Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phép tính tích phân hàm một biến số

nh tớch phõn hàm một biến số Tớnh chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k   Ă 2) ( ) ( )f x dx f x C   3) ( ) ( )d f x dx f x dx  4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C   Ă 2) 1 , 1 1 x x dx C         3) lndx x C x   ; 4) 2 dx x C x   5) x xe dx e C  ; 6) ln x x aa dx C a   7) cos sinxdx x C  ; 8) sin cosxdx x C  9) 2 tan cos dx x C x   ; 10) 2 cotsin dx x C x    ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 11) 2 2 1 arctan dx x C a ax a     12) 2 2 arcsin , 0 dx x C a aa x      13) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a      14) ln tan sin 2 dx x C x   15) ln tan cos 2 4 dx x C x        16) 2 2 ln dx x x a C x a       ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 1. Tớnh 24 dx I x    . A. 1 2ln 4 2 x I C x     ; B. 1 2ln 4 2 x I C x     ; C. 1 2ln 2 2 x I C x     ; D. 1 2ln 2 2 x I C x     . Giải. 2 2 1 2 ln . 4 22 dx x I C A xx          ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Biến đổi: 2 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x             . Vậy 1 1 1 5 3 2 I dx x x          1 1 3ln 3 ln 2 ln 5 5 2 x x x C C x          . VD 2. Tớnh 2 6 dx I x x     . 10/13/2012 2 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1.2. Phương phỏp đổi biến a) Định lý Nếu ( ) ( )f x dx F x C  với ( )t khả vi thỡ: ( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C     VD 3. Tớnh ln 1 dx I x x    . Giải. Đặt ln 1 2 ln 1 dx t x dt x x      . Vậy 2 2 2 ln 1I dt t C x C      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 4. Tớnh 23 ln dx I x x    . Giải. Đặt ln dxt x dt x    2 ln arcsin arcsin 3 33 dt t x I C C t         . VD 5. Tớnh 3( 3) dx I x x    . Giải. Biến đổi 2 3 3( 3) x dx I x x    . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đặt 3 23t x dt x dx   1 1 1 1 3 ( 3) 9 3 dt I dt t t t t            3 3 1 1 ln ln 9 3 9 3 t x C C t x       . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1.3. Phương phỏp từng phần a) Cụng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx    hay .udv uv vdu   VD 6. Tớnh lnI x xdx  . Giải. Đặt 2ln , 2 u x dx x du v dv xdx x       21 1ln 2 2 I x x xdx    2 2 1 1 ln . 2 4 x x x C   ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 7. Tớnh 2x x I dx  . Giải. Biến đổi .2 xI x dx  . Đặt 2, 2 ln 2 x x u x du dx v dv dx          .2 1 2 ln 2 ln 2 x xxI dx      2 .2 2 ln 2 ln 2 x xx C      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 8. Tớnh 3 sincos xI xe dx  . Giải. Biến đổi 2 sin(1 sin ) cosxI x e x dx  . Đặt 2sin (1 ) tt x I t e dt    . Đặt 2 21 tt du tdtu t v edv e dt             Chỳ ý Đối với nhiều tớch phõn khú thỡ ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. 10/13/2012 3 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2(1 ) 2t tI e t te dt     2(1 ) 2 ( )t te t t de    2(1 ) 2 2t t te t te e dt     2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C        . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số b) Cỏc dạng tớch phõn từng phần thường gặp • Đối với dạng tớch phõn ( ) xP x e dx , ta đặt: ( ), .xu P x dv e dx  • Đối với dạng tớch phõn ( )lnP x x dx , ta đặt: ln , ( ) .u x dv P x dx  ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 0 1 1... n nx a x x x b      . Lấy điểm 1[ ; ]k k kx x  tựy ý ( 1,k n ). Lập tổng tớch phõn: 1 1 ( )( ) n k k k k f x x       . Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xỏc định trờn [ ; ]a b . Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi cỏc điểm chia Ký hiệu là ( ) . b a I f x dx  Giới hạn hữu hạn (nếu cú) 1max( ) 0 lim k kk x x I     được gọi là tớch phõn xỏc định của ( )f x trờn đoạn [ ; ]a b . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Tớnh chất 1) . ( ) ( ) , b b a a k f x dx k f x dx k   Ă 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     3) ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx     4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ] b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b     5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0 b a f x x a b f x dx     ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx      7) ( ) ( ) b b a a a b f x dx f x dx    8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b    ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a     9) Nếu ( )f x liờn tục trờn đoạn [ ; ]a b thỡ [ ; ] : ( ) ( )( ) b a c a b f x dx f c b a    . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2.2. Cụng thức Newton – Leibnitz Nếu ( )f x liờn tục trờn [ ; ]a b và ( )F x là một nguyờn hàm tựy ý của ( )f x thỡ: ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a   10/13/2012 4 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Nhận xột 1) Cú hai phương phỏp tớnh tớch phõn như Đ1. 2) Hàm số ( )f x liờn tục và lẻ trờn [ ; ]  thỡ: ( ) 0f x dx    . 3) Hàm số ( )f x liờn tục và chẵn trờn [ ; ]  thỡ: 0 ( ) 2 ( )f x dx f x dx      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx  nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b   . 4) Để tớnh ( ) b a f x dx ta dựng bảng xột dấu của ( )f x để tỏch ( )f x ra thành cỏc hàm trờn từng đoạn nhỏ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 1. Tớnh 3 2 1 2 5 dx I x x     . Giải. Biến đổi 3 2 1 4 ( 1) dx I x     . Đặt 1t x dt dx    22 2 00 1 arctan 2 2 84 dt t I t        . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 2. Tớnh 0 cosI x x dx    . Giải. Đặt , sin cos u x du dx v x dv x dx       0 0 0 sin sin cos 2I x x x dx x         . VD 3. Tớnh 1 2 3 1 1.sinI x x dx    . Giải. Do hàm số 2 3( ) 1.sinf x x x  liờn tục và lẻ trờn đoạn [ 1; 1] nờn 0I  . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( ) b a S f x f x dx     2 1( ) ( ) d c S g y g y dy     a) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phương trỡnh tổng quỏt 3.1. Tớnh diện tớch S của hỡnh phẳng S S ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 1. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi cỏc đường 2y x và 4y x . A. 1 15 S  ; B. 2 15 S  C. 4 15 S  ; D. 8 15 S  . Giải. Hoành độ giao điểm: 2 4 1, 0x x x x     0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ) . 15 S x x dx x x dx C          10/13/2012 5 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Cỏch khỏc Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x     1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx        1 2 4 0 4 2 ( ) . 15 x x dx C    ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 2. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi cỏc đường 2x y và 2y x  . Giải. Biến đổi: 2 2 2 2 x y x y y x x y             . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y     22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2) 2 . 2 3 6 S y y dy y y y                   ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 3. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi cỏc đường 1xy e  , 2 3xy e  và 0x  . A. 1ln 4 2  ; B. ln 4 1 2  ; C. 1 ln 2 2  ; D. 1ln 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e   2 2 0 2 ln 2x x xe e e x        . ln 2ln 2 2 2 00 1 ( 2) 2 2 x x x xS e e dx e e x            1 1ln 4 ln 4 2 2 A     . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 4. Tớnh diện tớch hỡnh elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b   . Giải. Phương trỡnh tham số của elip là: cos , [0; 2 ] sin x a t t y b t      . b) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phương trỡnh tham số Hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong cú phương trỡnh ( ), ( )x x t y y t  với [ ; ]t    thỡ: ( ). ( ) .S y t x t dt     ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt       2 0 1 cos2 2 t ab dt ab      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 3.2. Tớnh độ dài l của đường cong a) Đường cong cú phương trỡnh tổng quỏt Cho cung ằAB cú phương trỡnh ( ), [ ; ]y f x x a b  thỡ: ằ 21 [ ( )] . b AB a l f x dx  VD 5. Tớnh độ dài cung parabol 2 2 x y  từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm 11; 2 M       . 10/13/2012 6 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Ta cú: 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1l y dx x dx     1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x              2 1 ln 1 22 2   . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Cho cung ằAB cú phương trỡnh tham số ( ) , [ ; ] ( ) x x t t y y t       thỡ: ằ 2 2[ ( )] [ ( )] . AB l x t y t dt      b) Đường cong cú phương trỡnh tham số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 6. Tớnh độ dài cung C cú phương trỡnh: 2 2 1 , 0; 1 ln 1 x t t y t t                 . Giải. Ta cú: 1 2 2 0 [ ( )] [ ( )]l x t y t dt   2 21 2 2 0 1 1 1 1 t dt t t                      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 7. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi ln , 0y x y  , 1,x x e  quay xung quanh Ox. 3.3. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y  , x a , x b quay quanh Ox là: 2[ ( )] . b a V f x dx  Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x       . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 8. Tớnh V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   quay quanh Ox. Giải. Ta cú:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a      . Vậy   2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a       . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x  , y c và y d quay quanh Oy là: 2[ ( )] . d c V g y dy  VD 9. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y   quay xung quanh Oy. 10/13/2012 7 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Parabol 22y x x  được viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y      1 1 , 1 1 1 , 1 x y x x y x           . Vậy     1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy               1 1 3 00 8 8 4 1 (1 ) 3 3 y dy y         . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 10. Dựng cụng thức (*) để giải lại VD 9. Chỳ ý Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x , 0y  , x a và x b quay xung quanh Oy cũn được tớnh theo cụng thức: 2 ( ) (*). b a V xf x dx  Giải. 22 3 4 2 0 0 2 8 2 (2 ) 2 . 3 4 3 x x V x x x dx              ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khỏi niệm mở đầu Cho hàm số ( ) 0, [ ; ]f x x a b   . Khi đú, diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )y f x và trục hoành là: ( ) b a S f x dx  . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Cho hàm số ( ) 0, [ ; )f x x a    (b ). Khi đú, diện tớch S cú thể tớnh được cũng cú thể khụng tớnh được. Trong trường hợp tớnh được hữu hạn thỡ: ( ) lim ( ) b b a a S f x dx f x dx      . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tớch phõn suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xỏc định trờn [ ; )a  , khả tớch trờn mọi đoạn [ ; ] ( )a b a b . Giới hạn (nếu cú) của ( ) b a f x dx khi b  được gọi là tớch phõn suy rộng loại 1 của ( )f x trờn [ ; )a  . Ký hiệu là: ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: ( ) lim ( ) ; b b a a f x dx f x dx     ( ) lim ( ) . b b aa f x dx f x dx       • Nếu cỏc giới hạn trờn tồn tại hữu hạn thỡ ta núi tớch phõn hội tụ, ngược lại là tớch phõn phõn kỳ. • Nghiờn cứu về tớch phõn suy rộng (núi chung) là khảo sỏt sự hội tụ và tớnh giỏ trị hội tụ (thường là khú). 10/13/2012 8 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 1. Khảo sỏt sự hội tụ của tớch phõn 1 dx I x     . Giải • Trường hợp α = 1: 1 1 lim lim ln b b b b dx I x x         (phõn kỳ). • Trường hợp α khỏc 1: 1 1 1 1 lim lim 1 b b b b dx I x x             1 1 , 11 lim 1 1 1 , 1.b b              ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Vậy Đ Với 1  : 1 1 I    (hội tụ). Đ Với 1  : I   (phõn kỳ). ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 2. Tớnh tớch phõn 0 2(1 ) dx I x    . VD 3. Tớnh tớch phõn 21 dx I x      . Giải. 00 2 1 lim lim 1 1(1 )a a aa dx I xx              . Giải. 2 lim lim arctan 1 b b ab b aa a dx I x x              lim arctan lim arctan 2 2b a b a               . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Chỳ ý • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dựng cụng thức: ( ) ( ) . a a f x dx F x    • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dựng cụng thức: ( ) ( ) . b b f x dx F x    • Tương tự: ( ) ( ) .f x dx F x      ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 4.1.2. Cỏc tiờu chuẩn hội tụ a) Tiờu chuẩn 1 • Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )f x g x x a     và ( ) a g x dx   hội tụ thỡ ( ) a f x dx   hội tụ. • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 4. Xột sự hội tụ của tớch phõn 10 1 xI e dx    . Giải. Với [1; )x   thỡ 10101 0 x xx x x e e       10 1 1 x xe dx e dx       . Mặt khỏc, 1 1 1x xe dx e e       (hội tụ). Vậy tớch phõn đó cho hội tụ. 10/13/2012 9 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 5. Xột sự hội tụ của tớch phõn 1 cos 3xI e x dx    . Giải. 1 1 cos 3x xe x dx e dx      (hội tụ) I hội tụ. b) Tiờu chuẩn 2 • Nếu ( ) a f x dx   hội tụ thỡ ( ) a f x dx   hội tụ (ngược lại khụng đỳng). • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số c) Tiờu chuẩn 3 • Cho ( ), ( )f x g x liờn tục, luụn dương trờn [ ; )a  và ( )lim ( )x f x k g x  . Khi đú: ỉ Nếu 0 k  thỡ: ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   cựng hội tụ hoặc phõn kỳ. ỉ Nếu 0k  và ( ) a g x dx   hội tụ thỡ ( ) a f x dx   hội tụ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Nếu ( ) a k g x dx      phaõn kyứ thỡ ( ) a f x dx   phõn kỳ. • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. VD 6. Xột sự hội tụ của tớch phõn 2 3 1 1 2 dx I x x      . Giải. Đặt 2 3 1 ( ) 1 2 f x x x    , 3 1 ( )g x x  ta cú: 3 2 3 ( ) 1 ( ) 21 2 f x x g x x x     và 3 1 dx x   hội tụ I hội tụ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 7. Xột sự hội tụ của tớch phõn 1 1 sin dx I x x     . Giải. Ta cú: 1 1 ( ) 1 sin x x x x    : và 1 dx x   phõn kỳ. Vậy I phõn kỳ. Chỳ ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x : thỡ ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   cú cựng tớnh chất. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 8. Điều kiện của  để 3 1 . ln 1 dx I x x      hội tụ là: A. 3  ; B. 3 2   ; C. 2  ; D. 1 2   . Giải. Đặt lnt x 1 3 3 3 0 0 11 1 1 dt dt dt I t t t                . • 1 3 0 1 dt t   là tớch phõn thụng thường nờn hội tụ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số • Do 3 3 1 1 1t t   : nờn: I hội tụ 3 1 1 dt t      hội tụ 1 3 3 A        . 10/13/2012 10 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 9. Điều kiện của  để 2 4 1 ( 1) 2 3 x dx I x x        hội tụ? Giải • Với 4  : 2 4 2 1 1 ( 1) 2 3 x dx dx I x x x         : hội tụ. • Với 4  : 2 1 2 dx I x  : hội tụ I hội tụ   Ă . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 4.2. Tớch phõn suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xỏc định trờn [ ; )a b và khụng xỏc định tại b , khả tớch trờn mọi đoạn [ ; ] ( 0)a b     . Giới hạn (nếu cú) của ( ) b a f x dx   khi 0  được gọi là tớch phõn suy rộng loại 2 của ( )f x trờn [ ; )a b . Ký hiệu: 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: 0 ( ) lim ( ) a b b a f x dx f x dx     (suy rộng tại a ); 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      (suy rộng tại a , b ). • Nếu cỏc giới hạn trờn tồn tại hữu hạn thỡ ta núi tớch phõn hội tụ, ngược lại là tớch phõn phõn kỳ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 10. Khảo sỏt sự hội tụ của 0 , 0 b dx I b x   . Giải • Trường hợp α = 1: 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x                . • Trường hợp α khỏc 1: 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x                   ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số   1 1 1 0 1 , 1lim 11 , 1. b b                 Vậy Đ Với 1  : 1 1 b I    (hội tụ). Đ Với 1  : I   (phõn kỳ). ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 11. Tớnh tớch phõn 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x    . A. 3 I    ; B. 3 I   ; C. 6 I   ; D. I  . Giải. 1 1 3 3 12 1 6 6 (3 ) arcsin 3 31 (3 ) d x I x B x        . 10/13/2012 11 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 12. Tớnh tớch phõn 3 2 1 . ln e dx I x x   . Giải. Đặt lnt x 21 1 1 33 3 2 0 0 0 3 3 dt I t dt t t        . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 13. Tớnh tớch phõn 2 2 1 dx I x x    . Giải. Ta cú: 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 dx I dx x x x x           2 0 1 1 1 lim 1 dx x x         2 0 1 1 lim ln x x          . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 14. Tớch phõn suy rộng 1 0 ( 1)(2 ) x dx I x x x      hội tụ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   Ă . 4.1.2. Cỏc tiờu chuẩn hội tụ Cỏc tiờu chuẩn hội tụ như tớch phõn suy rộng loại 1. Chỳ ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b: thỡ ( ) b a f x dx và ( ) b a g x dx cú cựng tớnh chất (với b là cận suy rộng). ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Khi 0x  thỡ 1 2 1 1 . ( 1)(2 ) 2 2 x x x x x x x       : I hội tụ 1 1 0 2 1 2 dx x    hội tụ 1 11 2 2 C       . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. 1 1 2 2 0 0( 1)sin ( 1)sin x dx dx I x x x x        . VD 15. Tớch phõn suy rộng 1 2 0 1 ( 1)sin x I dx x x      phõn kỳ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   Ă . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số I phõn kỳ 1 2 0 ( 1)sin x dx x x     phõn kỳ. Do 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin dx dx dx xx x x     : hội tụ nờn Vậy I phõn kỳ 1 11 2 2 B       . Mặt khỏc, 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin x dx x dx dx xx x x        : . 10/13/2012 12 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Chỳ ý • Cho 1 2I I I  với 1 2, ,I I I là cỏc tớch phõn suy rộng ta cú: 1) 1I và 2I hội tụ I hội tụ. 2) 1 2 ( ) 0 I I    phaõn kyứ hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaõn kyứ thỡ I phõn kỳ. 3) 1 2 ( ) 0 I I    phaõn kyứ hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaõn kyứ thỡ chưa thể kết luận I phõn kỳ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x     phõn kỳ khi và chỉ khi: A. 1 4   ; B. 1 4   ; C. 1 2   ; D.   Ă . Giải. Ta cú: 1 1 1 22 2 0 0sin sin x dx dx I I I x x x x       . ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Mặt khỏc: 1) 1 1 1 2 32 3 0 0 0 2sin dx dx dx I x x x x      : . 2) 1 1 2 0 0 sin x dx I x x    . Vậy 1 2I I I  phõn kỳ với mọi D  Ă .