Bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích

iả luận án Trần Ngọc Liên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát bài toán khôi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng... Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần đây là nhận dạng trong tình huống xấu nhất... Bài toán khôi phục mà chúng tôi quan tâm được phát biểu như sau: Cho U là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, nghĩa là  1|z|:CzU  (1) K là một tập con của U . Cho  là một hàm số xác định trên K . Hãy khôi phục hàm f giải tích trong U khi biết trước giá trị của f trên K là  . Trong luận án chúng tôi giới hạn ở trường hợp  nzK  là một dãy vô hạn đếm được các điểm trong U . Khi hàm số f thuộc không gian Hardy )U(H p , không gian các hàm giải tích trên )1p(U  , hoặc đại số đĩa )U(A (nghĩa là hàm f liên tục trên đĩa đơn vị đóng  1|z|:CzU  và giải tích trên U ) thì bài toán khôi phục chính là bài toán moment. Luận án của chúng tôi nghiêng về mặt ứng dụng nên các bài toán khôi phục hàm giải tích được rút ra từ các ứng dụng trong vật lý (chương 3: bài toán nhiệt ngược và chương 5: bài toán Cauchy không gian cho phương trình Parabolic), trong giải tích thực (chương 4: bài toán biến đổi Laplace ngược). Đây là bài toán ngược và không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán có thể vô nghiệm; bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất; nghiệm của bài toán tồn tại nhưng không ổn định. Bài toán nội suy hàm giải tích có một thư mục rất lớn (xem [20, 63]). Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên là các bài báo lại không khảo sát tính không chỉnh của bài toán và tính ổn định của thuật toán khi có sai số của dữ liệu. Thực vậy, xét bài toán: xác định một hàm giải tích f trong không gian )U(H 2 sao cho ,...3,2,1n)z(f nn   (2) với 1nn )z( là một dãy vô hạn các điểm trong U , )( n là dãy số phức bị chặn, tức là  l)( n . Với )z( n và )( n bất kỳ thì bài toán có thể vô nghiệm. Chẳng hạn dãy )z( n xác định bởi 1n n 1z,0z n1  và )n 1()( n  . Khi đó 1)z(f)0(f 11   . Mặt khác ta có 0lim) n 1(flim)0(f nnn    (vô lý). Vậy bài toán vô nghiệm. Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chứng minh rằng tính duy nhất của bài toán (2) chỉ có khi và chỉ khi  1k k )|z|1( (điều kiện Blaschke). Nếu điều kiện này không thoả, bài toán có nghiệm tổng quát là Bgf  với f là một nghiệm đặc biệt của (2), B là tích Blaschke với các không điểm )z( k và g là một hàm tùy ý trong )U(H 2 . Vậy bài toán có nghiệm không duy nhất. Xét bài toán (2). Cho 1nn )z( tuỳ ý trên đường tròn      4 1|z|:Cz và dãy   mn xác định bởi   ,...3,2,1n)z2( mnmn  với m là số tự nhiên . Khi đó ta có   0 2 1|)z2(||| m m n m n    khi m . Xét hàm .)z2(z CU:f m m   Ta có 2m Hf  và  mnnm )z(f  , mHm 2||f|| 2  . Vậy lim || || 2m Hx f   . Điều này chứng tỏ bài toán (2) không ổn định: từ sự sai lệch nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến kết quả cuối cùng có sai lệch lớn. Gọi 0f là nghiệm chính xác của bài toán (2), ứng với giá trị chính xác    l0n0  , tức là ,...3,2,1n)z(f 0nn0   và  l)( n là một dữ liệu đo được thoả : || || sup0 0n n         . Tính không ổn định của nghiệm ở chỗ: tính toán với nhiều dữ liệu hơn một lượng cần thiết nào đó thì có thể làm cho sai số lớn hơn. Do đó cần xác định một số tự nhiên )(n  ( với mỗi 0 ), mà ta gọi là tham số chỉnh hóa để chỉ ra số lượng dữ liệu n cần thiết phải sử dụng và giới hạn việc tính toán trên máy tính. Nói cách khác là xác định tham số chỉnh hóa )(n  sao cho từ )(n  dữ liệu )(n21 ,...,,  ta có thể xác định một hàm f mà nó xấp xỉ ổn định nghiệm chính xác 0f của bài toán. Một số kết quả cụ thể: Như chúng ta đã biết, trong bài toán nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị các nhà toán học thường sử dụng đa thức (đặc biệt là đa thức Lagrange) hay hàm phân thức để xây dựng các hàm xấp xỉ (xem [20, 63]) .Tính chất của dãy các điểm nội suy và tính chất của hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến sự hội tụ của hàm số xấp xỉ. Phép nội suy Lagrange rất thuận lợi cho việc sử dụng, nhưng nó không ổn định. Các hệ số bậc cao của đa thức Lagrange tăng nhanh khi số điểm nội suy tăng và dãy các đa thức Lagrange không hội tụ trong 2H . Một trong những cách giải quyết vấn đề này là loại bỏ hay chặt cụt các số hạng bậc cao của Đa thức Lagrange. Đó là một phương pháp chỉnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, của nhóm nghiên cứu của G.s T.s Đặng Đình Áng đã trình bày kết quả với một số đánh giá sai số. Trong luận án này chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hoá các bài toán nội suy hàm giải tích. Cách chỉnh hóa bằng hàm phân thức không đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ như dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng của các dãy điểm nội suy không cần nằm hẳn trong đĩa đơn vị. Trong “Recovery of pH -functions”, Totik dùng hàm phân thức để xấp xỉ hàm cần tìm, nhưng không đưa ra công thức cụ thể. Và tác giả cũng không trình bày cách đánh giá sai số trong phép xấp xỉ. Vấn đề chúng tôi quan tâm là tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange. Một số kết quả bằng số cũng được thực hiện để minh họa cho phương pháp. Nội dung của luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương 1), phần chính của luận án được trình bày trong bốn chương (chương 2-5) tương ứng với bốn bài toán mà chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu dưới đây, phần kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các bài toán được trình bày trong luận án, các kết quả trước đó và tóm tắt nội dung chính của các chương trong luận án. Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong luận án. Chương 2 (Bài toán thứ nhất) giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tôi. Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa. Cho U là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. Chúng tôi sẽ khôi phục một hàm f trong không gian Hardy )U(H 2 từ các giá trị   mnf z , với   mnz ( m N; 1 n m )   là một hệ thống điểm trong U . Như đã phân tích, đây là một bài toán không chỉnh. Hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Cụ thể, ta xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian )(2 UH sao cho    m mn nf ( z )  )mn1;Nm(  , (2.1) với  )(mn là một tập các số phức bị chặn. Bài toán (2.1) đã được đề cập trong nhiều công trình mà bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63]. Hàm f chưa biết đã được xấp xỉ bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ). Như đã phân tích, tính ổn định của các thuật toán xấp xỉ này đã không được đề cập trong các công trình ấy. Một cách vắn tắt, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dựa trên việc xấp xỉ (trong )(2 UH ) hàm f bởi các đa thức ( m ) k ( m ) ( m ) ( m ) m k 1 2 m 0 k ( m 1 ) L ( v )( z ) l z (0 1; v ( , ,..., ))             (2.2) với )m(kl là hệ số của kz trong khai triển của đa thức Lagrange )v(Lm có bậc 1m  , thỏa: )mk1()z)(v(L )m(k)m(km   . Đa thức )v(Lm được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Ta chú ý rằng nếu 1 thì )v(Lm chính là đa thức Lagrange. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới. Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt )v(L 2/1m được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của )v(Lm với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng có một 0 trong  1,0 sao cho f)v(Lm  trong )U(H 2 với 00    , và kết quả sẽ không đúng nếu 0 1   . Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời rạc bằng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chương này là mở rộng của bài báo [41]. Cho  t,xuu  biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau đây   t,x0uut  R  1,0 . (3.1) Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu  0,xu từ nhiệt độ cuối  T,xu . Để cho đơn giản ta giả sử 1T  . Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được nghiên cứu từ lâu. Bài toán đã được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Bài toán đã được xem xét kỹ lưỡng bởi phương pháp nửa nhóm kết hợp với phương pháp quasi – reversibility và phương pháp quasi – boundary value (xem [6, 3, 14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt tới phương trình sau            de0,u t2 1t,xu t4 x 2 x R , t > 0. Do đó           1,x2ude0,2u1 2x   . Với dạng này ta có thể xem xét bài toán nhiệt ngược như bài toán tích chập Gauss ngược ( hoặc phép biến đổi Weierstrass) để tìm  0,x2u từ ảnh  1,x2u của nó. Nhiều công thức biến đổi ngược của phép biến đổi Gauss đã được cho trong [36, 48, 49]. Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel các tác giả đã đưa ra các công thức giải tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thể. Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã nghiên cứu trường hợp dữ liệu trong 2L không chính xác và đưa ra một số ước lượng sai số cụ thể. Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley – Wiener và xấp xỉ sinc để thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đổi Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính. Với [17,67] thì phép biến đổi ngược Weierstrass cho các hàm tổng quát đã được nghiên cứu. Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là   jj 1,xu  . (3.2) Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm. Trong [41], chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả thiết rằng nhiệt độ  y,xu có bậc    y,x22 yxe  (   , lim , x y x y   ) là quá nghiêm ngặt. Ở chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn. Trong phần cuối chương, một số kết quả tính số cũng được trình bày. Chương 4 (Bài toán thứ ba) chúng tôi xét bài toán khôi phục hàm  ,0:f R. thỏa phương trình L     j 0 xp j dxxfepf j     với   ...,3,2,1j,,0p j  Bài toán này đã được trình bày trong bài báo [34]. Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển bài toán tới một bài toán nội suy hàm giải tích trong không gian Hardy của đĩa đơn vị và đưa ra một kết quả về tính duy nhất. Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f . Chúng tôi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu. Mặc dù phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4, 7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là hiếm thấy. Vì L  pf là giải tích nên nếu L  pf được biết trên một tập con đếm được của    pRe và tập con đó có một điểm tụ thì L  pf được xác định trên toàn bộ tập  pRe . Một cách tổng quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ cho việc xây dựng một hàm xấp xỉ của f . Đó là một bài toán moment. Trong [38], các tác giả nêu một số định lý về tính ổn định của phép biến đổi Laplace ngược. Với việc xây dựng một nghiệm xấp xỉ của bài toán, ta lưu ý rằng dãy các hàm số  xp je là độc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ dãy hàm đó là trù mật trong  ,0L2 . Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến tính của các hàm này và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này để biết thêm chi tiết. Với [18, 29], nhóm chúng tôi chuyển bài toán ban đầu thành một bài toán moment đi tìm hàm f trong  1,0L2 và sau đó dùng đa thức Muntz để xây dựng một xấp xỉ cho f . Tuy nhiên trong thực tế, việc tính toán các đa thức Muntz không dễ. Do đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai triển khác theo các đa thức Laguerre để chỉnh hoá bài toán. Điều này làm dễ dàng cho việc tính toán vì các đa thức Laguerre là các hàm thông dụng mà các phần mềm tính toán đều có. Chương 5 (Bài toán thứ tư) trình bày sự chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình Parabolic. Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình parabolic là tìm một hàm u thỏa fAuut  từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài   , với là một miền của nR , A là một toán tử elliptic và u là một hàm được định nghĩa trên  T,0Q   . Bài toán còn được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương trình parabolic. Một phiên bản khác của bài toán có tên là bài toán parabolic với dữ liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm trong của  . Bài toán được mô hình hoá từ việc tìm sự phân bố nhiệt độ của vật thể  có một phần (hay toàn bộ) biên ngoài  là không thể đo đạc được. Nếu nguồn nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài toán là thuần nhất. Như ta đã biết bài toán là không chỉnh. Trong [26], Holmgren đã nghiên cứu bài toán thuần nhất  0f  trong trường hợp  1,0 . Tác giả đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán. Với [31, ch.5], các tác giả đã dùng phương pháp quasi-reversibility để chỉnh hoá một bài toán thuần nhất. Tuy nhiên họ không đưa ra sự ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa. Trong [24], các tác giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp   ,0 với   00,xu  . Họ dùng phép biến đổi Fourier để đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài toán, từ đó ta có thể dùng phương pháp mollification (xem [23]) để chỉnh hóa bài toán. Gần đây (xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài toán trong một phần tư mặt phẳng. Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian  jt . Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ  t,xu từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa. Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán không thuần nhất về việc tìm nhiệt độ  t,xu được định nghĩa trên      2,0,0T,0  từ phân bố nhiệt  jt,0u đã cho tại 0x  và một tập đếm được các thời điểm jt khác nhau. Dữ liệu ban đầu  0,xu trong bài toán của chúng tôi là chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài toán Cauchy theo biến không gian và bài toán nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác định nếu tìm được  0,xu nên chúng tôi tập trung vào bài toán khôi phục dữ liệu ban đầu    0,xux  . Bài toán là không chỉnh. Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ thống trên thành bài toán moment dạng phương trình tích phân. Sau đó dùng đa thức Laguerre, chúng tôi đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức. Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng. Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62]. CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa Chúng ta xét phương trình yAx  (1.0) với A là một toán tử liên tục (không nhất thiết là tuyến tính) từ một không gian Banach X vào một không gian Banach Y và Xx được tìm từ y đã cho. 1.1.1. Bài toán chỉnh và không chỉnh Chúng ta nói phương trình (1.0) biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu toán tử A có một toán tử ngược liên tục từ Y vào X, với X và Y là các không gian Banach. Nói cách khác chúng ta đòi hỏi rằng  với bất kỳ Yy có nhiều nhất một Xx thỏa (1.0) (tính duy nhất nghiệm). (1.1.1.1)  với bất kỳ Yy tồn tại một nghiệm Xx thỏa (1.0) (sự tồn tại nghiệm). (1.1.1.2)  0*yAyA X 11   khi 0yy Y *  (tính ổn định nghiệm). (1.1.1.3) Nếu một trong các điều kiện (1.1.1.1) – (1.1.1.3) không thỏa thì bài toán (1.0) được gọi là không chỉnh (theo nghĩa Hadamard). 1.1.2. Sự chỉnh hóa Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.0) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ  để ta có thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với nghiệm của phương trình (1.0) ban đầu khi  là nhỏ. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X và Y là các tập đã cho trong bài toán (1.0). Một họ các toán tử tuyến tính, liên tục R từ Y vào X được gọi là một chỉnh hóa đối với phương trình (1.0) nếu R thỏa điều kiện lim , 0 R Av v v X    . Số dương  được gọi là tham số chỉnh hóa. Nếu trong định nghĩa 1.1.2, R là một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể lấy các số tự nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành lim nn R Av v  . 1.2. Đa thức Lagrange - Biểu diễn Hermite 1.2.1 Hàm giải tích Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f là một hàm phức xác định tại 0z và lân cận của nó. Nếu giới hạn    lim 0 0 z z o f z f z z z   tồn tại, ký hiệu  0' zf thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của f tại z0. Định nghĩa 1.2.2. Nếu  0' zf tồn tại với mọi 0z thì ta nói f là giải tích trong  . Lớp tất cả các hàm giải tích trong  được ký hiệu là  H . Định lý 1.2.1. (Identity theorem) Giả sử f là hàm giải tích trên miền  và  nz là một dãy các điểm đôi một khác nhau, hội tụ đến điểm 0z . Nếu   0zf n  với mọi n N thì 0f  trên  . Định lý 1.2.2. (Maximum modulus theorem) Giả sử  là một miền,  Hf  và   r,aD . Khi đó     ireafmaxaf  . (*) Dấu bằng xảy ra trong (*) nếu và chỉ nếu f là hằng số trong  . f không có cực trị địa phương tại điểm bất kỳ trong  , trừ khi f là một hằng số. 1.2.2. Đa thức Lagrange. Ký hiệu K là tập các số thực R hay các số phức C và  RPn (hay )( CPn ) là tập tất cả các đa thức bậc 1 n . Cho n điểm phân biệt it K và n giá trị i K, ni1  đã cho. Ta tìm một đa thức nn Pp  (K) thoả:   ni1,tp iin   . (1.2.2.1) Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức il :           t; n ij 1j ji j n1ii tt tt t;t,.....,tltl K , i =1, 2, …, n. (1.2.2.2) Rõ ràng ni Pl  (K) , i = 1, 2, …, n và       .ij0 ,ij1 tl ji (1.2.2.3) Các đa thức  n...,,2,1ili  được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể được viết dưới dạng khác. Ta giới thiệu đa thức         n 1j jn1 ttt;t,...,tt  . (1.2.2.4) Khi đó     i n ij 1j j tt ttt    ,      lim i ' i j it t ij 1 j i t t t t t t      . nếu nếu Điều đó cho phép ta viết      ii'i ttt ttl    . (1.2.2.5) Dễ thấy rằng đa thức       n 1i iin tltp  (1.2.2.6) là đa thức duy nhất trong nP (K) thoả (1.2.1.1). Dạng (1.2.2.6) của đa thức nội suy được gọi là dạng Lagrange. Bây giờ nếu :f K  K là một hàm bất kỳ và it K, i = 1, 2, …, n là các điểm nút phân biệt, ký hiệu:            t,tltft;fLt;fL n 1i iit,.....,tn n1 K (1.2.2.7) là đa thức duy nhất trong nP (K) mà nó đồng nhất với f tại các điểm nút  n...,,2,1iti  . Hiển nhiên, nếu p nP (K) thì    tpt;pLn  (1.2.2.8) vì p được xác định duy nhất bởi các giá trị   ni1,tp i  của nó. Do đó, toán tử tuyến tính :Ln K nP (K) là luỹ đẳng, nghĩa là n2n LL  . Vì vậy nó là một phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange. 1.2.3. Công thức nội suy Hermite [20, trang 62] Đa thức nội suy. Cho n+1 cặp số phức   n...,,2,1,0k,w,zk k với kz là phân biệt, khi đó tồn tại chính xác một đa thức p có bậc nhiều nhất là n sao cho:   n...,,2,1,0k,wzp kk  . (1.2.3.1) Theo mục 1.2.2 thì đa thức này có được là qua công thức nội suy Lagrange. Ta đặt:         n10n 0k k zz.....zzzzzzz     và       z ' kk k zzz zl    )n...,,1,0k(  (theo (1.2.2.5)). Mỗi đa thức trong các đa thức cơ bản kl này có bậc n và ta có:       .kj0 ,kj1 zl jk Do đó đa thức bậc n          zlw.....zlwzlw zlwzL nn1100 n 0k kkn     (1.2.3.2) thoả mãn yêu cầu nội suy. Trường hợp  kk zfw  , với f là một hàm giải tích trong miền G với các điểm nội suy Gzk  , là rất quan trọng cho mục đích của chúng ta. Ta cũng có thể biểu diễn đa thức nội suy bởi một tích phân phức. Giả sử biên G của miền G bao gồm một số các đường cong Jordan khả trường và xét hướng dương đối với G, và giả sử f là hàm giải tích trên G, liên tục trên G . Bài toán nội suy là:    kk zfzp  , với n...,,2,1,0k,Gzk  . Bài toán được giải bởi công thức:            G n dtt tf. zt zt i2 1zL    (1.2.3.3) và ta có:           Gz dt zt tf. t z i2 1zLzf G n      . (1.2.3.4) Từ (1.2.3.4) suy ra rằng        zh.zzLzf n  , với h là hàm giải tích trên G, với nếu nếu        G dtt)zt( tf i2 1zh  . Hệ thức (1.2.3.3) là biểu diễn Hermite của đa thức nội suy, và (1.2.3.4) là biểu diễn tích phân của sai số nội suy. Sự nội suy trong trường hợp các điểm nội suy được phân bố đều. Chúng ta giả sử rằng K là một tập con compact của một miền G  C. Giả sử rằng với mỗi n (n = 0,1,2,…), có n+1 điểm nội suy cho trước   Kz nk  (k = 0,1,…..,n). Khi đó ta có các nút ma trận             ...................... zz z ......................... z z z n n n 1 n 0 1 1 1 0 0 0   của các điểm trong K, và ta viết      .......).,2,1,0n(,zz:z n 0k n kn   Nếu f là giải tích trên G, thì theo (1.2.3.4), sai số nội suy là:           .nn nG x f t1f x L x dt z K 2 i t t x       . Điều này được dùng để có được một phát biểu về sự hội tụ. Nếu  1 2diam K D D dist K, G    (1.2.3.5) thì    KzDz 1n1n    và   1n2n Dt  ( t G ). Do đó trong trường hợp này ta có:      Kz ,n zfzLn  và sự hội tụ này không phụ thuộc vào việc chọn các nút   Kz nk  . Bây giờ ta trở lại với mối liên hệ giữa sự phân phối đều của các nút và sự hội tụ của quá trình nội suy tương ứng (xem [20], tr. 65-67). Định lý 1.2.3. (Kalmar 1926, Walsh 1933) Sự hội tụ    zfzLn  , )Kz,n(  xảy ra với mỗi hàm f giải tích trên K nếu và chỉ nếu các nút nội suy  nkz được phân bố đều trên K. Ta sẽ không nêu định nghĩa tổng quát của sự phân phối đều. Nếu K là đĩa đơn vị, ta có các nút   mnz gọi là phân phối đều trên K nếu nó thỏa (2.1.3). 1.3. Phép biến đổi Laplace và Laplace ngược Cho f(t) là hàm thực hay hàm phức với biến t thực, không âm. Đặt wis  là một biến phức. Khi đó phép biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu F(s), được định nghĩa như sau:       0 st dtetfsF . (1.3.1) Ta định nghĩa tích phân trong (1.3.1) như sau:      limst st 0 0 F s f t e dt f t e dt            . Phép toán trên f(t) được mô tả bởi phương trình (1.3.1) cũng được viết: F(s) = Lf(t). Hàm của t mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s) được viết: 1L F(s). Vậy f(t) = L-1F(s). Ta gọi 1L là phép biến đổi ngược của L. L và L-1 đều thoả tính chất tuyến tính. Vậy             sFCsFCtLfCtLfCtfCtfCL 221122112211  (1.3.2) với C1, C2 là hằng số và         tfCtfCsFCsFCL 221122111  . Nếu hàm f(t) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn trên đường thẳng 0t  và nếu tồn tại các hằng số thực k, p và T sao cho:   ptketf  với Tt  (1.3.3) thì f(t) sẽ có biến đổi Laplace F(s) với mọi s thoả Re s > p. Biến đổi này không chỉ tồn tại trên nửa mặt phẳng Re s > p mà còn là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng. Các hàm thoả mãn (1.3.3) với cách chọn k, p và T nào đó được gọi là có bậc ept. Định lý 1.3. (công thức Laplace ngược) Cho F(s) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re s  a của mặt phẳng phức s. Giả sử tồn tại các hằng số dương m, R0 và k sao cho   ks msF  khi 0Rs  trong nửa mặt phẳng này. Khi đó có một hàm f(t) mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s), và nó được xác định bởi:      a i1 st a i 1f t L F s F s e dt 2 i         . Đẳng thức trên cũng được gọi là công thức tích phân Bromwich. (xem Complex Variables with Applications, A. David Wunsch, tr. 423) 1.4. Đa thức Laguerre (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 259) Hàm Gamma:   là hàm Gamma được định nghĩa với 0 bởi:      0 x1 dxex . Điều này suy ra   11  và             0 x1 0 x 0 x dxexexdxex1 . Tổng quát hơn ta có:                 .1mn1mn.....n 1n1nnnn1n     Đặc biệt, đối với những giá trị nguyên không âm của n, ta có:   !n1n  . Định lý 1.4. (Công thức Stirling) Với mỗi n N, tồn tại  1,0 sao cho e e nn2!n n12 n      (xem Advanced Calculus p.458 của Wilson). Để thuận lợi cho việc sử dụng, công thức trên còn được phát biểu dưới dạng sau        n2 1 e nn2!n n   , với 10   . Xem xét hàm     z1xz1 ez1   và sự khai triển của nó thành chuỗi luỹ thừa theo z với 1z  .Ta có                0k k kk k 0k k k z1 xz z1 z !k x1 !k.z1 xze . Khi đó                            0k 0m km1k m m k k 0k 1k kk kz1 xz 1 z1 !k x1 z1 z !k x1ez1   Vì cả hai chuỗi đều hội tụ tuyệt đối, ta có thể chọn những số hạng có zn, ta được            1n n nz1 xz 1 xLz1ez1  ; (1.4.1) với               n 0m mn1mn m mmn n x1!mn 11xL  hay               mn n 1m m n n n x !m!mn 1mn.....1nn1 !n xxL1       , (1.4.2)              1,2,3,...)(n x1mn!mn!m 1n1xL1 mn n 1m m n n        .(1.4.31) Để thuận lợi về ký hiệu, ta định nghĩa:     1xL0  . (1.4.32) Với x = 0 ta có           !n 1.....2n1nn0Ln   . Với 0 , các đa thức    xL 0n sẽ được định nghĩa lại là Ln(x). Các đa thức này rõ ràng được xác định bởi:          n 0m mn 2 mn n x !mn!m !n1xL ,     1,2,3,...)(n x !k 11 n 0k kn k k   (1.4.4) Các đa thức    xLn được gọi là các đa thức Laguerre. Ta có       1,2,3,...n ,ex dx d !n exxL xnn nx n     (1.4.5)                   0xLnxLx1n2xL1n 1nnn    (1.4.6) với qui ước     0xL 1  . (1.4.7) 1.5. Đa thức Hermite (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 303) 1.5.1. Nếu ta khai triển xz2z2e  thành một chuỗi lũy thừa theo z thì ta có             0n n 0z n xzn xxzxxz2z !n z. dz edeeee 2 2222 . Do đó:     0n n n xn xxz2z !n z. dx edee 2 22 . Đa thức Hn(x) được định nghĩa bởi     1xH ; 1,2,3,...n ; dx edexH 0n xn x n 2 2   (1.5.1.1) thì        0n nnxz2z z !n xH ez,x 2 (1.5.1.2) và chuỗi hội tụ với mọi giá trị của x và z. Từ (1.5.1.1) dẫn đến      xH1xH nnn  . (1.5.1.3) Vậy các đa thức Hn(x) là các hàm chẵn hay lẻ tùy theo chỉ số n là chẵn hay lẻ. Các đa thức (1.5.1.1) được gọi là các đa thức Hermite. Các đa thức này có vai trò trong việc nghiên cứu khai triển của một hàm theo các đa thức trực giao trong khoảng   , . 1.5.2. a) Lấy đạo hàm (1.5.1.2) theo biến x ta suy ra được:      xH1n2x'H n1n  . (1.5.2.1) b) Lấy đạo hàm của (1.5.1.2) theo biến z, ta suy ra được:       0xnH2xxH2xH 1nn1n   . (1.5.2.2) c) Lấy đạo hàm 2 vế của (1.5.2.2) và dùng (1.5.2.1) ta có:   0HxH2H2H1n2 0nH2xH2H2H '' n ' n ' nn ' 1n ' nn ' 1n      xnH2H ' 1n''n  . và cuối cùng ta có phương trình vi phân của đa thức Hn       0xnH2xxH2xH n'n''n  . (1.5.2.3) 1.5.3. Các hệ thức về tính trực giao có được theo cách thông thường. a) Nhân (1.5.2.3) với 2xe , ta được     0xHne2xHe dx d n x' n x 22     . Nhân phương trình đầu với Hm và tích phân từ  đến  ta có:       0dxxHxHemn2 mnx2      . Khi mn  ,     0dxxHxHe mnx2     . b) Ta có   ....,3,2,1n,!n2dxxHe n2nx2      c) Từ 1.5.3(a), 1.5.3(b) suy ra rằng hệ thống          !n2 xHe n n 2 x2 là trực chuẩn trong   ,L2 . 1.6. Hàm nguyên với bậc hữu hạn Một hàm f(z) giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức, nghĩa là nó được biểu diễn bởi một chuỗi lũy thừa có dạng:   0clim ; zczf n nn0n n n      được gọi là một hàm nguyên. Đây là lớp hàm đơn giản nhất của các hàm giải tích mà có chứa tất cả các da thức. Hàm nguyên được phân lớp dựa vào bậc của chúng, nghĩa là theo sự tăng (growth of Entire function) của chúng khi z . Một hàm nguyên có thể tăng theo các cách khác nhau theo nhiều hướng khác nhau. Với sự đặc trưng tổng quát của sự tăng, ta giới thiệu hàm    zfxmarM rzf   . Theo nguyên lý cực đại hàm này đơn điệu tăng. Một đa thức có càng nhiều nghiệm thì tăng càng nhanh._.. Tính chất này cũng được mở rộng cho hàm nguyên nhưng phức tạp hơn nhiều. Mối liên hệ giữa sự tăng của một hàm giải tích và sự phân bố nghiệm của nó là nội dung chính của định lý về hàm nguyên. Ta sẽ chỉ ra có một số định lý tương tự định lý đồng nhất. Các kết quả này phát biểu rằng nếu hàm nguyên f “tăng đủ chậm” và nghiệm của nó “được sắp xếp một cách rất trù mật”, thì   0zf  . Đây là những định lý về tính duy nhất tương tự với các định lý về tính duy nhất đơn giản nhất cho đa thức. 1.6.1. Bậc của hàm nguyên Các ký hiệu. Nếu    rrh  là đúng với các giá trị r đủ lớn, chúng ta gọi nó là bất đẳng thức tiệm cận và viết:    rrh as Nếu bất đẳng thức trên đúng với dãy nào đó của các giá trị nr thì ta sẽ viết:    rrh n  . Một hàm nguyên f(z) được gọi là hàm với bậc hữu hạn nếu     krkasf erexprM  với k > 0 Bậc của hàm nguyên là chặn dưới lớn nhất của các giá trị k mà bất đẳng thức tiệm cận được thực hiện. Ký hiệu bậc của một hàm nguyên f là f  . Từ định nghĩa của bậc ta có      rasfnr erMe Lấy logarithm theo cơ số e 2 lần ta được:     asfn r log r Mlog log hay   rlog r Mlog log suplim f r   Định lý 1.6. Bậc của hàm nguyên được xác định bởi công thức      n n c 1log nlognsuplim 1.6.2. Số mũ hội tụ Cho một dãy số 0a,...,a,a n21  ,  nn alim , chặn dưới lớn nhất của  sao cho  1n na 1  hội tụ gọi là số mũ hội tụ. 1.6.3. Định lý Hadamard [33, trang 18] Số mũ hội tụ của các không điểm (các zero) của một hàm nguyên không vượt quá bậc của hàm nguyên đó. 1.7. Không gian pH (không gian Hardy) 1.7.1. Các không gian pH và N Ta định nghĩa rf trên T như sau )1r0()re(f)e(f iir   (1.7.1.1) nếu f là hàm liên tục bất kỳ xác định trên U , và cho là độ đo Lebesgue trên T , được chuẩn hóa 1)T(  . Theo đó pL -chuẩn được hiểu là )(Lp  . Đặc biệt )p0(dff p 1 T p rpr         (1.7.1.2) )re(fsupf ir    (1.7.1.3) và ta giới thiệu   T r0r dflogexpf  . (1.7.1.4) Định nghĩa 1.7. Nếu )U(Hf  và  p0 , đặt  1r0:fsupf prp  . (1.7.1.5) Nếu  p0 thì PH được định nghĩa là lớp tất cả các hàm )U(Hf  với pf . Lớp N bao gồm tất cả các hàm )U(Hf  mà 0f . Rõ ràng là NHHH sp  nếu  ps0 . Nhận xét: a) Khi p , Định lý 17.3 và Định lý 17.5 (xem [47], tr. 336-337) cho thấy prf là hàm không giảm theo r, với mọi )U(Hf  . Khi p , theo Định lý module cực đại ta có kết luận tương tự. Do đó pr1rp flimf   (1.7.1.6) b) Với  p1 , PH là một không gian tuyến tính định chuẩn. c) Có thể xem PH là không gian con đóng của pL và do đó nó là không gian Banach. Định lý 15.23 (xem [19], tr.311] cho thấy các không điểm của hàm f bất kỳ thuộc lớp N thỏa điều kiện Blaschke   n1  . Điều này cũng đúng trong PH . Ta có định lý sau (tương tự với định lý đồng nhất) Định lý 1.7.1. Nếu pf H (hoặc Nf  ), nếu ,....,, 321  là các không điểm của f trong U , và nếu    1n n1  thì 0)z(f  với mọi Uz . 1.7.2. Một số tính chất quan trọng của không gian PH Định lý 1.7.2. Nếu ,p0  và pHf  thì (a) Giới hạn không tiếp xúc )e(f i*  tồn tại hầu khắp nơi trên T và )T(Lf p*  . (b) 0fflim pr * 1r   (c) pp * ff  1.7.3. Không gian 2H Không gian 2H có một cách tính chuẩn đơn giản như sau. Định lý 1.7.3. Giả sử )U(Hf  và    0n n n za)z(f thì 2Hf  nếu và chỉ nếu  0n 2 na . Ngoài ra    0n 2 n 2 2 af . Chứng minh: Áp dụng Định lý Parseval cho rf với 1r  ta có        0n T 2 2 2 r1r0n n22 n1r 2 n fdflimralima  . Nhận xét: (a) Một cách tự nhiên, không gian )U(H 2 được xem như một không gian con đóng của )T(L2 (gồm tất cả các hàm có dạng  0n in nea  với  0n 2 na , là sự mở rộng tuyến tính đóng của các tập  0n:ein  ). Chú ý rằng: nếu 1z  thì theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1 1 2 22 2nn n n n 0 n 0 n 0 a z a z                        và do đó các chuỗi lũy thừa như vậy có bán kính hội tụ ít nhất là 1 và xác định một hàm giải tích trên U . (b) )(2 UH là không gian Hilbert với tích trong xác định bởi            0n nn 0n 0n n n n n bazb,za hay tương đương      2 0 itit dt)e(g)e(f 2 1g,f . Các hàm 0n,z)z(e nn  tạo thành cơ sở trực chuẩn của 2H . Ta suy ra  2 22 i 0 1f f e dt 2     . CHƯƠNG 2 KHÔI PHỤC HÀM GIẢI TÍCH BẰNG CÁC ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT Giới thiệu Cho U là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng phức C và cho )U(H 2 là không gian Hardy gồm các hàm f giải tích trên U và thỏa: lim ( ) 1 2 22i 2 r 1 0 1f f re d 2            . Ta nhắc lại rằng, nếu )U(Hf 2 có khai triển  k k k z)z(f  thì  ( ) 1 1 2 222 i2 k2 k 0 0 1f f e 2              (xem [47: chương 17] hay [Chương 1, (1.7.3)]). Cho   )mn1;Nm(z )m(n  là một hệ thống điểm trong đĩa U . Với mỗi m , ta giả sử rằng )m(m)m(2)m(1 z,....,z,z là những điểm phân biệt. Trong chương này, chúng tôi xem xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian )(2 UH sao cho )m(n )m( n )z(f  )mn1;Nm(  (2.1.1) với  )(mn là một tập các số phức bị chặn. Bài toán (2.1.1) là không chỉnh. Trong những kết quả gần đây của chúng tôi [8, 28, 59, 58] thì tính không chỉnh của bài toán đã được xem xét. Trong [39] thì một hàm f trong đại số đĩa  UA đã được xấp xỉ bởi một dãy các hàm số được xây dựng từ dữ liệu bị nhiễu và được gọi là một thuật toán định dạng đều. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1.1) dựa trên việc xấp xỉ (trong )(2 UH ) hàm f bởi các đa thức )),...,,(v;10(zl)z)(v(L )m(m )m( 2 )1m(k0 )m( 1 k)m( km       (2.1.2) với )m(kl là hệ số của kz trong khai triển của đa thức Lagrange )v(Lm có bậc 1m  , thỏa: )mk1()z)(v(L )m(k)m(km   . Đa thức )v(Lm được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chú ý rằng nếu 1 thì )v(Lm  là đa thức Lagrange. Trước khi đưa ra những định nghĩa và những kết quả chính, chúng tôi có một vài nhận xét sau. Trước hết, sự hội tụ của )v(Lm tới f phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của dãy điểm  )m(nz . Định lý Kalmar-Walsh (xem [Chương I, Định lý 1.2.3]) cho thấy rằng f)v(Lm  trong )U(C với mọi hàm f giải tích trong một lân cận của U nếu và chỉ nếu dãy điểm  )m(nz được phân phối đều trong U , nghĩa là: 1m )z(mmaxlim 1zm    (2.1.3) với )zz)......(zz()z( )m(m)m(1m  . (2.1.4) Điều này sẽ không còn đúng nếu thay )U(C bởi )U(H 2 (xem phản thí dụ ở mục 2.2). Hơn nữa điều kiện (2.1.3) là rất nghiêm ngặt. Trong bài toán của chúng tôi về tổng quát thì hệ thống điểm  )m(nz không thỏa điều kiện (2.1.3). Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới. Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt )v(L 2/1m được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của )v(Lm với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng có một 0 trong  1,0 sao cho f)v(Lm  trong )U(H 2 với 00   , và kết quả sẽ không đúng nếu 10  . Cuối cùng, nếu với mỗi m các nút )m(m)m(2)m(1 z,....,z,z không khác nhau đôi một và nếu tại những điểm này chúng ta không chỉ biết các giá trị của f mà còn biết các giá trị của đạo hàm cấp cao hơn của f , thì chúng ta có thể dùng các đa thức Lagrange – Hermite bị chặt cụt để xấp xỉ hàm f . Điêù kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và phản thí dụ Ta đặt     m 1k )m( k )m( km m km )zz)(z(' )z(v)z)(v(L   (2.2.1) với m như trong (2.1.4), )v,...,v(v m1 và đặt 1)m(0  , )1m...,,1p,ps1,kj(z...z mj...j1 s )m( j )m( j )m( p,k p1 p1     . Ta phát biểu điều kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Định lý 2.1. Cho 10  . Nếu ( )( ) ( ( ))lim m 2 m m 2 f L T f z 0 f H U      (2.2.2) với )v(Lm được định nghĩa trong (2.1.2) và (2.2.1) và     ))z(f),...,z(f()f(T mmm1m  thì             2 1 k\m,1j 2 )1m(l0 )m( l1m,k 1 )m( k )m( j mk1m zz1maxsup   với  m,...,1m,1  . Ch•ng minh: N•u ta xem các •a th•c Lagrange b• ch•t c•t )fT(L mm  là •nh c•a f trên )U(H 2 , thì )1m()T(L mm  có th• •••c xem là m•t dãy các toán t• tuy•n tính trên )U(H 2 . Ta ký hi•u mmTL là chu•n c•a các toán t• này. T• ••nh lý Banach – Steinhaus, h• th•c (2.2.2) d•n ••n mmm TLsup  . (*) Đặt   k (m) j z-1 z-z \m,1j )m( j m z )z(f . Ta có m 2f 1 . Thật vậy, xét với z 1 . Khi đó       zz 11 zz zz1 zz )z(f m j )m( j k\m,1j )m( j )m( j k\m,1j m       ( ) z 1z1zz.z 2      1 zz zz z )m( j )m( jm j k\m,1j     . Do đó  2 22 im 2 0 1f f e d 1 2     , Do đó, theo bất đẳng thức (*) thì: m m m m m m m m2L T f L T f L T       . (2.2.3) Mặt khác ta có:   k\m,1j )m(k)m(j (m) j mmm zz-1 z-z )z)(fT(L . Bằng cách tính trực tiếp ta có:            k\m,1j )m( k )m( j )1m( 0l l)m( l1m,k l1m mmm )zz1( z)1( )z)(fT(L    . Từ đó dẫn đến:                     k\m,1j 1m 0l 2m l1m,k 2m k m j 2 mmm zz1fTL   . Kết hợp với bất đẳng thức (2.2.3) ta có điều phải chứng minh. Nghĩa là          , , \ sup max 1 2 2m 11m mm j k k m l 11 k m j 1 m km l 0 1 z z                  sup 2m m m m L T f   .  Phản thí dụ: chúng tôi sẽ chứng tỏ định lý Kalmar – Walsh là không đúng nếu )U(C được thay thế bởi )U(H 2 . Thật vậy: đặt 1 , với mỗi m , fTL mm là một đa thức Lagrange. Đặt )mn1,Nm( 1n 1z )m(n  . Ta có max ( ) ( )...( )mz 1 1 1z 1 1 2 m 1       . Từ đó dẫn đến lim max ( )m mm z 1 z 1   nghĩa là hệ thống  )m(nz được phân bố đều trong U . Mặt khác:       2 1 m\m,1j 1m 0l 2m l1m,m 1 )m( m )m( j zz1                 1m 1j )m( 1,m 1 )1m)(1j( 11  m 1... 2 1    m . Vậy dùng Định lý 2.1 ta có thể tìm một hàm số )U(Hf 2 sao cho fTL mm không hội tụ về f trong )U(H 2 khi m . 2.3. Điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt Để phát biểu những điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt, chúng ta sẽ xem xét hệ thống điểm  )m(nz mà thỏa một vài tính chất. Lấy  1,0 , ta đặt:   )m(nm z,mn1NnA . Ta ký hiệu F là họ các hệ thống điểm  )m(nz trong U thỏa mãn lim m m Card A 0 m  , (2.3.1) lim mm 1  , (2.3.2) với mACard là số phần tử của mA và               m m 1 An m n m m Akhiz1 Akhi1 m  Điều kiện (2.3.1) cho thấy là hầu hết các điểm của hệ thống  )m(nz tập trung trên đĩa bán kính  , tâm là 0. Điều kiện (2.3.2) nghĩa là  )m(nz không quá gần biên của đĩa đơn vị. Tổng quát thì hệ thống điểm  )m(nz trong F không thỏa mãn điều kiện (2.1.3). vớI 10  , ta đặt , .0khi 1 2 10khi )1()1( ,1 2 1khi 1 2 )( 1 1 1                         Ta có thể kiểm tra rằng  là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên  1,0 . Hơn nữa, 1)1(2)1( 1   và với 1)1()0(, 2 1,0 1     . Do đó trong trường hợp này, tồn tại một số duy nhất  1,00  sao cho: ).0(1)( ,1)( 0 0     (2.3.3) Định lý 2.2. Cho  1,0 và  1,0 . Cho )(Lm  được định nghĩa trong (2.1.2), (2.2.1) và cho )f(Tm được định nghĩa trong Định lý 2.1. Khi đó i) Nếu 2 10   , thì lim ( ) ( ( ))2m m 2m f L T f 0 f H U    , (2.3.4)  ,  . với mọi hệ thống điểm  )m(nz trong F và với mọi 00   . Thêm vào đó, nếu )U(Hf 2'  và 1)(   , thì tồn tại một ),(m  sao cho:    ' ( )( ) ( ) ( ) 2 2 22m 2 m m 2 222 f f L T f z m 1 1 f m 1          (2.3.5) với  x),,(mm  là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . ii) Nếu 2 10   , thì ta có thể tìm một hệ thống điểm  )m(nz trong F sao cho (2.3.4) không đúng với mọi 10  . iii) Nếu 1 2 1  , thì ta có thể tìm một hệ thống điểm  )m(nz trong F sao cho (2.3.4) không đúng với mọi  1,0 . Định lý cho thấy 2 10  là một điều kiện quan trọng cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh định lý trong ba trường hợp sau đây: i) 1 2 1   ii) 2 10   và 10  iii) 2 10   và 00   (i) Trường hợp 1 2 1   : chúng ta xây dựng một dãy điểm  )(mnz sao cho ta có thể tìm được một hàm )U(Hf 2 thỏa mãn: )fT(L mm f trong )(2 UH khi m . Với mỗi  1,0 , đặt m 11z )m(1  và m2 11z )m(m  . Chú ý rằng với  ssn 2mn 1 2 1y  thì                1m 2j 2m )m( msj sj )s( m2 11 1 zy1 y . Chúng ta chọn mp sao cho: 2m 1m 2j )m( mjP jp m2 11 1 2 1 zy1 y m m              . Ta đặt:   )1mn2,Nm(2mn 1 2 1yz mm pnp )m( n  với 3m  , ta có   )2Acard(m,1Am  . Do đó, hệ thống điểm  )m(nz thoả mãn (2.3.1), (2.3.2) (vì lim , limm mm m card A 0 1 m    ), nghĩa là    Fz mm  . Mặt khác, ta có:   2 1 )1m( 0l 2)m( l1m,m 1 m\m,1j )m( m )m( j zz1                  1m 1j 1 )m( m )m( j )m( 1m,m zz1     1m 2j )m( m )m( j )m( j )m( m )m( 1 )m( 1 zz1 z zz1 z            2m )m( m )m( 1 )m( 1 m2 11 1 2 1. zz1 z khi m Do đó từ Định lý 2.1 ta thấy (2.3.4) không đúng. (ii) Trường hợp 2 10   và 1o  Ta xây dựng một hệ thống điểm  )m(nz sao cho tồn tại một hàm )U(Hf 2 thỏa mãn: )fT(L mm f trong )U(H 2 với 10   . Ta lý luận tương tự như trường hợp đã nói trên. Với bất kỳ    2 1,0 , đặt     nm 11z 3 )m( n  và 2)m(m m 11z  với 1m,...,1n  Ta có   )1Acard(mAm  với mỗi 2m  . Do đó hệ thống điểm  )m(nz thỏa (2.3.1) và (2.3.2), nghĩa là nó thuộc F . Ta có:   2 1 )1m( 0l 2)m( l1m,m 1 m\m,1j )m( m )m( j zz1                 )m( mm,m 1 m\m,1j )m( m )m( j zz1                         1mj...j1 )m( j )m( 1j 1m 1j )m( m )m( j mm1 mm z...z zz1 1          m m mm 3 mm 1m 23 C 1m 11 m 11 mm 111 1                  với  !km!k !mC km  (vì dãy ta chọn là các số thực nên )m( j )m( j zz  ). Dùng công thức Stirling (xem [Chương I, Định lý 1.4]) ta được:        m 1 m m m mm !mm!m !mlimClim                mmmmmm e mm e m e m lim           (2.3.6)      11 1 . Điều này dẫn đến   m 1 m\m,1j 2 1 )1m( 0l 2)m( l1m,m 1 )m( m )m( j m zz1suplim                          .1 )( )( 11 0 1 1             Do đó:             2 1 )1m( 0l 2)m( l1m,m 1 m\m,1j )m( m )m( j m zz1suplim   . Dùng Định lý 2.1, ta có thể tìm một hàm )U(Hf 2 sao cho )fT(L mm f trong )U(H 2 . (iii) Trường hợp 2 10  và 00   . Giả sử rằng:         , k 0k 2 0k k k zzf  (2.3.7) Vì )fT(L mm là một đa thức có 1m)fT(Ldeg mm  , ta có thể viết:       1m 0k km kmm zlz)fT(L (2.3.8) với  mkl là các hằng số. Lấy (2.3.7) trừ (2.3.8) ta được:             mk k k 1m 0k k)m( kmm zzfTLzf z (2.3.9) với      mk1 l mkkmk  . Mặt khác, biểu diễn Hermite (xem [Chương I, (1.2.2.3)] cho ta:              U mmmm z dfz i2 1fTLzf   z . (2.3.10) Tính trực tiếp ta được:          m 0r rm rm rm m z1z  , (2.3.11)           0s sm s U m z z df i2 1    (2.3.12) với   1m0  ,        mr1 z...z mj...j1 m j m j m r r1 r1     , (2.3.13)        0s df i2 1 U m 1s m s        . Nhân (2.3.11) với (2.3.12) và thay kết quả vào (2.3.10) ta được                   0k k k 0r )m( rk )m( rm rm mm z1fTLzf z (2.3.14) trong đó ta đặt 0...21    . Từ (2.3.9) và (2.3.14) suy ra   )1mk0(1k 0r )m( rk )m( rm rm)m( k      . (2.3.15) Ta sẽ ước lượng )m(k . Trước hết ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 m s s 1 22 imU 0 m 1 f d 1 df 2 i 2 e                     . Mặt khác:     m 1j )m( jm z1)z( . Do đó       ( ) ( ) ( ) m m m 2 2 s m m card A m m j j j A j 1 f f 1 1 z1 z          . (2.3.16) Từ (2.3.13), ta có      mj...j1 )m( j )m( j )m( km km1 km1 z...z    mkm1 m j...j1 Acardkm 1 km Acardkm Cm  . Từ đó dẫn đến, với  mk0    kmAcardmm)m( km Cm   . (2.3.17) Chúng ta có bổ đề sau. Bổ Đề. Với giả thiết của Định lý 2.2 thì    ( )limsup max ( ) 1 m m m k0 k mm 1             , với 10  . (2.3.18) Từ (2.3.15), ta có          ( ) ( )max m m j j Am m m2 k m k0 k mm cardA 1 z 1 m f 1           . với  mk0  . Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.3.18) và (2.3.2) ta nhận được:       0 k m limsup max 1 m m k m 2f             . (2.3.19) Bây giờ với 00   , xem lại (2.3.3) và (2.3.19) ta có:      limsup max . 1 m m k 0 k mm 2 1 f              (2.3.20) Do đó, với   1  ta có thể tìm một   0m  sao cho:       max m mk 20 k m f m m       . (2.3.21) Từ (2.3.7), (2.3.8) ta được                 11mk k k 1m 0k km kmm zzzfTLzf    . Từ đó dẫn đến      m 1 22 2m k m m k2 k 0 k m 1 1 f L T f                    . Do đó từ (2.3.21) ta được:      2 222m m m k22 k m 1 1 f L T f m 1 1 f                    (2.3.22) Từ đó suy ra: ffTL mm  trong  UH 2 khi m . Nếu  UHf 2'  thì ta có      0k 1k k ' zkzf  và ' 1 222 k2 k 0 f k          . Điều này cho thấy:     ' 2 2 2 k 2 2 k m 1 1 f m 1           . (2.3.23) Kết hợp (2.3.22) và (2.3.23) ta nhận được:      ' 2 2 22m 2 m m 22 22 f f L T f m 1 1 f m 1             . Định lý 2.1 được chứng minh xong sau khi ta chứng minh Bổ đề . Chứng minh bổ đề. Chúng ta phải xét các trường hợp: i) 2 10   ii) 1 2 1   Nếu (i) đúng thì  mm1m C...C  . Do đó (2.3.17) suy ra:        mcard A m 0 k m max 1 m 1m mm m mm k C          . (2.3.24) Từ (2.3.24), (2.3.6) và giả thiết lim m m cardA 0 m  ta có:          0 k mlimsup max 1 1 m m m k 1 m 1 1                     . Nếu (ii) đúng, từ (2.3.17) ta được:     ( )max mm card A1 1m mm m k0 k m 2         (2.3.25) trong đó ta đã dùng đẳng thức:    m 0k mk m 2C . Từ đây suy ra:       0 k m limsup max ( ) 1 m 1m m k m 2 1                 . Do đó bất đẳng thức (2.3.18) đúng. Ta đã chứng minh xong Bổ đề và cũng chứng minh xong Định lý 2.1.  Cuối cùng, để có được kết quả chỉnh hóa trong trường hợp dữ liệu bị nhiễu, ta nêu một số khái niệm. Đặt ( ) ' ( ) ( )max max ( ) ( ) m m m m1 n m z 1 n m n zD z z z           . Cho   R,1:  là một hàm tăng thoả: )1m(D)1m(m)m( m   (2.3.26) lim ( ) t t   . (2.3.27) Ta đặt:      )()(m 2 1 1  . Rõ ràng là )(m  khi 0 . Định lý 2.3. Cho 00,2 10,0   và 1)(   Giả sử  )m(n  thỏa:  ( ) ( )sup max ( )m mn n1 n mm f z      thì có một ),(o  sao cho, với mọi )(0 ,0   và )U(H'f,f 2 ,    ( ) ( )( ) '( ) ( ) ( )m 1 m 22 m 22 f f L T m 1 f m 1                với  )m(m)m(1m ,...,)(T   . Ch•ng minh: Tr••c h•t ta ch•ng minh r•ng   mmmm Dm1m)T(L)fT(L    (2.3.28) Thật vậy, ta có:       )z(zz )z(zf)z))(T(LfT(L )m(n'm)m(n m m 0n )m( n )m( nmmm     . Bằng cách tính trực tiếp ta được:   )1()()()(  zDmzTLfTL mmmm  . (2.3.29) Mặt khác ta có      1m 0k k)m( kmmm z)z()T(L)fT(L  (2.3.30) với      U 1k mmm)m( k d)()T(L)fT(L i2 1     . (2.3.31) Từ (2.3.29) và (2.3.31) ta có: m)m(k mD  . (2.3.32) Từ (2.3.29) và (2.3.32) suy ra:      m 1mk k)m( kmmm D1mmz)z)(T(L)z)(fT(L       , nghĩa là (2.3.28) đúng. Bây giờ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )m m m m m m m m2 2 2f L T f L T f L T L T f                 . Dùng Định lý 2.2 và (2.3.28) ta được:    ( )( ) ( ) ( ) ' ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) m 2 m m m22 f f L T m 1 f m m 1 D m 1                  Từ định nghĩa của  m ta có:     )(m2 1 D1)(m)(m)(m    . Do đó:  ( )( ) ( ) ' ( ( )) ( ) ( ) 1 m 22 m m 22 f f L T m 1 f m 1                . Ta chứng minh xong Định lý 2.3.  Tài liệu tham khảo [1] Ang, D. D., Gorenflo, R., Le, V. K. and D. D. Trong, Moment Theory and Some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lect. Notes Math. 1792 (2002). [2] Gaier, D., Vorlesungen u ber Approximation im Komplexen, Basel-Boston-Stutgart, Birkhauser Verlag 1980. [3] Guelfond, A. O., Calcul des Différences Finis, Paris, Dunod 1963. [4] Hoffman, K., Banach Spaces of Analytic Functions, Englewood Cliffs (N.J., USA), Prentice – Hall Inc. 1962. [5] Huy, N. V., Nhan, N. V. and D. D. Trong: Reconstruction of Analytic Function on the Unit Disc from a Sequence of Moments: Regularization and Error Estimates, Acta Math. Vietnamica 27 (2002), 307-320. [6] Patington, J. R.: Interpolation, Identification, and Sampling, Oxford, Clarendon Press 1997. [7] Taylor, A., Advance Calculus, New York et al, Blaisdell Publ. Comp. 1965. [8] Trong, D. D., Nam, L. Q., Luc, N. L., and T. T. Tuyen: Reconstruction of pH Functions: Best Approximation, Regularization and Optimal Error Estimates. J. Math. Anal. Appl. (submitted 2002). [9] Totik, V., Recovery of pH - Functions, Amer. Math. Soc. 90 (1984). [10] Rudin, W., Real and Complex Analysis, New York, McGraw – Hill Co. 1987. [11] Trong, D. D. and D. D. Ang: Reconstruction of Analytic Functions: Regularization and Optimal Recovery. Preprint 1997. [12] Walsh, J. L.: Interpolation and Approximation by Rational Function in the Complex Domain. Providence (R.I., USA): Amer. Math. Soc. 1960. CHƯƠNG 3 CHỈNH HÓA MỘT BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC RỜI RẠC BẰNG CÁC HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT 3.1. Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xem xét việc chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời rạc. Cho  t,xuu  biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình nhiệt sau   t,x0uut  R  1,0 (3.1.1) Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu  0,xu từ nhiệt độ cuối  T,xu . Để cho đơn giản ta giả sử 1T  . Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được nghiên cứu từ lâu. Như đã trình bày trong phần mở đầu, bài toán được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là   jj 1,xu  (3.1.2) Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là đặc biệt không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm. Trong [41], chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted – Legendre) để chỉnh hoá một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả thiết rằng nhiệt độ  y,xu có bậc    y,x22 yxe  (   , lim , x y x y   ) là quá nghiêm ngặt. Ở chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn. Chúng tôi sẽ xem xét một dạng rời rạc của bài toán ngược cho phép biến đổi Weierstrass             j2 x j dev 1xvW 2 j   (3.1.3) với    0,2uv   . Sau đây ta sẽ ký hiệu Wv là dãy   jxWv . Trước hết, chúng ta đưa ra một vài định nghĩa. Ký hiệu 2L (R) = { f: R R | f là đo được Lebesgue và 22 x Lfe 2  (R)}. Không gian 2L (R) là không gian Hilbert với chuẩn     2 2L R 1 2 2 xf f x e dx            và tích trong       ,dxexgxfg,f 2x    với g,f 2L (R). Chúng ta cũng ký hiệu   | , supj j j j l R            với chuẩn sup j j    . Với R > 0, ta ký hiệu RB { z C | z R} và RC { z C | z R}. Ta cũng ký hiệu  R1 BH là không gian Hardy của các hàm      0n n n zz  giải tích trên đĩa RB với chuẩn      0n 2n n 2 BH RR1  . Dùng đẳng thức Parseval ta có thể viết lại chuẩn nêu trên dưới dạng khác.        dRe 2 1 2 0 2i2 BH R 1  . Nếu   MRei  với mọi   2,0 thì đẳng thức trên cho ta   M 2 BH R 1  . Phần còn lại của chương được chia thành ba mục. Ở mục 3.2 chúng tôi sẽ chuyển bài toán đang xét thành một bài toán nội suy hàm giải tích và chứng minh một kết quả về tính duy nhất. Trong mục 3.3, chúng tôi tìm các hàm chỉnh hóa bởi sự kết hợp giữa đa thức Hermite và các hệ số của đa thức Lagrange. Cuối cùng chúng tôi đưa ra một vài ví dụ bằng số trong mục 3.4. 3.2. Sự trình bày lại bài toán và tính duy nhất nghiệm Dùng đa thức Hermite (xem [Chương I, mục 1.5]) ta có thể viết        0n n n z zHe !n 1e 22  . Nhắc lại rằng     22 e d de1H n n n n      !n2H,H nnmmn  với 0nm  khi mn  và 1nn  . Ta sẽ tìm một dãy  na sao cho         0n nn Ha0,2uv  thỏa (3.1.3). Từ tính trực giao của  nH trong không gian 2L (R) ta có thể thay thế khai triển nói trên vào (3.1.3) và nhận được    0n n jnj xa Nêú đặt       0n n n zazv (3.2.1) thì rõ ràng ta có    jjxv   . (3.2.2) Do đó bài toán được trình bày lại thành bài toán cổ điển là tìm dãy  na (và xây dựng một hàm v) từ những giá trị được xác định  j sao cho   zv thỏa (3.2.2). Trước hết chúng tôi đưa ra một số tính chất của hàm  v . Bổ đề 3.1. Cho    0,x2uxv  thuộc 2L (R). Nếu v có khai triển       0n nn Hav  thì    0n n2 n !n2a (3.2.3) và hàm   .v là một hàm nguyên bậc 2 . Ở đây, lưu ý rằng bậc của hàm nguyên f là số  ln ln limsup ln f r M r r    với    maxf z rM r f z . Chứng minh: Như đã đề cập, các hàm nH thỏa   !n2H,H nnmmn  với 0nm  khi mn  và 1nn  . Vì       0n nn Hav  ta có  ! 2 2 2n n L R n 0 a 2 n v       . (3.2.4) Ta chứng minh  v là hàm nguyên. Thật vậy, xét chuỗi lũy thừa       0n n n zazv Từ (3.2.4) ta có   ! 2 2 L R2 n n v a 2 n  Suy ra lim n nn a 0  Vậy chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R , hay là hàm nguyên. Bây giờ ta ước lượng bậc của hàm  . Ta có thể tính bậc của hàm  theo công thức sau (xem [Chương I, Định lý 1.6]):   lnlimsup ln /n n n n 1 a    Từ phương trình (3.2.4) ta có !n2C a 1 n 2 n  , với  2 2 L RC v   Mặt khác, theo công thức Stirling (xem [Chương I, Định lý 1.4]): neenn2!n nn   với    1n12 1 1n12 1 n   Do đó n n n n e 2n2!n2     Từ đó suy ra nlnn e 2lnnnlnln1C a 1ln 12 n          với 1C là hằng số chung. Do đó  lnlimsup ln / 2n n2n n1 a     lnlimsup ln ln ln / lnn 1 2n n 2 C n n 2 e n n    Bổ đề được chứng minh.  Bây giờ ta có một kết quả về tính duy nhất. Định lý 3.1. Cho 0 . Nếu     1n 2 nx 1  thì bài toán (3.1.3) có nhiều nhất một nghiệm v 2L (R). Điều kiện sau trong định lý có nghĩa là dãy  nx có một điểm tụ trên trục thực mở rộng R   . Hơn nữa nếu điểm tụ này là  thì dãy  nx phải đủ “trù mật” gần  . Chứng minh: Cho 21 v,v 2L (R) là hai nghiệm của (3.1.3). Đặt 21 vvv  và giả sử rằng    1n nn Hav , ta sẽ có (như ở mục 3.1)    ...,2,1j,0xv j  với       0n n n zazv . Từ đó suy ra các điểm ...,2,1j,x j  là các không điểm của hàm nguyên  . Nếu các ...,2,1j,x j  có một điểm tụ hữu hạn thì theo định lý về tính đồng nhất ta có   0v  . Nếu các điểm ...,2,1j,x j  không có điểm tụ nào thì không mất tính tổng quát ta giả sử rằng ...xx 21  và  jj xlim . Vì bậc của   2v  , ta được (xem [33], tr. 18 hay mục 1.6.2, Chương 1): inf | n 1 n 1 2 x                . Từ đó suy ra     1n 2 nx 1  . Điều này mâu thuẫn. Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có   0v  . Suy ra ...,2,1n,0an  hay 0v  . Định lý 3.1 được chứng minh.  3.3. Chỉnh hoá và ước lượng sai số ._.