Tài liệu Các công trình khoa học đã được công bố có liên quan đến Luận án tiến sỹ Toán học (Nghiên cứu sinh Bùi Tiến Dũng): ... Ebook Các công trình khoa học đã được công bố có liên quan đến Luận án tiến sỹ Toán học (Nghiên cứu sinh Bùi Tiến Dũng)
99 trang |
Chia sẻ: huyen82 | Lượt xem: 1706 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Các công trình khoa học đã được công bố có liên quan đến Luận án tiến sỹ Toán học (Nghiên cứu sinh Bùi Tiến Dũng), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
Nghieân cuùu sinh BUØI TIEÁN DUÕNG
CAÙC COÂNG TRÌNH KHOA HOÏC ÑAÕ
ÑÖÔÏC COÂNG BOÁ
COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN
LUAÄN AÙN TIEÁN SYÕ TOAÙN HOÏC
Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc :
TS. NGUYEÃN THAØNH LONG
PGS.TS. NGUYEÃN HOÄI NGHÓA
TP. HOÀ CHÍ MINH – 2005
LÔØI CAM ÑOAN
Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong
luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc.
Taùc giaû luaän aùn
Lôøi caûm ôn
Con xin ghi taïc coâng ôn sinh thaønh vaø döôõng duïc cuûa Cha meï ñeå con khoân lôùn neân ngöôøi.
Toâi xin ghi ôn taát caû Quyù Thaày, Coâ ñaõ daïy cho toâi töø thuôû aáu thô cho ñeán ngaøy toâi ñöôïc thaønh ñaït
hoâm nay.
Kính göûi ñeán TS. Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn – Tin cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân
Thaønh phoá Hoà Chí Minh, cuøng PGS. TS. Nguyeãn Hoäi Nghóa, Ban Sau Ñaïi Hoïc cuûa Ñaïi Hoïc Quoác Gia
Thaønh phoá Hoà Chí Minh, loøng bieát ôn vaø taát caû nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vì söï taän tuïy daïy doã cuûa Quyù
Thaày ñaõ daønh cho toâi, keå caû nhöõng nghieâm khaéc caàn thieát cuûa Quyù Thaày trong vieäc höôùng daãn cho toâi hoïc
taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc, nhaèm giuùp toâi ñöôïc neân ngöôøi.
Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn ñeán Quyù Thaày phaûn bieän ñoäc laäp luaän aùn, Quyù Thaày trong Hoäi
ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Boä moân, Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Nhaø nöôùc, ñaõ ñoùng goùp
nhieàu yù kieán quyù baùu, giuùp cho toâi hoaøn thaønh toát ñeïp luaän aùn naøy.
Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ cuøng caùc Chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä
Giaùo Duïc vaø Ñaøo Taïo, vaø ôû Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa Truôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh
ñaõ taän tình giuùp cho toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn tieán syõ.
Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí
Minh cuøng Quùy Thaày, Coâ ñoàng nghieäp thuoäc Khoa Khoa hoïc Cô Baûn ñaõ ñoäâng vieân vaø taïo nhieàu ñieàu kieän
thuaän lôïi cho toâi hoaøn taát vieäc hoïc taäp, nghieân cöùu khoa hoïc. Ñaëc bieät xin ñöôïc caûm ôn Thaïc syõ Ninh
Quang Thaêng, Khoa Tröôûng Khoa Khoa Hoïc Cô Baûn cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí
Minh, ngöôøi laõnh ñaïo, ngöôøi anh, vaø laø ñoàng nghieäp ñaõ luoân saùt caùnh beân toâi, giuùp ñôõ raát nhieàu cho toâi
trong söï nghieäp giaûng daïy, quaûn lyù toå chöùc ñeå cho toâi taäp trung hoaøn thaønh ñöôïc luaän aùn tieán syõ naøy.
Sau cuøng, toâi xin göûi taát caû nhöõng tình caûm yeâu thöông vaø loøng bieát ôn ñoái vôùi gia ñình, nôi ñaõ göûi
gaém ôû toâi nieàm tin, nôi cho toâi nhöõng an laønh vaø söùc maïnh, nhôø ñoù toâi coù theå vöôït qua khoù khaên, trôû ngaïi
ñeå hoïc taäp, nghieân cöùu vaø hoaøn thaønh luaän aùn tieán syõ cuûa mình.
Buøi Tieán Duõng
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU
Trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng nhö Vaät lyù, Hoùa hoïc, Cô hoïc, Kyõ thuaät, ... thöôøng xuaát
hieän caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán raát phong phuù vaø ña daïng. Ñaây chính laø nguoàn ñeà taøi khoâng bao
giôø caïn maø raát nhieàu caùc nhaø toaùn hoïc töø tröôùc ñeán nay quan taâm nghieân cöùu. Hieän nay, vôùi nhöõng
thaønh töïu cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhieàu coâng cuï saâu saéc döïa vaøo neàn taûng cuûa Giaûi tích haøm ñaõ
xaâm nhaäp vaøo töøng baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû moät möùc ñoä naøo ñoù. Tuy nhieân, nhìn moät caùch
toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù moät phöông phaùp toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát cho moïi baøi toaùn
bieân phi tuyeán. Do ñoù coøn raát nhieàu caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán vaãn chöa giaûi hoaëc giaûi ñöôïc moät
phaàn töông öùng vôùi soá haïng phi tuyeán cuï theå naøo ñoù.
Trong luaän aùn naøy chuùng toâi seõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà
trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc
loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài (
moät daây hoaëc moät thanh ñaøn hoài) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï
va chaïm cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn
nhôùt vôùi caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt.
Coâng cuï ñeå khaûo saùt caùc baøi toaùn bieân treân ñöôïc chuùng toâi söû duïng vaø trình baøy trong luaän aùn laø
caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö: phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø
ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp
tieäm caän ...
Ngoaøi phaàn toång quan ôû chöông môû ñaàu, keát quaû chính cuûa luaän aùn seõ ñöôïc trình baøy trong
hai chöông sau:
Chöông 1: Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi
tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff
,0 ),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu txxtt (0.1)
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát
,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux (0.2)
vaø ñieàu kieän ñaàu
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.3)
trong ñoù 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø 00 h laø haèng soá
cho tröôùc. Trong phöông trình (0.1) caùc soá haïng phi tuyeán
),(
2
utB vaø ),,,,,(
2
uuuutxf t phuï thuoäc vaøo tích phaân
.),()(
1
2
2
N
i i
dxtx
x
u
tu (0.4)
Phöông trình (0.1) ñöôïc toång quaùt hoùa töø phöông trình moâ taû dao ñoäng cuûa moät daây ñaøn hoài
(Kirchhoff [16]):
,0 , 0 ,),(
y
u
2
0
2
0 TtLxudyty
L
E
Phu xx
L
tt
(0.5)
ôÛ ñaây u laø ñoä voõng, laø khoái löôïng rieâng, h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi sôïi daây ôû traïng thaùi ban
ñaàu, E laø moâñun Young vaø 0P laø löïc caêng luùc ban ñaàu. Tuy nhieân, trong nhieàu taøi lieäu sau naøy (
xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vaãn goïi phöông trình thuoäc daïng (0.5) laø phöông trình soùng chöùa toaùn
töû Carrier hoaëc gheùp teân chung vaø goïi laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier. Thaät ra
giöõa hai baøi baùo goác cuûa Kirchhoff (1876)[16] vaø cuûa Carrier (1945)[7] coù söï khaùc bieät, bôûi vì
chuùng toâi tìm thaáy trong [7] cuûa Carrier ñaõ coâng boá naêm 1945 thì phöông trình khoâng phaûi thuoäc
daïng (0.5), maø laïi laø
,0 , 0 ,),(
0
2
10 TtLxudytyuPPu xx
L
tt
(0.6)
trong ñoù 10 , PP laø caùc haèng soá döông.
Trong moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa B vaø f, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho phöông trình
(0.1) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda[13]; Pohozaev[34];
Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong
hai coâng trình gaàn ñaây (xem [31, 32]), caùc taùc giaû Medeiros, Limaco, Menezes ñaõ cho moät toång
quan caùc keát quaû veà khía caïnh toaùn hoïc coù lieân quan ñeán moâ hình Kirchhoff-Carrier.
Trong [14], Frotta chuù yù nghieân cöùu phöông trình soùng cho mieàn n-chieàu nIR
,0,),,() ,(
2
TtxtxfuuxButt (0.7)
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu.
Thay vì xeùt (0.7), Larkin[18] nghieân cöùu phöông trình soùng
,0 ,),,(),,())( ,,(
2
TtxtxfutxgututxBu ttt (0.8)
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu, vôùi
.),()(
22
dxtxutu
Trong [37], caùc taùc giaû Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghieân cöùu baøi toaùn vôùi phöông trình
soùng
,0 ),1,0(,0)()(
2
TtxufuuuBu ttt (0.9)
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp phi tuyeán vaø ñieàu kieän ñaàu.
Trong [38], Tucsnak nghieân cöùu baøi toaùn
,0 , 10 0,),(
1
0
2
txudytyy
u
bau xxtt (0.10)
,0 ,0),1( ),1( ,0),0( ttututu tx (0.11)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.12)
trong ñoù 0 ,0 ,0 ba laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.10) - (0.12)
moâ taû söï keùo giaõn sôïi daây.
Trong [30] Medeiros ñaõ khaûo saùt baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi ,)( 2buuff
ôû ñaây b laø moät haèng soá döông cho tröôùc, laø moät taäp môû bò chaän cuûa .3IR Trong [15], Hosoya vaø
Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ,)( uuuff
trong ñoù > 0 , 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc.
Trong [8] Dmitriyeva ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn
),(0,),( ),,( .
22 TtxtxFuuuuu ttt (0.13)
2
1
2
2
0 ,0
i
i
i
v
x
u
u treân , (0.14)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.15)
trong ñoù, ),,0(),0( vectô ),( 21 vvv laø phaùp tuyeán ñôn vò treân bieân höôùng ra ngoaøi,
,6/22h vôùi ,h laø caùc haèng soá döông. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.13)-(0.15) moâ taû dao
ñoäng phi tuyeán cuûa moät baûn hình vuoâng coù taûi troïng tónh.
Trong [26], N.T Long vaø caùc taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi
toaùn
),,0(),( ),,( )(.
122 TtxtxFuuuuBuu tttt
(0.16)
0 ,0
v
u
u treân , (0.17)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.18)
trong ñoù > ,0 > ,0 0 < < 1 laø caùc haèng soá cho tröôùc vaø laø moät taäp môû bò chaän cuûa .nIR
Baèng caùch toång quaùt keát quaû cuûa [8, 26], caùc taùc giaû N.T Long vaø T.M. Thuyeát [27] ñaõ xeùt
baøi toaùn
),,0(),( ),,(),( )(.
22 TtxtxFuufuuBuu ttt (0.19)
0 ,0
v
u
u treân , (0.20)
).(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.21)
Trong [9], Alain Phaïm ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø daùng ñieäu tieäm caän khi 0 cuûa
nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi B 1 lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát Dirichlet
,0),1( ),0( tutu (0.22)
ôû ñaây soá haïng phi tuyeán coù daïng ).,( 1 utff Sau ñoù, trong [10] Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long ñaõ
xeùt baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi B 1 vaø soá haïng phi tuyeán coù daïng
),,( 1 tuutff (0.23)
Trong [21] N.T. Long vaø T.N. Dieãm ñaõ khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán
,0),1,0(),,,,,( ),,,,( 1 Ttxuuutxfuuutxfuu txtxxxtt 0.24)
lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (0.3) vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát
0,),0(),1(),0(),0( 10 tuhtutuhtu xx (0.25)
trong ñoù 10 , hh laø caùc haèng soá döông cho tröôùc.
Trong tröôøng hôïp )),0[]1,0([ 32 IRCf vaø ),),0[]1,0([ 311 IRCf trong [12] thu ñöôïc
keát quaû thu ñöôïc lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn nhieãu ñeán caáp 2 theo moät
tham soá ñuû nhoû. Keát quaû naøy tieáp tuïc ñöôïc môû roäng trong [24] vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù
chöùa toaùn töû Kirchhoff:
),,,,,( ),,,,(
)] (.) ([
1
2
1
2
0
txtx
xxxxtt
uuutxfuuutxf
uuBuBbu
(0.26)
lieân keát vôùi ñieàu kieän )3.0( vaø )22.0( trong ñoù 00 b laø haèng soá cho tröôùc vaø
0 ,0 ),( ),( 1
1
1
2 BBIRCBIRCB laø caùc haøm cho tröôùc.
Trong chöông naøy, chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà:
Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi lieân keát baøi toaùn vôùi moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh
trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp vaø chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa
baøi toaùn baèng phöông phaùp Galerkin thoâng duïng keát hôïp vôùi phöông phaùp compact. Chuù yù raèng
phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong chöông naøy cuõng nhö trong caùc baøi baùo [6, 10, 21, 23, 24, 33]
khoâng theå söû duïng trong caùc baøi baùo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]
Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
(0.27)
vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ),(ε txu ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù .
Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát
nghieäm cuûa baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát
,0 ),1,0( ),,,,,,() (
22
TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt (0.28)
,0),1(),0(),0( 0 tutuhtux (0.29)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.30)
trong ñoù 10
~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc. ÔÛ ñaây, soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi cuûa (0.28) xaùc ñònh
bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng )]1,0([ 30 IRIRIRCf vaø theâm moät soá ñieàu kieän phuï.
Keá tieáp chuùng toâi môû roäng vieäc khaûo saùt cuõng vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn
töû Kirchhoff-Carrier nhöng laïi lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát nhö sau:
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt (0.31)
,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux (0.32)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (0.33)
trong ñoù 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau. Baèng vieäc ñaët aån phuï thích
hôïp, chuùng toâi ñöa baøi toaùn (0.31) - (0.33) veà baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát thuoäc daïng
(0.28) - (0.30) vôùi söï ñieàu chænh laïi caùc haøm 10
~ ,~ , , uufB trong (0.28) - (0.30) thaønh caùc haøm
10
~ ,~ ,
~
,
~
vvfB . Tuy nhieân ñeå giaûi baøi toaùn (0.31) - (0.33) thì giaû thieát )]1,0([ 30 IRIRIRCf
khoâng ñuû maø phaûi laø ),]1,0([ 31 IRIRIRCf dó nhieân cuõng phaûi boå sung theâm moät soá ñieàu
kieän phuï. Maët khaùc cho duø ),]1,0([ 31 IRIRIRCf thì vôùi caùc döõ kieän 10
~ ,~ ,
~
,
~
vvfB cho baøi
toaùn (0.31) - (0.33) cuõng khoâng aùp duïng tröïc tieáp keát quaû ñaõ khaûo saùt cho baøi toaùn (0.28) - (0.30).
Ñieàu naøy cho thaáy raèng baøi toaùn (0.28) - (0.30) laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn (0.31) - (0.33),
nhöng veà keát quaû thì laïi laø khoâng. Chính vì vaäy, chuùng toâi vaãn phaûi trình baøy hai baøi toaùn (0.1) -
(0.3) töông öùng vôùi hai ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát.
Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt
phöông trình nhieãu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
0.34)
lieân keát vôùi (0.32) vaø (0.33). Khi ñoù vôùi caùc giaû thieát thích hôïp veà 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB , chuùng toâi thu
ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá ñuû nhoû.
Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän ñeán caáp cao hôn cho phöông trình nhieãu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)](.ε)([
22
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uuBuBu
(0.35) lieân keát vôùi (0.29)
vaø (0.30). Chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät
tham soá ñuû nhoû vaø caùc giaû thieát thích hôïp cho 10
~ ,~ , , uufB .
Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2]
Chöông 2: Chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi moät phöông trình tích
phaân phi tuyeán chöùa giaù trò bieân. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm moät caëp haøm (u, P) thoûa
,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt (0.36)
,0),1( ),(),0( tutPtux (0.37)
),()0,( ),()0,( 10 xuxuxuxu t (0.38)
trong ñoù 10 , , uuf laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù seõ ñöôïc giaû thieát sau. AÅn
haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán
t
dssustKtuHtgtP
0
,)),0(,()),0(()()( (0.39)
trong ñoù g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc.
Baøi toaùn (0.36) - (0.39) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû quan taâm nghieân cöùu theo nhieàu kieåu ñieàu kieän
bieân khaùc nhau töông öùng vôùi caùc yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, chaúng haïn nhö :
Trong [1], N.T. An vaø N.Ñ. Trieàu vaø trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Ñònh ñaõ xeùt baøi toaùn
(0.36), (0.38) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân
,0),1( ),(),0( tutPtux (0.40)
trong ñoù aån haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân
thöôøng
,0 ,),0()()('' 2 TtthutPtP tt (0.41)
,)0(' ,)0( 10 PPPP (0.42)
ôû ñaây 10 , ,0 ,0 PPh laø caùc haèng soá cho tröôùc [1, 20].
Trong [1] ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa baøi toaùn (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) vôùi
0 010 Puu vaø
,.),( tt uKuuuf (0.43)
vôùi K vaø laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.41),
(0.42) laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính coù
moät ñaàu ñaët treân moät neàn cöùng.
Baèng vieäc giaûi baøi toaùn (0.41), (0.42) ta thu ñöôïc P(t) bieåu thò theo t)(0, , , , , 10 ttuhPP vaø
sau khi tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc
t
dssustkthutgtP
0
,),0()(),0()()( (0.44)
trong ñoù
. sin)(
, sin))0((
1
cos))0(()( 1100
thtk
thuPtuhPtg
(0.45)
Baèng caùch khöû bôùt moät aån haøm P(t) thì ñieàu kieän bieân (0.37) coù daïng
.0),1( s,),0()(),0()(),0(
0
tudsustkthutgtu
t
x (0.46)
Cuõng vôùi tt uKuuuf .),( , trong [5], Bergounioux, N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ khaûo
saùt baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.44) vaø
0,),1(.),1(),1( ),(),0( 1 tutuKtutPtu txx (0.47) ôû ñaây 11 , , , KK
laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc.
Baøi toaùn naøy moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn
ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc tuyeán tính ôû beà maët vaø caùc raøng buoäc lieân keát vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt.
Trong tröôøng hôïp
),10( ),(
1
ttt uuuuf (0.48)
Ñ.Ñ. AÙng vaø Alain P.N. Ñònh trong [3] ñaõ thieát laäp ñöôïc moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät
nghieäm toaøn cuïc cho baøi toaùn (0.36) - (0.38) vôùi 10 , , uuP laø caùc haøm cho tröôùc.
Baèng söï toång quaùt hoùa cuûa [1, 3, 20], baøi toaùn (0.36) - (0.38) cuõng ñöôïc xeùt bôûi
- Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long [11,12] vôùi k 0 vaø
)),,0(()()( tuHtgtP (0.49)
ôû ñaây H laø haøm cho tröôùc cuõng nhaän tröôøng hôïp H(s) = hs nhö laø tröôøng hôïp rieâng.
- N.T. Long vaø T.M. Thuyeát [28] vôùi
t
dsustktuHtgtP
0
s.),0()()),0(()()( (0.50)
Trong chöông naøy, chuùng toâi thöïc hieän hai phaàn chính. ÔÛ phaàn thöù 1, chuùng toâi chöùng minh
ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (0.36) - (0.39). Vieäc chöùng minh döïa
treân cô sôû cuûa phöông phaùp xaáp xæ Galerkin keát hôïp vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, caùc kyõ thuaät cuûa
phöông phaùp compact vaø phöông phaùp hoäi tuï yeáu. Trong phaàn xaáp xæ Galerkin, chuùng toâi cuõng söû
duïng ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng Schauder ñeå kieåm tra söï toàn taïi cuûa nghieäm xaáp xæ. Söï khoù khaên
chính gaëp phaûi trong phaàn naøy laø ñieàu kieän bieân taïi 0x . Ta chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính
hoùa ñaõ söû duïng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng duøng ñöôïc trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27,
29, 30, 34]. Trong phaàn thöù 2 cuûa chöông naøy, chuùng toâi chöùng minh nghieäm (u,P) laø oån ñònh ñoái
vôùi caùc haøm g, H vaø K. Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [1,
3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3].
Caùc keát quaû treân ñaây cuûa luaän aùn ñaõ ñöôïc coâng boá trong ([d1]-[d4]) vaø ñaõ tham gia baùo caùo
trong caùc hoäi nghò:
- Hoäi nghò veà Phöông trình ñaïo haøm rieâng vaø ÖÙng duïng, Haø Noäi, 27-29/12/99.
- Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam toaøn quoác laàn thöù 6, Hueá, 7-10/9/2002.
- Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 2, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 5-2000.
- Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 3, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 10-2002.
- Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 22/12/2000.
- Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 21-22/12/2002.
Chöông 1
PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN
COÙ CHÖÙA TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF
1.1. Giôùi thieäu
Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa
toaùn töû Kirchhoff ñöôïc lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt (1.1.1)
,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux (1.1.2)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (1.1.3)
trong ñoù 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá giaû thieát naøo ñoù maø ta seõ ñaët sau.
Trong phöông trình (1.1.1) caùc soá haïng phi tuyeán ),(
2
xutB vaø ),,,,,(
2
xtx uuuutxf phuï thuoäc vaøo
tích phaân
1
0
22
.),( dxtxuu xx (1.1.4)
Chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà
Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi
toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi hai tröôøng hôïp thuaàn nhaát ( 0)()( 10 tgtg ) vaø khoâng thuaàn nhaát
( )(0)( 10 tgtg ). YÙ töôûng vaø coâng cuï toång quaùt ñeå khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm laø thieát laäp moät daõy
qui naïp tuyeán tính lieân keát vôùi baøi toaùn, sau ñoù söû duïng xaáp xæ Galerkin vaø phöông phaùp compact
ñeå chöùng minh daõy naøy hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) trong caùc khoâng
gian haøm thích hôïp. Söï duy nhaát nghieäm ñöôïc chöùng minh nhôø vaøo boå ñeà Gronwall sau moät soá caùc
pheùp tính toaùn vaø ñaùnh giaù cuï theå.
Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
(1.1.5)
lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ),(ε txu ñeán moät caáp naøo
ñoù phuï thuoäc vaøo tính trôn cuûa caùc haøm 11 , , , ffBB theo moät tham soá beù .
Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát
nghieäm cuûa baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát
,0 ),1,0( ),,,,,,() (
22
TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt (1.1.6)
,0),1(),0(),0( 0 tutuhtux (1.1.7)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (1.1.8)
trong ñoù 10
~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø 00 h laø haèng soá cho
tröôùc. Trong phöông trình (1.1.6) soá haïng phi tuyeán )(
2
xuB baây giôø khoâng phuï thuoäc vaøo bieán thöù
nhaát ( bieán thôøi gian t ) maø chæ phuï thuoäc vaøo tích phaân
1
0
22
),( dxtxuu xx . Sau ñoù, vôùi moät soá giaû
thieát naøo ñoù treân caùc haøm cho tröôùc 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB vaø baèng vieäc ñoåi aån haøm baèng pheùp tònh
tieán
),()()1(
1
1
),(
),,(),(),(
10
0
) (0 tgetgx
h
tx
txtxutxv
txh
(1.1.9)
baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát sau
,0,10
),)()(,,,,,(
~
))()( ,(
22
Ttx
ttvvvvtxfvttvtBv xxtxxxxxtt
(1.1.10)
,0),1(),0(),0( 0 tvtvhtvx (1.1.11)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xvxvxvxv t (1.1.12)
trong ñoù
,),(),,,,,(),,,,,(
~
ttzzttxxtx ztBzvvvtxfzvvvtxf (1.1.13)
).0,()(~)(~ ),0,()(~)(~ 1100 xxuxvxxuxv t (1.1.14)
Tuy nhieân, baøi toaùn (1.1.10) - (1.1.13) khoâng söû duïng ñöôïc keát quaû cuûa baøi toaùn (1.1.6) -
(1.1.8). Do ñoù, chuùng toâi tieáp tuïc trình baøy chöùng minh keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi
toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi tröôøng hôïp khoâng thuaàn nhaát ( )(0)( 10 tgtg ).
Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt
phöông trình nhieãu (1.1.5) lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai
trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá ñuû nhoû.
Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän cho phöông trình nhieãu
) ,,,,,( ε) ,,,,,(
)] ( ε) ([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uuBuBu
(1.1.15)
lieân keát vôùi (1.1.7) vaø (1.1.8) ñeå thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp
N+1 theo moät tham soá beù . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng
boá trong hai baøi baùo [d1, d2].
1.2. Kyù hieäu vaø caùc keát quaû chuaån bò
Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Ta kyù hieäu
.T,T),(ΩQ(ΩHH(ΩHH(ΩLL T
mmmmPP 00),),), 00
Ta duøng kyù hieäu , ñeå chæ tích voâ höôùng trong 2L hay caëp tích ñoái ngaãu
cuûa moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm
Kyù hieäu ñeå chæ chuaån trong 2L vaø kyù hieäu
X
ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X. Ta
goïi X laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X.
Ta kyù hieäu ,1),;,0( pXTLP laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm ño ñöôïc u :
(0 ,T) X, sao cho
)(
1
0
);,0(
pT
P
XP
dttuu
XTL
neáu ,1 p
vaø
X
tuessu
Tt
XTL
)(sup
0
);,0(
neáu .p
Kyù hieäu )()( ),()( ),()( ),()( ),( tututututututututu xxxttt thay cho
),)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,( 2222 txxutxxutxtutxtutxu laàn löôït töông öùng.
Vôùi f = f(x,t,u,v,w,z), ta ñaët
./ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ 654321 zffDwffDvffDuffDtffDxffD Baây giôø ñaët
}, 0)1(:)1,0( { 1 vHvV )1.2.1(
.)0()0()()(),(
1
0
0 vuhdxxvxuvua xx )2.2.1(
Khi ñoù V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa 1H vaø treân V thì ba chuaån ,1Hv , xv Vv ),( vva laø
töông ñöông.
Chuùng ta coù caùc boå ñeà sau
Boå ñeà 1.2.1. Pheùp nhuùng V ])1,0([0C laø compact vaø vôùi moïi ,Vv ta coù
V
vvv xC ])1,0([0 , )3.2.1(
2
1
1Hv xv Vv 1),1max( 0 Hvh . )4.2.1(
Boå ñeà 1.2.2. Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng a( , ) ñöôïc ñònh nghóa trong )2.2.1( laø lieân tuïc treân
VV vaø cöôõng böùc treân V.
Boå ñeà 1.2.3. Toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert }~ { jw cuûa
2L goàm caùc haøm rieâng }~ { jw töông öùng
vôùi giaù trò rieâng j sao cho :
...,...0 21 j ,lim jj
)5.2.1(
vwvwa jjj ,
~),~( vôùi moïi ,Vv j = 1, 2, ... )6.2.1(
Hôn nöõa, daõy } /~{ jjw cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái vôùi tích voâ höôùng
a( , ). Maët khaùc, jw
~ cuõng thoûa baøi toaùn giaù trò bieân
]).1,0([ ~
,0)1(~)0(~)0(~
, trong~~
0
CVw
wwhw
ww
j
jjj
jjj
x
)7.2.1(
Vieäc chöùng minh caùc boå ñeà 1.2.1 vaø 1.2.2 thì khoâng coù gì khoù khaên vaø phöùc taïp, ta coù theå boû
qua. Ñoái vôùi boâû ñeà 1.2.3, phaàn chöùng minh coù theå tìm thaáy trong [35], trang 137, Ñònh lyù ,1.2.6 vôùi
H = ,2L coøn V, a( , ) ñöôïc ñònh nghóa bôûi )1.2.1( vaø )2.2.1( .
1.3. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát
Chuùng ta baét ñaàu khaûo saùt baøi toaùn )6.1.1( - )8.1.1( vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây
:)( 1H 00 h
:)( 2H ;,
~
1
2
0 VuHVu
:)( 3H ;0)( ),( 0
1 bzBIRCB
:)( 4H )]1,0([
30
IRIRIRCf thoûa
0),,,,,1(:)( '4 zwvutfH vôùi moïi t, z 0 vaø ,),,(
3IRwvu
:)( ''4H .6 5, 4, 3, 1,),]1,0([
30 iIRIRIRCfDi
(Chuù yù raèng khoâng caàn thieát ).]1,0([ 31 IRIRIRCf
Vôùi B vaø f thoûa caùc giaû thieát )( 3H vaø )( 4H töông öùng, ta xaây döïng caùc haèng soá sau ñoái vôùi
moãi M > 0 vaø T > 0
,),,,,,(sup),,(00 zwvutxffTMKK )1.3.1(
),,,,,,)(sup(),,(
6
3
111 zwvutxfDfDfTMKK
i
i
)2.3.1(
ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn ,0 Tt ,10 x ,Mwvu .0 2Mz
,)(sup),(
~
20
00 zBBMKK
Mz
)3.3.1(
.)('sup),(
~
20
11 zBBMKK
Mz
)4.3.1(
Vôùi moãi M >0 vaø T > ,0 ta ñaët
}, ,,
),(),;,0(:);,0( {),(
)();,0();,0( 2
22
2 Mvvv
QLvVTLvHVTLvTMW
T
ttt
Tttt
QLVTLHVTL
)5.3.1(
)}.,,0(),,({),( 21 LTLvTMWvTMW tt
)6.3.1(
Ta lieân keát baøi toaùn )6.1.1( - )8.1.1( vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính }{ mu sau
Tröôùc heát, choïn soá haïng ñaàu tieân 00
~uu . Giaû söû raèng
).,(11 TMWum )7.3.1(
Sau ñoù, tìm ),(1 TMWum thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính
vtFvtuatbvtu mmmm ),()),(()(),( vôùi moïi ,Vv )8.3.1(
,~)0( 0uum ,
~)0( 1uum )9.3.1(
ôû ñaây
).)(),(),(),(,,(),(
),)(()(
2
1111
2
1
tututututxftxF
tuBtb
mmmmm
mm
)10.3.1(
Khi ñoù, ta coù
Ñònh lyù 1.3.1. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 41 HH ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T
vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính ),(}{ 1 TMWum ñöôïc xaùc ñònh bôûi ).10.3.1()8.3.1(
Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc
Böôùc1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions[17])
Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert } /~{ jjj ww nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.2.3.
Ñaët
k
j
j
k
mj
k
m wtctu
1
)()( ,)()( )11.3.1(
trong ñoù )(kmjc thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính
,1 ,),()),(()(),( )()( kjwtFwtuatbwtu jmj
k
mmj
k
m )12.3.1(
k
k
m uu 0
)( ~)0( , ,~)0( 1
)(
k
k
m uu )13.3.1(
ôû ñaây
00
~~ uu k maïnh trong ,
2HV )14.3.1(
11
~~ uu k maïnh trong V . )15.3.1(
Töø giaû thieát ),(11 TMWum ta suy ra heä phöông trình )13.3.1()12.3.1( coù duy nhaát nghieäm )(
)( tu km
trong khoaûng .0 )( TTt km Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây cho pheùp ta laáy TT
k
m
)( vôùi moïi m
vaø k.
Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët
t
k
m
k
m
k
m
k
m dssutYtXtS
0
2)()()()( ,)()()()( )16.3.1(
ôû ñaây
)),(),(()()()( )()(
2)()( tutuatbtutX km
k
mm
k
m
k
m )17.3.1(
.)()())(),(()(
2)()()()( tutbtutuatY kmm
k
m
k
m
k
m )18.3.1(
Töø ),12.3.1( )13.3.1( vaø ),18.3.1()16.3.1( ta ñöôïc
t
k
m
k
m
k
mm
k
m
k
m dssususuasbStS
0
2)()()()()( )())(),(()()0()(
+
t
k
mm
t
k
mm dssusFadssusF
0
)(
0
)( ))(),((2)(),(2
t
k
m dssu
0
2)( )(
= 4321
)( )0( IIIIS km . )19.3.1(
Chuùng ta t._.ieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa (1.3.19).
Tích phaân thöù 1. Ta coù
),)(()(
2
1 tuBtb mm
.)(),())((2)( 11
2
1 tututuBtb mmmm )20.3.1(
Duøng giaû thieát ),( 3H ta thu ñöôïc töø )4.3.1( vaø ),7.3.1( raèng
.~2)( )( )(2)( 121121 KMtututuBtb mmmm )21.3.1(
Keát hôïp )18.3.1()16.3.1( vaø ),21.3.1( ta ñöôïc
t
k
m dssS
b
KM
I
0
)(
0
1
2
1 .)(
~
2
)22.3.1(
Tích phaân thöù 2. Töø ),1.3.1( ),10.3.1( )16.3.1( vaø ),17.3.1( ta coù
t
k
m
t
k
mm dssSKdssusFI
0
)(
0
0
)(
2 .)(2)( )(2 )23.3.1(
Tích phaân thöù 3. Töø (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) vaø )10.3.1( ta suy ñöôïc raèng
2
)(
V
sFm = .)31(4),0()(
2
00
22
1
2
0
2
KhMKsFhsF mm )24.3.1(
Do vaäy töø (1.3.16), (1.3.18) vaø (1.3.24) ta thu ñöôïc
t
k
mm dssusFI VV
0
)(
3 )( )(2
t
k
m dssSKhMK
0
)(
00
2
1 .)(]312[2 )25.3.1(
Tích phaân thöù 4. Phöông trình )12.3.1( ñöôïc vieát laïi
,1 ,),(),()(),( )()( kjwtFwtutbwtu jmj
k
mmj
k
m )26.3.1(
theo ñoù ta thay jw bôûi )(
)( tu km vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc
t
m
t
k
mm
t
k
m dssFdssusbdssu
0
2
0
2)(2
0
2)( .)(2)()(2)( )27.3.1(
Töø (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) vaø (1.3.18), ta keát luaän
.2)(
~
2
0
2
0
)(
04
t
k
m TKdssSKI )28.3.1(
Keát hôïp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) vaø (1.3.28), ta coù
t
k
m
k
m
k
m dssSKhMKTKStS
0
)(
00
2
1
2
0
)()( )()1(31222)0()(
t
k
m dssS
b
KM
K
0
)(
0
1
2
0 )(
~
~
2
200
2
1
2
0
)( ])1(312[
2
1
2)0( KhMKTTKS km
t
k
m dssS
b
KM
K
0
)(
0
1
2
0 )(
~
~
12
t
k
m
k
m dssSMCTMCS
0
)(
21
)( ,)()(),()0( )29.3.1(
ôû ñaây
.
~
~
12)(
,])1(312[
2
1
2),(
0
1
2
02
2
00
2
1
2
01
b
KM
KMC
KhMKTTKTMC
)30.3.1(
Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng ).0()(kmS Ta coù
].~)~,~()[~()~,~(~)0(
2
000
2
011
2
1
)(
kkkkkk
k
m uuuauBuuauS )31.3.1(
Do (1.3.14), )15.3.1( vaø )31.3.1( ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá ,0M ñoäc laäp vôùi k vaø m sao
cho
2)(
2
1
)0( MS km vôùi moïi k vaø m. )32.3.1(
Chuù yù raèng töø giaû thieát )( 4H ta coù
.1 ,0 ,0),,(
0
lim
ifTMKT i
T
)33.3.1(
Nhö vaäy töø )30.3.1( vaø (1.3.33), ta choïn ñöôïc moät haèng soá 0T sao cho
221
2 ))(exp()),(
2
1
( MMTCTMCM )34.3.1(
vaø
.1 )
~
1)(
1
1(exp
))1(
~
(
1
122
1
2
0
2
11
2
0
TKM
b
KMKM
b
TkT
)35.3.1(
Cuoái cuøng töø (1.3.29), (1.3.32) vaø (1.3.34), ta thu ñöôïc
t
k
m
k
m dssSMCMTCMtS
0
)(
22
2)( ,)()())(exp()( .0 )( TTt km )36.3.1(
AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø )36.3.1( raèng
222
2)( ))(exp())(exp()( MtMCMTCMtS km
vôùi moïi ].,0[ )(kmTt )37.3.1(
Do ñoù coù theå choïn TT km
)( vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù
),(1
)( TMWu km vôùi moïi k vaø m. )38.3.1(
Töø )38.3.1( ta trích ra töø daõy }{ )(kmu moät daõy con vaãn kyù hieäu laø }{
)(k
mu sao cho
m
k
m uu
)( yeáu * trong ),;,0( 2HVTL )39.3.1(
m
k
m uu
)( yeáu * trong ),;,0( VTL )40.3.1(
m
k
m uu
)( yeáu trong ),(2 TQL )41.3.1(
).,( TMWum )42.3.1(
Qua giôùi haïn trong (1.3.12), (1.3.13) bôûi ),41.3.1()39.3.1( ta coù mu thoûa )9.3.1()8.3.1( yeáu
trong ).,0(2 TL
Maët khaùc, töø (1.3.7), )8.3.1( vaø )42.3.1( cho
),,,0()( 2LTLFutbu mmmm
do vaäy ),(1 TMWum vaø Ñònh lyù 1.3.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.
Ñònh lyù 1.3.2. Giaû söû )()( 41 HH ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0,0 TM thoûa (1.3.32),
)34.3.1( vaø )35.3.1( sao cho baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ).,(1 TMWu Maët
khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính }{ mu ñöôïc xaùc ñònh bôûi )10.3.1()8.3.1( thì hoäi tuï maïnh veà nghieäm u
trong khoâng gian
)}.;,0( :);,0({)( 21 LTLvVTLvTW
Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù
m
Tmm Ckuuuu LTLVTL );,0();,0( 2 , vôùi moïi m, )43.3.1(
trong ñoù
, 1 )
~
1)(
1
1(exp
))1(
~
(
1
122
1
2
0
2
11
2
0
TKM
b
KMKM
b
TkT
)44.3.1(
vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, , , 10 uu vaø Tk .
Chöùng minh.
a./ Söï toàn taïi nghieäm
Tröôùc heát, ta löu yù raèng )(1 TW laø moät khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem Lions[17])
)(1 TW
v =
);,0();,0( 2LTLVTL
vv . )45.3.1(
Ta seõ chöùng minh raèng }{ mu laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Ñaët .1 mmm uuv Khi ñoù mv thoûa
baøi toaùn bieán phaân
, ,),()(
),())()(()),(()(),(
1
11
VvvtFtF
vtutbtbvtvatbvtv
mm
mmmmmm
)46.3.1(
.0)0()0( mm vv )47.3.1(
Choïn mvv trong (1.3.46), sau ñoù laáy tích phaân theo bieán t, ta ñöôïc
dssvsvasbtP mm
t
mm ))(),(()()(
0
1
+ dssvsusbsb mm
t
mm )(),())()((2
0
1
+ ,)(,)()(2
0
1 dssvsFsF m
t
mm )48.3.1(
ôû ñaây
))(),(()()()( 1
2
tvtvatbtvtP mmmmm )49.3.1(
Maët khaùc, töø ),2.3.1( )4.3.1( vaø )7.3.1( ta thu ñöôïc
,
~
2)( )())((2)( 1
22
1 KMtututuBtb mmmm )50.3.1(
,
~
2)(
~
2)()(
)(1
11111 TWmmmm
vKMtvKMtbtb )51.3.1(
)()()1(2)()( 1111 tvtvMKtFtF mmmm
.)1(2
)(1
11 TWm
vMK )52.3.1(
Töø )52.3.1()48.3.1( suy ra raèng
2
0
2
)()(
Vmm
tvbtv
t
Vmm
dssvKMtP
0
2
1
2 )(
~
2)(
+
t
mm dssvvKM TW
0
1
11
2 )(
~
4
)(
+
t
mm dssvvMK TW
0
1
11 )()1(4 )(
t
Vm
dssvKM
0
2
1
2 )(
~
2
+
t
mm dssvvKMKM TW
0
1
111
2 )(])1(
~
[4
)(
2
1
1
2
11
2
)(
])1(
~
[2
TWm
vKMKMT
+ .))()(()
~
1(2
2
0
2
1
2 dssvsvKM
Vm
t
m )53.3.1(
Do vaäy
)(
1
1)()(
0
22
tP
b
tvtv mVmm
2
)1
1
2
11
2
0
(
))1(
~
(
1
12
TWm
vKMKMT
b
.))()(()
~
1(
1
12
2
0
2
1
2
0
dssvsvKM
b V
m
t
m
)54.3.1(
Töø (1.3.54), ta suy ra raèng
)()( 1
1
1 TWTW
mTm vkv vôùi moïi m, )55.3.1(
trong ñoù
1 )
~
1)(
1
1(exp))1(
~
(
1
122 1
2
0
2
11
2
0
TKM
b
KMKM
b
TkT .
Töø ñaây ta thu ñöôïc
)()( 1
01
1 1
)(
TWTW
uu
k
k
uu
T
m
T
mpm
vôùi moïi m, p. )56.3.1(
Suy ra }{ mu laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Do ñoù toàn taïi moät )(1 TWu thoûa
uum maïnh trong ).(1 TW )57.3.1(
Chuù yù raèng vì ),,(1 TMWum cho neân töø }{ mu ta coù theå tìm ra moät daõy con }{ jmu sao cho
uu
jm
yeáu * trong ),;,0( 2HVTL )58.3.1(
uu
jm
yeáu * trong ),;,0( VTL )59.3.1(
uu
jm
yeáu trong ),(2 TQL )60.3.1(
).,( TMWu )61.3.1(
Chuù yù raèng
)())(()()(
2
tutuBtutb mm
)()(
~
2)()(
~
11
2
0 tutuKMtutuK mm
).,0( .,. ,
~
2
~
)()( 1
11
2
1
0 TteauuKMuuK TWTW mm )62.3.1(
Töø )57.3.1( vaø )62.3.1( cho
utuBtutb mm ))(()()(
2
maïnh trong ).;,0( 2LTL )63.3.1(
Töông töï
.
)();,0( 1
112
2
)1(2 ))(,,,,,(
TWLTL
uuKMtuuuutxfF mxxm )64.3.1(
Keát hôïp )57.3.1( vaø )64.3.1( ta ñöôïc
))(,,,,,(
2
tuuuutxfF xxm maïnh trong ).;,0(
2LTL )65.3.1(
Laáy giôùi haïn trong )10.3.1()8.3.1( vôùi , jmm keát hôïp vôùi (1.3.58) - (1.3.60), )63.3.1( vaø
)65.3.1( ta suy ñöôïc raèng toàn taïi ),( TMWu thoûa phöông trình
, ,,)(,,,,,(
)),(())( (),(
2
2
Vvvtuuuutxf
vtuatuBvtu
xx
x
)66.3.1(
vaø ñieàu kieän ñaàu
.~)0( ,~)0( 10 uuuu )67.3.1(
Maët khaùc, töø (1.3.63), (1.3.65) vaø )66.3.1( ta thu ñöôïc
))(,,,,,())( (
22
tuuuutxfutuBu xxxxx ).;,0(
2LTL )68.3.1(
Nhö vaäy ).,( 1 TMWu
b./ Tính duy nhaát nghieäm
Giaû söû 21, uu laø caëp nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), thoûa
.2 ,1 ),,(1 iTMWui )69.3.1(
Khi ñoù, 21 uuu seõ thoûa baøi toaùn bieán phaân
, ,),(
~
)(
~
),())t(
~
)t(
~
()),(()(
~
),(
21
2211
VvvtFtF
vtuBBvtuatBvtu
)70.3.1(
vaø ñieàu kieän ñaàu
,0)0()0( uu )71.3.1(
ôû ñaây
.2 ,1 ),)(,,,,,()(
~
),)(()(
~ 22
ituuuutxftFtuBtB iiiiiii )72.3.1(
Choïn uv trong (1.3.70), roài tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc
dssusuasBtubtu
t
V
))(),(()(
~
)()(
0
1
2
0
2
+
t
dssususBsB
0
221 )(),())(
~
)(
~
(2
+ .)(),(
~
)(
~
2
0
21
t
dssusFsF )73.3.1(
Ñaët
Z(t) =
22
)()(
V
tutu vaø ].)2(
~
2[
1
12
~
11
2
0
KMKM
b
KM
)74.3.1(
Khi ñoù töø (1.3.73), (1.3.74) cho
)(tZ .],0[ ,)(
~
0
t
M TtdssZK )75.3.1(
AÙp duïng boå ñeà Gronwall, ta suy ñöôïc ,0)( tZ coù nghóa laø . 21 uu
Vaäy Ñònh lyù 1.3.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.
1.4. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn
nhaát
Chuùng ta tieáp tuïc khaûo saùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây:
:)( 1G 00 h ;
);( , :)( 3102 IRCggG
:)( 3G ;
~,~ 1
2
0 VuHVu
:)( 4G ;0),( ),( 0
21 bztBIRCB
:)( 5G )]1,0([
31
IRIRIRCf thoûa
0),,,,,1( zwvutf vôùi moïi t, z 0 vaø .),,( 3IRwvu
Thay vì xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), ta seõ ñöa noù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát
theo caùch laøm nhö sau:
Vôùi 0 ],1,0[ zx vaø ,0t ta ñaët
),()()1(
1
1
),( 1
0
0
0
)1(
tgetgx
h
tx
xh
)1.4.1(
,),(),,,,,(),,,,,(
~
ttxxttxxtx ztBzvvvtxfzvvvtxf )2.4.1(
),0,()(~)(~ 00 xxuxv ),0,()(
~)(~ 11 xxuxv t )3.4.1(
cuøng vôùi caùc ñieàu kieän nhaát quaùn
).1(~)0,1()0(
),0(~)0(~)0,0()0,0()0(
01
00
/
000
uug
uhuuhug x
)4.4.1(
Khi ñoù vôùi pheùp ñoåi bieán
),,(),(),( txtxutxv )5.4.1(
baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn bieân – giaù trò ñaàu sau
,0 ),1,0(
),)()(,,,,,(
~
))()(,(
22
Ttx
ttvvvvtxfvttvtBv xxtxxxxxtt
)6.4.1(
,0),1(),0(),0( 0 tvtvhtvx )7.4.1(
).(~)0,( ),(~)0,( 10 xvxvxvxv t )8.4.1(
Ta seõ giaûi baøi toaùn (1.4.6) – (1.4.8) vôùi fvv
~
,~ ,~ 10 cho bôûi (1.4.2), (1.4.3).
Cho tröôùc M >0 vaø T >0, ta ñaët
,),(
);,0();,0( 2211 LTLLTL
TMM )9.4.1(
,),,,,,(
~
sup)
~
,,(00 zwvutxffTMKK )10.4.1(
, ),,,,,( ~~~~~ sup
)
~
,,(
/////
11
zwvutxfffff
fTMKK
zwvux
)11.4.1(
ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn ,0 Tt ,10 x ,Mwvu
,)(0 21MMz
, ),(sup),,(
~~
2)(0 ,0
00
1
ztBBTMKK
MMT zt
)12.4.1(
. ),(),(sup),,(
~~
2
1)(0 ,0
11
zt
z
B
zt
t
B
BTMKK
MMT zt
)13.4.1(
Vôùi moãi M >0 vaø T > 0, ta ñaët
}, ,,
),(),;,0(:);,0( {),(
)();,0();,0( 22
22
Mvvv
QLvVTLvHVTLvTMW
T
ttt
Tttt
QLVTLHVTL
)14.4.1(
)},;,0( :),( {),( 21 LTLvTMWvTMW tt
)15.4.1(
ôû ñaây ),0( TQT .
Ta lieân keát baøi toaùn )6.4.1( - )8.4.1( vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính nhö sau
Choïn soá haïng ñaàu tieân 00
~vv . Giaû söû raèng
).,(11 TMWvm )16.4.1(
Ta tìm ),(1 TMWvm thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính
wtFwtvatbwtv mmmm ),()),(()(),( vôùi moïi ,Vw )17.4.1(
,~)0( 0vvm ,
~)0( 1vvm )18.4.1(
trong ñoù
).)()(),(),(),(,,(
~
),(
),)()(,()(
2
1111
2
1
ttvtvtvtvtxftxF
ttvtBtb
mmmmm
mm
)19.4.1(
Ñònh lyù 1.4.1. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 51 GG ñöôïc thoûa. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T
vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính ),(}{ 1 TMWvm ñöôïc xaùc ñònh bôûi ).19.4.1()17.4.1(
Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc
Böôùc 1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions [17])
Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert } /~{ jjj ww nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.1.3.
Ñaët
k
j
j
k
mj
k
m wtctv
1
)()( ,)()( )20.4.1(
trong ñoù )(kmjc thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính
,1 ,),()),(()(),( )()( kjwtFwtvatbwtv jmj
k
mmj
k
m )21.4.1(
k
k
m vv 0
)( ~)0( , ,~)0( 1
)(
k
k
m vv )22.4.1(
ôû ñaây
00
~~ vv k maïnh trong ,
2H )23.4.1(
11
~~ vv k maïnh trong .
1H )24.4.1(
Töø giaû thieát ),,(11 TMWvm ta suy ra raèng heä phöông trình )22.4.1()21.4.1( coù duy nhaát nghieäm
)()( tv km trong khoaûng .0
)( TTt km Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây seõ cho pheùp ta laáy TT
k
m
)( vôùi
moïi m vaø k.
Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët
t
k
m
k
m
k
m
k
m dssvtYtXtS
0
2)()()()( ,)()()()( )25.4.1(
ôû ñaây
)),(),(()()()( )()(
2)()( tvtvatbtvtX km
k
mm
k
m
k
m )26.4.1(
.)()())(),(()(
2)()()()( tvtbtvtvatY kmm
k
m
k
m
k
m )27.4.1(
Töø ),21.4.1( )22.4.1( vaø ),27.4.1()25.4.1( ta ñöôïc
t
k
m
k
m
k
mm
k
m
k
m dssvsvsvasbStS
0
2)()()()()( )())(),(()()0()(
+
t
k
mm
t
k
mm dssvsFadssvsF
0
)(
0
)( ))(),((2)(),(2
t
k
mm tvdssF
s
0
)( ),1()),1((2 ),1(),1(2 )( tvtF kmm
)0,1()0,1(2 )(kmm vF
t
k
m dssv
0
2)( )(
)0()(kmS )1(
~)0,1(2 0km vF
t
k
m
k
m
k
mm dssvsvsvasb
0
2)()()( )())(),(()(
+
t
k
mm
t
k
mm dssvsFadssvsF
0
)(
0
)( ))(),((2)(),(2
t
k
m dssv
0
2)( )( +
t
k
mm dssvsF
s
0
)( ),1()),1((2
t
k
mm tvdssF
s
0
)( ),1()),1((2 ),1()0,1(2 )( tvF kmm
)0()(kmS )1(
~)0,1(2 0km vF
+ 654321 IIIIII ).,1()0,1(2
)( tvF kmm )28.4.1(
Chuùng ta seõ tieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa )28.4.1( .
Tích phaân thöù 1. Ta coù
),)()(,(2)(
2
1 ttvtBtb mm
.)()(),()(
))()(,(2
))()(,()(
11
2
1
2
1
ttvttv
ttvt
z
B
ttvt
t
B
tb
mm
m
mm
)29.4.1(
Duøng giaû thieát ),( 4G ta thu ñöôïc töø )13.4.1( vaø ),16.4.1( raèng
)()( )()(
))()(,(2
))()(,()(
11
2
1
2
1
ttvttv
ttvt
z
B
ttvt
t
B
tb
mm
m
mm
.
~
))(21( 1
2
1 KMM )30.4.1(
Keát hôïp )27.4.1()25.4.1( vaø ),30.4.1( ta ñöôïc
t
k
m
t
k
m
k
m
k
mm
dssSKMM
b
dssvsvsvasbI
0
)(
1
2
1
0
0
2)()()(/
1
.)(
~
)(21
1
)())(),(()(
)31.4.1(
Tích phaân thöù 2. Töø ),2.4.1( ),10.4.1( )25.4.1( ),19.4.1( vaø ),26.4.1( ta coù
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dssSKdssvsF
dssvsFI
0
)(
0
0
)(
0
)(
2
.)(2)( )(2
)(),(2
)32.4.1(
Tích phaân thöù 3. Töø ),2.4.1( ),10.4.1( )16.4.1( ),11.4.1( vaø )19.3.1( ta suy ra
2
)(
V
sFm = .)31(4),0()(
2
00
22
1
2
0
2
KhMKsFhsF mm )33.4.1(
Do vaäy töø )25.4.1( , )27.4.1( vaø ),33.4.1( ta thu ñöôïc
t
k
mm dssvsFaI
0
)(
3 ))(),((2
t
k
mm dssvsF VV
0
)( )( )(2
t
k
m dssSKhMK
0
)(
00
2
1 .)(]312[2 )34.4.1(
Tích phaân thöù 4. Phöông trình )21.4.1( ñöôïc vieát laïi
.1 ,),(),()(),( )()( kjwtFwtvtbwtv jmj
k
mmj
k
m )35.4.1(
Töø ñoù ta thay jw bôûi
)(k
mv vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc
t
m
t
k
mm
t
k
m dssFdssvsbdssv
0
2
0
2)(2
0
2)( .)(2)()(2)( )36.4.1(
Töø ),2.4.1( ),10.4.1( ),12.4.1( ),16.4.1( )25.4.1( ),19.4.1( vaø ),27.4.1( ta keát luaän
.2)(
~
2)(
0
2
0
)(
0
0
2)(
4
t
k
m
t
k
m TKdssSKdssvI )37.4.1(
Tích phaân thöù 5. Töø giaû thieát )( 2G vaø ),( 5G ta suy ñöôïc töø ),3.4.1()1.4.1( raèng
),()()(),1( 11
2
0 tgtghtbtF mm )38.4.1(
).()()()()()),1(( 11
2
01
2
0 tgtgtbhtgtbhtF
t
mmm
)39.4.1(
Töø )30.4.1( vaø )39.4.1( daãn ñeán
)()()()()()),1(( 11
2
01
2
0 tgtgtbhtgtbhtF
t
mmm
),,(
~~
)(21
1
110
2
011
2
0
2
1
TMD
ggKhgKhMM
)40.4.1(
ôû ñaây ta kyù hieäu
. laø chuaån
]),0([0 TC
. .
Ta chuù yù raèng
.)()1(
1
)()(
),(),0(),1(
)(
0
0
)()(
0
1
0
)()()(
tSh
b
tvtvh
dxtxvtvtv
k
m
k
mV
k
m
k
m
k
m
k
m
)41.4.1(
Töø )40.4.1( vaø )41.4.1( cho ta
.)(),()1(
1
),1(),1(2
0
)(
10
0
0
)(
5
t
k
m
t
k
mm
dssSTMDh
b
dssvsF
s
I
)42.4.1(
Tích phaân thöù 6. Söû duïng baát ñaúng thöùc
, , ,3
3
1
2 22 IRbabaab )43.4.1(
ta thu ñöôïc töø )40.4.1( vaø )41.4.1( raèng
).(
3
1
),()1(
3
)(),()1(
2
),1(.),1(2
)(2
1
22
0
0
)(
10
0
0
)(
6
tSTMDTh
b
tSTMTDh
b
tvdssF
s
I
k
m
k
m
t
k
mm
)44.4.1(
Maët khaùc, söû duïng moät laàn nöõa baát ñaúng thöùc )43.4.1( vaø do ),41.4.1( ta thu ñöôïc soá haïng cuoái cuøng
beân veá phaûi cuûa )28.4.1( ñöôïc ñaùnh giaù nhö sau
).(
3
1~
4
3
)(
~
)(])0()0())0(~,0()[1(
2
),1()0,1(2
)(2
0
)(
0
)(
11
2
0
2
00
0
)(
tSDtSD
tSgghvBh
b
tvF
k
m
k
m
k
m
k
mm
)45.4.1(
Keát hôïp (1.4.28), )44.4.1( ),42.4.1( ),37.4.1( ),34.4.1( ),32.4.1( ),31.4.1( vaø ),45.4.1( ta coù
t
k
m
km
k
m
k
m
dssSTMCTMC
DvFStS
0
)(
21
2
00
)()(
,)(),(),(
~
4
9
)1(~)0,1(6)0(3)(
)46.4.1(
ôû ñaây
.
~)(21
233),(
,),(
1
312)1(3
),()1(
9
6),(
,
~~
])(21[),(
, )0()0())0(~,0()1(
2~
0
0
2
1
2
2
1
0
02
100
2
1
22
0
0
2
01
110
2
011
2
0
2
11
11
2
0
2
00
0
0
K
b
MM
TMC
TMD
b
h
MKKhT
TMDTh
b
TKTMC
ggKhgKhMMTMD
gghvBh
b
D
)47.4.1(
Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng ).1(~)0,1(6)0(3 0
)(
km
k
m vFS Ta coù
).1(~)]0()0())0(~,0([6
]~)~,~()[)0(~,0(3
)~,~(3~3
)1(~)0,1(6 )0(3
011
2
0
2
0
2
000
2
0
11
2
1
0
)(
k
kkk
kkk
km
k
m
vgghvB
vvvavB
vvav
vFS
)48.4.1(
Do )24.4.1( ),23.4.1( ),1.4.1( vaø )47.4.1( ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá ,0M ñoäc laäp vôùi k vaø m
sao cho
2
00
)( ~
4
9
)1(~)0,1(6)0(3 DvFS km
k
m ,
2
1 2M vôùi moïi k vaø m. )49.4.1(
Chuù yù raèng töø giaû thieát )( 4G vaø )( 5G ta coù
.1 ,0 ,0),,(
~
)
~
,,(
00
limlim
iBTMKTfTMKT ii
TT
)50.4.1(
Nhö vaäy töø )47.4.1( vaø ),50.4.1( ta choïn ñöôïc moät haèng soá 0T sao cho
221
2 )),(exp()),(
2
1
( MTMTCTMCM )51.4.1(
vaø
.1 )1(
~
)2)((
2
1
)
1
1(exp
)1(
~
)(
1
18
11111
0
1111
0
TKMMKTMMMM
b
KMMKMMM
b
T
)52.4.1(
Cuoái cuøng töø (1.4.46), )49.4.1( vaø )51.4.1( ta thu ñöôïc
t
k
m
k
m dssSTMCTMTCMtS
0
)(
22
2)( ,)(),()),(exp()( .0 )( TTt km )53.4.1(
Aùp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø ),53.4.1( raèng
222
2)( )),(exp()),(exp()( MtTMCTMTCMtS km
vôùi moïi ].,0[ )(kmTt )54.4.1(
Do ñoù ta coù theå choïn TT km
)( vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù
),(1
)( TMWv km vôùi moïi k vaø m. )55.4.1(
Töø )55.4.1( ta coù theå trích ra töø daõy }{ )(kmv moät daõy con vaãn kyù hieäu laø }{
)(k
mv sao cho
m
k
m vv
)( yeáu * trong ),;,0( 2HVTL )56.4.1(
m
k
m vv
)( yeáu * trong ),;,0( VTL )57.4.1(
m
k
m vv
)( yeáu trong ),(2 TQL )58.4.1(
).,( TMWvm )59.4.1(
Qua giôùi haïn trong ),22.4.1( ),21.4.1( bôûi ),59.4.1()56.4.1( ta coù mv thoûa )19.4.1()17.4.1( yeáu
trong ).,0(2 TL
Maët khaùc, töø (1.4.16), (1.4.17) vaø (1.4.59), ta coù
),;,0()( 2LTLFvtbv mmmm
do vaäy ),(1 TMWvm vaø Ñònh lyù 1.4.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát.
Ñònh lyù 1.4.2. Giaû söû )()( 51 GG thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0,0 TM thoûa (1.4.49),
)51.4.1( vaø )52.4.1( sao cho baøi toaùn )6.4.1( - )8.4.1( coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ).,(1 TMWv Maët
khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính }{ mv ñöôïc xaùc ñònh bôûi )19.4.1()17.4.1( hoäi tuï maïnh veà nghieäm v
trong khoâng gian
)}.;,0(:);,0({)( 21 LTLvVTLvTW
Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù
m
Tmm Ckvvvv LTLVTL );,0();,0( 2 , vôùi moïi m, )60.4.1(
trong ñoù
1 )1(
~
)2)((
2
1
)
1
1(exp
)1(
~
)
1
18
11111
0
1111
0
TKMMKTMMMM
b
KMMKMMM
b
TkT
)61.4.1(
vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, , , 10 uu vaø Tk .
Chöùng minh.
a./ Söï toàn taïi nghieäm
Tröôùc heát, ta seõ chöùng minh raèng }{ mv laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Vôùi cuøng pheùp tính
toaùn nhö trong ñoaïn (1.3.45) - (1.3.48) ôû chöùng minh ñònh lyù 1.3.2, neáu ñaët mmm vvw 1 , ta
cuõng thu ñöôïc
dsswswasbtp mm
t
mm ))(),(()()(
0
1
+ dsswsvsbsb mm
t
mm )(),())()((2
0
1
+ ,)(,)()(2
0
1 dsswsFsF m
t
mm (1.4.62)
ôû ñaây
)).(),(()()()( 1
2
twtwatbtwtp mmmmm (1.4.63)
Maët khaùc, töø ),11.4.1( )13.4.1( vaø )16.4.1( ta thu ñöôïc
,
~
))(21(
)()(
)()())()(,(2
))()(,()(
1
2
1
2
2
1
KMM
ttv
ttvttvt
z
B
ttvt
t
B
tb
m
mm
mm
(1.4.64)
,)(
~
2
)()(
~
2)()(
)(1
111
1111
TWm
mmm
wMMK
twMMKtbtb
(1.4.65)
)()()222()()( 11111 twtwMMKtFtF mmmm
.)1(2
)(1
111 TWm
wMMK (1.4.66)
Töø (1.4.62) - (1.4.66) ta suy ra raèng
t
VmmVmm
dsswKMMtptwbtw
0
2
1
2
1
2
0
2
)(
~
)(21)()()(
+
t
mm dsswwMMMK TW
0
1
111 )()(
~
4
)(
+
t
mm dsswwMMK TW
0
1
111 )()1(4 )(
t
Vm
dsswKMM
0
2
1
2
1 )(
~
)(21
t
mm dsswwMMKMMMK TW
0
1
11111 )( )1()(
~
4
)(
t
Vm
dsswKMM
0
2
1
2
1 )(
~
)(21
2
1
11111 )(
)1()(
~
2
TWm
wMMKMMMKT
t
m dsswMMKMMMK
0
2
1111 )()1()(
~
2
2
1
11111 )(
)1()(
~
2
TWm
wMMKMMMKT
+ )1(2)(~2~)(21 1111121 MMKMMMKKMM
t
Vmm
dsswsw
0
22
)()(
2
1
11111 )(
)1(
~
)(2
TWm
wKMMKMMMT
)1(2~)2)((21 11111 MMKKMMMM
.)()(
0
22
t
Vmm
dsswsw (1.4.67)
Do vaäy
)(
1
1)()(
0
22
tp
b
twtw mVmm
0
1
12
b
T
2
1
11111 )(
])1(
~
)[(
TWm
wKMMKMMM
0
1
1
b
)1(2~)2)((21 11111 MMKKMMMM
.)()(
0
22
t
Vmm
dsswsw (1.4.68)
Töø (1.4.68), ta suy ra raèng
)()( 1
1
1 TWTW
mTm wkw vôùi moïi m, (1.4.69)
trong ñoù 1 0 Tk ñöôïc xaùc ñònh nhö trong (1.4.61).
Töø ñaây ta thu ñöôïc
)()( 1
01
1 1
)(
TWTW
vv
k
k
vv
T
m
T
mpm
vôùi moïi m, p. (1.4.70)
Suy ra }{ mv laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Do ñoù toàn taïi moät )(1 TWv sao cho
vvm maïnh trong ).(1 TW (1.4.71)
Vì ),,(1 TMWvm cho neân ta coù theå laáy ra töø }{ mv moät daõy con }{ jmv sao cho
vv
jm
yeáu * trong ),;,0( 2HVTL (1.4.72)
vv
jm
yeáu * trong ),;,0( VTL (1.4.73)
vv
jm
yeáu trong ),(2 TQL (1.4.74)
).,( TMWv (1.4.75)
Chuù yù raèng
)())()(,()()(
2
tvttvtBtvtb xxmm
)()(
~
)(2)()(
~
1110 tvtvMKMMtvtvK mm
)()( 1
111
1
0
~
)(2
~
TWTW
vvMKMMvvK mm (1.4.76)
).,0( .,. Ttea
Töø (1.4.71) vaø (1.4.76) cho
vttvtBtvtb xxmm ))()(,()()(
2
maïnh trong ).;,0( 2LTL (1.4.77)
Töông töï
.
)(
);,0(
1
111
2
2
)1(2
)()(,,,,,
~
TW
LTL
vvKMM
ttvvvvtxfF
m
xxxm
(1.4.78)
Ta suy ra töø (1.4.71) vaø (1.4.78), raèng
))()(,,,,,(
~ 2
ttvvvvtxfF xxxm maïnh trong ).;,0(
2LTL (1.4.79)
Laáy giôùi haïn trong )19.4.1()17.4.1( vôùi jmm vaø keát hôïp vôùi caùc keát quaû (1.4.72) - (1.4.75),
(1.4.77) vaø (1.4.79), ta suy ra raèng ),( TMWv laø nghieäm cuûa phöông trình
, ,),)()(,,,,,(
~
)),(())()( ,(),(
2
2
Vwwttvvvvtxf
wtvattvtBwtv
xxx
xx
moïi vôùi
1.4.80)
vôùi ñieàu kieän ñaàu
10
~)0( ,~)0( vvvv . (1.4.81)
Maët khaùc, töø (1.4.77), (1.4.79) vaø (1.4.80) ta thu ñöôïc
))()(,,,,,(
~
))()( ,(
22
ttvvvvtxfvttvtBv xxxxxxx ),;,0(
2LTL
)85.4.1(
do ñoù ),(1 TMWv vaø chöùng minh toàn taïi nghieäm laø hoaøn taát.
b./ Tính duy nhaát nghieäm
Giaû söû 21 , vv laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn ),8.4.1()6.4.1( thoûa
2,1 ),,(1 iTMWvi . (1.4.83)
Khi ñoù, )()()( 21 tvtvtv thoûa baøi toaùn bieán phaân
, ,),(
~
)(
~
),())t(
~
)t(
~
()),(()(
~
),(
21
2211
VwwtFtF
wtvBBwtvatBwtv
moïi vôùi
(1.4.84)
vaø ñieàu kieän ñaàu
,0)0()0( vv (1.4.85)
ôû ñaây
.2 ,1 ),)()(,,,,,(
~
)(
~
),)()(,()(
~
2
2
ittvvvvtxftF
ttvtBtB
iiiii
ii
(1.4.86)
Choïn vw trong (1.4.84), sau ñoù tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc
dsswswasBtwbtw
t
V
))(),(()(
~
)()(
0
1
2
0
2
+
t
dsswsvsBsB
0
221 )(),())(
~
)(
~
(2
+ .)(),(
~
)(
~
2
0
21
t
dsswsFsF (1.4.87)
Ñaët
. )2(2
~
)2)((21
1
1
~
,)()()(
11111
0
22
KMMKMMMM
b
K
twtwtZ
M
V
1.4.88)
Khi ñoù ta suy ra töø (1.4.87), (1.4.88) raèng
)(tZ
t
M dssZK
0
,)(
~
].,0[ Tt (1.4.89)
AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc ,0)( tZ coù nghóa laø . 21 vv
Vaäy Ñònh lyù 1.4.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.
Chuù thích 1.4.1. Veà tính duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát
(1.1.1) - (1.1.3). Giaû söû baøi toaùn coù hai ngieäm yeáu 21 , uu sao cho ),;,0(
2HTLui
),;,0( 1HTLui
),;,0( 2LTLui
2 ,1i vôùi moät 0T thích hôïp. Khi ñoù 21 - uuu laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù
ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi
2
2222
2
1111
1010
,,,,, ,,,,,
,0~~ ,0
uuuutxfuuuutxff
uugg
(1.4.90)
thoûa
),;,0( 2HTLu ),;,0( 1HTLu ).;,0( 2LTLu (1.4.91)
Vôùi caùch laøm töông töï cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát, ta thu ñöôïc .0 - 21 uuu Do
ñoù baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu maø khoâng phuï thuoäc vaøo haøm trong
caùch ñoåi aån haøm . uv
1.5. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ñeán caáp 3 theo moät tham soá
Trong phaàn naøy, ta tieáp tuïc xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) cuøng vôùi caùc giaû thieát )()( 51 GG , vaø
giaû söû theâm raèng
; 0),( ),( :)( 1
21
16 ztBIRCBG
17 :)( fG thoûa giaû thieát ).( 5G
Chuùng ta khaûo saùt baøi toaùn nhieãu trong ñoù ε laø tham soá, ε 1:
).,(ε),(),(
),,,,,,(ε),,,,,(),,,,,(
),(~)0,( ),(~)0,(
),(),1( ),(),0(),0(
,0 ,10 ),,,,,,(),(
)(
2
1
22
2
1
22
10
100
22
ε
ε
εε
ε
xxx
xtxxtxxtx
t
x
xtxxtt
utButButB
uuuutxfuuuutxfuuuutxF
xuxuxuxu
tgtutgtuhtu
TtxuuuutxFuutBu
P
Tröôùc heát, ta chuù yù raèng neáu caùc haøm 111010 , , , ,g ,g ,
~ ,~ ffBBuu thoûa caùc giaû thieát
)()( 71 GG thì baøi toaùn )( εP töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân - giaù trò ñaàu:
)
~
( εP
),(~)0,( ),(~)0,(
,0),1(),0(),0(
,0 ,10
),)()(,,,,,(
~
))()(,(
10
0
22
εε
xvxvxvxv
tvtvhtv
Ttx
ttvvvvtxFvttvtBv
t
x
xxtxxxxxtt
trong ñoù
),()()1(
1
1
),( 1
)1(0
0
0
tgetgx
h
tx
xh
,),(),,,,,(),,,,,(
~
εε ttxxttxxtx ztBzvvvtxFzvvvtxF
)0,()(~)(~ 00 xxuxv , )0,()(
~)(~ 11 xxuxv t .
Chuù yù raèng caùc ñaùnh giaù tieân löôïng cuûa daõy xaáp xæ Galerkin }{ )(kmv trong phaàn chöùng minh cuûa ñònh
lyù 1.4.1 ñoái vôùi baøi toaùn )
~
( εP , thoûa
),,(1
)( TMWv km )1.5.1(
trong ñoù M vaø T laø caùc haèng soá ñoäïc laäp vôùi . Thaät vaäy, trong tieán trình chöùng minh, ta cuõng choïn
caùc haèng soá döông M vaø T töông töï nhö trong ),49.4.1( ),51.4.1( ),52.4.1( vôùi )
~
,,( fTMKi vaø
),,,(
~
BTMKi 1 ,0i laàn löôït thay bôûi )
~
,,(sup ε
1 ε
FTMKi
vaø ),,(
~
),,(
~
1BTMKBTMK ii , 1 ,0i .
Do vaäy, giôùi haïn εv cuûa daõy }{
)(k
mv trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi ,k roài sau ñoù laø
,m laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn )
~
( εP thoûa
εv ).,( 1 TMW )2.5.1(
Töông töï nhö chöùng minh cuûa Ñònh lyù 1.4.2, ta coù theå chöùng minh ñöôïc giôùi haïn 0v cuûa hoï
}{ εv trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi ,0ε laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn )
~
( 0P
töông öùng vôùi 0ε thoûa
0v ),( 1 TMW . )3.5.1(
Do ñoù εu = εv + vaø 0u = 0v + laàn löôït laø caùc nghieäm duy nhaát cuûa baøi toaùn )( εP vaø cuûa )( 0P
( )( 0P laø baøi toaùn töông öùng vôùi 0ε ).
Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau
Ñònh lyù 1.5.1. Giaû söû raèng caùc giaû thieát )()( 71 GG ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0M vaø
0T sao cho vôùi moãi , ,1ε baøi toaùn )( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu εu sao cho
εε vu ),( 1 TMW thoûa
ε
)2;,0() ;,0( 00 εε
Cuuuu
LTLVTL
, )4.5.1(
ôû ñaây C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo , , , , , 100 MMThb ),,,(1 fTMK ),,,(
~
1 BTMK
),,( 10 fTMK vaø ).,,(
~
10 BTMK
Chöùng minh. Ñaët 00 εε uuvvv , khi ñoù v thoûa baøi toaùn bieán phaân
)),(( )(,),( 2ε wtvatutBwtv
._.), ta chæ caàn chöùng minh (2.2.73).
Töø (2.2.63), aùp duïng caùc Boå ñeà 2.2.3 vaø 2.2.4, ta ñöôïc
2
000
2/
0
2
)()(8)(2),0(
s
mm
tt
m
t
m dPsKdsdssdssu
t
mm duuftDC
0
2
2 ))(),(()(22
.),0(88
0 0
2)4()3(
t s
mTT dudsCC (2.2.75)
Maët khaùc, töø caùc giaû thieát )( 2F vaø )( 3F ta thu ñöôïc
,||)(||)0(2||)(||)(max2||))(),((|| 222
22
1
||
2
Vmm
Cs
mm tuBtusBtutuf
T
(2.2.76)
vì 10 neân α2||.|| ||.|| L . Do ñoù söû duïng (2.2.60) vaø (2.2.76), ta coù
. ||))(),((|| )7(Tmm Ctutuf (2.2.77)
Cuoái cuøng töø (2.2.75) vaø (2.2.77) ta thu ñöôïc baát ñaúng thöùc
,),0(8),0(
0
2
0
)4()8(
0
2
s
m
t
TT
t
m dudsCCdssu (2.2.78)
maø ñieàu naøy suy ra (2.2.73) nhôø vaøo boå ñeà Gronwall vaø boå ñeà (2.2.5) ñöôïc chöùng minh.
Böôùc 3. Qua giôùi haïn.
Töø caùc keát quaû (2.2.8), (2.2.43), (2.2.60), (2.2.73), (2.2.74) vaø (2.2.77), ta suy ra raèng toàn taïi moät
daõy con cuûa ,),( mm Pu vaãn kyù hieäu laø ,),( mm Pu sao cho
uum trong );,0( VTL
yeáu *, (2.2.79)
/uum trong );,0(
2LTL yeáu *, (2.2.80)
),0(),0( tutum trong ),0( TL
yeáu *, (2.2.81)
),0(),0( tutum trong ),0(
2 TL yeáu, (2.2.82)
),( mm uuf trong );,0(
2LTL yeáu *, (2.2.83)
PPm
ˆ trong ),0(1 TH yeáu. (2.2.84)
Nhôø boå ñeà compact cuûa Lions [30], ta suy ra töø (2.2.79) - (2.2.82), raèng toàn taïi moät daõy con vaãn kyù
hieäu laø mu sao cho
),0(),0( tutum maïnh trong ]),,0([
0 TC (2.2.85)
uum maïnh trong )(
2
TQL vaø haàu khaép nôi trong .TQ (2.2.86)
Do caùc giaû thieát (H ), (K) vaø söû duïng (2.2.8), (2.2.85) ta ñöôïc
)()),0(,()),0(()()(
0
tPdssustKtuHtgtP
t
m
maïnh trong ]).,0([0 TC (2.2.87)
Töø (2.2.84) vaø (2.2.87) cho
PP ˆ haàu khaép nôi trong TQ . (2.2.88)
Qua giôùi haïn trong (2.2.7) bôûi (2.2.79), (2.2.80), (2.2.87), (2.2.88), ta ñöôïc
0,)0()()),((),( vvtPvtuavtu
dt
d
.Vv (2.2.89)
Töông töï nhö trong [19], ta cuõng chöùng minh ñöôïc raèng
,)0( 0uu .)0( 1uu (2.2.90)
Ñeå chöùng minh toàn taïi cuûa nghieäm u, ta caàn chöùng minh raèng ).,( uuf Ta caàn ñeán boå ñeà sau
maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong [3].
Boå ñeà 2.2.6. Giaû söû u laø nghieäm cuûa baøi toaùn
).,0() ,0( ),;,0( ),;,0(
),()0,( ),()0,(
,0),1( ),(),0(
,0 ,10 ,0
12
10
THuLTLuVTLu
xuxuxuxu
tutPtu
Ttxuu
t
x
xxtt
Khi ñoù
tt
V dssusdssusPtutu
00
22 )(),(),0()(||)(||
2
1
||)(||
2
1
,||||
2
1
||||
2
1 2
0
2
1 Vuu (2.2.91)
a.e ],0[ Tt . Hôn nöõa, neáu 010 uu thì (2.2.91) xaûy ra ñaúng thöùc.
Baây giôø, töø (2.2.7) - (2.2.9) ta coù
t
mmm dssususuf
0
)()),(),(( 220
2
1 ||)(||
2
1
||||
2
1
||||
2
1
tuuu mVmm
t
mmVm dssusPtu
0
2 .),0()(||)(||
2
1
(2.2.92)
Do boå ñeà 2.2.6 vaø töø (2.2.9), (2.2.79), (2.2.80), (2.2.82), (2.2.87), (2.2.92), ta suy ra
t
mmm dssususuflimsup
m 0
)()),(),((
t
VV dssusPtutuuu
0
222
0
2
1 ),0()(||)(||
2
1
||)(||
2
1
||||
2
1
||||
2
1
,)(),(
0
t
dssus ].,0[ Tt (2.2.93)
Laäp luaän gioáng nhö trong [19], ta chöùng minh raèng ),( uuf TQtxea ),(.. . Söï toàn taïi nghieäm
ñöôïc chöùng minh.
Böôùc 4. Tính duy nhaát cuûa nghieäm. Baây giôø ta giaû söû raèng = 1 trong )( 3F vaø cuõng giaû söû raèng H, K,
f thoûa caùc giaû thieát ).(),(),( 431 FKH Goïi ),( ),,( 2211 PuPu laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (2.1.1) -
(2.1.4). Ñaët 21 uuu vaø 21 PPP . Khi ñoù (u, P) thoûa baøi toaùn sau
,0)0,()0,(
,0),1(),(),0(
,0,10,0
xuxu
tutPtu
Ttxuu
x
xx
trong ñoù
.2 ,1 ),,0( ),,0() ,0(
),;,0( ),;,0(
,))),0(,()),0(,((
)),0(()),0(()()()(
),,(),(
11
2
0
21
2121
2211
iTHPTHu
LTLuVTLu
dssustKsustK
tuHtuHtPtPtP
uufuuf
ii
ii
t
AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi ,010 uu ta thu ñöôïc
,0)(),(),0()(||)(||
2
1
||)(||
2
1
00
22
tt
V dssusdssusPtutu (2.2.94)
a.e., ].,0[ Tt
Ñaët
)).,0(,()),0(,(
~
)),,0(()),0(()(
~
,||)(|| ||)(|| )(
211
211
22
sustKsustKK
tuHtuHtH
tutut V
(2.2.95)
Thay ),(tP vaøo (2.2.94) vaø duøng tính khoâng giaûm cuûa haøm f theo bieán thöù hai, ta coù
t
dssusHt
0
1 ),0()(
~
2)(
dssususufsusuf
t
)())(),(())(),((2
0
2221
t s
drrsKdssu
0 0
1 .),(
~
),0(2 (2.2.96)
Söû duïng giaû thieát ),( 3F ta coù
.)()( ))(),(())(),(( 222221 VsusuBsusufsusuf (2.2.97)
Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho tích phaân cuoái cuøng cuûa (2.2.96), ta ñöôïc
st
drrsKdssuJ
0
1
0
),(
~
),0(2
. ),(
~
),(
~
),0(2),(
~
),0(2
0 0
1
1
0
1
t st
drrs
s
K
ssKdssudrrtKtu (2.2.98)
Töø giaû thieát ),( 3K ta coù
,)()( |),0(|)( |),(
~
| ,,1 rrsprursprsK TMTM
,)()0( |),0(|)0( |),(
~
| ,,1 spsupssK TMTM (2.2.99)
,)()( |),0(|)( ),(
~
.,
1 rrsqrursqrs
s
K
TMTM
trong ñoù .||||max
);,0(2,1 VTLii
uM Ta suy töø (2.2.98), (2.2.99), raèng
t
TM
t
TM dsspdrrrtptJ
0
.
0
. )()0(2 )()()(2 ||
s
TM
t
drrrsqdss
0
0
)()()(2
tt
TM drrdrrpt
00
,
2
1
1 )()(
β
1
)(β
tt
TM
t
TM dssdrrqtdssp
0
2
1
0
.
2
0
, )()(2)()0(2 (2.2.100)
t
TMTM drrppt
0
,
2
1
,1 )(
β
1
)0(2)(β ,)()(2
0
2
1
0
2
.
tt
TM dssdrrqt
.0β1
Ñaët
),(min
||
1 sHm
Ms
.|)(|max
||
2 sHm
Ms
(2.2.101)
Töø giaû thieát ),( 1H ta coù
.11 m (2.2.102)
Maët khaùc, duøng tích phaân töøng phaàn vaø (2.2.102) suy ra raèng
dssudsusuH
d
d
dssusH
tt
),0( ),0(),0(2),0()(
~
2
0
1
0
2
0
1
1
0
2
2 ),0(),0(),0( dsusuHtu (2.2.103)
1
0
22
0
2 ),0(),0(),0(),0(),0( dsusususuHdssu
t
t
dssususumtum
0
21
2
2
2
1 |),0(||),0(|),0(),0(
.|),0(||),0(|)(),0(
0
212
2
1
t
dssususmtum
Töø (2.2.96) - (2.2.98), (2.2.100) vaø (2.2.103), ta thu ñöôïc
t
dssususumtumt
0
21
2
2
2
1 |),0(||),0(|),0(),0()(
).(|| )(|))((|
0
22 tJdsssuB
t
(2.2.104)
Chuù yù raèng töø boå ñeà (1.2.1), (2.2.102) vaø (2.2.104), ta cuõng ñöôïc
).(),0()(),0()1( 21
2
1 ttumttum (2.2.105)
Töø (2.2.104) vaø (2.2.105) raèng
),0()]1(β[)( 2121 tummt )()β1( 2 t
t
dsssuBsusum
0
222122 )(|||))((||||),0(| |),0(|)β1(
)(β)β1( 12 t (2.2.106)
t
TMTM drrpp
0
,
2
1
,2 )(
β
1
)0(2)β1( ,)()(2
0
2
1
0
2
.
tt
TM dssdrrqt
.0β,0β 21
Choïn 0β ,0β 21 sao cho 21β)β1( ,21)1(β 12121 mm vaø ñaët
|))((| |)),0(||),0((|)β1(2)( 2221221 tuBtutumtR
.||||2)0(2||||
β
1
),0(),0( 2..
2
2.
1
TLTL TMTMTM
qTpp . (2.2.107)
Khi ñoù, ta coù töø (2.2.106) vaø (2.2.107), raèng
, )],0()()[(),0()(
0
2
1
2
t
dssussRtut (2.2.108)
Do boå ñeà Gronwall ta ñöôïc .0),0()( 2 tut Do ñoù, Ñònh lyù 2.2.1 ñöôïc chöùng minh.
Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät
,0)0( ,0),,0( ,)(),(
0 ,)(
1 kTTHkutkutK
hhssH soá haènglaø
(2.2.109)
ñònh lyù sau ñaây chính laø heä quaû cuûa Ñònh lyù 2.2.1.
Ñònh lyù 2.2.2. Giaû söû (A), (G) vaø )( 1F - )( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4)
coù ít nhaát moät nghieäm (u,P) thoûa (2.2.4), (2.2.5). Hôn nöõa neáu =1 trong )( 3F vaø 2B thoûa ),( 4F thì
nghieäm naøy duy nhaát.
Chuù thích 2.2.1.
Trong [20], N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ thieát laäp Ñònh lyù 2.2.2 nhöng phaûi boå sung
theâm giaû thieát: “ 1B laø haøm khoâng giaûm ”.
Trong tröôøng hôïp rieâng K(t,u) = 0, P = g + H, thì Ñònh lyù sau cuõng laø moät heä quaû ñöôïc suy ra
töø Ñònh lyù 2.2.1.
Ñònh lyù 2.2.3. Giaû söû (A), (G), (H), )( 1F - )( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) -
(2.1.3) töông öùng vôùi P = g + H, coù ít nhaát moät nghieäm u thoûa (2.2.3). Hôn nöõa, neáu =1 trong )( 3F
vaø caùc haøm H, 2B thoûa )( 1H vaø ),( 4F thì nghieäm naøy duy nhaát.
Chuù thích 2.2.2.
Cuõng nhö chuù thích ,1.2.2 Ñònh lyù 2.2.3 cho moät keát quaû töông töï nhö trong [12], nhöng
trong luaän aùn naøy khoâng caàn ñeán giaû thieát 1B laø haøm khoâng giaûm.
2.3 . Söï oån ñònh cuûa nghieäm
Trong phaàn naøy, giaû söû =1 vaø caùc haøm H vaø 2B laàn löôït thoûa caùc giaû thieát (H), )( 1H
vaø ).( 4F Nhôø Ñònh lyù 2.2.1, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) coù nghieäm (u,P) duy nhaát phuï thuoäc vaøo g, H ,
K
),,,( KHguu ),,,( KHgPP
trong ñoù g, H , K thoûa caùc giaû thieát (G), (H), )( 1H , )()( 31 KK vaø fuu , , 10 laø nhöõng haøm cho tröôùc
coá ñònh thoûa caùc giaû thieát (A), )( 1F - ).( 4F
Giaû söû 00 h laø haèng soá cho tröôùc vaø IRIRH :0 laø haøm soá cho tröôùc. Ta ñaët
,,1)( ,)(
;0)0(:)({),(
0
0
2
00
IRxxHhdssH
HIRCHHh
x
}.0),(|))(||)((|sup 0
||
MMHsHsH
Ms
Cho ,0 ,0 Mt vaø ),; (0 IRIRIRCK ta ñaët
.
),(),(
sup),,(
, |||,| vu
vtKutK
tKMN
vuMvu
h
Cho moät hoï haøm 0,0},{ , TMp TM phuï thuoäc vaøo hai tham soá 0 , TM goàm caùc haøm khoâng aâm
0 ,0 ),,,()(. TMtTMptp TM , sao cho ),,0(
2
, TLp TM vôùi moïi .0 , TM
Cho ),,0( ),,0( 12
2
1 TLkTLk vôùi moïi .0T Ta ñaët
}.0],,0[,),(||)( |),(||),(|
,0,],,0[),(),,(),,(
),(:)({}){,,(
21
,
00
,21
TTtIRutkutkut
t
K
utK
TMTttpt
t
K
MNtKMN
IRIRC
t
K
IRIRCKpkk
TMhh
TM
Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau
Ñònh lyù 2.3.1. Giaû söû =1 vaø (A), )( 1F - )( 4F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi ,0T nghieäm cuûa baøi toaùn
(2.1.1) - (2.1.4) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc döõ kieän g, H , K theo nghóa sau:
Neáu ),,,( KHg }){,,(),(),0(),,( ,2100
1
TMjjj pkkHhTHKHg thoûa
),(),( HgHg jj maïnh trong ]),([),0(
11 MMCTH (2.3.1)
),(),( tKKtKK jj maïnh trong
20 ])],[],0([[ MMTC (2.3.2)
khi j , vôùi moïi .0, TM
Khi ñoù
)),,0(,,()),,0(,,( PtuuuPtuuu jjjj maïnh trong
]),0([]),0([),,0(),,0( 002 TCTCLTLVTL khi ,j vôùi moïi ,0 , TM
trong ñoù ).,,( ),,,( jjjjjjjj KHgPPKHguu
Chöùng minh. Tröôùc heát ta chuù yù raèng neáu döõ kieän ),,( KHg thoûa
,|||| 0),0(1 Gg TH ),,( 00 HhH }),{,,( ,21 TMpkkK (2.3.3)
khi ñoù, caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuûa caùc daõy }{ mu vaø }{ mP trong chöùng minh cuûa Ñònh lyù 2.2.1
thoûa
222 ||)(||||)(|| TVmm Ctutu ,0],,0[ TTt (2.3.4)
2
0
2
),0( T
t
m Cdssu ,0],,0[ TTt (2.3.5)
2
0
2
)( T
t
m CdssP ,0],,0[ TTt (2.3.6)
trong ñoù TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc 2100010 , , , , , , , , kkHhGfuuT , }{ ,TMp (ñoäc laäp vôùi KHg , , ).
Do ñoù, giôùi haïn ),( Pu trong khoâng gian haøm thích hôïp
cuûa daõy xaáp xæ )},{( mm Pu ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.2.7) – (2.2.9), chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn (2.1.1) –
(2.1.4) vaø thoûa caùc ñaùnh giaù (2.3.4) - (2.3.6).
Baây giôø, töø (2.3.1) vaø (2.3.2) ta giaû söû raèng toàn taïi moät haèng soá 00 G ñeå cho döõ kieän
),,( jjj KHg thoûa (2.3.3) töông öùng vôùi ).,,(),,( jjj KHgKHg Khi ñoù töø chuù yù ôû treân, ta coù nghieäm
),( jj Pu cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) töông öùng vôùi ),,,(),,( jjj KHgKHg thoûa caùc ñaùnh giaù
222 ||)(||||)(|| TVjj Ctutu ,0],,0[ TTt (2.3.7)
2
0
2
),0( T
t
j Cdssu ,0],,0[ TTt (2.3.8)
2
0
2
)( T
t
j CdssP .0],,0[ TTt (2.3.9)
Ñaët
.
~
,
~
,~ KKKHHHggg jjjjjj
Khi ñoù uuv jj vaø PPQ jj thoûa baøi toaùn
,0)0,()0,(
,0),1( ),(),0(
,0 ,10 ,0
xvxv
tvtQtv
Ttxvv
jj
jjjx
jjxxj
(2.3.10)
trong ñoù
.)),0(,(
~
)),0((
~
)(~)(ˆ
,)),0(,()),0(,(
)),0(()),0(()(ˆ)(
),,(),(
0
0
t
jjjjjj
t
j
jjj
jjj
dssustKtuHtgtg
dssustKsustK
suHsuHtgtQ
uufuuf
(2.3.11)
AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi ,010 uu , , jj QP ta coù
.0)(),(2),0()(2 ||)(||||)(||
00
22
t
jj
t
jjVjj dssvsdssvsQtvtv
Ñaët
),,0( ||)(||||)(|| )( 222 tvtvtvtS jVjjj
,TCM ,1)(min
||
1
sHm
Ms
.|)(|max
||
2 sHm
Ms
Khi ñoù, theo moät caùch töông töï nhö ôû phaàn treân, ta chöùng minh ñöôïc baát ñaúng thöùc sau ñaây
),()(||||2 ||||
1
)(|)),0(||),0((| |||))((|||
)(ˆ)(ˆ
1
)( 2
)(||||2 ||||
1
)(ˆ)(ˆ
1
)()( 2
)(|),0(||),0(|)(|))((|
),0( ||)(||||)(||
0
),0(,
2
),0(,
0
22
0
22
0
),0(,
2
),0(,
0
22
0
0
2
0
2
2
1
22
22
22
tydssSpTp
dssSsusumsuB
dssgtgtS
dssSpTp
dssgtgdssStS
dssSsusumdssSsuB
tvmtvtv
j
t
jTLTMTLTM
t
jj
t
jjj
t
jTLTMTLTM
t
jj
t
jj
t
jj
t
j
jVjj
(2.3.12)
vôùi moïi 0 vaø ].,0[ Tt
Chuù yù raèng 22 ||)(|| ),0( Vjj tvtv , do ñoù
).(),0( ||)(|| ||)(|| ),0()1( 21
222
1 tytvmtvtvtvm jjVjjj (2.3.13)
Nhaân hai veá cuûa (2.3.13) cho 1β > 0, sau ñoù coäng vôùi (2.3.12), ta ñöôïc
),0(]β)1[( ||)(||||)(|| 2111
22 tvmmtvtv jVjj
)()β1( 1 ty j
t
jjj dssgtgtS
0
22
1 )(ˆ)(ˆ
ε
1
)(ε2)β1( (2.3.14)
,)(),,(
~
0
t
jj dssSsTR ],,0[ ,0β ,0 1 Tt
trong ñoù
),0(,
2
),0(,1 22
||||2||||
1
)β1(),,(
~
TLTMTLTMj
pTpsTR
. |),0(||),0(||||))((||| 22 susumsuB j (2.3.15)
Choïn 0β1 vaø 0 sao cho ,1β)1( 111 mm 21)β1(2 1 . Duøng pheùp nhuùng
),0(1 TH ]),,0([0 TC keát hôïp vôùi (2.3.14), ta ñöôïc
, )(),,(
~
2 ||ˆ||
1
)β1(2)(
0
2
),0(
)9(
1 1
t
jjTHjTj
dssSsTRgCtS
(2.3.16)
trong ñoù )9(TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T. Nhôø boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc töø (2.3.16), raèng
,),,(
~
2exp||ˆ||
1
)β1(2)(
0
2
),0(
)9(
1 1
T
jTHjTj
dssTRgCtS
(2.3.17)
vôùi moïi ].,0[ Tt Maët khaùc, nhôø (2.3.4), (2.3.10), (2.3.11), (2.3.15) vaø (2.3.17), ta thu ñöôïc
2
),0(
)10(
1||ˆ||)( THjTj gCtS ],,0[ Tt (2.3.18)
.)(||||)(|)(|max|)(ˆ| |)(|
2/1
0
),0(, 2 ||
t
jTLTMjjj
dssSptSsHtgtQ
Ms
(2.3.19)
Baây giôø, ta söû duïng moät laàn nöõa pheùp nhuùng ),0(1 TH ]),,0([0 TC khi ñoù, ta suy töø (2.3.18) vaø
(2.3.19), raèng
.||ˆ||||||
),0(
)11(
]),0([ 10 THjTTCj
gCQ
Cuoái cuøng, ta chæ caàn chöùng minh raèng
.0||ˆ||lim
),0(1
TH
j
j
g
Thaät vaäy, töø (2.3.11) keát hôïp vôùi (2.3.8), ta suy ñöôïc baát ñaúng thöùc sau
]),([
2
),0(),0( 111
||
~
|| ||~|| ||ˆ||
MMCjTHjTHj
HMTgg
. ||/~||||~||)1(2
]),[ ],0([]),[ ],0([
2
00 MMTCjMMTCj
tKKTT
Ñònh lyù (2.3.1)õ ñöôïc chöùng minh.
2.4. Moät vaøi nhaän xeùt veà caùc keát quaû thu ñöôïc
1./ Keát quaû thu ñöôïc töø Ñònh lyù 2.2.1 maïnh hôn keát quaû thu ñöôïc trong [19]. Thaät vaäy, töông
öùng vôùi cuøng baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) vôùi 0),( utK vaø ,)( hssH ,0h caùc giaû thieát sau ñöôïc thieát
laäp trong [19] laø khoâng caàn thieát:
+ )()( ,10 )1(
2
1 TQLuB
vôùi moïi );,0( VTLu vaø ,0T
+ 21 ,BB laø caùc haøm khoâng giaûm.
2./ Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät 0)0( ,0),,0( ,)(),( 1 kTTHkutkutK ,
H(s) = hs, h > 0 laø haèng soá, Ñònh lyù 2.2.2 laø moät heä quaû cuûa Ñònh lyù ,1.2.2 cuõng maïnh hôn keát quaû
trong [20], trong luaän aùn naøy cuõng khoâng söû duïng giaû thieát 1B laø haøm khoâng giaûm.
3./ Trong tröôøng hôïp K(t,u) = 0 thì Ñònh lyù 2.2.3 cuõng toång quaùt hôn keát quaû töông töï nhö
trong [12].
4./ Keát quaû veà tính oån ñònh cuûa nghieäm trong Ñònh lyù 2.3.1 cuõng toång quaùt vaø roäng hôn caùc
keát quaû trong [11, 12, 19, 20, 28].
PHAÀN KEÁT LUAÄN
Vôùi söï phaùt trieån maïnh meõ vaø nhöõng thaønh töïu röïc rôõ cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhöõng coâng cuï
saâu saéc cuûa Giaûi tích haøm öùng duïng ñaõ xaâm nhaäp vaøo raát nhieàu baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû
nhieàu möùc ñoä. Maëc duø, trong moät caùch nhìn toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù nhöõng phöông phaùp
toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát ñoái vôùi moïi baøi toaùn bieân phi tuyeán, nhöng nhöõng öùng duïng cuûa Giaûi
tích Toaùn hoïc ñaõ giuùp chuùng ta thu ñöôïc moät soá caùc keát quaû khaû quan treân moät soá lôùùp caùc baøi toaùn
giaù trò bieân phi tuyeán ñöôïc xaây döïng vaø phaùt trieån töø nhöõng moâ hình Toaùn hoïc cuûa caùc vaán ñeà trong
Khoa hoïc kyõ thuaät, thöïc nghieäm ...
Trong luaän aùn naøy chuùng toâi ñaõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà
trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc
loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài (
moät daây hoaëc moät thanh ) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï va chaïm
cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn nhôùt vôi
caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Coâng cuï
ñeå khaûo saùt ñöôïc söû duïng trong luaän aùn laø caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö :
phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä
vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp tieäm caän ...
Ngoaøi Chöông môû ñaàu trình baøy toång quan veà caùc baøi toaùn, keát quaû chính cuûa luaän aùn ñöôïc
trình baøy ôû hai chöông tieáp theo. Caùc keát quaû ñoù bao goàm
1. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi toaùn töông öùng vôùi ñieàu
kieän bieân thuaàn nhaát:
,0 ),1,0( ), ,,,,,()(
22
TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt (1)
,0),1(),0(),0( 0 tuthtux (2)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (3)
trong ñoù 10
~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi
cuûa (1) xaùc ñònh bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng )]1,0([ 30 IRIRIRCf vaø theâm moät soá ñieàu kieän
phuï.
2. Keát quaû treân cuõng ñöôïc nôùi roäng cho phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû
Kirchhoff – Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát:
,0 ),1,0( ), ,,,,,(),(
22
TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt (4)
),(),1( ),(),0(),0( 100 tgtutgthtux (5)
vaø ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù ),]1,0([ 31 IRIRIRCf 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc
thoûa theâm moät soá caùc ñieàu kieän phuï naøo ñoù.
3. Chöùng minh nghieäm yeáu ),(ε txu cuûa baøi toaùn nhieãu
) ,,,,,(ε) ,,,,,(
)] ,(ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
(6)
lieân keát vôùi (3) vaø (5) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá ñuû nhoû.
4. Chöùng minh nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn nhieãu
) ,,,,,(ε) ,,,,,(
)] (ε) ([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uuBuBu
(7)
lieân keát vôùi (2) vaø (3) laø moät haøm ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá
beù .
Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1], [d2].
5. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toaøn cuïc ),( Pu cuûa baøi toaùn bieân cho phöông
trình soùng phi tuyeán
,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt (8)
,0),1( ),(),0( tutPtux (9)
lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù giaù trò bieân chöa bieát )(tP vaø aån haøm ),( txu thoûa moät
phöông trình tích phaân phi tuyeán
t
dssustKtuHtgtP
0
,)),0(,()),0(()()( (10)
trong ñoù 10 , , uuf , g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän phuï naøo ñoù.
6. Chöùng minh nghieäm ),( Pu cuûa baøi toaùn (3), (8) – (10) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm g, H vaø
K.
Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3].
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
[1] Nguyeãn Thuùc An, Nguyeãn Ñình Trieàu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with
the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech. NSCR. VietNam, Tom XIII (2) (1991),
1-7.
[2] R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic press, Newyork, 1975.
[3] Ñaëng Ñình AÙng, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mixed problem for semilinear wave equations with a
nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 12 (1988), 581 - 592.
[4] H. Breùzis, Analyse Fonctionnelle. Theùorie et applications, Masson Paris, 1983.
[5] M. Bergounioux, Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mathema-
-tical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43, (2001), 547-
561.
[6] Döông Thò Thanh Bình, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear recursive schemes
associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator, Math. Comp. Modelling,
34 (2001), No.5-6, 541-556.
[7] G.F. Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Q.J. Appl. Math. 3 (1945),
157-165.
[8] Zh. N. Dmitriyeva, On stable solutions in nonlinear oscillations of rectangular plates under
random loads, Prikl. Mat. Mekh. L.4 (1979), 189-197.
[9] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Sur un probleøme hyperbolique faiblement non lineùaire en dimension 1,
Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289.
[10] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear approximation and asymptotic expansion
associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math. 19 (1986), 45 – 63.
[11] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, On the quasilinear wave equation with a mixed
nonhomogeneous condition, SEA. Bull. Math. 19 (1995), 127 – 130.
[12] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, The semilinear wave equation associated with a
nonlinear boundary, Demonstratio Math. 30 (1997), 557 – 572.
[13] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Miranda, Local solutions for a nonlinear degenerate
hyperbolic equation, Nonlinear Anal. 10 (1986), 27 – 40.
[14] C.L. Frota, Nonlocal solutions of a nonlinear hyperbolic partial differential equation,
Portugaliae Math., Vol. 51, No.3 (1994), 455- 473.
[15] M. Hosoya, Y. Yamada, On some nonlinear wave equations I: Local existence and regularity of
solutions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991), 225 – 238.
[16] G.R. Kirchhoff, Vorlesungen beru Mathematiche Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876.
Section 29.7.
[17] J.L. Lions, Quelques meùthodes de reùsolution des probleømes aux limites non lineùaires, Dunod,
Gauthier – Villars, Paris, 1969.
[18] N.A. Larkin, Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation, Math. Prob.
Eng., Vol. 8, (2002), 15-31.
[19] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, On the quasilinear wave equation:
0),( ttt uufuu associated with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (1992), 613 –
623.
[20] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, A semilinear wave equation associated with a
linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (1995), 1261 –1279.
[21] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation:
),,,,( txxxtt uuutxfuu associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29
(1997), 1217 -1230.
[22] Nguyeãn Thaønh Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the
mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 45 (2001), 261 - 272.
[23] Nguyeãn Thaønh Long, On the nonlinear wave equation: xxxtt uutBu ),(
2
),,,,( tx uuutxf associated with the mixed homogeneous conditions, J. Math. Anal. Appl. 274, (2002),
102 - 123.
[24] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Linear recursive schemes and
asymptotic expansion associated with the Kirchhoff -Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267,
(2002), 116 -134.
[25] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Asymptotic expansion of the
solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demontratio Math. 36,
No.3, (2003), 683 - 695.
[26] Nguyeãn Thaønh Long et al., On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing
an integral, Comp. Maths. Math. Phys. 33 (1993), 1171 – 1178.
[27] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, On the existence, uniqueness of solution of the
nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math. 32 (1999), 749 – 758.
[28] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, A semilinear wave equation associated with a
nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (2003), 915 – 938.
[29] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Döông Thò Thanh Bình, Mixed problem for some
semilinear wave equations involving Bessel’s operator , Demonstratio Math. 32 (1999), 77 – 94.
[30] L.A. Medeiros, On some nonlinear perturbation of Kirchhoff - Carrier operator, Comp. Appl.
Math. 13 (1994), 225 – 233.
[31] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects,
Part I, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 2, (2002), 91 – 127.
[32] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects,
Part II, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 3, (2002), 211 – 263.
[33] E.L Ortiz, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Linear recursive schemes associated with some nonlinear
partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987),
452 – 464.
[34] S.I. Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math. USSR. Sb. 25 (1975), 145 –
158.
[35] P.A. Raviart, J.A. Thomas, Introduction aø l’analyse numeùrique des equations aux deùriveùes
partielles, Masson, Paris, 1983.
[36] M.L Santos, Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at
the boundary, Electronic J. Diff. Equations, Vol. 2001 (2001), No. 73, 1-11.
[37] M.L. Santos, J. Ferreira, D.C. Pereira, C.A. Raposo, Global existence and stability for wave
equation Kirchhoff type with memory condition at the boundary, Nonlinear Anal. 54 (2003), 959-
976.
[38] M. Tucsnack, Boundary stabilization for stretched string equations, Differential and Integral
equation, Vol. 6, No.4, (1993), 925- 935.
[39] Y. Yamada, Some nonlinear degenerate wave equations, Nonlinear Anal. 11 (1987), 1155-
1168.
DANH MUÏC CAÙC COÂNG TRÌNH CUÛA TAÙC GIAÛ
COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN
[d1] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On the nonlinear wave equation
),,,,,( ) (
22
xtxxxxtt uuuutxfuuBu associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear
Anal., Ser. A: Theory Methods, 55. (2003), 493 – 519.
[d2] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On the nonlinear wave equation
),,,,,( ) ,(
22
xtxxxxtt uuuutxfuutBu associated with the mixed nonhomoge-
-neous conditions, J. Math. Anal. Appl. 292. (2004), 433 – 458.
[d3] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, A nonlinear wave equation with a nonlinear integral
equation involving the boundary value, Electron J. Diff. Eqns. Vol. 2004(2004), No.133, pp.1-21.
[d4] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, Veà phöông trình soùng phi tuyeán chöùa toaùn töû Kirchhoff
– Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát, Taïp chí Khoa hoïc – Khoa hoïc Töï
nhieân, Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh, taäp 32, No.1 (2003), 53-60.
Th«ng tin vÒ luËn ¸n ®Ó ®a lªn m¹ng
§Ò tµi luËn ¸n: Sö dông ph¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn
Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch
M· sè: 1.01.01
Hä tªn nghiªn cøu sinh: Bïi TiÕn Dòng
Hä tªn Ngêi híng dÉn: 1. TS. NguyÔn Thµnh Long
2. PGS.TS. NguyÔn Héi NghÜa
C¬ së ®µo t¹o: Trêng §¹i häc S Ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh
Tãm t¾t nh÷ng kÕt luËn míi cña luËn ¸n:
Sö dông ph¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn ®· cho kÕt qu¶:
1. C¸c bµi to¸n thuéc lo¹i ph¬ng tr×nh sãng phi tuyÕn d¹ng Kirchhoff- Carrier:
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt (1)
,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux (2)
),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t (3)
trong ®ã 1010 , ,
~ ,~ , , gguufB lµ c¸c hµm ®îc cho. Trong (1), c¸c sè h¹ng phi tuyÕn ),(
2
xutB vµ
),,,,,(
2
xtx uuuutxf phô thuéc vµo tÝch ph©n
1
0
22
.),( dxtxuu xx
- §· chøng minh sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm ®Þa ph¬ng cña bµi to¸n (1) - (3) t¬ng øng víi
hai trêng hîp thuÇn nhÊt ( 0)()( 10 tgtg ) vµ kh«ng thuÇn nhÊt ( )(0)( 10 tgtg ).
- Kh¶o s¸t bµi to¸n nhiÔu:
) ,,,,,(ε) ,,,,,( )] ,(ε) ,([
2
1
22
1
2
xtxxtxxxxxtt uuuutxfuuuutxfuutButBu (4)
liªn kÕt víi (2), (3) vµ khai triÓn tiÖm cËn cña nghiÖm yÕu ),(ε txu ®Õn mét cÊp nµo ®ã phô thuéc vµo
tÝnh tr¬n cña c¸c hµm 11 , , , ffBB theo mét tham sè bÐ .
2. M« h×nh to¸n häc cña va ch¹m mét vËt r¾n vµ mét thanh ®µn håi tùa trªn mét nÒn cøng dÉn
®Õn bµi to¸n t×m mét cÆp hµm sè ),( Pu tho¶:
,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt (5)
,0),1( ),(),0( tutPtux (6)
),()0,( ),()0,( 10 xuxuxuxu t (7)
trong ®ã 10 , , uuf lµ c¸c hµm cho tríc tháa mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã. AÅn hµm ),( txu vµ gi¸ trÞ biªn
cha biÕt )(tP tháa mét ph¬ng tr×nh tÝch ph©n phi tuyÕn
t
dssustKtuHtgtP
0
,)),0(,()),0(()()( (8)
trong ®ã g, H vµ K lµ c¸c hµm cho tríc.
- §· chøng minh sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm toµn côc cña bµi to¸n, nghiÖm nµy æn ®Þnh ®èi víi
c¸c hµm g, H vµ K.
§¹i diÖn tËp thÓ híng dÉn Nghiªn cøu sinh
TS. NguyÔn Thµnh Long Bïi TiÕn Dòng
._.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LA5802.pdf