Bài giảng Toán Kĩ thuật - Bài 3: Chuỗi hàm phức

tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ. 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) 0, ( , ) : ( ) ( ) ,                     n n n n n k k n f z f z f z f z S z f z N z S z S z n N 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức - Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi: hội tụ. - Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thực và phần ảo: hội tụ. 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...        n n n f z f z f z f z     1 1 Re ( ) ; Im ( )      n n n n f z f z 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn: 0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối |r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ |r(z)| = 1: không có kết luận Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1( )lim ( ) ( )   n n n f z r z f z 21 1 ... ... 1        nz z z z 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về hàm f(z) trong miền D nếu: Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương {Mn} sao cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 𝑀𝑛 hội tụ thì chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ đều trong D. Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu. 0; ( ) : ( ) ( ) ; ,          nN f z S z n N z D 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có dạng: Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L Với Ví dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: 1 ( )    nn n a z a 1lim    n n n a L a   2 1 1 1 1 1 . 2 . ! ( 1)2 1 . . ( )                 n n n n n nz n n n z a z j b n n c e d n j z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: a. Hội tụ với mọi z b. Đặt w = z2, hội tụ với |w| |z| < 2 c. Đặt w = e-z, hội tụ với |w| x > 0. d. Đặt w = z-1, hội tụ với |w| |z| > 1. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Ví dụ: Cho chuỗi sau: Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1 Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau: i. |z| < 3 ii. |z| > 3 iii. |z – 2| < 1 21 1 ... ... 1        nz z z z 1 3z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: i. |z| < 3  |w| < 1 ii. |z| > 3  |w| < 1   2 21 1 11 ... ... 1 ... ... 3 3 3 3 9 3                      n n n z z z w w w z 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3        zz w 1 1 1 1 1 33 1 1       z z z w z  2 2 1 1 1 3 9 3 1 ... ... 1 ... ... 3                    n n n w w w z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: iii. |z - 2| < 1  |w| < 1     2 2 1 1 ... ... 3 1 ( 2) ( 2) ... ( 2) ...                     n n w w w z z z z 1 1 1 3 1 ( 2) 1        z z w Kết luận: Tại mỗi miền khác nhau trên mặt phẳng phức, tương ứng ta có các chuỗi khác nhau cùng hội tụ về hàm 1 3z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Định lý Taylor: Nếu f(z) giải tích trong miền D giới hạn bởi đường cong kín C, a ∈ D, thì: Nếu C là đường tròn tâm z = a, ta có chuỗi Taylor ( 1) 2 1 ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1! 2! ( 1)! ( ) ( ) 2 ( ) ( )               n n n n n C R z f a f a f a f z f a z a z a z a n z a f t dt j t a t z ( ) 0 ( ) ( ) ( ) !     n n n f a f z z a n 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor  Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin  Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa hoặc: R = Min{|z – zi|}, với zi là các điểm bất thường của f(z). Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm: quanh điểm z = j. 1 ( ) ( 2 )   f z z z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor (1) (1) 2 2 (2) (2) 3 3 (3) (3) 4 4 (4) (4) 5 5 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 ( 2 ) 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( 2 ) 1 6 6 ( ) ( ) 0 2 ( 2 ) 1 24 24 ( ) ( ) 24 2 ( 2 )                                                 f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < 1. 2 4 2 4 1 2 24 1 ( ) ( ) ... ( 2 ) 2! 4! 1 ( ) ( ) ...               z j z j z z j z j z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Chuỗi Mac Laurin của một số hàm: 0 2 2 0 2 1 0 2 0 0 0 . ! 3 . ! .sin ( 1) (2 1)! .cos ( 1) (2 )! 1 . ; 1 1 1 . ( 1) ; 1 1                                  n z n n z n n n n n n n n n n n n n z i e n ii z e z n z iii z n z iv z n v z R z vi z R z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Ví dụ: 1. Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau: 2. Tìm chuỗi Taylor của i. Hàm f3(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1 ii. Hàm f4(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2 iii. quanh điểm a = j 1 2 2 3 4 2 1 . ( ) . ( ) 3 4 1 1 . ( ) . ( ) 1 3 2           z i f z ii f z z z z iii f z iv f z z z z 1 ( ) ( 2 )   f z z z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin   2 2 1 2 4 3 5 2 22 2 3 2 1 1 1 1 1 . ( ) 1 .. ... 3 3 3 3 9 3 9 27 1 3 1 . ( ) 1 ... ... 4 4 4 4 16 4 16 64 1 4 1 1 . ( ) 1 2 1 2 1 ... 1 1 1 2 2 ...                                                     z z z z i f z zz z z z z z z z z ii f z zz z iii f z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin 4 2 2 3 2 3 2 3 4 1 1 1 . ( ) 3 2 1 2 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 4 8 1 2 1 3 7 15 ( ) ... 2 4 8 16                                iv f z z z z z z z z z z z z zz f z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 2. Chuỗi Taylor i. Đặt w = z – 1. Để tìm khai triển Taylor quanh điểm a, ta đặt w = z – a rồi tìm khai triển Mac Laurin theo w (sử dụng các khai triển đã biết). 2 3 2 3 2 3 1 1 ( ) 1 ... 1 2 2 2 2 4 1 2 1 ( 1) ( 1) ... ... 2 4 8 2 4 8                          z w w w w w f z wz w w w w z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 2. Chuỗi Taylor ii. Đặt w = z – 2. iii. 4 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 2 1 2 3 4 1 1 3 4            f z w wz z z z       2 4 2 1 1 ( ) 1 ... ( 2 ) 1            f z z j z j z z j z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Khai triển Laurent: Nếu f(z) giải tích khắp nơi trong miền kín D giới hạn bởi 2 đường tròn C1, C2 có tâm chung là a thì: 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( )          n n n n n C f z a z a f t dt a j t a Cách tìm chuỗi Laurent: Sử dụng chuỗi Taylor với các biến đổi phù hợp trên các miền phù hợp. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Ví dụ: Bài 1: Tìm chuỗi Laurent của các hàm sau: Bài 2. Khai triển hàm sau trên các miền đã cho: 1 5 . ; 0 1 . cos ; 0 1 . ; 1 ( 1)( 3 )       zi e a ii z a z iii a z z j 1 . 1 | | 3 .| | 3 ( 1)( 3) .0 | 1| 2 .| | 1          i z ii z z z iii z iv z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Giải: Bài 1: 1 2 0 2 2 5 5 5 0 0 3 5 3 1 1 1 1 1 . 1 ...; 0 | | ! 2! 1 1 ( 1) ( 1) . cos (2 )! (2 )! 1 1 1 1 1 1 1 ...; 0 | | 2 24 720 40320 1 1 1 1 . 1( 1)( 3 ) 1 1 3 1 1 3                                                        n z n n n n n n n i e z n z z z ii z z z z z n n z z z z z z iii zz z j z j j     3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Giải Miền hội tụ |z + 1| > 0 và 1 1 | 1| 10 1 3       z z j 0 1 0 1 1 1 1 . 1( 1)( 3 ) 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3                                                                n n n n iii zz z j z j j z z j j z j j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 i. 1 < |z| < 3 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 12 1 2 3 2 6 1 1 3 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 6 3 9 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 6 18 54                                                          f z zz z z z z z z z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 ii. |z| > 3 2 3 2 3 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 32 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 9 27 1 ... 1 ... 2 2 1 4 13 ...                                                             f z z z z z z z z z z z z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 iii. 0 < |z + 1| < 2; đặt u = z + 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ... 2 2 2 4 8 1 2 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ... 2( 1) 4 8 16                             f u u u u uu u f z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 iv. |z| < 1  2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 ( ) 2 1 6 1 3 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 6 3 9 27 1 4 13 40 ... 3 9 27 81                                    f z zz z z z z z z z z z