Bài giảng Vật Lý đại cương - Chương 3: Động học và động lực học vật rắn - Trần Ngọc

âm của hệ chất điểm là điểm G thỏa mãn:Khối tâm của VR là G, thỏa: Gm1m3m2M1M2M3Trong đó: M: là vị trí của yếu tố khối lượng dm dm = dV = dS = dl1 - Định nghĩa:MGĐặc điểm của G: Đặc trưng cho hệ; là điểm rút gọn của hệ. Nằm trên các yếu tố đối xứng.Phân biệt khối tâm và trọng tâm: Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực Trên thực tế G trùng với trọng tâm3.1 – KHỐI TÂM 1 - Định nghĩa:2 - Xác Định Khối Tâm G: Thực hành: - Tìm giao của các trục đx. - Dùng quả rọi.Lý thuyết: PP toạ độ.m1m3m2GO3.1 – KHỐI TÂM Tọa độ khối tâm của hệ chất điểm – vật rắn:(x,y,z) là tọa độ của phần tử dm(xi ,yi ,zi) là tọa độ của chất điểm thứ i3.1 – KHỐI TÂM (xG,yG,zG) là tọa độ của khối tâm G Ba chất điểm m1 = 2mo; m2 = 3mo ; m3 = 3mo đặt tại ba đỉnh A,B,C của tam giác đều cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Cần phải tăng hay giảm khối lượng của vật m1 đi bao nhiêu để G trùng với trọng tâm tam giác ABC?m1m2m3CBOxAVí dụ 1:3.1 – KHỐI TÂM m1m2m3CBOxABài giải ví dụ 1:3.1 – KHỐI TÂM aGĐể G trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì m1 = m2 = m3Vậy phải tăng khối lượng m1 thêm m = m0 Xác định khối tâm của khối hình nón đồng nhất, có đường cao h. ?GhxORrdxVí dụ 2:3.1 – KHỐI TÂM Giải ví dụ 2:3.1 – KHỐI TÂM ?GhxOdxRrMà:Nên: Xác định vị trí khối tâm của thước dẹt đồng chất có dạng hình bên. Áp dụng số: a = 10cm; b = 50cm.aabbVí dụ 3 (Bài tập B3.4):3.1 – KHỐI TÂM aabbGiải ví dụ 3:3.1 – KHỐI TÂM O1GO2Vậy G cách chân thước một khoảng:Với a = 10cm, b = 50cm thì xG = 40cm.OxMột đĩa tròn đồng nhất bán kính R, bị khoét một lỗ cũng có dạng hình tròn bán kính r. Tâm của phần khoét cách tâm đĩa một khoảng d. Xác định G của phần còn lại. Xét trường hợp: r = d = R/2.Hỏi tương tự đối với khối cầu đặc đồng chất.dRrVí dụ 4 (Bài tập B3.5):3.1 – KHỐI TÂM dRrGiải ví dụ 4:3.1 – KHỐI TÂM xGOO’Chọn trục Ox như hình vẽ. Gọi m là khối lượng ban đầu, m1 là khối lượng bị khoét và m2 là khối lượng phần còn lại.Lúc chưa khoét thì:Giải ví dụ 4:3.1 – KHỐI TÂM dRrxGOO’Vậy:(dấu trừ chứng tỏ G nằm ngược phía với lỗ khoét)r = d =R/2Với khối cầu bị khoét, tương tự, ta có:r = d = R/2BÀI TẬP B3.2Oxy2a2aHình 3.33 a aMột tấm gỗ phẳng, đồng chất, hình vuông, cạnh 2a, bị cắt một góc hình vuông cạnh a như hình 3.33. Xác định tọa độ khối tâm G của phần còn lại của tấm gỗ theo a. Đs: G(5a/6; 7a/6)3 – Chuyển động của khối tâm G: Vận tốc của G: Gia tốc của G:3.1 – KHỐI TÂM (m là k/lượng của hệ)Kết luận: Khối tâm G chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của toàn hệ.3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR Khi VR tịnh tiến, mọi điểm trên VR đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc. Ch.động của VR được qui về cđ của G1) VR tịnh tiến:2 – Quay quanh trục cố định :Mọi điểm trên VR đều vạch ra các đường tròn đồng trục với cùng vận tốc góc .Vận tốc dài của một điểm bất kì là: 3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRTại một thời điểm, mọi điểm trên VR đều có cùng vận tốc góc , gia tốc góc  và góc quay .3.2.1. Chuyển động quay VRTa có:Chỉ thành phần lực Ft gây ra chuyển động quay đối với trục .Momen lực:Hình 3.6: Phân tích lực3.2.2. Phương trình ch. động quay VRChứng minh:Lấy tổng:Kết quả: I - momen quán tính VÍ DỤ: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối trụ I và bánh xe II. Bán kính khối trụ và bánh xe là r1 = 30cm và r2 = 75cm. Bánh xe bắt đầu quay với gia tốc góc 0,4 rad/s2. Hỏi sau bao lâu, khối trụ I sẽ quay với vận tốc 300 vòng/phút? (dây cuaroa không trượt trên khối trụ và bánh xe). Giải3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRVì các điểm tiếp xúc với dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài, nên v1 = v2 , hay 1r1 = 2r2 r1r2r1r23.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRDo đó:Vậy:3 – Phức tạp :Phân tích cđ phức tạp thành 2 cđ đồng thời: Tịnh tiến của G. Quay quanh trục qua G.Tổng quát: nếu chọn điểm N trên VR là điểm cơ bản thì: 3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRDo đó vận tốc của điểm M bất kì trên vật rắn là: Ví dụ:Bánh xe bán kính R lăn không trượt trên đường ngang với vận tốc vo. Xác định :a) vận tốc của các điểm A, B, C, D.b) Qũi đạo của điểm M bất kì trên vành bánh xe và quãng đường nó đi được sau 2 lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường.OCDBA3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRVận tốc của điểm C:OCDBA3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRVận tốc của điểm A:OCDBA3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRVận tốc của điểm D:OCDBA3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRVận tốc – qũi đạo của điểm M:MADGyOxĐường cong cycloid3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VRĐi qua điểm DVới3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHCủa một chất điểm:Của hệ chất điểm: Của một VR:Ý nghĩa: mômen quán tính đặc trưng cho mức quán tính trong chuyển động quayĐơn vị đo: kgm2 1 – Định nghĩa: Mômen quán tính đối với trục :r: k/c từ chất điểm đến trục  ri : k/c từ chất điểm thứ i đến trục  r : k/c từ yếu tố khối lượng dm đến trục  VÍ DỤ 1: Ba chất điểm m1 = mo, m2 = 2mo , m3 = 3mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều cạnh a. Tính momen quán tính của hệ đối với trục quay: - Chứa đường cao AH - Chứa cạnh AB - Chứa cạnh BC - Đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc mp(ABC)m1m2m3CBHA3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH Giải:m1m2m3CBHA3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH123Mômen quán tính đối với 1:aMômen quán tính đối với 2:Mômen quán tính đối với 3:VÍ DỤ 2: Tính momen quán tính của khối trụ rỗng, thành mỏng, khối lượng m, bán kính R đối với trục đối xứng của nó.Giảih3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHdmm: khối lượng của khối trụR: bán kính đáyVÍ DỤ 3: Tính momen quán tính của một thanh mảnh, đồng chất khối lượng m, chiều dài L đối với trục quay đi qua khối tâm của thanh và vuông góc với thanh.Giải3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHdxx2 - Mmqt đối với trục quay qua G của các VR đồng chất:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHKhối trụ đặc, đĩa tròn:Khối trụ rỗng, vành tròn:Thanh mảnh dài L:Khối cầu đặc:Quả cầu rỗng:3 – Định lý Huygens – Steiner:Nếu  // G thì:GVí dụ:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHI  = IG + md2Mômen quán tính của các VR thường gặp:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHVí dụ 1:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHTính mômen quán tính của một vành tròn khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính của vành tròn và đối với trục quay là tiếp tuyến của vành tròn.Giải:OyxdmxyTa có:Do tính đối xứng, nên:yVí dụ 1:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHOMômen quán tính đối với trục :dGRLưu ý:Ví dụ 2:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHTính mômen quán tính của một đĩa tròn khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính của đĩa và với trục quay  nằm trong mặt phẳng của đĩa, vuông góc với bán kính R tại trung điểm của R.dmrdrOyGiải:Chia đĩa tròn thành những hình vành khăn, bán kính r, bề rộng dr. Mỗi hình vành khăn đó coi như một vòng tròn và mômen quán tính của nó đối với trục Oy là:với dm = dS = 2rdrR3.3 – MOMEN QUÁN TÍNHGiải:Suy ra, mômen quán tính của cả đĩa tròn là:dmrdrOyRDo m = S = R2, nên:Đối với trục  vuông góc với R tại trung điểm:OydLưu ý:3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH3.4 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG1 – Động lượng của hệ chất điểmĐộng lượng của một hệ chất điểm là tổng động lượng của các chất điểm trong hệ: hay: 2 – Định luật bảo toàn động lượngTổng động lượng của một hệ cô lập (hay hệ kín) được bảo toàn: 3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG1 – Mômen động lượng của hệ chất điểmMômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O là tổng mômen động lượng của các chất điểm trong hệ: với3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG2 – Định lý về mômen động lượngLấy đạo hàm mômen động lượng theo thời gian, ta có: Với là tổng các mômen ngoại lực tác dụng lên hệ3 – Định luật bảo toàn mômen động lượng:Nếu tổng mômen ngoại lực bằng không thì mômen động lượng hệ là đại lượng không đổi.3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNGVí dụ:Hình 3.11: (a) Tàu không gian chứa bánh đà. Nếu bánh đà quay theo chiều kim đồng hồ thì tàu sẽ quay theo chiều ngược kim đồng hồ. (b) Nếu bánh đà ngừng quay tàu cũng dừng lại và như thế hướng của tàu đã được thay đổi.3.4 – PHƯƠNG TRÌNH ĐLH VR1 – Tổng quát:2 – VR chỉ tịnh tiến: Qui về cđ của G3 – VR chỉ quay quanh trục :Mômen lưc: M = Fd = FRsinMômen động lượng: L = I4 – VR chuyển động phức tạp: phân tích về hai chuyển động trênVD về tính mômen lựcM = Fd = 10.0,2 = 2 NmF = 10N; d = 20cm. Tính momen của lực F đối với trục .MO = F2.OA.sin300 – F1.OBAB= 12.2.0,5 – 8.5 = - 28 Nm+dTổng đại số momen của ngoại lực đối với trục O:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRB1: Phân tích các lực tác dụng lên VR.B2: Viết các PTĐLH cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay (nếu có).B3: Chiếu phương trình vectơ lên các trục tọa độ cần thiết.B4: Giải hệ pt và biện luận kết quả.Các bước:3.5.1. Động lực học của ch.động lăn:Ví dụ 0: Một bánh xe đang quay quanh trục O với moment lực (bởi một động cơ). Ta đặt bánh xe này xuống mặt đường. Nếu không có ma sát giữa bánh xe và mặt đường thì bánh xe tiếp tục quay tại chỗ. Tại điểm tiếp xúc P sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ có khuynh hướng giữ chặt điểm P của bánh xe không cho nó trượt trên mặt đường, tức là có chiều từ trái sang phải như trên Hình vẽ. Lực này sẽ tạo ra cho bánh xe một gia tốc chuyển động tịnh tiến tới phía trước. 3.5.1. Động lực học của ch.động lăn: Như vậy: Chúng ta giới hạn chỉ khảo sát trường hợp bánh xe lăn không trượt, tức là điểm P không trượt trên mặt đường. Như vậy lực ma sát tác dụng lên bánh xe là lực ma sát nghỉ.Tuy vậy không phải cứ tăng moment lực của động cơ là có thể tăng được gia tốc, vì để cho bánh xe có thể lăn không trượt, tức là để điểm tiếp xúc không trượt trên mặt đường, cần có điều kiện là lực ma sát nghỉ phải nhỏ hơn lực ma sát nghỉ cực đại ,  :Ví dụ 1:Một khối trụ đặc đồng chất lăn không trượt trên mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực kéo đặt tại trục quay như hình vẽ. Tính gia tốc của khối trụ. Bỏ qua ma sát cản lăn.Giải3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRVí dụ 1:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRPhương trình ĐLH cho chuyển động tịnh tiến của khối tâm:Phương trình ĐLH cho chuyển động quay quanh khối tâm:Chiếu (1) lên phương chuyển động:Vì vật lăn không trượt, nên: a = at = R (4)Giải (2), (3), (4) ta được:Ví dụ 3.13: Một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R, khối lượng phân bố đều, bắt đầu lăn không trượt từ đỉnh dốc nghiêng một góc  so với phương ngang xuống chân dốc. Lúc đầu, khối tâm của quả cầu ở độ cao h so với mặt phẳng ngang ở chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc, vận tốc của khối tâm quả cầu khi nó xuống đến chân dốc.3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVR3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRTa có 2 pt:Kết quả: Một sợi dây nhẹ, không co giãn, vắt qua ròng rọc có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m. Hai đầu dây buộc hai vật m1 và m2 (m1 > m2). Tính gia tốc của các vật và sức căng dây. Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc. Áp dụng số: m1 = 6kg ; m2 = 3kg ; m = 2kg.GiảiVí dụ 2:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRm1m2m1m2Ví dụ 2:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRTa có:P1 – T1 = m1a1 (1)T2 – P2 = m2a2 (2)T’1.R – T’2.R = I (3)Vì dây không giãn và không trượt trên ròng rọc, nên:a = a1 = a2 = at = R (4)Vì dây nhẹ nên: T1 = T’1 ; T2 = T’2 (5)Giải hệ phương trình, ta được: Cho cơ hệ như hình vẽ. Dây nối rất nhẹ, không co giãn, ròng rọc C có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m. Hai đầu dây buộc hai vật A và B khối lượng m1 và m2. Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc. Xác định gia tốc của các vật; sức căng dây; điều kiện của hệ số ma sát k để hệ chuyển động.Ví dụ 3:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRBCAVí dụ 3:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRBCAxyOVật AVật BRrọc CDây không dãn, không trượt trên r rọc:K/l dây = 0: Đáp số:Ví dụ 3:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRBCAxyO Thả cho trụ rỗng lăn xuống dưới. Biết khối lượng của trụ là m, bán kính trụ là R. Dây không giãn và không có khối lượng. Xác định gia tốc tịnh tiến và gia tốc góc của trụ, sức căng dây.Ví dụ 4:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRmTa có:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRmGiải hệ (1), (2), (3) ta được:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRm Cho cơ hệ như hình vẽ. Dây nối rất nhẹ, không co giãn, các ròng rọc có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m; hai vật A và B có khối lượng m1 và m2. Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc. Xác định gia tốc của các vật, sức căng dây.Ví dụ 4:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRm1m2Ví dụ 4:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRm1m2Oxx2x1Ví dụ 4:3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVRm1m2Oxx2x1Tịnh tiếnQuayPhức tạpREVIEWBÀI TẬP LDB N3-4 Một xe chở đầy cát, có khối lượng là m2 = 10 kg chuyển động không ma sát trên mặt đường nằm ngang với vận tốc v2 = 1 m/s. Một viên đạn khối lượng m1 = 2 kg bay theo chiều ngược lại với vận tốc v1 = 7 m/s. Sau khi gặp xe, viên đạn nằm ngập trong cát. Hỏi sau đó xe chuyển động theo chiều nào, với vận tốc bằng bao nhiêu? BÀI GIẢIChiếu lên trục Ox: BÀI TẬP B3.15 Một dây mảnh, nhẹ, không dãn, quấn quanh một trụ đặc đồng chất khối lượng m0 = 3kg. Đầu kia của dây nối với vật m = 1kg (hình 3.37). Bỏ qua ma sát ở trục quay, lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc của vật m, lực căng dây và áp lực mà trục ròng rọc phải chịu. Đs: Hình 3.37m0mTPBÀI TẬP B3.16Cho cơ hệ như hình 3.38. Ròng rọc C có dạng đĩa tròn đồng nhất, khối lượng 2kg. Khối lượng của vật A là 3kg, vật B là 2kg. Bỏ qua ma sát trượt giữa A và mặt bàn và ma sát cản lăn ở trục ròng rọc. Biết dây rất nhẹ, không dãn và không trượt trên ròng rọc. Lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc của B, các lực căng dây và áp lực của trục ròng rọc.BCA Đáp số:Giải:3.5 – GIẢI BÀI TẬP B3.16BCAxyOBÀI TẬP B3.17 Trên một trụ rỗng, thành mỏng, khối lượng 4kg, có quấn một sợi dây mảnh, rất nhẹ, không dãn. Đầu kia của sợi dây buộc chặt vào điểm cố định. Thả nhẹ cho trụ lăn xuống dưới (hình 3.39). Bỏ qua lực cản không khí, lấy g = 9,8 m/s2. Tính gia tốc tịnh tiến của trụ, lực căng dây. Đs: Hình 3.39BÀI TẬP B3.18Một người có khối lượng 70 kg đứng ở mép một bàn tròn bán kính 1m. Bàn đang quay theo quán tính quanh trục thẳng đứng đi qua tâm của bàn với tốc độ 2 vòng/giây. Tính tốc độ quay của bàn khi người này dời vào tâm của bàn. Biết mômen quán tính của bàn là I = 140 kgm2; mômen quán tính của người được tính như đối với chất điểm; bỏ qua ma sát. Đs: 3 vòng/giâyBÀI TẬP B3.20 Bánh xe dạng đĩa tròn đồng nhất, bán kính R, khối lượng m đứng trước một bậc thềm có chiều cao h (hình 3.40). Phải đặt vào trục của bánh xe một lực F bằng bao nhiêu để nó có thể lên được thềm? Hình 3.40hRĐs: FBÀI TẬP TN 3.21A Cho cơ hệ như hình 3.42. Biết dây nhẹ, không dãn và không trượt trên ròng rọc; ròng rọc có dạng điã tròn đồng chất, khối lượng m = 800g; m1 = 2,6kg và m2 = 1kg; bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc; g = 10 m/s2. Tính lực căng dây treo vật m2 . B) 14 N m1m2mBÀI TẬP TN 3.21 Vô lăng có khối lượng m = 60kg phân bố đều trên vành tròn bán kính R = 0,5m. Vô lăng có thể quay quanh trục thẳng đứng đi qua khối tâm. Tác dụng lực F = 48N luôn theo phương tiếp tuyến của vô lăng thì nó bắt đầu quay và sau khi quay được 4 vòng, vận tốc góc của nó là 4rad/s. Tính mômen của lực cản. A) 19,2 Nm B) 21,6 Nm C) 24 Nm D) 28,7 NmBÀI TẬP LDB N3-20 Một hệ gồm một trụ đặc khối lượng MA = 2,54 kg và vật nặng mB = 0,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua ròng rọc C (hình vẽ). Bỏ qua khối lượng của dây, của ròng rọc C và khung gắn với trụ. Tìm gia tốc vật nặng B và sức căng dây. Đs:BCABÀI TẬP TN 3.20 Một vô lăng hình đĩa tròn đồng chất, có khối lượng 10 kg, bán kính 20 cm, đang quay với vận tốc 240 vòng/phút thì bị hãm đều và dừng lại sau 20 giây. Độ lớn của mômen hãm là : A) 0,13 Nm B) 0,50 Nm C) 0,25 Nm D) 1 NmBÀI TẬP TN 3.28 Gọi I1, I2, I3 lần lượt là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm của quả cầu đặc, trụ đặc, vành tròn có cùng khối lượng m và bán kính R. Quan hệ nào sau đây là đúng? A) I1 > I2 > I3. B) I1 I­1 > I3. D) I3 > I1 > I2.