Bê tông atphan màu và các phương pháp chế tạo

con đường. Bài báo này giới thiệu một số tính năng và cách chế tạo loại bê tông mặt đường có màu sắc mới này. Từ khóa: Bê tông atphan, đá găm, chất tạo màu (pigment). 1. Tính chất đặc biệt của bê tông atphan màu so với bê tông atphan truyền thống Khi thay thế màu đen truyền thống bằng các màu sắc khác sẽ giảm nhiệt độ bề mặt trong mùa nóng, do đó nâng cao độ bền nhiệt của lớp atphan và giảm sự lão hóa theo thời gian. Bên cạnh đó, hiệu ứng của các thuộc tính quang học của lớp phủ atphan màu sẽ cải thiện mức độ quan sát trong đêm. Ngoài ra, các màu sắc khác nhau như nâu, đỏ, xanh lá cây, xanh dương, hồng, vàng, màu be, nâu vàng mang lại sự thuận lợi, sự thoải mái khi tham gia giao thông và hiệu ứng thẩm mỹ, sự tao nhã của cảnh quan. Bê tông atphan màu thường được sử dụng với mục đích chỉ thị lối đi vào thành phố hay các giao lộ hoặc được dùng để phân biệc các không gian khác nhau để đi tới các điểm đến đặc biệt như trạm đỗ cho các trạm xe bus, xe đạp, xe máy. Ngoài ra chúng còn được sử dụng để cảnh báo giao thông cho các khách bộ hành đối với các vùng thường xuyên xảy ra tai nạn, các vòng xoay, nơi băng ngang cho người đi bộ ở những vùng có mật độ giao thông cao, (Hình 1). Hình 1. Ứng dụng của bê tông atphan màu 2. Các phương pháp tạo màu cho bê tông atphan Để đạt được màu sắc như mong muốn thì có thể sử dụng một số phương pháp như: thêm chất tạo màu vào atphan trong quá trình sản xuất cùng với việc sử dụng đá dăm có màu phù hợp ở lớp nền; xử lý bề mặt sau khi phủ nền; sử dụng bitum thông thường với cốt liệu có màu sắc; sử dụng đá găm đã được tạo Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 62 màu và sử dụng cốt liệu có màu sắc thích hợp với chất kết dính mờ. Thêm chất tạo màu vào trong atphan Màu chính của atphan được tạo ra bằng cách thêm chất tạo màu. Chất tạo màu thường sử dụng là oxit sắt ba Fe2O3. Cốt liệu có màu sắc phù hợp với màu chính cũng được sử dụng để tránh ảnh hưởng đến màu chính. Tuy nhiên, giá của oxit sắt khá cao nên việc sử dụng bê tông atphan có màu đỏ bị hạn chế. Có thể sản xuất bê tông atphan màu xanh đậm bằng cách sử dụng oxit crôm nhưng bê tông có màu này thì ít được sử dụng hơn bê tông có màu đỏ. Hiện nay đã có nhiều chất kết dính có các tính chất lưu biến và cơ học tương tự như bitum truyền thống nhưng dễ nhuộm màu hơn. Chẳng hạn bê tông atphan màu đỏ được sản xuất từ các chất kết dính mới này chỉ cần 1 - 2% chất tạo màu để có được màu sắc mong muốn trong khi bitum truyền thống thì cần đến 5% oxit sắt. Xử lý bề mặt có màu sắc sau khi phủ nền Có 3 dạng xử lý bề mặt để tạo màu cho lớp bê tông atphan đó là: sử dụng bê tông được nhuộm màu sẵn, sử dụng lớp láng mặt và dùng sơn màu. Bê tông được nhuộm màu được chế tạo sẵn với nhiều màu sắc khác nhau. Tuy nhiên vì lớp bê tông này rất mỏng nên chúng thích hợp cho đường bộ hành và giao thông nhẹ. Sử dụng lớp láng mặt thì phù hợp cho hầu hết các loại cấp nhựa đường. Màu sắc cuối cùng của lớp láng mặt sẽ là màu đá dăm được sử dụng. Khi bề mặt được xử lý bằng sơn màu, các màu sơn được chế tạo sẵn để phủ lên các bề mặt đường màu đen và cách này thông thường chỉ phù hợp cho khu vực bộ hành, sân chơi như tenis. Sử dụng bitum thông thường với cốt liệu có màu sắc Khi trộn một bitum thông thường với cốt liệu, màu sắc của hỗn hợp nhận được tùy thuộc vào các yếu tố như màu của chính cốt liệu, chiều dày màng bitum bọc cốt liệu và tỷ lệ bề mặt hạt bọc chất kết dính bị lộ ra trên bề mặt và bị bào mòn bởi xe cộ. Trong điều kiện giao thông vừa và nặng, màu sắc tự nhiên của cốt liệu sẽ nhanh chóng lộ ra một cách rõ ràng nhưng ở điều kiện giao thông nhẹ thì phải mất một thời gian đáng kể. Sử dụng đá găm đã được tạo màu Đối với bê tông atphan rải nóng sử dụng cốt liệu có cỡ hạt tương đối nhỏ thì màu sắc có thể tạo ra bằng các rải các đá găm đã được tạo màu, kết hợp với quá trình lu lèn để găm bám vào bề mặt đường trong quá trình đầm nén. Đá găm này cần phải được trộn trước với bitum hoặc chất nhựa để gia tăng sự kết bám với bề mặt đường. Tuy nhiên, cách tạo màu này chỉ phù hợp ở nơi giao thông nhẹ, bộ hành vì ở các điều kiện khác thì bê tông atphan có hàm lượng đá cao nên đá găm đã được tạo màu không thể được lu lèn ép chặt vào bề mặt đường. Sử dụng cốt liệu có màu sắc thích hợp với chất kết dính mờ Một số chất kết dính được sử dụng trong bê tông atphan có màu trong hơn bitum nên chỉ cần lựa chọn màu sắc cốt liệu phù hợp thì có thể tạo ra các bề mặt có màu sắc. Ưu điểm của cách làm này là bề mặt sẽ có màu sắc cần thiết ngay khi vừa thi công xong. Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 63 3. Chế tạo bê tông atphan có màu bằng cách sử dụng chất tạo màu 3.1. Giới thiệu về chất tạo màu Các chất tạo màu vô cơ như oxit sắt, oxit crom, đioxit titan và hỗn hợp các oxit thì rất phù hợp để chế tạo cho bê tông atphan màu vì chúng rất bền thời tiết và bền màu. Còn các chất tạo màu hữu cơ thì thường không bền thời tiết và khá đắt tiền để sử dụng trong bê tông atphan. Bên cạnh đó, sự phù hợp giữa chất tạo màu và chất kết dính trong bê tông cũng đóng vai trò quan trọng. Đối với các bitum màu tối, các chất tạo màu thường được sử dụng là oxit sắt và oxit crôm xanh. Oxit sắt có nồng độ và cường độ nhuộn màu cao nên có thể che đi màu tối của các bitum thông thường và có thể mang lại màu đỏ mong muốn. Do đó oxit sắt đỏ là chất tạo màu quan trọng nhất đối với ứng dụng này. Đối với bitum có màu nhạt thì loại chất tạo màu có thể sử dụng được sẽ nhiều hơn. Một điều cần lưu ý đối với hỗn hợp bê tông atphan rải nóng đó là tính bền màu sắc của một số oxit khi ở nhiệt độ cao. Oxit sắt vàng nâu khi ở nhiệt độ trên 180oC sẽ chuyển thành oxit sắt đỏ. Còn oxit sắt đỏ, oxit titan, oxit crom xanh lá cây và các hỗn hợp oxit khác thì bền màu khi nhiệt độ trên 180oC. 3.2. Hàm lượng chất tạo màu cần dùng Khi sử dụng bitum màu tối, cần thêm từ 3 - 4% oxit sắt đỏ tổng hợp với cường độ nhuộm màu cao. Nếu oxit sắt đỏ được sử dụng có cường độ nhuộm màu thấp thì cần phải sử dụng với hàm lượng cao hơn. Đối với các chất tạo màu khác, ví dụ xanh crom, thường ít phù hợp để che đi màu tự nhiên của bitum vì cường độ nhuộm màu thấp và phải sử dụng một lượng lớn. Cách duy nhất cải thiện màu tối của bitum lúc này là thêm vào các cốt liệu có màu tự nhiên xấp xỉ màu bitum cần nhuộm. Các loại bitum nhạt màu được đề cập trước đây đã được sử dụng ở một số nước. Nhược điểm của các sản phẩm này là giá khá cao và trong một số trường hợp lại không bền thời tiết. Tuy nhiên, sử dụng loại này để sản xuất bê tông atphan màu thì dễ dàng hơn. Ví dụ bê tông màu vàng và xanh được tạo ra bằng cách thêm chất tạo màu với hàm lượng từ 1 đến 2%. 3.3. Quy trình sản xuất * Chuẩn bị đá và cát: Đá và cát được làm sạch bằng nước (có thể rửa trong máy hoặc rửa trên băng truyền), vận chuyển đến kho chứa và được gia nhiệt bằng thiết bị sấy. Thiết bị sấy có thể là các loại các thùng sấy ngắn cho từng mẻ, thùng sấy hình trụ quay hoặc tháp sấy. * Chuẩn bị bột đá: bột đá sau khi nghiền nhỏ được kiểm tra chất lượng và sau đó được chứa ở xilo riêng, không cần gia nhiệt. * Chuẩn bị bitum: bitum được gia nhiệt trong thiết bị đặc biệt. Đối với bitum quánh nhiệt độ từ 140 – 160oC, còn đối với bitum lỏng từ 90 – 100oC. Quá trình gia nhiệt nhằm đảm bảo cho bitum đạt tới độ nhớt có thể nhào trộn được và bám dính tốt với vật liệu khoáng. * Trộn bê tông asphalt: bê tông atphan có thể được trộn trong theo chu kỳ sấy nóng gián tiếp, chu kỳ cấp nhiệt trực tiếp hoặc trộn liên tục cấp nhiệt trực tiếp. Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 64 * Trộn màu: có hai cách trộn màu vào hỗn hợp bê tông atphan, đó là trộn theo mẻ (Hình 2) và trộn liên tục (Hình 3). Hình 2. Thêm màu bằng qui trình trộn mẻ Trong quy trình trộn mẻ, chất tạo màu có thể được thêm vào bằng điều khiển tự động hoặc bằng tay. Các bao đựng chất tạo màu làm bằng polyetylen được thêm trực tiếp vào hỗn hợp qua máng. Các bao đựng màu được cho luôn vào hỗn hợp vì polyetylen bị hòa tan ở 130 - 140oC. Ưu điểm của phương pháp này là không gây bụi. Thời gian trộn khoảng 60 - 90 giây. Để ngăn chặn quá trình kết tụ (các cục hay mảng bột màu), bột màu nên được thêm trước bitum và được trộn trước với cốt liệu trong 10 - 15 giây. Trộn liên tục: Việc thêm bột màu bằng tay thì không thể thực hiện được trong quy trình trộn liên tục. Quy trình này có công suất khá lớn. Hình 3. Thêm màu theo quy trình trộn liên tục 4. Kết luận Bên cạnh việc nâng cao chất lượng, việc sử dụng những màu sắc mới cho bê tông atphan sẽ góp phần nâng cao tính an toàn và tạo sự thoải mái cho người tham gia giao thông. Bên cạnh đó, cảnh quan đô thị cũng được cải thiện đáng kể. Công tác quy hoạch để có những đô thị mới không nên bỏ qua việc sử dụng bê tông atpha màu này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Công ty Shell Việt Nam. 9/1991. Cẩm nang bitum shell trong xây dựng công trình giao thông, NXB Giao thông vận tải. [2] LANXESS Deutschland GmbH Business Uni. January 2002. Inorganic Pigments, Technical Information, Competence Center Construction. [3] Phạm Duy Hữu. Bê tông asphalt, NXB Giao thông vận tải. [4] Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 65 HAI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM MỎNG CHỮ NHẬT BIẾN DẠNG LỚN KHI CHỊU TÁC DỤNG CỦA LỰC THAM SỐ THEO VON KÁRMÁN KS. Võ Văn Nam Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Như đã biết, tấm chữ nhật là một trong những kết cấu được sử dụng phổ biến trên thế giới. Bởi vậy, việc tìm hiểu về độ bền của loại kết cấu này trở nên quan trọng. Nội dung của bài báo này, tác giả đề cập đến hai phương trình vi phân của tấm chữ nhật dưới tác dụng của những tải trọng động có tính chu kỳ trong mặt phẳng dưới dạng    y y0 ytn t n n cos t  (lực tham số) trên hai cạnh biên đối diện nhau khi xét đến lý thuyết biến dạng lớn theo von Kármán. As is shown, the rectangular plate is one of the commonly used structures on the world. Therefore, the researching of endurance of this structure becomes important. In this paper, the author regards two difference equations of retangular plate under in-plane periodic forces in form     y y0 ytn t n n cos t (parametric force) at two opposite edges when von Kármán's large-deflection theory is considered. Keyword: plates, large-deflection theory,. Lý thuyết kết cấu tấm được nghiên cứu từ cuối những năm của thế kỷ 19. Có hai lý thuyết về tấm được chấp nhận và sử dụng rộng rãi là: lý thuyết Kirchhoff (lý thuyết tấm cổ điển) và lý thuyết Mindlin–Reissner (lý thuyết tấm dày). Các lý thuyết tấm này được trình bày trong rõ trong cuốn sách Theory of Plates and Shells [11] của tác giả S. Timoshenko và S. Woinowsky-Krieger; Stresses in Plates and Shells-Second edition của tác giả Ansel C. Ugural [10] và một số cuốn sách khác. Trong luận văn này, tác giả chỉ tóm tắt lý thuyết nhằm vận dụng để làm cơ sở tính toán cho đề tài này, đó là lý thuyết tấm mỏng biến dạng lớn theo Von Kármán. Hình 1. Mô hình tấm chịu tác dụng của lực kích thích tham số 1. Lý thuyết tấm biến dạng lớn Lý thuyết tấm mỏng biến dạng lớn được G. R. Kirchhoff phát triển và công bố năm 1877. Sau đó, Von Kármán phát triển lý thuyết này và giới thiệu hai phương trình vi phân căn bản của tấm gọi là phương trình Von Kármán vào năm 1910. Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 66 Hình 2. Mô hình tấm mỏng cơ bản Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của hai phương còn lại. Mặt phẳng cách đều hai mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của tấm. Khi chịu uốn mặt trung bình của tấm bị cong đi. Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm được gọi là cạnh biên của tấm (hay chu vi tấm). Đối tượng nghiên cứu trong luận văn này được thừa nhận là mỏng và phẳng lúc ban đầu; vật liệu chế tạo của tấm là vật liệu đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. Điều kiện biên của tất cả bốn biên đều là liên kết tựa đơn giản. 1.1. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị 1.1.1. Bài toán tấm chịu uốn Trong không gian hai chiều (x,y) các thành phần biến dạng: x y xy yx u v u v; ; x y y x                  (1.1a) Hình 3. Biến dạng dài và biến dạng góc Trong không gian 3 chiều có thêm 3 thành phần biến dạng: z xz zx yz zy w u w v w; ; z z x z y                       (1.1b) Hình 4. Mô hình tấm có chiều dày không đổi trước và sau khi biến dạng Trong giả thiết tính toán kết cấu tấm (giả thiết a và c), giả thuyết mặt phẳng  m,n vẫn phẳng trước và sau khi chịu biến dạng uốn. Điều này có nghĩa là biến dạng Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 67 cắt thẳng đứng xz và yz nhỏ và chúng ta xem như không tồn tại. Đồng thời, chiều dày của tấm không đổi nên biến dạng dài theo phương z cũng có thể bỏ qua. Do đó, chúng ta chỉ quan tâm đến các biến dạng chính trong mặt phẳng (x,y). Như vậy, ta nhận được kết quả như sau: x y xy z xz yz u v u v; ; x y y x 0; 0; 0                      (1.2) với  w w x, y . Theo tính chất quan hệ hình học chúng ta nhận thấy: wu z x     và wv z y     (1.3) Thế (1.3) vào (1.2) ta nhận được kết quả: 2 2 2 x y xy2 2 w w wz ; z ; 2z x y x y                 (1.4) Độ cong  của một mặt phẳng được xem như tỉ lệ của sự thay đổi góc dốc của đường cong.                                  x y xy x y xy 1 w 1 w 1 w; ; r x x r y y r x y (1.5) Từ (1.4) và (1.5) ta có mối liên hệ như sau: x x y y xy xyz ; z ; 2z           (1.6) 1.1.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên Xét một phần tử tấm (dxdy) tại một điểm nằm giữa mặt phẳng trung hòa của tấm. Dưới tác dụng của tải trọng tác dụng, phần tử thẳng AB bị dịch chuyển và trở thành A'B'. Hình 5. Mô hình phần tử bị biến dạng do chuyển vị Vì phần tử nằm trên mặt phẳng trung hòa giữa tấm nên ứng suất không xuất hiện do đó dx không đổi. Đồng thời, hình chiếu của A'B' lên phương chuyển vị thẳng đứng w là w dx x   . Do đó, chiều dài A'B' được xác định như sau: 1/ 22 2 2 w 1 wdx dx dx dx ... x 2 x                    Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 68 Do đó, kết quả biến dạng dài tương đối của phân tố dx: 2 x 1 w 2 x       (1.7) Tương tự, chúng ta cũng có thể xác định được biến dạng dài theo phương y: 2 y 1 w 2 y        (1.8) Để tìm biến dạng cắt do chuyển vị w gây ra, ta xét một phân tố nhỏ như hình 3 (b). Ta nhận thấy chuyển vị lần lượt là của OA vàOB lần lượt là O' A' và O' B' . Sự chênh lệch giữa góc A' O' B' và góc 2 chính là biến dạng cắt tương ứng với chuyển vị w. Để xác định sự chênh lệch, chúng ta xem xét mặt phẳng 1B O' A' , xoay mặt phẳng này bởi một góc nhỏ w y  sao cho mặt phẳng 1B O' A' trùng với mặt phẳng B' O' A' . Điểm 1B di chuyển đến vị trí điểm C . Như vậy, chuyển vị: 1 wB C dy y    (1.9) và góc nghiêng của 1B C với 1B B' là góc nhỏ w x  . Từ tam giác 1B CB' ta thấy: w wCB' dy x y      (1.10) Góc CO' B' đặc trưng cho biến dạng cắt tương ứng do chuyển vị w gây ra: w wCO' B' x y      (1.11) 1.1.3. Biến dạng của tấm khi xét đến biến dạng lớn theo Von Kármán Người ta thấy rằng khi xét một tấm mỏng biến dạng lớn sẽ tồn tại cả hai biến dạng kể trên. Do đó, kết hợp hai biến dạng ta thu được kết quả biến dạng của tấm như sau:                                22 x y xy u 1 w v 1 w u v w w; ; x 2 x y 2 y y x x y (1.12) 1.2. Quan hệ ứng suất biến dạng 1.2.1. Bài toán tấm chịu uốn Trong không gian ba chiều, theo định luật Hooke ta có mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:       xy x x y z xy yz y y x z yz xz z z x y xz 1 E G 1 E G 1 E G                                        (1.13) với E là mô đun đàn hồi  là hệ số Poisson Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 69 G là mô đun đàn hồi trượt   EG 2 1    Mà theo giả thuyết tấm mỏng ta có: z xz yz 0     Thế vào phương trình (1.13) ta tìm được hàm ứng suất theo biến dạng:                    x x y y y x xy xy2 2 E E, , G 1 1 (1.14) 1.2.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên: Tương tự theo định luật Hooke ta có mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:             xyx x y y y x xy N1 1N N ; N N ; Eh Eh Gh (1.15) Như vậy, ta cũng rút ra được ứng suất theo biến dạng:                 x x y y y x xy xy2 2 Eh EhN ; N ; N Gh 1 1 (1.16) 1.3. Các thành phần nội lực 1.3.1. Bài toán tấm chịu uốn Lúc này trong tấm tồn tại mô men và lực cắt. Kết hợp (1.6) và (1.14) ta có:     2 2 x x y2 2 2 2 2 2 y y x2 2 2 2 2 xy xy Ez Ez w w 1 1 x y Ez Ez w w 1 1 y x Ez Ez w 1 1 x y                                                      (1.17) Gọi xM là mô men uốn trên một đơn vị chiều dài. Ta có: h/ 2 h/ 2 x x x h/ 2 h/ 2 M dy z dydz dy z dz       Hay: h/ 2 x x h/ 2 M z dz    Các bước tương tự ta thu được kết quả: x xh / 2 y y h / 2 xy xy M M zdz M                         (1.18) Và các giá trị lực cắt tương ứng: h/ 2 x xz y yzh/ 2 Q dz Q                 (1.19) Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 70 Như vậy, ta nhận thấy một vấn đề xảy ra đó là theo giả thuyết tính toán tấm mỏng chúng ta bỏ qua các biến dạng xz và yz nhưng lực theo phương thẳng đứng xQ và yQ thì không thể bỏ qua. Điều này nhằm đảm bảo cho hệ lực được cân bằng. Thế (1.17) vào (1.18) ta thu được:         2 2 x x y 2 2 2 2 y y x 2 2 2 xy xy w wM D D x y w wM D D y x wM D 1 D 1 x y                                           (1.20) với:   3 2 EhD 12 1    Ứng suất lúc này cũng có thể biểu diễn theo mô men:     y xyxx y xy3 3 3 12M z 12M z12M z ; ; h h h (1.21) Xét cân bằng lực trong một phân tố tấm chịu uốn có kích thước dxdy chịu tải trọng phân bố đều như Hình 4. Chú ý, phân tố có kích thước rất nhỏ nên xem như các thành phần nội lực được xem như phân bố đều trên các biên: Hình 6. Phân bố nội lực trên một phần tử tấm chịu uốn Từ hình vẽ trên chúng ta xét phương trình cân bằng mô men cho phân tố theo các trục. Đối với trục x lấy tổng mô men với trục x bỏ qua các vi phân bậc cao ta thu được phương trình cân bằng mô men: y xy y M M dxdy dxdy Q dxdy 0 y x        (1.22) Hay: y xyy M M Q y x       (1.23a) Tương tự, ta cũng tính được giá trị lực cắt đơn vị: xyxx MMQ 0 x y       (1.23b) Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 71 Thế phương trình (1.20) vào phương trình (1.23a) và (1.23b) ta thu được giá trị lực cắt tính theo chuyển vị: 2 2 x 2 2 2 2 y 2 2 w wQ D x x y w wQ D y y x                       (1.24) Dựa trên Hình 4 ta nhận thấy các thành phần lực thẳng khi chiếu lên phương trục z bao gồm: yx x x y y yx QQ pdxdy Q dx dy Q dy Q dy dx Q dx x y QQpdxdy dxdy dxdy x y                     (a) 1.3.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên: Xét một phân tố tấm chữ nhật chịu lực mặt ở biên, kết quả nội lực được cho trên hình vẽ: Hình 7. Lực tác dụng trên một phân tố nằm ở giữa tấm với: xy yxN N ; ' dxx           Dựa theo Hình 5 ta nhận thấy khi chiếu các lực xN lên phương trục x ta nhận được kết quả: x x x NN dx dy cos ' N dy cos x        (b) mà   21/ 22 21cos 1 sin 1 sin ... 1 2 2           Vì  khá nhỏ nên có thể xem 2 2 0 cos 1    : Tương tự ta cũng thu được: cos ' 1  . Như vậy, biểu thức (b) chỉ còn  xN x dxdy  . Tương tự, ta cũng thu được xyN chiếu lên phương trục x. Từ điều kiện hệ lực cân bằng theo phương trục x  xF 0 dẫn đến phương trình: yxx NN 0 x y      (1.25a) Tương tự theo phương trục y ta cũng thu được: Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 72 y xyN N 0 y x       (1.25b) Xét các lực xN khi chiếu theo phương trục z: x x x NN dx dy sin ' N dy sin x        (c) Vì  và ' khá nhỏ, sin w x     và sin sin '  nên ta thu được: 2 2 w w' dx dx x x x               Thế vào biểu thức (b) bỏ qua những vi phân bậc cao ta nhận được: 2 2 x x x x x2 2 N Nw w w w wN dx dy dx N dy N dxdy dxdy x x x x x x x                        (d) Tương tự, ta cũng thu được các thành phần lực yN theo phương z: 2 y y 2 Nw wN dxdy dxdy y y y       (e) Hợp lực theo phương z gồm các lực cắt xyN trên các biên x được xác định như sau. Độ dốc của mặt biến dạng theo phương y do các lực trên biên y là w y  và  2w y w x y dx      . Theo biên x ta có các thành phần lực cắt chiếu lên phương z là xyN dy và  xy xyN N x dx dy     2 xy xy xy 2 xy xy Nw w wN dy N dx dy dx y x y x y Nw w N dxdy dxdy x y x y                                    (g) Tương tự, ta cũng thu được hợp lực theo phương z của lực cắt dọc theo biên y: 2 yx yx Nw wN dxdy dxdy x y y x        (h) 1.3.3. Khi tấm chịu tải trọng tổng quát Khi xảy ra cả hai trường hợp trên ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. Kết hợp hai hình: Hình 5 và Hình 4, ta nhận thấy các thành phần lực thẳng trên Hình 5 không gây ra mômen nên kết quả phương trình (1.24) được xem như là không đổi. Từ điều kiện cân bằng lực ta có tổng lực thẳng theo phương z phải bằng 0, nghĩa là zF 0 . Từ đó, chúng ta có được: 2 2 y yx x x y2 2 2 2 xy yx xy yx Q NQ Nw w w wp N N ... x y x x x y y y N Nw w w w ... N N 0 x y x y x y y x                                                            Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 73 2 2 2 yx x y xy2 2 yx y xyx QQ w w wp N N 2 N ... x y x y x y N N NN w w ... 0 x y x y x y                                          (1.26) Thế hai phương trình (1.25a) và (1.25b) vào phương trình (1.26) ta được: 2 2 2 yx x y xy2 2 QQ w w wp N N 2N 0 x y x y x y                 (1.27) Thế phương trình (1.24) vào phương trình (1.27) ta nhận được phương trình vi phân chủ đạo của tấm mỏng: 4 4 4 2 2 2 x y xy4 2 2 4 2 2 w w w 1 w w wp N N 2N x x y y D x y x y                       (1.28) 2. Hai phương trình vi phân von Kármán - Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng trong tấm biến dạng lớn: 221 1; ; 2 2                                x y xy u w v w v u w w x x y y x y x y (2.1) - Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: + Với f là hàm ứng suất Airy ta có: 2 2 2 2 2; ; x y xy f f fN h N h N h y x x y            (2.2) + Theo định luật Hooke:    1 1; ;          xyx x y y y x xy N N N N N Eh Eh Gh (2.3) Thế phương trình (2.2) vào (2.3) ta được:  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 1; ;                                x y xy f f f f f E y x E x y E x y (2.4) - Từ (1.28) ta có phương trình vi phân chủ đạo của tấm mỏng: 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 12 2x y xy w w w w w wp N N N x x y y D x y x y                       (2.5) với:   3 212 1 EhD    Khi xét đến trường hợp tấm chịu tải trọng động thì lúc này hàm chuyển vị w và hàm ứng suất f là những hàm theo tọa độ và thời gian, có nghĩa là  , ,w w x y t và  , ,f f x y t . Nếu có xét đến lực quán tính 2 2 wF h t      thì phương trình (2.5) trở thành: 4 4 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 12 2x y xy w w w w w w wp N N N h x x y y D x y x y t                           (2.6) Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 74 Đối với tấm chữ nhật chịu tác dụng của tải trọng tham số như trong luận văn này không xét đến lực phân bố đều vuông góc bề mặt tấm. Có nghĩa là p 0 . Do đó, phương trình (2.6) trở thành: 4 4 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 12 2x y xy w w w w w w wN N N h x x y y D x y x y t                          (2.7) - Phương trình tương thích: 22 22 2 2 2 2 2 2 2 y xyx w w w y x x y x y x y                       (2.8) Thế (2.2) và (2.4) lần lượt vào (2.7) và (2.8) ta thu được hai phương trình von Kármán: 4 2 , , ,xy xx yyf E w w w     (2.9) 4 , , , , , , ,2yy xx xx yy xy xy tt hw f w f w f w w D        (2.10) với: 4 4 4 4 4 2 2 4x x y y            TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yamaki N, Nagai K. 1975. Dynamic stability of rectangular plates under periodic compressive forces, Report No. 288 of the Institute of high speed mechanics, Tohoku University, pp. 27 - 103. [2] G.L. Ostiguy, H. Nguyen. 1998. Recent developments on the dynamic stability and response of paramatrically-excited rectangular plates. [3] H. Poicaré. 1892. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris. [4] Guan-Yuan Wu, Yan-Shin Shih. 2005. Dynamic instability of rectangular plate with an edge crack, Computers and Structure, pp. 1 - 10. [5] T. Takahashi, Y. Konishi. 1987. Dynamic stability of rectangular plate subjected to distributed in-plane dynamic force, pp. 115 - 126. [6] Kazuyuki Yagasaki. 1990. Dynamics of a weakly nonlinear system subjected to combined parametric and external excitation, Department of Mechanical Engineering, Tamagawa University, pp. 1 - 9. [7] Wang S, Dawe D J. 2002. Dynamic instability of composite laminated rectangular plates and prismatic plate structures, Computer methods applied mechanics and engineering, p. 1791 - 1826. [8] Chuen-Yuan-Chia. 1980. Nonlinear Analysis of Plates. McGRAW-HILL Inc. [9] L.S. Ramachandra, Sarat Kumar Panda. 2009. Dynamic stability of composite plates subjected to non-uniform in-plane load, Journal of Sound and Vibration, Elsevier, pp. 53 - 65. [10] Ansel C. Ugural. 1999. Stress in Plates and Shells, Second edition, Mc Graw-Hill Inc. [11] S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. 1959. Theory of Plates and Shells, Second edition.