Bài giảng Sức bền vật liệu

Đại học Xây dựng, Ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này đƣợc giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Cơ khí. Hiện nay, các trƣờng đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với nội dung, thời lƣợng và khối lƣợng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành. Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu đƣợc xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí đƣợc xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã đƣợc viết trong tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chƣơng với các nội dung chính: Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động. Cuốn bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu. Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy Cuốn bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đƣợc sƣ góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định. Nhóm tác giả biên soạn ii MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................................i MỤC LỤC .................................................................................................................. ii Chƣơng 1 ..................................................................................................................... 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .............................................................................. 1 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG ..................................................................................... 1 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản ............................................................................ 1 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp ............................................................................ 1 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện ............................................................................... 1 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN ............................................................................. 2 1.2.1. Khái niệm .................................................................................................. 2 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 3 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 3 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ................................................ 4 1.2.5. Điều kiện bền ............................................................................................ 4 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) ........................................... 8 1.3.1. Khái niệm .................................................................................................. 8 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 8 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 9 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN ............................................................. 9 1.3.5. Điều kiện bền .......................................................................................... 10 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang .............................................................. 10 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM .................................................... 13 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện ............................................................. 13 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm ................................................ 15 1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI ........................................... 17 1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn .............................................................................. 18 1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật .............................................................. 19 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1.............................................................................. 25 Chƣơng 2 ................................................................................................................... 27 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................. 28 2.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 28 2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................................... 29 2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh ....................................................................... 29 2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng ....................................................................... 29 2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng ...................................................................... 30 2.3. DẦM LIÊN TỤC ........................................................................................... 33 2.3.1. Định nghĩa ............................................................................................... 33 2.3.2. Phƣơng trình ba mômen .......................................................................... 33 2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt ................................................................................ 35 2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN ..................................................... 37 2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH ................................. 42 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2.............................................................................. 43 Chƣơng 3 ................................................................................................................... 44 iii ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN ............................................ 44 3.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 44 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN ........................................ 46 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu ....................................................... 46 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu................................................... 48 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER ..... 49 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh ...................................................................... 49 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler .......................................................... 50 3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI ........ 50 3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH ...................................... 51 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI ..................... 53 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi ............................. 53 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng ............................................................. 55 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn ...................................................... 56 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. ...................................................................... 57 3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM ............................ 57 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN ............................................................... 59 3.9. CÁC VÍ DỤ .................................................................................................... 61 3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU ............. 64 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3.............................................................................. 65 Chƣơng 4 ................................................................................................................... 67 TẢI TRỌNG ĐỘNG ................................................................................................. 67 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 67 4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động .................................................................. 67 4.1.2. Phân loại tải trọng động .......................................................................... 67 4.1.3. Các giả thiết khi tính toán ....................................................................... 67 4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI ..................................................... 68 4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều ......................................... 68 4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi .......................... 69 4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN ....................... 72 4.3.1. Bậc tự do của hệ ...................................................................................... 72 4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do ............................ 72 4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO ................................................................. 73 4.4.1. Khái niệm chung về dao động ................................................................. 73 4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do .................................................. 74 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM ................................................................................. 77 4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng .......................................................... 77 4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang .......................................................... 80 4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm ....................................................... 82 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4.............................................................................. 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 86 1 Chƣơng 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản Những trƣờng hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 đƣợc gọi là những trƣờng hợp chịu lực đơn giản. Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn. 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp Tổ hợp những trƣờng hợp chịu lực đơn giản đƣợc gọi là trƣờng hợp chịu lực phức tạp. Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực nhƣ hình vẽ 1.1 bao gồm: - Lực dọc: Nz - Mô men uốn: Mx , My - Lực cắt: Qx, Qy - Mô men xoắn: Mz Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ. Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:      x yN M M      r r r r Các ứng suất thành phần có cùng phƣơng nên ta viết tổng theo trị số đại số:      x yN M M      yx x y MN M y x A I I     (1.1) 2 Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:      y x zQ Q M      r r r r (1.2) Các ứng suất tiếp thành phần có phƣơng khác nhau nên không chuyển đƣợc biểu thức sang phép cộng đại số. Thành phần  yQ r có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số:   C y x y x Q S Q I b   r Thành phần  xQ r có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:   C x y x y Q S Q I h   r Thông thƣờng, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua ảnh hƣởng của lực cắt so với ảnh hƣởng của mô men uốn do đó trong các phần tính toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hƣởng của ứng suất tiếp    ,x yQ Q  r r Thành phần  zM r có trị số và phƣơng chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số:   Z P z M M I   (1.3) 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN 1.2.1. Khái niệm Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My nhƣ hình vẽ 1.2a Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhƣng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên 3 xiên đƣờng tải trọng đi qua trọng tâm nhƣng không trùng với một trục quán tính trung tâm nào (hình 1.2b ). 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt ngang (MCN) có toạ độ x, y đƣợc tính theo công thức: yx z x y MM y x I I    (1.4) Trong đó Mx, My coi là dƣơng khi làm căng phần chiều dƣơng của trục y, trục x. Trong kĩ thuật ngƣời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx, My và toạ độ x, y: yx z x y MM y x I I     (1.5) Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. Nếu gọi  là góc của đƣờng tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b): sin cos y xx y M MM tg M MM         Góc  đƣợc gọi là dƣơng khi quay từ chiều dƣơng trục x đến đƣờng tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ (1.5) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà: 0 yx x y MM y x I I   (1.6) Hay: . . .x x y y M I y x tg x M I    (1.7) Trong đó : .x x y y M I tg M I    Hay: 1 . x y I tg tg I     (1.8) Đƣờng trung hoà là một đƣờng thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và không vuông góc với đƣờng tải trọng nhƣ trong uốn phẳng. Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nhƣ hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1 4 thì không xảy ra hiện tƣợng uốn xiên phẳng. Vì đƣờng tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đƣờng trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đƣờng tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng. 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ nhƣ hình 1.3. Trục tung là đƣờng trung hoà, trục hoành vuông góc với đƣờng trung hoà. Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên 1.2.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền có dạng: - Đối với vật liệu dẻo:   max   (1.9) - Đối với vật liệu giòn:     max min k n         (1.10) Trong đó: max yx k k x y MM y x I I    ; min yx n n x y MM y x I I           (1.11) Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật nhƣ hình 1.4 thì: maxk nx x x  ; maxk ny y y  Do đó: max min  ; max yx x y MM W W    (1.12) 5 Trong đó : max x x I W y  ; max y y I W x  (1.13) Trong trƣờng hợp này điều kiện bền sẽ là: - Đối với vật liệu dẻo:   yx x y MM W W   (1.14) - Đối với vật liệu giòn:   yx k x y MM W W   (1.15) Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau: - Bài toán kiểm tra bền - Bài toán tìm tải trọng cho phép. - Bài toán chọn kích thước MCN Ví dụ 1.1 Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm 2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 1.5a). Xác định vị trí đƣờng tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang ở ngàm. Bài giải: Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy               .sin 2,4 0,5 1,2 .cos 2,4 0,866 2,08 x y P P kN P P kN Biểu đồ mô men uốn Mx và My đƣợc biểu diễn trên hình 1.5b,c. Vị trí đƣờng tải trọng đƣợc xác định theo công thức: tg = M M P l P l x y y x o      2 08 1 2 1 732 60 , , , ; . Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y          3 3 3 3 4 412.20 12 .208000 ; 2880 ; 12 12 12 12 x y bh b h I cm I cm 6 Hình 1.5: Hình ví dụ 1.1 Ta có ứng suất tại điểm A:      2 2,08.200 1,2.200 10 6 8000 2880 0,52 0,50 1,02 / y x A A A x y P l P l y x I I kN cm               Tƣơng tự, chúng ta tính đƣợc ứng suất tại các điểm B, C, D tƣơng ứng là: 2 2 20,02 / , 1,02 / , 0,02 / .B C DkN cm kN cm kN cm       Ví dụ 1.2: Cho dầm chịu lực nhƣ hình 1.6. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí đƣờng trung hoà. Cho biết: P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 300; [] =16000N/m2. Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có: 2 .cos 12160( ) 2 x ql M Pl Nm   .sin 2400( )yM Pl Nm  Thử lần thứ nhất ta lấy C = 4. Vậy:   3196( ) x y x M CM W cm     7 Hình 1.6: Hình ví dụ 1.2 Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn và gần nhất Wx=184cm 3 ; Wy=23,1cm 3 . Thử lại: max min   2max 17000( / ) yx x y MM N cm W W     Vì :     max 17000 16000 100% 100% 6,2% 5% 16000         Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm 3 , Wy = 28,2cm 3 Khi đó: 2 max 14500( / ) yx x y MM N cm W W     Ứng suất nhỏ hơn:     max 14500 16000 100% 9,4% 16000         Vì giữa thép có số hiệu 20 và 20a không còn số hiệu nào khác nên ta chọn dầm 8 thép có số hiệu 20a. Xác định vị trí đƣờng trung hoà. Tra bảng với I(20a) ta có Ix=2030cm 4 ; Iy=155cm 4’ . Do đó tại mặt cắt ngàm, phƣơng của đƣờng trung hoà là : max max 2030 2400 2,58 155 12160 x y y x I M tg I M       Hay: 068 50  1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) 1.3.1. Khái niệm Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz, mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 1.7). Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lƣợng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn (hình 1.8a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 1.8b). 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 9 Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đƣợc xác định theo công thức: yxz z x y MMN y x A I I     (1.16) hoặc 2 2 1 yxz z z x z y MMN y x A N i N i           (1.17) Trong đó: A - diện tích MCN; ix, iy - bán kính quán tính chính: xx I i A  ; y y I i A  Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Công thức kỹ thuật có dạng: yz x z x y MN M y x A I I      (1.18) Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc “-” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ phƣơng trình (1.18) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà là: 0 yxz x y MMN y x A I I    (1.19) hay: 2 2 1 0 yx z x z y MM y x N i N i    (1.20) Đƣờng trung hoà trong trƣờng hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một đƣờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nhƣ trong uốn xiên. 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) 10 Tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng suất đƣợc vẽ nhƣ hình 1.9. 1.3.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là : - Đối với vật liệu dẻo:   max   (1.21) - Đối với vật liệu giòn:   max k   ;   min n   (1.22) trong đó: max yz x x y MN M y x A I I      (1.23) min yz x x y MN M y x A I I      (1.24) xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đƣờng trung hoà nhất. xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đƣờng trung hoà nhất.  Nếu MCN của thanh có dạng nhƣ trên hình 1.9 thì lí luận tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên ta có: max yz x x y MN M A W W     (1.25) min yz x x y MN M A W W      (1.26) 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang Trong các công trình xây dựng ta thƣờng gặp những vật liệu chịu nén tốt nhƣng chịu kéo kém nhƣ gạch, đá, bê tông.v.v... có khi hầu nhƣ vật liệu không chịu đƣợc kéo, nhƣ chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất. Vì vậy trong quá trình thiết kế những bộ phận công trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đƣờng trung hoà không cắt qua mặt cắt ngang. Nhƣ vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng tâm của mặt cắt. Miền diện tích ấy đƣợc gọi là lõi của mặt cắt ngang. Vậy lõi của mặt cắt ngang đƣợc xác định nhƣ sau: - Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. - Vẽ các đƣờng trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang. Vị trí các đƣờng trung hoà này đƣợc xác định bởi toạ độ ai, bi tƣơng ứng. Với mỗi một đƣờng ta xác định đƣợc một điểm Ki(xi, yi) tƣơng ứng theo công thức: 11 x i a y i b ki y i ki x i     2 2 ; (1.27) Nối các điểm đặt Ki ta đƣợc chu vi của lõi (hình 1.10). Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang Hình dáng và kích thƣớc của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thƣớc mặt cắt ngang nó không phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem là một đặc trƣng hình học của mặt cắt ngang. Ta xét lõi của một số mặt cắt ngang thƣờng gặp : 1) Hình chữ nhật Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên lõi cũng có tính đối xứng. Khi đƣờng trung hoà tiếp xúc với AB: a1 =  ; b1 = -h/2. Toạ độ điểm K1 (điểm 1) là: x i a i y i b h h h k y y k x 1 2 2 1 2 2 0 12 2 6          ; . Tƣơng tự cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với AD ta có 2 2/ 2, ,a d b   nên 2 2/ 6, 0.k kx d y  Lần lƣợt cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với DC và CB ta xác định đƣợc điểm 1' và 2'. Nối 1, 2, 1', 2' ta đƣợc lõi của mặt cắt ngang là hình thoi (hình 1.11). 12 Hình 1.11: Lõi mặt cắt hình chữ nhật 2) Hình vành khăn Lõi của hình vành khăn cũng là hình tròn (hình 1.12a) có bán kính  2' 1 4 R r   , với . r R   Trƣờng hợp mặt cắt ngang là hình tròn đặc (hình 1.12b) thì bán kính của lõi ' . 4 R r  Hình 1.12: Lõi mặt cắt hình vành khăn Ví dụ 1.3 Cho một thanh chịu lực nhƣ hình 1.13a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí đƣờng trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm. Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm. 13 Hình 1.13: Hình ví dụ 1.3 Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp đƣợc vẽ trên hình 1.13b. Lực dọc:  0 1 240 160 400( )zN P P kN        . Mômen uốn:   2 4 1 2 4 10160 8 1680 2 2 100 2 x Ph ql M kNcm           21 2 160 6 4 10 1360 2 2 y Pb P l M kNcm       Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất theo (1.25), (1.26) là:  max 4,75 yz x x y MN M kNcm A W W        min 8,91 yz x x y MN M kNcm A W W        Vị trí đƣờng trung hoà: đƣờng trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm: 2 0 z y y N i x M   ; 2 0 z x x N i y M   trong đó:   2 2 221,3 12 x h i cm  ;   2 2 212 12 x b i cm  0zN  ; 0xM  ; 0yM  . Khi thay bằng số ta đƣợc: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện 14 Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song nhƣ không trùng với trục thanh. Đây là trƣờng hợp chịu lực thƣờng gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu nhƣ ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện. x z y x z y F C N=F M =F.yx C M =F.xy C Hình 1.14: Kéo lệch tâm và các nội lực tương ứng Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) nhƣ trên hình 1.14, bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận đƣợc: Lực dọc: Nz = F (1.28) Các mô men uốn: Mx = F.yC (1.29) My = F.xC (1.30) Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã chọn. Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tƣơng ứng Ci (xCi, yCi), thì giá trị lực F và điểm đặt C đƣợc tính theo kết quả của hợp lực iF F (1.31) i C C i F x x F    i CC i F y y F    (1.32) Với các ứng lực theo (1.28),(1.29) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là: yx C C x y x y MM Fy FxN F y x y A I I A I I        (1.33) Suy ra: 2 2 1 C C x y y y x xF A r r           Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện: x x I r A  ; y y I r A  * Với tiết diện hình chữ nhật b  h: 3 12 12 x x bh h bh I r A   ; 3 12 12 y y hb b bh I r A   * Với tiết diện hình tròn rỗng có đƣờng kính ngoài D và đƣờng kính trong d: 15     4 4 2 2 2 1 1 464 1 x x D D D I r A            Trong đó ký hiệu: d D   Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình đƣợc tìm ở bảng tra theo số hiệu thép. Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau: + Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trƣờng hợp kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời và ngƣợc lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trƣờng hợp sau, lực và điểm đặt sẽ đƣợc tính theo công thức: F N ; y C M x N  ; x C M y N  (1.34) + Định luật tác dụng tƣơng hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra. + Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A. 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm Phƣơng trình đƣờng trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có: 2 2 01 C C x y y y x x r r   Nếu đặt: 2 y C r a x   2 x C y r b   ( 1.35) Phƣơng trình đƣờng trung hoà sẽ có dạng: 1 yx a b  (1.36) Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đƣờng trung hoà với trục hoành và với trục tung nhƣ chỉ trên hình 1.15 x C y a b Hình 1.15: Vị trí đường trung hoà và điểm đặt lực C Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất chung, đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau: 16 1- Đƣờng trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đặt tải trọng, đƣờng trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tƣ đối đỉnh của hệ trục toạ độ. 2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đƣờng trung hoà nằm song song trục y và ngƣợc lại. 3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đƣờng thẳng thì đƣờng trung hoà sẽ xoay quanh một điểm trên tiết diện. Ví dụ 1.4 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không. Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột. Bài giải: Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD Khi đó: )/(200 . 2cmN W yP F P x D A  (1) )/(0. . 2cmNy I yP F P B x D B  (2) Từ (2)  )( 3 40 12.10.40 40 . 2 4 cm yF I y B x D    Từ (1)  )(10.32 6 40 40. 3 40 6 200.40.40 . .. 4 3 2 32 N WFy WF P xD Ax             Ứng suất nén lớn nhất ở cột: )/(600 6 40 3/40.10.32 40 10.32. 2 3 4 2 4 min cmN W yP F P x D C  Ví dụ 1.5 Một dụng cụ kẹp có dạng nhƣ hình vẽ 1.13. Cho: h=15mm, b=5mm, e=50mm. Tính mô men của ngẫu lực có thể đặt vào tay vặn để cho ứng suất lớn nhất ở thân giá không vƣợt quá ứng suất cho phép. Cho []=160MN/m2. Bƣớc của răng ốc vít  = 1mm. Giả thiết bỏ qua các ảnh hƣởng ma sát. Bài giải: Hình 1.16 17 Hình 1.13. Quan hệ giữa mô men ngẫu lực đặt vào tay vặn và lực nén tác dụng vào chi tiết: 2 N M    Ứng suất ở thân chi tiết:  max 6 2 6 1 1 N e M e bh h bh h                     Hay:   6 2 1 bh M e h           Thay giá trị: 1600.0,1.0,5.1,5 9,1 6.5 ...biến dạng, chuyển vị của thanh và đã đánh giá độ bền, độ cứng của thanh trong các trƣờng hợp chịu lực. Tuy nhiên, thực tế cho thấy rằng: các điều kiện này nhiều khi cũng chƣa đảm bảo đầy đủ khả năng làm việc bình thƣờng của kết cấu. Cùng với việc phân tích độ bền, độ cứng các kỹ sƣ cần quan tâm đến độ ổn định của kết cấu. Sơ đồ tính, tính chất vật liệu mà chúng ta đặt ra với kết cấu là những khái niệm tuyệt đối, lý tƣởng. Trong thực tế, kết cấu còn chịu những yếu tố thực, những nhiễu động. Dƣới ảnh hƣởng của những nhiễu động này, kết cấu có thể có những biến dạng lệch khỏi sơ đồ tính ban đầu. Khi ngừng nhiễu động, kết cấu có thể quay trở lại hoặc không quay trở lại sơ đồ tính ban đầu. Ta định nghĩa một cách khái quát: độ ổn định của kết cấu là khả năng duy trì, bảo toàn được dạng cân bằng ban đầu trước các nhiễu động có thể xảy ra. Hình 3.1: Các vị trí cân bằng của quả cầu Để làm rõ hơn khái niệm này, ta hãy xét sự ổn định của vật rắn qua sự cân bằng của quả cầu ở những vị trí khác nhau trên một bề mặt nhƣ trên hình 3.1: trên đáy lõm (độ cong dƣơng), trên đỉnh lồi (độ cong âm) và trên mặt nằm ngang (độ cong bằng không). Những vị trí cân bằng này gọi là vị trí cân bằng ban đầu. Nếu cho quả cầu một xê dịch nhỏ đƣa nó từ vị trí cân bằng ban đầu sang một vị trí lân cận mới, gọi là vị trí cân bằng nhiễu động, và sau đó ngừng nhiễu động thì ta dễ dàng nhận thấy: - Trong trƣờng hợp thứ nhất, trên hình 3.1a, quả cầu sẽ quay trở lại vị trí ban đầu. Vị trí cân bằng ban đầu là ổn định. - Trong trƣờng hợp thứ hai trên hình 3.1b, quả cầu sẽ không quay lại vị trí ban đầu mà tiếp tục chuyển động. Vị trí cân bằng ban đầu khi này là không ổn định. - Trong trƣờng hợp thứ ba trên hình 3.1c, quả cầu sẽ không quay trở lại vị trí ban đầu nhƣng cũng không chuyển động xa hơn mà nằm ngay tại vị trí cân bằng nhiễu động. Vị trí cân bằng ban đầu là phiếm định. Điều kiện để quả cầu có vị trí cân bằng ổn định là độ cong của bề mặt tựa k > 0. Hiện tƣợng tƣơng tự cũng xảy ra đối với trạng thái cân bằng biến dạng của hệ 45 kết cấu. Để đơn giản, ta xét một thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực N nhƣ trên hình vẽ 3.2. Trong quá trình xem xét, ta sẽ tăng dần trị số của lực, bắt đầu từ 0. Trạng thái cân bằng ban đầu của thanh là dạng thẳng, thanh chỉ chịu nén đúng tâm. Gây ra cho thanh một nhiễu động, chẳng hạn bằng một lực ngang nhỏ R đủ đƣa thanh ra khỏi vị trí cân bằng thẳng, thanh sẽ cong đi. Dạng cân bằng cong này gọi là trạng thái cân bằng nhiễu động. Nếu ngừng các nhiễu động, bỏ lực ngang R, ta nhận thấy sẽ xảy ra các khả năng sau: - Khi giá trị lực nén N bé, chẳng hạn nhỏ hơn một trị số Nth nào đó, thanh sẽ thẳng trở lại. Trạng thái cân bằng của thanh là ổn định (hình 3.3a) - Khi giá trị lực nén N lớn,vƣợt quá trị số Nth, thanh không thẳng trở lại mà tiếp tục cong thêm, xa dần trạng thái cân bằng ban đầu. Trạng thái cân bằng ban đầu của thanh, khi này, là trạng thái cân bằng không ổn định (hình 3.3c). Khi bị mất ổn định, thanh sẽ cong thêm, ngoài chịu nén thanh còn chịu uốn, ứng suất và biến dạng sẽ tăng lên dẫn đến thanh bị phá hủy. - Tồn tại một trạng thái chuyển tiếp trung gian, khi lực nén N = Nth, sau khi bỏ nhiễu động, thanh không thẳng trở lại nhƣng cũng không cong thêm. Thanh giữ nguyên trạng thái cân bằng nhiễu động (hình 3.3b). Trạng thái trung gian này đƣợc gọi là trạng thái cân bằng tới hạn. Trị số lực nén Nth tƣơng ứng đƣợc gọi là lực nén tới hạn. N Hình 3.2: Thanh thẳng chịu nén N N th a) b) c) Hình 3.3:Các dạng cân bằng của thanh Cần lƣu ý rằng nhiễu động luôn luôn tồn tại, sẵn có trong điều kiện thực của kết cấu. Đó là độ cong ban đầu của trục thanh khi chế tạo, là sự không đồng đều của tiết diện, là độ lệch tâm vốn có của lực nén, là những tác động ngẫu nhiên của tải trọng ngang, là tất cả những yếu tố sai lệch thực tế không thể tránh khỏi so với điều kiện lý tƣởng. Vì vậy, bài toán ổn định của thanh mang ý nghĩa thực tế rất lớn. Khi tính toán kết cấu, cần đảm bảo để thanh không bị mất ổn định. Đối với thanh chịu nén đúng tâm thì điều kiện này đƣợc biểu diễn bởi bất đẳng thức: N  Nth Điều kiện ổn định nêu trên độc lập đối với các điều kiện bền và điều kiện cứng 46 đã nêu trong các chƣơng trƣớc. Thực tế cho thấy thanh có thể mất ổn định trong giới hạn đàn hồi, khi ứng suất chƣa vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl, và thanh cũng có thể mất ổn định ngoài giới hạn đàn hồi, khi ứng suất trong thanh vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl. Hiện tƣợng mất ổn định cũng có thể xảy ra đối với các trƣờng hợp chịu lực khác của thanh. Ví dụ nhƣ: - Hình 3.4a: Dầm chịu uốn sẽ ổn định khi lực ngang P  Pth, trong dầm chỉ có biến dạng uốn, khi P  Pth thì dầm mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm còn có biến dạng xoắn. - Hình 3.4b: Một ống tròn mỏng bị xoắn thuần tuý khi mômen xoắn M > Mth, thành ống sẽ bị méo vì mất ổn định. Hình 3.4: Một số dạng mất ổn định khác Ngày nay, vấn đề ổn định kết cấu đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đƣợc trình bày trong những chuyên đề, giáo trình riêng biệt. Trong khuôn khổ sức bền vật liệu ta chỉ nghiên cứu bài toán cơ bản nhất: bài toán ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm, hoặc còn gọi là bài toán uốn dọc (thanh cong khi chị tác dụng của lực dọc trục), mà mục đích chính là xác định lực nén tới hạn để kiểm tra điều kiện ổn định. 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu Xét một thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu, chịu lực nén đúng tâm N có phƣơng không đổi. Giả sử lực nén đạt tới trị số tới hạn N = Nth, thanh bị uốn cong và tiết diện ở tọa độ z có độ võng y  0 nằm trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn nhỏ nhất nhƣ trên hình 3.5. Ký hiệu độ cứng chống uốn trong mặt phẳng đang xét của tiết diện là EI, mô men uốn tại tiết diện là M, ta có phƣơng trình vi phân độ võng là: '' My EI   (3.1) Bằng phƣơng pháp mặt cắt, xét thanh ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình 3.5b, ta có : 47 M = N.y (a) z N N z M y Hình 3.5: Bài toán Euler Thay (a) vào 3.1 ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất: '' 2 0y y  (3.2) với ký hiệu: 2 N EI   (3.3) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: 1 2os siny C c z C z   (b) Các hằng số tích phân đƣợc xác định từ các điều kiện biên: Tại z = 0 thì y = 0; thay vào (b) ta có: C1 = 0 ; do đó y = C2sinz (c) Tại z = l thì y = 0 ; thay vào (c) ta có : C2sinl=0 (d) Nhƣ vậy, hoặc C2 = 0 hoặc sinl = 0 Theo (c) điều kiện C2 = 0 dẫn đến kết luận y = 0, trái với giả thiết ban đầu là y  0 nhƣ vậy sinl = 0. Do đó : l k  với k là số tự nhiên, hoặc 2 2 k l          (e) So sánh(3.3) và (e) ta suy ra : 2 2 2 EI N k l   với k = 1,2,3, (3.4) Biểu thức (3.4) là điều kiện để độ võng của thanh khác không, tức là điều kiện mất ổn định của thanh. Giá trị bé nhất khác không của (3.4) ứng với k = 1 sẽ là lực tới hạn. 2 2th EI N l   (f) Mặt khác, trên tiết diện của thanh tồn tại hai trục quán tính chính trung tâm, là hai trục trung tâm có mô men quán tính cực trị là Imax và Imin. Để có giá trị bé của (f) 48 thì ta sử dụng Imin, có nghĩa là thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn EI bé nhất. Biểu thức lực tới hạn khi này là: min 2 2th EI N l   (3.5) Nhƣ thế, lực tới hạn là lực nén nhỏ nhất tạo cho thanh thêm một dạng cân bằng cong khác với dạng cân bằng thẳng ban đầu. Theo các kết luận trên, ta có thể nhận thấy một vài vấn đề chƣa đƣợc giải quyết rành mạch, chẳng hạn độ võng của thanh có dạng 2 sin z y C l   nhƣng trị số của độ võng không xác định, hoặc dạng độ võng sẽ ra sao nếu tải trọng nhận giá trị lớn hơn trị số ứng với k=1 là min 2 2th EI N l   nhƣng nhỏ hơn trị số tới hạn ứng với k = 2 là min ,2 2 2 4th EI N l   Để trả lời các câu hỏi này ta cần lƣu ý rằng công thức Euler đƣợc xây dựng trên cơ sở phƣơng trình vi phân tuyến tính gần đúng của độ võng, phƣơng trình này chỉ đƣợc chấp nhận khi biến dạng nhỏ, công thức Euler chỉ cho giá trị lực tới hạn ở thời điểm thanh bắt đầu cong mà không kết luận về quá trình tiếp tục cong của thanh. Lagrange đã lặp lại nghiên cứu của Euler nhƣng xuất phát từ phƣơng trình vi phân phi tuyến chính xác của đƣờng đàn hồi  2 '' 3 2'1 y M EI y    và đã kết luận rằng: khi lực nén đạt giá trị của Euler thì thanh bắt đầu cong và sau đó dù lực tăng rất ít, biến dạng của thanh sẽ phát triển rất nhanh dẫn thanh tới trạng thái bị phá hủy. Vì vậy, khi không có các liên kết phụ để hạn chế độ võng thì chỉ xảy ra đƣờng cong ứng với k=1, không tồn tại những đƣờng biến dạng ứng với các trị số cao hơn. 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu Lặp lại phép giải bài toán đã tiến hành ở trên nhƣng thay đổi các điều kiện biên, ta nhận đƣợc biểu thức của lực tới hạn trong từng trƣờng hợp liên kết cụ thể của thanh và có thể viết một cách tổng quát:   min 2 2th l EI N    (3.6) Trong đó  là hệ số phụ thuộc điều kiện liên kết ở hai đầu thanh, trị số cho trên hình 3.1. Nghiên cứu tỷ mỷ hơn có thể thấy  là số lần chiều dài của thanh ứng với một nửa bƣớc song hình sin của đƣờng cong trục thanh. Chẳng hạn hai lần chiều dài đối với thanh côngxôn, một lần chiều dài đối với thanh liên kết khớp ở hai đầu, một nửa 49 chiều dài đối với thanh liên kết ngàm ở hai đầu. a) b) c) d) l lo lo l /2  12 0,7 o lo 0,5 Hình 3.6: Hệ số ảnh hưởng liên kết  (l0=l) Trị số l0=l đƣợc gọi là chiều dài quy đổi của thanh khi tính ổn định. Công thức tính lực tới hạn theo chiều dài quy đổi là: 2 0 min 2 th l EI N   (3.7) Bài toán tìm lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén đúng tâm đƣợc Euler giải lần đầu tiên vào năm 1744 và công thức tính lực tới hạn (3.6) đƣợc gọi là công thức Euler. Công thức Euler sử dụng trị số Imin đúng với trƣờng hợp thanh có liên kết nhƣ nhau trong hai mặt phẳng quán tính chính xz và yz. Khi thanh có liên kết khác nhau trong hai mặt phẳng thì cần tính lực tới hạn riêng biệt trong từng mặt phẳng và chọn trị số nhỏ hơn làm lực tới hạn thực. 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh Thƣơng số giữa lực tới hạn Nth và diện tích A của tiết diện là ứng suất trên tiết diện thanh ngay trƣớc thời điểm thanh bị mất ổn định, đƣợc gọi là ứng suất tới hạn, ký hiệu th. Có thể viết:   2 2 min 2 2 min th th N EI E A l A l r                (3.8) Với: minmin I r A  là bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết diện. Gọi  là độ mảnh của thanh: min l r    (3.9) Ta nhận đƣợc công thức tính ứng suất tới hạn của Euler: 50 2 2 th E     (3.10) Độ mảnh  là một đặc trƣng ổn định của thanh, trị số này càng lớn thì khả năng ổn định của thanh càng nhỏ, tên gọi “độ mảnh” cũng xuất phát từ ý nghĩa: càng mảnh thì càng dễ mất ổn định. Độ mảnh phụ thuộc vào chiều dài của thanh, điều kiện liên kết và đặc trƣng hình học của tiết diện. 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler Phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi (3.1), cơ sở để giải bài toán Euler, chỉ đúng khi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi. Do đó, kết quả của bài toán cũng chỉ đúng khi vật liệu còn làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ: 2 2 tlth E      hoặc khi: 2 tl E    (g) Nếu ký hiệu: 2 0 tl E    (3.11) Thì điều kiện để áp dụng công thức Euler là: 0  (3.12) Thanh có độ mảnh thỏa mãn điều kiện (3.12) đƣợc gọi là thanh có độ mảnh lớn. Thanh có độ mảnh nhỏ hơn 0 đƣợc gọi là thanh có độ mảnh vừa hoặc bé. Không thể áp dụng công thức Euler để tính ứng suất tới hạn đối với thanh có độ mảnh vừa và bé. 3.4. ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI Nghiên cứu lý thuyết về ổn định ngoài giới hạn đàn hồi còn gặp những khó khăn nhất định và chƣa cho một kết quả thống nhất. Trong kỹ thuật ta thƣờng áp dụng những công thức đơn giản rút ra từ thực nghiệm. 1. Thanh có độ mảnh vừa: 1 ≤  ≤ 0 Có thể dùng công thức của Iasinski: th=a - b (3.13) Hằng số a, b phụ thuộc vào vật liệu và tìm đƣợc từ thí nghiệm: Với thép ít cacbon: a=31 kN/cm2; b=0,14 kN/cm2 Với gỗ: a=2,93 kN/cm2; b=0,0194 kN/cm2 Quan hệ giữa th và  là bậc nhất. Có thể tìm đƣợc giới hạn 1 theo biểu thức: 51 1 tla b     2. Thanh có độ mảnh bé ≤1 Vì độ mảnh quá bé nên khi chịu nén thì thanh không thể bị cong, trạng thái tới hạn của thanh cũng đồng thời là trạng thái phá hủy của vật liệu. Sự phá hủy này mang đặc trƣng giòn, chẳng hạn với bê tông, khi ứng suất đạt giới hạn bền; hoặc mang đặc trƣng xuất hiện biến dạng dẻo, chẳng hạn với thép, khi ứng suất đạt giới hạn chảy. bth ch        (3.14) Đồ thị quan hệ giữa ứng suất tới hạn th và độ mảnh  của thanh làm từ vật liệu dẻo đƣợc vẽ trên hình 3.3. Hình 3.7: Quan hệ th và  3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH Ta đã biết điều kiện bền của thanh chịu nén là:   N A    (3.15) Trong đó: N – giá trị lực dọc; A – diện tích tiết diện giảm yếu cục bộ của thanh, chẳng hạn với hệ số trên hình 3.8, trị số A là A0 lấy tại tiết diện có khoét lỗ; [] - ứng suất bền cho phép, bằng ứng suất tới hạn 0 chia cho hệ số an toàn về bền: 0 n      Điều kiện ổn định của thanh chịu nén, kể đến hệ số an toàn, có thể viết dƣới dạng: th od N A k        (3.16) Sự giảm yếu của một vài tiết diện không ảnh hƣởng đáng kể đến độ ổn định 52 chung của thanh, do đó diện tích A sẽ lấy bằng diện tích nguyên của thanh. Trị số ứng suất tới hạn lấy theo các công thức (3.10), (3.13), (3.14) tùy theo độ mảnh của thanh. Để giảm bớt khó khăn khi tính toán, ta đƣa thêm ký hiệu: od           (h) Khi đó, điều kiện ổn định (3.16) đƣợc viết lại, có dạng tƣơng tự điều kiện bền nhƣ sau:   N A    (3.17) N A A0 Hình 3.8: Diện tích tiết diện A và A0 Hệ số  đƣợc gọi là hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất cho phép, theo biểu thức định nghĩa sẽ là một hàm phụ thuộc độ mảnh   0 . thod n k                Dạng hàm  =() là đã biết và có thể lập sẵn thành bảng cho từng loại vật liệu. Khi tính toán ta chỉ cần tra bảng tìm hệ số  theo độ mảnh  của thanh. Cách tính ổn định nhƣ vậy theo (3.17) đƣợc gọi là cách tính thực hành, cách tính theo theo quy phạm hoặc cách tính theo hệ số giảm ứng suất cho phép. Ƣu điểm của cách tính này không chỉ ở chỗ đơn giản, gọn gàng mà còn chuẩn xác hơn, tập hợp đƣợc nhiều số liệu thống kê hơn khi lấy tỷ số của hai hệ số an toàn n k Theo điều kiện ổn định ta cũng có ba bài toán cơ bản: - Bài toán kiểm tra:   N A    ( 3.18) Nếu bất đẳng thức thỏa mãn thì thanh ổn định, không thỏa mãn thì thanh mất ổn định. 53 Bài toán xác định lực nén cho phép:  N A  (3.19) Bài toán thiết kế, xác định tiết diện:   N A    (3.20) Riêng với bài toán thiết kế, cách giải có phần phức tạp hơn vì hệ số  phụ thuộc vào độ mảnh , độ mảnh lại chƣa biết vì tiết diện chƣa xác định. Do đó, bài toán sẽ đƣợc giải bằng cách thử đúng dần, thay bài toán thiết kế bằng bài toán kiểm tra. Bảng 3.1: Bảng tra hệ số  Độ mảnh  Trị số  đối với Thép số 2,3,4 Thép số 5 Thép C  Gang Gỗ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 10 0,99 0,98 0,97 0,97 0,99 20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 50 0,89 0,86 0,83 0,57 0,80 60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,60 80 0,75 0,70 0,65 0,26 0,48 90 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38 100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31 110 0,52 0,43 0,35 - 0,25 120 0,45 0,36 0,30 - 0,22 130 0,40 0,33 0,26 - 0,18 140 0,36 0,29 0,23 - 0,16 150 0,32 0,26 0,21 - 0,14 160 0,29 0,24 0,19 - 0,12 170 0,26 0,21 0,17 - 0,11 180 0,23 0,19 0,15 - 0,10 190 0,21 0,17 0,14 - 0,09 200 0,19 0,16 0,13 - 0,08 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi Xét một thanh chịu đồng thời tải trọng ngang và tải trọng dọc trong mặt phẳng yz. Ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình (3.9) ta thấy không chỉ tải trọng ngang mà cả tải trọng dọc cũng gây ra mômen uốn. Mômen uốn do tải trọng dọc tỷ lệ với độ võng, nên khi thanh có độ mảnh lớn thì trị số mô men này là đáng kể và cần đƣa vào tính 54 toán. Bằng phƣơng pháp mặt cắt, ta xét thanh ở trạng thái biến dạng, ta tìm đƣợc trị số của mô men uốn  1M Sy Rz F z a      F1 F1 F2 S R a z y y S R M Hình 3.9: Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời Lƣợng Sy là mô men uốn do lực dọc; lƣợng trong móc vuông là mô men uốn chỉ do tải trọng ngang, ký hiệu là M và xác định bình thƣờng nhƣ khi không có tải trọng dọc. Khi đó biểu thức của mô men uốn sẽ đƣợc viết tổng quát là: M M Sy  (3.21) Biểu thức (3.21) cho thấy nội lực không những phụ thuộc vào ngoại lực mà còn phụ thuộc vào biến dạng, đó là một đặc điểm của bài toán đang xét. Độ võng đƣợc xác định theo phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi: '' My EI   (3.22) Thay giá trị (3.21) vào (3.22), sau khi rút gọn ta có: 2'' x x M k yy EI    (3.23) Trong đó: 2 x k S EI  (3.24) Giải phƣơng trình vi phân cấp hai không thuần nhất (3.23) kết hợp các điều kiện biên ta tìm đƣợc độ võng y, sau đó tính mô men uốn theo (3.21) Nghiệm tổng quát của (3.23) sẽ là: *'' yy y  Trong đó: *y - là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất 1 2os siny C c z C z   y - là nghiệm riêng của phƣơng trình có vế phải, phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của mô men uốn ngang M , do đó, phụ thuộc vào dạng cụ thể của tải trọng ngang. Để tránh những khó khăn chi tiết của từng bài toán riêng biệt, ta có thể giải bài 55 toán một cách gần đúng nhƣ sẽ trình bày dƣới đây. 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng 1. Thanh thẳng có liên kết khớp ở hai đầu Giả thiết tải trọng ngang hƣớng về một phía và đối xứng qua tiết diện chính giữa nhịp nhƣ trên hình 3.10. Khi đó độ võng cũng đối xứng, đạt cực trị f ở chính giữa nhịp và bằng không ở hai đầu. F1 F1 l/2 l/2 f Hình 3.10: Đường đàn hồi dạng đối xứng Có thể chọn hàm độ võng y thỏa mãn các điều kiện kể trên dƣới dạng: sin z y f l   (i) Độ võng y , do tải trọng ngang cũng có thể viết dƣới dạng tƣơng tự: sin z y f l   (k) Trị số độ võng cực trị f tại chính giữa dầm do tải trọng ngang gây ra có thể tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp quen thuộc đã biết. Quan hệ giữa y và mô men uốn M vẫn đƣợc diễn tả băng phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi: '' x M y EI   (1) Thay (l) vào phƣơng trình độ võng (3.23) ta nhận đƣợc quan hệ: '' 2'' k yy y  (3.25) Thay thế các biểu thức độ võng (i) và (k) vào (3.25), sau khi rút gọn ta đƣợc: 2 2 1 x f f S EI l         Ký hiệu 2 2 x Euler EI l N   , biểu thức này có dạng công thức tính lực tới hạn Euler tƣơng ứng với độ cứng chống uốn của mặt phẳng đang xét EIx thay cho độ cứng nhỏ nhất EImin 1 Euler f f S N   (3.26) 56 Thay (3.26) vào (k), kết hợp với (l) ta có thể viết biểu thức độ võng khi uốn ngang, uốn dọc đồng thời: 1 Euler y y S N   (3.27) y là độ võng của dầm chỉ do tải trọng ngang, tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp quen thuộc đã biết. Với các tải trọng ngang không đối xứng nhƣng cùng hƣớng về một phía, ta vẫn chấp nhận công thức (3.27) để tính độ võng. 2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu. Khi thanh chịu uốn ngang, uốn dọc đồng thời có các kiểu kiên kết khác, ta cũng có thể dùng công thức () để tính độ võng, trong đó biểu thức của lực Euler đƣợc điều chỉnh bằng hệ số ảnh hƣởng liên kết  có giá trị nhƣ khi tính ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm.   2 2 x Euler EI l N    (3.28) 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn Sau khi xác định đƣợc độ võng, ta tính mô men uốn theo (3.21): 1 Euler y M M Sy M S S N      (3.29) Tuy nhiên cũng có thể tính đƣợc mô men uốn bằng một phép tính gần đúng tiếp theo nhƣ sau: - Từ phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi, ta có quan hệ: '' '' x x M y M y  - Lấy đạo hàm cấp 2 của y và y theo biểu thức gần đúng (i), (k), kết hợp với (3.26) ta nhận đƣợc: 2 2 sin 1 1sin Euler x x z f l l f Sfz f Nl l M M                     Nhƣ vậy, biểu thức tính mô men uốn M do uốn ngang và uốn dọc đồng thời đƣợc biểu thị theo mô men uốn M do uốn ngang: 1 x x Euler M M S N   (3.30) Tính mô men uốn theo (3.30) đơn giản hơn tính theo (3.29) nhƣng kém chính 57 xác hơn vì phải chấp nhận hai lần gần đúng. 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. Nội lực trên thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời bao gồm lực dọc N=-S và mô men uốn M. Ứng suất pháp trên tiết diện thanh: x x MS y A I     (3.31) Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện chữ nhật, khi sử dụng công thức gần đúng thứ hai của mô men uốn, đƣợc viết là: max W W 1 x x x x Euler M MS S A A S N               (3.32) Biểu thức (3.32) cho thấy khi tải trọng ngang và dọc tăng lên n lần thì ứng suất tăng lên lớn hơn n lần. Do đó điều kiện bền không thể viết theo ứng suất cho phép 0 max n       mà cần đƣa hệ số an toàn vào tải trọng. Khi này, điều kiện bền của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời, khi sử dụng công thức gần đúng thứ hai của mô men uốn, phải viết dƣới dạng: 0 W 1 x x Euler nMnS A nS N            Ngoài ra, cần lƣu ý kiểm tra ổn định của thanh trong mặt phẳng quán tính không chứa tải trọng ngang, là mặt phẳng xz .   S A    Hệ số uốn dọc  tìm ở bảng (3.1) theo trị số của độ mảnh xz của thanh trong mặt phẳng xz: xz xz y l i    3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM Thanh thẳng chịu nén lệch tâm là một trƣờng hợp thƣờng gặp trong thực tế vì độ lệch tâm của lực là không tránh khỏi. Khi thanh mềm, có độ mảnh lớn, chẳng hạn các kết cấu bằng kim loại, hiện tƣợng uốn dọc làm cho quan hệ chuyển vị - ngoại lực, quan hệ nội lực - ngoại lực trở thành các quan hệ phi tuyến, phức tạp nhƣ đã thấy từ các nghiên cứu ở trên. Ta khảo sát thêm trƣờng hợp một thanh côngxôn chịu nén bới 58 lực F có độ lệch tâm e nhƣ hình 3.11 nhằm mục đích thiết lập mối quan hệ giữa lực nén F và độ lệch tâm e. Mô men uốn tại tiết diện có toạ độ z: ( )M F e y   Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi: '' ( )EIy F e y   Hay:  '' 2 2y k y k e    Nghiệm tổng quát: 1 2cos siny C kz C kz e     Điều kiện biên: khi z=0 thì y=y’=0; Khi z=l thì y= Từ hai điều kiện đầu: C1 + e + =0 ; kC2=0; ta có C2=0 Điều kiện thứ ba cho: 1 cos 0C kl e  Biểu thức độ võng sẽ là: cos cos l kz y e kl   Hình 3.11: Thanh có độ mảnh lớn chịu nén lệch tâm Hình 3.12: Quan hệ độ võng - lực nén (dạng không thứ nguyên) Đồ thị quan hệ giữa độ võng của đầu tự do  và lực nén F đƣợc trình bày trên hình 3.12. Đồ thị cho thấy khi lực nén tiến tới trị số lực tới hạn thì độ võng tăng vô hạn, không phụ thuộc vào độ lệch tâm e. Do đó, bài toán Euler đƣợc coi nhƣ một trƣờng hợp giới hạn. 59 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN Khi trị số tải trọng ngang trên dầm chịu uốn phẳng vƣợt quá một trị số tới hạn thì dầm sẽ mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm sẽ có biến dạng xoắn. Để đảm bảo dầm không mất ổn định, tải trọng ngang cần nhỏ hơn trị số tới hạn. Vì sự phức tạp của bài toán, trong mục này ta chỉ xét bài toán ổn định của dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn bởi hai mômen M trong mặt phẳng yoz nhƣ hình 3.13a. Hai đầu dầm đƣợc liên kết sao cho tại liên kết độ võng y theo phƣơng y, độ võng x theo phƣơng x và góc xoắn  tại tiết diện quanh trục z bằng không. Bài toán tìm mômen tới hạn đƣợc giải quyết theo quan điểm của Euler nhƣ đã đƣợc tiến hành với thanh thẳng chịu nén đúng tâm: tìm điều kiện để tồn tại một dạng cân bằng, khác với dạng cân bằng đã cho ban đầu.Ở đây dạng cân bằng ban đầu là dạng cân bằng chịu uốn, dạng cân bằng khác là dạng uốn và xoắn đồng thời. Giả thiết mô men uốn M đạt giá trị tới hạn, ngoài biến dạng uốn, thanh còn có biến dạng xoắn nhƣ hình 3.13b. Tiết diện thanh có độ võng y do mômen uốn Mx , độ võng x do mômen uốn My và góc xoắn  do mômen xoắn Mz. Trên hình vẽ các mômen đƣợc biểu diễn bằng các vectơ mômen. Ta giả thiết mômen ngoại lực M vẫn nằm trong mặt phẳng ban đầu, nghĩa là vectơ mômen ngoại lực giữ phƣơng không đổi; tƣơng tự nhƣ giả thiết phƣơng lực dọc N không đổi trong bài toán thanh chịu nén. Khi đó, từ điều kiện cân bằng vectơ mômen nội lực toàn phần trên tiết diện vẫn giữ phƣơng không đổi. Vectơ mômen nội lực toàn phần đƣợc phân ra thành vectơ mômen xoắn và vectơ mômen uốn. Vectơ mômen xoắn có phƣơng z của trục thanh sau biến dạng, vectơ mômen uốn có phƣơng x và phƣơng y của tiết diện sau biến dạng. Xem các góc quay là nhỏ, có thể tính mômen uốn và mô men xoắn nhƣ sau: * Theo hình 3.13c: mômen uốn quanh trục x là: cosxM M M  mô men xoắn: 'sinz dx M M Mtg M Mx dz      * Theo hình 3.13d: mô men uốn quanh trục y là: y xM M tg M   60 Trong đó:  - góc xoắn của tiết diện đang xét;  - góc nghiêng của trục thanh so với trục thanh trong mặt phẳng xz dx tg dz    Ký hiệu độ cứng khi uốn và khi xoắn của tiết diện lần lƣợt là EIx, EIy ,GIxo; ta có các quan hệ vi phân: * Uốn trong mặt phẳng yz: '' x xEI y M M    * Uốn trong mặt phẳng xz: '' y yEI x M M    * Xoắn: ' xo z d GI M Mx dz    Sau khi biến đổi ta đƣợc quan hệ: '' '' xo y M GI Mx M EI     Đặt: 2 2 y xo M m EI GI  Ta tìm đƣợc giá trị của mô men uốn tới hạn nhƣ sau: th y xoM EI GI l   Hình 3.13: Ổn định của dầm chịu uốn thuần tuý 61 3.9. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 3.1 Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của một cột làm bằng thép số 3 mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. Cột có liên kết khớp hai đầu. Xét hai trƣờng hợp: a) Cột cao 3m. b) Cột cao 2,5m. Biết E = 2,1.105 MN/m2 Bài giải: Mặt cắt ngang hình chữ I số 22a có F = 32,4 cm2; iy = imin = 2,5 cm. Theo liên kết của thanh thì  = 1. a) Khi cột cao 3m. Độ mảnh  của thanh là:      l imin . , 13 0 025 120 Ta đã biết với thép số 3 thì o = 100. Nên 0  do vậy ta dùng công thức (12.5) để tính ứng suất tới hạn:    th E MN m   2 2 2 5 2 2314 2 110 120 143 , . , . / Do đó lực tới hạn của thanh bằng:     6 4 3. 143.10 .32,4.10 463.10th thN A N b) Khi cột cao 2,25 m: Độ mảnh  của cột bằng:       l i o min . , , 12 25 0 025 90 Ta dùng công thức (12.8) để tính th. Biết a = 336 MN/m 2 ; b = 1,47 MN/m 2  2. 336 1,47.90 204 /th a b MN m      Khi đó:     4 3. 204.32,4.10 0,66.10th thN A N Ví dụ 3.2 Một thanh có chiều dài l=3m, một đầu ngàm, một đầu khớp. Hãy xác định lực tới hạn của thanh trong ba trƣờng hợp sau đây: a) Mặt cắt hình tròn bán kính R=4cm, vật liệu là gang xám có tl =178 MN/m 2 , E=11,5.10 4 MN/m 2 b) Mặt cắt hình tròn rỗng, bán kính ngoài R=3cm, bán kính trong r=2cm, vật liệu là đuyra có tl=180 MN/m 2 , E=7,1.10 4 MN/m 2 c) Mặt cắt hình vuông cạnh 15  15cm, vật liệu bằng gỗ có tl=17 MN/m 2 , E=10 4 MN/m 2 Bài giải: 62 a) Thanh bằng gang mặt cắt tròn: 2 x x I R i A   2 0,7.3.2 105 4.10x l i       Độ mảnh giới hạn 0 của gang xám: 4 0 11,5.10 3,14 80 178tl E       Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn: 2 4 2 4 2 3 2 2 3,14.11,5.10 4 .10 516.10 516 105 th th E N A R MN kN           b) Thanh bằng đuyra, mặt cắt ngang hình vành khăn: 21 2 x x I R i A    Trong đó: 2 3 r R    22 0,7.3 188 3.10 2 1 2 3 x l i             Độ mảnh giới hạn 0 của đuyra: 4 0 7,1.10 3,14 62,3 180tl E       Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn:   2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 3,14.7,1.10 .3 .10 1 3 1 188 th th E N A R                    381.10 81MN kN  c) Thanh bằng gỗ, mặt cắt ngang hình vuông: 3 0,29 6 x a i a  2 0,7.3 48,3 0,29.15.10x l i       Độ mảnh giới hạn 0 của gỗ: 63 4 0 10 3,14 76 17tl E       Vì  < 0, ta sử dụng công thức Ianxinxky th a b   để xác định lực tới hạn, trong đó a=29,3 MN/m2; b=0,194 MN/m2: 229,3 0,194.48,3 19,9 /th MN m    Lực tới hạn: 419.9.10 0,4478 447,8th thN A MN kN     Ví dụ 3.3 Chọn số hiệu thép chữ I cho thanh dài 2 m, liên kết khớp tại hai đầu và chịu một lực nén  230N kN . Biết vật liệu là thép số 2 có   2140 / n MN m  . Bài giải Đây là bài toán chọn tiết diện mặt cắt - vì có hai ẩn là  và A nên ta chọn theo phƣơng pháp đúng dần a) Lần 1: Chọn  = 0,5 Ta có diện tích A là:   3 4 2230.10 32,8.10 . 0,5.140 n N A m      Tra bảng thép định hình chữ I ta chọn số hiệu thép 22a có: A = 32,4 cm2, iy = imin = 2,5 cm; ta có độ mảnh của thanh là:       . . , .min l i 12 2 510 80 2 Tra bảng quan hệ giữa  và  ta đƣợc  = 0,75. Hệ số này khác với hệ số  đã chọn ban đầu. Nên ta phải chọn lại. b) Lần chọn 2: Ta giả thiết:     0 5 0 75 2 0 625 , , , Từ đó ta tìm đƣợc 3 4 2 6 230.10 26,2.10 0,625.140.10 A m  Tra bảng thép định hình ta tìm đƣợc thép chữ I số 20 với 22,64F cm ; min 2,06i cm Độ mảnh lúc đó bằng:     1 2 2 0610 97 2 .. , . Tra bảng ta tìm đƣợc  = 0,627 gần đúng với giá trị 0,625 theo giả thiết 64 ban đầu. Ta kiểm tra lại điều kiện ổn định:     3 6 2 6 2 4 230.10 139.10 / 140.10 / . 0,627.26,4.10n N Hay N m N m A         Vậy ta chọn thép chữ I số 20. 3.10. CHỌN HÌN...hƣ đã biết: 2 2th E    , nếu  càng lớn thì th càng giảm, thanh càng dễ mất ổn định. Do đó để tăng tính ổn định thì cần giảm độ mảnh của thanh: min l i    Để giảm  thì có thể giảm l, thay đổi liên kết ở hai đầu thanh, tăng trị số imin. Do vậy, mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý khi: - min max min maxi i I I   . Tức là mặt cắt ngang của thanh là đa giác đều. - Với cùng diện tích, các mô men quán tính trung tâm càng lớn càng tốt. Vì vậy ngƣời ta thƣờng dùng các hình rỗng. Tuy nhiên mặt cắt ngang không đƣợc quá mỏng tránh hiện tƣợng mất ổn định cục bộ. Mặt khác đối với thanh có độ mảnh lớn, đặc trƣng cơ học duy nhất ảnh hƣởng đến th là mô đun đàn hồi E của vật liệu. Do đó, với loại này ta không nên dùng thép có cƣờng độ cao để tiết kiệm. Còn đối với thanh có độ bền nhỏ và vừa thì giới hạn chảy và giới hạn bền ảnh hƣởng đến th . Nên dùng thép có cƣờng độ cao là rất có lợi vì nó tăng đƣợc th . 65 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3 1. Định nghĩa dạng cân bằng ổn định và dạng cân bằng không ổn định của hệ biến dạng đàn hồi. 2. Nêu những yếu tố thực tế là nguyên nhân nhiễu động đƣa thanh chịu nén ra khỏi dạng cân bằng lý tƣởng ban đầu. 3. Nêu dấu hiệu mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm trong bài toán Euler. Khi mất ổn định thanh sẽ bị cong trong mặt phẳng nào? 4. Định nghĩa độ mảnh của thanh thẳng. Tại sao ta có thể nói: độ mảnh là một đặc trƣng quan trọng trong tính toán ổn định của thanh? Độ mảnh phụ thuộc vào những yếu tố nào? 5. Viết và giải thích các đại lƣợng trong công thức tính ứng suất tới hạn, lực tới hạn của thanh có độ mảnh lớn, độ mảnh vừa, độ mảnh bé. Công thức xác định các độ mảnh giới hạn 0, 1. 1. Trình bày cách lập bảng để tính hệ số giảm ứng suất cho phép . 3.Viết điều kiện ổn định theo hệ số . Nêu các bƣớc giải quyết bài toán kiểm tra ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm theo cách này. 4. Tại sao có thể nói cách viết điều kiện ổn định theo hệ số  có độ tin cậy, chuẩn xác cao hơn cách viết điều kiện ổn định theo ứng suất tới hạn cho phép. 9. Nêu đặc điểm của bài toán thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời. 10. Trong phƣơng pháp gần đúng để giải bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời, ta giả thiết trƣớc dạng độ võng. Dạng giả thiết này phải tuân theo những điều kiện gì? Nêu dạng độ võng của thanh có liên kiết khớp ở hai đầu, thanh công xôn. 11. Vì sao khi thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời cần viết điều kiện bền theo tải trọng có kể đến hệ số an toàn mà không viết theo ứng suất cho phép. 12. Trình bày hiện tƣợng ổn định và mất ổn định của dạng cân bằng chịu uốn. 13. Khi giải bài toán ổn định theo phƣơng pháp Euler, nói một cách tổng quát, ta đã dựa vào điều kiện nào để xác định tải trọng giới hạn. 14. Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn bằng công thức Euler đối với các thanh có: a) Mặt cắt hình chữ nhật (9 4) cm2, chiều dài thanh l=2m (hình 3.14a). b) Mặt cắt chữ I số 16, chiều dài thanh l=3m (hình 3.14b) c) Mặt cắt hình chữ nhật rỗng có các cạnh ngoài (20 12) cm2, bề dày vách bằng 2 cm (hình 3.14c). 66 l= 2 m l= 3 m l= 1 2 m N N N a) b) c) Hình 3.14 15. Tìm lực cho phép P đối với một cột bằng gỗ mặt cắt hình chữ nhật (0,2 x 0,1)m2, chịu nén đúng tâm. thanh có chiều dài l = 2m. Hệ số an toàn về ổn định yêu cầu n = 4. Mô đun đàn hồi của gỗ E = 104MN/m2 (Hình 3.15) P l y x 0,2m 0 ,1 m Hình 3.15 67 Chƣơng 4 TẢI TRỌNG ĐỘNG 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG 4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động Khi thanh biến dạng dƣới tác động của các ngoại lực, các phần tử vật chất trong thanh sẽ chuyển động, phát sinh gia tốc chuyển động và kèm theo đó lực quán tính. Bản chất của mọi quá trình đều là động, tuy nhiên để đơn giản phép tính, ta cần xem xét một cách hợp lý khi nào có thể bỏ qua và khi nào không thể bỏ qua các hiệu ứng động. Nếu gia tốc nhỏ, lực quán tính bé thì có thể bỏ qua lực quán tính so với các tải trọng tác dụng. Bài toán khi này gọi là bài toán tĩnh. Còn khi gia tốc biến dạng lớn, không thể bỏ qua lực quán tính so với tải trọng tác động thì bài toán là bài toán động, tải trọng trong trƣờng hợp này đƣợc gọi là tải trọng động. 4.1.2. Phân loại tải trọng động Vì gia tốc là đặc điểm của bài toán động nên ta có thể phân loại tải trọng động theo gia tốc chuyển động. - Bài toán chuyển động có gia tốc không đổi. Thuộc loại bài toán này trong kỹ thuật là trƣờng hợp chuyển động của các thang máy, vận thăng trong xây dựng, nâng hoặc hạ các vật nặng, trƣờng hợp chuyển động tròn với vận tốc quay là hằng số của các vô lăng hoặc các trục truyền động. - Bài toán chuyển động có gia tốc thay đổi và là hàm xác định theo thời gian. Một trƣờng hợp riêng thƣờng gặp là trƣờng hợp gia tốc thay đổi tuần hoàn theo thời gian, gọi là dao động. Thuộc loại bài toán này là các bàn rung, đầm dùi, đầm bàn để làm chặt các vật liệu, bài toán dao dộng của các máy công cụ - Bài toán va chạm, trong trƣờng hợp này chuyển động xảy ra rất nhanh trong thời gian rất ngắn, luật biến thiên của gia tốc không xác định hoặc không thể biểu diễn bằng những hàm số giải tích thông thƣờng. Thuộc loại này có các bài toán dừng, phanh một cách đột ngột các chuyển động, đóng cọc bằng búa, 4.1.3. Các giả thiết khi tính toán Việc giải quyết bài toán động của thanh là một bài toán phức tạp, liên quan nhiều tới tính chất vật liệu, các số liệu thực nghiệm. Trong phạm vi chƣơng trình, ta chỉ tìm hiểu những cách tƣơng đối đơn giản, những bài toán không có mức độ phức tạp lớn hoặc không đòi hỏi lời giải chính xác cao, những trƣờng hợp phổ biến nhất thƣờng gặp trong thực tế kỹ thuật công trình. Ta chấp nhận những giả thiết nhƣ sau: 1- Tính chất vật liệu khi chịu tải trọng tĩnh và khi chịu tải trọng động là nhƣ 68 nhau, chẳng hạn định luật Hooke, các hằng số đàn hồi giữ nguyên không thay đổi. 2 - Chấp nhận các giả thiết về tính chất biến dạng của thanh nhƣ khi chịu tải trọng tĩnh, chẳng hạn các giả thiết tiết diện phẳng, giả thiết thớ dọc không tác dụng tƣơng hỗ. Khi giải quyết bài toán, ta sẽ sự dụng các kết quả các nguyên lý về động lực học nhƣ nguyên lý D’Alembert, nguyên lý bảo toàn năng lƣợng, nguyên lý bảo toàn xung lƣợng - Nguyên lý D’Alembert: Vật thể chuyển động sẽ nằm ở trạng thái tĩnh nếu đặt vào vật thể lực quán tính tỷ lệ với khối lƣợng và gia tốc chuyển động. qtF ma  uur ur (4.1) - Nguyên lý bảo toàn năng lƣợng: Khi bỏ qua nhiệt năng và các năng lƣợng không hồi phục thì tổng biến thiên động năng K và biến thiên thế năng U của hệ đàn hồi từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 bằng công T của ngoại lực sinh ra trong quá trình đó. K U T   (4.2) - Nguyên lý bảo toàn xung lƣợng: Động lƣợng của hệ trƣớc và sau va chạm là một trị số không đổi. 4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Với loại bài toán này, ta chỉ cần đặt lực quán tính theo công thức (4.1) vào hệ thì bài toán trở thành bài toán tĩnh và hoàn toàn có thể áp dụng đƣợc các công thức đã có trong phần tĩnh để giải bài toán. Nhờ hai giải thiết đã nêu, kết quả nhận đƣợc chính là kết quả của bài toán động. 4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều Hình 4.1: Bài toán kéo vật nặng lên cao với gia tốc không đổi Xét một vật nặng P đƣợc kéo lên theo phƣơng thẳng đứng với gia tốc không đổi bởi một dây cáp có mặt cắt F. Trọng lƣợng bản thân của dây không đáng kể so 69 với trọng lƣợng P (hình 4.1). Áp dụng nguyên lí Đalămbe (d’Alembert) và phƣơng pháp mặt cắt, chúng ta dễ dàng suy ra nội lực trên mặt cắt của dây cáp: Nđ = P + Pqt  Nđ = w w 1 P P P g g         = KđP (4.3) Với Kđ = w 1 g       Khi gia tốc w = 0, thì Kđ = 1 và Nđ = Nt = P. Tải trọng Nt (khi không có gia tốc) là tải trọng tĩnh, tải trọng Nđ (khi có gia tốc) là tải trọng động: Nđ = KđNt. ứng suất mặt cắt của dây khi không có gia tốc t, khi có gia tốc là ứng suất động đ. Vì dây chịu kéo đúng tâm, nên: d t d d d t N N K K A A     (4.4) Các công thức (12.3) và (12.4) cho thấy: bài toán với tải trọng động tương đương như bài toán với tải trọng tĩnh lớn hơn Kđ lần. Hệ số Kđ đƣợc gọi là hệ số động hay hệ số tải trọng động. Kết luận: “Nhƣ vậy, nói chung, những yếu tố khác nhau giữa tải trọng động và tải trọng tĩnh đƣợc xét đến bằng hệ số động và việc giải các bài toán với tải trọng động quy về việc xác định các hệ số động đó”. 4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi Xét vô lăng có bề dày t rất bé so với đƣờng kính trung bình D = 2R quay với vận tốc góc  không đổi (hình 12-2a). Vô lăng có diện tích mặt cắt ngang F, trọng lƣợng riêng của vật liệu là . Tính ứng suất động của vô lăng. Ðể đơn giản, ta bỏ qua ảnh hƣởng của các nan hoa và trọng lƣợng bản thân vô lăng. Nhƣ vậy, trên vô lăng chỉ có lực ly tâm tác dụng phân bố đều qđ Vì vô lăng quay với vận tốc góc  = const, nên gia tốc góc 0 & . Vậy gia tốc tiếp tuyến w 0t R & và gia tốc pháp tuyến wn =  2 R Trên một đơn vị chiều dài có khối lƣợng F, cƣờng độ của lực ly tâm là: qđ = 2 2 n F F FR W R g g g        Nội lực trên mặt cắt ngang: Tƣởng tƣợng cắt vô lăng bởi mặt cắt xuyên tâm. Do tính chất đối xứng, trên mọi mặt cắt ngang chỉ có thành phần nội lực là lực dọc Nđ, ứng suất pháp đ đƣợc coi là phân bố đều (vì bề dầy t bé so với đƣờng kính, hình 4.2b) 70 Hình 4.2: Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi Lập tổng hình chiếu các lực theo phƣơng y, ta đƣợc:             x x2 2 2 2 ® ® 0 0 FR FR 2.N q .ds.sin d . sin d 2 . g g Ứng suất kéo đ trong vô lăng là: g R đ 22..   Nhận xét: ứng suất trong vô lăng đ tăng rất nhanh nếu tăng  hay R. Ðiều kiện bền khi tính vô lăng là:  kđ g R     22.. trong đó []k: ứng suất cho phép khi kéo của vật liệu Ghi chú :Chu kỳ T là khoảng thời gian thực hiện một dao động (s). Tần số f là số dao động trong 1 giây (hertz). Tần số vòng (tần số riêng): số dao động trong 2 giây: 2 2 f T     Ví dụ 4.1: Cho dầm bê tông dài 5m, có trọng lƣợng riêng  = 22k N/m3 đƣợc kéo lên cao nhanh dần đều, sau 10s đƣa lên cao đƣợc 10m so với vị trí nằm yên ban đầu. Diện tích tiết diện A=600 cm2. Bỏ qua trọng lƣợng dây, xác định lực kéo trong dây và mô men uốn lớn nhất trong dầm. (Hình 4.3) 71 Bài giải: Gia tốc chuyển động nhanh dần đều xác định theo công thức:   202 2 2 2 .10 0,2 / 10 a S v t m s t     Gia tốc hƣớng lên, cùng chiều chuyển động. Khối lƣợng của dầm phân bố đều nên lực quán tính là một hệ lực phân bố đều hƣớng xuống với cƣờng độ: qt A a ma a g    Đặt hệ lực quán tính vào dầm, hệ đƣợc xem là ở trạng thái tĩnh. Dầm chịu lực phân bố đều gồm trọng lƣợng riêng và lực quán tính với cƣờng độ tổng cộng là: 0,2 1 22.0,6 1 1,3469 / 9,81 bt qt A a q q q A a A kN m g g                       Lực căng trong dây: 1,3469.2,5 3,3673 2 qL N kN   Giá trị lớn nhất của biểu đồ mô men uốn:     2 2 0,2071 0,2071 1,3469 0,7219 / 2 2 m L L M q kN m   0,5858L 0,2071L N N (M) Mm M M q= q + q bt qt 0,2071L m m Hình 4.3: Bài toán nâng dầm lên nhanh dần đều 72 4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN 4.3.1. Bậc tự do của hệ Khi chuyển động, các phần vật chất của hệ sẽ chuyển động. Số lƣợng các thông số độc lập cần thiết đủ để xác định vị trí tất cả các khối lƣợng trên hệ đƣợc gọi là số bậc tự do. Trên hình 4.4a, dầm không khối lƣợng mang một vật nặng P, để xác định vị trí của vật nặng P ta chỉ cần biết độ võng y tại tiết diện đặt vật nên hệ có một bậc tự do. Trên hình 4.4b là dầm mang hai khối lƣợng, hệ có hai bậc tự do. Trên hình 4.4c tuy hệ mang một vật nặng nhƣng cần hai thông số mới xác định đầy đủ vị trí của vật ở trạng thái biến dạng, hệ có hai bậc tự do. Ở phần tiếp theo, ta chỉ khảo sát hệ có một bậc tự do. 4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do Xét dầm mang khối lƣợng m (bỏ qua trọng lƣợng bản thân dầm) và chịu lực F(t) thay đổi theo thời gian tại tiết diện đặt khối lƣợng nhƣ sơ đồ trên hình 4.5 y 0 y (t) 1 2 F(t) Hình 4.5: Sơ đồ bài toán dao động của hệ một bậc tự do. Ta gọi trạng thái cân bằng ban đầu là trạng thái của dầm chỉ chịu khối lƣợng m, khối lƣợng này có chuyển vị y0. Hệ là đàn hồi tuyến tính nên quan hệ giữa lực tác động và chuyển vị là: 0 .y mg (4.5) Có thể thấy  là chuyển vị tại tiết diện đặt khối lƣợng do lực bằng đơn vị đặt tại tiết diện đó gây ra. Giá trị y0 hoặc  có thể tìm thấy bằn các phƣơng pháp đã biết. Sau khi chịu lực động F(t), còn gọi là lực cƣỡng bức, khối lƣợng m sẽ có chuyển vị thêm y(t) tính từ trạng thái cân bằng ban đầu. Đặt vào dầm lực quán tính ( )qtF ma my t    & , dầm sẽ ở trạng thái tĩnh và ta có y x PP P P y y y 1 2 1 2 a) b) Hình 4.4: Xác định bậc tự do của hệ 73 thể tìm đƣợc chuyển vị thêm y(t). Các lực gây ra chuyển vị thêm gồm lực động F(t), lực quán tính Fqt và để tổng quát ta xét cả lực cản nhớt, là loại lực cản ngƣợc chiều chuyển động và tỷ lệ với vận tốc cF y  &, β gọi là hệ số tỷ lệ. Lực cản nhớt nói chung bao gồm các lực cản của môi trƣờng, lực cản do ma sát của các liên kết và lực cản bên trong của bản thân kết cấu. Hệ ở trạng thái tĩnh nên ta vẫn có quan hệ giữa lực và chuyển vị theo (4.3):          qt cy t F t F F F t my t y t            & & Quan hệ này đƣợc viết gọn dƣới dạng        22 F t y t y t y t m    & & (4.6) Trong đó ta đặt: 2 m    (4.7) 2 1 m    (4.8) Trong đó α gọi là hệ số cản nhớt, xác định bằng thực nghiệm, và ta thƣờng gặp α <. Quan hệ (4.4) là phƣơng trình vi phân chuyển động tổng quát của hệ có một bậc tự do. 4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO 4.4.1. Khái niệm chung về dao động Khi nghiên cứu về dao động của hệ đàn hồi, trƣớc tiên ta cần có khái niệm về bậc tự do: bậc tự do của một hệ đàn hồi khi dao động là số thông số độc lập để xác định vị trí của hệ. Ví dụ: hình 4.6a, nếu bỏ qua trọng lƣợng của dầm thì hệ có 1 bậc tự do (chỉ cần biết tung độ y của khối lƣợng m xác định vị trí của vật m). Nếu kể đến trọng lƣợng của dầm thì hệ có vô số bậc tự do vì cần biết vô số tung độ y để xác định mọi điểm trên dầm. Trục truyền mang hai puli (hình 4.6b). Nếu bỏ qua trọng lƣợng của trục thì hệ có 2 bậc tự do (chỉ cần biết hai góc xoắn của hai puli ta sẽ xác định vị trí của hệ). Khi tính phải chọn sơ đồ tính, dựa vào mức độ gần đúng cho phép giữa sơ đồ tính và hệ thực đang xét. Ví dụ: nếu khối lƣợng m rất lớn so với khối lƣợng của dầm phải lập sơ đồ tính là khối lƣợng m đặt trên dầm đàn hồi không có khối lƣợng nên hệ có một bậc tự do. Nếu trọng lƣợng của khối lƣợng m không lớn so với trọng lƣợng dầm, ta phải lấy sơ đồ tính là một hệ có vô số bậc tự do và bậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn, nghĩa là phụ thuộc vào sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính. 74 Dao động của hệ đàn hồi đƣợc chia ra:  Dao động cưỡng bức: dao động của hệ đàn hồi dƣới tác dụng của ngoại lực biến đổi theo thời gian (lực kích thích). P(t)  0  Dao động tự do: dao động không có lực kích thích P(t)=0:  Dao động tự do không có lực cản: hệ số cản   = 0; P(t) = 0  Dao động tự do có để ý đến lực cản của môi trường:   0 ; P(t) = 0 Trọng lƣợng của khối lƣợng m đƣợc cân bằng với lực đàn hồi của dầm tác động lên khối lƣợng. Hình 4.6: Dao động của hệ đàn hồi một bậc và nhiều bậc tự do 4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do a) Phƣơng trình vi phân biểu diễn dao động Dầm mang khối lƣợng m (bỏ qua trọng lƣợng dầm). Lực kích thích P(t) biến đổi theo thời gian tác dụng tại mặt cắt ngang có hoành độ z. Tìm chuyển vị y(t) của khối lƣợng m theo thời gian t. Hình 4.7: Dao động hệ một bậc tự do 75 Vận tốc và gia tốc của khối lƣợng này là: 2 2 dy d y v y(t) ; a y(t) dt dt    & & Chuyển vị của m do những lực sau đây gây ra: Lực kích thích P(t), lực cản ngƣợc chiều chuyển động và tỷ lệ với vận tốc: Fc = - y&; ( - hệ số cản), lực quán tính: Fqt = - m y& Gọi  là chuyển vị gây ra do lực bằng một đơn vị tại vị trí m  chuyển vị do lực P(t) gây ra là .P(t), chuyển vị do lực cản gây ra là .Fc = - . y(t)& , chuyển vị do lực quán tính gây ra là -.my(t)& Chuyển vị do các lực tác dụng vào hệ gây ra là  y(t) P(t) y(t) my(t)   & & (4.9) Chia (4.9) cho m. và đặt: 2 m    ; 2 1 m.    Do đó ta có : 2 P(t)y(t) 2 y(t) y(t) m    & & (4.10)  Ðây là phƣơng trình vi phân của dao động. Hệ số  biểu diễn ảnh hƣởng của lực cản của mối trƣờng đến dao động và  < . b) Dao động tự do không có lực cản Dao động tự do không có lực cản: P(t) = 0,  = 0. Phƣơng trình vi phân của dao động có dạng:  & 2y(t) y(t) 0 (4.11) Nghiệm của phƣơng trình này có dạng: y(t) = C1cost + C2sint Biểu diễn C1 và C2 qua hai hằng số tích phân mới là A và  bằng cách đặt: C1 = A sin ; C2 = A cos Ta có phƣơng trình dao động tự do: y(t) = A sin(t + ) (4.12) Điều kiện ban đầu t = 0 => y(0) = y0; 0y(0) y& & xác định C1 và C2 Phƣơng trình (4.12) cho thấy:  Chuyển động tự do không lực cản là một dao động điều hoà có biên độ A và chu kỳ T = 2  . Đồ thị dao động hình sin nhƣ trên hình 4.8. 76 Hình 4.8: Đồ thị dao động tự do không cản  Tần số dao động f = 1 T 2    .  Tần số góc hay tần số dao động riêng:  = 2f ; 0 1 g g m mg y      (Hert = 1/s) c) Dao động tự do có kể đến lực cản Vì P(t) = 0,   0, khi đó phƣơng trình vi phân của dao động là:    & & 2y(t) 2 y(t) y(t) 0 (4.13) Với điều kiện hạn chế  <  (lực cản không quá lớn), nghiệm có dạng: t 1y(t) Ae sin( t )    (4.14) Dao động là hàm tắt dần theo thời gian với tần số góc: 2 2 1      Chu kỳ dao động:         1 2 1 2 2 2 1 T 1 Hình 4.9:Đồ thị dao động tự do có cản 77 Dạng dao động đƣợc biểu diễn trên hình 4.9, biên độ dao động giảm dần theo thời gian, bởi vậy ta gọi là dao động tự do tắt dần. Khi lực cản càng lớn, tức là hệ số  càng lớn thì sự tắt dần càng nhanh. Sau mỗi chu kỳ T1, biên độ dao động giảm với tỉ số: 1 1 t T (t T ) e e const e       Tức là giảm theo cấp số nhân 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM 4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng Xét một dầm, bỏ qua trọng lƣợng bản thân, mang vật nặng P và chịu va chạm bởi vật nặng Q rơi theo phƣơng thẳng đứng vào dầm tại tiết diện đặt vật nặng P với vận tốc lúc va chạm v0 nhƣ trên hình vẽ 4.10. Ở trạng thái ban đầu, khi chƣa va chạm, do trọng lƣợng P tiết diện đặt vật có chuyển vị y0. Sau va chạm, ta giả thiết cả hai vật P, Q cùng chuyển động xuống dƣới, đạt chuyển vị lớn nhất yd rồi sau đó thực hiện dao động tự do tắt dần quanh vị trí cân bằng ban đầu. Gọi trạng thái 1 là trạng thái khi vật Q chạm vật P và cả hai cùng di chuyển xuống dƣới với vận tốc v1. Trạng thái 2 là trạng thái khi vật Q và P đạt tới chuyển vị lớn nhất yd xuống phía dƣới. Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lƣợng cho quá trình hệ chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 K U T   P y Q a) b) c)  t yd Q y t Hình 4.10: Va chạm thẳng đứng trên hệ một bậc tự do 78 Biến thiên của động năng: 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 m v m v K K K     , với v2 = 0. Theo định lý bảo toàn động lƣợng thì động lƣợng trƣớc khi va chạm, là 0 Q v g sẽ bằng động lƣợng sau va chạm, là: 1 Q P v g  .Ta có: 0 1 1 0 Q Q P Q v v v v g g Q P      Vậy:   2 2 2 0 0 2 2 Q P Q Q K v v g Q P g Q P            Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ đƣợc tính trên cơ sở đồ thị quan hệ tuyến tính giữa lực – chuyển vị nhƣ trên hình (4.5), biểu đồ này đúng khi thanh chịu tải trọng tĩnh cũng nhƣ khi thanh chịu tải trọng động theo các giả thiết đã nêu. P y0 Löïc Chuyeån vò Hình 4.11: Đồ thị tính thế năng biến dạng Ở trạng thái 1, do lực tĩnh P thanh có chuyển vị y0, thế năng biến dạng đàn hồi tƣơng ứng: 0 1 2 Py U  Sử dụng ký hiệu chuyển vị đơn vị là , chuyển vị do một lực có trị số bằng 1 đặt theo phƣơng va chạm gây ra nhƣ trên hình (4.4b), ta có thể viết: 2 0 0 1 2 y y P U     Ở trạng thái 2, thanh có chuyển vị (y0+yd). Do giả thiết tính chất vật liệu khi tải trọng tĩnh cũng nhƣ khi tải chịu tải trọng động, ta có thể viết biểu thức tƣơng tự nhƣ của thế năng biến dạng đàn hồi:   2 0 2 2 dy y U    ; 2 0 2 1 2 2 d dy y yU U U       Công của ngoại lực trong di chuyển từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 là công của 79 các trọng lƣợng Q + P không đổi trong đoạn chuyển dời yd. Vậy:  . dT Q P y  Từ nguyên lý bảo toàn năng lƣợng K U T   , ta có:     22 2 0 0 2 2 2 d d d y y yQ v Q P y g Q P        Hay:  2 20 02 2 1 d d d Q y y y Q P y v P g Q            (4.15) Lƣợng 0P y  là chuyển vị theo phƣơng va chạm của tiết diện va chạm do một lực bằng trọng lƣợng P đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra. Lƣợng Q , ký hiệu yt, là chuyển vị theo phƣơng va chạm của tiết diện va chạm do một lực bằng trọng lƣợng P và đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra, sơ đồ xác định yt nhƣ trên hình 4.10c. Phƣơng trình (4.15) đƣợc viết gọn dƣới dạng nhƣ sau: 2 2 02 0 1 d t d t v y y y y P g Q          (4.16) Nghiệm dƣơng của phƣơng trình là: 2 01 1 1 d t d t t v y y k y P gy Q                    (4.17) Trong đó, hệ số động của bài toán va chạm theo phƣơng thẳng đứng là: 2 01 1 1 d t v k P gy Q          (4.18) Trƣờng hợp đặc biệt, khi vật nặng Q rơi từ độ cao H xuống dầm, 0 2v gH 2 1 1 1 d t H k P y Q          (4.19) Khi H=0 thì kd = 2, nghĩa là khi đặt đột ngột toàn bộ trị số tải trọng lên hệ thì nội lực,biến dạng, chuyển vị sẽ lớn gấp đôi trƣờng hợp đặt tải tĩnh. Ví dụ 4.2 Xác định ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện một cột chịu va chạm theo phƣơng thẳng đứng cho trên hình 4.12. Bỏ qua trọng lƣợng cột. 80 Cho biết: Q = 600 kN; H = 6 cm; E = 103 kN/cm2. Bài giải Chuyển vị tĩnh yt bằng biến dạng dài của cột do trọng lƣợng Q đặt tĩnh trên cột là: Q 8 0 c m 10cm 6 0 c m F1=30cm F2=30cm 2 2 Hình 4.12 31 2 3 3 1 2 . . 0,6.80 0,6.60 3,4.10 . 10 .30 10 .20 t Q l Q l y L cm EF EF        Hệ số động: 41,60 10.4,3 6.2 11 2 11 )1( 2 11 3     t t d y H Q P y H k Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện: 2 2 /82,1 20 6,0 .41,60 cmkN A Q kk dtd   4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang Xét hệ có một bậc tự do chịu va chạm bởi vật nặng Q chuyển động theo phƣơng ngang với vận tốc v0 vào trọng lƣợng đặt sẵn P (hình 4.13a). Ở trạng thái ban đầu, khi chƣa va chạm, tiết diện đặt tại vật P không có chuyển vị theo phƣơng ngang. Sau va chạm, ta giả thiết cả hai vật P, Q cùng chuyển động sang phải đạt chuyển vị lớn nhất yd rồi sau đó thực hiện dao động tự do tắt dần quanh vị trí cân bằng ban đầu. Tiến hành những bƣớc tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp va chạm theo phƣơng thẳng đứng, ta sẽ tìm đƣợc chuyển vị yd. Trong trƣờng hợp đang xét: 1 0 Q v v Q P   ;   2 2 0 2 Q K v g Q P     1 0U  ( dầm chƣa có chuyển vị ngang theo phƣơng va chạm) 81 2 2 2 dyU   ( ở trạng thái 2 dầm có chuyển vị yd) Công ngoại lực T=0 (chuyển vị theo phƣơng vuông góc với trọng lƣợng Q và P). Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lƣợng K U T   , ta có:   2 2 2 0 0 2 2 dy Q v g Q P    Đặt: .ty Q : Chuyển vị theo phƣơng ngang do một lực bằng trọng lƣợng của vật gây va chạm Q đặt tĩnh theo phƣơng va chạm, xác định theo sơ đồ hình 4.9c.  - Chuyển vị do một lực có trị số bằng 1 đặt theo phƣơng va chạm, xác định theo sơ đồ trên hình 4.9b. Nghiệm dƣơng của phƣơng trình: 0 1 d t d t t v y y k y P gy Q         (4.20) Hệ số động của bài toán va chạm theo phƣơng ngang là: 0 1 d t v k P gy Q        (4.21) Ví dụ 4.3 Xác định hệ số động của dầm thép chữ I N014 ( Hình 4.14) chịu va chạm bởi vật có trọng lƣợng 100 N chuyển động theo phƣơng ngang với vận tốc v0 = 20 km/h khi không kể và khi có kể đến trọng lƣợng của dầm. Bài giải: Từ bảng thép định hình, với I N014 ta có các đặc trƣng: - Trọng lƣợng trên 1 mét dài 137N; PQ Q Q v0 1 1  yt a) b) c) Hình 4.13: Va chạm theo phương ngang 82 - Mômen quán tính Ix = 572 cm 4 ; - Môđun đàn hồi E = 2,1.104 kN/cm2 - Chiều dài dầm: l=400 cm Chuyển vị tĩnh: cm EI lQ y x t 2 4 33 10.1,1 572.10.1,2.48 400.1,0 48 .  Vận tốc chuyển động: v0 = 20 km/h = 555,5 cm/s. Khi không kể đến trọng lƣợng bản thân của dầm 169 10.1,1.980 5,555 2 0   t d gy v k Khi kể đến trọng lƣợng bản thân của dầm, ta thu gọn trọng lƣợng về tiết diện va chạm ở chĩnh giữa dầm với hệ số thu gọn là 17/35 và có trọng lƣợng thu gọn là: NP 2664.137. 35 17  88 ) 100 266 1(10.1,1.980 5,555 )1( 2 0       Q P gy v k t d Nhƣ thế, trọng lƣợng bản thân làm giảm ảnh hƣởng va chạm. Việc không kể trọng lƣợng bản thân khiến phép tính thiên về an toàn. 4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm 1. Công thức tính các đại lượng: Trên cơ sở biểu thức tính chuyển vị toàn phần 0 0d d ty y y y k y    Và quan hệ định luật Hooke, ta có thể viết biểu thức tính đại lƣợng S bất kỳ trong bài toán va chạm: 0 0d d tS S S S k S    Trong đó: S0 - đại lƣợng cần tính do vật nặng đặt sẵn trên hệ gây ra; l/ 2 l/ 2 l Q yt Q v0 Hình 4.14 83 St - đại lƣợng cần tính do một lực bằng trọng lƣợng vật gây va chạm Q đặt theo phƣơng va chạm gây ra; Kd - hệ số động của bài toán va chạm, tính theo (4.18) khi va chạm theo phƣơng thẳng đứng và tính theo (4.21) khi va chạm theo phƣơng nằm ngang. Trong cả hai trƣờng hợp yt là chuyển vị tĩnh theo phƣơng va chạm do một lực bằng trọng lƣợng của vật gây va chạm Q đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra nhƣ đã chỉ trên hình 4.10c hoặc 4.13c. 2. Trường hợp kể tới khối lượng của kết cấu: khi này có thể thu gọn khối lƣợng về tiết diện chịu va chạm bằng cách sử dụng các hệ số thu gọn khối lƣợng. 3. Giảm ảnh hưởng của va chạm: Ta giảm hệ số động bằng cách: - Tăng thêm khối lƣợng đặt sẵn P. Biện pháp này làm tăng trị số của S0 - Làm mềm kết cấu để tăng thêm trị số chuyển vị yt. Biện pháp này có thể đạt đƣợc khi đặt thêm các tấm đệm, lò xo ở tiết diện va chạm hoặc ở các gối tựa. 84 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4 1. Tại sao ta có thể nói: việc phân loại tải trọng tĩnh và tải trọng động chỉ mang tính ƣớc lệ. 2. Nêu và giải thích các giả thiết về vật liệu khi tính thanh chịu tải trọng động. 3. Ta dùng nguyên lý nào để đƣa bài toán động về bài toán tĩnh tƣơng đƣơng khi biết gia tốc của chuyển động. 4. Giải thích những lực tác động lên khối lƣợng m trong bài toán dao động hệ một bậc tự do. 5. Thế nào là lực cản nhớt. Giải thích nguyên nhân của lực cản nhớt. 1. Nêu các giả thiết khi tính thanh chịu tải trọng va chạm theo SBVL 3. Giải thích các biện pháp làm giảm ảnh hƣởng của tải trọng va chạm lên một hệ kết cấu. 4. Giải thích vì sao tính toán va chạm không kể đến khối lƣợng kết cấu sẽ thiên về an toàn hơn so với tính toán có kể đến khối lƣợng kết cấu. 9. Một vật nặng trọng lƣợng Q = 300 N rơi tự do từ độ cao h = 1m xuống một đĩa cứng gắn ở đầu một thanh thép tròn đƣờng kính d = 2cm, chiều dài l=3m. (hình 4.15) Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh. Bỏ qua trọng lƣợng của thanh. E = 103 kN/cm2 10. Một vật nặng có trọng lƣợng Q = 100kN rơi tự do từ độ cao h = 2m xuống va chạm vào dầm AB có chiều dài 4m, mặt cắt ngang tròn đƣờng kính 30cm, vật liệu dầm bằng thép có E = 2.105 MN/m2. Bỏ qua trọng lƣợng của dầm. (hình 4.16) Tính độ dịch chuyển theo phƣơng thẳng đứng của mặt cắt C khi va chạm. 11. Một vật nặng trọng lƣợng Q = 300 N chuyển động đều với vận tốc v = 8,94 m/s đến va chạm vào một đĩa cứng gắn ở đầu một thanh Q BA 2 m 2 m C h Hình 4.16 Hình 4.15 l Q v Hình 4.17 85 thép tròn đƣờng kính d = 2cm, chiều dài l=3m.(hình 4.17) Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh. Bỏ qua trọng lƣợng của thanh. E = 103 kN/cm 2 . 12. Một dầm cầu trục dài 5m ghép bằng hai thanh thép chữ I số 30 (hình 4.18). Tời B đặt chính giữa dầm có trọng lƣợng 20kN và nâng một vật có trọng lƣợng P = 60kN. Xác định lực căng trong dây cáp của tời và ứng suất pháp lớn nhất trong dầm. Biết P đƣợc nâng lên với gia tốc không đổi và sau giây thứ nhất nó đi đƣợc 2,5m. P 2,5m 2,5m B Hình 4.18 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đặng Việt Cƣơng- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 1- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008 [2]. Đặng Việt Cƣơng- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 2- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008 [3]. Thái Thế Hùng (Chủ biên) và các tác giả- Bài tập sức bền vật liệu- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2005. [4]. PGS. TS Lê Ngọc Hồng – Sức bền vật liệu – NXB Khoa học kỹ thuật 2002 [5]. Hoàng Xuân Lƣợng (chủ biên) và các tác giả- Olympic cơ học toàn quốc, Sức bền vật liệu- Đề thi- Đáp án 1989- 1997 và bài tập chọn lọc- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nôi 1994. [6]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 1 – NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp [7]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 2 – NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp [8]. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vƣợng – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Giáo dục 2004 [9]. Nguyễn Xuân Lựu (chủ biên) và các tác giả- Bài tập sức bền vật liệu- NXB Giao thông vận tải, Hà Nội 2000. [10]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vƣợng – Sức bền vật liệu Tập 1 – NXB Giáo dục 2004 [11]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vƣợng – Sức bền vật liệu Tập 2 – NXB Giáo dục 2004