Bước chuyển từ lượng giác "trong đường tròn" đến lượng giác "trong hàm số" trong dạy học toán ở trường phổ thông

9H30H31H32H33H34H35H36H37H38 H39H40H41H42H43H44H45H46H47H48H49H50H51H0H1H MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong ngành vật lý, thiên văn, hàng hải... Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Pháp, Úc…, lượng giác luôn được giảng dạy theo thứ tự: lượng giác “trong tam giác”1, lượng giác “trong đường tròn” 2 và lượng giác “trong hàm số”3. Ở Việt Nam, không nằm ngoài xu hướng giảng dạy của các nước trên thế giới, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự như thế. Cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11. Như thế, chúng tôi thấy rõ có một trình tự để dạy lượng giác (theo ba giai đoạn) ở bậc trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) tại Việt Nam. Câu hỏi đặt ra là: . Tại sao những người soạn thảo chương trình và sách giáo khoa Việt Nam lại lựa chọn và đưa nội dung "lượng giác" vào giảng dạy ở trường phổ thông theo trình tự đó? Có thể thay đổi trình tự giảng dạy lượng giác trên được không? 1 Tri thức lượng giác gắn với tam giác được gọi tắt 2 Tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác được gọi tắt 3 Tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác được gọi tắt. . Tri thức lượng giác cần dạy ở giai đoạn trước chuẩn bị cho việc dạy học tri thức lượng giác ở giai đoạn sau như thế nào? Và, tri thức lượng giác ở giai đoạn sau khai thác các tri thức lượng giác ở giai đoạn trước ra sao? Có hay không sự thống trị của tri thức lượng giác ở giai đoạn trước đối với giai đoạn sau? Đâu là mâu thuẫn tạo động lực phát triển tri thức lượng giác ở giai đoạn sau? . Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì trình tự trên xuất hiện như thế nào? Tri thức lượng giác trong từng giai đoạn gắn liền với tình huống nào? . Đâu là sự khác biệt về cách trình bày trong sách giáo khoa với giáo trình đại học về tri thức lượng giác trong từng giai đoạn? Lý do của sự khác biệt đó? . Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn? Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu sâu sắc bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau của tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK) mà còn trong việc giảng dạy. Đặc biệt, phân tích tính kế thừa và gián đoạn của các bước chuyển trên. Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu chủ yếu của mình vào hai giai đoạn giảng dạy lượng giác ở bậc THPT - từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng giác “trong hàm số”. Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do: - Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam, - Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường phổ thông tại Việt Nam, - Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên quan đến lượng giác “trong hàm số”. 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu bước chuyển từ giai đoạn giảng dạy tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy tri thức lượng giác “trong hàm số”; đặc biệt là xoay quanh tính kế thừa và gián đoạn của bước chuyển này. Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm công cụ như: tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học và khái niệm hợp đồng didactic. Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau: Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác «trong đường tròn» và «trong hàm số» được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Q2. Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn? Q4. Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng giác “trong hàm số”? 3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu Bằng cách tham khảo một số tài liệu, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác và các TCTH hiện diện trong giai đoạn đường tròn 4 và giai đoạn hàm số 5 ở bậc đại học. Nghiên cứu trên sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế mà ở đó, chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:  Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình THPT, chúng tôi sẽ làm rõ sự hiện diện của các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số qua các cấp học; từ đây có thể dự đoán được tương lai của chúng trong chương trình Toán bậc THPT.  Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các SGK, SBT, SGV Toán (lớp 10 và lớp 11), chúng tôi sẽ chỉ ra TCTH được xây dựng xung quanh các kỹ thuật giải các bài toán trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số để phân tích tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số. Song song đó, chúng tôi sẽ làm rõ các quy tắc hợp đồng didactic ngầm ẩn liên quan đến tri thức lượng giác trong việc dạy - học lượng giác ở cả hai giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số. Từ đó, chúng tôi xác định sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy ở trường phổ thông. Điều này sẽ hỗ trợ cho chúng tôi trong việc làm rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế trong việc dạy - học các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn trên  Thứ ba: Việc quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn (lớp 10) sẽ giúp chúng tôi bước đầu tìm hiểu ứng xử của giáo viên và học sinh trước khi dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số. Qua đó, kết hợp quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số (lớp 11) với phân tích chương trình và SGK để hình thành các giả thuyết nghiên cứu, đề xuất câu hỏi mới.  Sau cùng, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên sẽ giúp chúng tôi rút ra được một số giả thuyết nghiên cứu mà tính hợp thức của các giả thuyết này sẽ được kiểm chứng qua một thực nghiệm được tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh. 4 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác 5 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác 4. Cấu trúc của luận văn Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận.  Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.  Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể: chúng tôi tìm các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện ở giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số; đồng thời, làm rõ đặc trưng của bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong các giáo trình ở bậc đại học. Các TCTH tìm được trong giáo trình ở bậc đại học sẽ đóng vai trò là TCTH tham chiếu cho phép chúng tôi bước sang chương 2.  Trong chương 2, chúng tôi thực hiện nghiên cứu chương trình và SGK để làm rõ mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”. Chúng tôi sẽ chỉ rõ "vết" mà TCTH tham chiếu để lại trong SGK và giải thích sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy. Từ đó, chúng tôi làm rõ những ràng buộc của thể chế và các quy tắc hợp đồng chuyên biệt gắn liền với các bài toán ở hai giai đoạn trên. Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng tôi đề xuất các hợp đồng didactic, câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số.  Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic đã nêu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi mới.  Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương trên, chỉ ra lợi ích của đề tài, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn. Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau : Mở đầu Chương 1 Chương 2 Chương 3 Chương 1: CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN QUAN ĐẾN CÁC TRI THỨC LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG HÀM SỐ” Mục đích của chương 1 là nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” dưới cấp độ tri thức ở bậc đại học. Qua đó, chúng tôi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 đặt ra trong phần mở đầu như sau: Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác ”trong đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước chuyển từ các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang các tri thức lượng giác ” trong hàm số” có đặc trưng gì? Các giáo trình đại học chủ yếu được chọn tham khảo để nghiên cứu trong chương này là: [35] Toán học cao cấp và Bài tập Toán cao cấp (tập 2) (dùng cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật) của Nguyễn Đình Trí (chủ biên). [41] "College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett. [42] "Algebra and Trigonometry for College students" của Richard S. Paul và Ernest F. Haeussler. [43] "A text book of Trigonometry for Colleges and Engineering Schools" của William H. H. Cowles và James E. Thompson. Sau đây, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược về lịch sử lượng giác. Nhưng, phần phân tích của chúng tôi không chỉ đơn thuần là sự tóm tắt các sách, báo viết về lịch sử lượng giác đã tham khảo. Nghiên cứu của chúng tôi chủ yếu là tìm trong lịch sử trình tự xuất hiện của từng giai đoạn mà chúng tôi đã nêu ở phần mở đầu cũng như các tình huống gắn liền với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn. 1.1. Sơ lược lịch sử lượng giác Kết quả trong mục này được rút ra từ [6], [24], [32], [33] và về lịch sử lượng giác. Lịch sử lượng giác có thể chia thành hai thời kỳ lớn. Lượng giác đã bắt đầu với tư cách là yếu tố tính toán của hình học. Nó nảy sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lụt hàng năm ở sông Nin và hình thành cùng với sự phát triển của hình học. Ngay từ thời kỳ cổ Hi Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài, kim tự tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng (trùng với khái niệm sin, cosin ngày nay). Về sau, những tri thức lượng giác đầu tiên đã xuất hiện ở thời cổ Hi Lạp do nhu cầu của thiên văn. Hippac và Plôtêmê (thế kỷ thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa độ dài của dây trương một cung tròn đã biết. Việc biến đổi lượng giác có sử dụng các tỉ số sin, cos, tan, cot ở tam giác vuông đã được những nhà học giả Ả Rập tiến hành vào thế kỷ thứ 9. Kiến thức hình học của người Babilon, về căn bản cũng như người Ai Cập. Tuy nhiên, người Babilon đã có khái niệm sơ bộ về đo góc và đó là mầm mống của "tam giác lượng" (hay lượng giác trong tam giác). Lượng giác đặc biệt phát triển mạnh vào thời kỳ trung cổ ở phương Đông rồi sau đó mới phát triển ở châu Âu. Để giảm bớt nặng nhọc trong lao động tính toán, người ta đã thành lập những bảng sin, tan v.v ... An Casi (đầu thế kỷ 15) cũng đã lập ra bảng các giá trị lượng giác của góc (cung) với độ chính xác đến 9 chữ số thập phân. Lượng giác phẳng và lượng giác cầu đã có được một “hệ thống cân đối” giàu sự kiện. Chẳng hạn, trong tác phẩm của Naxirêđin (1201 - 1274) với tên là "Luận văn về hình bốn cạnh đầy đủ" đã có phần phương pháp giải tam giác phẳng và tam giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo ba góc. Như vậy, trong thời kỳ đầu, lượng giác chỉ bao gồm những thủ thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể quy về những tam giác. Vì thế, người Hilạp gọi là "tam giác lượng" tức là đo đạc các tam giác. Ở thời kỳ thứ hai, lượng giác đã xuất hiện như một khoa học về "tam giác lượng". Việc ra đời của giải tích toán và sự phát triển mạnh mẽ của nó ở thế kỷ 17 và 18 đã tạo điều kiện cho lượng giác phát triển, nhưng theo một phương hướng mới. Các đại lượng của lượng giác trước đây chỉ được coi như là phương tiện để giải các vấn đề hình học thì nay đã trở thành những đối tượng để nghiên cứu. Các đối tượng đó được xem như là những hàm. Lý thuyết về các hàm lượng giác được Euler nghiên cứu lần đầu tiên (1748) trong tác phẩm "Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé"; trong đó, các hàm lượng giác đã được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi. Hướng mới này bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ... Sau đó, Wessel, một nhà đo đạc người Nauy, đã xuất phát từ hình học để giải thích sự tồn tại của số phức (1797) với ý đồ muốn tìm cách biểu diễn các phương trong không gian theo kiểu giải tích. Ông đã đưa ra cách giải thích hình học cho 1 và chỉ ra mọi bán kính của vòng tròn đơn vị đều có thể viết ở dạng cosv + δ sinv, trong đó δ.δ = -1. Từ đó, suy ra mọi đoạn thẳng của mặt phẳng đều được biểu diễn bởi biểu thức giải tích dạng: r(cosv + δ sinv) hay a + δb ...  Tóm lại - Qua nghiên cứu sơ lược lịch sử, các tri thức lượng giác liên quan rất nhiều đến các hiện tượng trong đời sống và ứng dụng trong các ngành khoa học như: kỹ thuật, vật lý, thiên văn, trắc địa, hàng hải v.v... - Lượng giác xuất hiện ban đầu chỉ với tư cách là công cụ giải quyết các vấn đề hình học, có thể xem đây là sự xuất hiện của các tri thức lượng giác “trong tam giác”. Sau đó, lượng giác tiến triển và trở thành đối tượng nghiên cứu, cụ thể là các tri thức lượng giác “trong hàm số”. Tuy nhiên, các tri thức lượng giác “trong hàm số” chỉ được nghiên cứu theo hướng phát triển của giải tích; đặc biệt, hàm số lượng giác được định nghĩa nhờ vào các chuỗi lũy thừa. - Các tri thức lượng giác “trong đuờng tròn” dường như ít để lại dấu vết trong lịch sử, chỉ thấy tri thức lượng giác “trong đường tròn” xuất hiện khi đề cập đến số phức. - Theo các nhà nghiên cứu lịch sử, ý tưởng tổng quát về liên hệ hàm - trong đó, có hàm lượng giác chưa xuất hiện trong thời cổ đại. Cuối thế kỷ 16, những hàm được nghiên cứu bằng các bảng giá trị như bảng lượng giác, bảng lôgarit. - Vào thế kỷ 17, Euler cho thấy phạm vi mà ông quan tâm là lý thuyết hàm số và thay đổi cách xem xét hình học bằng cách xem xét biểu thức của hàm số - trong đó có hàm số lượng giác. Quan niệm hình học của Euler tồn tại rất lâu trong sự phát triển của giải tích nhưng đã trở thành một sự cản trở cho sự phát triển của lý thuyết hàm, nhất là từ sau công trình của Fourier. - Gần đây, người ta đã xây dựng các hàm lượng giác theo phương pháp tiên đề; nhờ đó, lượng giác đã đi sát được với toán học hiện đại và có một giá trị lớn về cơ sở lý thuyết. Như thế, tri thức lượng giác xuất hiện trong các bài toán về đo đạc - thuộc phạm vi hình học. Đặc biệt, từ sự nghiên cứu cung và góc, người ta đã nghiên cứu đến hàm số lượng giác thuộc phạm vi đại số. Chúng tôi sẽ phân tích cụ thể giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett và tổng hợp một số giáo trình đại học đã tham khảo để làm rõ những TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”. 1.2. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” trong các giáo trình ở bậc đại học 1.2.1. Lượng giác trong giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett Mở đầu giáo trình, tác giả giới thiệu cách tiếp cận với lượng giác của mình theo sự tiến triển của lịch sử. Đó là lý do mà chúng tôi chọn giáo trình này để phân tích tình huống nảy sinh các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số. - Xuất phát từ các hiện tượng trong tự nhiên, nhu cầu đo góc bất kỳ được đưa ra. Người ta đã nghiên cứu đến việc xây dựng góc lượng giác để đáp ứng nhu cầu trên. Đường tròn số mà trên đó xác định các góc tương ứng với hai đơn vị đo góc: độ và radian cũng xuất hiện. - Tác giả đã giới thiệu định nghĩa hàm số lượng giác của góc  bất kỳ dựa vào toạ độ của điểm nằm trên tia cuối của góc với công cụ chủ yếu là mặt phẳng tọa độ và công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác. Cách xây dựng định nghĩa này thể hiện cụ thể qua việc mô tả "máy cosin" với đối số là góc có đơn vị đo như sau: "Máy cosin" [41, tr.355] * Ứng dụng để tìm dạng lượng giác của số phức: Các tác giả Franklin Demana, Bert K. Waits và Stanley R. Clemens trong [39] đã giới thiệu6: "Dạng chung để biểu diễn các số phức liên quan đến các hàm số lượng giác của góc sin , cos  . Để xây dựng dạng lượng giác của số phức, chúng ta sẽ sử dụng cách biểu diễn hình học của số phức. Số phức a + bi tương ứng với điểm P(a, b) trong mặt phẳng phức. 6 Các trích dẫn do chúng tôi dịch từ bản tiếng Anh. a R   TXĐ (Góc) 1. Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối của góc . Tìm bán kính R b a  b a R P(a,b) 2. cos a R   TGT (Số thực)  (độ hay radian) cos a R   P(a,b) a + bi b r  a x Số phức a + bi xác định một tam giác vuông Trên hình, chúng ta thấy tam giác vuông được xác định bởi z = a + bi, độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, r, với 2 2 , cos ,sina br a b r r      . Do đó: chúng ta có thể viết a + bi = r(cos + i sin )". [39, tr.445- 446] * Một tình huống ứng dụng trong ngành kỹ thuật: "Hình minh họa một piston được nối với một bánh xe quay 3 vòng/giây. Từ đây, góc  sẽ là 3(2 ) = 6 /giây hay  = 6 t, với t là thời gian tính bằng giây. Giả sử P ở (1, 0) khi t = 0, chứng minh rằng: y = b + 2 2 24 sin 6 16 (cos 6 ) , 0a t t t      và tìm vị trí của piston khi t = 0,2 s". [41, tr.354]  Nhận xét - Thuật ngữ "hàm lượng giác" được sử dụng chung để chỉ các hàm sin, cos, tan, cot, csc, ... mà không có sự phân biệt rạch ròi giữa khái niệm hàm số lượng giác và giá trị lượng giác của góc bất kỳ như ngày nay. - Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đã vận hành khi xây dựng hàm số lượng giác của góc 7. Đánh dấu cho sự vận hành này là sự xuất hiện của đường tròn định hướng gắn với hệ trục tọa độ. Song song đó, người ta luôn tìm một "tam giác tham chiếu" hay "góc tham chiếu" trong đường tròn định hướng; thao tác trên tọa độ (a, b) của điểm nằm trên đường tròn định hướng và tia cuối của góc khi định nghĩa hàm số lượng giác của góc. 7 Trong các giáo trình đại học mà chúng tôi tham khảo, khái niệm hàm số lượng giác của góc trùng với khái niệm giá trị lượng giác của góc bất kỳ trong các SGK môn Toán dạy ở trường phổ thông tại Việt Nam.  (1, 0) x y y P(a, b) 4 - Vấn đề giải quyết các tình huống trong ngành kỹ thuật đã làm xuất hiện những biến không phải là các góc có đơn vị đo độ và radian. Chính vì thế, tác giả dẫn chúng ta đến một cách tiếp cận mới với hàm số lượng giác - không dựa vào các góc có đơn vị đo. Đó là việc xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác - dựa vào các số thực với công cụ đường tròn lượng giác - đường tròn định hướng bán kính đơn vị. Chúng tôi nhận thấy tác giả giáo trình giới thiệu định nghĩa hàm số lượng giác của số thực bằng hai cách: * Cách 1: bx R  "Máy sin" * Cách 2: sinx = b = 1 b = sin(x rad) ; cosx = a = 1 a = cos(x rad) [41, tr.355-372] - Chúng tôi chỉ minh họa hai hàm số lượng giác sin và cosin. Cách thứ nhất đã ngầm ẩn sử dụng đường tròn định hướng có bán kính tùy ý, cách thứ hai dùng đường tròn lượng giác. - Điểm giống nhau của hai cách là cùng dựa vào hàm số lượng giác của góc có đơn vị đo radian và tọa độ của điểm nằm trên tia cuối của góc, cùng thuộc phạm vi đại số. Việc giải thích cho hai cách trên lại dựa trên phạm vi hình học. Thật vậy: b x O (1, 0) a (-1, 0) P (cosx, sinx) (0, 1) (0, -1) a b x TGT (Số thực) x (số thực) TXĐ (Số thực) 1. Liên hệ số thực x với góc x radian 2. Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối của góc x. Tìm bán kính R b P(a,b) a x a 3. sinx = sin (x rad) = b R sin bx R  Từ hệ thức trong hình học phẳng s =  r, nếu r = 1 thì s =  . Trong trường hợp này s và  được biểu thị bằng cùng một số thực. Tương ứng tự nhiên giữa góc và cung cũng cho phép sử dụng số đo cung làm số đo góc chắn cung. - Mặt khác, công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên còn là tri thức về mặt phẳng tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. - Đặc trưng của lượng giác trong hàm số là nó luôn đồng hành với công cụ đường tròn lượng giác, nhất là khi xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác của số thực và các tính chất của hàm số này. Chính điều đó mà thuật ngữ "hàm số vòng" còn được dùng thay thế cho hàm số lượng giác của số thực. 1.2.2. Các giáo trình đại học khác Chúng tôi sẽ tổng hợp các giáo trình đại học đã tham khảo để tìm hiểu cụ thể cách định nghĩa “hàm lượng giác”.  Định nghĩa bằng tam giác vuông Hàm Định nghĩa Biểu thức Sin Tỉ số cạnh đối và cạnh huyền Cos Tỉ số cạnh kề và cạnh huyền Tan Tỉ số cạnh đối và cạnh kề Cot Tỉ số cạnh kề và cạnh đối Sec Tỉ số cạnh huyền và cạnh kề  Định nghĩa bằng đường tròn đơn vị Định nghĩa dùng đường tròn đơn vị thật ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho mọi góc là số thực, không chỉ giới hạn giữa 0 và 2  . Hàm Định nghĩa sin(θ) y cos(θ) x tan(θ) y/x cot(θ) x/y  Dùng đại số Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt. Với góc θ là góc giữa đường thẳng nối gốc tọa độ và điểm (x; y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ Oxy, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là: Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 3600: sin = sin( + 2 k); cos = cos( + 2 k). Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ. Tan và cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 1800.  Dùng hình học Hàm Định nghĩa Chú thích sin(θ) AC Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ cos(θ) OC tan(θ) AE Đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến" cot(θ) AF sec(θ) 1/x csc(θ) 1/y Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O. Hình vẽ cho thấy định nghĩa các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O bằng hình học, với θ là nửa cung AB: sec(θ) OE Đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn" csc(θ) OF versin(θ) CD versin(θ) = 1 − cos(θ) exsec(θ) DE exsec(θ) = sec(θ) − 1 Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.  Định nghĩa bằng chuỗi Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này, có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng giác còn lại. Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng như chuỗi Fourier, vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi. Trong bảng bên dưới, quy ước: En là số Euler thứ n , Un là số lên/xuống thứ n. Hàm Định nghĩa Cụ thể Sin(x) 2 1 0 ( 1) (2 1) ! n n n x n     Cos(x) Tan(x) Cot(x) Sec(x) Csc(x)  Trên trường số phức Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo: , với i là đơn vị ảo, i = 1 . Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = eix thì các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn. Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z: Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực: ;  Định nghĩa bằng phương trình vi phân Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân: y'' = - y. Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng. Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V. Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này. Như vậy, xét về lý thuyết trong giáo trình ở bậc đại học, có nhiều cách tiếp cận với hàm lượng giác thuộc các phạm vi đại số, hình học và giải tích. Tri thức lượng giác được trình bày theo trình tự: Lượng giác “trong tam giác” Lượng giác “trong đường tròn” Lượng giác “trong hàm số” Phạm vi hình học Phạm vi đại số Bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong giáo trình đại học có những đặc trưng gì? Trong khi tiếp cận với lượng giác trong hàm số, tác giả giáo trình đại học này cũng như hầu hết các giáo trình khác không thể không nhờ đến sự hỗ trợ của lượng giác trong đường tròn. Đâu là mâu thuẫn thúc đẩy sự phát triển của lượng giác trong hàm số? Có hay không mâu thuẫn giữa "cái cũ" (hàm số lượng giác có đối số là góc có đơn vị đo) và "cái mới" (hàm số lượng giác có đối số là số thực)? Việc làm rõ các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số ở các giáo trình đại học sẽ cho phép chúng tôi phân tích sâu sắc hơn tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển trên. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ làm rõ chức năng của các bài toán lượng giác trong giai đoạn đường tròn đối với giai đoạn hàm số. Qua việc tổng hợp các giáo trình ở bậc đại học, chúng tôi thấy tồn tại các TCTH liên quan đến "hai lượng giác" được ưu tiên sau đây: 1.2.3. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn” Các kiểu nhiệm vụ T*, kỹ thuật τ*, công nghệ θ* tương ứng như sau:  T*1: Chuyển đổi giữa radian và độ, có 2 kỹ thuật giải quyết: τ*11: Áp dụng công thức π = 1800. θ*11: Công thức tìm số đo cung tròn sr và độ dài đường tròn s = 2 r. τ*12: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng tính Brađixơ.  T*2: Tìm góc  , có 2 kiểu nhiệm vụ con và kỹ thuật tương ứng như sau: ♦ T*21: Tìm góc  khi biết nó có cùng tia cuối với góc cho trước, τ*21: Cộng thêm hoặc trừ đi k2π vào góc đã cho (k  ). θ*21: Tính chất của góc lượng giác: "Nếu  là số đo của một góc, có một số nguyên k và  ' sao cho  =  ' + k2π". Ví dụ: Tìm góc  tương ứng với 16 3  biết 0 ≤  < 2π . [38, tr. 343] ♦ T*22: Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó, τ*22: Dùng máy tính bỏ túi hay bảng Brađixơ.  T*3: Tìm độ dài cung tròn biết bán kính và góc chắn cung đó τ*3: Đổi số đo góc từ độ sang radian, áp dụng công thức s =  r. θ*3 = θ*11.  T*4: Tính diện tích A của hình quạt tròn biết bán kính và góc giữa τ*4: Đổi số đo góc từ độ sang radian, rồi áp dụng công thức A= 1 2 r2 . θ*4 = θ*11.  T*5: Tìm vận tốc góc của vòng tròn hay vận tốc dài của 1 điểm di chuyển trên đường tròn khi biết bán kính và số vòng quay τ*5: Áp dụng công thức ω = 2πn với n là số vòng quay và v = ωr. θ*5 = θ*11. Ví dụ: Một bánh xe bán kính 18 đang quay khoảng 850 vòng/phút. Xác định: Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc dài của 1 điểm trên đường tròn bánh xe. [39, tr.164]  T*6 : Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc  , có 3 kiểu nhiệm vụ con sau: ♦ T*61: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết tọa độ (x, y) của điểm trên tia cuối, τ*61: - Áp dụng công thức trong định nghĩa tính r = 2 2x y , - Thay vào sin = y r , cos = x r , tan = y x , cot = x y , ... θ*61: Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ và định lý Pitago: "Bình phương độ dài cạnh huyề._.n bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". ♦ T*62: Tìm các giá trị của hàm số lượng giác khác của góc  khi biết một hoặc hai giá trị của hàm số lượng giác của góc đó, τ*62a: - Áp dụng các công thức cơ bản, hệ thức lượng giác, - Xét dấu các giá trị lượng giác của góc  . τ*62b: Sử dụng đường tròn lượng giác. θ*62 = θ*61: Định lý Pitago và định nghĩa góc lượng giác. Ví dụ: Cho sin = 1 4  . Tìm các giá trị lượng giác khác của góc  biết tan > 0. [36, tr. 352] ♦ T*63: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết số đo của góc  , τ*63a: - Vẽ tia cuối của góc đó trên hệ trục tọa độ, - Tìm góc tham chiếu là góc nhọn rồi áp dụng vào công thức trong định nghĩa hàm số lượng giác của góc. θ*63a: Định nghĩa góc lượng giác và tỉ số lượng giác trong tam giác. τ*63b : Dùng bảng Brađixơ hoặc máy tính bỏ túi.  T*7: Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc8 τ*71: - Biểu diễn góc lượng giác, - Tính giá trị của hàm số lượng giác của góc, tìm dấu của hàm số lượng giác. τ*72: - Áp dụng các hệ thức liên hệ để tìm giá trị hàm số lượng giác của góc. - Suy ra dấu của hàm số lượng giác. θ*7: Định nghĩa hàm số lượng giác của góc và tính chất của góc lượng giác.  Nhận xét - Kiểu nhiệm vụ T*6: "Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc  " được ưu tiên trong các giáo trình ở bậc đại học mà chúng tôi chọn tham khảo trong mục này. - Kiểu nhiệm vụ T*22: "Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó" với số lượng bài tập rất hiếm, thường được giới hạn miền xác định của góc là từ 0 00 360  nên  tìm được chỉ có một hoặc hai giá trị. - Các kỹ thuật thiên về dùng công thức lượng giác cơ bản và bảng lượng giác được ưu tiên trong việc tính toán bằng đơn vị đo radian. - Đặc trưng trong việc giải thích cho các kỹ thuật là dựa vào quan điểm hình học. 1.2.4. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”  T*8: Khảo sát các hàm số lượng giác9, có 7 kiểu nhiệm vụ con như sau: ♦ T*81: Tìm miền xác định của hàm số lượng giác, với 2 kỹ thuật: τ*81a: "Phương pháp đại số". τ*81b: Dùng đường tròn đơn vị hay đồ thị suy ra tập xác định. θ*81b = θ*7 + Định nghĩa hàm số lượng giác. 8 Như đã ghi chú ở trên, trong giáo trình đại học, hàm số lượng giác của góc trùng với giá trị lượng giác của góc bất kỳ 9 Hàm số lượng giác có biến số thực ♦ T*82: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số lượng giác, τ*82a: "Phương pháp đại số": Biến đổi đại số đưa về dạng f(x + T) = f(x). τ*82b: Áp dụng "phương pháp đồ thị". θ*82: Định nghĩa hàm số tuần hoàn. ♦ T*83: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác, τ*83: - Tìm tập xác định (TXĐ), với x TXĐ, xét -x TXĐ? - Xét f(-x) = f(x): hàm số chẵn, f(-x) = -f(x): hàm số lẻ. θ*83: Tính chất chẵn - lẻ của hàm số. ♦ T*84: Tìm giá trị của hàm số lượng giác, với 5 kỹ thuật: τ*84a: Áp dụng tri thức về số đo độ. θ*84a: Định nghĩa số đo radian. Ví dụ: Tìm sin 9π Giải: Ta có sin 9π = sin(9.1800) = sin16200. Tia cuối của vòng quay 16200 hay 9π nằm trên tia x ở phần âm. Do đó: sin 9π = 0. [40, tr.407] τ*84b: Sử dụng máy tính. τ*84c: Sử dụng đường tròn đơn vị. θ*84c = θ*81b. Ví dụ: Cho f(t) = sin t và g(t) = cos t. Sử dụng đường tròn đơn vị để tìm giá trị của các hàm số f và g với t = 5 6  . [39, tr.343] τ*84d: Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. [39, tr.345] τ*84e: Dùng công thức số gia của hàm số khả vi: f(x0 + ∆x)  f(x0) + f'(x0)∆x. θ*84e : Định nghĩa đạo hàm của hàm số. ♦ T*85: Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác, Về vấn đề khảo sát sự biến thiên của một hàm số, Ngô Thúc Lanh đã nêu: "Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là phân chia miền xác định của nó thành những khoảng trong đó hàm số là đơn điệu và nêu rõ chiều biến thiên của hàm số trong các khoảng ấy". [21, tr.94] Chúng tôi thấy có hai kỹ thuật để giải quyết: τ*85a: Dùng "phương pháp đại số" (Đặt ẩn phụ, tìm TXĐ, lập bảng giá trị,...) Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = cosx - 1 cosx . [21, tr. 96] τ*85b: Dựa vào đường tròn lượng giác (Tìm TXĐ, xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ, tính chẵn- lẻ, xét sự biến thiên) θ*85: Định nghĩa hàm số lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác. ♦ T*86: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác, τ*86: - Biến đổi đưa về dạng chứa một hàm số lượng giác, - Dùng tính chất tập giá trị của hàm số lượng giác suy ra. θ*86 = θ*81b.  T*9: Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác τ*91: - Dùng "phương pháp vẽ từng điểm", - Xét tính biến thiên của hàm số, dựa vào đường tròn lượng giác và vẽ đồ thị. τ*92: Dùng máy tính với chương trình vẽ đồ thị. θ*9 = θ*82.  T*10: Giải các phương trình lượng giác, có 3 kỹ thuật tương ứng: τ*10a: Dùng "phương pháp đồ thị": - Vẽ đồ thị của hàm số lựơng giác và y = a trên cùng hệ trục toạ độ, - Xét vị trí tương đối giữa hai đồ thị rồi kết luận tập nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình sinx = 0,8. [39, tr.242] τ*10b: Dùng máy tính bỏ túi. τ*10c: Dùng "phương pháp đại số" và áp dụng các hệ thức lượng giác. θ*10 = θ*7 + θ*85 + θ*82. Ví dụ: Giải phương trình 2sin2x - sinx - 1 = 0 với 00 ≤ x < 3600. [42, tr. 454]  Nhận xét - Kiểu nhiệm vụ "Khảo sát hàm số lượng giác" và "Giải phương trình lượng giác" được ưu tiên. Công cụ đường tròn lượng giác luôn song hành cùng các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trên. Một đặc trưng của kỹ thuật là được giải thích dựa vào quan điểm đại số. - Kiểu nhiệm vụ T*84: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của số thực" đồng nhất với kiểu nhiệm vụ T*63: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết số đo của góc " trong TCTH liên quan đến lượng giác trong đường tròn. - Đối với kiểu nhiệm vụ T*10: "Giải các phương trình lượng giác", kỹ thuật giải quyết dùng đồ thị được ưu tiên. Tuy nhiên, chúng tôi thấy xuất hiện rất nhiều trường hợp "Giải phương trình lượng giác" nhưng tập xác định là các góc có đơn vị đo. Phải chăng đây là mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị đi kèm và hàm số lượng giác của số thực trong việc xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T*10:"Giải các phương trình lượng giác"? - Việc xây dựng các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số” không chỉ dựa vào các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn” (công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi hình học) mà còn dựa vào các tri thức liên quan đến hàm số trong đại số (công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi đại số). 1.2.5. Đặc trưng của bước chuyển từ TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số” - Kiểu nhiệm vụ T*84 : "Tìm giá trị của hàm số lượng giác biến số thực" được giải quyết thông qua kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T*63: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc khi biết số đo của góc  ". - Khi xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T*81: "Tìm miền xác định của hàm số lượng giác" và T*10: "Giải phương trình lượng giác", công nghệ giải thích cho các kỹ thuật là định nghĩa hàm số lượng giác của góc - tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn. - Bản chất của các bài toán lượng giác ở giai đoạn đường tròn là tính toán các giá trị cụ thể; đặc trưng tương ứng của hàm số lượng giác còn ngầm ẩn. Sang giai đoạn hàm số, việc tính toán các giá trị cụ thể chỉ đóng vai trò là kỹ thuật khi xét kiểu nhiệm vụ phức tạp hơn, tổng quát hơn - quan tâm đến đặc trưng tương ứng, biến thiên và phụ thuộc của khái niệm hàm số lượng giác biến số thực. Từ đó, các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn hàm số cũng phức tạp, chủ yếu được giải thích dựa vào tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. - Công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn đường tròn chủ yếu thuộc phạm vi hình học. Sang giai đoạn hàm số, công nghệ chủ yếu thuộc phạm vi đại số. - Tồn tại mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị đo và của biến số thực. 1.3. Kết luận chương 1 Bằng sự tổng hợp các TCTH được ưu tiên trong các quyển sách trên cho phép chúng tôi nêu lên các TCTH tham chiếu OMC và OMf liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” qua bảng tóm tắt sau: Bảng 1.1: Bảng tóm tắt các TCTH tham chiếu liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” TCTH OMC OMf T T*1 Chuyển đổi giữa radian và độ T*2 Tìm góc  T*3 Tìm độ dài cung tròn T*6 Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc  T*7 Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc T*8 Khảo sát các hàm số lượng giác T*9 Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác T*10 Giải phương trình lượng giác τ τ*11 τ*12 τ*21 τ*22 τ*3 τ*61 τ*62a τ*62b τ*63a τ*63b τ*71 τ*72 τ*81a τ*81b τ*82a τ*82b τ*83 τ*84a τ*84b τ*84c τ*84d τ*84e τ*85a τ*85b τ*86 τ*91 τ*92 τ*93 τ*10a τ*10b τ*10c Θ θ*11 θ*21 θ*3 = θ*11 θ*61 θ*63a θ*7 θ*7 θ*82 θ*83 θ*85 θ*9 = θ*82 θ*10 = θ*7 + θ*85 + θ*82 Phân tích sơ lược lịch sử lượng giác và các giáo trình ở bậc đại học đã cho thấy trình tự xuất hiện của "hai lượng giác"10: từ lượng giác “trong đường tròn” đến lượng giác “trong hàm số”. Chúng tôi nhận thấy: Khi chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác trong giai đoạn hàm số, người ta đã xem các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” có vai trò kết nối rất quan trọng. Song song với điều đó, việc đưa vào các tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn dựa vào quan điểm đại số. Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật giải quyết tương tự như hàm số bậc nhất, bậc hai trong đại số; xét biến số là các số thực (không có đơn vị đo) trong khi ẩn của các phương trình lượng giác là số đo góc (cung) có đơn vị đo. Liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”, khi chuyển từ tri thức ở bậc đại học sang tri thức cần giảng dạy, noosphère đã thực hiện sự chuyển đổi như thế nào? Sự kế thừa và gián đoạn của bước chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số có sự chuyển đổi ra sao? GV và HS ứng xử như thế nào khi trải qua bước chuyển này? Việc phân tích các TCTH cần giảng dạy ở chương 2 trên cơ sở TCTH tham chiếu đã xây dựng sẽ cho phép trả lời các câu hỏi trên và các câu hỏi đã đặt ra trong phần mở đầu. 10 Các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC TRI THỨC LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG HÀM SỐ” Mục đích của chương 2 là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”, nghĩa là chúng tôi sẽ giải quyết các câu hỏi tiếp theo được đặt ra trong phần mở đầu như sau: Q2. Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên? Q4. Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng giác “trong hàm số”? Liên quan đến câu hỏi Q2, trong một số trường hợp cụ thể, chúng tôi sẽ tìm cách giải thích ý định của "noosphère" ẩn sau những điều kiện và ràng buộc này. 2.1. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” trong các chương trình THPT Nội dung "lượng giác" trong các chương trình phổ thông đã được Nghiêm Thị Xoa nghiên cứu và trình bày trong luận văn với đề tài "Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề Giải tam giác" (2006). Song, để trả lời phần đầu cho câu hỏi Q2, chúng tôi sẽ phân tích các chương trình 1990, 2000, hiện hành 2007 gắn với lượng giác trong đường tròn và lượng giác trong hàm số. 2.1.1. Chương trình THPT 1990 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”  Lớp 10: Trong chương trình Hình học, lượng giác chỉ xuất hiện với tư cách là công cụ tính toán chủ yếu trong hình học. Chương trình giới thiệu khái niệm hàm số lượng giác của một góc  11 ( 0 180   ). Khái niệm này được trình bày dựa vào lượng giác trong tam giác đã học ở lớp 8 - tỉ số lượng giác của góc nhọn kết hợp với mặt phẳng tọa độ và tọa độ của điểm. Sau đó, vận dụng trong việc xây dựng tích vô hướng của hai vectơ, hệ thức lượng trong tam giác và đường tròn.  Lớp 11: Trong chương trình Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình đưa vào các định nghĩa cung (góc) định hướng, số đo cung (góc) định hướng, đường tròn lượng giác, radian ... Lượng giác trong đường tròn đã xuất hiện tường minh để chuẩn bị cho việc đưa vào lượng giác trong hàm số. . Các tri thức lượng giác “trong hàm số”  Lớp 11: Tiếp trên, định nghĩa hàm số lượng giác của cung (góc) được trình bày dựa vào tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác. Song song với định nghĩa 11 Trong chương trình 1990, hàm số lượng giác của góc được dùng như giá trị lượng giác của góc. hàm số lượng giác của cung (góc) là việc giới thiệu hàm số lượng giác của cung (góc) liên kết, hàm số tuần hoàn, tính chất tuần hoàn, đơn điệu của hàm số lượng giác, đồ thị, công thức lượng giác; định nghĩa phương trình lượng giác cơ bản, vận dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác, hệ phương trình lượng giác, bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác. Kế đến, chương trình tiếp tục đưa vào các hàm số lượng giác ngược cùng đồ thị và ý nghĩa của chúng xen kẽ trong chương III - Ánh xạ và hàm số. Sau đó, hàm số lượng giác được vận dụng trong ví dụ và bài tập của chương IV - Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục.  Lớp 12: Lượng giác trong hàm số tiếp tục được vận dụng trong phần tính đạo hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích. 2.1.2. Chương trình THPT chỉnh lý hợp nhất 2000 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”  Lớp 10: Trong Hình học, có thay đổi thuật ngữ, đưa vào định nghĩa tỉ số lượng giác của góc bất kỳ ( 0 180   ) dựa vào tọa độ của điểm trên nửa đường tròn đơn vị. Có sự đồng nhất hai khái niệm tỉ số lượng giác của góc và giá trị lượng giác của góc. Lượng giác vận dụng trong tích vô hướng của hai vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn.  Lớp 11: Trong Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình giới thiệu các định nghĩa góc và cung lượng giác, số đo của chúng, đường tròn lượng giác và giá trị lượng giác của cung. . Các tri thức lượng giác “trong hàm số”  Lớp 11: Tiếp theo là việc định nghĩa hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của cung. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt cũng được giới thiệu. Định nghĩa hàm số tuần hoàn, đồ thị của hàm số tuần hoàn xen kẽ với xét tính tuần hoàn, biến thiên, đồ thị của các hàm số lượng giác của biến số thực. Công thức lượng giác, công thức biến đổi và phương trình, hệ phương trình lượng giác cũng được trình bày.  Lớp 12: Tương tự như chương trình 1990, vận dụng trong phần tính đạo hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích. 2.1.3. Chương trình THPT hiện hành 2007 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”  Lớp 10: Lượng giác đưa vào cả chương trình hình học và đại số. Đây là thay đổi mới của chương trình lần này. Tinh thần chung của chương trình mới là giảm nhẹ các tính toán lượng giác phức tạp. Chương trình Hình học lớp 10 cả hai ban nâng cao và cơ bản định nghĩa về giá trị lượng giác của một góc bất kỳ ( 0 180   ) dựa vào tọa độ của điểm trên nửa đường tròn đơn vị. Lượng giác cũng được vận dụng trong xây dựng tích vô hướng của hai vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác. Trong chương trình Đại số lớp 10, các định nghĩa góc và cung lượng giác, đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác lần lượt được trình bày. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt, một số công thức lượng giác cũng được giới thiệu trong chương trình lần này. "Phần lượng giác lớp 10 nhằm làm cho học sinh quen dần với các công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi ... để đến đầu lớp 11 tiến hành khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác". [26, tr.242] Chương trình gợi ý về dạy học cho giáo viên là: "Giúp học sinh hiểu về cung và góc lượng giác, mặt khác nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác nhờ số thực". [26, tr.254] . Các tri thức lượng giác “ trong hàm số”  Lớp 11: "Lượng giác lớp 11 là sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10. Đặc điểm đó đòi hỏi giáo viên phải lưu ý nhắc lại hay gợi mở cho học sinh nhớ lại các kiến thức ở lớp 10 có liên quan đến bài học để dễ dàng tiếp thu kiến thức mới". [29, tr.16] Chương trình lớp 11 tiếp tục cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức và kỹ năng về việc khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác cơ bản. Vận dụng trong việc tìm đạo hàm của hàm số lượng giác.  Lớp 12: Chương trình giới thiệu nội dung mới so với các chương trình năm 1990, 2000. Đó là "Số phức"- một nội dung nằm giao nhau giữa Đại số và Hình học. Lượng giác được trình bày khi xét dạng lượng giác của số phức trong SGK Giải tích 12 (chương trình thí điểm 2003). Bảng 2.1: Bảng tóm tắt nội dung lượng giác qua các chương trình  Đối với giai đoạn giảng dạy lượng giác “trong đường tròn” Chương trình Lớp Phạm vi hoạt động Kiểu nhiệm vụ chủ yếu và đặc trưng 10 Hình học - Định nghĩa hàm số lượng giác của góc [0 0,1800] dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn. Đại số - Chuyển đổi đơn vị đo radian và độ, - Biểu diễn cung định hướng trên đường tròn lượng giác, - Tìm độ dài của cung vạch bởi một điểm trên đường tròn định hướng, - Xác định một điểm trên đường tròn lượng giác ứng với một cung định hướng, - Xác định các hàm số lượng giác của cung (góc) định hướng bằng cách chiếu một điểm trên đường tròn lượng giác xuống các trục, dựa vào độ dài đại số của vectơ trên các trục. CCGD 1990 11 Hình học - Tính góc giữa hai đường thẳng, đường thằng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. 10 Hình học - Sử dụng thuật ngữ hàm số lượng giác của góc là giá trị lượng giác của góc. - Định nghĩa giá trị lượng giác của góc [00, 1800] bằng tọa độ trên nửa đường tròn lượng giác. Đại số - Tương tự chương trình CCGD 1990. - Tuy nhiên, xác định các hàm số lượng giác của cung bằng tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác. CLHN 2000 11 Hình học Tương tự chương trình lớp 11 CCGD 1990. Hình học - Tương tự chương trình lớp 10 CLHN 2000. Thí điểm 2003 và Hiện 10 Đại số - Tương tự chương trình lớp 11 CLHN 2000 -Thay đổi thuật ngữ hàm số lượng giác của cung(góc) là giá trị lượng giác của góc(cung). - Trình bày tường minh tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. 11 Hình học Tương tự chương trình lớp 11 CLHN 2000. hành 2007 12 Đại số - Viết dạng lượng giác của số phức.  Đối với giai đoạn giảng dạy lượng giác ”trong hàm số” Chương trình Lớp Phạm vi hoạt động Kiểu nhiệm vụ chủ yếu và đặc trưng Đại số - Gián tiếp đưa vào định nghĩa hàm số lượng giác của biến số thực bằng toạ độ của điểm trên đường tròn lượng giác. - Tìm TXĐ của các hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. - Khảo sát tính chẵn- lẻ của các hàm số lượng giác. - Tìm chu kì và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác. - Giải phương trình, bất phương trình lượng giác cơ bản, ẩn x là số thực chỉ số đo của một cung (góc) định hướng; giải hệ phương trình lượng giác. 11 Giải tích - Tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác. - Xét tính liên tục của hàm số chứa các hàm số lượng giác. CCGD 1990 12 Giải tích - Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác tại một điểm x. - Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) - giá trị nhỏ nhất(GTNN) của các hàm số lượng giác. - Tìm nguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác. Đại số - Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược, bất phương trình lượng giác. - Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung một cách tường minh. 11 Giải tích - Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược. CLHN 2000 12 Giải tích - Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược. Thí điểm 2003 và Hiện hành 11 Đại số - Tương tự chương trình CLHN 2000. - Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung bằng công cụ đường tròn lượng giác kết hợp với hệ trục toạ độ. - Khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác bằng cách theo dõi chuyển động của điểm trên đường tròn lượng giác Giải tích - Tính đạo hàm của hàm số chứa các hàm số lượng giác. - Xét tính liên tục, tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác. 2007 12 Giải tích - Tính nguyên hàm, tích phân của hàm số chứa các hàm số lượng giác. 2.1.4. Một số kết luận Qua nghiên cứu chương trình THPT, ngoài việc thay đổi một số thuật ngữ và giảm tải một số nội dung, các nhà soạn thảo chương trình rất quan tâm đến lượng giác ở bậc THPT bởi nó có nhiều ứng dụng trong đời sống và môn học khác như Vật lý, Kỹ thuật. Chương trình môn Toán THPT qua các thời kỳ đều đưa các tri thức lượng giác vào theo trình tự: từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng giác “trong hàm số”. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”và “trong hàm số” qua các chương trình được giới thiệu trong các phạm vi khác nhau gắn với hàng loạt chủ đề như vectơ, số phức, hàm số tuần hoàn, phương trình, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ... Mặt khác, dù không phân tích chi tiết chương trình môn Vật lý ở THPT nhưng chúng tôi xét thấy: Trong chương trình và SGK Vật lý ở trường THPT qua các thời kỳ, các tri thức lượng giác được vận dụng rất nhiều trong lý thuyết cũng như bài tập thuộc các chủ đề như: Sóng cơ học, Quang học, Sự quay ... Điều này cũng cho thấy hệ sinh thái của các tri thức lượng giác rất phong phú. Với trình tự trình bày trong chương trình và SGK của các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn như thế, bước chuyển từ giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Việc phân tích lý thuyết xen kẽ với bài tập trong SGK kết hợp với việc làm rõ các TCTH liên quan với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn sẽ cho phép trả lời câu hỏi trên. 2.2. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” ở SGK Chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK lớp 10 và SGK lớp 11, ban nâng cao (chương trình hiện hành). Để thuận tiện, chúng tôi dùng ký hiệu: M10 để chỉ SGK Đại số 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên, MH10 để chỉ SGK Hình học 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên, M11 để chỉ SGK Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên. Trong nhiều trường hợp, chúng tôi sẽ tham khảo SGV và SBT. Ký hiệu: G10, G11 ứng với SGV Đại số 10 và SGV Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao. E10, E11 ứng với SBT Đại số 10 và SBT Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao. 2.2.1. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” ở SGK Hình học, Đại số 10 . Phần lý thuyết Trong MH10, chương 2 - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng bao gồm: §1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ [00 ,1800], §2. Tích vô hướng của hai vectơ, §3. Hệ thức lượng trong tam giác. Nổi bật trong phần lý thuyết của chương là định nghĩa giá trị lượng giác của một góc 0 0(0 180 )   dựa vào tọa độ của điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị trong hệ toạ độ Oxy sao cho MOx  . SGK chọn lựa cách định nghĩa này sẽ "tạo thuận lợi hơn khi sau này định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác bất kỳ". [4, tr. 56] Trong M10, chương 6 - Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm: §1. Góc và cung lượng giác, §2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, §3. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt, §4. Một số công thức lượng giác. Mục tiêu về kỹ năng của chương là: "Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực  , từ đó xác định sin , cos , tan , cot (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng". [26, tr. 241] Trong SGK Đại số lớp 10 , ban cơ bản, tác giả viết: "Trong chương này, học sinh được cung cấp các khái niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng các hàm số lượng giác lớp 11" . [11, tr. 32] Như thế, những tri thức lượng giác cần giảng dạy cụ thể nào ở giai đoạn đường tròn chuẩn bị cho việc dạy học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số?  Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”  Khái niệm số đo (bằng độ, radian) của góc (cung) lượng giác M10 đưa vào số đo mới là radian - "một đơn vị được sử dụng nhiều trong toán học, khoa học và kỹ thuật, tỏ ra thuận lợi khi tính độ dài cung tròn". Sau hoạt động dùng để minh họa, M10 chứng minh và đưa ra công thức liên quan giữa số đo radian và số đo độ của một cung tròn: với  là số đo radian, a là số đo độ. "Sau khi đưa ra định nghĩa số đo radian nên nói ngay tác dụng thuận tiện của radian. Ví dụ công thức đo độ dài cung tròn l =  R ( đo bằng radian). Với hệ thống đơn vị radian, việc khảo sát các hàm số lượng giác và nhiều công thức tính toán sẽ được đơn giản hơn". [24, tr. 58-59] Như vậy, lượng giác lớp 10 giới thiệu đơn vị đo radian với mục đích chủ yếu là chuẩn bị cho việc khảo sát các hàm số lượng giác sau này.  Góc (cung) lượng giác và số đo của chúng M10 đã dùng "chuyển động quay tròn theo một chiều" để mô tả, giới thiệu khái niệm góc (cung) lượng giác một cách trực giác. "Không nên quá nhấn mạnh vào định nghĩa chính xác góc (cung) lượng giác. Tinh thần của sách giáo khoa là thông qua các hoạt động và ví dụ mô tả, giới thiệu dần để ngày càng hiểu tốt hơn". [26, tr. 244] Vì sao lại có sự lựa chọn sư phạm như vậy? Chúng tôi sẽ tìm cách trả lời qua quan điểm của các tác giả M10 thể hiện trong G10 như sau: 1 8 0 a   "Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp THPT ... Trong việc giới thiệu góc lượng giác (Ou; Ov) và số đo của nó, ta dùng trực giác: tia quay (luôn cùng chiều) từ Ou đến trùng với Ov. Hiện tượng cơ học này học sinh thường gặp ... Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo cung lượng giác" ... [26, tr.244] "Nắm vững khái niệm cung và góc lượng giác thì mới có cơ sở để hiểu được các tính chất của hàm số lượng giác, đặc biệt là tính chất tuần hoàn". [24, tr.48- 49]  Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác Trước khi đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, M10 đưa vào định nghĩa đường tròn lượng giác. "Nắm được đường tròn lượng giác thì dễ dàng hiểu được định nghĩa các hàm số lượng giác, hệ thức liên quan, giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác" ... [24, tr. 48] Như vậy, đường tròn lượng giác có vai trò quan trọng - đơn giản hoá trong việc đưa vào khái niệm hàm số lượng giác ở lớp 11, là "công cụ đắc lực giúp cho học sinh nhớ các công thức một cách thông minh" [24, tr.28]. Ngoài khái niệm đường tròn lượng giác, bằng cách nào có thể đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác? Tác giả SGK đã đưa vào tính chất "tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác" như sau: "Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) =  gọi là điểm xác định bởi số  (hay bởi cung  , hay bởi góc  ). Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo  . Ta nhận xét ngay rằng: Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực đó có dạng  + k2π, k ". [25, tr.193]  Nhận xét - M10 chuẩn bị tri thức cho việc đưa vào hàm số lượng giác thông qua tính chất "tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác". Sau khi định nghĩa đường tròn lượng giác, tác giả giới thiệu hoạt động 1 mà theo chúng tôi, nó có ý nghĩa rất quan trọng. Hoạt động 1: Hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như hình vẽ: Điểm M1 trên trục At có tọa độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả mãn sđ AM =  . Hỏi: a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác? b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A' trên đường tròn lượng giác (A' là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tùy ý trong số các điểm đó cách nhau bao nhiêu ? [25, tr.193] Hoạt động trên tương tự như hoạt động trong SGK Đại số 10, ban cơ bản. Mộ._.rị V3b: Lựa chọn lời giải cho trước ... Yêu cầu học sinh đánh giá các lời giải có sẵn được xếp "ngang hàng" nhau (việc cho nhiều đáp án tạo nên sự lưỡng lự và đòi hỏi phải suy luận để đánh giá).  Biến V4: Những câu trả lời được lựa chọn cho bốn học sinh giả định - Câu trả lời của học sinh A và C có thể làm học sinh chú ý đến chiến lược "tọa độ". - Câu trả lời của học sinh B dẫn học sinh đến chiến lược "hình học". - Câu trả lời của học sinh D tạo thuận lợi cho học sinh nghĩ đến chiến lược "đại số" - chiến lược tối ưu.  Biến V5: Làm việc cá nhân hay theo nhóm nhỏ Với biến tình huống này, chúng tôi chọn làm việc cá nhân để có thể phục vụ tốt cho việc tìm hiểu ứng xử của từng học sinh. Biến này chúng tôi ưu tiên sử dụng xuyên suốt các câu hỏi thực nghiệm. Câu 2 Chúng tôi chọn giá trị biến V3a: Tìm giá trị lượng giác của góc để tìm hiểu cách ứng xử của học sinh thể hiện trong quy tắc RE2. Ngoài ra, còn có các biến:  Biến V6: Góc  Biến tình huống V6 nhận hai giá trị: tồn tại hay không tồn tại . Chúng tôi chọn giá trị không tồn tại với mục đích tạo ra sự ngắt quãng hợp đồng didactic RE2.  Biến V7: Giá trị lượng giác có dạng đặc biệt hay không Như đã phân tích trong chương 2, SGK ưu tiên sử dụng bảng lượng giác cho các giá trị đặc biệt của góc. Với cách chọn giá trị của biến tình huống V7: Giá trị lượng giác có dạng đặc biệt, chúng tôi sẽ dễ dàng kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE2.  Biến V8: Có hay không có điều kiện cos > 0 trong đề toán Chúng tôi chọn cos > 0 trong đề toán sẽ cổ vũ chiến lược "hàm số". Ngược lại, sẽ tạo cơ hội cho chiến lược "số" phát huy khả năng xuất hiện. Câu 3 Nhằm trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt ra cuối chương 2, ngoài hai biến V1: Có hình vẽ, biến V2: Tọa độ của điểm M, giá trị biến V3a: Tính..., chúng tôi chọn thêm các biến sau:  Biến V9: Phạm vi thiết lập bài toán - Giá trị V9a: Hình học, - Giá trị V9b: Đại số, - Giá trị V9c: Giải tích. Việc chọn kết hợp hai giá trị V9a và V9b sẽ tạo điều kiện tốt cho chiến lược "hình học" xuất hiện.  Biến V10: Bản chất của góc lượng giác (chiều dương hay âm) Chúng tôi chọn chiều âm cho góc lượng giác sẽ làm học sinh lưỡng lự, dẫn đến phải suy luận để tìm ra lời giải đúng  Biến V11: Số kỹ thuật giải n được yêu cầu (n = 1, 2, 3 ...) Nếu chỉ yêu cầu học sinh giải ít nhất hai kỹ thuật sẽ cho phép khai thác tất cả các kỹ thuật có thể hiện diện trong suy nghĩ độc lập của học sinh. Điều đó có thể dẫn học sinh đến kỹ thuật (chiến lược "hình học") sai mà học sinh không tự nhận ra. Câu 4 Tiếp tục tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt ra cuối chương 2, chúng tôi chọn giá trị biến V3a: Khảo sát tính biến thiên và biến:  Biến V12: "Hình thức của tập xác định" của hàm số lượng giác - Giá trị V12a: Gắn với số  , - Giá trị V12b: Không gắn với số  .  Biến V13: "Hình thức" chu kỳ của hàm số lượng giác - Giá trị V13a: Gắn với số  , - Giá trị V13b: Không gắn với số  . Ở đây, chúng tôi chọn giá trị V12b, V13b: Không gắn với số  (khác với SGK) để tìm hiểu xem sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo ảnh hưởng đến việc học khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác như thế nào? Câu 5 Để kiểm chứng quy tắc RE3, chúng tôi sử dụng biến tình huống sau:  Biến V14: Bản chất của hàm số lượng giác trong phương trình - Giá trị V14a: Hàm số lượng giác có đối số là biến x, - Giá trị V14b: Hàm số lượng giác có đối số là một hàm số (biến trung gian). Việc chọn giá trị V14b sẽ góp phần gia tăng tính thoả đáng của giả thuyết H1. Câu 6 Chúng tôi chọn giá trị biến V3b: Lựa chọn lời giải cho trước. Yêu cầu phải lựa chọn dứt khoát một trong các câu trả lời cho trước và giải thích lựa chọn của mình sẽ tạo thuận lợi cho chúng tôi tìm hiểu câu hỏi nghiên cứu cuối chương 2. Mặt khác, chúng tôi còn chọn biến tình huống sau:  Biến V15: Giá trị của đối số trong hàm số lượng giác - Giá trị V15a: "xa lạ" với các giá trị đặc biệt như 300, 600, 900, ... - Giá trị V15b: "gần gũi" với các giá trị đặc biệt trên. Đây cũng là giá trị được chúng tôi quan tâm. Nó có thể giúp cho việc tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu ở cuối chương 2 có tính thoả đáng. Ở trên, chúng tôi đã chỉ ra môi trường, các biến didactic, biến tình huống. Sau đây, chúng tôi sẽ tiếp tục làm rõ bản chất của các chiến lược có thể và những câu trả lời có thể quan sát được.  Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát được  Câu 1: Có thể phân tích chiến lược thành hai nhóm: Nhóm Chiến lược (S) Những câu trả lời có thể quan sát được Nhóm 1: Tự giải Stđ: Chiến lược "toạ độ": Dựa vào toạ độ của điểm nằm trên đường tròn lượng * Theo định nghĩa: Điểm M( 12 ;1) với hoành độ = 1 2 = cos ; tung độ = 1 = sin . giác. * Phạm vi hợp thức: Toạ độ M thoả x2 + y2 = 1 * Chiếu điểm M xuống các trục sin, cos được: 1s in 1, c o s 2 O B O A     Suy ra: bạn A và C hoàn toàn đúng, bạn B và D hoàn toàn sai. Shh: Chiến lược "hình học": Dựa vào tỉ số độ dài các cạnh trong tam giác vuông. * Phạm vi hợp thức: 00    900 * Xét tam giác vuông OAM: sin = 2 2 1 2 5 51( ) 1 2 AM O M    ; cos = 2 2 1 5 512 ( ) 1 2 OA OM    Suy ra: bạn A và C hoàn toàn sai, bạn B và D hoàn toàn đúng. rồi đánh giá với những câu trả lời đã cho (có thể dùng các chiến lược bên cạnh) Sđs: Chiến lược "đại số": Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc bất kỳ. - chiến lược tối ưu * sin = 2 2 1 2 5 51( ) 1 2 OB OM     ; cos = 2 2 1 5 512 ( ) 1 2 OA OM     . Suy ra: bạn A và C hoàn toàn sai, bạn B và D hoàn toàn đúng. Nhóm 2: Phân tích các câu trả lời đã cho để đánh giá (Khi phân tích có thể dùng chiến lược "tọa độ" S1: Phân tích chỉ một câu trả lời Ví dụ: * Bạn A giải cos = hoành độ = 1 2 , sin = tung độ = 1 nhưng sin2 + cos2 > 1 (sai). Vậy bạn A hoàn toàn sai. Suy ra: bạn C cũng sai hoàn toàn. Cuối cùng, có thể bạn B và D đúng. * Bạn B hoàn toàn đúng vì trong tam giác vuông, "tìm sin lấy đối chia huyền, cos lấy hai cạnh kề huyền chia nhau ...". Suy ra, bạn D cũng đúng. Còn hai bạn A và C hoàn toàn sai * Bạn D đúng hoàn toàn vì giải một cách tổng quát khi cho góc lượng giác  . Nên bạn B trong trường hợp này cũng hoàn toàn đúng. Suy ra: bạn A và C sai. hoặc chiến lược "hình học") S2: Phân tích từng câu trả lời Ví dụ: * Bạn A giải sin = 1 nhưng cos = 1 2 < 1 nên phân vân lời giải bạn A. Còn bạn B áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông nên đúng nhưng chỉ trong trường hợp góc nhọn. Với lời giải bạn C, phân vân vì gần tương tự bạn A. Bạn D hoàn toàn đúng vì lời giải thoả điều kiện của định nghĩa, tính chất giá trị lượng giác của góc vừa áp dụng đúng trong trường hợp tam giác.  Câu 2: Có các chiến lược và lời giải tương ứng có thể quan sát như sau: Chiến lược Ss: Chiến lược "số": - Dùng MTBT tìm ra số cos Shs: Chiến lược "hàm số" - chiến lược tối ưu - Dùng TGT của hàm số sin, cos. * sin(cos) = 1  cos = 2  > 1 Nên không tồn tại giá trị lượng giác của góc α nào. * Do 0 < cos  1 nên từ đường tròn lượng giác, không giá trị nào của cos để sin(cos ) = 1. Những lời giải sai có thể quan sát ở học sinh: Các lời giải có thể * sin(cos) = 1  sin 1cos 1     * cos = arcsin 1 = 900 * sin(cos) = 1  sin(sin( 2  - )) = 1  sin2( 2  - ) = 1 cos2 = 1  cos 1 cos 1      Nên sin = 0  Câu 3: Xét câu 3a, các chiến lược có thể và lời giải đặc trưng cho chiến lược sau:  Chiến lược "hình học" (Shh): Chủ yếu dựa vào tỉ số lượng giác của tam giác vuông rồi nhìn hình vẽ để biết dấu của tỉ số lượng giác đó. Ví dụ 1: Xét tam giác vuông OAM với  là góc hình học: 2 2 2 2 5sin 3 2cos 3 AM AM OM AM OM OA OA OM AM OM         Theo hình vẽ: sin 0 Vậy: sin = - 5 3 , cos = 2 3 . Ví dụ 2: Xét tam giác vuông OAM: 2 2 2 2 5sin 3 2cos 3 AM AM OM AM OM OA OA OM AM OM         (Sai)  Chiến lược "đại số" (Sđs): Chủ yếu tìm tọa độ của M(cos , sin ) Ví dụ 3: Ta có: M (cos , sin ) thuộc đường tròn lượng giác: 2cos 3 5sin 3 OA OB AM          Câu 4: Các chiến lược có thể và lời giải có thể quan sát được:  Chiến lược "trực quan" (Stq): chủ yếu dùng đường tròn lượng giác theo dõi chuyển động của điểm trên đường tròn này và giá trị lượng giác tương ứng. Ví dụ 4: Chu kỳ T = 1. Bảng biến thiên: x 0 1 4 1 2 3 4 1 y  Chiến lược "đại số" (Sđs): Giả sử khảo sát f(x) trên tập xác định [0; 1]. Ví dụ 5: Trên khoảng (0, 1 2 ), với hai số x1 > x2 ta có f(x1) < f(x2). Trên khoảng ( 1 2 , 1), với hai số x1 > x2 ta có f(x1) > f(x2). Ví dụ 6: Lập bảng giá trị và dùng MTBT để so sánh các giá trị của hàm số lượng giác một cách máy móc.  Chiến lược "giải tích" (Sgt): Dùng công cụ đạo hàm.  Câu 5: Chiến lược Câu trả lời có thể quan sát * Ta có: -1  cosx  1 nên sin(cosx) = 1 2  sin(cos ) sin 6 x  Suy ra: cosx = 6  = cosα  x = 2k   Sđs: Chiến lược "đại số" Dựa vào công thức nghiệm *sin(cosx)= 1 2  sin(cos ) sin 6 x   cos 2 cos6 5cos 2 cos 6 x k x k               2 2 x k x k           (Sai) Sđt: Chiến lược "đồ thị" * Vẽ đồ thị sin u trên tập xác định [-1;1] với u = cosx. Vẽ y = 1 2 trên cùng đồ thị. Suy ra nghiệm phương trình trên đồ thị. 1 0 -1 0 1 Dựa vào đồ thị suy ra nghiệm Dự đoán của chúng tôi là rất nhiều học sinh tham gia thực nghiệm đều không giải đúng kết quả. Không có học sinh nào giải theo chiến lược "đồ thị".  Câu 6: Những cái cần quan sát trong câu 6 là xem xét học sinh có phân biệt các câu trả lời khác nhau của các học sinh giả định không? Học sinh thật sự quán triệt quan điểm hàm khi học lượng giác chưa? Có hai chiến lược "hàm số" và "số đo".  Với chiến lược "hàm số" (Shs): dựa vào quan điểm hàm.  Với chiến lược "số đo" (Ssđ): dựa vào số đo (có đơn vị). Đáp án chính xác trong câu này là: Cả bạn Bình và Chi đều đúng. Dự đoán của chúng tôi là sẽ có rất ít học sinh tham gia thực nghiệm trả lời đúng. 3.4.4. Phân tích a posteriori bộ câu hỏi trong thực nghiệm A và B  Thực nghiệm A (lớp 10) Các câu hỏi ở thực nghiệm A được đưa cho 140 học sinh lớp 10 của hai trường THPT Nguyễn Đình Chiểu (64 học sinh học ban nâng cao) và THPT Thủ Khoa Huân (76 học sinh học ban cơ bản).  Ghi nhận tổng quát thực nghiệm A:  Phân tích chi tiết thực nghiệm A:  Ảnh hưởng mạnh mẽ của quy tắc hợp đồng R1, R2 Số học sinh Câu hỏi Chiến lược Trả lời Không trả lời Tổng số HS Stđ 68 Shh 82 Câu 1 Sđs 62 3 Ss 45 Câu 2 Shs 49 46 Shh 83 Câu 3 Sđs 15 2 140 Như những dự đoán trong phân tích a priori, tình huống của các bài toán 1, bài toán 2 đã làm bộc lộ quy tắc hợp đồng R1, RE2. Trong lúc tiến hành thực nghiệm ở câu 1, chúng tôi quan sát được có 34/140  24,3% học sinh "phân vân" với lời giải của học sinh A và học sinh C - chiến lược "tọa độ". Sự "phân vân" này cũng chứng tỏ các học sinh tham gia thực nghiệm dường như chưa nắm vững định nghĩa giá trị lượng giác của góc bất kỳ. Sự "phân vân" còn tồn tại ở 25/140  17,9% học sinh khi chọn lời giải của học sinh D - chiến lược "đại số". Điều này cũng cho thấy học sinh vẫn chưa hiểu được định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác. Chẳng hạn: A33: "Em phân vân vì sao sin = OB mà không phải là sin = OB?" A34: "Em phân vân vì không biết có cần giá trị đại số không?" A14: "Độ dài của cạnh luôn luôn > 0. Tại sao phải dùng độ dài đại số? Hay vì điểm M có thể chạy theo chiều dương hoặc âm trên đường tròn lượng giác". Mặt khác, bảng thống kê cho thấy: có 48,6% học sinh nghiêng về chiến lược "tọa độ", 58,6% học sinh theo chiến lược "hình học" và 44,3% học sinh giải theo chiến lược "đại số". Có 4/140  2,9% học sinh chọn cả bốn lời giải giả định hoàn toàn đúng, 3/140  2,1% học sinh chọn cả bốn lời giải giả định hoàn toàn sai và 1/140  0,7% học sinh phân vân cả bốn lời giải giả định. Chỉ có 2/140 1,4% học sinh đề nghị lời giải khác. Tuy nhiên, các lời giải đề nghị cũng cho thấy học sinh nghiêng về chiến lược "hình học". Như vậy, 48,6% học sinh nghiêng về chiến lược "tọa độ" là tỉ lệ không thấp. Học sinh dường như không có thói quen kiểm nghiệm tọa độ của điểm nằm trên tia cuối của góc  có nằm trên đường tròn lượng giác trước khi áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc  . Điều này xuất phát từ sự chọn lựa của thể chế trường phổ thông: ưu tiên cho học sinh sử dụng công thức lượng giác cơ bản và ràng buộc điểm M xác định số  nằm trên đường tròn lượng giác để thuận tiện cho việc định nghĩa hàm số lượng giác ở lớp 11. Ngoài ra, chúng tôi bất ngờ với kết quả 58,6% học sinh chọn chiến lược "hình học". Dù bài toán có kết quả đúng với chiến lược này nhưng chúng tôi thấy rằng dường như ở học sinh: tồn tại sự thống trị của kỹ thuật hình học đối với kỹ thuật đại số. Bằng chứng là có 44,3% học sinh giải theo chiến lược "đại số" nhưng lời giải thích của học sinh vẫn không chứng tỏ học sinh hiểu giá trị lượng giác của góc lượng giác. Đối với câu 2, từ bảng thống kê cho thấy có 46/140  32,9% học sinh không làm bài. Nguyên nhân mà chúng tôi tìm hiểu từ học sinh không tham gia trả lời là do đề toán quá khó. Theo chúng tôi, đề toán tuy chưa được giới thiệu trong SGK và giáo trình đại học nhưng nếu học sinh chú ý hơn sẽ có thể tìm ra lời giải được một cách dễ dàng. Việc giải bài toán theo chiến lược "hàm số" - chiến lược tối ưu chỉ có 7/94  7,4% học sinh giải đúng hoàn toàn. Còn lại 87/94  92,5% học sinh tham gia trả lời câu 2 đều giải theo chiến lược "số" và chiến lược "hàm số" nhưng không đem lại kết quả chính xác. Chẳng hạn: A8: Ta có: sin (cos ) = 1 cos = 900 , cos(900 -  ) = sin = 0. A4: sin (cos ) = 1 cos 2 ( ) 2 k k     mà -1  cos  1 nên k = 0 Vậy cos = 2  . A28: sin (cos ) = 1 cos 2 ( ) 2 k k     Tóm lại, kết quả ở câu 1 và câu 2 cho phép kiểm chứng quy tắc R1 và RE2. Với câu 3, ghi nhận ban đầu từ các bài giải cho thấy: học sinh vẫn ấn tượng rất sâu sắc với lượng giác trong tam giác ở lớp 9. Điều này còn cho chúng tôi cảm nhận: Khi bài toán không phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ thì học sinh không có trách nhiệm phải giải theo chiến lược "tọa độ". Có 83/138  60,1% học sinh trả lời câu 3 đều chọn chiến lược "hình học" để nộp cho giáo viên theo yêu cầu của câu 3b. (Tham khảo trích dẫn bài làm học sinh ở phụ lục 4) Bài làm của học sinh chứng tỏ họ luôn luôn quan niệm và đồng nhất: góc lượng giác là góc hình học. Chúng tôi nghĩ: Quan niệm sai lầm này sẽ tạo khó khăn và cản trở học sinh tiếp cận với tương quan hàm trong lượng giác ở lớp 11. Điều đó cũng có thể giải thích từ nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác (chương 1), định nghĩa góc lượng giác được gắn với tình huống kỹ thuật, vật lý, ... Thể chế ở trường phổ thông chưa thật sự nhấn mạnh cho học sinh ý nghĩa của việc mở rộng góc lượng giác từ góc hình học.  Sự hợp thức của một phần giả thuyết H1 Như vậy, bảng thống kê và kết quả thu được cho thấy "học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  đã cho, trước khi tìm các giá trị lượng giác của góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để tính" - RE2. Còn quy tắc R1: "Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x, y) của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x2 + y2 = 1 mà chỉ cần áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc để tính" thì không phải lúc nào cũng tồn tại ở học sinh.  Sơ kết thực nghiệm A Những kết quả thu được của thực nghiệm A qua thực tế dạy - học trên là một bằng chứng có tính thuyết phục. Nó cho phép chúng tôi khẳng định sự hợp thức của một phần giả thuyết H1. Nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác và mối quan hệ thể chế với lượng giác trong đường tròn đã giúp chúng tôi thấy rằng: Dường như vẫn tồn tại ở phần đông học sinh cách tiếp cận hình học ngay khi bài toán hạn chế các yếu tố hình học (câu 1). Mặt khác, thể chế THPT đã không tạo điều kiện cho học sinh vận dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác và hiểu rõ ý nghĩa của việc mở rộng góc hình học sang góc lượng giác nên học sinh hầu như không nghĩ đến chiến lược "toạ độ" trong câu 3. Chúng tôi tự hỏi: Điều này có ảnh hưởng đến việc học sinh tiếp cận với tương quan hàm số trong lượng giác ở lớp 11 không? Ứng xử của học sinh thể hiện trong quy tắc RE2 sẽ ảnh hưởng như thế nào khi học sinh học lượng giác trong hàm số? Việc tiếp tục nghiên cứu thực nghiệm B sau khi học lượng giác trong hàm số ở phần sau sẽ cho phép trả lời câu hỏi trên.  Thực nghiệm B (lớp 11) Lưu ý: Các học sinh tham gia thực nghiệm B vẫn là học sinh tham gia thực nghiệm A sau khi lên lớp. Số học sinh tham gia vẫn là 140 học sinh, trình độ tương đương khá - giỏi chiếm 60% trong mỗi lớp.  Ghi nhận tổng quát thực nghiệm B  Phân tích chi tiết thực nghiệm B  Sự tiến triển của quy tắc RE2 và tồn tại của quy tắc hợp đồng RE3 Câu 5 nhằm mục đích kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE3: "Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác khi giải". Sau khi thu các bài làm của học sinh tham gia thực nghiệm, chúng tôi thấy kết quả đúng như dự đoán trong phân tích a priori ban đầu. Thật vậy: Chỉ có 5/105  4,8% học sinh tham gia trả lời câu 5 theo chiến lược "đại số" cho kết quả chính xác. Không có học sinh giải theo chiến lược "đồ thị" - chiến lược không được thể chế ưu tiên. Còn lại 100/105  95,2% học sinh sử dụng chiến lược "đại số" nhưng không có lời giải nào kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình đã cho. Thậm chí, các học sinh này còn mắc các sai lầm. Cụ thể: Số học sinh Câu hỏi Chiến lược Trả lời Không trả lời Tổng số HS Stq 54 Sđs 75 Câu 4 Sgt 0 11 Sđs 105 Câu 5 Sđt 0 35 Shs 55 Câu 6 Ssđ 76 9 140 Mã HS Lời giải đã trình bày Chiến lược đã sử dụng Nghĩa của sai lầm B11 cos 2 1 6sin(cos ) 52 cos 2 6 x k x x k            Vậy phương trình có 2 nghiệm: cosx = 2 6 k  và cosx = 5 2 6 k  ( k ) Lỗi suy luận: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác là tìm các giá trị nằm sau một hàm. Ở đây là hàm sin. Ngoài ra, lời giải cũng cho thấy học sinh không có thói quen kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình. B137 1 1sin(cos ) sin(cos ) 0 2 2 sin(cos ) 0 1 0 2 x x x        Vậy sin(cosx) = 0 sin 0 cos 0 x x    x k  Lỗi suy luận: Giải phương trình lượng giác thì phải đưa về dang f(x) = 0 hoặc đưa về phương trình tích. Lời giải cũng chứng tỏ học sinh không hiểu khái niệm hàm số lượng giác. B28 sin(cosx) = sin 300 0 0 0 0 0 0 cos 30 360 cos cos 150 360 cos 360 ( ) 360 x k x k x k k x k                     Sđs Trong lời giải có hai sai lầm: Sai lầm 1: Học sinh hiểu sai: giá trị của hàm số lượng giác gắn với đơn vị đo. Sai lầm 2: Luôn tồn tại góc  , β để đặt cos , cosβ bằng các giá trị không đặc biệt - Sai lầm này do học sinh đã áp dụng quy tắc RE2 vào bài toán.  Khó khăn khi làm việc với các tình huống gắn với quan điểm hàm trong lượng giác. Bảng thống kê cho thấy ở câu 4, chiến lược "đại số" chiếm ưu thế. Để tìm hiểu rõ hơn đặc trưng của các lời giải này, chúng tôi trích dẫn dưới đây một số lời giải điển hình thuộc chiến lược "đại số" và chiến lược "trực quan". (Vô nghiệm) (Vô lý) Mã HS Lời giải đã trình bày Chiến lược đã sử dụng Nhận xét B140 Bảng biến thiên: T = 2 Sđs - Lời giải sai do tính toán. - HS lạm dụng MTBT nên không chú ý đến TGT của hàm số lượng giác côsin. - Trong lời giảicho thấy: quy tắc RE2 tồn tại và tiếp tục ảnh hưởng mạnh mẽ ở giai đoạn lượng giác trong hàm số. B72 Bảng biến thiên: Stq - Có 5,4% HS giải đúng. - Trong lúc tiến trình thực nghiệm, quan sát 100% HS tham gia trả lời câu hỏi đều lập bảng giá trị trên [0, 1] gắn với số  ngoài giấy nháp trước. - Do hàm số lượng giác có tính tuần hoàn, chu kỳ thường gắn với số  nên HS ưu tiên chọn các giá trị đặc biệt để khảo sát tính biến thiên. Như thế, kết quả thực nghiệm ở câu 4 chỉ ra rằng: Phương pháp trực quan sử dụng khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác là phương pháp tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Nhưng tồn tại một bộ phận học sinh không phát huy phương pháp này trong học tập. Bằng chứng là học sinh chỉ vẽ tượng trưng đường tròn lượng giác trên giấy nháp rồi sau đó bấm máy tính để khảo sát tính tăng - giảm của hàm số trong bài toán. Có 11/140  7,8% học sinh không giải được. x 0 6  5  4  1 y = cos2 x 1 3,2 1,9 2,4 1 x 0 1 4 1 2 3 4 1 y = cos2 x 1 0 -1 0 1 1 cos sin O -1 1 cos sin O -1 Các bài tập khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác trong SGK, SBT Toán lớp 11 có 15/133 11,3% số lượng bài tập lượng giác (Xem bảng 2.4). Các bài tập này đều có bảng biến thiên và bảng giá trị x gắn với số  . Học sinh quen với dạng này nên khi chúng tôi chọn đề toán mà x không gắn với số  thì học sinh tỏ ra "lúng túng". Điều đó chứng tỏ phần nào sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo - ở đây, đơn vị đo radian. Học sinh tham gia trả lời câu 4 dường như vẫn chưa biết cách tìm chu kỳ của hàm số mà chúng tôi chọn trong thực nghiệm này. * Với câu 6: Khi nhận được các bài toán trong thực nghiệm B, quan sát ban đầu cho thấy: học sinh bắt tay vào làm ngay câu 6. Dường như, đây là câu hỏi đơn giản nên học sinh có thể không cần suy luận vẫn có thể chọn lựa câu trả lời. Chiến lược "số đo" chiếm ưu thế với tỷ lệ 76/131  58% . Con số này nói lên rằng tương quan hàm dường như vẫn chưa được thiết lập ở học sinh. Khi đặt học sinh trước sự lựa chọn các lời giải giả định mà trong đó có lời giải sai (lời giải của bạn An), học sinh vẫn không lưỡng lự trước sự lựa chọn lời giải của bạn An. Chẳng hạn: B7: "Bạn An đúng vì sin30 chính là giá trị lượng giác của góc 300. Khi nhập vào máy tính thì sin30 chính là sin của 300". B17: "Bạn An đúng vì theo định nghĩa ta có: sinα là giá trị lượng giác của góc  ". B33: "Bạn An đúng vì khi nói sin30 thì 30 chính là 300 (Chi sai). Vì vậy, sin30 là giá trị lượng giác của góc 300, không phải của hàm số lượng giác (Bình sai)". Hoặc khi chọn lời giải của bạn Bình (Chiến lược "hàm số"), lời giải của bạn Chi (Chiến lược "số đo"), trong lời giải thích lý do lựa chọn lại không thể hiện sự hiểu biết của mình về hàm số, luôn bị ảnh hưởng bởi giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo. Cụ thể: B57: "Ý kiến của em trùng với bạn Bình, sin300 có giá trị 1 2 . Do đó, y = sinx khi x = 30, ta tìm được y = 1 2 ". B45: "Theo em thì bạn Chi có trùng ý kiến với em. Bởi vì để chỉ sin của góc 300 thì phải viết sin300; còn nếu sin30 là một hàm số lượng giác thì không được vì khi viết "sin30" không làm ai liên tưởng đến một hàm số lượng giác". B36: "Em trùng ý kiến với bạn Chi vì sin30 = 2 6 k  ". B136: "Bạn Chi vì sin30 là giá trị lượng giác của góc có số đo 30 radian". B126: "Theo em, sin30 là giá trị của góc 6  và góc 300". Nguyên nhân của những sai lầm trên đều do học sinh quan niệm: "giá trị lượng giác của góc  có đơn vị đo bằng giá trị lượng giác của số thực  " (Suy ra từ việc không phân biệt hai khái niệm giá trị lượng giác của góc với giá trị của hàm số lượng giác biến số thực của thể chế ở trường phổ thông). Trong lúc tiến hành thực nghiệm, chúng tôi quan sát được: Đầu tiên, học sinh chọn lời giải của bạn An, sau đó thì chỉ có một số học sinh bấm máy tính và chuyển sang lời giải của bạn Chi. Tuy nhiên, con số 42% học sinh chọn lựa lời giải của bạn Bình - nghiêng về chiến lược "hàm số" trong câu hỏi này cũng nói lên rằng: tương quan hàm chỉ được thiết lập ở một bộ phận học sinh. Có 2/131  1,5% học sinh trả lời như mong đợi của chúng tôi (bạn Bình và bạn Chi đều đúng). Theo phân tích mối quan hệ thể chế với giá trị lượng giác của góc, thể chế ưu tiên dùng đường tròn lượng giác để định nghĩa, chuẩn bị cho việc định nghĩa hàm số lượng giác được đơn giản - tính kế thừa. Học sinh dường như luôn ấn tượng sâu sắc với góc gắn với đơn vị đo nên không hiểu hàm số lượng giác tại một giá trị x bất kỳ. Nghĩa là sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo cản trở học sinh hiểu tương quan hàm trong lượng giác.  Sơ kết thực nghiệm B Những kết quả thu được của thực nghiệm B qua thực tế dạy - học trên là một bằng chứng cho phép chúng tôi kiểm chứng quy tắc RE3 và thấy rõ sự tồn tại dai dẳng của RE2. Thực nghiệm này giúp chúng tôi từng bước trả lời câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra ở cuối chương 2. 3.4.5. Một số kết luận Qua phân tích lời giải của học sinh đối với 6 câu hỏi được đặt ra trong hai thực nghiệm A và thực nghiệm B, chúng tôi có thể khẳng định tính hợp thức của giả thuyết H1 đã nêu. Ngoài ra, thực nghiệm còn cho thấy đơn vị đo góc ảnh hưởng mạnh mẽ đến một bộ phận học sinh, làm cản trở việc hiểu tương quan hàm trong lượng giác. 3.5. Kết luận chương 3 Với kết quả thực nghiệm tiến hành trên giáo viên và học sinh, chúng tôi đã kiểm chứng được hai giả thuyết đặt ra sau khi nghiên cứu chương 1 và chương 2. Đồng thời, trả lời được câu hỏi đặt ra cuối chương 2. Thực nghiệm cũng đã chứng minh ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế trên mối quan hệ cá nhân với các tri thức lượng giác «trong đường tròn» và «trong hàm số» mà chúng tôi tóm tắt dưới đây:  Sự tồn tại ngầm ẩn trong giáo viên các quy tắc RP2, RP3 làm ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh thể hiện bằng sự tồn tại trong đại đa số học sinh các quy tắc hợp đồng didactic R1, RE2, RE3.  Khi dạy lượng giác ở giai đoạn hàm số, giáo viên ý thức rõ tính kế thừa của bước chuyển "đường tròn - hàm số". Do đó, phương pháp trực quan được họ ưu tiên trong việc chuyển các đối tượng lượng giác từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên và giúp học sinh hiểu rõ hơn đặc trưng tương ứng của hàm số trong lượng giác. KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu của chúng tôi khép lại với các kết quả chính thu được như sau: Việc nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác dưới góc độ người nghiên cứu didactic toán và phân tích tổ chức toán học liên quan đến các tri thức lượng giác trong đường tròn, các tri thức lượng giác trong hàm số ở chương 1 đã cho phép chúng tôi nhìn rõ hơn trình tự xuất hiện của các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn: giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số cũng như tình huống gắn liền với sự xuất hiện các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn. Những kết quả đạt được ở chương 1 đã dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu tri thức lượng giác ở hai giai đoạn trong mối quan hệ với thể chế dạy - học toán THPT, chương 2. Đặc biệt, chúng tôi đã trả lời được các câu hỏi Q1, Q2, Q3, Q4 đặt ra ở phần mở đầu và nghiên cứu được phần nào bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau. Trong bước chuyển trên, chúng tôi nhận thấy việc xây dựng tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số phải vừa đặt nền tảng trên tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn, vừa phát triển nó dưới lăng kính mới - tương quan hàm. Tuy nhiên, chính điều đó đã khiến giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn trong hoạt động tác nghiệp và ứng xử. Cách tiếp cận các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn vẫn còn ảnh hưởng mạnh mẽ đến ứng xử của học sinh khi học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số. Đôi khi, dẫn đến sai lầm ở một bộ phận học sinh. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn còn dẫn chúng tôi đến với hai giả thuyết H1, H2 và câu hỏi nghiên cứu mới. Kết quả nghiên cứu trong phần thực nghiệm, chương 3, đã chứng tỏ và tìm lời giải đáp cho câu hỏi mới này. Hơn nữa, quy tắc hợp đồng R2 đã tồn tại trong giai đoạn trước và tiến triển đến giai đoạn sau làm ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự tồn tại ngầm ẩn quy tắc R3 trong giai đoạn sau. Sự hợp thức của giả thuyết H2 chứng tỏ sự kế thừa của bước chuyển từ tri thức lượng giác «trong đường tròn» đến tri thức lượng giác «trong hàm số». Sự hợp thức của giả thuyết H1 và tính thoả đáng của câu trả lời cho câu hỏi mới đã cho thấy sự gián đoạn giữa hai cách tiếp cận lượng giác trong việc khảo sát các hàm số lượng giác. Thật vậy, thực nghiệm về phía học sinh cho thấy cách tiếp cận "số đo" (gắn với đơn vị đo) luôn thống trị cách tiếp cận "hàm". Từ những kết quả sơ khởi đạt được của luận văn, chúng tôi thấy rằng cần phải xây dựng một đồ án didactic khai thác tối đa những gì trước đây môi trường không tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận tương quan hàm khi học lượng giác, tạo điều kiện cho học sinh sử dụng phương pháp trực quan trong các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác và ứng dụng khảo sát các hàm số lượng giác ở các môn vật lý, kỹ thuật ... Đây cũng là những hướng phát triển của luận văn này. Sơ đồ 2.3: Minh họa "vết" của TCTH ở bậc đại học gắn với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn [T*1/τ*11, τ*12/ θ*11 ] [T*81/ τ*81a ] [T*3/ τ*3/ θ*3] "kế thừa" [T*84/ τ*84 ] [T*6/ τ*62a / θ*62] [T*86/ τ*86 / θ*86] [T*7/ τ*71 , τ*72/ θ*7] [T*82/ τ*82a / θ*82 ] [T*21/ τ*21 / θ*21 ] [T*85/τ*85a , τ*85b/ θ*85a , θ*85b] [T*9/ τ*91/ θ*91] [T*84/ τ*84c/ θ*84c ] [T8/ τ8] [T'71/ τ'71a / θ'71a ] [T3/ τ3] [T'6/ τ'6 / θ'6] [T7/ τ7] [T'5/ τ'51 , τ'52/ θ'51 , θ'52] [T5/ τ51, τ52] "kế thừa" [T'4/ τ'4 / θ'4] [T4/ τ41/ θ4] [T'3/ τ'3/ θ'3] [T2/ τ2/ θ2] [T'2/ τ'2/ θ'2] Giai đoạn đường tròn Giai đoạn hàm số TCTH tham chiếu [T1/τ1a , τ1b/ θ1a , θ1b] [T'1/ τ'1/ θ'1] 69 TCTH cần giảng dạy ._.