Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều

ác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie để tiến tới nắm vững lý thuyết đĩ và tự giải quyết bài tốn của mình. Chân thành cảm ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban Giám hiệu cùng đồng nghiệp trong tổ Tốn trường THPT Phan Bội Châu Phan Thiết; thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận đã động viên, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện luận lợi cho tác giả hồn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Trần Minh Hải DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhĩm các tự đẳng cấu trên khơng gian vectơ V Aut(G) : Nhĩm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G : Trường số phức C (V) : Khơng gian các hàm khả vi vơ hạn lần trên đa tạp V End(V) : Khơng gian các đồng cấu trên khơng gian vectơ V Exp : Ánh xạ mũ exp G* : Khơng gian đối ngẫu của đại số Lie G GL(n, ) : Nhĩm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực Lie(G) : Đại số Lie của nhĩm Lie G Mat(n, ) : Tập hợp các ma trận vuơng cấp n hệ số thực : Trường số thực TeG : Khơng gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp cĩ rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Tốn học và Vật lí học. Sự phân loại các lớp đẳng cấu đại số với số chiều thấp là nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của đại số Lie bằng phương pháp thay đổi hệ tọa độ, mặc dù phương pháp này khơng nhất thiết chỉ áp dụng cho đại số Lie. Các nhà tốn học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một thuật tốn hồn tồn mới để tính tốn các bất biến (tốn tử Casimir tổng quát) của các đại số Lie. Thuật tốn này sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhĩm phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật tốn được ứng dụng để tính tốn các bất biến của đại số Lie thực cĩ số chiều thấp. Thuận lợi chủ yếu của phương pháp này là các tính tốn chỉ thuần túy đại số. Khác với các phương pháp thơng thường, nĩ khơng dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay vào đĩ là việc giải hệ phương trình đại số. Sự khai thác hiệu quả của phương pháp mới này bắt buộc phải cĩ sự chọn lựa cơ sở của đại số Lie. Việc lựa chọn cơ sở như thế tự động mang lại những biểu thức đơn giản hơn. Điều thú vị là tất cả những bất biến độc lập của đại số Lie thực số chiều thấp đã được tìm ra cách đây vài thập niên. Đĩ là các tốn tử đa thức trong đại số Lie, ở đây được gọi là tốn tử Casimir, và khi những tốn tử này khơng phải là các đa thức thì được gọi là tốn tử Casimir tổng quát. Hiện nay việc xây dựng lý thuyết của tốn tử Casimir tổng quát trong các trường hợp chung là khơng thể thực hiện được. Tuy nhiên, cĩ một vài bài báo viết về các tính chất của các tốn tử như vậy. Việc áp dụng các nhĩm bất biến của các lớp đại số Lie khác nhau đã xuất hiện trong các vấn đề của Vật lý học. Đặc biệt, cơ sở hàm của các nhĩm bất biến đã được tính tốn trên tất cả các đại số Lie thực 3, 4, 5 chiều và đại số Lie thực lũy linh 6 chiều. Các vấn đề tương tự cũng đã được xét trong đại số Lie thực 6 chiều với 4 chiều nilradical. Các nhĩm con của nhĩm Poincare cùng với các bất biến của chúng cũng đã được tìm thấy. Tốn tử Casimir duy nhất của nhĩm afin đơn modular SA(4, ) đã được tìm ra cùng với nhĩm phủ đơi SA(4, ) như là một nhĩm đối xứng của hàm phổ của các hạt trong lý thuyết gravity-related khác nhau, và chúng đã được áp dụng để xây dựng lý thuyết biểu diễn bất khả quy unita của nhĩm SA(4, ) . Sự tồn tại các cơ sở bao gồm tồn bộ các tốn tử Casimir (các bất biến đa thức) là quan trọng cho lý thuyết các tốn tử Casimir tổng quát cùng với các ứng dụng của chúng. Nĩ đã được chỉ ra trong trường hợp đại số Lie lũy linh đầy đủ bởi Abellanas L. và Martinez Alonso L. Đại số Lie A là đầy đủ nếu [A, A] A . Các tính chất về tốn tử Casimir của một vài đại số Lie đầy đủ cũng đã được nghiên cứu gần đây. Các tốn tử Casimir của một số chuỗi của các nhĩm cổ điển khơng thuần nhất đã được xây dựng một cách rõ ràng. Phương pháp áp dụng dựa trên cấu trúc của một khơng gian phân thớ vectơ đặc biệt của các quỹ đạo sinh bởi biểu diễn đối phụ hợp của tích nửa trực tiếp. Năm 1962, Kirillov phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nĩ nhanh chĩng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi nhĩm Lie liên thơng, đơn liên, giải được từ K–quỹ đạo nguyên của nĩ. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie bởi nhiều nhà tốn học trên thế giới như L. Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,…. Đĩng vai trị then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K–quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp. Do đĩ, việc nghiên cứu K–biểu diễn của mỗi nhĩm Lie, nhất là các nhĩm Lie liên thơng giải được, cĩ ý nghĩa đặc biệt trong lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie. Các nhĩm Lie và đại số Lie giải được cĩ cấu trúc khơng quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhĩm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K–quỹ đạo. Đĩ là lớp các MD–nhĩm và MD–đại số. Một nhĩm Lie thực giải được mà các K–quỹ đạo của nĩ hoặc khơng chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD–nhĩm. Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhĩm thì nhĩm cịn được gọi là MD – nhĩm. Đại số Lie của một MD–nhĩm (tương ứng, MD –nhĩm) được gọi là MD– đại số (tương ứng, MD –đại số). Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD –đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hốn n–chiều n (n 1) , đại số Lie 2–chiều aff và đại số Lie 4–chiều aff . Việc phân loại lớp các MD–đại số đến nay vẫn cịn là một bài tốn mở. Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD–nhĩm và MD–đại số theo số chiều. Tức là xét các lớp con MDn–nhĩm (và MDn–đại số) gồm các MD–nhĩm (và MD– đại số) n–chiều. Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 –chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn–nhĩm và MDn–đại số với n 4 . Năm 1984, Đào Văn Trà đã liệt kê tồn bộ lớp các MD4–đại số. Đến năm 1990, lớp các MD4–đại số được Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie). Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hốn đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Hiện tại vẫn chưa cĩ ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD–đại số. Bởi vậy chúng tơi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD– đại số. Cụ thể, chúng tơi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD– đại số Lie. Đồng thời trên cơ sở thuật tốn của các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tơi sẽ cố gắng tính các bất biến của vài MD5–đại số. Bởi vậy, đề tài của chúng tơi mang tên: “Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều” 2. Mục đích Dùng thuật tốn do các nhà tốn học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hốn và các bất biến của chúng. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD5– đại số với ideal dẫn xuất giao hốn. Và chúng ta cũng cĩ thể áp dụng thuật tốn ở trên để tính tốn các bất biến của các MD5–đại số cịn lại, cho lớp MD6–đại số và một vài MDn (5 < n) đặc biệt. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài tốn nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhĩm Lie và lớp các MD–nhĩm, MD–đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài tốn đang xét. Chương 2: Giới thiệu một thuật tốn được các nhà tốn học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính tốn các bất biến của các đại số Lie. Chương 3: Áp dụng thuật tốn trên để tính các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu. Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính tốn thuần túy đại số với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng khơng chứng minh vì phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thơng dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, chúng tơi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi]. Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHĨM LIE Chương này chủ yếu đưa những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đĩ giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD– nhĩm và lớp các MD–đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhĩm Lie. Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng khơng chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]. 1.1. Đại số Lie 1.1.1. Định nghĩa đại số Cho |K là trường và A là một khơng gian vectơ trên trường |K. Ta bảo A là một đại số trên |K hay là |K–đại số nếu trên A đã cho một phép nhân  A A A (x, y)  xy (Tích của x và y) sao cho các tiên đề sau thỏa mãn  (M1) Phép nhân là một tốn tử song tuyến tính. Tức là x, y, z , ,     A IK ta cĩ: ( ) ( ) ( )x y z xz yz      ; ( ) ( ) ( )x y z xy xz      .  (M2) Phép nhân kết hợp. Tức là (xy)z = x(yz), x, y, z A. Nhận xét (i) Đơi khi (M2) khơng được địi hỏi thì A gọi là đại số khơng kết hợp. Nếu (M2) thỏa mãn thì A gọi là đại số kết hợp (gọi tắt là đại số). (ii) Mỗi |K–đại số đều là một vành. Ví dụ: Đại số các ma trận vuơng cấp n trên |K. Ký hiệu Mat(n, |K). * kgconB A (|K–đại số)  Ta bảo B là đại số con nếu B đĩng kín đối với phép nhân.  Ta bảo B là Ideal nếu baB, abB, aA, bB. Ký hiệu BA. Ta được đại số thương  a a a   A B AB , 1 2 1 2.a a a a B . 1.1.2. Định nghĩa đại số Lie Cho |K là trường và G là khơng gian vectơ trên |K. Ta bảo G là một đại số Lie trên |K hay |K–đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là mĩc Lie [., .] :  G G G (x, y)  [x, y] (Tích Lie hay mĩc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn  (L1) Mĩc Lie là tốn tử song tuyến tính. Tức là [ , ] [ , ] [ , ]x y z x z y z      [ , ] [ , ] [ , ]x y z x y x z      ,x y, z , ,     IK.G  (L2) Mĩc Lie phản xứng. Tức là [x, x] = 0, x G .  (L3) Mĩc Lie thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Tức là      [ , ], [ , ], [ , ], 0,x y z y z x z x y x, y, z    G . Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của khơng gian vectơ G. Tâm Z(G) của đại số Lie G là một khơng gian con của G chứa các phần tử xG sao cho [x, y] = 0, với mọi yG. Tức là Z(G) = {xG / [x, y] = 0, y G}. Nhận xét (i) Nếu |K là trường cĩ đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với /2(L ) : [ , ] [ , ]x y y x  , x, y G . (ii) Mỗi đại số Lie đều là một đại số (khơng kết hợp) nhưng ngược lại, mỗi đại số nĩi chung khơng chắc là đại số Lie. (iii) Nếu [., .] = 0 tức là [x, y] = 0, x, y G thì ta bảo mĩc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hốn. Như vậy, mỗi khơng gian vectơ luơn cĩ thể xem là đại số Lie giao hốn. Cho G là một khơng gian hữu hạn chiều trên trường |K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G cĩ thể được cho bởi mĩc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e1, e2, …, en} đã chọn trước trên G như sau: n k i j ij k 1 [e , e ] c , 1 i j n      . Các hệ số kijc , 1 i j n    , được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G. Khi trường |K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu khơng sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. 1.1.3. Ví dụ Ví dụ 1:  n , [., .] 0 đại số Lie thực giao hốn n–chiều. Ví dụ 2: Khơng gian 3 với tích cĩ hướng thơng thường là một đại số Lie thực 3–chiều. Ví dụ 3: Xét A là một |K–đại số (khơng nhất thiết kết hợp). Ta định nghĩa mĩc Lie trên A như sau: [., .] : ( , ) [ , ]    x y x y A A A với [ , ]x y xy yx  (hốn tử x và y). Khi đĩ (A, [., .]) trở thành một |K–đại số Lie. Nhận xét (i) Mọi đại số đều trở thành đại số Lie với mĩc Lie định nghĩa nhờ hốn tử. (ii) Hốn tử đồng nhất bằng khơng khi và chỉ khi A giao hốn. Ví dụ 4: Đại số các tốn tử tuyến tính End(V) trên |K–khơng gian vectơ là đại số Lie với mĩc Lie [f, g] = fog – gof. Ví dụ 5: Cho A là một |K–đại số (khơng nhất thiết kết hợp). Tốn tử tuyến tính f: A  A được gọi là tốn tử vi phân trên A nếu: f(xy) = f(x).y + x.f(y) (Leibniz) (f cịn gọi là phép lấy đạo hàm trên A). Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các tốn tử vi phân trên A. Khi đĩ Der(A) trở thành một đại số kết hợp trên |K. Der(A) sẽ trở thành một đại số Lie trên |K với mĩc Lie được định nghĩa là: [f1, f2] = f1of2 – f2of1. 1.1.4. Đại số Lie con và Ideal Cho G là một |K–đại số Lie, h là tập con của G. * h gọi là đại số Lie con của G nếu h ổn định đối với mĩc Lie. Tức là [ , ] ; ,x y x y    h h h . * h gọi là ideal của G nếu [ , ]h G h , trong đĩ  [ , ] [x, y] x , y .   h G h G Tức là [x, ] y h; x h, y G. Kí hiệu: hG. Nhận xét: (hG)  (h con đsốG). 1.1.5. Đại số Lie thương Cho G là một |K–đại số Lie, h là một ideal của G. Đặt G h là |K–khơng gian vectơ thương. Trên G h ta định nghĩa mĩc Lie như sau:  G G Gh h h (g1 + h, g2 + h) [g1 + h, g2 + h] := [g1, g2] + h. Kiểm tra được định nghĩa trên là hợp lý và thỏa mãn (L1), (L2) và (L3). Ta nhận được đại số Lie G h mà gọi là đại số Lie thương của G theo ideal h. 1.1.6. Đồng cấu đại số Lie Cho G1 và G2 là hai |K–đại số Lie và  : G1 G2 là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu: (i)  là ánh xạ |K–tuyến tính. (ii)  bảo tồn mĩc Lie. Tức là  ([x, y]) = [ (x),  (y)], x, y G1. Nếu  cịn là một song ánh thì  gọi là đẳng cấu đại số Lie. *Tính chất Nếu  là một đồng cấu đại số Lie thì: (i) ker  G1; (ii) Im con đsố G2; (iii) 1 Imker  G . Nhận xét (i) Ta nhận được phạm trù các |K–đại số Lie, trong đĩ: Ob: các |K–đại số Lie. Mor(G1, G2) = { : G1  G2 /  là đồng cấu đại số Lie}. (ii) Phạm trù các |K–khơng gian vectơ là phạm trù con của phạm trù các |K–đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie  : G1 G2 cịn được gọi là biểu diễn của G1 trong G2. Nĩi riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các tốn tử tuyến tính trên khơng gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie  : G1  End(V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G1 trong khơng gian vectơ V. Để đơn giản thì đơi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”. Khi  là một đơn cấu thì  được gọi là biểu diễn khớp. Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều cĩ ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều. Định lý quan trọng này nĩi lên rằng, cĩ thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. 1.1.7. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Với mỗi x  G, kí hiệu adx là tốn tử trong G được xác định bởi: adx(y) = [x, y]; y G. Khi đĩ adx là một ánh xạ tuyến tính từ G vào G và ta thu được biểu diễn tuyến tính của G trong chính G như sau: ad: G  End(G) x  adx Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn này là Ker(ad) = {xG / adx 0} chính là tâm của G. Ví dụ: Xét đại số Lie G = 3 với mĩc Lie là tích cĩ hướng thơng thường. Khi đĩ biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận sau: 0 c b c 0 a b a 0 ad        Dễ thấy rằng, tâm G là tầm thường, do đĩ biểu diễn ad ở đây là khớp. Nĩi cách khác, đại số Lie G = 3 với mĩc Lie là tích cĩ hướng thơng thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. 1.1.8. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một |K–đại số Lie. Với n  và n  2, đặt: G1 = [G, G], G2 = [G1, G1], …, Gn = [Gn–1, Gn–1]; G1 = [G, G] = G1, G2 = [G1, G], …, Gn = [ Gn–1, G]. Mệnh đề 1.2 (i) Gk, Gk là các ideal của G, k * . (ii) 2 3 n 2 3 n 1 1 ... ... || ... ...             G G G G G G GG . (iii) Nếu dim G <  thì *n  sao cho: Gn = Gn+1 = … k.h G ; Gn = Gn+1 = … k.h G . Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G = {0}, G được gọi là lũy linh nếu G = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G. Ví dụ: a. T(n, |K) = {A = (aij)Mat(n, |K) / aij = 0, 1 j i n   } (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. b. T0(n, |K) = {A = (aij)Mat(n, |K) / aij = 0, 1 j i n   } (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. Nhận xét: G lũy linh  G giải được. Định lý 1.3 (Định lý Lie) Cho  là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong khơng gian vectơ V trên trường đĩng đại số |K. Khi đĩ  tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là  (x) = T(n, |K),  x G. Hệ quả 1.4 Nếu G là đại số Lie giải được thì G1 = [G, G] là đại số Lie lũy linh. Định lý 1.5 (Định lý Engel) Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi xG, adx là tốn tử lũy linh, tức là tồn tại *n sao cho (adx)n = 0. Đại số Lie giải được mặc dù cĩ cấu trúc khơng quá phức tạp nhưng cho đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài tốn mở. 1.2. Nhĩm Lie 1.2.1. Nhắc lại một vài khái niệm về đa tạp vi phân ● Khái niệm đa tạp khả vi Giả sử M là khơng gian tơpơ Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được gọi là đa tạp tơpơ m–chiều nếu nĩ đồng phơi địa phương với khơng gian m–chiều m , nghĩa là với mỗi điểm xM, cĩ lân cận mở U của x và : U V   là đồng phơi từ U lên một tập mở mV  . Giả sử M là đa tạp tơpơ m–chiều, khi đĩ cặp (U, ) xác định ở trên được gọi là một bản đồ địa phương trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Họ   i iU , i I  C nào đĩ các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi lớp Ck (k 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Họ  iU là một phủ mở của M. (ii) Với hai bản đồ  i iU ,  và  j jU ,  mà i jU U  , thì ánh xạ 1oj i  xác định trên  i i jU U  là ánh xạ khả vi lớp Ck từ  i i jU U  lên  j i jU U  . (xem hình 1.1) Hình 1.1 Hai tập bản đồ   1 i iU , i I  C ,   2 j jV , J  jC khả vi lớp Ck được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp Ck. Khi đĩ quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp Ck. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp Ck trên M. Đa tạp tơpơ m–chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp Ck cho trên nĩ được gọi là một đa tạp khả vi m–chiều lớp Ck. Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên M. Khi k   , nghĩa là khi địi hỏi các ánh xạ chuyển 1oj i  trong điều kiện (ii) ở trên thuộc lớp C , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đĩ M được gọi là đa tạp nhẵn. M Ui Uj i j 1oj i  ● Ánh xạ khả vi Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục f : M N  được gọi là khả vi tại điểm pM nếu với mọi bản đồ địa phương (U, )  quanh p và (V, )  quanh f(p) = q sao cho f(U)V, thì ánh xạ 1o of  là khả vi tại điểm m(p)  . (xem hình 1.2) Hình 1.2 Ánh xạ f được gọi là khả vi nếu nĩ khả vi tại mọi điểm pM. Đặt: F(M) = {f: M / f khả vi}. F(x0) = {f: “lân cận của x0” / f khả vi, x0M}. Trong các phần tiếp theo ta luơn giả sử M là đa tạp khả vi m chiều. ● Vectơ tiếp xúc Một vectơ tiếp xúc X của M tại x0 là một tốn tử vi phân X: F(x0)  f  Xf (đạo hàm của f theo X tại x0) sao cho .q . (p) 1 o of  M N U f p V   m(U)  n(V)  X(f  g) = Xf  Xg X( f) =  (Xf) X(fg) = (Xf)g(x0) + f(x0)(Xg) Xét đường cong khả vi trên M xuất phát từ x0 c: ( , )   M t  c(t) sao cho c(0) = x0. Lúc đĩ ta cĩ thể định nghĩa Xf := o t 0 d (f c(t)) dt  , f F(x0). X như thế gọi là vectơ tiếp xúc của c tại x0 = c(0). Vectơ tiếp xúc của M tại x0 là vectơ tiếp xúc của một đường cong khả vi c nào đĩ tại x0 = c(0). ● Khơng gian tiếp xúc Đặt 0xT (M) := {X / X là vectơ tiếp xúc của M tại x0} gọi là khơng gian tiếp xúc của M tại x0. Khi đĩ 0xT (M) sẽ là khơng gian vectơ trên M với các phép tốn sau: ▪ (X + Y)f = Xf + Yf; ▪ ( X)f (Xf )  ; 0x 0, X, Y T (M), f (x ).       F Khơng gian tiếp xúc 0xT (M) là khơng gian vectơ m–chiều với cơ sở là 0 0 0 1 2 x x x m, , ...,x x x           . ● Trường vectơ Gọi 0 0 x x M T(M) T (M)    . Trường vectơ trên M là một ánh xạ X: M  T(M) x0  0 0x xX T (M) Đặt (M) = {X / X là trường vectơ trên M} cùng với các phép tốn (X + Y)x = Xx + Yx; x x( X) (X )  ; [X, Y]x = XxoYx – YxoXx . Khi đĩ X(M) = {X (M) / X khả vi} là đại số Lie (vơ hạn chiều) với mĩc Lie là hốn tử. ● Nhĩm một tham số tồn cục trên M   con (t) t Diff (M) nhóm   , trong đĩ Diff(M) là nhĩm các vi phơi trên M. Tức là (t) Diff (M), t    . Với mọi t, s ta cĩ: o(t s) (t) (s)    ; (0) Id  . ` ● Nhĩm địa phương một tham số   con (t) t Diff (M) nhóm      . Tức là (t) Diff (M), t ( , )      . t, s ( , )     sao cho t s ( , )    ta cĩ: o(t s) (t) (s)    ; M(0) Id  . Cho nhĩm 1–tham số (t) (tồn cục hay địa phương; hay viết t , bỏ qua tập xác định) đều xác định duy nhất trường vectơ XX(M). Ngược lại, XX(M), tồn tại duy nhất nhĩm địa phương một tham số t sao cho X trở thành trường vectơ sinh bởi t . ● Ánh xạ tiếp xúc Cho : M N   là ánh xạ khả vi. Xét ánh xạ x x (x)T : T M T N   X   xT (X) xác định bởi    oxT (X) f : X f    ;  f (x) F . Khi đĩ xT  là ánh xạ tuyến tính và ta xác định được ánh xạ: * : TM TN X * X     với    * oX f : X f  ;  f N F . *  gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi  . 1.2.2. Định nghĩa nhĩm Lie Tập hợp G được gọi là một nhĩm Lie nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) G là một nhĩm; (ii) G là đa tạp khả vi; (iii) Phép tốn nhĩm 1G G G, (x, y) xy    khả vi. Tùy vào cấu trúc đa tạp khả vi là thực hay phức mà nhĩm Lie cũng được gọi là nhĩm Lie thực hay phức. Ta khơng cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason–Montgomery–Zippin, trên mọi nhĩm Lie lớp C0 (tức là đa tạp tơpơ) cĩ thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhĩm. Nhĩm Lie được gọi là giao hốn nếu phép tốn nhĩm giao hốn. Chiều của nhĩm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G. Vì nhĩm Lie vừa cĩ cấu trúc nhĩm, vừa là đa tạp khả vi nên ta cĩ thể đưa nhiều cơng cụ của đại số, giải tích, tơpơ, hình học vi phân,… để nghiên cứu cấu trúc nhĩm Lie. 1.2.3. Các ví dụ a. Đường thẳng thực với phép tốn (+) thơng thường là một đại số Lie giao hốn b. Đường trịn đơn vị S1 với phép tốn (.) (cĩ thể xem S1 là tập hợp các số phức cĩ mođun bằng 1) là một nhĩm Lie giao hốn. c. Tập hợp GL(n, ) các ma trận vuơng cấp n khơng suy biến với phép tốn nhân ma trận cũng là một nhĩm Lie (khơng giao hốn khi n 2 ). Đặc biệt, khi n = 1 thì *GL(1, )  . d. Nếu G1, G2 là các nhĩm Lie thì tích G1G2 cũng là một nhĩm Lie. Tương tự cho tích của nhiều nhĩm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là các nhĩm Lie với phép cộng n ...    , xuyến n–chiều n 1 1 1T S S ... S    . e. Nhĩm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực với tơpơ tự nhiên chính là một nhĩm Lie. Nhĩm này được kí hiệu là aff . Cụ thể nhĩm  *aff (a, b) a , b    . 1.2.4. Trường vectơ bất biến trái Xét nhĩm Lie G. Với mỗi gG, đặt gL : G G , x gx là phép tịnh tiến trái theo g; gR : G G  , x xg là phép tịnh tiến phải theo g. Khi đĩ Lg và Rg là các vi phơi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ g*L : T(G) T(G)  , g*R : G) T(G)T(  trên khơng gian tiếp xúc T(G) của G. Trường vectơ khả vi X trên G được gọi là bất biến trái nếu g*L (X) X , g G  . Điều này đồng nghĩa với biểu thức g* x gxL (X) X , x G  . Tương tự, trường vectơ khả vi X trên G được gọi là bất biến phải nếu g*R (X) X , g G  , tức là g* x xgR (X) X , x G  . 1.3. Sự liên hệ giữa nhĩm Lie và đại số Lie 1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhĩm Lie đã cho Cho G là nhĩm Lie. Gọi G = {XX(G) / X là trường vectơ bất biến trái trên G}. Khi đĩ G là một đại số Lie con của X(G). (X + Y)g = Xg + Yg, g G  ; g g( X) X  , , g G    ; [X, Y](f) = X(Yf) – Y(Xf), f (G), X, Y G.    F G được gọi là đại số Lie của nhĩm Lie G. Đơi khi kí hiệu Lie(G). ●Tính chất đặc trưng: G TeG, trong đĩ TeG là khơng gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e. Nĩi riêng nếu dimG = n thì dimG = n. Ví dụ: a. Đại số Lie của nhĩm Lie G = ( , +) là G = Lie(G) = . b. Đại số Lie của nhĩm Lie G = GL(n, ) là G = Lie(G) = Mat(n, ). 1.3.2. Nhĩm Lie liên thơng đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách xây dựng như trên thì ta thấy mỗi nhĩm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta cĩ định lý sau: Định lý 1.6 (i) Cho G là đại số Lie thực bất kỳ. Khi đĩ luơn tồn tại duy nhất nhĩm Lie liên thơng đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G. (ii) Nếu G là một nhĩm Lie liên thơng nhận G làm đại số Lie thì tồn tại nhĩm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho GG = D . Nhĩm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G của nĩ là giải được (tương ứng, lũy linh). 1.3.3. Ánh xạ mũ (exponent) Cho G là nhĩm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G. Khi đĩ với mỗi XG sẽ sinh ra nhĩm con 1–tham số (tồn cục) các phép biến đổi của G ký hiệu là  tx(t)  . Tức là tồn tại duy nhất x(t)G, t  sao cho: (i) x(0) = eG; (ii) x(t + s) = x(t).x(s), t, s  ; (iii) ex '(0) X ; (iv) x(t)x '(t) X , t  . Ánh xạ exp: G G X  exp(X) = x(1) gọi là ánh xạ mũ. Nhận xét: exp(tX) = x(t), t  . Định lý 1.7 (về tính chất của ánh xạ exp) (i) Ánh xạ exp là vi phơi địa phương. (ii) Ánh xạ exp cĩ tính tự nhiên. Tức là với mọi đồng cấu nhĩm Lie : 1 2G G ta cĩ hình vuơng sau giao hốn: Nếu exp vi phơi (tồn cục) thì G gọi là nhĩm exponential. Hệ quả 1.8 Cĩ một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các đại số Lie và các nhĩm liên thơng đơn liên. G1 G2 Lie(G1)=G1 Lie(G2)=G2 exp exp  *  * o o exp exp 1.4. Biểu diễn phụ hợp và K–biểu diễn lớp MD–nhĩm và MD–đại số 1.4.1. K–biểu diễn của một nhĩm Lie G là một nhĩm Lie tùy ý và G là đại số Lie của nĩ. Giả sử G tác động lên G bởi Ad: G GL(G) được định nghĩa như sau: Ad(g) =  1 * . g gL R : G  G,  g G . Trong đĩ gL (tương ứng 1gR ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo phần tử g G (tương ứng, 1 g G ). Tác động Ad cịn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G. Ký hiệu G* là khơng gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đĩ biểu diễn Ad cảm sinh ra tác động K=Ad*: G  GL(G*) của G lên G* theo cách sau đây: 1 ,*K(g)f,X = f,Ad(g )X , X , f g G.         G G Ở đây ta ký hiệu ,f,X , f X   *G G là chỉ giá trị của dạng tuyến tính f  *G tại trường vectơ (bất biến trái) X G . Tác động K được gọi là K–biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K–biểu diễn được gọi là K–quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G*). Mỗi K–quỹ đạo của G luơn là một G–đa tạp vi phân thuần nhất với số chiều chẵn và trên đĩ cĩ thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G. Ký hiệu O(G) là tập hợp các K–quỹ đạo của G và trang bị trên đĩ tơpơ thương của tơpơ tự nhiên trong G*. Nĩi chung thì tơpơ thu được khá “xấu”, nĩ cĩ thể khơng tách, thậm chí khơng nửa tách. 1.4.2. Các MD–nhĩm và MD–đại số Giả sử G là một nhĩm Lie thực giải được. G là đại số Lie của G và G* là khơng gian đối ngẫu của G. Nhĩm G được gọi là cĩ tính chất MD hay là MD–nhĩm nếu các K–quỹ đạo của nĩ hoặc là khơng chiều hoặc cĩ số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhĩm thì nhĩm G được gọi là cĩ tính chất MD hay cịn gọi là MD –nhĩm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD–nhĩm (tương ứng, MD–nhĩm) được gọi là MD–đại số (tương ứng, MD –đại số). Thuật ngữ MD–nhĩm, MD–đại số, MD–nhĩm, MD–đại số được dùng đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đĩ lớp các MD–đại số và MD– đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD–đại số: các MD–đại số khơng giao hốn là và chỉ là các đại số Lie của các nhĩm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức. Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD–đại số. Mệnh đề 1.9 Giả sử G là một MD–đại số. Khi đĩ G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số con giao hốn trong G. Như đã nĩi ở phần mở đầu, tồn bộ lớp các MD4._.