Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 3: Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier

ng đơn cựcTín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Sinc Tín hiệu Sinc2 Tín hiệu Gausse Một số dạng tín hiệu quan trọngTín hiệu xung vuơng gĩc (t)Hàm dốc r(t)Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm K.r(t-a), dạng sĩng là đường thẳng cĩ độ dốc K và gặp trục t ở a 0 r(t)0 ar(t-a)K1 Một số dạng tín hiệu quan trọngHàm bước nhảy đơn vị u(t)11/2XMột số dạng tín hiệu quan trọngTính chất hàm xung lựcx(t). (t) = x(0).(t)x(t).(t – t0) = x(t0). (t – t0)(-t) = (t)x(t)*(t - t0) = x(t-t0)Hàm xung lực đơn vị1(t)0t1(t – t0)0tt0Một số dạng tín hiệu quan trọngTín hiệu Sgn(t)Tín hiệu xung tam giác )tSgn()t(x=ttX0tx(t)0XHàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần Một số dạng tín hiệu quan trọngT0tXung hàm mũ Tín hiệu xung cosinMột số dạng tín hiệu quan trọngTín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Gausse ||-111X-X-tMột số dạng tín hiệu quan trọngCặp phân bố (t) chẵn lẻ ||||(t)0t0t)t(Một số dạng tín hiệu quan trọngTính chất phân bố lược0t. . . .. . . .12345-1-2-3-4-5Phân bố lượcMột số dạng tín hiệu quan trọngDãy xung vuơng lưỡng cực Dãy xung vuơng đơn cực0t. . . .. . . .0t. . . .. . . .TX2T-T-TMột số dạng tín hiệu quan trọngTín hiệu Sinc Tín hiệu Sinc2 Sinc(t)1Sinc2(t)1Ví dụKhái niệm hàm tuần hoànKhái niệmLưu ýKhơng phải tất cả các hàm tuần hồn đều cĩ chu kỳ cơ bảnNếu  = n2/2p thì 2/ = 2p/n là chu kỳ cơ bản của cos(nt/p) và sin(nt/p). Và lúc đĩ n.(2p/n) = 2p cũng là chu kỳ của hàm cos(nt/p) và sin(nt/p)Hàm tuần hồn thì khơng cần xác định trên tất cả các giá trị của biến độc lậpf(t) 0 p 2p 4p 6p tf(t+2p) = f(t) Với 2p: chu kỳ của f(t)f (t + 2p) = f (t + 2p + 2p) = f (t + 4p) . . . = f(t+2np) Số 2p là chu kỳ cơ bảnChuỗi FourierChuỗi lượng giác:Chuỗi lượng giác mở rộng:Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác cĩ tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đĩ thì f(x) phải là hàm tuần hồn chu kỳ là 2.Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần hồn với chu kỳ T = 2p.Cơng thức Euler mở rộngĐịnh lý DirichletNếu f(t) là hàm tuần hồn, bị chặn và cĩ một số điểm xác định khơng liên tục trong một chu kỳ của nĩ thì khi đĩ chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục. Cịn tại những điểm mà f(t) khơng liên tục, chuỗi Fourier của nĩ sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t0 hàm số bị gián đoạn thì:Chuỗi Fourier (khai triển Fourier) Cho hàm số f(t) tuần hồn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đĩ hàm f(t) cĩ thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fouier theo cơng thức sau: Lưu ýTại điểm hàm f(t) khơng liên tục thì chuỗi đĩ bằng trung bình của giới hạn trái và phảiThành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ. Vì thế nĩ chính là thành phần DC của tín hiệu điện.Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T).Ví dụTìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới. Biết f(x)=f(x+2)Nhận xét: hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ T=2p=2 và thỏa định lý Dirichlet, nên cĩ thể khai triển Fourier.Áp dụng cơng thức, ta tìm các hệ số Fourier:Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) cĩ dạng:Ví dụĐịnh lý 1Nếu f(t) là hàm tuần hồn chẵn theo t thì bn=0 Khi đĩ:Định lý 2Nếu f(t) là hàm tuần hồn lẽ theo t thì an=0 Khi đĩ:Ví dụDạng chuyển đổi của khai triển Fourierchuỗi cosine điều hịachuỗi sine điều hịa Dạng chuyển đổi của khai triển FourierChuỗi Fourier dạng mũ phứcCơng thức liên hệ qua lạiVí dụỨng dụng phân tích phổ tín hiệu tuần hồnPhương pháp phân tích phổ Tìm Cn Tính F() = 2Cn Khi đĩ:Đồ thị biểu diễn biên độ của F() theo tần số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t).Biểu diễn gĩc pha của F() theo các tần số của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t)Ví dụ Cho hàm số f(t) tuần hồn với chu kỳ T như hình bên dưới. Vẽ phổ của f(t)01Tìm Cn :Tính F(): Phổ biên độPhổ pha-2345-2-3-4-544/33/4....|F()|-2345-2-3-4-5/2....argF()-/2Biến đổi FourierCặp biến đổi Fourier dạng phức:Ví dụBiến đổi Fourier các hàm cơ bảnTính chất của biến đổi FourierTính tuyến tính Tính chất đối xứng Thay đổi tỉ lệ thời gian Phép dịch thời gianPhép dịch tần sốVi phân thời gianTích phân thời gianVi phân trong miền tần sốĐịnh lý nhân chập tần sốĐịnh lý mođun ParsevalĐịnh lý nhân chập trong miền thời gian Định lý điều chếTính tuyến tính F() = F(a1f1 + a2f2) = a1 F (f1) + a2 F (f2) = a1F1() + a2F2()Tính chất đối xứng Thay đổi tỷ lệ thời gian Phép dịch thời gianPhép dịch tần sốVi phân thời gianTích phân thời gianVi phân trong miền tần sốĐịnh nghĩa tích chậpĐịnh lý nhân chập tần sốĐịnh lý mođun ParsevalĐịnh lý nhân chập tần sốĐịnh lý điều chếVí dụPhân tích phổ tín hiệuỨng dụng phân tích phổ tín hiệu bất kỳPhương pháp phân tích phổ Tính F(): Khi đĩ:Đồ thị biểu diễn biên độ của F() theo tần số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t).Biểu diễn gĩc pha của F() theo các tần số của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t)Ví dụTìm phổ của tín hiệu f(t) = e-t. 1(t);  > 0GiảiTính F(): Phổ biên độ:Phổ pha: e-t.1(t)1t/2-/21/|F()|()Phân tích phổ tín hiệuPhân tích phổ tín hiệuPhân tích phổ tín hiệuPhân tích phổ tín hiệuPhân tích phổ tín hiệuHết chương 3