Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 1: Giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x)=0 - Nguyễn Quốc Lân

I TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP  NEWTON – RAPHSON.1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CƠNG THỨC SAI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, cĩ đạo hàmKhoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đĩ phương trình (1) cĩ nghiệm  duy nhấtVD: Phương trình x – cosx = 0 cĩ khoảng cách ly nghiệm:ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi Đạo hàm f’ khơng đổi dấu trên  đoạn (hoặc khoảng) (a,b) f(a).f(b) 0 (ĐK Fourier) Ước lượng sai số : Cơng thức tổng quát (chủ yếu) hoặc(Phức tạp hơn)VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10–8 1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ2/ Xây dựng dãy lặp: Sai số : nxn n 0HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩnKý hiệu ma trận f’(x) (ma trận Jacobi):  Cĩ thể tính “giá trị” f’(x(0)) tại “điểm” x(0) cho trướcKý hiệu: Bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ kXem x(k) đã biết. Tính x(k+1): giải thuật Newton - Raphson1/ Tính ma trận A = f’(x(k)) (thay x(k) vào) & vectơ b = –f(x(k))2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b. Tính x(k+1) = x(k) + hVÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tìm nghiệm gần đúng x(1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ: Giải: Ma trận A = f’(x) b “nhỏ”: x(k) gần nghiệmnx(n) Ma trận Jacobian AVectơ –f(x(n) )Vectơ hỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mạch điện: Nguồn (pin) V0, Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng LRLKirchhoff:Nghiệm:Tìm R (L, C đã biết) để năng lượng tiêu hao của mạch cĩ vận tốc cho trước: q/q0 = 0.01 với t = 0.05s, L = 5H, C = 10–4 F LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Biến đổi phương trình thu được (ẩn R) Khoảng cách ly nghiệm: R  [0, 400 ] (2000 – 0.01R2  0) Giải thực tế: Đồ thịP/p chia đơi (n = 21)P/p Newton R = 328.1515 