Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

đa để tôi có thể  hoàn thành luận văn. Nhân đây em cũng xin lỗi thầy vì đã làm thầy thất vọng về mình trong  thời gian làm luận văn, và mong thầy luôn có sức khỏe tốt và thành công trong công việc.   Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời  gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn  chỉnh.  Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa  Toán-Tin học  trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện  tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.  Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị đồng nghiệp và bạn bè thân hữu đã  động viên, giúp đỡ tôi  hoàn thành luận văn này.  Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong  nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn.  Xin chân thành cảm ơn.              TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010  DANH MỤC KÍ HIỆU    ,I a b    nR là không gian vectơ n chiều với vectơ cột    1 n i i x x     trong đó  ix R   Trên  nR  ta trang bị chuẩn:   1 n i i x x      n nR   là không gian các ma trận cấp n n     , 1 n ik i k X x    trong đó   , 1,2,...,ikx R i k n   với chuẩn:   , 1 n ik i k X x         1 : 0; 1,...,nn ni iiR x R x i n     ,    , 1 : 0; , 1,...,nn n nik iki kR x R x i k n        Nếu  , nx y R  và  , n nX Y R   thì:   ,n n nx y y x R X Y Y X R             Nếu    n n i i x x R   và    , 1 n n n ik i k X x R      thì:           11 , 1, , sgn sgn n n n i ik i ii i k x x X x x x          ; nC I R  không gian các vectơ hàm liên tục  : nx I R với chuẩn    max :Cx x t t I     C  với  0   là không gian các hàm liên tục  -tuần hoàn  :u R R  với chuẩn:     max :Cu u t t R        1 0;nC   là không gian các hàm   : 0;u R   khả vi liên tục cấp (n – 1) với  chuẩn              1 10; 1 max : 0n n k C k u u t t                 1nC   là không gian các hàm khả vi liên tục cấp  1n  , -tuần hoàn với chuẩn     1 1 1 n n k C C k u u           1n C   là không gian các hàm  1nu C   với    1n u   là liên tục tuyệt đối.      0;L   là không gian các hàm khả tích Lebesgue   : 0;u R  với chuẩn                 0; 0 L u u t dt           ; nL I R  không gian các vectơ hàm khả tích  : nx I R  với chuẩn              b L a x x t dt     L  là không gian các hàm  :u R R ,  -tuần hoàn, khả tích Lebesgue trên  0; với  chuẩn     0 L u u s ds     MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi  phân  hàm ra đời  từ  thế kỷ 18,  song đến  nay  vẫn được  nhiều  người quan  tâm nhờ các ứng  dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, …. Đặc biệt, bài  toán biên  tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm đạt được nhiều kết quả bắt đầu từ năm  1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, B. Puza cho hệ phương trình vi phân  hàm tổng quát. Các kết quả về phương trình vi phân hàm bậc cao cũng được nghiên cứu một  cách rộng rãi và cũng đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này  làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng  của các tác giả trên.  2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm  bậc cao. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho phương trình vi phân đối số chậm, đối số  lệch.   3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân hàm. Lý thuyết  bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.  4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn là tài  liệu tham khảo cho tất cả mọi người quan tâm đến bài toán biên tuần  hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.  5. Cấu trúc luận văn   Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên  cho  hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến.  Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao  Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi  phân hàm bậc cao và  áp dụng các kết quả cho phương trình vi phân đối số lệch, đối số chậm.   Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO  HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN  1.1 Giới thiệu bài toán Cho    : ; ;n nf C I R L I R  và   : ; n nh C I R R  là các toán tử liên tục thỏa với mọi   0;   thì:                sup . : ; , ; sup : ; , n C n C f x x C I R x L I R h x x C I R x          Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:        dx t f x t dt    (1.1)  với điều kiện biên        0h x               (1.2)  Định nghĩa 1.1 Nghiệm của của bài toán (1.1), (1.2) là các vectơ hàm liên tục tuyệt đối  : nx I R ,  thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên  I  và thỏa (1.2).        Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình  (1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán  biên:       0 , dx t f t x t dt          (1.3)         1 2 0x t x A x x t x c          (1.4)  trong  đó  0 : n nf I R R  là vectơ hàm thỏa điều kiện Caratheodory,  0 nc R  và   : ; nit C I R I và   : ; n n nA C I R R   là toán tử liên tục.  1.2  Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)  Định nghĩa 1.2 Cặp toán tử   ,p l với       : ; ; ;n n np C I R C I R L I R   và     : ; ;n n nC I R C I R R   được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau:  i) Với mỗi   ; nx C I R cố định, toán tử       ,. : ; ;n np x C I R L I R  và     ,. : ; n nx C I R R  là tuyến tính.  ii) Với mọi  , ; nx y C I R và hầu hết  t I ta có các bất đẳng thức:       , , C Cp x y t t x y ,     0, C Cx y x y ,  trong đó  0 :R R   là hàm không giảm và  : I R R     khả tích theo đối số  thứ nhất và không giảm theo đối số thứ hai.  iii) Tồn tại số  thực dương   sao cho với mọi   ; nx C I R ,   ; nq C I R  và  0 nc R ,  và  với  mọi  nghiệm  bất  kỳ  y  của  bài  toán  biên:           0, , , dy t p x y t q t x y c dt          (1.5)  thỏa    0C Ly c q                (1.6)  Định lý 1.3 Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp nhất quán   ,p  với       : ; ; ;n n np C I R C I R L I R   và     : ; ;n n nC I R C I R R  là các toán tử liên tục  sao cho   0;1  mọi nghiệm của bài toán            , , dx t p x x t f x t p x x t dt        (1.7)       , ,x x x x h x             (1.8)  thỏa       C x                (1.9)    Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.   Chứng minh Gọi  0,   và  là các hàm và các số trong định nghĩa 1.2. Ta đặt:                     0 0 2 ,2 sup : ; , 2 2 2 sup : ; , 2 n C n C t t f x t x C I R x t h x x C I R x                     1 khi 0 2 khi 2 1 0 khi 2 s s s s s s                                (1.10)            ,Cq x t x f x t p x x t              (1.11)         0 ,Cc x x x x h x      Khi đó do định nghĩa của f và α ta có      0; ,t L I R     và với mỗi  ; nx C I R ta có    0 2 , 1 2C C Cx x x x         nên với hầu hết  t I , ta có bất đẳng thức:        0 0,q x t t c x           (1.12)  ( do     0 2Cq x t x    )  Cố định    ; nx C I R , xét bài toán biên tuyến tính             0, , , dy t p x y t q x t x y c x dt      (1.13)  Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2 thì bài toán thuần nhất        , , , 0 dy t p x y t x y dt         (1.130)  chỉ có nghiệm tầm thường. Theo định lý 1.1 ([5]) từ điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2 và  (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất.  Mặt khác, từ các điều kiện (ii), (iii) của định nghĩa 1.2 và các bất đẳng thức trong (1.12),  nghiệm y của bài toán (1.13) thỏa     *0,Cy y t t     hầu hết  t I   (1.14)  trong đó         *0 0 0 0, ,L t t t              Đặt     : ; ;n nu C I R C I R   là toán tử đặt tương ứng mỗi  ; nx C I R  với nghiệm  y trong  bài toán (1.13). Từ hệ quả (1.6) ( hệ quả của định lý về tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên  của hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính trong [5]), thì toán tử u liên tục. Mặt khác, từ các  bất đẳng thức (1.14) ta có:           *0, t C s u x u x t u x s d        với s, t ∈ I.  Đặt    0 0; :n CC x C I R x    , khi đó u là toán tử liên tục từ  0C vào tập con compact  của chính nó, nên theo nguyên lý Schauder, tồn tại  0 x C sao cho      u x t x t  với t ∈ I.  Theo đẳng thức (1.11), x rõ ràng là nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với    Cx            (1.15)  Chúng ta cần chứng minh  x thỏa (1.9). Giả sử ngược lại, khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp      2 C x             (1.16)  Hoặc        2 C x              (1.17)  Nếu bất đẳng thức (1.16) thỏa mãn, thì theo (1.10) và (1.15) thì   0,1 . Tuy vậy, theo điều  kiện của định lý ta có (1.9) nên mâu thuẫn với (1.16).   Nếu  (1.17)  thỏa. Khi  đó  theo  (1.10)  và  (1.15)  thì  0  ,  suy  ra  x  là  nghiệm  của  bài  toán  (1.130). Điều này là không thể vì (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường.   Từ các điều trên ta thấy x thỏa (1.9).   Do đó, từ (1.9), (1.10), (1.15) rõ ràng  1  , suy ra x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).      Định nghĩa 1.4 Cho      : ; ; ;n n np C I R C I R L I R   và     : ; ;n n nC I R C I R R   bất kì, và     0 : ; ;n np C I R L I R  và   : ; n nC I R R  là các toán tử tuyến tính. Chúng ta nói rằng  cặp   0 0,p  thuộc về lớp  , n p l nếu tồn tại dãy    ; 1,2,..nkx C I R k  sao cho với mỗi   ; ny C I R các điều kiện sau được thỏa mãn:        0 0 0 lim , t t k k p x y s ds p y s ds     đều trên I    0lim ,k k x y y    Định nghĩa 1.5 Ta nói cặp toán tử liên tục       : ; ; ;n n np C I R C I R L I R   và     : ; ;n n nC I R C I R R  ,  thuộc lớp  0nO  nếu:   i) Với x cố định thuộc   ; nC I R thì toán tử       ,. : ; ;n np x C I R L I R  và     ,. : ; n nx C I R R  là các toán tử tuyến tính.   ii’)       Với bất kì x và y thuộc   ; nC I R và hầu hết  t I , các bất đẳng thức                0, , ,C Cp x y t t y x y y       thỏa mãn, trong đó  : I R   là khả tích và  0 R    iii’)       Với mỗi   0 0, n plp  , bài toán         0 0, 0 dy t p y t y dt            (1.18)    chỉ có nghiệm tầm thường.  Hệ quả 1.6 Giả sử tồn tại số dương   và cặp toán tử    0, np O sao cho với mỗi   0,1 , mọi  nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) thỏa (1.9). Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.   Chứng minh Theo bổ đề 2.2 của [6], nếu    0, np O  thì   ,p   là nhất quán, nên từ định lý 1.3 ta có  điều cần chứng minh.    Định nghĩa 1.7 Toán tử     0 : ; ;n np C I R L I R được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại một hàm khả  tích  : I R   sao cho với mọi   ; ny C I R thì bất đẳng thức      0 Cp y t t y  thỏa  mãn với hầu hết  t I .   Hệ quả 1.8  Giả sử tồn tại số nguyên dương ρ, một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh      0 : ; ;n np C I R L I R  và một toán tử tuyến tính bị chặn  0 : ; n nC I R R sao cho bài  toán (1.18) chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi   0,1  nghiệm bất kì của bài toán                 0 0 0 0, dx t p x t f x t p x t x x h x dt                thỏa (1.9). Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.   Chứng minh Đặt           0 0, , ,p x y t p y t x y y   .  Rõ  ràng  do  0p   là  toán  tử  tuyến  tính  bị  chặn mạnh và  0  là toán tử tuyến tính bị chặn, theo định nghĩa 1.7 thì   ,p x y t  và   ,x y thỏa điều kiện (i) và (ii’) của định nghĩa 1.5.    Mặt khác,  ta  thấy   0 0 ,, n p lp  ,  (do     , , ,p x y x y không phụ thuộc x) và   0 0,p    thỏa  điều  kiện  (1.18)  chỉ  có  nghiệm  tầm  thường,  suy  ra   0 0,p  thỏa  điều  kiện  (iii’)  của  định  nghĩa 1.5.  Do đó    0, np O . Từ đó theo hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.   1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) Trong bài toán (1.3), (1.4) thì ta xét vectơ hàm  0 : n nf I R R   thỏa điều kiện  Caratheodory, các toán tử     : ; 1,2nit C I R I i   và   : ; n n nA C I R R   là tiên tục.   Đặt       0 1 : ; nI t x x C I R        0 max : , 1nA x A x y y R y     Định lý 1.9 Giả sử tồn tại các hàm khả tích  1 2: , :g I R g I R   và một số   0,1  sao cho:           0 0 1 2, .sgnf t x t t x g t x g t     với  0 0, , nt I t I x R     (1.19)  và                2 1 1 2 1 0 exp .sgn t x t x g t dt t x t x A x              với   ; nx C I R   (1.20)   Khi đó bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm.   Chứng minh Với mỗi   , , nx y C I R , đặt       0 ,f x t f t x t ,          1 2 0h x x t x A x x t x c   ,                 1 1 1, sgn , ,p x y t g t t t x y t x y y t x        Ta chứng minh toán tử       : ; ; ;n n np C I R C I R L I R   và     : ; ;n n nC I R C I R R    là các toán tử liên tục và cặp toán tử   ,p   là nhất quán. Thật vậy,  (i) Rõ ràng do cách xác định hàm  it  mà       : ; ; ;n n np C I R C I R L I R  ,     : ; ;n n nC I R C I R R   và với cách đặt như trên thì  ,p   tuyến tính theo đối  số thư hai.   (ii) Ta có      , , ,p x y t x y  thỏa (ii) của định nghĩa 1. 5 với  1 0, 1Lg     (iii) Với mọi   ; nx C I R ,   ; nq C I R  và  0 nc R .   Đặt          1 1 1sgn t t x R t g s s t x ds  . Khi đó nghiệm của bài toán (1.5) trong định  nghĩa 1.3 là             1 0 t R t R s R t t x y t c e q s e ds        Chọn   1 1Lge b a     không phụ thuộc vào  0, ,x q c  thì   0C Ly c q    Với bất kì   0,1 , ta xét bài toán               1 1 01 sgn , dx t g t t t x x t f t x t dt        ,         1 2 0x t x A x x t x c       Gọi x là nghiệm bất kỳ của bài toán trên ứng với   0,1 . Đặt     u t x t ,   Ta chứng minh        sgnu t x t x t   hầu khắp nơi trên I. Thật vậy,   giả sử          1 2, ,..., nx t x t x t x t  khi đó ta có        sgni i ix t x t x t   hầu khắp nơi trên  I. Do đó                   1 1 sgn sgn n n i i i i i u t x t x t x t x t x t x t                  hầu khắp nơi  trên I.   Từ (1.19) và   x t  là nghiệm của bài toán trên nên:                                             1 1 1 0 1 1 0 1 sgn sgn sgn 1 sgn , sgn sgn 1 , sgn u t t t x x t x t t t x g t x t x t f t x t t t x x t g t x t f t x t t t x x t                               1 2 1 2 g t x t g t g t u t g t                               (Do   2 0g t  )  với  t I                     (1.21)  Mặt khác, từ         1 2 0x t x A x x t x c      ta suy ra              1 2 00u t x A x u t x c          (1.22)  Từ bất đẳng thức (1.21) ta có                  1 1 1 1 1exp sgn t t x u t g s s t x ds u t x                (1.23)  trong đó   1 1 2exp L Lg g   .   Thay   2t t x vào (1.23),  và từ (1.20) và (1.22) thì :                                2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 10 exp sgn exp sgn t x t x t x t x u t x g s s t x ds u t x g s s t x ds A x u t x c                                                        2 1 2 1 1 1 20 1 1 0 1 2 1 1 exp sgn exp sgn exp t x t x t x t x oL g s s t x ds A x u t x g s s t x ds c u t x g c                                Suy ra       2 2u t x              (1.24)  với      2 0 1 1 1 exp 1 L c g         .   Từ (1.20), ta cũng có                  2 1 1 2 1 10 exp .sgn exp t x L t x A x g t dt t x t x g                  Từ bất đẳng thức trên và từ (1.22) – (1.24) ta suy ra  x  thỏa bất đẳng thức (1.9), với   0 1 2 0 1exp 2 Lg c       là hằng số dương không phụ thuộc   và x      Chương 2. NGHIỆM TUẦN HOÀN CHO  PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 2.1 Giới thiệu bài toán   Cho số tự nhiên  2n   và  0  ,  1: nf C L     là toán tử liên tục.Ta xét phương trình  vi phân hàm:                  nu t f u t (2.1)  với  f  thỏa       * . sup . :rf f u u r L    với  0r     (2.2)    Định nghĩa 2.1 Một hàm   1n u C   được gọi là nghiệm  -tuần hoàn của bài toán (2.1)  nếu thỏa  phương trình (2.1) hầu hết trên  R .   Trường hợp đặc biệt của phương trình (2.1) là:                 11 2, , ,...,n n nu t g t u t u t u t   (2.3) trong đó  : ng R R R   là hàm thuộc lớp Caratheodory, tuần hoàn theo biến thứ nhất, tức là  thỏa đẳng thức           1 1, ,..., , ,...,n ng t x x g t x x        (2.4)   hầu hết  t R , mọi   1 2, ,..., n nx x x R . Các hàm   : 1,2,...,k R R k n    đo được trên mọi  khoảng hữu hạn và       k kt t        là một số nguyên    1,...,k n     (2.5)  Trong chương này ta sử dụng một số kí hiệu như sau:     2 10,..., 2 , 1 2 2 n k k nv k n v                    (2.6)      0 0 _ 02 x x khi x x x khi x               (2.7)      min :0u u t t    với u C     (2.8)  Trước khi đi vào các định lý chính, ta có các bổ đề sau.  2.2 Một số bổ đề quan trọng  2.2.1 Bổ đề đánh giá tiên nghiệm  Bổ đề 2.2 Nếu  1nu C  , thì              10 n C C u u v u            (2.9)       1 1,..., 1k nk C C u v u k n         (2.10)  Chứng minh Ta lấy   0 0;t   sao cho     0u u t            (2.11)  Đặt            0t u t u t              (2.12)  Thì             0 0 0 0 0 00, 0t u t u t t u t u t           .   Do đó                 0 0 0 0 , t t t t t t t t t s ds s ds t s ds s ds                               (2.13)  với  0 t                        Cộng hai bất đẳng thức trong (2.13) ta có             0 0 2 t t t s ds          với  0 t       (2.14)  Do đó         0 0 1 2 t C t s ds                (2.15)  Hơn nữa     C Cu u       (Vì       0u t t u t  )   và         0 0 0 t t s ds u s ds         (do (2.12) và  1nu C  )    (2.16) Từ (2.15),  (2.16)            1 1 2 22 0 0 1 1 2 2C u u u s ds u u s ds                       (2.17)  Mặt khác, theo bất đẳng thức Wirtinger,           2 4 2 42 22 1 1 0 0 2 2 n n n n C u s ds u s ds u                              (2.18)  Từ (2.17), (2.18),                1 1 2 3 22 12 2 4 2 1 1 0 1 2 2 2 2 n n C n C n n C n C u u u u u u v u                                       Chứng minh tương tự với    1 k n ku C    và      0 1,...,ku k n    thì ta có (2.10) ■  Bổ đề 2.3 Cho  1nu C   và       1 1 0 0 n n k k C Ck u c u                (2.19)   với  0c và   0,..., 1k k n   là các hằng số không âm. Hơn nữa  1 0 1 n k k k v                  (2.20)  Khi đó        11 0 01 n C u c u                 (2.21)            1 1 1 0 0 0 1n n kC k u u c u v                 (2.22)  Chứng minh Theo bổ đề 2.2, hàm u  thỏa các bất đẳng thức (2.9), (2.10). Từ  (2.19), ta có      1 1 0 0 n n k k C Ck u c u            1 0 0 1 n k kC Ck c u u               1 1 1 0 0 0 0 1 n n n k k C Ck c u v u v u                  1 1 0 0 0 n n k k Ck c u v u                      10 0 n C c u u          Suy ra        1 0 01 n C u c u        và do 1 0   nên (2.21) thỏa.  Hơn nữa,                       1 1 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 do2.21 n n n k n n kC C C C Ck k n n k C k n k k u u u u v u v u u u v u c u v                                       Vậy (2.22) thỏa, bổ đề được chứng minh.   ■  Bổ đề 2.4 Cho  1nu C    thỏa      1 ,n C u u                        (2.23)      1 1 0 1 n n k k C Ck u c u                (2.24)  với     : 0; 0;     là hàm không giảm,   0 0, 0 1,..., 1kc k n     và   1 1 1 n k k k v                 (2.25)  Khi đó     1 0nCu r                 (2.26)  với           1 1 1 0 0 0 0 1 1 n k k r c c v                (2.27)  Chứng minh Với  0 0 , từ các bất đẳng thức (2.23), (2.24), (2.25)  suy ra các bất đẳng thức               1 1 0 0 n n k k C Ck u c u          và  1 0 1 n k k k v      .   Áp dụng bổ đề 2.3 ta có các bất đẳng thức sau             11 0 0 1 0 0 1 1 do 0 n C u c u c                    (2.28)    Và          1 1 1 0 0 0 1n n kC k u u c u v                        1 1 0 0 1 n k k u c v                 (2.29)   Mặt khác, do   không giảm nên từ (2.28) ta có:         11 01n C u u c                    (2.30)   Từ (2.29), (2.30)  ta có       1 1 1 1 0 0 0 0 1 1n n kC k u c c v r                  với  0r  được xác định bởi (2.27) ■  Bổ đề 2.5 Cho  1nu C   và             1 1 0 0 0 , n n k k C Ck u c u c u                (2.31)  với   0 0, 0 0,..., 1kc k n    . Hơn nữa nếu (2.20) thỏa, khi đó bất đẳng thức (2.26) thỏa,  với      1 1 0 0 0 0 1 1 1 n k k r v c                     (2.32)  Chứng minh Từ (2.29) và (2.20), áp dụng bổ đề 2.3 ta có                1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 do n n kC k n k k u u c u v c c c v u c                                  1 1 0 0 0 0 1 1 1 n k k v c r                  với  0r  được xác định bởi (2.32). ■  2.2.2 Bổ đề về sự tồn tại nghiệm  Trong phần này ta xây dựng một số bổ đề về tính giải được của bài toán biên tuần  hoàn bậc cao trong trường hợp tổng quát.    Xét phương trình vi phân hàm bậc n                nu t f u t           (2.33)  Với điều kiện biên tuần hoàn            1 10 1,2,...,i iu u i n     (2.34)  trong đó      1: 0; 0;nf C L    là toán tử liên tục và thỏa điều kiện Caratheodory             1 0;. .sup : 0;nr Cf f u u r L      (2.35)   với mỗi  0r  .   Khi đó từ hệ quả 1.8 ta nhận được kết quả sau:   Bổ đề 2.6 Giả sử tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn       1: 0; 0;np C L    và một hằng số  dương  0r sao cho phương trình vi phân tuyến tính          nu t p u t           (2.36)  với điều kiện tuần hoàn (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường và với bất kỳ   0;1  mỗi nghiệm  của phương trình vi phân              1nu t p u t f u t        (2.37)  thỏa điều kiện(2.34) và thỏa                 1 00;nCu r            (2.38)  Khi đó bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm.    Áp dụng kết quả trên cho toán tử     0p u au  ta có kết quả sau:  Bổ đề 2.7 Cho  1: nf C L     là toán tử liên tục thỏa điều kiện (2.2). Hơn nữa, tồn tại hằng số  0a   và  0 0r   sao cho với bất kỳ   0;1 , mỗi  nghiệm  - tuần hoàn  của phương trình vi  phân hàm                   0 1nu t au f u t          (2.39)  thỏa (2.25). Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm  -tuần hoàn .   Chứng minh Với các hằng số  1,..., nc c  bất kỳ, bài toán                    2 1 10, 0 0, 1,...,n i i iy t y y c i n         (2.40)  có nghiệm duy nhất. Khi đó ta đặt   1, ,..., ny t c c  là nghiệm của bài toán trên.   Với    1 0;nu C  , đặt                   1 1; 0 ,..., 0n nz u t u t y t u u u u       với  0 t        (2.41)   Và mở rộng tuần hoàn    .z u  lên R  với chu kỳ  .   Ta thấy   1 1: 0,n nz C C    là toán tử tuyến tính bị chặn.   Giả sử             f u t f z u t         (2.42)  Xét phương trình (2.33), (2.34).   - Nếu hàm u  là một nghiệm -tuần hoàn  của bài toán (2.1) thì ta xét u là hạn chế của u lên  0;  , khi đó u  thỏa (2.34) tức là          1 10 1,2,...,i iu u i n   , từ (2.40) ta có 0y  ,từ (2.41) suy ra      z u t u t  và u  thỏa (2.1) nên thỏa (2.33). Vậy u  là nghiệm  của (2.33), (2.34).   - Ngược  lại, nếu  u là nghiệm của bài  toán  (2.33),  (2.34)  thì mở rộng của  u   lên  R   thành  một hàm ω-tuần hoàn thì đó là nghiệm -tuần hoàn của bài toán (2.1).  Do đó để chứng minh bổ đề này, ta cần chứng minh bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm.    Theo đẳng thức (2.41), (2.42) và điều kiện (2.2),       1: 0; 0;nf C L    là toán tử liên  tục, thỏa điều kiện (2.35)  với mọi  0r  .   Mặt khác, nếu      0p u t au , thì bài toán (2.33), (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường. Theo  các điều kiện của bổ đề (2.6), bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm với mọi   0;1 .  Giả sử u  là nghiệm của bài toán (2.34), (2.37)  với   0;1 . Khi đó mở rộng tuần hoàn lên  R  với chu kỳ   là nghiệm của bài toán (2.39) và thỏa (2.26) nên thỏa (2.38) ■   2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) 2.3.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (2.1)  Trong phương trình (2.1) ta giả sử toán tử  f  thỏa một trong các điều kiện sau trong  không gian  1nC  :             1 1 10 sgn 0 n k k Ck f u s ds u h u u c                     với    0u    (2.43)             1 2 1 . 0 x n n k Ckt f u s ds h u u c t x                (2.44)  Hay điều kiện        0 sgn 0 0f u s ds u              với    0u c          (2.45)       1 0 0 x n k k Ckt f u s ds c u        với  0 t x          (2.46)  Định lý 2.8 Giả sử tồn tại hàm số tăng     : 0; 0;h     và hằng số  0c  ,    0 1,2; 1,.., 1 , 1ik i k n       và   1;1    sao cho   h x   khi  x ,    1 1 2 1 . 1 n k k k k v                    (2.47)  và các bất đẳng thức (2.43), (2.44) thỏa.   Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm  -tuần hoàn.    Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử   0 0h  , theo điều kiện (2.47), ta có thể  chọn hằng số a (đủ nhỏ) sao cho  0a  và các số    1 2 1,..., 2k k k k n       và  1 1 1 2 1 0n n n v a         (2.48)  thỏa  (2.20)  tức  là       1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 1 n n k k k k k n n n k k v v v a v                      Đặt      0 min ,h x a x h x               (2.49)  Ta thấy với mọi  ,x y  và x y  thì  a x a y   và     h x h y  nên    0 0h x h y .   Do đó     0 : 0; 0;h     tăng nghiệm ngặt nên tồn tại hàm ngược, đặt  1 0h   là hàm ngược  của  0h  và    1 1 0 1 0 1 , 2 n k k k x h v x c c c                       (2.50)  Vì  0h  tăng, suy ra  1 0h   tăng và  1 1 1 0 n k k k v     nên     : 0, 0,    cũng là hàm tăng.   Gọi  0r là hằng số được cho bởi đẳng thức (2.27). Theo bổ đề 2.7 để chứng minh định lý, ta  chỉ cần chứng minh với bất kỳ   0;1 thì mọi nghiệm -tuần hoàn của (2.39) thỏa bất đẳng  thức (2.26)   Theo điều kiện (2.44), từ (2.39), ta có                             1 2 1 0 1 0 1 0 1 x x n t t x t n k k C k u s ds au f u s ds a u x t f u s ds a u h u u c                             Ta thấy u  là hàm tuần hoàn trên  0,  nên   2nu  cũng là hàm tuần hoàn, tức là         2 20n nu u   , khi đó tồn tại   0,s   sao cho     1 0nu s  ,   suy ra              1 1max : 0, max : 0 x n n n C t u u t t u s ds t x                      Kết hợp bất đẳng thức trên ta có             1 1 2 1 0 1 n n k k C Ck u a u h u u c                 (2.51)  Mặt khác, nếu    0u  , thì theo điề._.