Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Hàm nhiều biến - Phan Trung Hiếu

, ,..., )nu f x x x      1 2 1 2 : ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n f D x x x u f x x x 4 Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường ký hiệu là . Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường ký hiệu là .  ( , )z f x y  ( , , )u f x y z Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f, nghĩa là tập các điểm sao cho biểu thức có nghĩa. Miền giá trị của f là tập các giá trị mà f nhận được. 1 2( , ,..., )nx x x 1 2( , ,..., )nf x x x 5 Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau b) Giải 2) ( , ) sin( ).a f x y x y xy     2 2( , ) 9 .f x y x y a) Miền xác định: 2D b) f xác định      2 2 2 29 0 9x y x y Miền xác định:     2 2 2( , ) | 9D x y x y 6 Ví dụ 1.2. Cho hàm . Tính f(1,1), f(0,-2). Giải (1,1) f (0, 2) f 2( , ) 1  f x y x y D là tập hợp những điểm nằm trong hay nằm trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3 10/25/2015 2 II. Đồ thị của hàm hai biến: 7 Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là tập hợp tất cả các điểm sao cho và 3( , , )x y z  ( , )z f x y ( , )x y D Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế: 8 3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lao động ( , )Q f K L trong đó K: vốn; L: lao động. 3.2. Hàm tổng chi phí: 0. .k LC w K w L C   trong đó :Kw giá thuê một đơn vị vốn; :Lw giá thuê một đơn vị lao động; 0 :C chi phí cố định. 3.3. Hàm tổng doanh thu: . . ( , )R P Q P f K L  trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm. 9 §2. Giới hạn và liên tục 10 I. Giới hạn hàm hai biến: Định nghĩa 1.1: Cho hàm số xác định trên . Ta nói hàm có giới hạn là L khi (x,y) tiến về nếu  ( , )z f x y 2D  ( , )z f x y 0 0( , )x y               0 00, 0 : ( , ) , 0 ( , ) ( , ) ( , ) .x y D x y x y f x y L Ký hiệu là   0 0( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y L Chú ý 1.2:  0 0( , ) ( , )x y x y là khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm .0 0( , )x y 11 Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có những tính chất tương tự như giới hạn của hàm một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây. II. Tính liên tục của hàm hai biến: 12 2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y) liên tục tại điểm nếu0 0( , )x y D   0 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y 2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. 10/25/2015 3 13 §3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần I. Đạo hàm riêng cấp một: 14 Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là :x x fz f x      đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f (lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số) :y y fz f y     đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f (lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số) 15 Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau 3 2 4 4) ( , ) .  a f x y x y x y y Giải  xf 2 2 33 4 .x y x y  yf 3 4 32 4 . x y x y 16  yf 2 3 2 32 ( ) . .( )   x y x yy yxy y e y e  xf 2 2 3(2 3 ) .   x yxy y x y e 2 2 32 .   x yy y e 2 2 3) ( , ) .  x yb f x y xy ye Giải 2 3 2 32 3   x y x yxy e ye 17 Ví dụ 1.2: Cho Tìm và 2 3( , ) 2 3 1.   f x y x y x y (1;0)xf  (1;2).yf  Giải  xf (1;0) xf  yf (1;2) yf II. Đạo hàm riêng cấp hai: 18 Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là 2 2 ( )xx x x ff f x       2 2 ( )yy y y ff f y      2 ( )yx y x ff f x y        2 ( )     xy x y ff f y x 10/25/2015 4 19 Ví dụ 2.1: Cho . Tính các đạo hàm riêng cấp hai của số f.  3 2 2( , )f x y x y y x Giải  xf  yf  xxf  x xf   yyf  y yf   xyf ( ) x yf   yxf ( ) y xf  20 Chú ý 2.1: Các đạo hàm được gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên, chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây ,xy yxf f  Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm (Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì xy yxf f  III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến: 21 Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến z = f(x,y) là .  x ydf f dx f dy Ví dụ 3.1: Cho 2 2( , ) 3f x y x xy y   .Tính df, df(0,1). Giải  xf  yf df (0,1) df 22 §4. Cực trị của hàm hai biến I. Định nghĩa: 23 Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền và điểm . Khi đó:  2D 0 0( , )x y D f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại nếu tồn tại lân cận của sao cho 0 0( , )x y D  0 0( , )x y 0 0( , ) ( , ), ( , ) .f x y f x y x y   f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại nếu tồn tại lân cận của sao cho 0 0( , )x y D  0 0( , )x y 0 0( , ) ( , ), ( , ) .f x y f x y x y   Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. 24 Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa chắc là cực tiểu toàn cục. 10/25/2015 5 II. Điều kiện cần: 25 Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm số f đạt cực trị địa phương tại thì  2D 0 0( , )x y D 0 0 0 0 ( , ) 0 (*). ( , ) 0 x y f x y f x y      Những điểm thỏa (*) được gọi là điểm dừng. 0 0( , )x y III. Điều kiện đủ: 26 Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt0 0( , )x y            ( , ) . .xx xy xx yy yx xy yx yy f f x y f f f f f f i) Nếu thì f đạt cực tiểu tại     0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0xx x y f x y  0 0( , ).x y ii) Nếu thì f đạt cực đại tại    0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0xx x y f x y  0 0( , ).x y 27 iii) Nếu thì f không đạt cực trị tại0 0( , ) 0x y  0 0( , ).x y iv) Nếu thì ta không có kết luận tổng quát. 0 0( , ) 0x y  IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến: 28 Bước 1 (Tìm điểm dừng): Tính Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng  ,x yf f      0 0 x y f f Bước 2 (Tìm ): Tính Tính    , , ,xx yy xy yxf f f f ( , ) . . ( , ).xx xy xx yy yx xy k k yx yy f f x y f f f f x y f f               , .k kx y 29 Bước 3 (Kết luận):     , 0 , 0 k k xx k k x y f x y     f đạt cực tiểu tại .  ,k kx y     , 0 , 0 k k xx k k x y f x y     f đạt cực đại tại .  ,k kx y  , 0k kx y   f không đạt cực trị tại .  ,k kx y 30 Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số Giải Miền xác định: 2D  xf  yf     3 2 2( , ) 3 3 15 2f x y x xy y x 0 0 x y f f        Ta được 4 điểm dừng:            x x y y          10/25/2015 6 31  xxf  yyf  xyf ( , ) xx xy yx yy f f x y f f    Tại (-1;2): 6 12 ( 1,2) 144 0 12 0        f không đạt cực trị tại (-1;2).  32 Tại (-1;-2): ( 1, 2)      Tại 6 5 0 ( 5,0) 260,49 0 0 6 5 6      f đạt cực tiểu tại .  ( 5,0) : ( 5,0) 6 5 0xxf   ( 5,0) 33 Tại ( 5,0)    ( 5,0) : ( 5,0)xxf    IV. Cực trị có điều kiện: 34 Xét bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y), với điều kiện ( , ) 0 (*).g x y  Cách 1 (Phương pháp khử biến số): Bước 1: Từ điều kiện (*), suy ra được y = h(x) hoặc x = h(y). Bước 2: Thế biểu thức ở bước 1 vào z = f(x,y) ta được hàm 1 biến. Sau đó, tìm cực trị của hàm 1 biến. 35 Ví dụ 4.1: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện Giải Miền xác định: 2D ( , )f x y xy 1.x y  1x y   1 ,y x  Thế vào hàm f(x,y), ta được ( )F x  ( )F x  2 .x x  1 2 .x (1 )x x ( ) 0F x  1 2 0x   1 2 x  36 BBT: x F’ F   1 2 0  CĐ F đạt cực đại tại  1 2 x   1 11 . 2 2 y     f đạt cực đại tại 1 1, . 2 2     10/25/2015 7 37 Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange): Bước 1: Lập hàm Lagrange Bước 2 (Tìm điểm dừng):   ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y g x y Tính Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng ứng với ,x yL L  0 0 ( , ) 0 x y L L g x y         ,k kx y .k 38 Bước 3 (Tìm ): ( , , ) 0 xx xy x yx yy y x y L L g x y L L g g g           Bước 4 (Kết luận): ( , , ) 0k k kx y    f đạt cực tiểu thỏa điều kiện tại .  ,k kx y ( , , ) 0k k kx y    f đạt cực đại thỏa điều kiện tại .  ,k kx y ( , , ) 0 :k k kx y   không có kết luận tổng quát. 39 Ví dụ 4.2: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện Miền xác định: 2D 2 2 1.x y    ( , ) 6 4 3f x y x y Giải      2 2 2 21 1 0x y x y Đặt   2 2( , ) 1g x y x y         2 26 4 3 ( 1)L f g x y x y xL  4 2 x  yL  3 2 y  40 0 0 ( , ) 0 x y L L g x y       2 2 2 3 2 4 9 1 4 x y                2 2 4 2 0 3 2 0 1 x y x y              2 2 3 2 25 4 x y             5 5 2 2 4 4 5 5 3 3 5 5 x x y y                          41 2 0 2 0 2 2 2 2 00 xx xy x yx yy y x y L L g x L L g y x yg g             Tại thì5 4 3, , 2 5 5 x y    5 0 8 / 5 0 5 6 / 5 20 0 8 / 5 6 / 5 0       f đạt cực tiểu thỏa điều kiện tại 4 3, . 5 5     42 Tại thì5 4 3, , 2 5 5 x y                5 0 8 / 5 0 5 6 / 5 20 0 8 / 5 6 / 5 0  f đạt cực đại thỏa điều kiện tại 4 3, . 5 5       10/25/2015 8 43 §5. Tích phân bội trên hình chữ nhật I. Tích phân bội hai: 44 ( , )f x y dxdy    :miền lấy tích phân, bị chặn trong 2 Tính chất:  1) f g dxdy f dxdy g dxdy         2) f dxdy f dxdy      II. Tích phân lặp: 45 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) b d b d a c a c d b d b c a c a f x y dydx f x y dy dx f x y dxdy f x y dx dy                     Chú ý:  Trong tính trước.    ( , )f x y dy : tích phân theo y, xem x là hằng.  ( , )f x y dx: tích phân theo x, xem y là hằng. 46 Ví dụ 2.1. Tính 3 5 2 1 ( 2 ) .x y dxdy  Giải 3 5 2 1 ( 2 )x y dxdy   53 2 2 1 2 2 x x x xy dy         3 2 25 110 2 2 2 y y dy        32. III. Tích phân bội trên hình chữ nhật: 47  ( , ) : ,x y a x b c y d      ( , )f x y dxdy  Tính tích phân trên miền hình chữ nhật: Cách tính: ( , ) ( , ) ( , ) b d d b a c c a f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy                    48 Ví dụ 3.1. Tính với là hình chữ nhật   (2 )x y dxdy [ 2,3] [0,2].   Giải  ( , ) : 2 3, 0 2x y x y       Cách 1 (y trong, x ngoài): (2 )x y dxdy    3 2 2 0 (2 )x y dy dx          23 2 2 0 2 2 y y yxy dx           3 2 (4 2) 20.x dx     10/25/2015 9 49 Cách 2 (x trong, y ngoài): (2 )x y dxdy    50 Chú ý 3.1: ( ). ( ) ( ) . ( ) b d a c h x g y dxdy h x dx g y dy                  Ví dụ 3.2. Tính , với là hình chữ nhật giới hạn bởi Giải    2 2 1 xy dxdy x  0, 1, 3, 3.x x y y     51 1 3 2 2 0 3 . 1 x dx y dx x               2 2 1 xyI dxdy x     ( , ) : 0 1, 3 3x y x y       1 2.I I 3 2 2 3 I y dx     33 3 3 3 1 (3 ( 3) ) 18. 3 3 y       1 1 2 0 1 xI dx x    1 ln2 2  (Đổi biến) Vậy: 9ln2I  52 §6. Ứng dụng trong kinh tế I. Cực trị toàn cục của hàm hai biến: 53 Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt0 0( , )x y i) Nếu thì f đạt cực tiểu toàn cục (GTNN) tại 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) ( , ) 0xx x y x y D f x y       0 0( , ).x y ii) Nếu thì f đạt cực đại toàn cục (GTLN) tại 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) ( , ) 0xx x y x y D f x y       0 0( , ).x y II. Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận: 54 Một doanh nghiệp tiến hành sản xuất 2 loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (là điều kiện nhà sản xuất phải bán sản phẩm với giá do thị trường quyết định). Cho biết giá bán của 2 loại sản phẩm đó trên thị trường là và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là . Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm trong một đơn vị thời gian để doanh nghiêp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). 1 2,P P  1 2,C C Q Q 10/25/2015 10 55 Cách giải: Doanh thu của doanh nghiệp là: 1 1 2 2R PQ P Q .  Lợi nhuận của doanh nghiệp là: 1 1 2 2 1 2R C PQ P Q C(Q ,Q ).      Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất.  Ví dụ 2.1: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là Được biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm này phụ thuộc vào mức sản lượng Q1, Q2 của mỗi loại sản phẩm và được cho bởi biểu thức 1 260, 75.P P      2 21 2 1 1 2 2,C C Q Q Q Q Q Q Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất III. Phân phối sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận: 56 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là , trong đó , hàm cầu theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất và thị trường thứ hai là và . Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). ( )C C Q 1 2Q Q Q   1 1 1Q D P  2 2 2Q D P 57 Cách giải: Xét hệ     1 1 1 2 2 2 Q D P Q D P    Biến đổi đưa về     1 1 1 2 2 2 P P Q P P Q    Doanh thu của doanh nghiệp là: 1 1 2 2R PQ P Q .  Lợi nhuận của doanh nghiệp là: 1 1 2 2 1 2R C PQ P Q C(Q ,Q ).      Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất.  58 Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là hàm cầu theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất và thị trường thứ hai lần lượt là Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. 220 15C Q Q   1 2 1 2 325 425, . 4 5     P PQ Q IV. Lựa chọn đầu vào để tối đa hóa lợi nhuận: 59 Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là Q = Q(K,L), trong đó K: lượng vốn, L: lượng lao động được sử dụng để sản xuất. Cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là P, giá vay một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và các chi phí cố định khác là C0. Trong một đơn vị thời gian, hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). 60 Cách giải: Tổng chi phí là: C = wK.K + wL.L + C0. Doanh thu của doanh nghiệp là: R = P. Q(K,L). Lợi nhuận của doanh nghiệp là: K L 0R C P.Q(K,L) (w .K w .L C ).       Tìm K và L để đạt giá trị lớn nhất.  Ví dụ 4.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất là Q = K1/3.Q1/3 (K>0, L>0). Doanh nghiệp đó phải vay vốn K để sản xuất với lãi suất wK = 0,02, và tiền thuê nhân công wL = 1. Giả sử giá thị trường của sản phẩm là P = 3. Hỏi doanh nghiệp đó cần lượng vốn vay K và lượng nhân công cần thuê L là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất? 10/25/2015 11 V. Tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng: 61 Một người tiêu dùng định sử dụng hết số tiền M để mua sắm hai loại hàng hóa X và Y. Cho biết giá của hai loại hàng đó là và hàm lợi ích của hai loại hàng đó đối với người tiêu dùng là U = U(x,y), với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất (tối đa). 1 2,P P Cách giải: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi ích với điều kiện ( , ), 0, 0U U x y x y   1 2 .P x P y M  62 Ví dụ 5.1: Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 5USD và 20USD. Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+3)y với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 185USD. VI. Cực tiểu hóa chi phí khi sản lượng cố định: 63 Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là Q = Q(K,L). Cho biết giá vay một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và các chi phí cố định khác là C0. Giả sử, doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định là Q0. Hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp sản xuất ra Q0 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất (tối thiểu). Cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tổng chi phí với điều kiện Q(K,L)= Q0 0 , 0, 0K LC w K w L C K L     64 Ví dụ 6.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là Q = K(L+5). Biết rằng giá vay một đơn vị vốn là wK = 5USD, giá thuê một công nhân là wL = 10USD. Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=5000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 5000 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất. Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) 12 GV. Phan Trung Hiếu BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tính các đạo hàm riêng cấp một và vi phân toàn phần cấp một của các hàm số sau ĐS: a) 2 2( , ) 3 5 4 6f x y x y xy x y      (2 3 5) (2 3 4)df x y dx y x dy      b) 2( , )f x y x y x y  2(2 ) 2 x df xy y dx x dy y           c) 2 2x yz e  2 2 2 2(2 ) (2 )x y x ydz xe dx ye dy   d) 2 ln( 2 )z x x y  2 222 ln( 2 ) 2 2 x xdz x x y dx dy x y x y         e) sin( ) cos( )z x y x y    (cos( ) sin( )) (cos( ) sin( ))dz x y x y dx x y x y dy        Bài 2: a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số ( , ) arctan xf x y y  tại điểm (1;2). ĐS: 2/5; -1/5. b) Cho 2 2 xz x y   . Tính (1; 2)dz  . ĐS: 3 4 25 25 dx dx . Bài 3: a) Cho hàm số 2 26 u x y . Tính 2 (2,1) (2,1)  x yA u u . ĐS: 5. b) Cho hàm số 2 2ln(1 )  z y x y . Tính 2 2 2 = (2,1) (2,1)       z zB x x y . ĐS: 1/3. Bài 4: a) Cho hàm số ln .z xy y x  Chứng minh rằng (1 ln ).x yxz yz y x    b) Chứng tỏ rằng hàm 2 1 1 2 2 x xz y x y     thỏa mãn hệ thức 3 2 2 .z z xx y x y y       c) Cho hàm số   y xz xy xe . Chứng minh rằng . .   x yx z y z xy z . d) Cho hàm số  x yu ye . Chứng minh rằng 2 .    xx xy yy xy u u u u y e) Hàm hai biến 2 2ln( 2 ) z x y có thỏa mãn hệ thức 2 2 2 2 0 z z x y       không? Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau ĐS: a) 2 2( , ) 2 4 6f x y x y x y      CĐ tại (1,2) b) 2 4 3 2( , ) 3 4 12f x y x y y y    không đạt cực trị tại (0,0), CT tại (0,1); (0,-2) c) 4 4 2 21( , ) ( ) ( ) 1 4 f x y x y x y xy      CĐ tại (0,0),(1,-1),(-1,1), CT tại ( 3, 3)  d) 2 2( , )f x y x y  với điều kiện 3 4 25x y  CT tại (3,4) e) 2 2( , ) 1f x y x y   với điều kiện 1x y  CĐ tại (1/2,1/2) f) ( , ) 8 15 28f x y x y   với điều kiện 2 22 3 107x y  CĐ tại (4,5), CT tại (-4,-5) Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) 13 GV. Phan Trung Hiếu Bài 6: Tính các tích phân sau ĐS: a) 2x ydxdy   ,  là hình chữ nhật giới hạn bởi 2, 4, 1, 5.x x y y    224 b) 2 3 4(6 5 )x y y dxdy   ,  2( , ) | 0 3, 0 1x y x y       . 21/2 c) 2 1 ( ) dxdy x y   , [3,4] [1,2]   . ln(25 / 24) d) 2x yxye dxdy   , [0,1] [0,2]  . 2 1 ( 3) 2 e  e) sin cosx ye ydxdy   ,  là hình chữ nhật 0 , 0 2x y      . ( 1)( 1)e e  f) 1 x dxdy xy   , [0,1] [0,1]  . 2ln2 1 Bài 7: Một doanh nghiệp sản xuất hai lọai sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là   2 21 2 1 1 2 2, 2 2C C Q Q Q Q Q Q    , trong đó 1Q và 2Q là sản lượng của sản phẩm thứ nhất và thứ hai. Cho biết giá bán hai sản phẩm đó là 1 26, 4P P  . Hãy tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất trong sản xuất. ĐS: 1 1Q , 2 1Q , max 5  . Bài 8: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là 2 21 1 2 22C Q Q Q Q   . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản phẩm là 1 1 240 2Q P P   đối với sản phẩm thứ nhất và 2 1 220Q P P   đối với sản phẩm thứ hai. Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 1 5Q , 2 10Q , max 550  . Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là 2 30 20C Q Q   , trong đó 1 2Q Q Q  với 1Q là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ nhất và 2Q là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ hai. Giả sử hàm cầu của mỗi loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất là 1 1310Q P  và thị trường thứ hai là 2 2235 0,5Q P  . Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 1 40Q , 2 60Q . Bài 10: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là ( 10) Q K L . Biết rằng giá vay một đơn vị vốn là 10USDKw , giá thuê một đơn vị nhân công là 40USDLw . Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=10000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 10000 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất. ĐS: 200K  , 40L  . Bài 11: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là 1 2320 480 300  C Q Q . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản phẩm là 1 1 2800 2  Q P P đối với sản phẩm thứ nhất và 2 1 2960  Q P P đối với sản phẩm thứ hai. a) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 1 320Q  , 2 400Q  . b) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện tổng chi phí trong một đơn vị thời gian của doanh nghiệp là 166700.