Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 6: Giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng - Nguyễn Quốc Lân

ẨNBA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương trình elliptic (tĩnh – static):Phương trình parabolic (truyền nhiệt):Xấp xỉ đạo hàm riêng:Phương trình hyperbolic (truyền sóng):BÀI TOÁN ELLIPTIC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Toán tử Laplace:Ptrình Poisson (f  0: Laplace) & điều kiện biên DirichletGiải bằng sai phân hữu hạn: Chia nhỏ . Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u tại các điểm chiaMINH HỌA Ý TƯỞNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài toán sau:tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều x = y = 1 GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân hoạch : Chia nhỏ  bởi các đường thẳng // Ox, Oyx = y = h: Tạo lưới bước chia cách đều h. Ký hiệu: P1, P2, P3, P4  4 điểm kề P Công thức xấp xỉ Laplacian u (công thức đạo hàm hướng tâm!)Lần lượt thay Pk(x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trị u trên biên)  Hệ phương trình ẩn uk= u(Pk) VÍ DỤ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải bài toánbởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và OyLưới 4 nút ẩn  4 giá trị cần tìm. Đánh số, tính giá trị biên:Nút 1:Nút 2:Nút 3:Nút 4:KẾT QUẢ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hệ phương trình Au = b vớiChú ý: Phương trình Poisson u = f(x, y) ( Laplace: u = 0)PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu)Phân hoạch  : Lưới theo x độ dài x, theo t độ dài t  Các đường thẳng x = i x, t = k t Miền  =  (x,t)  0  x  1 , t  0  Xấp xỉ u/t, u/ x & ĐK biên, đầu  Giá trị u tại điểm chiaMINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0Tiến: MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1Lùi: