Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

ã dành thời gian và cơng sức tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này. Tơi xin gởi lời cảm ơn đến các quý Thầy Cơ trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đĩng gĩp ý kiến giúp cho bài luận văn của tơi được hồn chỉnh hơn. Cho tơi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh, Phịng KHCN Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn và quý thầy cơ đã tham gia giảng dạy tơi trong suốt khĩa học qua. Cuối cùng tơi xin cảm ơn sự giúp đỡ tận tình cũng như những lời động viên của Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trường THPT Lộc Thanh đã dành cho tơi trong suốt thời gian tơi tham gia khĩa học này. Trong quá trình viết luận văn này, khĩ tránh khỏi những thiếu sĩt, tơi rất mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của bạn đọc . Tơi xin chân thành cảm ơn. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường ra đời từ thế kỷ 18 như một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực của cuộc sống như vật lý, cơ học, kỹ thuật, nông nghiệp, kinh tế và sinh học… Chính vì thế việc tiếp tục nghiên cứu và mở rộng các phạm vi ứng dụng của nĩ là cần thiết và cấp bách. Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường với điều kiện biên dạng tuần hồn đã được nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu. Tuy nhiên việc nghiên cứu bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình hàm và từ đĩ áp dụng cho phương trình vi phân đối số chậm thực sự được phát triển mạnh trong nhưng năm gần đây. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục mở rộng các kết quả của các tác giả I.Kiguradze, A.Lomatidtaze, B.Puza, Robert Hakl trong các cơng trình [1],[2],[3],… 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là tốn tử thuần nhất dương. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên sau đại học cĩ quan tâm nghiên cứu về tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là tốn tử thuần nhất dương. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm hai chương: Trong chương I, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là tốn tử thuần nhất dương, nghĩa là bài tốn : ( ) ( , )( ) ( )( )  u t H u u t Q u t (0.1) ( ) ( ) ( )u a u b h u  (0.2) trong đĩ         : , ; , ; , ; H C a b R C a b R L a b R là tốn tử liên tục, thuần nhất dương khơng giảm đối với biến thứ nhất và khơng tăng đối với biến thứ hai.      : , ; , ;Q C a b R L a b R ,   : , ;h C a b R R là tốn tử liên tục thoả điều kiệnCarathéodory,  0,1 . Chương II, gồm hai phần. Trong phần 1 ta xét các tính chất của các tập  ,abV   ,   ,abV  ,   ,abW  ,  ,abW   (xem định nghĩa 0.1 – 0.4 được giới thiệu trong phần sau), và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho các bao hàm  ,abH V   ,  ,abH V   ,  ,abH W   và  ,abH W   . (0.3) Trong phần 2, ta cũng xét các bao hàm (0.3) trong trường hợp đặc biệt của tốn tử H với H được định nghĩa:            1 2, max :H u v t p t u s t s t             1 2max :g t v s t s t    với hkn  ,t a b (0.4) trong đĩ  , , ;p g L a b R    , ,i i   abM ( 1,2)i  và 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( )t t t t     với hầu khắp nơi  ,t a b DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  N : Tập hợp các số tự nhiên.  R : Tập hợp các số thực.     0, , ,0     R R .         1 1, 2 2 x x x x x x     .    , ;C a b R là khơng gian Banach của các ánh xạ liên tục  : ,u a b R trên ;a b   với chuẩn   max ( ) : ,Cu u t t a b  .          , ; , ; : ( ) , ,C a b D u C a b R u t D t a b    trong đĩ D R .    , ;C a b D với D R là tập hợp các ánh xạ liên tục tuyệt đối  : ,u a b D .    , ;L a b R là khơng gian Banach của những hàm  : ,p a b R khả tích Lebesgue trên ;a b   với chuẩn   b L a p p s ds  .            , ; , ; : với t a,b hknL a b D p L a b R p t D    trong đĩ D R .  abM là tập hợp các hàm đo được    : , ,a b a b  .  abH là tập hợp các tốn tử liên tục         : , ; , ; , ; H C a b R C a b R L a b R thỏa các điều kiện sau: 1. Với mọi   , , , ;u v w C a b R , ta cĩ: Nếu    u t v t với  ,t a b thì      , ,H u w t H v w t với hầu khắp nơi  ,t a b . Nếu    u t v t với  ,t a b thì      , ,H w u t H w v t với hầu khắp nơi  ,t a b . 2. Với mọi        , , ; , ; u v C a b R C a b R và hằng số 0  , ta cĩ      , ,H u v t H u v t   với hầu khắp nơi  ,t a b .  abK là tập hợp các tốn tử liên tục      : , ; , ;F C a b R L a b R thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là : Với mỗi 0r  , tồn tại   , ;rq L a b R sao cho:     rF v t q t với hkn  ,t a b ,  , ;v C a b R    , Cv r .   , ;K a b A B   ,trong đĩ A R , B R là tập hợp các ánh xạ : ,f a b A B    thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là: .    ., : ,f x a b B là hàm đo được với mỗi x A , .  ,. :f t A B là liên tục hầu khắp nơi với mọi  ,t a b và với mỗi 0r  , tồn tại   , ;rq L a b R sao cho:    , rf t x q t với hkn  ,t a b , x A , x r .  abFK là tốn tử Volterra nếu với mọi  ,c a b ,   , , ;u v C a b R thỏa:    u t v t với  ,t a c thì      F u t F v t với hkn  ,t a c . Trong luận văn này, ta đưa ra các khái niệm sau:  Định nghĩa 0.1 Ta nĩi rằng tốn tử abHH thuộc vào tập  ,abV   nếu với mỗi hàm    , ,u C a b R thỏa:     ,0u t H u t  với hầu khắp nơi  ,t a b và      0u a u b (0.5) Thì ta cĩ:   0u t  với  ,t a b .  Định nghĩa 0.2 Ta nĩi rằng tốn tử abHH thuộc vào tập   ,abV nếu với mỗi hàm    , ,u C a b R thỏa:     ,0u t H u t  với hầu khắp nơi  ,t a b và      0u a u b (0.6) Thì ta cĩ   0u t  với  ,t a b .  Định nghĩa 0.3 Ta nĩi rằng tốn tử abHH thuộc vào tập  ,abW   nếu với mỗi  0,1  ,   , ; y C a b R và mỗi   , , ,u v C a b R thỏa:          , ,u t H y u t v t H y v t     với hầu khắp nơi  ,t a b (0.7) và           u a u b v a v b (0.8) Thì ta cĩ    u t v t với (0.9)  Định nghĩa 0.4 Ta nĩi rằng tốn tử abHH thuộc vào tập   ,abW nếu với mỗi  0,1  ,   , ; y C a b R và mỗi hàm   , , ,u v C a b R thỏa (0.7), (0.8) thì ta cĩ (0.9). Chương 1: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Trong các kết quả sau, ta luơn giả thiết   , ,q K a b R R   và thỏa mãn điều kiện:   1lim , 0 b x a q s x ds x (1.1) Xét bài tốn : ( ) ( , )( ) ( )( )  u t H u u t Q u t (0.1) ( ) ( ) ( )u a u b h u  (0.2) 1.1 . Các định lý Sau đây là các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn (0.1), (0.2): Định lý 1.1.1 Cho    , ,ab abH V W      và nếu tồn tại c R sao cho với mọi   , ,v C a b R , ta cĩ các bất đẳng thức:     , 0Cq t v Q v t   với hkn  ,t a b và   0c h v   Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng dương. Định lý 1.1.2 Cho    , ,ab abH V W      và nếu tồn tại c R sao cho với mọi   , ,v C a b R , ta cĩ các bất đẳng thức:     0 , CQ v t q t v  với hầu khắp nơi  ,t a b và  0 h v c  Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm. Định lý 1.1.3 Cho    , ,ab abH V V      và  ,abH W   hoặc  ,abH W   . Hơn nữa nếu tồn tại c R sao cho với mọi   , ,v C a b R , ta cĩ các bất đẳng thức:     , CQ v t q t v với hầu khắp nơi  ,t a b và  h v c Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm . Hơn nữa :  Nếu   0h v  ,    0Q v t  hầu khắp nơi trên  ,a b và với mọi     , ,v C a b R (1.1.1) Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng dương.  Nếu   0h v  ,    0Q v t  hầu khắp nơi trên  ,a b , và với mọi     , ,v C a b R (1.1.2) Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm. Để chứng minh các định lí trên, trước hết ta cần chứng minh các bổ đề bổ trợ sau: 1.2. Các bổ đề bổ trợ Trước hết ta nhắc lại một kết quả của I.Kiguradze và B.Puza trong [6]: Bổ đề 1.2.1 Cho F K ab , c R , nếu tồn tại một số 0  sao cho với mọi  0,1  và mọi hàm   , ;u C a b R thỏa :     u t F u t  với hkn  ,t a b ,    u a u b c   (1.2.1) ta đều cĩ C u  (1.2.2) Khi đĩ bài tốn     u t F u t  ,    u a u b c  cĩ ít nhất một nghiệm. Áp dụng bổ đề trên, ta cĩ kết quả sau: Bổ đề 1.2.2 Cho abHH và nếu với mọi  0,1  , bài tốn         0, , 0u t H u t u a u b     (1.2.3) chỉ cĩ nghiệm tầm thường. Khi đĩ với mỗi     0,1 , , ;y C a b R   ,   0 , ;q L a b R và c R , bài tốn       0,u t H y u t q t   ,    u a u b c  cĩ ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Cho     0,1 , , ;y C a b R   ,   0 , ;q L a b R và c R cố định Đặt        0,F v t H y u t q t  với hkn  ,t a b Theo bổ đề 1.2.1, ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi  0,1  và mọi hàm   , ;u C a b R là nghiệm của bài tốn (1.2.1) thì ta cĩ đánh giá (1.2.2). Giả sử ngược lại với mỗi n N , tồn tại  0,1n  và hàm   , ;nu C a b R sao cho:       0,n n nu t H y u t q t      với  ,t a b hkn (1.2.4) thỏa điều kiện biên    n n nu a u b c   (1.2.5) và n Cu n (1.2.6) Khi đĩ, đặt    nn n C u t v t u  với  ,t a b , 1, 2,...n (1.2.7) Ta cĩ 1n Cv  với 1, 2,...n (1.2.8) Từ (1.2.4) và (1.2.5) ta cĩ       01 ,n n n n C v t H y u t q t u       Do H là tốn tử thuần nhất dương nên      01,n n n n nC C yv t H v t q t u u             (1.2.9) với hkn  ,t a b , 1, 2,...n và     nn n n C cv a v b u   với 1,2,...n (1.2.10) Lấy tích phân hai vế của (1.2.9) ta cĩ:        0, t t n n n ns sC yv t v s H v d q d u            với  , ,s t a b , 1,2,...n Ta chứng minh:    , , 1 ,1n C C n C yH v H y H y u          Thật vậy, nếu , ,n n n nC C y yH v H v u u              Thì  , , 1 , 1n C n nC C y yH v H H y u u                    , 1 ,1C CH y H y    Nếu , ,n n n nC C y yH v H v u u               Thì    , , ,1n nC C n C yH v H y v H y u          Suy ra    , ,1 ,1n C C n C yH v H y H y u           . Mặt khác      , 1 ,0 0,0 0   C CH y H y H Nên    , , 1 ,1n C C n C yH v H y H y u          . Vậy    , , 1 ,1n C C n C yH v H y H y u          Do đĩ      tn n s v t v s w d    với  , ,s t a b , 1, 2,...n trong đĩ     0, 1 ,1C Cw H y H y q     Dễ thấy  t là khả tích Lebegue nên từ bất đẳng thức cuối, kết hợp với (1.2.8) ta cĩ dãy hàm   1n nv  bị chặn đều trên  ,a b và đẳng liên tục. Theo định lý Ascoli, và khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử tồn tại  0 0,1   và   0 , ;v C a b R sao cho : 0lim nn    (1.2.11) và 0lim 0n Cn v v   (1.2.12) Do H liên tục nên chuyển qua giới hạn và từ (1.2.6), ta cĩ:     0 0lim , 0, t t n nn na aC yH v d H v d u                (1.2.13)  0lim 0 t n n n aC q d u     (1.2.14) lim 0n n n C c u    (1.2.15) Lấy tích phân của (1.2.9) từ a đến t ta cĩ:        0, t t n n n n n n na aC C yv t v a H v d q d u u              với  ,t a b , 1, 2,...n Cho n  cùng với (1.2.10), (1.2.12) - (1.2.15) ta cĩ       0 0 0 00, t a v t v a H v d      với  ,t a b (1.2.16)    0 0 0v a v b  Hơn nữa theo (1.2.8) và (1.2.12) ta cĩ 0 1Cv  (1.2.17) Vì vậy từ (1.2.16),   0 , ;v C a b R và 0v là nghiệm khơng tầm thường của (1.2.3) với 0   , điều này mâu thuẫn với giả thiết bài tốn (1.2.3) chỉ cĩ nghiệm tầm thường. □ Bổ đề 1.2.3 Cho     0, , , ; 0,1, 2,... n ny y u C a b R n sao cho: 0lim 0n Cn y y   (1.2.18) và tập   1n nu  là tâp compắc tương đối . Khi đĩ 0lim ( , ) ( , ) 0n n n Ln H y u H y u   . (1.2.19) Chứng minh: Giả sử (1.2.19) khơng thoả. Khi đĩ tồn tại 0 0  , dãy con     11kn n nky y   và     11kn n nku u   sao cho: 0 0lim ( , ) ( , )k k kn n n Ln H y u H y u    với 1, 2,...k (1.2.20) Rõ ràng  1kn k u   cũng là tập compắc tương đối. Vì vậy tồn tại dãy con hội tụ     1 1k km nk k u u     . Gọi   0 , ;u C a b R sao cho 0lim 0km Cn u u   (1.2.21) Theo (1.2.20) ta cĩ 0 0lim ( , ) ( , )  k k km m m Ln H y u H y u  với 1, 2,...k (1.2.22) Mặt khác do (1.2.18),(1.2.21) và giả thiết abHH , ta cĩ 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0k k k k k km m m m m mL L LH y u H y u H y u H y u H y u H y u      khi k  . Điều này mâu thuẫn với (1.2.22). Do đĩ (1.2.19) được chứng minh. □ Bổ đề 1.2.4 Cho      : . ; . ; ( 0,1, 2,...) nT C a b R C a b R n 0T là tốn tử liên tục và compắc. Giả sử   0 , ;u C a b R là điểm bất động duy nhất của 0T và nếu tồn tại 0r  sao cho với mỗi n N , ta cĩ ít nhất một điểm bất động nu trong tập:    0, ; :  Cv C a b R v u r . Khi đĩ 0lim 0n Cn u u   (1.2.23) nếu và chỉ nếu 0lim ( ) ( ) 0n n n Cn T u T u   . Chứng minh: Chứng minh của bổ đề cĩ thể tìm thấy trong [7]. Bổ đề 1.2.5 Cho H   ;abW   và giả sử tồn tại một số 0  sao cho với mọi  0,1  và với mọi   , ;u C a b R thỏa:                 ,    với hkn , u t H u u t Q u t t a b u a u b h u              (1.2.24) ta cĩ đánh giá (1.2.2). Hơn nữa , nếu    0Q v t  với  ,t a b hkn, và với mọi   , ;v C a b R (1.2.25)   0h v  với mọi   , ;v C a b R (1.2.26) Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng dương. Chứng minh: Đặt             1 nÕu 0 s 2 nÕu <s<2 0 nÕu 2 s s s (1.2.27) Trước hết ta định nghĩa:        CQ y t y Q y t với hkn  ,t a b ,       Ch y y h y (1.2.28) và với hàm   , ;y C a b R cố định bất kỳ, ta xét bài tốn :                  , C u t y H y u t Q y t u a u b h y         (1.2.29) Vì H   ;abW   nên ta cĩ với mọi  0,1  , bài tốn (1.2.3) chỉ cĩ nghiệm tầm thường. Theo bổ đề 1.2.2 và (1.2.27) và do H   ;abW   nên bài tốn (1.2.29) cĩ duy nhất nghiệm. Hơn nữa do (1.2.25), (1.2.26) nên: ,     0u a u b  Do H   ;abW   nên   0u t  với  ,t a b . (1.2.30) Gọi  là tốn tử xác định như sau: với mỗi   , ;y C a b R ,  y là nghiệm của bài tốn (1.2.29). Theo (1.2.27) và (1.2.28), tồn tại   2 , ; q L a b R , 2M R  sao cho:     2Q v t q t với  ,t a b hkn,   , ;v C a b R (1.2.31)    2h v M  với   , ;v C a b R (1.2.32) Lấy   , ;y C a b R ,  u y  ta cĩ (1.2.30) và            ,t C a u t u a y H y u Q y d        với  ,t a b .            ,t C a u t u a y H y u Q y d                    1 ,1            t C a h y u b y H y u Q y d        ,1           t C a y H y u Q y d            , 0,C Cu t y H y u t y H u t                1 ,1             t C a y H y u Q y d h y u b        ,1            b C a y H y u Q y d        ,1           b C t y H y u Q y d        1 ,1          t C a y H y u Q y d                 ,1 1                  b C t y H y u Q y d h y u b u b u a        1 ,1          t C a y H y u Q y d              ,1 1            b C t y H y u Q y d h y h y        1 ,1          t C a y H y u Q y d              ,1 1            b C t y H y u Q y d h y h y           1 ,1 1              t C a h y y H y u Q y d        ,1           b C t y H y u Q y d với  ,t a b Từ (1.2.30) - (1.2.32) suy ra C u M (1.2.33) Trong đĩ   2 21 2 1,01 L LM M H q     . Vậy ta cĩ:            ,   t tC s s u t u s y H y u d Q y d      t s d    với s,  ,t a b (1.2.34) Trong đĩ     20, 1 2 1,0MH H q       . Vì vậy từ (1.2.33), (1.2.34) và theo bổ đề Arzela - Ascoli, tập   , ;C a b R là tập con compắc tương đối trong   , ;C a b R . Lấy   , , ;n oy y C a b R sao cho: 0lim 0n Cn y y   . Với mỗi 0,1,2,...n đặt  n nu y  , ta định nghĩa:              1 ,1 1             t n n n n nC a h y T v t y H y v Q y d        ,1           b n n nC t y H y v Q y d với  ,t a b Theo bổ đề 1.2.3 ta cĩ: 0lim ( , ) ( , ) 0n n n Ln H y u H y u   . Theo bổ đề 1.2.4 và do tính liên tục của ,Q, h nên ta cĩ : 0lim 0n Cn u u   . Do vậy  là tốn tử liên tục biến tập   , ;C a b R thành tập con compắc tương đối. Theo định lý điểm bất động Schauder, tồn tại   , ;u C a b R sao cho  u u  hay   , ;u C a b R và từ (1.2.29) ta cĩ          ,Cu t u H u u t Q u t     với hkn  ,t a b        Cu a u b u h u   Theo (1.2.27) và giả thiết của bổ đề ta cĩ C u  và u là nghiệm khơng dương của bài tốn (0.1), (0.2). Bổ đề đã được chứng minh. □ Chứng minh một cách tương tự, ta cĩ các bổ đề sau: Bổ đề 1.2.6 Cho H   ;abW   và giả sử tồn tại một số 0  sao cho với mọi  0,1  , và mọi hàm   , ;u C a b R thỏa:        ,    u t H u u t Q u t với hkn  ,t a b ,      u a u b h u   ta cĩ đánh giá (1.2.2). Hơn nữa , nếu    0Q v t  với hkn  ,t a b , với mọi   , ;v C a b R ,   0h v  với mọi   , ;v C a b R . Thì bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm. Bổ đề 1.2.7 Cho H   ; abV , c R và     , CQ v t q t v với hkn  ,t a b ,   , ; v C a b R (1.2.35)   h v c với   , ; v C a b R (1.2.36) Khi đĩ tồn tại một số 0  sao cho với mọi  0,1  và mọi hàm   , ;u C a b R thoả        ,    u t H u u t Q u t      u a u b h u   với mọi  0,1  Thì đánh giá (1.2.2) xảy ra. Chứng minh: Giả sử ngược lại tồn tại  0,1 n với 1,2,...n  và   , ; nu C a b R sao cho:        ,    n n n n nu t H u u t Q u t với hkn  ,t a b (1.2.37)      n n n nu a u b h u   (1.2.38) và n Cu n Khi đĩ, đặt    nn n C u t v t u  với  ,t a b , 1,2,...n  Ta cĩ 1n Cv  với 1,2,...n  Do H thuần nhất dương nên     nn n C u t v t u      1,      n n n nn CH v v t Q u tu (1.2.39) với  ,t a b hkn, 1,2,...n         nn n n n C v a v b h u u với 1,2,...n  (1.2.40) Do   , ;nv C a b R và định nghĩa tốn tử H ta cĩ      , 0, 0, 1n n nH v v H v H   và      1,0 0,0 0H H nên    1,0 0H Vậy      , 0, 1 1,0n nH v v H H    Tích phân hai vế của (1.2.39) và theo (1.2.35) ta cĩ:          0, 1 1,0tn n s v t v s H H d         1 ,t n C n sC q u d u    với  , ,s t a b , 1,2,...n  Theo định lý Lebesgue và do q thỏa (1.1) nên với mọi 0,  tồn tại 0  sao cho:      0, 1 1,0 2 t s H H d       với  , ,s t a b , s t    1 , 2 t n C n sC q u d u    với  , ,s t a b , s t   , 1,2,...n  Do đĩ ta cĩ:    n nv t v s   với  , ,s t a b , s t   , 1,2,...n  (1.2.41) Vậy theo định lý Ascoli dãy hàm   1n nv  bị chặn đều và đẳng liên tục. Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử tồn tại  0 0,1   và   0 , ; v C a b R sao cho: 0lim nn    và 0lim 0n Cn v v   Mặt khác do giả thiết  0,1 n với 1,2,...n  , abHH , ta cĩ:           0 0 0lim , ( ) , ( ) t t n n nn a a H v v d H v v d đều trên đoạn  ,a b (1.2.42)   1lim 0    t n nn na C Q u d u đều trên đoạn  ,a b (1.2.43)  lim 0 n nn n C h u u (1.2.44) Lấy tích phân của (1.2.39) từ a đến t ta cĩ          1,        t tn n n n n n n na a C v t v a H v v d Q u d u với  ,t a b , 1,2,...n  Cho n , từ (1.2.12), (1.2.40), (1.2.42) - (1.2.44) ta cĩ :       0 0 0 0 0,     t a v t v a H v v d với  ,t a b ,    0 0 0 v a v b (1.2.45) Mặt khác 0lim 0n Cn v v   mà 1n Cv suy ra 0 1Cv . Từ (1.2.45) và do  0,1  ta cĩ   0 , ; v C a b R và        0 0 0 0 0, ,0v t H v v H v với hkn  ,t a b    0 0 0 v a v b Vì H   ; abV nên ta cĩ  0 0v t  , suy ra 0 0v  . (Điều này mâu thuẫn với 0 1Cv ). Vậy bổ đề 1.2.6 được chứng minh. □ Chứng minh một cách tương tự ta cĩ bổ đề sau: Bổ đề 1.2.8 Cho H   ; abV , c R và nếu     , CQ v t q t v với hkn  ,t a b ,   , ; v C a b R   h v c với   , ; v C a b R Khi đĩ tồn tại một số 0  sao cho với mọi  0,1  và mọi hàm   , ; u C a b R thỏa:        ,u t H u u t Q u t   ,      u a u b h u   với mọi  0,1  , Thì đánh giá (1.2.2) xảy ra. Bổ đề 1.2.9 Giả sử  0,1  , abH H và  0,.H là tốn tử Volterra. Hơn nữa nếu   , ;C a b R thỏa:     0,   t H t với hkn  ,t a b (1.2.46)     0  a b (1.2.47) và     min : , 0t t a b   . (1.2.48) Thì tồn tại  * ,t a b và  * *,t a t sao cho:       * min : ,t t t a b   ,       * *max : , 0t t t a t    . (1.2.49) Chứng minh: Đặt     min : ,m t t a b       , :A t a b t m    * supt A Ta cĩ: 0m  ,  *t m   (1.2.50) và a A (1.2.51) Vì nếu a A thì   0  a m nên     0 a b  . Mâu thuẫn với(1.2.47) Ta sẽ chứng minh:     *max : , 0t t a t   . Giả sử    *0 ,t t a t  với . (1.2.52) Vì  0,.H là tốn tử Volterra, lấy tích phân của (1.2.46) từ a đến *t ta cĩ          * ** 0, 0,0 0         t t a a t a H s ds H s ds . Do  *t m   và theo bất đẳng thức cuối ta cĩ a A . Điều này mâu thuẫn với (1.2.51). Vậy bổ đề 1.2.9 được chứng minh. □ 1.3. Chứng minh các định lý Chứng minh định lý 1.1.1 Do giả thiết   ,abH V , c R sao cho với mọi   , ,v C a b R      , Cq t v Q v t với hkn  ,t a b và   c h v Nên theo bổ đề 1.2.7, tồn tại số 0  sao cho với mọi  0;1  và mọi hàm   , ;u C a b R thỏa (1.2.24), ta cĩ đánh giá (1.2.2). Mặt khác do     0Q v t với hkn  ,t a b ,    , ,v C a b R và    0h v với    , ,v C a b R . Cho nên theo bổ đề 1.2.5 bài tốn (0.1), (0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng dương. □ Chứng minh định lý 1.1.2: Do giả thiết   ,abH V , c R sao cho với mọi   , ,v C a b R      , CQ v t q t v với hầu khắp nơi  ,t a b và   h v c nên theo bổ đề 1.2.8 tồn tại số 0  sao cho với mọi  0;1  và mọi hàm   , ;u C a b R thỏa (1.2.24), ta cĩ đánh giá (1.2.2). Mặt khác do     0Q v t với hkn  ,t a b ,    , ,v C a b R , và    0h v với    , ,v C a b R Cho nên theo bổ đề 1.2.6 bài tốn (0.1),(0.2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm. □ Chứng minh định lý 1.1.3 : Ta giả sử  ,abH W   .Trường hợp  , abH W , ta chứng minh hồn tồn tương tự. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn (0.1), (0.2) ta chỉ cần chứng minh bài tốn :         , , 0    u t H u u t u a u b (1.3.1) chỉ cĩ nghiệm tầm thường với mọi  0,1  . Gọi u là nghiệm của bài tốn (1.3.1). Vì  ,abH W   theo bổ đề 1.2.2 tồn tại nghiệm  t của bài tốn :          _, , 0        t H u t a b . (1.3.2) Từ      _,0 0,0 0H u t H   với hkn  ,t a b , và                _, , _,            t H u u t H u u t u t H u u t với hkn  ,t a b , ( Do     , _,H u u H u u  ) Vì  ,abH W   nên :      0,   t t u t với  ,t a b (1.3.3) Do đĩ ta cĩ:     _     t u t với  ,t a b . (1.3.4) Áp dụng (1.3.4) và (1.3.3) vào (1.3.2) , ta cĩ :           , ,0 ,0         t H t H t H t . (1.3.5) Do    ,0 0,0 0  H H cùng với  ,abH V   ta cĩ:   0 t với  ,t a b . (1.3.6) Vì     t u t nên   0u t với  ,t a b . (1.3.7) Do đĩ           , ,0 ,0   u t H u u t H u t H u t  với hkn  ,t a b . Vì  , abH V nên   0u t với  ,t a b . (1.3.8) Từ (1.3.7) , (1.3.8) suy ra 0u  . Hơn nữa . Nếu (1.1.1) thỏa thì theo định lí 1, bài tốn (0.1) , (0.2) cĩ ít nhất 1 nghiệm khơng dương. . Nếu (1.1.2) thỏa , ta xét bài tốn sau :              , ,u t H u u t Q u t u a u b h u     . (1.3.9) Theo phần đầu của định lí, tồn tại nghiệm u của bài tốn (1.3.9) Vì cĩ (1.1.2) nên         , _,u t H u u t H u u t    với hkn  ,t a b (1.3.10)     0u a u b  (1.3.11) Theo bổ đề 1.2.2 và bao hàm  ,abH W   nên ta cĩ thể gọi  là nghiệm của bài tốn :      _,t H u t    ,     0a b   (1.3.12) Từ (1.3.10) , (1.3.12) ta cĩ :            _, _,t H u t u t H u u t       với hkn  ,t a b nên      0,   t t u t và     _t u t      Áp dụng vào (1.3.12) ta cĩ :        , ,0t H t H t      với  ,t a b hkn. và do  ,abH V   nên   0t và do đĩ   0u t . Vậy u là nghiệm khơng âm của bài tốn (0.1) , (0.2). □ Chương 2. VỀ CÁC TẬP  ,abV   ,  ,abV   ,  ,abW   ,  ,abW   VÀ CÁC KHẲNG ĐỊNH ĐỐI VỚI TỐN TỬ MAXIMA 2.1. Về các tập  ,abV   ,  ,abV   ,  ,abW   ,  ,abW   Mệnh đề 2.1.1 Cho abHH . Khi đĩ  ,abH V   nếu và chỉ nếu bài tốn:     ,0u t H u t    ,     0u a u b  (2.1.1) chỉ cĩ nghiệm khơng dương. Chứng minh  Giả sử  ,abH V   Gọi u là nghiệm của bài tốn:     ,0   u t H u t ,     0 u a u b Cần chứng minh:   0u t với mọi  ,t a b . Ta cĩ: – u là nghiệm của bài tốn (0.5):     ,0 u t H u t ,     0 u a u b do  ,abH V   nên   0 u t với  ,t a b hay   0u t với  ,t a b .  Giả sử bài tốn (2.1.1) chỉ cĩ nghiệm khơng dương. Gọi u là nghiệm của bài tốn (0.5) Đặt         1 u a u b v t u t      với  ,t a b . (2.1.2) Thì      ,0v t H v t      với hkn  ,t a b và        1 u a u b v a     ,       1 u a u b v b    nên:    v a v b        . Vậy  v  là nghiệm khơng âm của bài tốn (2.1.1). Do đĩ   0v   Nên ta cĩ   0u t với  ,t a b . Vậy  ,abH V   . Định lý 2.1.2 Cho abHH . Khi đĩ  ,abH V   nếu và chỉ nếu tồn tại       , ; 0,C a b thỏa :     ,0t H t     với  ,t a b hkn (2.1.3)     0a b   (2.1.4) Chứng minh  Giả sử tồn tại       , ; 0,C a b thỏa (2.1.3) và (2.1.4). Gọi u là nghiệm của bài tốn (0.5). Theo chứng minh trên, ta chỉ cần chứng minh u là nghiệm của bài tốn (2.1.1) hay   0u t với mọi  ,t a b (2.1.5) Giả sử ngược lại, tồn tại  0 ,t a b sao cho:  0 0u t  (2.1.6) Đặt     max : , u t t a b t           Ta cĩ 0  và     0t u t   với  ,t a b (2.1.7) Hơn nữa, tồn tại  * ,t a b sao cho:    * * 0t u t   (2.1.8) Ta cĩ     ,0 u t H u t hkn trên  ,a b ,     ,0    t H t hkn trên  ,a b , nên          ,0 ,0 0       t u t H t H u t với hkn  ,t a b . Từ bất đẳng thức cuối và theo (2.1.8) ta cĩ:     0a u a   (2.1.9) Mặt khác:    u a u b    a b  (do 0  ) nên        0 0b u b a u a       . Điều này vơ lí. Vậy   0u t với mọi  ,t a b .  Giả sử  ,abH V   . Ta cần chứng minh tồn tại     , ; 0,C a b   thỏa (2.1.3) và (2.1.4). Ta cĩ:    .,0 ,abH W   Theo định lý 1.1.1 tồn tại nghiệm khơng dương của bài tốn:     ,0 u t H u t ,     1  u a u b (2.1.10) Vì abHH và do (2.1.10) nên   0 u t với hầu hết  ,t a b và   0u a  . Suy ra :   0u t  với  ,t a b . Đặt    t u t   với  ,t a b Thì     , ._.