Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

y đổi, không phải từ những đại lượng tuyệt đối, ví dụ: - Các lực không được xác định trực tiếp mà bằng cách đo chuyển vị hoặc thay đổi chiều dài của lò xo - Động lực của một hệ thống được suy ra từ những quan sát về sự thay đổi của vị trí - Khoảng cách được xác định bằng cách đo những thay đổi về góc, độ dài và cường độ ánh sáng Định luật thứ hai của Newton về chuyển động, F = m.a, chứa gia tốc, là tốc độ thay đổi của vận tốc, mà nó lại là tốc độ thay đổi của vị trí. Tốc độ thay đổi là đạo hàm, vận tốc là đạo hàm thứ nhất của chuyển vị và gia tốc là đạo hàm thứ hai. Các đạo hàm vốn có trong công thức Newton về các định luật chuyển động. Tốc độ thay đổi là thước đo tức thời của sự thay đổi trên một đơn vị thời gian. Đây là đạo hàm, giá trị giới hạn của tỷ lệ giữa sự thay đổi của một đại lượng chia cho độ dài của khoảng thời gian mà sự thay đổi đã diễn ra. Điều quan trọng là tránh nhầm lẫn giữa khái niệm: số lượng thay đổi với tốc độ diễn ra thay đổi. Không nên nhầm lẫn giữa số lượng thay đổi với tốc độ thay đổi của số lượng: Nếu biết được tốc độ thay đổi, nghĩa là, nếu đã biết đạo hàm, thì giá trị gần đúng của lượng thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định là vi phân. Ví dụ, nếu dọc theo một trục cố định, x(t) đo độ dịch chuyển của một vật từ điểm gốc cố định O, thì x’ là vận tốc và vi phân dx = x'.dt sẽ xấp xỉ độ dịch chuyển xảy ra trong khoảng thời gian dt. Sự thay đổi vị trí xấp xỉ vi phân dx, nhưng tốc độ thay đổi vị trí là đạo hàm dx/dt 4 5 Đạo hàm cũng xuất hiện trong kỹ thuật và khoa học, nhờ các định luật bảo toàn hoặc định luật cân bằng. Trong những trường hợp bình thường, lượng vật chất trong một hệ thống kín là không đổi. Nếu lượng vật chất trong hệ thống thay đổi, thì đó phải là vật chất đã đi vào hoặc rời khỏi hệ thống. Trên thực tế, sự thay đổi thành phần của hệ thống phải được tính đến bằng việc đưa thành phần ấy qua ranh giới của hệ thống. Việc áp dụng định luật bảo toàn thường liên quan đến các đạo hàm hoặc tốc độ thay đổi. Tốc độ thay đổi của đại lượng bảo toàn cân bằng với tốc độ đi qua ranh giới của hệ. Thông thường, đường biên này được xác định bằng tốc độ dòng vào ít hơn tốc độ dòng ra. 6 2. Phương trình vi phân được viết để mô hình hóa một hệ thống trong thế giới thực. Nếu mô hình hợp lệ, nó chứa thông tin về hệ thống vật lý và các kỹ thuật toán học của phương trình vi phân trở thành công cụ mà thông tin đó được trích xuất từ mô hình. Sự thành thạo trong các kỹ thuật này cần được thúc đẩy bởi mong muốn hiểu, thiết kế và kiểm soát các hệ thống vật lý. Mục đích của phương trình vi phân không phải là lời giải, mà là thông tin có trong lời giải. Như chúng ta sẽ thấy, đôi khi việc trích xuất thông tin trực tiếp từ phương trình vi phân dễ dàng hơn là từ lời giải. Và mọi giải pháp không cần phải là một công thức chính xác. Đôi khi một giải pháp số là đủ, đôi khi là một biểu thức phân tích gần đúng Phân loại đạo hàm (vi phân) 7 Đạo hàm Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt y v là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập t biến độc lập (x,y,z,t,) Phân loại phương trình vi phân 8 Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường Phương trình đạo hàm riêng 2 2 2 d v  u  u  6tv 1 2  2  0 dt 2 y  x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm một hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần của của các hàm ẩn số theo một biến độc lập các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập Khái niệm phương trình vi phân 9 - Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của một hàm số chưa biết. Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn PTVP đó. - PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equation - ODE) x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc  Phương trình có chứa x, y, dy/dx dy f x, y , 0 (1)  PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa dx hàm x, hàm y và dy/dx dy 2 - Ví dụ 1: ax  by  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), tuyến tính (đối với y) dx dy - Ví dụ 2: a  y  x  b y  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), phi tuyến (đối với y) dx Phương trình vi phân đầy đủ 10 d - Ví dụ 1: y x  ax2  b  y x  0 dx d - Ví dụ 2: y x  a  y x  x  b y x  0 dx y(x) là hàm ẩn x – biến độc lập Bậc của phương trình vi phân 11 d x t x t et PTVP bậc 1, mũ 1 dt d2 x t d x t 5  2x t  cos t PTVP bậc 2, mũ 1 dt2 dt d3 x t d x t  21xt4    PTVP bậc 3, mũ 1 dt3 dt Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến 12 Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa bằng 1, không có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó d x t - Ví dụ 1: x t et - PTVP tuyến tính dt (Bậc 1, mũ 1) d2 x t d x t - Ví dụ 2:     2 - PTVP phi tuyến 2 5  2t x t  cos t dt dt (Bậc 2, mũ 1) 2 d x t 2 - PTVP phi tuyến - Ví dụ 3: 2t x t cos t dt (Bậc 1, mũ 2) Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến 13 Một PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa khác 1. Ngoài ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó. d x t - Ví dụ 4: cos x t et - PTVP phi tuyến dt (Bậc 1, mũ 1) d2 x t d x t - Ví dụ 5: 2 52 xt   - PTVP phi tuyến dt dt (Bậc 2, mũ 1) d2 x t d x t - Ví dụ 6: - PTVP phi tuyến 2 51 xt   dt dt (Bậc 2, mũ 1) Điều kiện phụ để giải PTVP 14 Nghiệm của phương trình vi phân: d2 x t 4x t  0  x t  c sin 2 t  c cos 2 t dt 2 12 Tất cả các hàm số trên là nghiệm của PTVP, chúng khác nhau ở các hằng số c1, c2. Để xác định chính xác c1, c2 cần có thêm các điều kiện phụ: d2 x t  40xt  - PTVP bậc 2  dt 2 Để giải PTVP bậc n  x0  a ; x 0 b 2 điều kiện phụ ta cần n điều kiện b phụ x t sin 2 t  a cos 2 t 2 Phân loại PTVP theo điều kiện phụ 15 Bài toán giá trị ban đầu Bài toán giá trị biên (Initial Value Problem) (Boundary Value Problem) • Các điều kiện thì không ở 1 Tất cả điều kiện là ở 1 điểm của biến độc lập điểm của biến độc lập • Giải bài toán này khó hơn bài toán giá trị ban đầu x2 x  x  e2t x 2x  x  e2t xx(0) 1, (0) 2.5 x(0) 1, x(2) 1.5 Giống Khác nhau nhau Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 16 (2) Trong đó: • n là một số nguyên dương • a0, a1, a2, , an-1, an là các hằng số • x là biến số Ví dụ: Thuật ngữ tiếng Anh: Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 17 Px  axaxn n1  ax n 2   axaxa 2   n n1 n 2 2 1 0 (3) Rx  m m1 n 2 2 Qxbxbx  m m1  bx m 2   bxbxb 2  1  0 Trong đó: • n, m là các số nguyên dương • a0, a1, a2, , an-1, an, b0, b1, b2, , bm-1, bm là các hằng số • x là biến số Ví dụ: Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 18 Các biểu thức mũ: Hàm số mũ: f x  ax ;0 a Ví dụ: Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 19 b Công thức: Nếu: ca thì: bc loga Hàm Logarithms: f x loga  x ; a  0, x  0 f x log10  x  log x ; x  0 f x loge  x  ln x ; x  0 Các công thức: Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 20 eexx  Cos hyperbol: y x cosh x 2 Tính chất: eexx  Sin hyperbol: y x sinh x 2 coshxx cosh sinh x exx e sinhxx   sinh Tang hyperbol: y x tanh x   xx cosh x e e tanhxx   tanh cosh x exx e Cotang hyperbol: y x coth x   xx cothxx   coth sinh x e e   12 sechxx sech Sec hyperbol: y x sech x   xx cosh x e e cschxx   csch 12 Cosec hyperbol: y x csch x   sinh x exx e Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 21 Các công thức: Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng 22 Các công thức: 1 csc x  sin x 1 tan22xx sec 1 22 sec x  1 cotxx csc cos x 1 cot x  tan x Các công thức đạo hàm cơ bản 23 Hàm Đạo hàm Hàm Đạo hàm Các công thức tích phân cơ bản 24 Các công thức tích phân cơ bản (Tiếp) 25 Ax B A BC AD dx x ln  Cx  D  const  Cx D C C 2 udv uv vdu Các công thức tích phân cơ bản (Tiếp) 26 Hàm Nguyên hàm Hàm Nguyên hàm Xây dựng phương trình vi phân 27 Cho phương trình hàm f(x,y,c)=0, trong đó c là hằng số tùy ý. Hãy tìm Phương trình vi phân. 1. Đạo hàm 2 vế theo x: f’x(x,y,c) = g(x,y,dy/dx,c)=0 2. Từ đó biến đổi để có c = h(x,y,dy/dx) 3. Thế c vào PT hàm f(x,y,c)=0 ban đầu để chỉ còn f(x,y,h(x,y,dy/dx))=0. 4. Biến đổi thành F(x,y,dy/dx)=0  Đây chính là Phương trình vi phân bậc nhất mà có nghiệm là PT hàm f(x,y,c)=0 Xây dựng phương trình vi phân 28 Hãy thiết lập phương trình vi phân mà có nghiệm là hàm y có dạng như sau: y11  x22  c   x dy2 x x 1. Đạo hàm 2 vế hàm y theo x: 22x  c   x  c  dx 2 1xx22 1 1 x2  dy 2. Biến đổi để tìm c: cx2 x dx 2 221 x dy 3. Thế c vào hàm y ban đầu: y1  x   2 x  1  x x dx 11x22 dy x dy y 1  x2   2 1  x 2    1  x 2  x dx x dx dy x   yx  dx1 x2 Xây dựng phương trình vi phân 29 Cho PT hàm: f(x,y,c1,c2,,cn)=0, trong đó c1,c2,,cn là các hằng số tùy ý. Hãy tìm Phương trình vi phân. 1. Tuần tự đạo hàm n lần PT hàm ban đầu theo x dy fxyccx ,,,,,1 2 c n  Fxy 1 ,,,,,, cc 1 2 c n 0 dx dy dy d2 y   Fxy1x,,,,,, cc 1 2 c n Fxy 2 ,,,2 ,,,, cc 1 2 c n 0 dx dx dx 2. Giải hệ n PT dy d2 y   dy d 2 y d 3 y   Fxy2x,,,2 ,,,, cccFxy 1 2 n  3  ,,, 2 , 3 ,,,, ccc 1 2 n  0 n ẩn c1,c2,,cn dx dx   dx dx dx  dy d22 y dnn1 y   dy d y d  y  F xy,,, ,, ,,,, cccFxy ,,, ,, ,,,, ccc 0 nx1 2nn 11 2n  n  2 1 2 n  dx dx dx   dx dx dx  30 Giả sử sau khi giải xong hệ PT, ta có:  dy d2 y dn y c g x,,,,, y  112 n  dx dx dx  dy d2 y dn y c g x,,,,, y  222 n  dx dx dx    dy d2 y dn y c g x,,,,, y nn2 n  dx dx dx 3. Thế biểu thức của các c1,c2,,cn vào PT hàm ban đầu f(x,y,c1,c2,,cn)=0 ta sẽ thu được PT vi phân bậc n cần tìm, có dạng: dy d2 y dn y F x, y , , , , 0 2 n dx dx dx Xây dựng phương trình vi phân Cho hàm: y=f(x,c1,c2,,cn), trong đó c1,c2,,cn là các hằng số tùy ý. Hãy tìm Phương trình vi phân. 1. Tuần tự đạo hàm n lần hàm ban đầu theo x dy  F x,,,, c c c  dx 1 1 2 n  dy2   F x,,,, c c c   dx2 2 1 2 n  dy3 2. Giải hệ n PT  3  F3 x,,,, c 1 c 2 cn   dx n ẩn c1,c2,,cn   dyn   F x,,,, c c c   dxn nn12   32 Giả sử sau khi giải xong hệ PT, ta có:  dy d2 y dn y c g x,,,,, y  112 n  dx dx dx  dy d2 y dn y c g x,,,,, y  222 n  dx dx dx    dy d2 y dn y c g x,,,,, y nn2 n  dx dx dx 3. Thế biểu thức của các c1,c2,,cn vào hàm ban đầu y=f(x,c1,c2,,cn) ta sẽ thu được PT vi phân bậc n cần tìm, có dạng: dy d2 y dn y F x, y , , , , 0 2 n dx dx dx Xây dựng phương trình vi phân 33 Hãy thiết lập phương trình vi phân mà có nghiệm là hàm y có dạng như sau: y c12tan x c sec x 1. Tuần tự đạo hàm 2 lần PT hàm ban đầu theo x dy2  dy csec x c sec x tan x 2 dx12 secx sec x tan x dx    222 2 3 d y2 2 3 2secx tan x sec x tan x sec x d y 222c12 sec x tan x  c sec x tan x  sec x  dx dx 2. Giải hệ 2 PT 2 ẩn c1 và c2 theo pp Cramer: sec2 x sec x tan x D sec3 x tan 2 x  sec 2 x  2sec 3 x tan 2 x 2sec2x tan x sec x tan 2 x sec 3 x sec3x sec 2 x  tan 2 x  sec 3 x 1 34 Dx sec3 dy secxx tan dx dy d2 y D  sec x tan22 x  sec x   sec x tan x c1 2   2 dy 22dx dx 2 secx tan x sec x dx dy sec2 x dx d2 y dy D  sec22 x   2sec x tan x c2 dy2 dx2 dx 2sec2 xx tan dx2 D 2 2 2  c1 dytan x sec x d y tan x c1   2  2  2  D dxsec x dx sec x   D dy2 1dy 2 tan x c c2     2 D dx2 secx dx sec x 35 3. Thế các biểu thức c1 và c2 vào PT hàm ban đầu: y c12tan x c sec x 22 dytanx tan x sec x d2 ytan 2 x d 2 y dy        2 tan x dxsec2 x dx 2 sec 2 x dx 2 dx 22 dytanx tan x sec x d22 ytan x  2  2 1  2 dxsec x dx sec x dytan x d2 y 1      dxsec2 x dx 2 sec 2 x d2 y dy   tanx  y  sec2 x  0 dx2 dx Phương trình vi phân bậc I 36 dy  f x, y với điều kiện ban đầu: y x00  y (4) dx Dạng tổng dy F x, y , 0 với điều kiện ban đầu: (5) quát dx dy f x, y   1.2 y  7 e0.3x dx - Trường hướng - Các họ đường cong Phương trình vi phân bậc I 37 dy 0.3x  f x, y   1.2 y  7 e Tại mỗi điểm có toạ độ (x,y), ta tính được dx f(x,y), và nó chính là độ dốc (Slope) dy/dx 0xy  4; 2   6 của hàm y(x). Độ nghiêng của các véctơ vẽ tại mỗi điểm chính là độ dốc. Tập hợp các véctơ đó trong khoảng x Є [0; 4]; y Є [2; 6] Với mỗi một điều kiện ban đầu ta có một họ đường cong lời giải: y 26  y 03  y 1.5  2 Phương trình vi phân bậc I 38 Nếu PTVP (4) hoặc (5) có thể biểu diễn dưới dạng sau: F x dx G y dy 0 (6) thì (6) gọi là phương trình dạng tách biến. Nó có thể được giải bằng phương pháp tích phân 2 vế theo từng biến: F x dx  G y dy  0   x   y  C (7) Trong đó C là hằng số. C chỉ có thể xác định khi có thêm 1 điều kiện phụ: y x00  y Phương trình vi phân bậc I 39 Giải phương trình vi phân sau: sec22x tan y dx sec y tan x dy 0 Chia cả hai vế của PT cho (tanx.tany), ta được PT: ln tanx  ln tan y  C1  ln C sec22xy sec ln tanx tan y ln C dx  dy  0 tanxy tan tanx tan y  C  0 sec22xy sec dx   dy   0  Đây là lời giải tổng quát, C là tanxy tan hằng số Mặt khác, ta có:   fx  ln fx       fx    2 tanxx  sec Phương trình vi phân bậc I 40 Giải phương trình vi phân sau: xdy ydx 4 1  x22 y dx  0 Phương trình vi phân bậc I 3 Giải phương trình vi phân sau: ydx xdy 30 x22 y ex dx  Phương trình vi phân bậc I 2 dy Giải phương trình vi phân sau:  x y a2 dx Phương trình vi phân bậc I 1 Giải phương trình vi phân sau: y2 cos x dx 2 xey dy 0 Phương trình vi phân bậc I dy dy f x, y Nếu PTVP  f x, y có thể viết dưới dạng:  1 (8) dx dx f2  x, y Trong đó các hàm f1(x,y) và f2(x,y) là các hàm thuần nhất cùng bậc, thì phương trình vi phân (8) được gọi là phương trình vi phân thuần nhất Một hàm số f(x,y) được gọi là thuần nhất bậc n nếu thoả mãn điều kiện: f tx, ty  tn f x , y  t  0 45 Ví dụ 1: f x, y  x22 y là hàm số thuần nhất bậc 2 vì f tx,, ty  tx22  ty  t2 x 2  y 2  t 2 f x y Ví dụ 2: Tất cả các hàm số tuyến tính không có hệ số tự do đều là hàm số thuần nhất bậc 1 f txx  t  f   Ví dụ 3: Một đa thức thuần nhất là một đa thức mà có tổng số bậc của các hạng tử là như nhau (ví dụ bằng n), thì đa thức thuần nhất đó sẽ là một hàm thuần nhất. f x,, y z  x5 y 2 z 3 là hàm số thuần nhất bậc 10 vì f tx,,,, ty tz  tx5 ty 2 tz 3  t10 x 5 y 2 z 3  t 10 f x y z f x, y  x5  2 x 3 y 2  9 xy 4 là hàm số thuần nhất bậc 5 vì ftxty ,  tx5  2 tx 3 ty 2  9 txty  4  tfxy5  ,  Phương trình vi phân bậc I 46 Đưa PTVP về dạng số (8): dy(8) f1  x, y  dx f2  x, y dy dv Đặt y=v.x, ta có: vx Sau đó ta thế cả y và dy/dx vào (8) dx dx dx f x, y Nếu đưa PTVP về dạng số (8’):  1 (8’) dy f2  x, y dx du Đặt x=u.y, ta có: uy Sau đó ta thế cả x và dx/dy vào (8’) dy dy Phương trình vi phân bậc I 47 dy x2 y Giải phương trình vi phân sau:  dx x33 y Phương trình vi phân bậc I 48 Giải phương trình vi phân sau:  x24 xy  2 y 2 dx  y 2  4 xy  2 x 2  dy  0 Phương trình vi phân bậc I 49 xxx 1eyy dx  e 1  dy  0 Giải phương trình vi phân sau:    y Phương trình vi phân bậc I 50 dy ax by c Xét PTVP:  (9) trong đó a, b, c, A, B, C là các hằng số dx Ax By C Trường hợp 1: Nếu A = – b 9  Ax  By  C dy  ax  by  c dx By  C dy  Axdy  ax  c dx  bydx By  C dy  ax  c dx  Axdy   b ydx  0 A By  C dy  ax  c dx  Axdy  Aydx  0 By  C dy  ax  c dx  A xdy  ydx  0 d xy By  C dy  ax  c dx  Ad xy  0 By  C dy   ax  c dx  A  d xy   0 yx22 B  Cy  a  cx Axy  K  const 22 Phương trình vi phân bậc I 51 dy ax by c Xét PTVP:  (9) trong đó a, b, c, A, B, C là các hằng số dx Ax By C ab Trường hợp 2: Nếu:  AB bC Bc cA aC hkdx dX dy dY aX bY PTVP Đặt: aB bA; aB bA     dy dY dx dX AX BY thuần nhất x X  h y  Y  k (10) dY dv Đặt Y=v.X, ta có: vX Sau đó ta thế cả Y và dY/dX vào (10) dX dX Phương trình vi phân bậc I 52 dy ax by c Xét PTVP:  (9) trong đó a, b, c, A, B, C là các hằng số dx Ax By C ab a KA dy KAx KBy c K Ax By c Trường hợp 3: Nếu:  K   9    AB b KB dx Ax By  C Ax  By  C dy Ku c  dx u C du Ku c  A KB u  AC  Bc Đặt: u Ax  By    A  B  du dy dx u C u C  AB  dx dx uC du dx  A KB u  AC  Bc uC du  dx  x  const  A KB u  AC  Bc (11) Phương trình vi phân bậc I 53 dy x23 y Giải phương trình vi phân sau:  dx23 x y Phương trình vi phân bậc I 54 dy4 x 3 y 1 Giải phương trình vi phân sau:  dx3 x 4 y 7 Phương trình vi phân bậc I 55 Giải phương trình vi phân sau: 2x 2 y  1 dy  x  y  1 dx Phương trình vi phân bậc I 56 Giải phương trình vi phân sau: 2x2 3 y 2  7 xdx  3 x 2  2 y 2  8 ydy Phương trình vi phân bậc I 57 dy Nếu PTVP có dạng: a x  a x y  a x;0 a x  (12) 0dx 1 2 0 dya x   a x  dy Dạng chuẩn của PTVP tuyến tính 12  12 y      P x y  Q x hay Phương trình Leibnitz tuyến dx a x   a x  dx (13) 00    tính P x Q x P x dxdy P x dx P x dx 13 e   e   P x  y  Q x  e  dx d P x dx P x dx y  e  Q x  e dx  P x dx P x dx y  e  Q x  e dx  C (14) (14) là lời giải của PTVP (13)  58 P x dx 1. Hạng tử: e được gọi là nhân tố tích phân của phương trình (13) 2. Hạng tử: không phải là nhân tố tích phân của phương trình (12) P x dx e Nhân tố tích phân của phương trình (12) là: ax0   Lời giải của (12) và (13) là như nhau 3. Trong một số trường hợp PTVP được viết dưới dạng như sau để thuận tiện: dx P y x Q y (15) dy P y dy P y dy Khi đó thì lời giải của (15) sẽ là: x e  Q y  e dy  C (16)  Phương trình vi phân bậc I 59 dy Giải phương trình vi phân sau: 11x2   xy  dx Phương trình vi phân bậc I 60 dy y5 x Giải phương trình vi phân sau:    0 dx x x23 x  Phương trình vi phân bậc I 61 dy Giải phương trình vi phân sau: 2cosx 4sin x  y  sin 2 x  0 dx Phương trình vi phân bậc I 62 Giải phương trình vi phân sau: 1y2  dx  arctan y  x dy