 1 (1, 0), (12, 0) Trường hợp 2: p 3(mod4) , khi đĩ k  * p p F \ Q và k + r2 = p. Với p = 19, ta cĩ : Vì k  * p p F \ Q nên : p 1 2k 1(mod19)   19 1 2k 1(mod19)    9k 1(mod19)  . Khi đĩ :  pQ 1,4,5,6,7,9,11,16,17  k  * p p F \ Q = {2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18}. Số các đường giao nhau của hai họ đường cong elliptic và đường trịn là : p 1 19 1 9 2 2     . Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường trịn cĩ 4 điểm : 2(p 1, r 1)    và ( r,0) là : p 1 2 19 1 2 (p 2 ( 1) ) N(p) 4 (19 2 ( 1) ) N(19) = 4 4              Vì k + 1  * p p F \ Q ta cĩ 4 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 2, 12, 13 và k = 14. Khi đĩ, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hồnh độ giao điểm của các đường cong. . k = 2 2 r = 19 - 2 = 17 , ta cĩ phương trình : 3 2 x 6 x x 2x 17 0(mod19) x 13 x 18            . k = 12 2 r = 19 - 12 = 7  , ta cĩ phương trình : 3 2 x 8 x x 12x 7 0(mod19) x 11 x 18            . k = 13 2 r = 19 - 13 = 6 , ta cĩ phương trình : 3 2 x 5 x x 13x 6 0(mod19) x 14 x 18            . k = 14 2 r = 19 - 14 = 5  , ta cĩ phương trình : 3 2 x 9 x x 14x 5 0(mod19) x 10 x 18            Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm : ( r,0) là : 19 1 N(19) 9 4 5. 2      Vì k + 1 * p p F \ Q ta cĩ 2 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 3, 8, 10, 15 và k = 18. Khi đĩ, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hồnh độ giao điểm của các đường cong. . k = 3 2 r 19 3 16    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 4 x x 3x 16 0(mod19) x 15          . k = 8 2 r 19 8 11    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 7 x x 8x 11 0(mod19) x 12          . k = 10 2 r 19 10 9    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 3 x x 10x 9 0(mod19) x 16          . k = 15 2 r 19 15 4    , ta cĩ phương trình: 3 2 x 2 x x 15x 4 0(mod19) x 17          . k = 18 2 r 19 18 1    , ta cĩ phương trình: Do đĩ, số điểm chung của họ đường cong elliptic và họ đường trịn là : p – 1 + 2N(p)* = 19 – 1 + 2*N(19)* = 18 + 2*4 = 26. Khi đĩ, với k + r2 = p ta cĩ bảng các giao điểm sau : k r2 Các giao điểm 2 17 (3, 0), (13, 0), (18, 14), (18, 15) 3 16 (4, 0), (15, 0) 8 11 (7, 0), (12, 0) 10 9 (3, 0), (16, 0) 12 7 (8, 0), (11, 0), (18, 5), (18, 14) 13 6 (5, 0), (14, 0), (18, 9), (18, 10) 14 5 (9, 0), (10, 0), (18, 2), (18, 17) 15 4 (2, 0), (17, 0) 18 1 (1, 0), (18, 0) Với k và r bất kỳ, nếu ( ) 1Dp  thì phương trình (10) đồng dư bậc 3 cũng khơng cĩ nghiệm hoặc cĩ 3 nghiệm. Nếu phương trình (10) đồng dư bậc 3 khơng cĩ nghiệm thì họ đường cong elliptic và họ đường trịn cĩ các điểm chung bất kỳ. Cho phương trình đồng dư bậc ba (10) cĩ 3 nghiệm. Trong trường hợp này, nếu với mỗi 3 nghiệm x, và r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì đường cong elliptic và đường trịn cĩ 6 điểm chung. Nếu với 2 nghiệm r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì chúng cĩ 4 điểm chung và nếu với một nghiệm r2 – x2 là một bình phương trong Fp thì chúng cĩ 2 điểm chung. Hơn nữa, nếu 2 2 ( ) 0 p r x F   nghĩa là r2 – x2 = 0 thì cĩ 2 hoặc 4 điểm chung như chúng ta đã thấy trước đĩ. Vì vậy trong trường hợp tổng quát, chúng cĩ thể cĩ 0, 2, 4, hoặc 6 điểm chung. Ví dụ 4.3.4: 1) Cho E1 : y 2 = x3 + x và C4 : x 2 + y2 = 4 trên F13. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + x – 4 ≡ 0 (mod 13) khơng cĩ nghiệm. Do đĩ, E1 và C4 khơng cĩ điểm chung. 2) Cho E6 : y 2 = x3 + 6x và C9 : x 2 + y2 = 9 trên F19. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + 6x – 9 ≡ 0 (mod 19) cĩ 3 nghiệm là: x1 = 4, x2 = 5 và x3 = 9. Từ đĩ thấy rằng chỉ cĩ một nghiệm làm r 2 – x2 là một bình phương trong F19. Sự thực, với x1 = 4 ta cĩ  216 9 19y mod  hoặc y2 ≡ 12(mod 19), nhưng 12 19Q . Vì thế khơng cĩ giá trị y thỏa mãn phương trình này và ta khơng cĩ điểm nào. Với x2 = 5 ta cĩ 6 + y 2 ≡ 9(mod 19) suy ra y2 = 3(mod 19), nhưng 3 19Q . Vì thế khơng cĩ giá trị y thỏa mãn phương trình này và ta khơng cĩ điểm chung nào. Và với x3 = 9, từ phương trình đường trịn ta cĩ: 5 + y 2 ≡ 9(mod 19) suy ra y2 ≡ 4(mod 19). Do đĩ ta cĩ các điểm (9, 2), (9, 17). Vì vậy đường cong elliptic E6 và đường trịn C9 cĩ 2 điểm chung. 3) Cho E1 : y 2 = x3 + x và C1 : x 2 + y2 = 1 trên F11. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + x – 1 ≡ 0(mod 11) cĩ 3 nghiệm là x1 = 5 và x2,3 = 8. Dễ dàng nhận thấy rằng các nghiệm này làm cho r 2 – x2 trở thành bình phương trong F11. Thực tế, với x1 = 5 thì từ phương trình đường trịn ta cĩ 3 + y 2 ≡ 1(mod 11) hoặc y2 ≡ 9(mod 11). Vì thế ta cĩ các điểm (5, 5), (5, 12) và với x2,3 = 8 ta cĩ 9 + y 2 ≡ 1(mod 11) hoặc y2 ≡ 3(mod 11). Vì thế ta cĩ các điểm (8, 5), (8, 6). Do đĩ, đường cong elliptic E1 và đường trịn C1 cĩ 4 điểm chung. 4) Cho E14 : y 2 = x3 + 14x và C16 : x 2 + y2 = 16 trên F17. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + 14x – 16 ≡ 0(mod 17) cĩ 3 nghiệm là x1 = 1, x2 = 5 và x3 = 10. Dễ dàng nhận thấy rằng các nghiệm này làm cho r 2 – x2 trở thành một bình phương trong F17. Thực tế, với x1 = 1 thì từ phương trình đường trịn ta cĩ 1 + y 2 ≡ 16(mod 17) suy ra y2 ≡ 15(mod 17). Vì thế ta cĩ các điểm (1, 7), (1, 10) và với x2 = 5 ta cĩ : 8 + y 2 ≡ 16(mod 17) suy ra  2 8 17y mod . Vì thế ta cĩ các điểm (5, 5), (5, 12) ; và với x3 = 10 thì từ phương trình đường trịn ta cĩ 15 + y2 ≡ 16(mod 17) suy ra y2 ≡ 1(mod 17). Vì thế ta cĩ các điểm (10, 1), (10, 16). Do đĩ, đường cong elliptic E14 và đường trịn C16 cĩ 6 điểm chung. Trong trường hợp thứ 2, với bất kỳ số k và r nếu ( ) 1Dp   thì phương trình đồng dư bậc ba (10) chỉ cĩ một nghiệm x và nếu với nghiệm này ta cĩ r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì đường cong elliptic và đường trịn cĩ 2 điểm chung trên Fp. Do đĩ trong trường hợp này, chúng cĩ thể cĩ 0 hoặc 2 điểm chung. Chúng ta hãy xét các tình huống này trong ví dụ sau. Ví dụ 4.3.5: 1) Giả sử E1 : y 2 = x3 + x và C1 : x 2 + y2 = 1 được cho trên F7. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + x – 1 ≡ 0(mod 7) chỉ cĩ một nghiệm là x = 5. Ta dễ dàng thấy được nghiệm này làm cho r2 – x2 trở thành một bình phương trong F7. Trên thực tế, với x = 5 thì từ phương trình đường trịn ta cĩ: 4 + y2 ≡ 1(mod 7) suy ra y2 ≡ 4(mod 7). Vì thế ta cĩ các điểm (5, 2), (5, 5). Do đĩ đường cong elliptic E1 và đường trịn C1 cĩ 2 điểm chung. 2) Giả sử E3 : y 2 = x3 + 3x và C1 : x 2 + y2 = 1 được cho trên F7. Khi đĩ phương trình đồng dư bậc 3 cĩ dạng: x3 + x2 + 3x – 1 ≡ 0(mod 7) chỉ cĩ một nghiệm là x = 4. Ta dễ dàng thấy được nghiệm này khơng làm cho r2 – x2 trở thành một bình phương trong F7. Trên thực tế, với x = 4 thì từ phương trình đường trịn ta cĩ: 2 + y2 ≡ 1(mod7) suy ra y2 ≡ 6(mod 7), nhưng 6 7Q . Vì thế khơng cĩ giá trị y thỏa mãn phương trình này. Do đĩ đường cong elliptic E3 và đường trịn C1 khơng cĩ điểm chung. PHẦN KẾT LUẬN Luận văn bao gồm một số nội dung chính sau: 1. Phần cơ sở: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về Đại số giao hốn, Lý thuyết số, một số kết quả nghiên cứu về bản chất số học của các điểm hữu tỷ của các đường cong elliptic – nghĩa là một số kiến thức nền trong Hình học đại số trong đĩ cĩ các định lý quan trọng mơ tả cấu trúc đại số của tập các điểm hữu tỷ liên quan đến nội dung của luận văn này. 2. Phần tiếp theo nhắc lại các khái niệm về đa tạp afin và đa tạp xạ ảnh, cùng với các kết quả nghiên cứu đã biết về đường cong elliptic, trong đĩ cĩ bàn luận về các điểm kỳ dị của một đa thức thuần nhất bậc i. Trong phần này cĩ minh họa một số đồ thị, tập hợp các điểm hữu tỷ của các đường cong elliptic trên trường hữu hạn so sánh với trường hữu tỷ (dựa theo cơng thức của luật nhĩm và phép cộng hai điểm trên một đường cong elliptic – minh họa bởi các đồ thị). 3. Phần cuối cùng là phần nội dung chính của Luận văn này. Trong phần này đã mơ tả tường minh và diễn đạt lại nội dung của bài báo nĩi về “Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên các trường hữu hạn” của Bet¨ul Gezer, Ahmet Tekcan, và Osman Bizim. Cụ thể là các nội dung sau: - Cách xác định điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn. - Số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic y2 = x3 + kx và các đường trịn x2 + y2 = r2 trên trường Fp. - Điều đặc biệt là các thuật tốn tính tốn của bài báo đã được sử dụng để xác định được các số liệu trong các bảng của ví dụ 4.2.2. Vì sự hạn chế về mặt thời gian và điều kiện tiếp cận các kết quả nghiên cứu của chuyên ngành Hình học Đại số, tác giả cũng chỉ mới thực hiện được một phần trong số các ý tưởng bước đầu tìm hiểu và tham gia tập dượt nghiên cứu về lĩnh vực này. Hy vọng trong tương lai sẽ cĩ điều kiện tiếp tục quan tâm chi tiết và để cĩ thể thu được các kết quả tốt hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G. E. Andrews. Number Theory. Dover Pub., 1971. [2] E. R. Canfield, P. Erd¨os, and C. Pomerance, On a problem of Oppenheim concerning” factorisatio numerorum”, J. Number Theory 17 (1983), no. 1, 1–28. [3] L. S. Charlap and D.P.Robbins: An Elementary Introduction to Elliptic Curves, CDR Expository Report No. 31, Institute for Defense Analysis, Princeton, December 1988. [4] L. E. Dickson. Criteria for irreducibility of functions in a finite field. Bull, Amer. Math. Soc. 13 (1906), 1–8. [5] N. D. Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 122–133, Lecture Notes in Comput. Sci. 877, Springer, Berlin, 1994. [6] Gezer B., Ozden H., Tekcan E and O. Bizim. The number of Rational Points on Elliptic Curves 2 3 2y = x +b over finite fields. International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 178-184. [7] Joe Harris. Algebraic geometry, volume 133 of Graduate Tests in Mathematics. Springer- Verlag, New York, 1995. A first course, Corrected reprint of the 1992 original. [8] J. E. Hopcroft and J. D. Ullman, Formal languages and their relation to automata. Addison- Wesley PublishingCo., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969. [9] D. Husemoller: Elliptic Curves, Springer-Verlag, N. Y., 1987. [10] N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984. [11] C.-E. Lind, Untersuchungen ¨uber die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins, Thesis, University of Uppsala, 1940. [12] R. Martin and W. McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, January 2000, electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000). [13] L. J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc. Cambridge Phil. Soc. 21 (1922), 179–192. [14] L. J. Mordell, On the magnitude of the integer solutions of the equation ax2 + by2 + cz2 = 0. J. Number Theory 1 (1969), 1–3. [15] V.Muller and J.Buchmann: Computing the number of points of ellippic curves over finite fields, Proceeding of ISSAC '91, S.M.Watteditor, ACMPress 1991, pp 179-182. [16] B. Poonen, Computing rational points on curves, to appear in the Proceedings of the Millennial Con-ference on Number Theory, May 21–26, 2000, held at the University of Illinois at Urbana-Champaign. [17] H. Reichardt, Einigeim Kleinen ¨uberall l¨osbare, im Grossen unl¨osbare diophantische Gleichungen, J. Reine Angew. Math. 184 (1942), 12–18. [18] R. Schoof. Counting Points on Elliptic Curves Over Finite Fields. Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 7(1995), 219–254. [19] R. Sedgewick: Algorithms, Addison-Wesley, N.Y., 1988. [20] E. Selmer, The diophantine equation ax3 + by3 + cz3 = 0, Acta Math. 85 (1951), 203–362 and 92 (1954), 191–197. [21] J.-P. Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973. [22] J.-P. Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem. Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Wald schmidt. Aspects of Mathematics, E15. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig,1989. [23] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 106, Spring-Verlag, New York-Berlin, 1986. [24] J. H. Silverman and J. Tate, Rational points on elliptic curves. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1992. [25] T. Skolem. Zwei S¨atze ¨uber kubische Kongruenzen. NorskeVid. Selsk. Forhdl. 10(1937) 89–92. [26] T. Skolem. On a certain connection between the discriminant of a polynomial and the number of its irreducible factors mod p. Norsk Math. Tidsskr. 34(1952) 81–85. [27] L. Stickelberger. ¨ Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminanten alge-braischer Zahlk¨orper. Verhand. I, Internat. Math. KongressZ¨ urich, 1897, pp. 182–193. [28] Z. H. Sun. Cubic and quartic congruences modulo a prime. Journal of Number Theory 102 (2003), 41–89. [29] Z. H. Sun. Cubic residues and binary quadratic forms. Journal of Number Theory, to be printed. [30] Tekcan A. The Elliptic curves 2 3 2y = x - t x over Fp. International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 165-171. [31] J. P. Tignol. Galois Theory of Algebraic Equations. World Scientific Publishing Co., Singapore, NewJersey, 2001, pp. 38–107. [32] L. C. Washington. Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC, Boca London, New York, Washington DC, 2003. [33] A.Wiles. Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. of Math. 141(3) (1995), 443–551. DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ TRONG BÀI LUẬN Hình 1.1: Tham số hĩa hữu tỷ của một đường trịn. Hình 1.2: Đồ thị của y2 = x3 + x2. Hình 1.3: Đồ thị của y2 = x3. Hình 1.4: Đồ thị của y2 = x3 – x. Hình 1.5. Hình 2.11: Hai loại đường cong elliptic khơng kỳ dị trên R2. Hình 2.4 :Đồ thị của đường y2 =x3- 7x Hình 2.5 :Đồ thị của đường y2 =x3- 3x + 5 b) a) BẢNG TRA CỨU CÁC THUẬT NGỮ A Ánh xạ chính quy 34, 38 Ánh xạ hữu tỷ 36, 39 Ánh xạ hữu tỷ trội 36, 37 Ánh xạ ngược chính quy 39 Ánh xạ song hữu tỷ 22, 36 B Bao đĩng xạ ảnh 41 Bổ đề Gauss 13 Bổ đề Nakayama’s 10 C Cái níu lại 35 Cấp của E(Fp) 69 Cấu xạ 39 Cubic lùi 36 Cubic xoắn 25 Đ Đa tạp afin 40 Đa tạp bất khả quy 24 Đa tạp đại số afin 24 Đa tạp đại số xạ ảnh 30 Đa tạp hữu tỷ 40 Đa tạp song hữu tỷ 37, 40 Đa tạp tựa xạ ảnh 38 Đa tạp tuyến tính 24 Đa tạp xạ ảnh 41 Đa thức nguyên hàm 14 Đa thức thuần nhất 44 Điểm hữu hạn 68 Điểm k-hữu tỷ 19 Điểm kỳ dị 44 Điểm lùi 48 Điểm nút 48 Định lý Bézout 42 Định lý cơ bản của Hilbert 26 Định lý Luzt, Nagell 50 Định lý Mazur 50 Định lý Mordell 46 Định lý số dư Trung hoa 7 Định lý tương giao Krull 11 Đơn hữu tỷ 37 Đơn xạ 17 Độ cao chính tắc – độ cao Néron Tate 51 Độ cao ht(p) 11 Đường bậc 3 phẳng 22 Đường cong afin 44 Đường cong elliptic 60 Đường cong elliptic dạng Weierstrass 59, 60 Đường cong afin khơng kỳ dị 44 Đường cong khơng kỳ dị 60 Đường cong kỳ dị 48 Đường cong phẳng 19 Đường conic 21 E Elliptic khơng kỳ dị 60 G Giống (loại) 45 H Hàm chính quy 33, 38 Hàm độ cao 51 Hàm hữu tỷ 36 Hàm thuần nhất 41 I Ideal 6 Ideal căn 27 Ideal căn khơng tầm thường 31 Ideal khơng thích hợp 31 Ideal nguyên tố 7 Ideal tối đại 7 Ideal thuần nhất 30 Ideal triệt tiêu 27 J j-bất biến 60 K Khơng gian afin n-chiều 22 Khơng gian xạ ảnh 29, 30 L Loại (giống) 45 Lớp tương đương 29 Luật nhĩm 64 Luật tiếp xúc Chord của hợp thành 60, 62 M Mặt phẳng afin 28 Mặt phẳng xạ ảnh 28 Miền nhân tử hĩa duy nhất 13, 14 Miền tầm thường hĩa địa phương 12, 13 N Nguyên hàm 14 Nhĩm abel 16 Nhĩm abel hữu hạn sinh 16, 19 Nhĩm abel khơng xoắn 16 Nhĩm con xoắn của nhĩm abel A 16 P Phép cộng điểm 63 Phép đẳng cấu 34 Phương pháp đường cong elliptic 53, 55 Phương trình đồng dư bậc 3 71 Phương trình thuần nhất 69 Phép nhúng Segre 41 Q Quan hệ tương đương 29 S Sàng tồn phương 52 Sàng trường số 52 Siêu mặt 25 Song ánh 29 Số điểm chung của họ đường cong elliptic và họ đường trịn 79 Số chiều Krull của A 11 Số nghiệm của phương trình đồng dư70, 71 Sự trơn 44 T Tọa độ thuần nhất 39 Tồn xạ 18 Tơpơ Zariski 34 Tổng trực tiếp ngồi 18 Tổng trực tiếp trong 17 Tương đương song hữu tỉ 36 Trường hàm 35 V Vành afin 33 Vành địa phương (noether) 9 Vành các hàm chính quy trên X 33 Vành Noether 8 Vành thương, vành tọa độ 33 ._.