Bài giảng Toán Kĩ thuật - Bài 1: Hàm giải tích

f(z) với z = x + jy w = u(x,y) + jv(x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ; ( , ) w f z u x y jv x y z x y f z j x jy x y x y x y u x y v x y x y x y                 1. Hàm giải tích b. Giới hạn và liên tục Định nghĩa: Giới hạn: Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu:   0 0 0 0 lim ( ) 0, ( ) : ( ) , 0 ( ) z z f z w f z w z z z                  0 0lim ( ) ( ) z z f z f z   1. Hàm giải tích c. Đạo hàm Định nghĩa: Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm? 0 ( ) ( ) ' '( ) lim z dw f z z f z w f z dz z         1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y) Điều kiện Cauchy – Riémann: - f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – Riémann tại z0. - f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của z0: f(z) giải tích tại z0. z0 là một điểm thường của f(z). - f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D. u v x y u v y x             1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Đạo hàm của hàm giải tích: Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm số sau: Giải: a, c: xem sách.   2 . ( ) . ( ) .Re . ( ) . ( ) z a f z z b f z z z c f z z d f z e     '( ) u v v u f z j j x x y y             1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0.  ( ) cos . ( ) cos sin sin cos ; cos ; sin ; sin '( ) (cos sin ) x x jy x x x x x x x z u e y d f z e e y j y v e y u v e y e y x y u v e y e y y x u v f z j e y j y e x x                                                          2 2. ( ) ( ) ( , ) ; ( , ) 2 ; ; 0; b f z x jy x x jxy u x y x v x y xy u v u v x x y x y y x                    1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích. Giải: Điều kiện Cauchy – Riemann: Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) v u x v xy y F x y x u v dF y y F x C y x dx                         1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Khái niệm Hàm điều hòa: Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương trình Laplace: Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai hàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp. Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 2 2 2 2 0 x y         1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D thì các đường cong u(x,y) = c1 là những quỹ đạo trực giao với các đường cong v(x,y) = c2. Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay ta sẽ thu được hàm theo biến z. ; 2 2 z z z z x y i     1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: Các tính chất: cos sinz x xe e y je y  0 2 1 0; 1/ ; 1 2 ; / z w z w z z z jt jt z z n j z z z e e e e e z e e e e t e z n j n e e de dz e                            1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: Ví dụ: Giải phương trình ez = 1 + 2j Giải: 2 cos sin 1 2 cos 1 5 sin 2 tan 2 1 ln 5 1 ln 5 arctan(2)2 2 arctan(2) z x x x x x e e y je y j e y e e y y x z j y                      1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp ii. Hàm lượng giác cosz, sinz: cos ; sin 2 2      jz jz jz jze e e e z z j 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sin 1 cos cosh ; sin sinh cos cos( ) cos cosh sin sinh sin sin( ) sin cosh cos sinh cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin (cos ) / sin ; (sin                           z z jy y jy j y z x jy x y j x y z x jy x y j x y z z z z z z z z z z z z d z dz z d ) / cos sin 0 ; cos 0 (2 1) / 2; sin( 2 ) sin ; cos( 2 ) cos ;                     z dz z z z n z z n n z n z z n z n 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iii. Hàm hyperbol: Các tính chất: cosh ; sinh 2 2 sinh cosh tanh ; coth cosh sinh        z z z ze e e e z z z z z z z z cosh cos ; sinh sin cosh cosh cos sinh sin sinh sinh cos cosh sin          jy y jy j y z x y j x y z x y j x y 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0) Các tính chất: ln ln ln ( 2 ) ln ln | | arg( )                     w j w z e z z r j n z z j zz re 1 2 1 2 1 1 2 2 ln( ) ln ln ln ln ln ln lnm z z z z z z z z z m z         1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : Ví dụ:    2 4 2 1 ln(1 ) ln 2 ln 2 2 4 ln( 3) ln 3 ln 3 (2 1) j n j n j e j n e j n                                     1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp v. Hàm lũy thừa zs: Nhánh chính: Ví dụ: 2 22 ln 1 2 . 2 2 2 ln (4 1)2 (1 ) ln 2 2 ln 2 2ln 2 2 41 (1 )ln(1 ) 44 2 4 (1 ) 2 cos ln 2 2 sin ln 2 2 4 4 j n j e j j n j j j n j j n j nn j j j n j e e e e j e e e e e n j n                                                                                    2 42 cos ln 2 sin ln 2 4 4 n e j                              ln ; 1 s s z s s z e s z z     Ln ; | | 0; args s zz e z z      1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược:         2 2 2 2 arcsin ln 1 arccos ln 1 1 arctan ln 2 arcsinh ln 1 arccosh ln 1 1 1 arctanh ln 2 1 z j z z z j z z j z z j j z z z z z z z z z z                     1. Hàm giải tích g. Các ví dụ 1. Kiểm tra xem các hàm sau có phải là hàm giải tích? 2. Tìm a, b để hàm sau là hàm giải tích, tính dw/dz Viết lại hàm w và dw/dz theo biến z? 3. Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv là hàm giải tích? . .sin 4 .cos 2 za ze b z c z 2 2 2 22 ( 2 )     w x ay xy j bx y xy