Bài tập Sức bền vật liệu (Tập 1) (Phần 2)

ủa mặt cắt F đối với 1 trục nào đó bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm của mặt cắt. Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt C(xC, yC) Tọa độ trọng tâm: S S y  x x  y C F C F Nếu diện tích F bao gồm tổng đại số của nhiều diện tích đơn giản F = Fi thì tọa độ trọng tâm của nó được xác định theo công thức. n n  Fxii  Fyii y  i1 x  i1 C F C F 1.2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang Ta gọi mômen quán tính của diện tích F đối với trục x hay y là các biểu thức tích phân sau đây: 104 2 2 Jx   y dF Jy   x dF F F Mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O được xác định bởi tích phân sau đây: 2 Jp  dF  J x  J y F Ở đây:  - Là khoảng cách từ gốc O tới điểm A(x,y). Mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy là biểu thức tích phân: Jxy   xydF F Một hệ trục có Jxy = 0 thì được gọi là hệ trục quán tính chính. Như vậy khi đó Jx và Jy gọi là mô men quán tính chính Hệ trục quán tính chính Oxy có gốc tọa độ O trùng với trọng tâm của mặt cắt (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Tương ứng ta có mô men quán tính chính trung tâm. Nếu mặt cắt mà có 1 trục là trục đối xứng thì trục đối xứng là 1 trục của hệ trục quán tính chính trung tâm. Trục quán tính chính trung tâm còn lại sẽ vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm C của mặt cắt. 2. Công thức tính mô men quán tính của một số mặt cắt ngang a) Hình chữ nhật b) Hình bình hành y O x x bh3 bh3 hb3 J  J  ; J  x 3 x 12 y 12 105 c) Hình tam giác d) Hình tròn y y O x C xC O x 4 4 3  D  D bh JJ ; J  ; J  xy p xC 36 64 32 e) Hình tròn rỗng f) Hình bán nguyệt y y C xC x O x O  D4 64 ; JxC 1 128 9 4 4  D  D 4 JJxy ; JJxy 1   128 64 4  D 4 J p 1   32 3. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính A(x,y) trong hệ trục Oxy. A(X,Y), O(a,b) trong hệ trục O1XY song bh3 song với hệ trục Oxy (Hình 4.2) khi đó ta có: J  x 12 106 2 JX J x 2 bS x  b F J J 2 aS  a2 F y Y y y Y JXY J xy  aS x  bS y  abF Nếu Oxy là hệ trục quán tính y A Y trung tâm (Sx = Sy = 0) dF 2 JXx J b F F b O x 2 x JYy J a F O X 1 JXY J xy abF a X Nếu Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) Hình 4.2 JXY  abF 4. Công thức xoay trục của mô men v y quán tính Ouv là vị trí sau khi hệ trục Oxy y A đã xoay đi 1 góc  (Hình 4.3) dF F JJJJ u JJx y  x y cos2  sin2 u22 xy O  x x Hình 4.3 JJJJ JJx y  x y cos2  sin2 u22 xy JJ JJxysin2 cos2 uv2 xy Giá trị của các mô men quán tính chính và phương của các trục chính: 2 JJxy 1 2 JJJJmax   x  y  4 xy 22 107 2 JJxy 1 2 JJJJmin   x  y  4 xy 22 J xy t g1/2  JJx  max min II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc ban đầu Oxy. Chia mặt cắt hình thang làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác). Gọi tọa độ trọng tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Hình 4.1 Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: SSSI II FI x I F II x II x y  y y  CC C FFFFFI II I II 14a 4a .6 a .2 a 4 a .6 a . 4 a 2328 x  a  3,111 a C 1 4a .6 a 4 a .6 a 9 y 2 SSSI II FI y I F II y II y x  x x  CC C FFFFFI II I II I II 1 4a .6 a .3 a 4 a .6 a .2 a 8 y2  a  2,666 a C 1 z 4a .6 a 4 a .6 a 3 2 O Vậy tọa độ trọng tâm C(3,111a, 2,666a) 108 Bài 4.2. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy. Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật to) và II (Hình chữ nhật bị khoét). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC). Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Hình 4.2 SSSI II FI x I F II x II x y  y y  CC C FFFFFI II I II y 3a 4a .6 a .2 a 3 a .4 a . a 2 I xa1,5 C 4a .6 a 3 a .4 a SSSI II FI y I F II y II y x  x x  CC II C FFFFFI II I II 4a .6 a .3 a 3 a .4 a .2 a x ya4 C 4a .6 a 3 a .4 a O Vậy tọa độ trọng tâm C(1,5a, 4a) Bài 4.3. Xác định vị trí trọng tâm và tính mô men quán tính đối với X trục trung tâm song song với cạnh x đáy của hình thang cân trên Hình 4.3a Hình 4.3 Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ 109 Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật giữa), II (Hình tam giác bên trái) và III (Hình tam giác bên phải). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên y  xC = 0 Tung độ trọng tâm C của I III hình được tính theo công thức II sau: C1 X I II III C SSSS C2 y x x x x x C FFFFI II III O FI y I F II y II F III y III y  CCC C FFFI II III 1 1b b 1 b b b...... b b b b 4 Vậy tọa độ trọng tâm C(0, 4 ) yb2 2 2 3 2 2 3 b C 11bb 9 b... b b b 9 2 2 2 2 Tính mô men quán tính chính trung tâm JX: I II III I II JJJJJJXXXXXX     2 Sử dụng công thức chuyển trục song song để tính các mô men quán tính I và II J X J X 3 2 III24b. b b 4 b 7 JXx J11  b F    b. b  b 12 2 9 81 b 3 .b 2 II II24 II 4b b 1 b 11 2 JXx J22  b F   . b  b 36 9 3 2 2 648 7 11 13 J JI 2 J II  b4  2. b 4  b 4 XXX 81 648 108 Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 110 Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ. Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật dưới), II (Hình chữ nhật trên). Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên xC = 0 Hình 4.4 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm. Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: SSSI II FI.. y I F II y II y x  x x  CC C FFFFFI II I II 0b .8 b .( b 4 b ) yb2 C 6b .2 b b .8 b Như vậy ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,2b).  Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY. Tính mô men quán tính chính trung tâm: JX, JY 2b .(6 b )33 8 b . b 110 J JI  J II    b4 YYY 12 12 3 I II JJJXXX Áp dụng công thức chuyển trục song song: 6bb .(2 )3 JIII J  b2 F  (2 b ) 2 .6 b .2 b  52 b 4 Xx11 12 111 bb.(8 )3 344 JII J II  b2 F II  (3 b ) 2 . b .8 b  b 4 Xx22 12 3 344 500 J JI  J II 52 b4  b 4  b 4 XXX 33 Bài 4.5. Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật trên), II (Hình chữ nhật dưới bên trái) và III (Hình chữ nhật dưới bên phải) Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên xC = 0 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm Hình 4.5 Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: S y  x y y=Y C F 2 Mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục x. x S SI  S II  S III  F I y I  F II y II  F III y III x x x x C CI C O X 3 C Sx 0  a .10 a .(  6 a )  a .10 a .(  6 a )   120 a x2 C2 Diện tích của mặt cắt ngang: II III F FI  F II  F III 6 a .2 a  a .10 a  a .10 a 112 Fa 32 2 120a3 ya3,75 C 32a2 Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,-3,75a) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm là XCY Tính mô men quán tính chính trung tâm JX, JY I II III I II JJJJJJYYYYYY     2 2aa .(6 )3 JaI 36 4 Y 12 3 2 II II24 II 10aa . 3 70 JYy J22  a F   a. a .10 a  a 12 2 3 70 248 J JI 2 J II  36 a4  2. a 4  a 4 YYY 33 Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính J I và J II JJJJJJI  II  III  I X 2 II X 3 XXXXXX 6aa .(2 ) 2 JIII J  b24 F  3,75 a 6 a .2 a  172,75 a Xx11 12 ab.(10 )3 3215 JII J II  b2 F II  (2,25 a ) 2 . a .10 a  a 4 Xx22 12 24 3215 J JI 2 J II  172,75 a44  2. a XXX 24 y y 1322 o J a44440,666 a X 3 x Bài 4.6. Cho mặt cắt gồm 2 thép chữ I O No24, hãy xác đinh khoảng cách c giữa 2 I II mặt cắt để có Jx = Jy (Mặt cắt hợp lý). Do mặt cắt có 2 trục Ox và Oy đều là các trục đối xứng của mặt cắt. Hình 4.6 Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 113 Ta chia mặt cắt làm 2 phần là I và II. Mô men quán tính chính trung tâm Jx và Jy: I II I JJJJx x  x  2 x J 2.3460 6920 cm4  x I II I (Do 2 phần đối xứng nhau qua trục y) JJJJy y  y  2 y Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có 2 III2 c Jyy J0  a F 198   .34,8 2 2 c 4  cm Jy 2. 198 .34,8 2 Do mặt cắp hợp lý ta có Jx = Jy 2 c 2. 198 .34,8 6920 2 Giải phương trình ta tìm được c = 19,36 cm. Bài 4.7. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình. Chọn Shệ trục tọa độ ban đầu Oxy y  x ChiaC mặtF cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ nhật dưới) và II ( Nửa hình tròn phía trên) Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC) Do Oy là trục đối xứng nên xC = 0 Hình 4.7 Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: Mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục x. 114 I II I I II II Sx S x  S x  F y C  F y C 142 r cm Srx 0  .  20  9315 23 Diện tích của mặt cắt ngang: 11 F FI  F II 12.40  . r 22  12.40  .15 22 F  833,25 cm2 S 9315 y x  11,179 cm C F 833,25 Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0;11,179) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm là XCY y Tính mô men quán tính chính trung II tâm JX, JY 34 I II 40.12 1  d I II X JJJ    J X J X YYY 12 2 64 C x 40.1234 1 (2.15) J . O I Y 12 2 64 4 JY  25630,3125 cm I II JJJXXX Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính và 3  12.(40) 2 JIII J  b2 F   11,179 .12.40 Xx11 12 I 4 JX 123985,62 cm II II2 II JXx J22 b F 422 2 4 2 II 1d 4 r   r 1  (2 r )  4 r   r Jx 2        2 64 3  2 2 64  3  2 1 (2r )4 4 r22  r 2 4 r  r 2 II     Jx      20  11,179  2 64 3  2  3  2 115 1 (2.15)4 4.1522  15 2 4.15  .15 2 II     Jx      20  11,179  2 64 3  2  3  2 II 4 cm Jx  87051,21 I II 4 cm JJJXXX  123985,62  87051,21  211036,83 Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép sau đây Tra bảng thép hình ta được: y=y1 Y y2 Đối với mặt cắt [No22a II I 2 100x100x10 cm , F  28,6 xO1  2,47 x2 cm O2 I 4 I X cm , Jx1  2320 Jy1 186 C cm4 x=x1 Đối với mặt cắt 100x100x10 O=O1 II 2 cm , F 19,2 yO2  2,83 cm o II II 4 N 24a cm JJmxax 0 284 II II 4 I cm JJminy 0 74,1 II II 4 cm Hình 4.8 JJxy22179 Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt Chia mặt cắt làm 2 phần là I (Thép chữ [No22a) và II (Thép góc đều 100x100x10) Chọn hệ trục x1O1y1 làm gốc ban đầu, đối với hệ trục này II SSxy110 II II II cm3 SxC1  F. y  19,2. 11  2,83  157 II II II 3 cm SyC1  F. x  19,2. 2,46  2,83  102 Vậy trong hệ trục tọa độ gốc ban đầu tọa độ trọng tâm C 116 SSSI II 0 157 y x1  x 1 x 1   3,28 cm C F FFI II 28,6 19,2 SSSI II 0 102 x y1  y 1 y 1   2,13 cm C F FFI II 28,6 19,2 Tọa độ trọng tâm C(2,13;3,28) Từ đó ta xác định được hệ trục trung tâm XCY của mặt cắt như trên hình vẽ. Trong hệ trục tọa độ này trọng tâm O1 của hình I là: a1 = XO1 = -2,13 cm b1 = YO1 = -3,28 cm Trọng tâm O2 của hình II là: a2 = XO2 = 3,17 cm b2 = YO2 = 4,89 cm Xác định mô men quán tính JX, JY của mặt cắt đối với hệ trục trung tâm. III22 4 cm JXx J11  b F 2320  3,28 .28,6  2627,69 II II22 II 4 cm JXx J22  b F 179  4,89 .19,2  638,11 I II 4 JJJXXX   2627,69  638,11  3265,8 cm I II JJJXXXI II JJJYYY III22 4 cm JYy J11  a F 186  2,13 .28,6  315,75 II II22 II 4 cm JYy J22  a F 179  3,17 .19,2  317,93 I II 4 JJJYYY  315,75  317,93  633,68 cm J JI  J II  J I  abFJ I  II  abF II XY XY XY x1 y 11 1 x 2 y 2 2 2 J0  a b FI  J II  a b F II  602,5 cm4 XY1 1 x2 y 2 2 2 Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục nhận được khi quay hệ trục trung tâm đi một góc o: 117 2J XY 2.602,5 tg20     0,4578 JJYX633,68 3265,8 0 0 o1 = -12 30'; o2 = -102 30' Xác định mô men quán tính chính trung tâm: JJ 1 2 JJJJXY    4 2 1,2 22X Y XY JJ 1 2 4 JJJJJ XY   42  3407 cm 1 max 22X Y XY JJ 1 2 4 JJJJJ XY   42  547,5 cm 2 min 22X Y XY III. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như trên hình vẽ: (a) (b) Hướng dẫn: a) Chia mặt cắt làm 3 hình I, II và III Sử dụng công thức tính tọa độ trong tâm: 11 2 FFFFI  II  III 6.3  6.6  6.9  72 cm 22 I II III I I II II III III Sx S x  S x  S x  F y C  F y C  F y C 118 11 3 S 6.3.7  6.6.3  6.9.6  333 cm x 22 S 333 y x   4,625 cm C F 72 11 3 S 6.3.4  6.6.3  6.9.8  360 cm y 22 S 360 x y   5 cm C F 72 b) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình vuông) và II (1/4 hình tròn) Do mặt cắt đối xứng: S yxx CCF 6a2 F FI  F II 6 a .6 a  4 3 2 6a S SI  S II 6 a 3 a   36 a3 x x x 3 36a3 y x   4,651 a CC 6a2 6aa .6  4 Bài 4.2. Xác định vị trí trọng tâm của các mặt cắt cho trên hình vẽ: 119 (a) (b) Hướng dẫn: a) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác) Do mặt cắt đối xứng: xC 0 1 F FI  F II 4 a .8 a  2 a .3 a  29 a2 2 1 S SI  S II 4 a .8 a .4 a  2 a .3 a .5 a  113 a3 x x x 2 S 113a3 yax   3,896 C Fa29 2 b) Chia mặt cắt làm 3 hình I (Hình chữ nhật), II (Hình tam giác) và III (Nửa hình tròn) Do mặt cắt đối xứng: I II III 1122 F F  F  F 4 a .8 a  2 a .4 a  a  28  a 2 2 2 I II 1 2 123 4a SSSaaaaaax x  x 4 .8 .4  2 .4 . 6  .2 a  a .  98 a 2 3 2 3 120 3 Sx 98a yaC    3,708 F  2 28  a 2 Bài 4.3. Xác định mô men quán tính chính trung tâm của các hình dưới đây: (a) (b) Hướng dẫn: a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. 3 3 2aa . 3  2aa . 13 4 J JI  J II    a4  526,5 cm x x x 12 12 2 33 3a . 2 a a . 2 a 4 4 J JI  J II    a4  108 cm y y y 12 12 3 a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. 4 3  4a 2.aa 4 J JI  J II   12,226 a4  990,36 cm x x x 64 12 43  4a a . 2 a 4 J JI  J II   11,893 a4  963,36 cm y y y 64 12 121 Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. (a) (b) Hướng dẫn: a) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: SSSI II y x x x C FFFI II 0 6.14.2 y   1,272 cm C 12.18 6.14 Trọng tâm C(0,-1,272)  Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 33 18.12 14.6 4 JJJI  II    2340 cm YYY 12 12 I II JJJXXX 12.183 JIII J  b22 F  1,272 .12.18  6181,484 Xx11 12 6.143 JII J II  b22 F II  3,272 .6.14  2271,302 Xx22 12 I II 4 JJJXXX   3910,182 cm 122 b) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau: SSSI II y x x x C FFFI II 0 10.30.25 y 9,615 cm C 12.40 10.30 Trọng tâm mặt cắt C(0,9,615) Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 33 40.12 10.30 4 JJJI  II    28260 cm YYY 12 12 I II JJJXXX 12.403 JIII J  b22 F  9,615 .12.40  108375,148 Xx11 12 30.103 JII J II  b22 F II  15,385 .30.10  73509,467 Xx22 12 I II 4 JJJXXX  108375,148  73509,467  181884,615 cm Bài 4.5. Tính trọng tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. SSSI II y x x x C FFFI II Hướng dẫn: Trọng tâm C của mặt cắt: xC  0 123 0 5 . r 2 1570,8 y   1,67 cm C Rr22 942,5 Trọng tâm C(0,1,67) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 44 ..Rr 4 JJJI  II    117810 cm YYY 44 .R4 JIII J  b2 F  1,67 2 . . R 2 Xx11 4 4  r 2 JII J II  b22 F II  1,67  5 . r Xx22 4 I II 4 cm JJJXXX  107400 Bài 4.6. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. (a) I II (b) JJJXXX Hướng dẫn: Tọa độ trọng tâm C của mặt cắt: yC  0 SSSI II x y y y C FFFI II 124 0 6.10.6 y   0,967 cm C 18.24 6.10 Trọng tâm C(-0,967;0) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 44 24.18 6.10 4 JJJI  II    204952 cm XXX 12 12 I II JJJYYY 4 18.24 2 JIII J  a2 F  0,967 .18.24  498067,96 Yy11 12 4 10.6 2 JII J II  a2 F II  0,967  6 .10.6  3992,34 Yy22 12 I II 4 cm JJJYYY   494075,62 b) Trọng tâm của mặt cắt xC  0 S y  x C F FFFFI  II  III 6.1  0,6.6  1.3  12,6 cm2 Sx 6.1.  3,5  0  3.1.3,5   10,5 S 10,5 5 y x    cm C F 12,6 6 5 Trọng tâm mặt cắt C(0;  ) 6 Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 3 3 3 1.6 6.0,6 1.3 4 JJJJI  II  III     20,358 cm YYYY 12 12 12 I II III JJJJXXXX   3 2 I 6.1 5 259 JX  3,5  .6.1  12 6 6 125 3 2 II 0,6.6 5 JX  .0,6.6  13,3 12 6 3 2 III 3.1 5 679 JX  3,5  .3.1  12 6 12 I II III 4 cm JJJJXXXX   113,05 Bài 4.7. Tính khoảng cách c của 2 mặt cắt gồm 2 thép chữ [số hiệu 30 được bố trí như ở hình vẽ để có Jx = Jy. (a) (b) Hướng dẫn: a) Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm I 4 JJxx2. 2.5810 cm c 2 III2  Jy2. J y  2 J y11  a F   2 327   2,52 40,5 2 cm JJxy c 18,23 b) Ox và Oy là hai trục đối xứng  Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm cm4 c 2 III2  Jy2. J y  2 J y11  a F   2 327   2,52 40,5 2 126 c 28,31 cm Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi 2 thép chữ I No24 bố trí như hình vẽ. H.1 H.2 Hướng dẫn: a) Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm I 4 JJxx2.  2.3460  6920 cm III22 Jy2. J y  2 J y11  a F   2 198  12 .34,8 4 cm Jy 10418,4 b) Ox và Oy là hai trục đốiJJxy  xứng Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt  I 4 cm JJyy2  2.198  396 hc2 IIIII2  Jx2. J x  2 J x1  a 1 F  2 J x 1   F 22 127 4 Jx  22580 cm Bài 4.9. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép như hình vẽ. a) : Thép I số hiệu 24 b) : Thép [ số hiệu 24 (a) (b) Hướng dẫn: a) Tọa độ trọng tâm của mặt cắt: xC  0 FFFFI  II  III 34,8.2  5.23  184,6 cm2 I II III 24 3 cm SSSSx x  x  x 2.0  5.23.  2,5   1667,5 2 S 1667,5 y x   9,033 cm C F 184,6 Trọng tâm C(0;-9,033) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 3 b 2 5. 2b I III I I JJJJFY2. Y  Y  2 y1  .  2 12 4 JY  7766,73 cm 128 3 2 I III I2 I 2b .5 24 JX2 J X  J X  2 J x11  b . F    2,5  9,033 .2 b .5 12 2 4 JX 16275,73 cm b) Tọa độ trọng tâm của mặt cắt: FFFFI  II  III 30,6.2  5.25  186,2 cm2 I II III 24 3 cm SSSSx x  x  x 2.0  5.25.  2,5   1812,5 2 S 1812,5 y x   9,734 cm C F 186,2 Trọng tâm C(0;-9,734) Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY 252 5.253 I III I I JY2. J Y  J Y  2 J y10   z . F  2 12 4 JY 13144,728 cm xC  0 3 I III I22 I 25.5 JX2 J X  J X  2 J x1  b 1 . F   b 2 .5.25 12 4 JX 14698,5 cm Bài 4.10. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi 2 thép chữ [ số hiệu 20 như hình vẽ. 129 Hướng dẫn: a) Ox và Oy là hai trục đối xứng Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt 3 I II I2 I 5.20 Jy2 J y  2 J y  2 J y11  a F   2 12 202 5.203  Jy 2 113   2,07 .23,4  2  9835,68 2 12 4 cm Jy  9835,68 3 20.5 2 I II JJJx2 x  2 x  2.1520  2  10  2,5 .20.5 12 4 Jx  34706,66 cm Bài 4.11. Xác định các mô men quán tính chính trung tâm và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. Biết a = 10 cm  130 Đáp số: 4 4 4 cm ; cm4 ;  = -29º ;  = 61º Jmax  38,64.10 Jmin 10,4.10 1 2 Bài 4.12. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt cho như hình vẽ. Hướng dẫn: Mô men quán tính trung tâm: Jx, Jy, Jxy I II III 4 JJJJx x  x  x  214,5 cm I II III 4 cm JJJJy y  y  y  62,34 I II III 4 cm JJJJxy xy  xy  xy  90,1 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm: 2J tg2  xy  1,189 JJxy 131 o 1  24 55' o  2  114 55' Mô men quán tính chính trung tâm 2 JJxy 1 2 4 cm JJJJmax   x  y 4 xy  252 22 2 JJxy 1 2 4 cm JJJJmin   x  y 4 xy  25 22 Bài 4.13. Một thanh ghép gồm 2 thanh định hình như trên hình. Xác định mô men quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm. (b) (a) Đáp số: 4 4 a) Jmax  1679 cm ; Jmin  257 cm ; 1 = 8º57’ ; 2 = 98º57’ 4 4 b) Jmax  7698 cm ; Jmin  3098 cm ; 1 = -33º38’ ; 2 = 56º52’ Bài 4.14. Một thanh ghép gồm 2 thanh định hình có mặt cắt ngang như trên hình.. Xác định mô men quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm. 132 Hướng dẫn: Xác định trọng tâm mặt cắt S S y x 2,15 cm ; x y 0 cm C F C F Mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm 4 Jx  3055 cm 4 cm Jy  670 4 cm Jxy 566 Phương của hệ trục quán tính chính 2J tg2  xy  0,475 JJxy oo 1212 42'; 102 42' Mô men quán tính chính trung tâm 2 JJxy 1 2 4 cm JJJJmax   x  y 4 xy  3183 22 2 JJxy 1 2 4 cm JJJJmin   x  y 4 xy  543 22 133 CHƯƠNG 5: THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TUÝ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm cơ bản a- Khái niệm thanh chịu xoắn thuần tuý: là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz. b- Ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang: M z   J p Trong đó: JP : Mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang.  : Khoảng cách từ điểm cần tính ứng suất đến trọng tâm mặt cắt. c- Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Căn cứ vào biểu thức tính ứng suất trên ta biểu diễn quy luật phân bố của ứng suất tiếp trên 1 mặt cắt ngang bằng biểu đồ gọi là biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt như hình vẽ. Mz   O max 134 d- Ứng suất tiếp lớn nhất trên một mặt cắt ngang: MM zz  max max JWpp J ở đây W  P được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang p R - Với mặt cắt tròn đặc đường kính D thì: J  D3 W p p D/ 2 16 - Với mặt cắt tròn rỗng đường kính ngoài D và hệ số rỗng  thì: 3  D 4 Wp 1   16 e- Biến dạng xoắn  : Mz   GJ p Trong đó: - Tích số GJp được gọi là độ cứng chống xoắn  D4 - Với mặt cắt tròn đặc đường kính là D : J  P 32 - Với mặt cắt hình vành khăn (tròn rỗng) đường kính ngoài là D, đường kính trong là d thì: 4 4 4 4 D  d  D d JP   1   32 32 32 D d Tỉ số  gọi là hệ số rỗng của mặt cắt ta được: D  D4 4 JP 1   32 4 và  D 4 JJxy 1   64 f- Góc xoắn tương đối giữa hai đầu thanh  Thanh có n đoạn, trên mỗi đoạn Mz, GJp biến thiên liên tục 135 n li M   z dz    i1 GJ p li1 i * Trường hợp riêng: Thanh có nhiều đoạn, trên mỗi đoạn Mz, GJp là hằng số n M z .l   ( )i i1 GJ p h. Tính toán lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn * Các thông số của một lò xo Trên hình vẽ là một lò xo xoắn ốc hình trụ. Lò xo này có các đặc trưng sau: - D là đường kính trung bình của lò xo - d là đường kính của dây lò xo - h là bước của lò xo - n là số vòng dây làm việc của lò xo Ở đây ta chỉ xem xét một lò xo bước ngắn, tức là h < 2d * Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang dây lò xo 136 8PD   max d 3 Công thức trên đã bỏ qua độ cong của dây lò xo. Với cách tính chính xác hơn, có tính đến độ cong và nghiêng vòng của dây lò xo, thì công thức max sẽ là: 8PD   k (4-23) max d 3 Trong đó k là hệ số điều chỉnh tính theo công thức: D  0,25 k  d D 1 d - Độ co dãn ( độ lún ) của lò xo :  8PD3 n   Gd 4 Ta gọi trị số của lực tác dụnglàm lò xo co hay dãn ra một đơn vị là độ cứng của lò xo và ký hiệu là C thì: P Gd 4 C  (4-26)  8Dn3 i ) Điều kiện bền : P Mz max    max W p max Trong đó : max   max Ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh [] Ứng suất tiếp cho phép có hai cách xác định: * Bằng thực nghiệm 0  o là ứng suất tiếp nguy hiểm xác định từ thí nghiệm n 137 * Xác định dựa vào các lý thuyết bền: ta tách ra khỏi trục một phân tố nguy hiểm, có   max phân tố này thuộc trạng thái trượt thuần tuý. Phân tố này có: 1 =   max 2 = 0 3 = -  max   Theo thuyết bền số (3):    t3 2   Theo thuyết bền số (4):  t 4  3 Theo thuyết bền Mo:      k tMO 1   trong đó   k (c)   n j- Điều kiện cứng Theo từng điều kiện cụ thể mà điều kiện cứng có thể là một trong các điều kiện sau : M z max   GJ p max n li M z dz AB  AB  i1 GJ 0 p i k  z < [] k Trong đó  (z) là chuyển vị của mặt cắt K nào đó 138 II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU: Ví dụ 1: Một trục tròn chịu xoắn như hình vẽ. (2) (1) (1) (2) d = 10 (cm) 0,7 m 1,5 m (1) (1) (2) (2) Yêu cầu: a) Vẽ biểu đồ nội lực cho trục. b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên trục. c) Xác định gó xoắn tại đầu tự do biết G = 8.103 (KN/cm2). d) Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại đầu tự do. Bài giải a) Vẽ biểu đồ nội lực. - Chọn hệ trục oxyz như hình vẽ. - Sử dụng phương pháp mặt cắt ta có: OA ( O ≤ z ≤ 7m  Mzz M1  M 1  m.0 AB  M 2  Mz1  M 2  M 1  m. AB  200  300  100.1,5   250 N . m AB(0,7 m z 2,2 m )  Mzz M22  m.( OB  z )  M  0 Mz22  M  m.( OB  z )   100.(2,2  z )  200 139 Mzz2 100  20 bậc nhất - Tại z0,7 m  Mz2  50 N . m - Tại z2,2 m  Mz2  200 N . m b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên trục - Vì thanh có tiết diện không thay đổi nên mặt cắt có ứng suất lớn nhất sẽ là mặt cắt có trị số tuyệt đối momen xoắn lớn nhất. - Từ biểu đồ momen xoắn Mz ta thấy mặt cắt có momen xoắn là mặt cắt có Mz maxlà các mặt cắt thuộc đoạn OA, có Mz max = -250 N.m= -25 KN.cm - Vậy ta có ứng suất lớn nhất: MMMz max z m ax16 z m ax 16.25 KN       0,13  max 3 3 3 3 WP .d  .d .10  cm  16 c) Xác định góc xoắn tại đầu tự do (điểm B) - Theo hình vẽ ta có: M.. OA2,2 M dz       zz12  B OB OA AB  GJGJ..0,7 44 d .10 4 J    981,3( cm ) 32 32 25.70    2,23.104 (rad ) OA 8.103 .981,3 2,2 (100z 20). dz 1242,2 1875  AB  (50z  20 z )   2,39.10 ( rad )  0,7 3 0,7 GJGJ. . 8.10 .981,3 4  4  4 - Vậy B  2,23.10  2,39.10  0,16.10 (rad ) d) Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại đầu tự do (tại B). - Tại B ta có : Mz=200N.m dương nên   theo chiều kim đồng hồ - Giá trị ứng suất lớn nhất trên mặt cắt tại B là: ()B ()B M z 20.16 KN   max  32  0,102 W  .10 cm 140 => Ta có biểu đồ phân bố ứng suất nhự hình vẽ: 2 max=0,102 (kN/cm ) Ví dụ 2: Cho trục chịu xoắn như hình vẽ a) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiên cứng cho trục biết M=1,5KN.m; D=10cm; d=6cm; [τ]=80 MN/m2; [θ]=1,2 (o/m); G=8.104 MN/m2 b) Xác định tải trọng cho phép cho trục 4M (2) 5M M (3) (1) D d z d C B A O (3) (1) (2) x 3a 3a 2a 4M 5M M M Z1 (1) (1) M 4M MZ2 (2) (2) M M Z1 (3) (3) 2M M MZ 3M y 141 a) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng cho trục * Vẽ biểu đồ nội lực Mz - Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ - Sử dụng phương pháp mặt cắt: OA(0 z  2 a ) : mz  M z11  5 M  4 M  M  0  M z  2 M AB(2 a z  5 a ) : mz  M z22  4 M  M  0  M z   3 M BC(8 a z  8 a ) : mz  M z33  M  0  M z  M => Ta vẽ được biểu đồ Mz ∗Xác định mặt cắt ngang nguy hiểm ( Mặt cắt có   max ) - Vì tiết diện và nội lực trong mỗi đoạn thanh không thay đổi nên ta có: M z1 2M 32 M 32.150  KN OA: (1)      7,1  max 3 3 3 3 W1 .d  .d .6  cm  16 M z 2 3M  48 M  48.150  KN AB : (2)       2,3  max 3 3 3 3 W 2 .D  .D .10  cm  16 M z3 M16 M 16.150  KN BC : (3)      3,54  max 3 3 3 3 W 3 .d  .d .6  cm  16 KN KN - So sánh ta có : (1)     mmax  ax 7,122      8   cm