Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Buøi Thò Haïnh BÖÔÙC CHUYEÅN TÖØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC SANG LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG Chuyeân ngaønh : Lyù luaän vaø phöông phaùp daïy hoïc moân Toùan Maõ soá : 60 14 10 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ GIAÙO DUÏC HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC TS. LE VAÊN PHUÙC Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2007 MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt Caùch ñaây raát laâu, con ngöôøi ñaõ bieát söû duïng kieán thöùc löôïng giaùc trong thöïc teá cuoäc soáng, chaúng haïn nhö ño goùc quay cuûa kim ñoàng hoà, ño khoaûng caùch giöõa caùc ngoâi sao gaàn, hoaëc ñeå ño khoaûng caùch giöõa caùc con taøu treân ñaïi döông… Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc löôïng giaùc ñaõ coù töø khi naøo? Vaø kieán thöùc aáy xuaát hieän trong tình huoáng naøo? Khi aáy con ngöôøi ñaõ duøng löôïng giaùc ñeå giaûi quyeát thöù töï caùc daïng toaùn naøo? Ngaøy nay, trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc ñöa vaøo giaûng daïy chuû yeáu ôû 3 khoái lôùp (lôùp 9, lôùp 10, lôùp 11). Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy hieän nay ôû baäc phoå thoâng coù ñi theo trình töï gioáng nhö kieán thöùc löôïng giaùc trong quaù khöù ñaõ ñi qua hay khoâng? Ñoàng thôøi giöõa töøng caëp khoái lôùp (Lôùp 9 sang lôùp 10); lôùp 10 sang lôùp 11 thì kieán thöùc löôïng giaùc coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa khoâng? Löôïng giaùc laø moät noäi dung hoïc phong phuù. Trong chöông trình moân Toaùn, löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy ôû caû 3 khoái lôùp cuûa caáp THPT, vaø caû ôû lôùp 9 cuûa caáp THCS, vôùi noäi dung cuï theå nhö sau:  ÔÛ lôùp 9: Löôïng giaùc coù maët ôû phaàn: Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng qua baøi tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn.  ÔÛ lôùp 10: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp trong 2 phaàn. - Chöông II (Saùch Hình hoïc 10): Tích voâ höôùng cuûa 2 vectô vaø öùng duïng. - Chöông VI (Saùch Ñaïi soá 10): Goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc.  ÔÛ lôùp 11: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp ñeán trong phaàn Haøm soá löôïng giaùc vaø phöông trình löôïng giaùc.  ÔÛ lôùp 12: Löôïng giaùc coù ôû phaàn öùng duïng cuûa ñaïo haøm, nguyeân haøm, tích phaân… Trong khuoân khoå cuûa luaän vaên naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán böôùc chuyeån töø löôïng giaùc Lôùp 9 sang löôïng giaùc ôû Lôùp 10 ñeå tìm caùc yeáu toá giaùn ñoaïn hoaëc söï keá thöøa cuûa caùc kieán thöùc aáy. ÔÛ Lôùp 9, löôïng giaùc luoân gaén lieàn vôùi tam giaùc vuoâng, ñi lieàn vôùi noù laø caùc tæ soá giöõa caïnh ñoái vôùi caïnh huyeàn, caïnh keà vôùi caïnh huyeàn … cuûa 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 9 coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc. ÔÛ ñaây hoïc sinh ñaõ “giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng” khi bieát ít nhaát 2 yeáu toá cuûa noù trong ñoù phaûi coù ít nhaát 1 yeáu toá ñoä daøi, ñoàng thôøi soá ño cuûa 1 goùc nhoïn naèm trong phaïm vi töø 0o ñeán 90o. ÔÛ Lôùp 10, löôïng giaùc coù maët trong 2 cuoán SGK Hình hoïc 10 vaø Ñaïi soá 10. Trong cuoán Hình hoïc 10 thì löôïng giaùc coù maët trong chöông tích voâ höôùng 2 veùctô vaø öùng duïng, ñi lieàn sau ñoù laø giaûi tam giaùc thöôøng. Vaø töø ñaây soá ño cuûa goùc ñaõ ñöôïc môû roäng ra töø 0o ñeán 180o. Trong cuoán Ñaïi soá 10 thì löôïng giaùc coù maët ôû phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc, maø goùc löôïng giaùc laïi coù soá ño laø 1 soá thöïc baát kyø. Do coù söï töông öùng giöõa soá thöïc  vaø ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc neân vôùi moïi soá thöïc  cho tröôùc seõ tìm ñöôïc duy nhaát 1 ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc sao cho soá ño AM = . Töø ñoù, ñieåm M coù theå naèm ôû baát kyø 1 vò trí naøo treân ñöôøng troøn löôïng giaùc maø chæ phuï thuoäc vaøo soá thöïc  cho tröôùc. Bôûi vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 10 coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Töø nhöõng vaán ñeà vöøa trình baøy ôû treân, chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi “böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng”. Söï löïa choïn naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau: - Taïi sao löôïng giaùc trong tam giaùc laïi ñöôïc giaûng daïy tröôùc löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? - Löôïng giaùc trong tam giaùc ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc. - Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Qua ñoù cho thaáy coù moái quan heä naøo giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Vieäc nghieân cöùu veà böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng laø thöïc söï caàn thieát; vì noù cho pheùp hieåu roõ hôn nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc cuûa quaù trình truyeàn thuï tri thöùc gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. 2. Muïc ñích nghieân cöùu Qua nhöõng ghi nhaän ban ñaàu ñöôïc trình baøy ôû treân, daãn chuùng toâi ñeán caùc caâu hoûi döôùi ñaây, maø vieäc tìm kieám caâu traû lôøi laø muïc ñích cuûa luaän vaên naøy. Trong quaù khöù kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh trong tình huoáng naøo? Caùc kieán thöùc löôïng giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo? Trong 1 soá giaùo trình ñöôïc giaûng daïy ôû tröôøng Sö phaïm, caùc TCTH naøo ñöôïc xaây döïng xung quanh löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Ñaâu laø caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû phoå thoâng? Coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong quaù trình laøm vieäc vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? 3. Phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu Ñeå traû lôøi cho caùc caâu hoûi treân, nghieân cöùu cuûa chuùng toâi, döïa vaøo khung lyù thuyeát tham chieáu laø didactic Toaùn cuï theå laø moät soá khaùi nieäm cuûa lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc (moái quan heä theå cheá, moái quan heä caù nhaân, toå chöùc toaùn hoïc – praxeùologie), toå chöùc didactic vaø khaùi nieäm hôïp ñoàng didactic. Söï choïn löïa naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau: Khaùi nieäm hôïp ñoàng didactic cho pheùp ta “giaûi maõ” caùc öùng xöû cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh, tìm ra yù nghóa cuûa nhöõng hoaït ñoäng maø hoï tieán haønh, töø ñoù coù theå giaûi thích moät caùch roõ raøng vaø chính xaùc nhöõng söï kieän quan saùt ñöôïc trong lôùp hoïc. Vieäc nghieân cöùu caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic laø caàn thieát, vì ñeå chuaån bò cho töông lai, giaùo vieân phaûi xem xeùt ñeán quaù khöù maø hôïp ñoàng hieän haønh laø daïng theå hieän thöïc teá cuûa noù. Phaù vôõ hôïp ñoàng laø nguyeân taéc chuû ñaïo ñeå coù söï tieán trieån mong ñôïi. Vieäc döïa vaøo lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc cho chuùng toâi laøm roõ nhöõng moái quan heä theå cheá vôùi tri thöùc vaø giöõa tri thöùc vôùi caù nhaân naøo ñoù. Qua ñoù cho chuùng toâi bieát tri thöùc xuaát hieän ôû ñaâu, coù vai troø gì trong theå cheá vaø vieäc hoïc taäp cuûa caù nhaân veà tri thöùc bò aûnh höôûng bôûi nhöõng raøng buoäc naøo trong moái quan heä vôùi theå cheá. Vieäc moâ hình hoaù caùc hoaït ñoäng toaùn hoïc theo caùch tieáp caän cuûa toå chöùc toaùn hoïc (trong lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc) seõ giaûi thích ñöôïc thöïc teá cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc theo nhöõng quan ñieåm khaùc nhau vaø baèng nhöõng caùch khaùc nhau thaønh 1 heä thoáng caùc nhieäm vuï xaùc ñònh. Ñaùnh giaù töøng thaønh phaàn cuûa toå chöùc toaùn hoïc cho bieát chuùng coù ñöôïc neâu leân moät caùch roõ raøng hay khoâng? Coù deã hieåu khoâng? Phaïm vò hôïp thöùc nhö theá naøo? Coù ñaùp öùng nhu caàu hieän taïi vaø trong töông lai? Nghieân cöùu caùc toå chöùc toaùn hoïc laø coâng cuï tieáp caän moái quan heä theå cheá vaø laø coâng cuï phaân tích thöïc teá daïy hoïc. Vieäc chæ roõ caùc moái quan heä vôùi tri thöùc cuõng giuùp ta xaùc ñònh moät soá quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic. Ñaëc bieät ta coù theå nhaän ra moät soá yeáu toá cuûa hôïp ñoàng didactic ñaëc thuø cho tri thöùc baèng caùch nghieân cöùu nhöõng tieâu chí hôïp thöùc hoaù vieäc söû duïng tri thöùc, bôûi vì vieäc söû duïng ñoù khoâng chæ ñöôïc quy ñònh bôûi caùc vaên baûn hay bôûi ñònh nghóa cuûa tri thöùc maø coøn phuï thuoäc vaøo tình huoáng vaän duïng tri thöùc, vaøo nhöõng öôùc ñònh ñöôïc hình thaønh trong quaù trình giaûng daïy. 4. Trình baøy laïi caâu hoûi nghieân cöùu Vôùi khung lyù thuyeát tham chieáu, chuùng toâi trình baøy laïi döôùi ñaây nhöõng caâu hoûi maø vieäc tìm hieåu caâu traû lôøi chính laø muïc ñích nghieân cöùu cuûa luaän vaên. Q1: Trong quaù khöù, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh gaén lieàn vôùi tình huoáng naøo? Kieán thöùc löôïng giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo? Q2: Trong moät soá giaùo trình ôû Ñaïi hoïc; caùc TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc giaûng daïy ôû baäc phoå thoâng. Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? 5. Phöông phaùp nghieân cöùu Ñeå ñaït ñöôïc muïc ñích treân, chuùng toâi seõ tieán haønh caùc nghieân cöùu sau:  Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc qua caùc thôøi kyø.  Phaân tích moät soá giaùo trình ñöôïc duøng trong ñaøo taïo giaùo vieân ôû tröôøng sö phaïm ñeå laøm roõ chieán löôïc ñaøo taïo noùi chung, cuõng nhö moái quan heä cuûa theå cheá naøy vôùi ñoái töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.  Phaân tích ñoàng thôøi chöông trình vaø SGK Toaùn caùc lôùp 9 vaø 10 ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn vaø ñöa ra caùc giaû thuyeát nghieân cöùu.  Xaây döïng caùc tình huoáng thöïc nghieäm döïa treân caùc giaû thuyeát nghieân cöùu 6. Caáu truùc cuûa luaän vaên Luaän vaên naøy goàm:  Môû ñaàu  Chöông 1: Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc qua caùc thôøi kyø. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.  Chöông 2: Moái quan heä theå cheá vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong chöông trình Toaùn ôû baäc phoå thoâng.  Chöông 3: Nghieân cöùu thöïc nghieäm.  Keát luaän. Chöông 1 SÔ LÖÔÏC QUAÙ TRÌNH HÌNH THAØNH VAØ PHAÙT TRIEÅN CUÛA KIEÁN THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC QUA CAÙC THÔØI KYØ. CAÙC TOÅ CHÖÙC TOAÙN HOÏC THAM CHIEÁU LIEÂN QUAN ÑEÁN LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN 1.1. Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån 1.1.1. Thôøi kyø thöù nhaát Ngay töø thôøi kyø coå Hy Laïp, khi xaây döïng caùc coâng trình ñoà soä nhö ñeàn ñaøi, Kim Töï Thaùp, ngöôøi ta ñaõ bieát söû duïng khaùi nieäm veà tæ soá caùc ñoaïn thaúng truøng vôùi khaùi nieäm coâsin ngaøy nay. Ñoä lôùn cuûa caùc tæ soá naøy raát quan troïng ñoái vôùi nhöõng ngöôøi xaây döïng Kim Töï Thaùp, bôûi vì hoï caàn tính toaùn chính xaùc ñeå gheùp nhöõng khoái ñaù lieân tieáp nhau. Veà phöông dieän naøy, nhöõng nhaø thieân vaên hoïc xöù Babylone theá kyû IV vaø V tröôùc coâng nguyeân ñaõ tích luõy moät löôïng lôùn döõ lieäu veà thieân vaên. Veà sau, nhöõng kieán thöùc löôïng giaùc ñaàu tieân ñaõ xuaát hieän ôû thôøi kyø coå Hy Laïp do nhu caàu cuûa thieân vaên. Luùc baáy giôø Hippaùc vaø Ploâteâme (theá kyû thöù 2 tröôùc coâng nguyeân) ñaõ laäp caùc baûng veà söï lieân heä giöõa goùc ôû taâm ñöôøng troøn vôùi chieàu daøi cung bò chaén. Toùm laïi: Trong thôøi kyø thöù nhaát, kieán thöùc löôïng giaùc môùi chæ laø moät lyù thuyeát veà nhöõng thuû thuaät tính toaùn caùc yeáu toá cuûa moät tam giaùc vaø caùc hình coù theå qui veà nhöõng tam giaùc. Vì leõ ñoù, ngöôøi Hy Laïp hoài xöa goïi boä moân naøy laø “tam giaùc löôïng” töùc laø ño ñaïc caùc tam giaùc. “Tam giaùc löôïng” phaùt sinh treân cô sôû cuûa hình hoïc, coù ngoân ngöõ hình hoïc vaø ñöôïc aùp duïng vaøo caùc baøi toaùn hình hoïc do caùc vaán ñeà cuï theå cuûa kyõ thuaät thôøi baáy giôø ñaët ra. 1.1.2. Thôøi kyø thöù hai Trong nhieàu theá kyû, löôïng giaùc ñaõ xuaát hieän nhö laø moät khoa hoïc veà “tam giaùc löôïng”. Ñeán theá kyû 17 vaø 18, cuøng vôùi vieäc ra ñôøi vaø phaùt trieån maïnh cuûa giaûi tích toaùn ñaõ taïo ñieàu kieän cho löôïng giaùc phaùt trieån hôn nhöng theo moät höôùng môùi. Tröôùc ñaây, caùc ñaïi löôïng cuûa löôïng giaùc chæ ñöôïc coi nhö laø phöông tieän ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà cuûa hình hoïc thì nay ñaõ trôû thaønh ñoái töôïng ñeå nghieân cöùu. Caùc ñaïi löôïng ñoù ñöôïc xem nhö laø nhöõng haøm vaø moät höôùng môùi cuûa löôïng giaùc ñaõ phaùt trieån goïi laø “giaùc löôïng” – töùc laø ño ñaïc veà goùc ñöôïc xuaát hieän. Lyù thuyeát veà caùc haøm löôïng giaùc ñöôïc Ôle nghieân cöùu laàn ñaàu tieân (1748) trong taùc phaåm “Môû ñaàu veà giaûi tích cuûa caùc voâ cuøng beù”. Trong ñoù caùc haøm löôïng giaùc ñöôïc nghieân cöùu theo phöông phaùp giaûi tích nhôø caùc chuoãi. Höôùng môùi treân ñaây cuûa löôïng giaùc baét nguoàn töø caùc dao ñoäng trong cô hoïc, aâm hoïc, quang hoïc vaø soùng ñieän töø. Caùc haøm sin vaø coâsin baây giôø ñöôïc nghieân cöùu nhö laø caùc chuoãi luõy thöøa. ... !4 x !2 x1xcos ... !5 x !3 xxxsin 42 53   Nhö vaäy, ôû thôøi kyø thöù hai, ngöôøi ta ñaõ vaän duïng kieán thöùc cuûa giaûi tích vaøo löôïng giaùc ñeå nghieân cöùu caùc haøm löôïng giaùc moät caùch chính xaùc, giaûi thích roõ raøng caùc tính chaát cuûa chuùng, ñeå roài sau ñoù laïi aùp duïng caùc haøm löôïng giaùc naøy vaøo caùc baøi toaùn cuûa thöïc teá nhö: dao ñoäng cuûa loø xo, cuûa con laéc, vieäc ño ñaïc, caùc hieän töôïng thuûy trieàu, chu kì moät traêng moïc,… (Trích Leâ Ñình Phi – Nguyeãn Ñöùc Thuaàn – Nguyeãn Ñình Thoï – Quoác Trinh (1975), Höôùng daãn giaûng daïy löôïng giaùc caáp III, NXB Giaùo duïc). 1.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Chöông naøy coù muïc ñích traû lôøi cho nhoùm caâu hoûi Q2 cuï theå laø: Trong caùc giaùo trình Toaùn ôû baäc Cao ñaúng, Ñaïi hoïc  TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc.  TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Ñeå xaây döïng caùc TCTH tham chieáu, chuùng toâi seõ tham khaûo moät soá giaùo trình sau: - Nguyeãn Maïnh Quyù; Nguyeãn Tieán Ñöùc (1980) Toaùn taäp 1 (Saùch ñaøo taïo vaø boài döôõng) NXB Giaùo duïc. - Nguyeãn Duy Thuaän (1998) Ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân tieåu hoïc heä Trung hoïc Sö phaïm) NXB Giaùo duïc. 1.2.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 (Ñaõ noùi ôû treân) chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc laø: T1 (Chuyeån ñoåi): Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoû hôn 45o. (Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 cuûa taùc giaû Nguyeãn Maïnh Quyù, Nguyeãn Tieán Ñöùc thì sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ). T2 (Tính GT): Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät. T3 (Döïng goùc ): Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 trong caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa noù. T4 (Tìm goùc ): Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù. T5 (Giaûi tg vuoâng) Giaûi tam giaùc vuoâng (khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn hoaëc bieát tröôùc 2 caïnh). T6 (Giaûi tg thöôøng) Giaûi tam giaùc thöôøng (Bieát 2 goùc vaø 1 caïnh). 1.2.1.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieàu nhieäm T1(Chuyeån ñoåi) “Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoû hôn 45o” Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy: 1 ñònh lyù:  Duøng ñònh lyù noùi veà haøm soá löôïng giaùc cuûa 2 goùc phuï nhau. Neáu 2 goùc phuï nhau thì:  sin cuûa goùc naøy baèng cosin cuûa goùc kia vaø cosin cuûa goùc naøy baèng sin cuûa goùc kia.  tang cuûa goùc naøy baèng cotang cuûa goùc kia vaø cotang cuûa goùc naøy baèng tang cuûa goùc kia. 1 ñònh lyù: Ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc Nhö vaäy: Trong ñònh nghóa naøy, taùc giaû ñaõ döïa vaøo 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù cuøng 1 goùc nhoïn, ñeå töø ñoù xaùc laäp caùc tæ soá ñoàng daïng; ñoàng thôøi taùc giaû goïi sin, cos, tg, cotg laø caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc  maø tröôùc ñoù khoâng heà ñöa vaøo khaùi nieäm haøm soá löôïng giaùc. Ñieåm ñaëc bieät nöõa cuûa ñònh nghóa naøy laø sau phaàn ñònh nghóa thì taùc giaû ñaõ suy ra ngay 2 coâng thöùc:   cos sintg vaø  tg 1gcot 1 ñònh lyù:  Ñònh lyù noùi veà ñieàu kieän ñeå 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng.  Ñònh lyù “Moät ñöôøng thaúng song song vôùi 1 caïnh cuûa 1 tam giaùc taïo thaønh vôùi 2 caïnh kia moät tam giaùc môùi coù 3 caïnh tæ leä vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc thöù nhaát. Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 1 baûng soá: Duøng baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân 1 (baûng soá): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc. Nhaän xeùt:  Hai kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï T1, coù ñaëc ñieåm gioáng nhau laø cuoái cuøng ñeàu phaûi duøng ñeán Baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân; maëc duø luùc ñaàu nhìn thì thaáy khaùc.  Neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt laø 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ thì ta chæ vieäc tra baûng laø coù keát quaû, nhöng neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt khaùc soá phuùt ôû treân thì hoïc sinh phaûi söû duïng theâm phaàn hieäu chính. 1.2.1.2. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T2 (Tính GT) “Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät” (30o, 45o, 60o). Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 2 tam giaùc vuoâng: (Neáu goùc laø 30o hoaëc 60o) thì noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau: - Veõ 1 tam giaùc vuoâng coù 1 goùc nhoïn baèng 30o hoaëc 60o. (Ñaây laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh BC). * Neáu goùc nhoïn laø 45o thì veõ moät tam giaùc vuoâng caân laøm töông töï nhö treân. Sau ñoù aùp duïng ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc ñeå tính. 2 (tam giaùc vuoâng): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc. Nhaän xeùt: Ñaëc ñieåm cuûa kyõ thuaät 2 tam giaùc vuoâng laø phaûi döïng tam giaùc vuoâng, coù soá ño cuûa 1 goùc nhoïn baèng soá ño ñaõ cho. Töø ñoù vaän duïng ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc  ñeå thieát laäp caùc tæ soá caàn thieát. - Keát quaû cuûa pheùp tính laø caùc soá ñuùng. (Ví duï: ... 3 1;3; 2 2; 2 1 ) - Öu ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø vaän duïng ñöôïc ngay lyù thuyeát vöøa hoïc vaøo phaàn baøi taäp, qua ñoù seõ khaéc saâu kieán thöùc. - Nhöôïc ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø: Neáu yeâu caàu tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc khoâng ñaëc bieät thì kyõ thuaät naøy khoâng phaùt huy ñöôïc. Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø 2 baûng löôïng giaùc: Noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau: - Tra trong baûng sin hoaëc cos hoaëc tg hoaëc cotg ñeå tìm giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc ñaõ cho. 2 baûng löôïng giaùc: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc . 2 baûng löôïng giaùc: Caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng. 1.2.1.3. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T3 (Döïng goùc ) “Döïng goùc nhoïn  khi bieát moät haøm soá löôïng giaùc cuûa noù”. Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 4 nhieäm vuï con nhö sau: a b NO M y  T31: Döïng 1 goùc nhoïn  khi bieát b asin  Vôùi a, b  N*; a < b  9 31: Veõ goùc vuoâng xOy. Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm ñôn vò. x - Treân Oy laáy 1 ñieåm M sao cho OM = a. - Laáy M laøm taâm, veõ moät cung troøn coù baùn kính R = b caét Ox taïi N; - Goùc MNO =  d y Q  O P c 31: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn T32: Döïng goùc nhoïn khi bieát cos = d c ; c,d  N*; c < d ≤ 9 32: Veõ goùc vuoâng xOy x - Treân Ox laáy ñieåm P sao cho OP = c. - Laáy P laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R = d caét Oy taïi Q. - Goùc OPQ =  32: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn T33: Döïng goùc nhoïn khi bieát tg = n m ; m,n  N*, m; n ≤ 9 R y  S O n 33: - Veõ goùc vuoâng Oxy sao cho OS = m. - Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = n. m- Goùc ORS=  33: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn x T34: Döïng goùc nhoïn khi bieát cotg = q p ; p, q  N*, p; q ≤ 9 y R  S O p 34: - Döïng goùc vuoâng Oxy. q - Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = p - Treân Oy laáy ñieåm S sao cho OS = q x - Goùc ORS =  34: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn Coâng ngheä giaûi thích cho caùc coâng ngheä treân laø tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù chung 1 goùc nhoïn. Nhaän xeùt: - Chuùng toâi taïm goïi caùc kyõ thuaät 31; 32; 33; 34 thuoäc nhoùm kyõ thuaät 3 (döïng goùc). - Ngoaøi kyõ thuaät döïng goùc nhoïn ñaõ trình baøy ôû treân, vaãn coøn caùch khaùc ñeå döïng goùc nhoïn khi bieát 1 giaù trò haøm soá löôïng giaùc cuûa noù ñoù laø: - Neáu sin = A thì tra baûng vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân xem A = sin cuûa goùc bao nhieâu ñoä. - Duøng thöôùc ño goùc, ta seõ döïng ñöôïc goùc nhoïn ôû treân. - Töông töï cho cos, tg, cotg. 1.2.1.4. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T4 (Tìm goùc ) “Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù” Kyõ thuaät 4 ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 4: - Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân vaø tính ñöôïc soá ño goùc . - Duøng thöôùc ño goùc ñeå döïng goùc nhoïn coù soá ño laø . 4: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn. 1.2.1.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï “T5(Giaûi tg vuoâng): “Giaûi tam giaùc vuoâng” Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 2 daïng ñoù laø: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø 1 goùc nhoïn vaø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh. T51:“Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø 1 goùc nhoïn” 51: - Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc laø 180o). - Tính 2 caïnh coøn laïi (döïa vaøo ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn. Thöïc chaát laø döïa vaøo ñònh lyù. “Trong 1 tam giaùc vuoâng:  Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh huyeàn nhaân vôùi sin goùc ñoái hay nhaân vôùi cosin goùc keà.  Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh goùc vuoâng kia nhaân vôùi tang goùc ñoái, hay nhaân vôùi cotang goùc keà”. 51: - Ñònh lyù toång 3 goùc trong tam giaùc. - Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng. 51: - Caùc yeáu toá ñeå chöùng minh ñònh lyù veà toång 3 goùc trong tam giaùc, caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù chung 1 goùc nhoïn. T52: “Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø caïnh huyeàn”. 52: - Tính cos cuûa 1 goùc nhoïn  (khi bieát 1 caïnh keà vaø caïnh huyeàn) - Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân ñeå tìm giaù trò cuûa . - Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc). - Tính caïnh goùc vuoâng coøn laïi (Döïa vaøo ñònh lyù Pitago hoaëc ñònh lyù noùi veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong 1 tam giaùc vuoâng). 52: - Ñònh lyù Pitago. - Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng. 52: - Chöùng minh ñònh lyù Pitago vaø caùc yeáu toá ñeå chöùng minh noù. - Tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng. Nhö vaäy ñeán ñaây hoïc sinh ñaõ hoaøn toaøn giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng khi bieát 2 yeáu toá trong ñoù phaûi coù 1 yeáu toá ñoä daøi. 1.2.1.6. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T6(Giaûi tg thöôøng) “Giaûi tam giaùc thöôøng” Kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø hình thaønh neân caùc tam giaùc vuoâng coù theå giaûi ñöôïc döïa vaøo caùc yeáu toá ñaõ cho. Ñoaïn trích sau ñaây theå hieän kieåu nhieäm vuï naøy. Baûng 1.1: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc Kieåu nhieäm vuï T1 (Chuyeån ñoåi) T2 (Tính GT) T3 (Döïng goùc ) T4 (Tìm goùc ) T5 (Giaûi tam giaùc vuoâng) T6 (Giaûi tam giaùc thöôøng) Soá löôïng ví duï 0 0 0 0 2 0 Soá löôïng baøi taäp 2 1 1 1 2 1 Nhaän xeùt chung: Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, chuùng toâi coù 1 vaøi ghi nhaän sau:  Caùch duøng töø “haøm soá löôïng giaùc” ñeå chæ cho sin, cos, tg, cotg laø chöa chính xaùc.  Tính ñôn ñieäu cuûa sin; cos; tg; cotg trong lyù thuyeát noùi raát kyõ nhöng trong phaàn baøi taäp khoâng coù 1 baøi naøo.  Ñeå tìm sin, cos, tg, cotg hoaëc tìm  khi bieát 1 trong caùc “haøm soá löôïng giaùc” cuûa noù, taùc giaû chæ höôùng daãn caùch tra baûng vaø nhö vaäy vai troø cuûa maùy tính boû tuùi laø môø nhaït.  Qua baûng thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï thì thaáy kieåu nhieäm vuï T5: Giaûi tam giaùc vuoâng ñöôïc öu tieân hôn. 1.2.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Trong giaùo trình “Nguyeãn Duy Thuaän (1998) ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân tieåu hoïc heä Trung hoïc sö phaïm) NXB Giaùo duïc, chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï sau lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñoù laø: T1 (Chuyeån ñoåi ñoä, radian) “Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian” T2 (Xaùc ñònh ñieåm cuoái B) “Xaùc ñònh ñieåm cuoái B cuûa cung AB khi bieát soá ño cuûa noù”. T3 (Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg khi bieát soá ño goùc ” T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg. Khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”. T5 (Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc”. 1.2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T1 (chuyeån ñoåi ñoä, radian) Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian 1: Duøng coâng thöùc: - Cung o coù soá ño baèng . 180  radian - Cung x radian coù soá ño baèng o180 .x  1:  Moät nöûa ñöôøng troøn coù soá ño baèng  radian.  Do ñoù goùc beït cuõng coù soá ño baèng  radian. Vôùi lyù do, ñôn vò “ñoä” toû ra baát tieän trong khoa hoïc kyõ thuaät. Vì vaäy ngöôøi ta ñaõ duøng 1 ñôn vò khaùc laø radian, ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: “Cung 1 radian laø cung coù ñoä daøi baèng baùn kính cuûa ñöôøng troøn hay baèng 1 2 ñoä daøi ñöôøng troøn”. Vaø do ñoù töø ñaây coù moät töông öùng giöõa “ñoä” vaø “radian” (laø moät soá thöïc) hay noùi caùch khaùc laø giöõa ñoä vaø soá thöïc. 1.2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T2“Xaùc ñònh ñieåm cuoái cuûa cung löôïng giaùc , khi bieát soá ño cuûa noù”. AB 2: Treân ñöôøng troøn ñònh höôùng, laáy ñieåm A laøm ñieåm goác. Ñieåm cuoái B cuûa cung naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi heä thöùc sñ =  . AB 2:  Ñònh nghóa ñöôøng troøn ñònh höôùng  Ñònh nghóa cung löôïng giaùc laø: Ñöôøng vaïch ra bôûi 1 ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng töø ñieåm goác A ñeán ñieåm B cuûa ñöôøng troøn ñöôïc goïi laø cung löôïng giaùc AB.  A O  + Kyù hieäu AB Coâng ngheä cuûa coâng ngheä 2:  Coâng thöùc chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian.  Neáu baùn kính R = 1 thì ñoä daøi cung troøn baèng soá ño cuûa cung troøn aáy. Nhaän xeùt: Trong giaùo trình naøy, khaùi nieäm cung löôïng giaùc ñöôïc ñöa vaøo tröôùc, sau ñoù môùi ñònh nghóa goùc löôïng giaùc nhö sau: “Cho cung löôïng giaùc AB, hình taïo ra bôûi tia OM khi ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng töø A ñeán B (vaïch ra cung löôïng giaùc AB) ñöôïc goïi laø goùc löôïng giaùc. O  A +    B M Kí hieäu (OA, OB) Do ñoù sñ(OA, OB) = sñ AB Trong ñònh nghóa naøy, khoâng ñeà caäp ñeán ñieåm M coù theå truøng B moät laàn hay nhieàu laàn. Khi aáy sñ(OA, OB) =  + k2 (k  Z). Cuõng töông töï nhö vaäy sñ =  + k2 (k  Z). AB 1.2.2.3. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T3(Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg” Tröôùc khi vaøo phaân tích kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi löôùt qua ._.ñònh nghóa “haøm soá löôïng giaùc” cuûa giaùo trình naøy nhö sau: “Trong maët phaúng toaï ñoä, goùc (OA, OM) =  coù caïnh cuoái OM caét ñöôøng troøn ñôn vò taïi ñieåm M(x, y). O  A +   y  x y M x  cos = x ; tg = sin cos    sin = y ; cotg = cos sin   Roõ raøng vôùi moãi goùc , caùc giaù trò cos, sin, tg, cotg ñeàu xaùc ñònh ñöôïc. Ngöôøi ta goïi cos, sin, tg, cotg laø nhöõng haøm soá löôïng giaùc”. Nhaän xeùt:  Taùc giaû ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc nhöng laïi khoâng noùi roõ mieàn xaùc ñònh; mieàn giaù trò cuûa töøng haøm soá.  cos, sin, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc giaù trò maø khoâng noùi roõ caùc giaù trò cuûa haøm soá löôïng giaùc hay caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc  (!).  Goùc  ôû ñaây hieåu laø goùc löôïng giaùc neân coù soá ño baát kyø. Nhö vaäy: Trong phaàn TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc thì noùi cho goùc nhoïn. Coøn trong TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn thì môû roäng ra laø goùc löôïng giaùc  coù soá ño baát kyø vaø khoâng thoâng qua giai ñoaïn trung gian laø goùc   [0o, 180o]. 3:  Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò sao cho sñ =  . Ta coù M (x, y) AM Söû duïng ñònh nghóa caùc “giaù trò sin, cos, tg, cotg” 3: Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg. 3: Ñònh nghóa goùc, cung löôïng giaùc. “Theo ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc, neáu bieát giaù trò cuûa goùc  coù theå xaùc ñònh ñöôïc daáu cuûa sin, cos, tg, cotg döïa vaøo vò trí cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toaï ñoä”. 1.2.2.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”. 4: Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy vaø trong giaùo trình tham khaûo chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:  Duøng caùc heä thöùc cô baûn.  Duøng boä coâng thöùc lieân heä cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät (ñoái, buø, phuï, hôn keùm ; hôn keùm /2).  Duøng phöông phaùp hình hoïc (Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toaï ñoä). 4:  Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg.  Ñònh nghóa goùc löôïng giaùc. Nhaän xeùt: Trong caùc kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy chuùng toâi thaáy kyõ thuaät “duøng caùc heä thöùc cô baûn” ñöôïc öu tieân söû duïng nhieàu hôn. 1.2.2.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T5(Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng minh caùc ñaúng thöùc löôïng giaùc”. 5: Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy, trong giaùo trình tham khaûo, chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy.  Duøng caùc heä thöùc cô baûn hoaëc cung lieân keát.  Duøng coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, haèng ñaúng thöùc.  Cuoái cuøng bieán ñoåi sao cho 2 veá baèng nhau. 5: Caùc heä thöùc cô baûn; caùc coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, cung lieân keát. Lyù thuyeát giaûi thích cho coâng ngheä 5 laø: 5: Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông. Baûng 1.2: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Kieåu nhieäm vuï T1 (Chuyeån ñoåi ñoä, radian) T2 (Xaùc ñònh ñieåm cuoái B) T3 (Tính GTHSLG) T4 (Tính GT coøn laïi) T5 (Chöùng minh ñaúng thöùc) Soá löôïng ví duï 3 1 1 1 1 Soá löôïng baøi taäp 2 2 2 1 5 Nhaän xeùt chung: Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi coù 1 vaøi ghi nhaän sau: - Trong giaùo trình tham khaûo khoâng noùi ñeán tính bieán thieân cuûa sin, cos, tg, cotg. - Khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa goùc löôïng giaùc laø cuøng moät kyù hieäu goùc löôïng giaùc (OA, OB) nhöng coù voâ soá goùc löôïng giaùc, soá ño caùc goùc naøy hôn keùm nhau moät boäi nguyeân cuûa 2 (hay 360o). - Töông töï cuõng khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa cung löôïng giaùc ñoù laø nhöõng cung löôïng giaùc coù soá ño hôn keùm nhau 1 boäi nguyeân 2 (hay 360o) seõ coù ñieåm cuoái truøng nhau. - Töø baûng thoáng keâ treân, chuùng toâi thaáy kieåu nhieäm vuï T5 (chöùng minh ñaúng thöùc) ñöôïc öu tieân hôn. Treân ñaây laø caùc TCTH tham chieáu cho pheùp chuùng toâi phaân tích trôû laïi vaán ñeà coù theå xaây döïng ñöôïc nhöõng TCTH caàn giaûng daïy lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong chöông trình vaø SGK ôû baäc phoå thoâng trong chöông 2. Chöông 2 MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG CHÖÔNG TRÌNH TOAÙN ÔÛ BAÄC PHOÅ THOÂNG 2.1. Môû ñaàu Muïc ñích chuû yeáu cuûa chöông naøy laø laøm roõ moái quan heä cuûa theå cheá daïy hoïc Toaùn ôû baäc phoå thoâng vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Cuï theå, chuùng toâi seõ laøm roõ vaø giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñaët ra trong 4 nhoùm caâu hoûi Q3, Q4, Q5, Q6. Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình huoáng naøo? Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû phoå thoâng. Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo? Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo? Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo? Trong caùc chöông trình CCGD naêm 1990 vaø chöông trình SGK chænh lyù naêm 2000 thì löôïng giaùc trong ñöôøng troøn khoâng ñöôïc giaûng daïy ôû lôùp 10. Nhöng sang chöông trình thí ñieåm phaân ban 2003 vaø phaân ban ñaïi traø naêm 2006, vôùi lyù do traùnh daïy doàn daäp kieán thöùc löôïng giaùc ôû lôùp 11, moät noäi dung maø hoïc sinh cho laø khoù nhôù, khoù hoïc, khoù vaän duïng… thì nhöõng ngöôøi laøm chöông trình ñaõ ñöa phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc töø lôùp 11 xuoáng Chöông VI cuûa SGK Ñaïi soá 10. Bôûi vaäy trong chöông trình thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø 2006; löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñöôïc daïy vaø hoïc ôû lôùp 10. Giöõa 2 boä saùch thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø hieän nay, veà noäi dung vaø phaân phoái chöông trình laø hoaøn toaøn gioáng nhau. Do vaäy ñeå thuaän lôïi trong vieäc nghieân cöùu tìm kieám söï keá thöøa hoaëc yeáu toá giaùn ñoaïn giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi ñaõ choïn phaân tích caùc taøi lieäu sau. 1. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo khoa Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc. 2. Toân Thaân (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc. 3. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo vieân Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc 4. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo khoa Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 5. Vaên Nhö Cöông (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 6. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo vieân hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc. 7. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo khoa Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 8. Nguyeãn Huy Ñoan (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 9. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo vieân Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc. 10. Taøi lieäu boài döôõng giaùo vieân thöïc hieän chöông trình, saùch giaùo khoa lôùp 10 THPT (2006). NXB Giaùo duïc. 2.2. Löôïng giaùc trong tam giaùc (löôïng giaùc ôû lôùp 9)  Phaàn lyù thuyeát Nhö chuùng ta ñaõ bieát, chöông “Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng” ñöôïc coi nhö moät öùng duïng cuûa chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Tröôùc ñaây, trong chöông trình cuõ, chöông naøy ñöôïc saép xeáp ôû lôùp 8, ngay sau chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Trong chöông trình môùi, vì phaûi chuyeån 1 phaàn hình hoïc khoâng gian xuoáng lôùp 8 neân chöông naøy ñöôïc chuyeån leân lôùp 9. Muïc ñích cuûa chöông naøy laø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát hai caïnh hoaëc 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn. Vôùi muïc ñích aáy, SGK Toaùn 9, taäp 1 ñaõ ñöa baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” vaøo tröôùc, sau ñoù môùi ñeán baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn”. Trong baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” SGK ñaõ xaây döïng ñöôïc caùc coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng cao, hình chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn, khi bieát 2 caïnh. Trong baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn” vôùi tình huoáng ñöa ra laø: Trong moät tam giaùc vuoâng, neáu bieát tæ soá ñoä daøi cuûa 2 caïnh thì coù bieát ñöôïc ñoä lôùn cuûa caùc goùc nhoïn hay khoâng? Saùch giaùo khoa ñöa ra ñònh nghóa sau: “Cho goùc nhoïn . Veõ moät tam giaùc coù 1 goùc nhoïn . Khi ñoù: csin ; c c ¹nh ®èi c¹nh kÒ os = ¹nh huyÒn c¹nh huyÒn    c ctg ; cot g c ¹nh ®èi ¹nh kÒ ¹nh kÒ c¹nh ®èi     Nhö vaäy:  Khi noùi ñeán caùc tæ soá löôïng giaùc (TSLG) cuûa goùc nhoïn thì luoân ñi keøm vôùi noù laø 1 tam giaùc vuoâng. Tæ soá cuûa caùc caïnh trong 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn luoân luoân döông vaø ta coù 0< sin < 1; 0 < cos < 1.  sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc TSLG cuûa goùc nhoïn, ñaây laø ñieåm khaùc bieät so vôùi caùch goïi trong 2 giaùo trình tìm TCTH tham chieáu tröôùc ñaây. Chuùng toâi cho raèng, coù theå coù caùc kieåu nhieäm vuï sau trong löôïng giaùc trong tam giaùc. T1 (vieát, tính) : Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn. T2 (Döïng goùc) : Döïng 1 goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy. T3 (So saùnh) : So saùnh caùc TSLG cuûa cuøng goùc nhoïn (2 hay nhieàu goùc nhoïn) . T4 (Chöùng minh) : Chöùng minh caùc heä thöùc cô baûn. T5 (Tam giaùc vuoâng) : Giaûi tam giaùc vuoâng. T6 (Phuï nhau) : Tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc phuï nhau. T7 (Tam giaùc thöôøng) : Giaûi tam giaùc thöôøng. 2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T1 (vieát, tính): Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn. 1:  Ñaët goùc nhoïn aáy vaøo trong 1 tam giaùc vuoâng ñaõ bieát 2 yeáu toá (2 caïnh hoaëc 1 caïnh vôùi 1 goùc nhoïn).  Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå tính (vieát) caùc TSLG. 1: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. 1: Ñeå giaûi thích cho ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn, chuùng toâi döïa vaøo ñònh lyù sau: Hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng vôùi nhau, neáu xaûy ra moät trong caùc tröôøng hôïp sau:  Khi coù 1 goùc nhoïn baèng nhau.  Khi coù 2 caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät.  Coù caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät. Nhaän xeùt: 1 laø kyõ thuaät thuaàn tuùy hình hoïc, aùp duïng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn  thì ta vieát ñöôïc sin, cos, tg, cotg baèng bao nhieâu.  Ñaëc bieät ôû ñaây theå cheá khoâng noùi ñeán caùch duøng MTBT hoaëc baûng soá ñeå tìm TSLG cuûa goùc  cho tröôùc maø chæ ñeà caäp moät caùch töôøng minh trong 2 ví duï treân.  Kyõ thuaät 1 naøy laø veát cuûa kyõ thuaät 2 (Tính GT) trong TCTH tham chieáu. 2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc): Döïng goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy. T21: Döïng goùc nhoïn  khi bieát asin b  ; a, b  N*, a< b  9 Ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy, kyõ thuaät ñöa ra nhö sau: 21: Veõ goùc vuoâng Oxy.  Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm ñôn vò.  Treân Oy laáy ñieåm M sao cho OM = a. b N M O  y a Laáy M laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R = b; caét Ox taïi N. Khi aáy goùc ONM   . 21: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn x T22: Döïng goùc nhoïn  khi bieát ccos d  ; c, d  N*, c< d  9 y d  O P c Q 22: Veõ goùc vuoâng Oxy  Treân Ox laáy P sao cho OP = c.  Laáy P laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R = d, caét Oy taïi Q. x  Goùc OPQ   22: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn T23: Döïng goùc nhoïn khi bieát tg = mn ; m, n  N*, m; n  9 23: Veõ goùc vuoâng Oxy  Treân Oy laáy S sao cho OS = m n R x  S O m y  Treân Ox laáy R sao cho OR = n  Goùc OSR   23: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn T24: Döïng goùc nhoïn  khi bieát pcot g q ; p, q  N*, p; q  9 24: Döïng goùc vuoâng Oxy  Treân Oy laáy V sao cho OV = q  Treân Ox laáy U sao cho OU = p  Goùc OVU   24: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn Lyù thuyeát ñeå giaûi thích cho caùc coâng ngheä 21, 22, 23, 24 töông töï trong 1. p q U x O y V  Nhaän xeùt: - Chuùng toâi taïm goïi caùc kyõ thuaät 21; 22; 23; 24 thuoäc nhoùm kyõ thuaät 2 (döïng goùc) thì nhaän thaáy 2 (döïng goùc) laø veát cuûa kyõ thuaät 3 (döïng goùc) trong TCTH tham chieáu. - Kyõ thuaät 2 (döïng goùc) thuaàn tuùy chæ laø kyõ thuaät mang ñaëc tröng hình hoïc bình thöôøng. - Kyõ thuaät naøy ñöôïc trình baøy töôøng minh trong caùc ví duï sau: Ví duï 3 trang 73: Döïng goùc nhoïn , bieát 2tg 3   Ví duï 4 trang 74: Döïng goùc nhoïn , bieát sin = 0,5 Trong ví duï treân thì giaù trò cuûa sin laø soá thaäp phaân neáu vieát döôùi daïng phaân soá thì 1sin 2   ñeàu laø soá höõu tæ ñoàng thôøi 0 < sin < 1. Kyõ thuaät naøy moät laàn nöõa xuaát hieän trong baøi 13 trang 77 vôùi noäi dung “Döïng goùc nhoïn , bieát: a) sin = 2 3 b) cos  = 0,6 c) tg  = 3 4 d) cotg  = 3 2 Nhaän thaáy: Trong 2 ví duï vaø baøi taäp ôû treân ñeàu cho sin vaø cos coù giaù trò laø soá höõu tæ döông daïng a b hoaëc soá thaäp phaân döông maø khi vieát döôùi hình thöùc soá höõu tæ phaûi coù daïng a b (vôùi a0 1 b   ).  tg vaø cotg luoân cho laø soá höõu tæ döông coù daïng a b . SGK vaø SBT khoâng ñöa ra baát kyø moät ví duï hoaëc baøi taäp naøo maø giaù trò cuûa sin, cos, tg, cotg laø soá thaäp phaân coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân, hoaëc phaân soá maø töû vaø maãu laø caùc soá töï nhieân  10 (coù 2 chöõ soá trôû leân). Ví duï: 15 17; ... 26 142 Nhö vaäy ôû ñaây chuùng toâi thaáy toàn taïi ngaàm aån moät quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic laø: R1: Duøng thöôùc khaéc vaïch döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù luoân cho:  sin vaø cos coù giaù trò laø phaân soá döông daïng a b hoaëc soá thaäp phaân döông maø khi vieát döôùi daïng phaân soá phaûi coù daïng a b (vôùi a0 1 b   ).  tg vaø cotg luoân cho laø phaân soá döông coù daïng a b . Quy taéc hôïp ñoàng naøy ñöôïc theå hieän qua kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc) cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc. Caàn noùi theâm raèng baøi “Baûng löôïng giaùc” vaø baøi ñoïc theâm “Tìm TSLG vaø goùc baèng MTBT casio FX220” ñöôïc trình baøy sau phaàn ví duï vaø baøi taäp neâu treân, ñoàng thôøi sau ñoù SGK yeâu caàu: “Duøng baûng löôïng giaùc hoaëc MTBT tìm goùc nhoïn x. Roõ raøng theå cheá mong muoán hoïc sinh thaønh thaïo caùch tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù baèng MTBT hoaëc baûng löôïng giaùc. Ñieàu naøy ñöôïc theå hieän roõ trong saùch giaùo vieân nhö sau: “Ñaây laø loaïi baøi daïng thöïc haønh laø chính. Do ñoù, caàn chuù yù ñeán muïc tieâu cuoái cuøng laø hoïc sinh phaûi bieát tìm caùc TSLG cuûa 1 goùc cho tröôùc vaø ngöôïc laïi, tìm soá ño goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc ñoù”. Nhö vaäy ñeán ñaây neáu yeâu caàu döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù maø khoâng giôùi haïn duïng cuï thì hoïc sinh coù theå duøng thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc nhoïn  hoaëc duøng baûng soá; MTBT ñeå tính soá ñoù goùc , töø ñoù duøng thöôùc ño goùc (ño ñoä) ñeå döïng goùc nhoïn . 2.2.3. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T3 (so saùnh): So saùnh caùc TSLG cuûa goùc nhoïn T31: So saùnh 1 TSLG cuûa 2 hay nhieàu goùc 31: Söû duïng nhaän xeùt sau Khi goùc  taêng töø 0o ñeán 90o thì sin vaø tg taêng coøn cos vaø cotg giaûm. 31: Caáu taïo cuûa baûng löôïng giaùc hoaëc thoâng qua maùy tính boû tuùi 31: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn T32: So saùnh sin vôùi cos hoaëc tg vôùi cotg 32:  Ñöa veà cuøng sin hoaëc cuøng cos. Hoaëc  Ñöa veà cuøng tang hoaëc cuøng cotang. Baèng caùch: Duøng ñònh lyù “Neáu 2 goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cosin goùc kia, tang goùc naøy baèng cotang goùc kia”. Nhaän xeùt:  Ngoaøi kyõ thuaät ñöôïc trình baøy ôû treân thì hoïc sinh coù theå duøng baûng löôïng giaùc hoaëc MTBT. Tính tröïc tieáp giaù trò cuûa töøng TSLG, sau ñoù coù keát quaû. 32:  Ñònh lyù TSLG cuûa 2 goùc phuï nhau.  Baûng löôïng giaùc.  MTBT. 32: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn T33: So saùnh 2 TSLG cuûa cuøng 1 goùc nhoïn hoaëc 2 goùc phuï nhau. 33: Ñöa veà so saùnh giöõa tg vôùi sin hoaëc so saùnh giöõa cotg vôùi cos, döïa vaøo coâng thöùc: sintg ; cos    coscot g sin    33: Vaøo coâng thöùc: sintg ; cos    coscot g sin    Trong ñoù 0 < sin; cos < 1 33: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. Nhaän xeùt: Caùc kyõ thuaät 31; 32; 33 chuùng toâi taïm goïi vaøo nhoùm 3 (so saùnh). Nhaän thaáy 3 (so saùnh) khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu. Giaûi thích cho söï vaéng maët cuûa kyõ thuaät naøy trong TCTH tham chieáu. Chuùng toâi ñaõ trình baøy trong phaàn: Nhaän xeùt chung cuûa TCTH tham chieáu. Trong SGK khoâng giôùi thieäu töôøng minh tính ñôn ñieäu cuûa töøng TSLG cuûa goùc nhoïn  maø chæ ñeà caäp ñeán vaán ñeà naøy thoâng qua baûng soá vaø MTBT döïa vaøo nhaän xeùt “Khi  taêng töø 0o ñeán 90o thì sin vaø tan taêng, coøn cos vaø cot giaûm daàn”. Nhö vaäy: Neáu so saùnh TSLG cuûa 2 hay nhieàu goùc nhoïn (Ví duï: sin, sin, sin…) hoaëc so saùnh giöõa sin vôùi cos hoaëc tg vôùi cot cuûa 2 goùc phuï nhau thì ta döïa vaøo nhaän xeùt treân.  Vaán ñeà ñaët ra laø: SGK khoâng neâu raøng buoäc cuûa caùc goùc ,  ñoàng thôøi cuõng khoâng cho ,  coù soá ño baát kyø vaø cuõng khoâng coù moät söï giaûi thích naøo ôû ñaây. Chuùng toâi cho raèng ôû ñaây coù söï ngaàm aån trong vieäc cho soá ño cuûa caùc goùc ,  trong daïng toaùn treân thoâng qua quy taéc R2: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG sau:  tan vôùi sin; 0o <  < 90o; tan vôùi cos; ( +  = 90o)  cot vôùi cos; 0o <  < 90o; cot vôùi sin; ( +  = 90o) Môû roäng quy taéc R2: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc:  tan vôùi sin ; 0 ; 90 cos       o o  cot vôùi sin ; 0 ; 90 cos       o o 2.2.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T4 (Chöùng minh): Chöùng minh caùc heä thöùc cô baûn 4:  Moâ phoûng moät tam giaùc vuoâng coù ghi roõ caùc caïnh ñoái, caïnh keà, caïnh huyeàn.  Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå vieát ñöôïc csin ; c c c ¹nh ®èi c¹nh kÒ os = ¹nh huyÒn ¹nh huyÒn    c ctg ; cot g¹nh ®èi ¹nh kÒ c¹nh kÒ c¹nh ®èi      Bieán ñoåi veà heä thöùc caàn chöùng minh. Nhaän xeùt:  Nhö vaäy sintg cos    vaø coscot g sin    ñöôïc coi laø heä thöùc cô baûn vaø ñöôïc ñöa vaøo phaàn baøi taäp.  Trong baøi taäp 15 trang 77 (SGK) cho pheùp hoïc sinh vaän duïng keát quaû baøi taäp 14 ñeå giaûi nhö sau: “Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Bieát cosB = 0.8, haõy tính caùc TSLG cuûa goùc C. Gôïi yù: Söû duïng baøi taäp 14”.  Roõ raøng töø ñaây SGK cho pheùp hoïc sinh ñöôïc quyeàn vaän duïng caùc heä thöùc cô baûn ñeå chöùng minh, nhö vaäy hoïc sinh ñaõ coù 2 caùch ñeå tính tg, cotg ñoù laø tính baèng ñònh nghóa caùc TSLG cuûa goùc nhoïn ñoù laø: c ctg ; cot g¹nh ®èi ¹nh kÒ c¹nh kÒ c¹nh ®èi     Hoaëc thoâng qua heä thöùc cô baûn: sintg cos    ; coscot g sin    4: Coâng ngheä giaûi thích cho kyõ thuaät treân laø: - Döïa vaøo ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. - Ñònh lyù Pitago. 4: Lyù thuyeát giaûi thích cho coâng ngheä 4 laø Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.  Kyõ thuaät 4 (Chöùng minh) khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu. Sôû dó kyõ thuaät naøy khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu, bôûi leõ: Sau phaàn ñònh nghóa caùc “haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn ”, taùc giaû ñaõ ñöa ra ngay keát quaû laø: Töø ñònh nghóa treân ta coù: sintg cos    vaø 1cot g tg    Nhö vaäy: Töø ñaây ngöôøi hoïc coù quyeàn suy ra: coscot g sin    vaø tg . cotg = 1 2.2.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T5 (giaûi tam giaùc): Giaûi tam giaùc vuoâng Kieåu nhieäm vuï T5 (Giaûi tam giaùc), theo chuùng toâi coù 2 kieåu nhieäm vuï con ñoù laø: T51: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh 51: - Tính caïnh coøn laïi döïa vaøo Ñònh lyù Pitago. - Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå tính caùc goùc. 51: - Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn - Ñònh lyù Pitago. T52: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn 52: - Tính goùc nhoïn coøn laïi döïa vaøo ñònh lyù Toång 3 goùc trong 1 tam giaùc baèng 180o. - Tính caïnh coøn laïi döïa vaøo ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. 52: - Ñònh lyù Toång 3 goùc trong tam giaùc baèng 180o. - Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. SGK Toaùn 9 öu tieân kieåu nhieäm vuï T52: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc hôn. Ñieàu ñaëc bieät laø trong caû 2 ví duï 4 vaø ví duï 5 thì SGK luoân tính goùc nhoïn tröôùc döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc. Sau ñoù môùi tính ñoä daøi caùc caïnh. Beân caïnh aáy saùch giaùo vieân coøn höôùng daãn: “Khi ñaõ bieát hai caïnh cuûa tam giaùc vuoâng, neân tìm goùc tröôùc, sau ñoù môùi tính caïnh thöù 3 nhôø caùc heä thöùc trong ñònh lyù vöøa hoïc (Ñònh lyù noùi veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng). Theo caùch aáy, vieäc tính toaùn baèng maùy coù theå lieân hoaøn hôn, ñôn giaûn hôn” (Trích saùch giaùo vieân Toaùn 9 – Trang 108 – NXB Giaùo duïc). Kyõ thuaät 51; 52 laø veát cuûa kyõ thuaät 5 (Giaûi tam giaùc vuoâng) trong TCTH tham chieáu. 2.2.6. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T6 (phuï nhau): Vieát TSLG cuûa goùc phuï vôùi goùc ñaõ cho 6: Duøng ñònh lyù noùi veà quan heä giöõa 2 goùc phuï nhau: “Neáu 2 goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cos goùc kia, tang goùc naøy baèng cotang goùc kia”. 6: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn Kieåu nhieäm vuï naøy coù maët trong 2 ví duï nhö sau: Ví duï 5 trang 74: Theo ví duï 1, ta coù: sin45o = cos45o = 2 2 tg45o = cotg45o = 1 Ví duï 6 trang 75: Ta coù: sin30o = cos60o = 1 2 cos30o = sin60o = 3 2 tg30o = cotg60o = 3 3 cotg30o = tg60o = 3 Sau kieåu nhieäm vuï naøy, SGK ñaõ ñöa ra TSLG cuûa caùc goùc ñaëc bieät nhö sau: Baûng 2.1: Tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät  TSLG 30o 45o 60o sin 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tg 3 3 1 3 cotg 3 1 3 3 Trong baûng naøy, khoâng coù TSLG cuûa goùc 0o vaø 90o. 2.2.7. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T7 (Tam giaùc thöôøng): Giaûi tam giaùc thöôøng Kieåu nhieäm vuï naøy chæ coù maët trong phaàn baøi taäp cuûa SGK Toaùn 9 (khoâng coù maët trong ví duï cuûa baøi hoïc). Theå hieän qua caùc baøi taäp sau: Baøi 30 trang 89 (SGK) Cho ABC, trong ñoù BC = 11cm, , . Goïi ñieåm N laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø A ñeán caïnh BC. Haõy tính: oABC 38 oACB 30 a) Ñoaïn thaúng AN b) Caïnh AC. Gôïi yù: Keû BK  AC Baøi 31 trang 89 (SGK) Trong hình veõ sau: AC = 8cm; AD = 9,6cm; . Haõy tính: o oABC 90 ;ACB 54 ;ACD 74   o a) AB b) ADC Töø lôøi giaûi cuûa 2 baøi taäp naøy, chuùng toâi hình thaønh kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø: 7: - Ñaët caïnh caàn tính ñoä daøi hoaëc goùc caàn tính vaøo 1 tam giaùc vuoâng giaûi ñöôïc. - Duøng caùc heä thöùc cuûa tam giaùc vuoâng ñeå tính caïnh hoaëc goùc caàn tính. 7: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn. Nhaän xeùt: Kieåu nhieäm vuï naøy xuaát hieän khoâng nhieàu nhöng töø ñaây hoïc sinh coù theå tính ñöôïc caïnh, goùc trong tam giaùc thöôøng thoâng qua 1 tam giaùc vuoâng trung gian. Hay noùi caùch khaùc laø: Vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc ñaõ laøm giaùn ñoaïn vieäc giaûi tam giaùc thöôøng, hoaëc soá ño caùc goùc chæ giôùi haïn trong phaïm vi 0o <  < 90o maø khoâng coù goùc lôùn hôn. - Kyõ thuaät 7 (tam giaùc thöôøng) laø veát cuûa kyõ thuaät 6 (tam giaùc thöôøng) trong TCTH tham chieáu. Baûng 2.2: Thoáng keâ soá löôïng ví duï vaø baøi taäp trong SGK öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc Kieåu nhieäm vuï Soá löôïng ví duï Soá löôïng BT trong SGK T1 (vieát, tính) 2 7 T2 (döïng goùc) 2 1 T3 (so saùnh) 0 3 T4 (chöùng minh) 0 1 T5 (tam giaùc vuoâng) 3 4 T6 (phuï nhau) 2 2 T7 (tam giaùc thöôøng) 0 2 Qua baûng thoáng keâ naøy, thì kieåu nhieäm vuï T1 vaø T5 ñöôïc öu tieân hôn. Ñaây chính laø yeâu caàu cô baûn cuûa chöông: “Muïc ñích cuûa chöông naøy laø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh hoaëc 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn. Chính vì vaäy, chöông naøy goàm caùc noäi dung sau:  Hình thaønh caùc coâng thöùc veà TSLG cuûa goùc nhoïn. Quan heä giöõa TSLG cuûa2 goùc phuï nhau.  Töø ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn, xaây döïng caùc heä thöùc giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng… ñeå giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng”. Trích saùch giaùo vieân Toaùn 9 – Trang 9 – NXB Giaùo duïc – 2005). Phaàn nghieân cöùu baøi taäp sau ñaây seõ cho thaáy caùc TCTH ñaõ phaân tích trong phaàn lyù thuyeát ñöôïc theå hieän nhö theá naøo trong phaàn naøy.  Phaàn baøi taäp Trong soá caùc baøi taäp cuûa phaàn löôïng giaùc trong tam giaùc cuûa saùch baøi taäp Toaùn 9 coù: 4 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T1 (vieát, tính) 1 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc) 4 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T3 (so saùnh) 5 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T5 (tam giaùc vuoâng) 3 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T6 (phuï nhau) 7 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T7 (tam giaùc thöôøng)  Ñoái vôùi T1(vieát, tính): Saùch baøi taäp coù ñöa ra moät caùch khaùc ñeå giaûi maø chuùng toâi taïm goïi ñoù laø kyõ thuaät 1’: Duøng caùc heä thöùc cô baûn sintg cos    ; 1cot g tg    ; tg . cotg = 1; 2 2sin cos 1    Kyõ thuaät naøy theå hieän qua baøi 33 trang 94 (SBT) Cho cos = 0,8. Tìm sin, tg, cotg. Ñaùp soá: sin = 0,6; tg = 0,75; cotg  1,3333  Ñoái vôùi T3 (so saùnh) thì saùch baøi taäp yeâu caàu khoâng duøng Baûng löôïng giaùc vaø MTBT ñeå so saùnh, theå hieän qua caùc baøi taäp sau: Baøi 45 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc vaø MTBT, haõy so saùnh: a) sin25o vaø sin70o b) cos40o vaø cos75o c) sin38o vaø cos38o d) sin50o vaø cos50o Baøi 46 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc veà MTBT, haõy so saùnh. a) tg50o28’ vaø tg63o b) cotg14o vaø cotg35o12’ c) tg27o vaø cotg27o d) tg65o vaø cotg65o Baøi 48 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc veà MTBT, haõy so saùnh. a) tg28o vaø sin28o b) cotg42o vaø cos42o c) cotg73o sin17o d) tg32o vaø cos58o  Giaùo vieân coù nhieäm vuï giaûi thích ñeå hoïc sinh thaáy ñöôïc tính ñoàng bieán cuûa sin  vaø nghòch bieán cuûa cos khi  taêng töø 0o ñeán 90o. Nhö vaäy moät laàn nöõa laïi theå hieän quy taéc R2 cuûa hôïp ñoàng didactic.  Hoïc sinh coù nhieäm vuï hoaëc laø so saùnh cuøng 1 TSLG cuûa 2 goùc ;  hoaëc duøng ñònh lyù moái quan heä cuûa 2 goùc phuï nhau ñeå ñöa veà cuøng 1 TSLG hoaëc ñaùnh giaù thoâng qua heä thöùc cô baûn sintg (0 cos 1) cos      ; coscot g (0 sin 1) sin       - Ñoái vôùi T7 (tam giaùc thöôøng). Trong saùch baøi taäp coù 7 baøi yeâu caàu tính toaùn caïnh, goùc trong tam giaùc thöôøng vôùi kyõ thuaät vaãn trình baøy gioáng SGK, nhöng soá löôïng baøi taäp taêng raát nhieàu. Phaûi chaêng ñaây laø böôùc ñeäm, chuaån bò cho hoïc sinh laøm quen vôùi giaûi tam giaùc thöôøng ôû lôùp 10. Sô ñoà 2.1: Ñoái chieáu giöõa TCTH tham chieáu vaø TCTH caàn giaûng daïy cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc TCTH caàn giaûng daïy T2 (tính giaù trò) T1 (vieát, tính) T3 (döïng goùc) T3 (so saùnh) T4 chöùng minh T5 (tam giaùc vuoâng) T5 (tam giaùc vuoâng) T1 (chuyeån, ñoåi) T6 (Phuï nhau) T6 (tam giaùc thöôøng) T7 (tam giaùc thöôøng) T2 (döïng goùc) TCTH tham chieáu 2.3. Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (vôùi 0o ≤  ≤ 180o) ÔÛ lôùp 9 hoïc sinh ñaõ ñöôïc laøm quen vôùi TSLG cuûa goùc nhoïn, gaén vôùi noù laø giaûi tam giaùc vuoâng. Leân lôùp 10, trong phaàn hình hoïc, moät kieán thöùc môùi ñöôïc ñöa vaøo ñoù laø “Tích voâ höôùng cuûa 2 veùctô” maø ñònh nghóa naøy laïi phuï thuoäc cosin cuûa goùc giöõa 2 vectô (goùc giöõa 2 vectô coù soá ño  [0o, 180o]). Nhö vaäy, töø goùc nhoïn, giôø ñaây hoïc sinh ñaõ laøm quen vôùi caùc goùc coù soá ño  [0o; 180o] ñöôïc ñöa vaøo ngay baøi ñaàu tieân cuûa chöông 2: Tích voâ höôùng cuûa 2 vectô vaø öùng duïng, vôùi muïc ñích seõ söû duïng caùc GTLG cuûa goùc  trong 1 soá tính toaùn caàn thieát.  Tröôùc khi vaøo phaân tích TCTH lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi löôùt qua caùch xaây döïng ñònh nghóa giaù trò löôïng giaùc (GTLG) cuûa goùc [0o, 180o].  Ñieåm khaùc bieät ñaàu tieân laø teân goïi Vôùi goùc  nhoïn thì sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc TSLG cuûa goùc , bôûi ñònh nghóa naøy ñi lieàn vôùi noù laø caùc “tæ soá” giöõa caùc caïnh trong moät tam giaùc vuoâng. ._. ngoaøi muïc ñích kieåm chöùng quy taéc R3, chuùng toâi coøn xem thöû hoïc sinh ñaõ vaän duïng caùc coâng thöùc cuûa cung lieân keát nhö theá naøo, hay ôû ñaây giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh ngaàm aån quy taéc naøo hay khoâng?  Ñoái vôùi caâu hoûi 4 a) Bieát 1sin 5   vaø ; 2     . Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2. b) Ruùt goïn 2 2 1F ; sin cot cos       vôùi 2     Caâu a) yeâu caàu chính laø tính caùc GTLG coøn laïi cuûa goùc 2. Ñeå thöïc hieän ñöôïc yeâu caàu cuûa baøi toaùn; hoïc sinh phaûi löïa choïn coâng thöùc vaän duïng thích hôïp trong quaù nhieàu coâng thöùc löôïng giaùc ñaõ bieát; lieäu khi aáy hoï coøn nhôù ñeán ñieàu kieän cuûa goùc  ñaõ cho khoâng? Vôùi caâu b) töông töï nhö vaäy. Qua caâu hoûi soá 4; chuùng toâi muoán kieåm chöùng giaû thuyeát H2.  Ñoái vôùi caâu hoûi 5 Chöùng minh raèng : tan ( ) tan( ) 1 4 4 x x    Döôùi ñaây laø 1 soá lôøi giaûi cuûa 1 soá hoïc sinh em haõy cho ñieåm (theo thang ñieåm 10) caùc lôøi giaûi ñoù vaø haõy cho bieát lyù do em tröø ñieåm caùc lôøi giaûi (hoaëc cho ñieåm cao caùc lôøi giaûi). Hoïc sinh A: VT = tan x tan x 4 4           = tan x tan x 2 4 4                  = cot x tan x 1 VP 4 4               Hoïc sinh B: VT = tan x tan x 4 4           = 1 tan x 2 4cot x 4              = 1 cot x 1 VP 4cot x 4           Hoïc sinh C: VT = tan x tan x 4 4           = tan tan tan tan 4 4 1 tan tan 1 tan tan 4 4          x x x x     = (1 tan ) (1 tan ) 1 (1 tan ) (1 tan )      x x VP x x Hoïc sinh D: VT = tan x tan x 4 4           = sin x sin x 4 4 cos x cos x 4 4                     = cos 2x cos 2 1 VP cos cos 2x 2     Hoïc sinh E: VT = tan x tan x 4 4           = sin x sin x 4 4 cos x cos x 4 4                     = sin cos x cos sin x sin cos x cos sin x 4 4 4 4 cos cos x sin sin x cos cos x sin sin x 4 4 4 4                   = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos x cos sin x 4 4 1 VP cos cos x sin sin x 4 4      Baûng 3.8: Baûng cho ñieåm hoïc sinh Hoïc sinh Ñieåm Lyù do tröø ñieåm (hoaëc lyù do cho ñieåm cao) A B C D E Trong ñeà baøi chæ yeâu caàu chöùng minh ñaúng thöùc vaø 5 lôøi giaûi giaû ñònh ñeàu khoâng ñeà caäp ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa bieåu thöùc; chuùng toâi muoán tìm hieåu xem hoïc sinh coù quan taâm ñeán vaán ñeà naøy hay khoâng, qua ñoù kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3. Treân ñaây laø nhöõng lyù do giaûi thích cho vieäc löïa choïn vaø xaây döïng thöïc nghieäm: Sau ñaây, chuùng toâi seõ phaân tích caùc bieán didactic, chieán löôïc coù theå cho töøng caâu hoûi. b) Bieán didactic - V1: Bieán coù lieân quan ñeán giaù trò cuûa caùc TSLG. Chuùng toâi laáy 3 giaù trò sau: V11: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø phaân soá maø töû vaø maãu chæ coù 1 chöõ soá. V12: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø soá thaäp phaân, coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. V13: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø toàn taïi. - V2: Bieán coù lieân quan ñeán soá ño goùc (cung) chuùng toâi laáy giaù trò sau: V21: Soá ño goùc ñaëc bieät (coù trong baûng löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät, ñöôïc trình baøy trong SGK). V22: Soá ño goùc khoâng ñaëc bieät (khoâng coù trong baûng löôïng giaùc cuûa 1 soá goùc ñaëc bieät trình baøy trong SGK). V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc bieät (phuï nhau, buø nhau, hôn keùm , ñoái nhau)… V24: Soá ño goùc naèm trong khoaûng cuûa caùc goùc ñaëc bieät. - V3: Yeâu caàu cuûa baøi toaùn (Bieán tình huoáng) V31: Chöùng minh V32: Cho ñieåm caùc lôøi giaûi V33: Döïng goùc  V34: So saùnh V35: Tính V36: Ruùt goïn c) Caùc chieán löôïc Caâu 1: Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù. a) sin = 0,02 ; b) tan = 0,005  Giaù trò bieán didactic  Ñoái vôùi caâu a) chuùng toâi löïa choïn caùc bieán: V12: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø soá thaäp phaân, coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. V13: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø thích hôïp. V33: Döïng goùc  Chuùng toâi choïn caùc bieán naøy vì muoán hoïc sinh quen thuoäc vôùi kieåu nhieäm vuï döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù. Tuy nhieân, trong caâu hoûi naøy, giaù trò cuûa sin = 0,02. Caùc giaù trò naøy khoâng gioáng vôùi nhöõng baøi ñaõ trình baøy trong SGK vaø SBT. Vì vaäy, chuùng toâi xem baøi taäp naøy laø moät tình huoáng phaù vôõ hôïp ñoàng.  Caùc chieán löôïc coù theå: T : Duøng thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc nhoïn . MTBT :Duøng MTBT. Tính . Sau ñoù duøng thöôùc ño goùc hoaëc thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc . AB = 50 x  A O y 1 B Khoâng A4 ñuû khoå roäng cuûa giaáy CT : Duøng compa vaø thöôùc thaúng.  Caùc lôøi giaûi coù theå: LG1: - Döïng goùc vuoâng xOy - Treân Ox laáy OA = 1 - Laáy A laøm taâm quay 1 voøng troøn baùn kính 50, caét Oy taïi B. - Goùc caàn döïng. OBA   LG2: - Duøng baûng soá hoaëc MTBT ñeå tính goùc  töø sin = 0,02. - Duøng thöôùc ño goùc (ño ñoä) ñeå döïng goùc nhoïn . LG3: - Döïng 1 ñöôøng troøn coù ñöôøng kính BC = 50. - Laáy B laøm taâm quay 1 voøng troøn coù baùn kính BA = 1 caét ñöôøng troøn vöøa döïng taïi ñieåm A. - Tam giaùc vuoâng ABC coù ACB   B A C BC = 50 cuõng khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4  Ñoái vôùi caâu b) chuùng toâi löïa choïn caùc bieán. chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. iaû thieát töông töï caâu a, nhöng coù 3 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. Nhö trong haàn p 0,005 = V12: Giaù trò cuûa TSLG laø soá thaäp phaân coù nhieàu V13: Giaù trò cuûa TSLG cuûa  laø hôïp lyù. V33: Döïng goùc . Caâu hoûi naøy cho g p haân tích boä caâu hoûi thöïc nhieäm, chuùng toâi ñaõ trình baøy. Neáu tan = 0,005 vieát döôùi daïng soá höõu tæ thì ta coù tan = 1 200 . Theo chuùng toâi, coù theå coù caùc  aùc chieán löôïc coù theå: vaïch ñeå döïng goùc . tan = 0,005.  ù tan = 0,005 = chieán löôïc coù theå xaûy ra nhö sau: C T : Duøng thöôùc khaéc MTBT: Duøng MTBT hoaëc baûng soá ñeå tính  töø Sau ñoù duøng thöôùc ño goùc ñeå döïng . Caùc lôøi giaûi coù theå: LG1: - Co 1 200 . o OB = 1 0 LG2: Baám MTBT, hoaëc tra baûng löôïng giaùc ta coù tan = 0,005 öôùc ño goùc, ta döïng ñöôïc goùc   0o17’ G3: T 0,005 => - Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm 1 ñôn vò ñoä daøi. - Döïng goùc vuoâng Oxy. Treân Oy laáy B sao ch Treân Ox laáy A sao cho OA = 20 - ùc OAB   Go =>   0o17’ Duøng th L a coù: tan = 1cot 200 0,005    - Döïng goùc vuoâng xOy. OB = 200. - Treân Oy. Laáy B sao cho O B  200 1 A x y Ghi chuù: OA = 200 khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4 - Treân Ox. Laáy A sao cho OA = 1 - Goùc OBA   . Caâu 2: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh oïn bieán bieät bieät (hai goùc phuï nhau). Chuùng toâi choïn so saùnh tan29o vôùi cos61o vì töø cos61o seõ ñöa veà sin29o, sau ñoù so saùnh eät, ñoàng thôøi 2 goùc khoâng ôïc coù theå: o vôùi sin29o tan: o vôùi cos61o. Ca 29o (vì goùc 61o vaø 29o laø phuï nhau) a) tan29o vôùi cos61o b) cot25o vôùi sin75o  Giaù trò bieán didactic  Chuùng toâi löïa ch V22: Soá ño goùc khoâng ñaëc V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc V34: So saùnh tan29o vôùi sin29o. Hoaëc ñöa tan29o veà cot61o sau ñoù so saùnh cot61o vôùi cos61o. Chuùng toâi choïn so saùnh cot25o vôùi sin75o; vôùi soá ño 2 goùc khoâng ñaëc bi phuï nhau; maëc duø giaû thieát thì quen thuoäc, nhöng khoâng deã daøng so saùnh ñöôïc 2 TSLG treân (chuù yù laø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT). Ñoái vôùi caâu a:  Caùc chieán lö Ñcos: Ñoåi cos61o = sin29o. Sau ñoù so saùnh tan29 Ñ Ñoåi tan29o = cot61o Sau ñoù so saùnh cot61  ùc lôøi giaûi coù theå: LG1: Ta coù cos61o = sin Maø o o osin 29tan 29 sin 29  ocos 29 Vaäy tan29o > cos61o. LG2: Ta coù tan29o = cot61o Maø o o cos61cot 61   oo cos61sin 61 (Vì 0 < sin61o < 1) o oái vôùi caâu b öôïc coù theå Vaäy tan29o > cos61 Ñ  Caùc chieán l Hình hoïc: Theo chuùng toâi coù theå hoïc sinh seõ döïng 1 tam giaùc vuoâng OAB, coù goùc nhoïn - Ño ñoä daøi aïnh OA. oOAB 25 . c - Ño ñoä daøi caïnh OB. - Khi aáy tìm ñöôïc o OAcot 25 OB  (1) am giaùc vuTöông töï: Döïng 1 t oâng O’A’B’ co A O B 25o ù 1 goùc nhoïn = 75o. - Ño ñoä daøi caïnh O’B’. - Ño ñoä daøi caïnh A’B’. - Khi aáy tìm ñöôïc osin 75 A’ O’ B’ O'B' A 'B'  (2) vôùi (2) cot45o = 1 Ca û duïng baûng soá vaø MTBT, em haõy tính Sau ñoù so saùnh (1) Chieán löôïc naøy raát khoù xaûy ra: Baéc caàu: cot25o > Maø 0 < sin75o < 1 âu 3: 75o Suy ra cot25o > sin75o Khoâng sö a) cos (2k 1)      ; b)3  tan169 6   Giaù trò bieán didactic toâi ñeàu löïa choïn caùc bieán Ch ïn tính  Caû 2 caâu, chuùng V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc bieät V35: Tính cos (2k 1) 3        uùng toâi cho , bôûi leõ ñeå ñi ñeán keát quaû cuoái cuøng hoïc sinh phaûi vaän duïng n ñoù coù söû duïng co au 1 boäi nguyeân cuûa 2 thì coù toâi goùc coù soá ño hieàu coâng thöùc, trong âng thöùc cos ( + k2) = cos. ÔÛ coâng thöùc naøy cho thaáy nhieàu goùc löôïng giaùc coù soá ño hôn keùm nh cos baèng nhau. ÔÛ caâu b) chuùng 169 6  (soá ño khaù lôùn); nhöng goùc naøy coù theå ñöa veà goùc ñaëc bieät. Ñoái vôùi caâu a öôïc coù theå  Caùc chieán l k2: Duøng boä coâng thöùc ôû cung lieân keát vaø coâng thöùc cos ( + k2) = cos Lieân keát: Duøng boä coâng thöùc lieân heä cuûa 2 cung lieân keát.  Caùc lôøi giaûi coù theå 1cos (2k 1)    LG1: cos cos 3 3 3 2               LG2: cos (2k 1) cos k2 3 3                    1cos k2 cos cos 3 3   3 2                      (Hôn keùm ) Khaùc:  LG3: cos (2k 1) cos k2 3 3                    cos 3       2 1cos 3 2    Ñoái vôùi caâu b)  Caùc chieán löôïc coù theå: g giaùc, ñeám xem cung löôïng giaùc coù soá ño 169 6 Ñeám: Treân ñöôøng troøn löôïn coù ñieåm ngoïn ôû choã naøo töø ñoù tính ñöôïc tan169 6  . Taùch: Ñöa 169 6  veà daïng  + k. Sau ñoù duøng coâng thöùc:  tan tan    k  Caùc lôøi giaûi coù theå: èng coù ñieåm ngoïn truøng vôùi ñieåm ngoïn cuûa cung 6  169 6 LG1: Cung coù soá ño ba . Do ñoù 3tan169 tan 6 6    3 LG2: Ta coù 169 1686 6 6     28 6    Do ñoù: 3tan169 tan 6 6    3 Caâu 4: ; 2      1a) Bieát 5   vaø sin . Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2 oïn: b) Ruùt g 2 2 1F  ; 2 sin cot cos           Giaù trò bieán didactic V11: Giaù trò cuûa TSLG laø phaân soá maø töû vaø maãu ñeàu coù 1 chöõ soá. ïn  ïc coù theå:  = V24: Soá ño goùc naèm trong khoaûng cuûa caùc goùc ñaëc bieät. V35: Tính V36: Ruùt go Caùc chieán löô Ñoái vôùi caâu a: cos: 1 5 o Töø sin . Tính cos. n2 = 2sincos. o Tính sin2 döïa vaøo coâng thöùc si o Tính cos2 döïa vaøo coâng thöùc sin2  + cos2  = 1.2 2 ính cos2 döïa vaøo coâng thöùc cos22 = 1 – 2sin2. o Tính tan2; cot2. cos2: o T o Tính sin2 döïa vaøo coâng thöùc sin2  + cos2  = 1. 2 2 o o Tính tan2; cot2. cot2: Duøng coâng thöùc 2 2 11 cot sin     o Tính cot2. Suy ra cot. coso Tính cos töø coâng thöùccot sin    . , cot2 . oùc 2. LG o Tính sin2, cos2, tan2   Caùc lôøi giaûi coù theå: Tính caùc GTLG cuûa g 1: 2 2 24cos 1 sin     25 24cos 5     Vì ; 2      neân cos < 0 Vaäy 24cos 5    4 6 25  o Coù sin2 = 2sincos = 23 25 o Coù cos2 = 2cos2 - 1 = o tan2 = 4 6 23; cot 2 23 4 6     LG2: o 23cos 2 25   o 2 2 96sin 2 1 cos 2 625      => 96sin 2 25    Vì ; 2     neân 2  (; 2) Do ñoù: sin2 < 0. Vaäy 4 6sin 2 25    o 4 6 23tan 2 ; cot 2 23 4 6       . Caâu 5: Chuùng toâi löïa choïn chöùng minh ñaúng thöùc tan x tan x 1 4 4              Bôûi leõ, phaûi coù ñieàu kieän cho x, hôn nöõa khi söû duïng coâng thöùc tan a tan btan(a b) 1 tan a tan b    ñeå khai trieån veá traùi seõ laøm thu heïp taäp xaùc ñònh. Vôùi 5 lôøi giaûi giaû ñònh cho tröôùc vaø yeâu caàu caâu hoûi laø haõy cho ñieåm caùc lôøi giaûi naøy vaø cho bieát lyù do, chuùng toâi seõ kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3. Chuùng toâi phaân tích 5 lôøi giaûi giaû ñònh nhö sau:  Hoïc sinh A Hoïc sinh naøy thieáu ñieàu kieän x k 4 2    Vì deã thaáy, khi x k 4 2    thì VT tan x .tan x 4 4            vaø cos 2xVP cos 2x  ñeàu khoâng coù nghóa. Lôøi giaûi naøy cho pheùp kieåm chöùng phaàn naøo giaû thuyeát H3.  Hoïc sinh B Sai laàm cuûa hoïc sinh naøy cuõng töông töï sai laàm cuûa hoïc sinh A.  Hoïc sinh C Lôøi giaûi naøy phaïm 2 sai laàm: Sai laàm thöù nhaát: Khoâng ñaët ñieàu kieän cho x ñeå bieåu thöùc coù nghóa. Sai laàm thöù hai: Khi vaän duïng coâng thöùc tan(a+b) thu heïp taäp xaùc ñònh. Ta thaáy vôùi x 2  thì VT tan .tan 4 2 4 2              = 3tan .tan 1 4 4       Trong khi ôû böôùc cuoái: 1 tan x 1 tan x. 1 tan x 1 tan x             Vôùi x 2  thì bieåu thöùc voâ nghóa. Hoïc sinh D vaø E ñeàu phaïm chung moät sai laàm laø khoâng ñaët ñieàu kieän cho bieåu thöùc coù nghóa. Thoâng qua caùc ñieåm soá ñöôïc cho vaø lyù do maø hoïc sinh neâu ra trong thöïc nghieäm cho caùc lôøi giaûi giaû ñònh, chuùng toâi kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3. 3.2.3. Phaân tích A POSTERIORI a) Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc Chuùng toâi tieán haønh laøm thöïc nghieäm treân 180 hoïc sinh cuûa 4 lôùp 9 cuûa 2 tröôøng:  THCS Voõ Tröôøng Toaûn – Quaän 1 (2 lôùp)  Caáp 2; 3 Löông Theá Vinh – Quaän 1 (2 lôùp) Caâu 1a: Haõy döïng goùc nhoïn  khi bieát: a) sin = 0,02 Baûng 3.9: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1a T MTBT CT Khaùc Chieán löôïc Caâu SL % SL % SL % SL % Toång coäng SL 1a 38 21,12% 14 7,78% 111 61,66% 17 9,44% 180 Bieåu ñoà 3.1: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1a 38 14 111 17 0 20 40 60 80 100 120 Chieán löôïc T Chieán löôïc MTBT Chieán löôïc CT Chieán löôïc khaùc Qua phaân tích lôøi giaûi cuûa caâu 1a, chuùng toâi thaáy:  Taát caû caùc baøi giaûi (180) ñeàu ñöa caùc giaù trò cuûa caùc TSLG veà daïng phaân soá. 1sin 0,02 50    hoaëc 0,1sin 0,02 5    Trong ñoù - Coù 12/180 caâu traû lôøi ñöa veà 0,1sin 5   sau ñoù döïng goùc  vôùi caùc soá ño laø chính xaùc. - Coù 68/180 caâu traû lôøi ñöa veà 1sin 50   vaø tieán haønh döïng goùc ; thì soá hoïc sinh naøy coù keát quaû goùc  döïng ñöôïc laø khoâng chính xaùc (Vì beà roäng cuûa giaáy A4 laø 21cm). Goùc döïng ñöôïc chæ mang tính chaát minh hoïa. - Coù 60/180 caâu traû lôøi khoâng veõ hình hoaëc khoâng quan taâm ñeán hình veõ. - Coù 6/180 caâu traû lôøi sai (do nhaàm laãn coâng thöùc sin ®èi huyÒn  ñaõ nhaàm laãn laø sin ®èi kÒ  ). - Coù 15/180 caâu traû lôøi laät hình veõ leân theo phöông thaúng ñöùng. Caùch laøm naøy cho keát quaû goùc döïng ñöôïc laø ñuùng. - Coù 9/180 caâu traû lôøi khoâng laøm ñöôïc caâu naøy. - Coù 10/180 caâu traû lôøi duøng caùch khaùc ñeå döïng goùc  khi bieát sin = 0,02 ñoù laø: o Coù 1sin 0,02 50 ®èi huyÒn     y O A  50 1 B  x Ghi chuù: OB = 50 khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4 o Ñoái = 1 o Tính 2 2OB AB OA 2500 1 49,99     o Döïng ñieåm B o Goùc ABO laø goùc caàn döïng. Thoáng keâ cho thaáy trong soá 180 caâu traû lôøi cuûa caâu 1a chæ coù 12/180 + 15/180 = 27/180 caâu traû lôøi ñuùng chieám tæ leä 15%. Bieåu ñoà 3.2: Tæ leä % soá hoïc sinh laøm ñuùng vaø khoâng laøm ñuùng caâu 1a) 15% 85% Hoïc sinh laøm ñuùng HoïÏc sinh laøm sai Töø keát quaû thöïc nghieäm, chuùng toâi thaáy raèng khi yeâu caàu hoïc sinh döïng goùc nhoïn  bieát tröôùc 1TSLG cuûa noù vaø ñaët hoï vaøo 1 tình huoáng khaùc laï thì hoïc sinh ñaõ boäc loä roõ caùc luùng tuùng cuûa mình trong quaù trình giaûi baøi taäp. Ñaây laø moät tình huoáng phaù vôõ hôïp ñoàng. Caâu 1b. Haõy döïng goùc nhoïn  khi bieát b) tan = 0,005 Baûng 3.10: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1b T MTBT CT Khaùc Chieán löôïc Caâu SL % SL % SL % SL % Toång coäng SL 1b 100 55,56% 30 16,66% 38 21,11% 12 6,67% 180 Bieåu ñoà 3.3: Bieåu ñoà khoái keát quaû thöïc nghieäm caâu 1b 100 30 38 12 0 20 40 60 80 100 120 Chieán löôïc T Chieán löôïc MTBT Chieán löôïc CT Chieán löôïc khaùc Qua phaân tích caùc caâu traû lôøi cuûa caâu hoûi 1b, chuùng toâi thaáy haàu heát caùc baøi giaûi ñeàu ñöa: 1tan 0,005 200    . Hoaëc tan = 0,005 = 1 0, 200 20  1 Trong ñoù coù: - Coù 95/180 caâu traû lôøi khoâng quan taâm ñeán hình veõ (caùc tæ leä khoâng ñeàu nhau) do ñoù goùc  döïng ñöôïc laø khoâng chính xaùc. - Coù 67/180 caâu traû lôøi khoâng coù hình veõ keøm theo. - Coù 8/180 caâu traû lôøi bò sai. - Coù 10/180 caâu traû lôøi bieán ñoåi 1 0,1 sau ñoù döïng hình theo chieàu daøi cuûa khoå giaáy A4 thì keát quaû naøy laø chính xaùc. tan 0,005 200 20    - Thoáng keâ cho thaáy chæ coù 10/180 caâu traû lôøi ñuùng cuûa caâu 1b chieám tæ leä 5,55%. Bieåu ñoà 3.4: Tæ leä % soá hoïc sinh laøm ñöôïc vaø khoâng laøm ñöôïc caâu 1b 5.55% 94.45% Hoïc sinh laøm ñöôïc HoïÏc sinh laøm khoâng ñöôïc Töø keát quaû treân chuùng toâi thaáy: Caû 2 caâu 1a vaø 1b, phaàn lôùn hoïc sinh ñeàu ñöa baøi toaùn veà daïng quen thuoäc ñaõ bieát caùch giaûi, tuy nhieân, trong caâu hoûi naøy, giaù trò cuûa 1 0,10,02 50 5    sin 1 0,tan 0,005 200 20     1 Cô baûn thì gioáng caùc tröôøng hôïp ñaõ ñöôïc trình baøy trong SGK vaø SBT, tuy nhieân ôû ñaây, caùc phaân soá khoâng coù daïng a b gioáng nhö caùc em ñaõ gaëp. Keát quaû cho thaáy ôû caâu 1a. Coù 15% caâu traû lôøi ñuùng. ôû caâu 1b. Coù 5,55% caâu traû lôøi ñuùng. Nhö vaäy qua caâu 1, chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc quy taéc: R1: “Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù luoân cho: o sin vaø cos laø phaân soá a b vôùi a, b  N*; a < b  9 hoaëc soá thaäp phaân maø khi vieát döôùi daïng phaân soá phaûi coù daïng a b (a, b  N*; a < b  9). o tan vaø cot luoân cho laø phaân soá coù daïng a b ; a, b  N*; a; b  9 laø toàn taïi. Caâu 2a: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh a) tan29o vôùi cos61o. Baûng 3.11: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 2a Ñcos Ñtan HT Löôïng Chieán löôïc Caâu SL % SL % SL % Toång coäng SL 2a 140 77,78% 28 15,56% 12 6,66% 180 Bieåu ñoà 3.5: Bieåu ñoà khoái keát quaû thöïc nghieäm caâu 2a 140 28 12 0 50 100 150 án löôïc Ñ1 Chieán löôïc Ñ2 Chieán löôïc HTLöôïng Chie ÑtanÑcos Phaân tích lôøi giaûi cuûa hoïc sinh ôû caâu 2a) chuùng toâi thaáy haàu heát caùc em ñeàu giaûi ñöôïc bôûi vì 2 goùc ñöa ra laø phuï nhau; - Coù 140/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc Ñcos: Ñoåi cos61o veà sin29o, töø ñoù so saùnh tan29o vôùi sin29o. Döïa vaøo coâng thöùc sintan cos    . - Coù 28/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc Ñtan. - Coù 12/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc HT löôïng. o Coù theå ñöa cos61o veà sin29o, sau ñoù döïng 1 tam giaùc vuoâng (hình veõ) Coù 1 goùc nhoïn  = 29o, vaø laäp luaän: o otan 29 ; sin 29®èi ®èi kÒ huyÒn   Vì trong tröôøng hôïp naøy caïnh keà nhoû hôn caïnh huyeàn neân ®èi ®èi kÒ huyÒn  hay tan29o > sin29o Vaäy tan29o > cos61o B  Keà Huyeàn O Ñoái A o Coù theå ñöa tan29o veà cot61o vaø cuõng laäp luaän töông töï nhö treân. Nhö vaäy ôû caâu 2a) vaán ñeà ñöa ra laø so saùnh tan vôùi cos vôùi  +  = 90o thì keát quaû thöïc nghieäm cho thaáy, hoïc sinh luoân laøm ñöôïc maëc duø phaàn so saùnh naøy trong SGK khoâng vieát döôùi daïng töôøng minh. Caâu 2b. Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh b) cot25o vôùi sin75o.  Vôùi soá ño 2 goùc laø khoâng ñaëc bieät vaø cuõng khoâng laø 2 goùc phuï nhau neân vieäc so saùnh 2 TSLG naøy laø töông ñoái khoù ñoái vôùi hoïc sinh. Trong phaàn phaân tích A PRIORI, chuùng toâi ñöa ra 2 chieán löôïc, tuy nhieân qua thöïc nghieäm thì chæ xuaát hieän chieán löôïc baéc caàu maø thoâi. Keát quaû thöïc nghieäm cho thaáy:  Coù 28/180 (chieám 15,56%) lôøi giaûi choïn chieán löôïc baéc caàu vaø cho keát quaû ñuùng.  Coù 152/180 (chieám 84,44%) lôøi giaûi sai (caùc em khoâng laøm ñöôïc).  Trong soá 152 lôøi giaûi sai, coù 96 lôøi giaûi ñaõ söûa ñeà cotg 25o thaønh cotg15o, khi aáy baøi toaùn ñöa veà so saùnh 2 TSLG cuûa 2 goùc phuï nhau, ñaây laø moät nhieäm vuï quen thuoäc ñoái vôùi hoïc sinh. Bieåu ñoà 3.6: Tæ leä hoïc sinh laøm ñuùng, khoâng ñuùng cuûa caâu 2b 84.44% 15.56% Hoïc sinh laøm ñuùng Hoïc sinh laøm sai ñuùngsai Nhö vaäy qua caâu 2, chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc quy taéc R2 R2: “Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG sau:  tan vôùi sin; (0o <  < 90o); tan vôùi cos; ( +  = 90o)  cot vôùi cos (0o <  < 90o); cot vôùi sin; ( +  = 90o) vaø môû roäng cuûa quy taéc R2 laø: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc:  tan vôùi sin cos   ; 0 o < ,  < 90o   cot vôùi ; 0o < ,  < 90o” laø toàn taïi. sin cos   Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn Chuùng toâi tieán haønh laøm thöïc nghieäm treân 170 hoïc sinh cuûa 4 lôùp 10 cuûa 2 tröôøng: THPT Tröng Vöông – Quaän 1 (2 lôùp) THPT Marie – Curie – Quaän 3 (2 lôùp) Caâu 3: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT. Em haõy tính: a) cos (2k 1) 3       ; b) tan169 6  Baûng 3.12: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 3a K2 Lieân keát Khaùc Chieán löôïc Caâu SL % SL % SL % Toång coäng SL 3a 112 65,88% 43 25,29% 15 8,83% 170  Coù 145/170 caâu traû lôøi laäp luaän chaët cheõ, keát quaû chính xaùc.  Coù 25/170 caâu traû lôøi bò sai do caùc nguyeân nhaân sau: - Khoâng nhôù coâng thöùc hoaëc khoâng nhôù baûng caùc GTLG ñaëc bieät. - Sai laàm do vaän duïng coâng thöùc. Ví duï: cos(a + b) cosa + cosb…?? Ñoái vôùi caâu hoûi naøy, nhìn chung hoïc sinh laøm ñuùng vôùi caùc chieán löôïc döï ñoaùn. Tuy nhieân coù 7 lôøi giaûi ñaõ vaän duïng coâng thöùc. cos (a + b) = cosacosb – sinasinb ñeå tính cos (2k 1) 3        vaø cho keát quaû ñuùng. Beân caïnh aáy coù 3 tröôøng hôïp do söùc hoïc yeáu; neân aùp duïng coâng thöùc cos(a + b) = cosa + cosb. Trong quaù trình caùc em laøm baøi chuùng toâi ghi nhaän thaáy ñoái vôùi caâu 3a) hoïc sinh vaän duïng caùc coâng thöùc töông ñoái toát. Caâu 3b: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, haõy tính: b) tan169 6  Ñoái vôùi caâu naøy, keát quaû thoáng keâ nhö sau:  Coù 141/170 lôøi giaûi vaän duïng coâng thöùc: tan( k ) tan     vaø cho keát quaû ñuùng.  Coù 16/170 lôøi giaûi aùp duïng coâng thöùc sai.  Coù 13/170 lôøi giaûi cho keát quaû sai, do khoâng nhôù baûng caùc GTLG ñaëc bieät. Chuùng toâi quan saùt trong khi thöïc nghieäm thì thaáy. Ñoái vôùi daïng baøi taäp naøy caùc em thao taùc raát nhanh, vaø cho keát quaû khaù toát. Nhö vaäy quy taéc R3 laø toàn taïi. Caâu 4: Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2 bieát: 1sin ; ; 5 2        Baûng 3.13: Keát quaû thoáng keâ nhö sau cos Cos2 cot2 Chieán löôïc Caâu SL % SL % SL % Toång coäng SL 4a 94 55,30% 73 42,94% 3 1,76% 170 Thoáng keâ cho thaáy:  Coù 94/170 lôøi giaûi choïn chieán löôïc cos töùc laø töø 1sin 5   . Tính cos. Sau ñoù tính sin2; cos2; tan2, cot2. Trong 94 lôøi giaûi choïn chieán löôïc naøy, caùc sai laàm maø hoïc sinh ñaõ vi phaïm ñoù laø: Daïng 1: Töø  2sin1cos 5 1sin ; coù 21/94 lôøi giaûi Daïng 2: Töø 21 24sin cos cos 5 25         24 25 ; coù 1/94 lôøi giaûi Do ñoù trong chieán löôïc naøy coù 25/94 lôøi giaûi bò sai daáu GTLG (chieám tæ leä 24,60%).  Coù 73/170 lôøi giaûi choïn chieán löôïc cos2. Töùc laø töø 1sin 5   . Tính cos2 = 1 - 2sin2. Trong 73 lôøi giaûi choïn chieán löôïc naøy, caùc sai laàm maø hoïc sinh ñaõ vi phaïm ñoù laø: Daïng 1: Töø 21 2sin cos 5 2      4 5 Tính cos2 = 2cos2 - 1 = 23 25  (vì ; 2     ); coù 3/73 lôøi giaûi Daïng 2: Sau khi coù cos2, tính tieáp 2sin 2 1 cos 2    ; coù 9/73 lôøi giaûi Daïng 3: Tính tröïc tieáp sin 2 2sin cos    = 21 42sin 1 5 2       6 5 ; coù 5/73 lôøi giaûi Do ñoù trong chieán löôïc naøy coù 17/73 lôøi giaûi bò sai daáu GTLG (chieám tæ leä 23,29%). Nhö vaäy ôû caâu 4 coù taát caû 25 + 17 = 42 lôøi giaûi bò sai daáu chieám tæ leä 27,21%. Bieåu ñoà 3.7: Tæ leä hoïc sinh bò sai daáu, khoâng sai daáu cuûa caâu 4 27% 73% Sai daáu Ñuùng Do ñoù giaû thuyeát H3 ñaõ ñöôïc kieåm chöùng. Caâu 5: Trong soá 170 hoïc sinh laøm thöïc nghieäm coù 5 lôøi giaûi cho ñieåm nhöng khoâng neâu lyù do. Coù 4 lôøi giaûi khoâng cho ñieåm vaø khoâng coù lyù do. Nhö vaäy, chuùng toâi chæ thoáng keâ treân 161 hoïc sinh coù tham gia traû lôøi. Döôùi ñaây laø baûng thoáng keâ caâu traû lôøi cuûa hoïc sinh. Baûng 3.14: Thoáng keâ ñieåm cao, thaáp cuûa 5 hoïc sinh Hoïc sinh Caâu 5 Soá löôïng Toång coäng Tyû leä Ñieåm cao: Baøi laøm ngaén goïn, deã hieåu 135 79,88% A Ñieåm thaáp: Trình baøy quaù ngaén; hoaëc thieáu ñieàu kieän 34 161 20,12% Ñieåm cao: AÙp duïng coâng thöùc toát. 141 87,58% B Ñieåm thaáp: Thieáu ñieàu kieän 20 161 12,42% Ñieåm cao: Baøi giaûi ñuùng, nhöng hôi bò daøi doøng. 101 59,76% C Ñieåm thaáp: Moät soá cho laø baøi giaûi bò sai. Moät soá tröø ñieåm vì thieáu ñieàu kieän. 68 161 40,24% Ñieåm cao: Baøi laøm ngaén goïn, deã hieåu. 85 50,30% D Ñieåm thaáp: Moät soá ghi thieáu ñieàu kieän; Moät soá ghi baøi giaûi sai. 84 161 49,70% Ñieåm cao: Thuoäc nhieàu coâng thöùc vaø bieát caùch vaän duïng coâng thöùc 50 29,59% E Ñieåm thaáp: Baøi giaûi quaù daøi doøng 119 161 70,41% Baûng thoáng keâ caâu hoûi 5 neâu treân cho chuùng ta thaáy hoïc sinh A vaø hoïc sinh B ñöôïc chaám ñieåm cao nhieàu hôn so vôùi caùc hoïc sinh C, D, E. Phaàn ñoâng giaûi thích do baøi laøm ngaén goïn, deã hieåu, coù raát ít lyù do tröø ñieåm do thieáu ñieàu kieän (Hoï chæ noùi thieáu ñieàu kieän maø khoâng noùi roõ ñoù laø ñieàu kieän naøo?). Hoïc sinh C, D, E ñöôïc chaám ñieåm thaáp hôn so vôùi hoïc sinh A vaø hoïc sinh B, caùc hoïc sinh ñöôïc tham khaûo yù kieán traû lôøi phaàn nhieàu cho laø lôøi giaûi caùc hoïc sinh C, D, E quaù daøi doøng, vôùi ñoái töôïng laø hoïc sinh yeáu thì khoù hieåu, khoù nhôù. Coù raát ít lyù do tröø ñieåm vì bò thieáu ñieàu kieän. Keát quaû thöïc nghieäm ôû caâu hoûi 5 cho thaáy nhieàu hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän luùc ñaàu cuûa bieåu thöùc, hoaëc chæ maùy moùc vaän duïng coâng thöùc maø khoâng thaáy ñöôïc trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät thì coâng thöùc aáy khoâng coøn ñuùng nöõa. Ña soá caùc em ñöôïc laøm thöïc nghieäm chæ quan taâm ñeán ñoä ngaén, daøi cuûa baøi giaûi, vaø ñoái chieáu xem caùc coâng thöùc vaän duïng ñaõ ñuùng chöa. Do ñoù giaû thuyeát H3 ñöôïc kieåm chöùng. KEÁT LUAÄN Qua luaän vaên naøy, chuùng toâi ñaït ñöôïc nhöõng keát quaû chuû yeáu sau: Trong chöông 1, vieäc phaân tích moät soá giaùo trình ñöôïc giaûng daïy ôû baäc cao ñaúng, ñaïi hoïc, chuùng toâi ñaõ tìm ñöôïc moät soá TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Trong chöông 2, nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng tri thöùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi xaây döïng ñöôïc caùc TCTH ñöôïc giaûng daïy ôû baäc phoå thoâng. Töø ñoù chuùng toâi chæ ra ñöôïc moät soá cheânh leäch giöõa TCTH ôû tröôøng phoå thoâng vôùi TCTH ôû ñaïi hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Ngoaøi nhöõng keát quaû treân, nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng tri thöùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn coøn daãn chuùng toâi ñeán vôùi ba giaû thuyeát nghieân cöùu H1, H2 vaø H3 maø tính thoaû ñaùng cuûa chuùng ñaõ ñöôïc kieåm chöùng baèng moät thöïc nghieäm treân hai ñoái töôïng giaùo vieân vaø hoïc sinh ôû chöông 3. Beân caïnh aáy, keát quaû nghieân cöùu cuûa chöông 2, cho pheùp chuùng toâi thaáy ñöôïc söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc toaùn ôû baäc phoå thoâng. Trong chöông 3: Chuùng toâi ñaõ xaây döïng moät soá tình huoáng thöïc nghieäm nhaém ñeán caùc öùng xöû cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh thoâng qua 3 giaû thuyeát nghieân cöùu. Vôùi giaû thuyeát H1: Theå hieän 3 quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic. Vôùi giaû thuyeát H2: Noùi leân raèng hoïc sinh ít quan taâm ñeán daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc . Vôùi giaû thuyeát H3: Ñaõ theå hieän roõ hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc löôïng giaùc tröôùc khi chöùng minh. Töø keát quaû nghieân cöùu cuûa chöông 2 vaø chöông 3, keát hôïp vôùi quaù trình giaûng daïy cuõng nhö thöïc tieãn cuûa cuoäc soáng, chuùng toâi töï hoûi. - Ngoaøi lónh vöïc toaùn hoïc thì löôïng giaùc ñaõ ñöôïc vaän duïng trong caùc ngaønh traéc ñòa, vaät lyù, hoaù hoïc nhö theá naøo? - Hoaëc: MTBT ñaõ coù nhöõng hoã trôï gì khi daïy vaø hoïc löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (Tìm GTLG cuûa goùc , daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc , so saùnh caùc GTLG cuûa goùc …). Do haïn cheá veà thôøi gian nghieân cöùu neân chuùng toâi xin daønh laïi caùc vaán ñeà ñoù cho caùc coâng trình tieáp theo. ._.