Bài giảng Sức bền vật liệu

ời lƣợng và khối lƣợng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành. Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu đƣợc xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí đƣợc xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã đƣợc viết trong tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chƣơng với các nội dung chính: Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động. Cuốn bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu. Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy Cuốn bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đƣợc sƣ góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định. Nhóm tác giả biên soạn i MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................................i MỤC LỤC .................................................................................................................. ii Chƣơng 1 ..................................................................................................................... 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .............................................................................. 1 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG ..................................................................................... 1 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản ............................................................................ 1 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp ............................................................................ 1 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện ............................................................................... 1 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN ............................................................................. 2 1.2.1. Khái niệm .................................................................................................. 2 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 3 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 3 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ................................................ 4 1.2.5. Điều kiện bền ............................................................................................ 4 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) ........................................... 8 1.3.1. Khái niệm .................................................................................................. 8 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 8 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 9 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN ............................................................. 9 1.3.5. Điều kiện bền .......................................................................................... 10 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang .............................................................. 10 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM .................................................... 13 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện ............................................................. 13 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm ................................................ 15 1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI ........................................... 17 1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn .............................................................................. 18 1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật .............................................................. 19 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1.............................................................................. 25 Chƣơng 2 ................................................................................................................... 27 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................. 28 2.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 28 2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................................... 29 2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh ....................................................................... 29 2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng ....................................................................... 29 2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng ...................................................................... 30 2.3. DẦM LIÊN TỤC ........................................................................................... 33 2.3.1. Định nghĩa ............................................................................................... 33 2.3.2. Phƣơng trình ba mômen .......................................................................... 33 2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt ................................................................................ 35 2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN ..................................................... 37 2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH ................................. 42 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2.............................................................................. 43 Chƣơng 3 ................................................................................................................... 44 ii ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN ............................................ 44 3.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 44 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN ........................................ 46 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu ....................................................... 46 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu................................................... 48 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER ..... 49 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh ...................................................................... 49 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler .......................................................... 50 3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI ........ 50 3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH ...................................... 51 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI ..................... 53 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi ............................. 53 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng ............................................................. 55 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn ...................................................... 56 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. ...................................................................... 57 3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM ............................ 57 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN ............................................................... 59 3.9. CÁC VÍ DỤ .................................................................................................... 61 3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU ............. 64 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3.............................................................................. 65 Chƣơng 4 ................................................................................................................... 67 TẢI TRỌNG ĐỘNG ................................................................................................. 67 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 67 4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động .................................................................. 67 4.1.2. Phân loại tải trọng động .......................................................................... 67 4.1.3. Các giả thiết khi tính toán ....................................................................... 67 4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI ..................................................... 68 4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều ......................................... 68 4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi .......................... 69 4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN ....................... 72 4.3.1. Bậc tự do của hệ ...................................................................................... 72 4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do ............................ 72 4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO ................................................................. 73 4.4.1. Khái niệm chung về dao động ................................................................. 73 4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do .................................................. 74 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM ................................................................................. 77 4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng .......................................................... 77 4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang .......................................................... 80 4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm ....................................................... 82 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4.............................................................................. 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 86 iii Chƣơng 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản Những trƣờng hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 đƣợc gọi là những trƣờng hợp chịu lực đơn giản. Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn. 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp Tổ hợp những trƣờng hợp chịu lực đơn giản đƣợc gọi là trƣờng hợp chịu lực phức tạp. Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực nhƣ hình vẽ 1.1 bao gồm: - Lực dọc: Nz - Mô men uốn: Mx , My - Lực cắt: Qx, Qy - Mô men xoắn: Mz Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ. Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng: r r r r  NMM   xy     Các ứng suất thành phần có cùng phƣơng nên ta viết tổng theo trị số đại số:  NMM   xy     NMx M y   yx  (1.1) AIIxy 1 Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng: r r r r  QQMy   x    z  (1.2) Các ứng suất tiếp thành phần có phƣơng khác nhau nên không chuyển đƣợc biểu thức sang phép cộng đại số. r Thành phần  Qy  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số: C r QSyx  Qy   Ibx r Thành phần  Qx  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số: C r QSxy  Qx   Ihy Thông thƣờng, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua ảnh hƣởng của lực cắt so với ảnh hƣởng của mô men uốn do đó trong các phần tính rr toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hƣởng của ứng suất tiếp QQxy,   r Thành phần  M z  có trị số và phƣơng chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số: M Z M z   (1.3) IP 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN 1.2.1. Khái niệm Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My nhƣ hình vẽ 1.2a Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhƣng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn 2 xiên đƣờng tải trọng đi qua trọng tâm nhƣng không trùng với một trục quán tính trung tâm nào (hình 1.2b ). 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt ngang (MCN) có toạ độ x, y đƣợc tính theo công thức: M x M y  z yx (1.4) IIxy Trong đó Mx, My coi là dƣơng khi làm căng phần chiều dƣơng của trục y, trục x. Trong kĩ thuật ngƣời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx, My và toạ độ x, y: M x M y  z  yx  (1.5) IIxy Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. Nếu gọi  là góc của đƣờng tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b): M MMx  sin tg x  MM cos M y  y Góc  đƣợc gọi là dƣơng khi quay từ chiều dƣơng trục x đến đƣờng tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ (1.5) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà: M x M y yx0 (1.6) IIxy Hay: MIxx y ... x  tg x (1.7) MIyy Trong đó : MIxx tg  . MIyy Hay: 1 I x tg  . (1.8) tg I y Đƣờng trung hoà là một đƣờng thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và không vuông góc với đƣờng tải trọng nhƣ trong uốn phẳng. Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nhƣ hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1 3 thì không xảy ra hiện tƣợng uốn xiên phẳng. Vì đƣờng tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đƣờng trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đƣờng tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng. 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ nhƣ hình 1.3. Trục tung là đƣờng trung hoà, trục hoành vuông góc với đƣờng trung hoà. Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên 1.2.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền có dạng:  - Đối với vật liệu dẻo: max   (1.9) - Đối với vật liệu giòn:    k  max (1.10)   min  n Trong đó: M M M M  x yxy ;   x yx  y (1.11) max IIkkmin IInn xy xy Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật nhƣ hình 1.4 thì: xkn x xmax ; ykn y ymax Do đó: M x M y max min ;  max  (1.12) WWxy 4 I x I y Trong đó : Wx  ; Wy  (1.13) ymax xmax Trong trƣờng hợp này điều kiện bền sẽ là: M M - Đối với vật liệu dẻo: x y   (1.14) WWxy M M - Đối với vật liệu giòn: x y   (1.15) WW k xy Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau: - Bài toán kiểm tra bền - Bài toán tìm tải trọng cho phép. - Bài toán chọn kích thước MCN Ví dụ 1.1 Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 1.5a). Xác định vị trí đƣờng tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang ở ngàm. Bài giải: Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy Px  P.sin  2,4  0,5  1,2  kN  Py  P.cos  2,4  0,866  2,08  kN  Biểu đồ mô men uốn Mx và My đƣợc biểu diễn trên hình 1.5b,c. Vị trí đƣờng tải trọng đƣợc xác định theo công thức: Mx Py l 2,08 o tg =    1,732;   60 . My Px l 1,2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y bh312.20 3 b 3 h 12 3 .20 I  8000 cm44 ; I    2880 cm ; xy12 12  12 12   5 Hình 1.5: Hình ví dụ 1.1 Ta có ứng suất tại điểm A: Ply Plx 2,08.200 1,2.200  AAAyx   10   6 IIxy8000 2880 0,52  0,50  1,02kN / cm2  Tƣơng tự, chúng ta tính đƣợc ứng suất tại các điểm B, C, D tƣơng ứng là: 2 2 2 BCD0,02kN / cm ,    1,02 kN / cm ,    0,02 kN / cm . Ví dụ 1.2: Cho dầm chịu lực nhƣ hình 1.6. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí đƣờng trung hoà. Cho biết: P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 300; [] =16000N/m2. Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có: ql 2 M  Pl.cos  12160( Nm ) x 2 My  Pl.sin 2400( Nm ) Thử lần thứ nhất ta lấy C = 4. M CM Vậy: Wxy196( cm3 ) x   6 Hình 1.6: Hình ví dụ 1.2 3 Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn và gần nhất Wx=184cm ; 3 Wy=23,1cm . Thử lại: max min M x M y 2  max   17000(N / cm ) WWxy Vì :   17000 16000 max 100% 100%  6,2%  5%   16000 3 3 Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm , Wy = 28,2cm Khi đó: M x M y 2  max   14500(N / cm ) WWxy Ứng suất nhỏ hơn:   14500 16000 max 100%   9,4%   16000 Vì giữa thép có số hiệu 20 và 20a không còn số hiệu nào khác nên ta chọn dầm 7 thép có số hiệu 20a. 4 Xác định vị trí đƣờng trung hoà. Tra bảng với I(20a) ta có Ix=2030cm ; 4’ Iy=155cm . Do đó tại mặt cắt ngàm, phƣơng của đƣờng trung hoà là : IMxymax 2030 2400 tg    2,58 IMyxmax 155 12160 Hay:   680 50 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) 1.3.1. Khái niệm Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz, mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 1.7). Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lƣợng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn (hình 1.8a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 1.8b). 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 8 Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đƣợc xác định theo công thức: M Nz M x y  z  yx  (1.16) AIIxy N M M hoặc  z 1 x yx  y (1.17) z 22 A Nz i x N z i y Trong đó: A - diện tích MCN; ix, iy - bán kính quán tính chính: I I i  x ; i  y x A y A Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Công thức kỹ thuật có dạng: NMzxM y  z   yx  (1.18) AIIxy Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc “-” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ phƣơng trình (1.18) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà là: N M M z x yx y  0 (1.19) AII xy M M hay: 10x yxy (1.20) N i22 N i z x z y Đƣờng trung hoà trong trƣờng hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một đƣờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nhƣ trong uốn xiên. 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) 9 Tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng suất đƣợc vẽ nhƣ hình 1.9. 1.3.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là :  - Đối với vật liệu dẻo: max   (1.21)   - Đối với vật liệu giòn: max  k ; min  n (1.22) trong đó: NMzxM y  max   yx  (1.23) AIIxy NMzxM y  min   yx  (1.24) AIIxy xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đƣờng trung hoà nhất. xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đƣờng trung hoà nhất.  Nếu MCN của thanh có dạng nhƣ trên hình 1.9 thì lí luận tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên ta có: NMzxM y  max    (1.25) AWWxy NMzxM y  min     (1.26) AWWxy 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang Trong các công trình xây dựng ta thƣờng gặp những vật liệu chịu nén tốt nhƣng chịu kéo kém nhƣ gạch, đá, bê tông.v.v... có khi hầu nhƣ vật liệu không chịu đƣợc kéo, nhƣ chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất. Vì vậy trong quá trình thiết kế những bộ phận công trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đƣờng trung hoà không cắt qua mặt cắt ngang. Nhƣ vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng tâm của mặt cắt. Miền diện tích ấy đƣợc gọi là lõi của mặt cắt ngang. Vậy lõi của mặt cắt ngang đƣợc xác định nhƣ sau: - Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. - Vẽ các đƣờng trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang. Vị trí các đƣờng trung hoà này đƣợc xác định bởi toạ độ ai, bi tƣơng ứng. Với mỗi một đƣờng ta xác định đƣợc một điểm Ki(xi, yi) tƣơng ứng theo công thức: 10 2 2 iy ix xki   ; yki   (1.27) ai bi Nối các điểm đặt Ki ta đƣợc chu vi của lõi (hình 1.10). Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang Hình dáng và kích thƣớc của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thƣớc mặt cắt ngang nó không phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem là một đặc trƣng hình học của mặt cắt ngang. Ta xét lõi của một số mặt cắt ngang thƣờng gặp : 1) Hình chữ nhật Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên lõi cũng có tính đối xứng. Khi đƣờng trung hoà tiếp xúc với AB: a1 =  ; b1 = -h/2. Toạ độ điểm K1 (điểm 1) là: i 2 i 2 i 2 h2 h x   y   y  0; y   x   k1 k1 h a  b 12. 6 2 Tƣơng tự cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với AD ta có a22  d/ 2, b   ,nên xkk22 d/ 6, y 0. Lần lƣợt cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với DC và CB ta xác định đƣợc điểm 1' và 2'. Nối 1, 2, 1', 2' ta đƣợc lõi của mặt cắt ngang là hình thoi (hình 1.11). 11 Hình 1.11: Lõi mặt cắt hình chữ nhật 2) Hình vành khăn Lõi của hình vành khăn cũng là hình tròn (hình 1.12a) có bán kính R r r '1  2  , với   . 4 R Trƣờng hợp mặt cắt ngang là hình tròn đặc (hình 1.12b) thì bán kính của R lõi r '. 4 Hình 1.12: Lõi mặt cắt hình vành khăn Ví dụ 1.3 Cho một thanh chịu lực nhƣ hình 1.13a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí đƣờng trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm. Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm. 12 Hình 1.13: Hình ví dụ 1.3 Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp đƣợc vẽ trên hình 1.13b. Lực dọc: Nz   P01  P  240  160   400( kN ). Mômen uốn: Ph ql 242 4 10 M1  160  8   1680 kNcm x 2 2 100 2 Pb Pl M12  160  6  4  102  1360 kNcm y 22 Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất theo (1.25), (1.26) là: NMzxM y  max      4,75kNcm AWWxy NMzxM y  min      8,91kNcm AWWxy Vị trí đƣờng trung hoà: đƣờng trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm: 2 2 Nizy Nizx x0  ; y0  M y M x 2 2 22h 22b trong đó: ix 21,3 cm  ; ix 12 cm  12 12 Nz  0 ; M x  0 ; M y  0. Khi thay bằng số ta đƣợc: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện 13 Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song nhƣ không trùng với trục thanh. Đây là trƣờng hợp chịu lực thƣờng gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu nhƣ ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện. z z F N=F M x =F.yC M y =F.xC x x C y y Hình 1.14: Kéo lệch tâm và các nội lực tương ứng Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) nhƣ trên hình 1.14, bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận đƣợc: Lực dọc: Nz = F (1.28) Các mô men uốn: Mx = F.yC (1.29) My = F.xC (1.30) Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã chọn. Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tƣơng ứng Ci (xCi, yCi), thì giá trị lực F và điểm đặt C đƣợc tính theo kết quả của hợp lực FF (1.31) i  Fxi C  Fyi C xC  yC  (1.32)  Fi  Fi Với các ứng lực theo (1.28),(1.29) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là: NFMM Fy Fx   xy y x   C  C y (1.33) AIIAII x y x y  F yCC y x x Suy ra:  1 22  A rxy r Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện: I I r  x ; r  y x A y A * Với tiết diện hình chữ nhật b  h: 3 3 Ix bh h I y hb b rx   ; ry   A 12bh 12 A 12bh 12 * Với tiết diện hình tròn rỗng có đƣờng kính ngoài D và đƣờng kính trong d: 14 D441 Ix   D 2 rx   1  A 64D22 1  4 d Trong đó ký hiệu:   D Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình đƣợc tìm ở bảng tra theo số hiệu thép. Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau: + Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trƣờng hợp kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời và ngƣợc lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trƣờng hợp sau, lực và điểm đặt sẽ đƣợc tính theo công thức: M y M x FN ; xC  ; yC  (1.34) N N + Định luật tác dụng tƣơng hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra. + Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A. 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm Phƣơng trình đƣờng trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có: yCC y x x 122 0 rrxy 2 2 ry r Nếu đặt: a  b  x ( 1.35) x y C C Phƣơng trình đƣờng trung hoà sẽ có dạng: x y  1 (1.36) ab Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đƣờng trung hoà với trục hoành và với trục tung nhƣ chỉ trên hình 1.15 C b x a y Hình 1.15: Vị trí đường trung hoà và điểm đặt lực C Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất chung, đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau: 15 1- Đƣờng trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đặt tải trọng, đƣờng trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tƣ đối đỉnh của hệ trục toạ độ. 2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đƣờng trung hoà nằm song song trục y và ngƣợc lại. 3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đƣờng thẳng thì đƣờng trung hoà sẽ xoay quanh một điểm trên tiết diện. Ví dụ 1.4 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không. Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột. Bài giải: Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD Khi đó: P P.y     D  200 (N /cm 2 ) (1) A F W x Hình 1.16 P P.yD 2  B    .yB  0 (N /cm ) (2) F I x  I 404 40 y  x   (cm) D F.y 402.10.12 3 Từ (2)  B F.W . 402.403.200 P  x A   32.104 (N) 3 yD.F Wx  40 2 40  6 .40   Từ (1)   3 6  Ứng suất nén lớn nhất ở cột: 4 4 P P.yD 32.10 32.10 .40/3 2  min   C      2  3  600 (N / cm ) F Wx 40 40 6 Ví dụ 1.5 Một dụng cụ kẹp có dạng nhƣ hình vẽ 1.13. Cho: h=15mm, b=5mm, e=50mm. Tính mô men của ngẫu lực có thể đặt vào tay vặn để cho ứng suất lớn nhất ở thân giá không vƣợt quá ứng suất cho phép. Cho []=160MN/m2. Bƣớc của răng ốc vít  = 1mm. Giả thiết bỏ qua các ảnh hƣởng ma sát. Bài giải: 16 Hình 1.13. Quan hệ giữa mô men ngẫu lực đặt vào tay vặn và lực nén tác dụng vào chi tiết: 2 NM  Ứng suất ở thân chi tiết: N6 e  2 M  6 e  max 11          bh h  bh  h   bh Hay: M  6e 21  h Thay giá trị: 1600.0,1.0,5.1,5 M9,1 Ncm 6.5 2.3,14 1 1,5 1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có các thành phần nội lực là mô men uốn MMxy, và mô men xoắn M z . Hình 1.18: Thanh mặt cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời xoắn Bài toán này thƣờng gặp trong các chi tiết máy. Ví dụ nhƣ một trục truyền lực 17 không phải chỉ chịu tác dụng mô men xoắn mà còn chịu tác dụng của mô men uốn do trọng lƣợng bản thân trục và trọng lƣợng của các chi tiết lắp trên trục. 1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn Hợp hai mô men uốn Mx và My ta đƣợc mô men u...t nằm ngang (độ cong bằng không). Những vị trí cân bằng này gọi là vị trí cân bằng ban đầu. Nếu cho quả cầu một xê dịch nhỏ đƣa nó từ vị trí cân bằng ban đầu sang một vị trí lân cận mới, gọi là vị trí cân bằng nhiễu động, và sau đó ngừng nhiễu động thì ta dễ dàng nhận thấy: - Trong trƣờng hợp thứ nhất, trên hình 3.1a, quả cầu sẽ quay trở lại vị trí ban đầu. Vị trí cân bằng ban đầu là ổn định. - Trong trƣờng hợp thứ hai trên hình 3.1b, quả cầu sẽ không quay lại vị trí ban đầu mà tiếp tục chuyển động. Vị trí cân bằng ban đầu khi này là không ổn định. - Trong trƣờng hợp thứ ba trên hình 3.1c, quả cầu sẽ không quay trở lại vị trí ban đầu nhƣng cũng không chuyển động xa hơn mà nằm ngay tại vị trí cân bằng nhiễu động. Vị trí cân bằng ban đầu là phiếm định. Điều kiện để quả cầu có vị trí cân bằng ổn định là độ cong của bề mặt tựa k > 0. Hiện tƣợng tƣơng tự cũng xảy ra đối với trạng thái cân bằng biến dạng của hệ 44 kết cấu. Để đơn giản, ta xét một thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực N nhƣ trên hình vẽ 3.2. Trong quá trình xem xét, ta sẽ tăng dần trị số của lực, bắt đầu từ 0. Trạng thái cân bằng ban đầu của thanh là dạng thẳng, thanh chỉ chịu nén đúng tâm. Gây ra cho thanh một nhiễu động, chẳng hạn bằng một lực ngang nhỏ R đủ đƣa thanh ra khỏi vị trí cân bằng thẳng, thanh sẽ cong đi. Dạng cân bằng cong này gọi là trạng thái cân bằng nhiễu động. Nếu ngừng các nhiễu động, bỏ lực ngang R, ta nhận thấy sẽ xảy ra các khả năng sau: - Khi giá trị lực nén N bé, chẳng hạn nhỏ hơn một trị số Nth nào đó, thanh sẽ thẳng trở lại. Trạng thái cân bằng của thanh là ổn định (hình 3.3a) - Khi giá trị lực nén N lớn,vƣợt quá trị số Nth, thanh không thẳng trở lại mà tiếp tục cong thêm, xa dần trạng thái cân bằng ban đầu. Trạng thái cân bằng ban đầu của thanh, khi này, là trạng thái cân bằng không ổn định (hình 3.3c). Khi bị mất ổn định, thanh sẽ cong thêm, ngoài chịu nén thanh còn chịu uốn, ứng suất và biến dạng sẽ tăng lên dẫn đến thanh bị phá hủy. - Tồn tại một trạng thái chuyển tiếp trung gian, khi lực nén N = Nth, sau khi bỏ nhiễu động, thanh không thẳng trở lại nhƣng cũng không cong thêm. Thanh giữ nguyên trạng thái cân bằng nhiễu động (hình 3.3b). Trạng thái trung gian này đƣợc gọi là trạng thái cân bằng tới hạn. Trị số lực nén Nth tƣơng ứng đƣợc gọi là lực nén tới hạn. a) b) c) N Nth N Hình 3.2: Thanh thẳng chịu nén Hình 3.3:Các dạng cân bằng của thanh Cần lƣu ý rằng nhiễu động luôn luôn tồn tại, sẵn có trong điều kiện thực của kết cấu. Đó là độ cong ban đầu của trục thanh khi chế tạo, là sự không đồng đều của tiết diện, là độ lệch tâm vốn có của lực nén, là những tác động ngẫu nhiên của tải trọng ngang, là tất cả những yếu tố sai lệch thực tế không thể tránh khỏi so với điều kiện lý tƣởng. Vì vậy, bài toán ổn định của thanh mang ý nghĩa thực tế rất lớn. Khi tính toán kết cấu, cần đảm bảo để thanh không bị mất ổn định. Đối với thanh chịu nén đúng tâm thì điều kiện này đƣợc biểu diễn bởi bất đẳng thức: N  Nth Điều kiện ổn định nêu trên độc lập đối với các điều kiện bền và điều kiện cứng 45 đã nêu trong các chƣơng trƣớc. Thực tế cho thấy thanh có thể mất ổn định trong giới hạn đàn hồi, khi ứng suất chƣa vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl, và thanh cũng có thể mất ổn định ngoài giới hạn đàn hồi, khi ứng suất trong thanh vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl. Hiện tƣợng mất ổn định cũng có thể xảy ra đối với các trƣờng hợp chịu lực khác của thanh. Ví dụ nhƣ: - Hình 3.4a: Dầm chịu uốn sẽ ổn định khi lực ngang P  Pth, trong dầm chỉ có biến dạng uốn, khi P  Pth thì dầm mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm còn có biến dạng xoắn. - Hình 3.4b: Một ống tròn mỏng bị xoắn thuần tuý khi mômen xoắn M > Mth, thành ống sẽ bị méo vì mất ổn định. Hình 3.4: Một số dạng mất ổn định khác Ngày nay, vấn đề ổn định kết cấu đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đƣợc trình bày trong những chuyên đề, giáo trình riêng biệt. Trong khuôn khổ sức bền vật liệu ta chỉ nghiên cứu bài toán cơ bản nhất: bài toán ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm, hoặc còn gọi là bài toán uốn dọc (thanh cong khi chị tác dụng của lực dọc trục), mà mục đích chính là xác định lực nén tới hạn để kiểm tra điều kiện ổn định. 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu Xét một thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu, chịu lực nén đúng tâm N có phƣơng không đổi. Giả sử lực nén đạt tới trị số tới hạn N = Nth, thanh bị uốn cong và tiết diện ở tọa độ z có độ võng y  0 nằm trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn nhỏ nhất nhƣ trên hình 3.5. Ký hiệu độ cứng chống uốn trong mặt phẳng đang xét của tiết diện là EI, mô men uốn tại tiết diện là M, ta có phƣơng trình vi phân độ võng là: M y''  (3.1) EI Bằng phƣơng pháp mặt cắt, xét thanh ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình 3.5b, ta có : 46 M = N.y (a) N N z y z M Hình 3.5: Bài toán Euler Thay (a) vào 3.1 ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất: '' 2 yy 0 (3.2) N với ký hiệu:  2  (3.3) EI Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: y C cos z C sin z (b) 12 Các hằng số tích phân đƣợc xác định từ các điều kiện biên: Tại z = 0 thì y = 0; thay vào (b) ta có: C1 = 0 ; do đó y = C2sinz (c) Tại z = l thì y = 0 ; thay vào (c) ta có : C2sinl=0 (d) Nhƣ vậy, hoặc C2 = 0 hoặc sinl = 0 Theo (c) điều kiện C2 = 0 dẫn đến kết luận y = 0, trái với giả thiết ban đầu là y  0 nhƣ vậy sinl = 0. Do đó : 2 2 k lk với k là số tự nhiên, hoặc    (e) l So sánh(3.3) và (e) ta suy ra : 2 2  EI Nk 2 với k = 1,2,3, (3.4) l Biểu thức (3.4) là điều kiện để độ võng của thanh khác không, tức là điều kiện mất ổn định của thanh. Giá trị bé nhất khác không của (3.4) ứng với k = 1 sẽ là lực tới hạn.  2EI Nth  2 (f) l Mặt khác, trên tiết diện của thanh tồn tại hai trục quán tính chính trung tâm, là hai trục trung tâm có mô men quán tính cực trị là Imax và Imin. Để có giá trị bé của (f) 47 thì ta sử dụng Imin, có nghĩa là thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn EI bé nhất. Biểu thức lực tới hạn khi này là: 2  EImin Nth  2 (3.5) l Nhƣ thế, lực tới hạn là lực nén nhỏ nhất tạo cho thanh thêm một dạng cân bằng cong khác với dạng cân bằng thẳng ban đầu. Theo các kết luận trên, ta có thể nhận thấy một vài vấn đề chƣa đƣợc giải quyết  z rành mạch, chẳng hạn độ võng của thanh có dạng yC sin nhƣng trị số của độ 2 l võng không xác định, hoặc dạng độ võng sẽ ra sao nếu tải trọng nhận giá trị lớn hơn trị số ứng với k=1 là nhƣng nhỏ hơn trị số tới hạn ứng với k = 2 là  2EI N  4 min th,2 l2 Để trả lời các câu hỏi này ta cần lƣu ý rằng công thức Euler đƣợc xây dựng trên cơ sở phƣơng trình vi phân tuyến tính gần đúng của độ võng, phƣơng trình này chỉ đƣợc chấp nhận khi biến dạng nhỏ, công thức Euler chỉ cho giá trị lực tới hạn ở thời điểm thanh bắt đầu cong mà không kết luận về quá trình tiếp tục cong của thanh. Lagrange đã lặp lại nghiên cứu của Euler nhƣng xuất phát từ phƣơng trình vi phân phi tuyến chính xác của đƣờng đàn hồi yM'' và đã kết luận rằng: khi lực nén 3  2 EI 1 y'  2 đạt giá trị của Euler thì thanh bắt đầu cong và sau đó dù lực tăng rất ít, biến dạng của thanh sẽ phát triển rất nhanh dẫn thanh tới trạng thái bị phá hủy. Vì vậy, khi không có các liên kết phụ để hạn chế độ võng thì chỉ xảy ra đƣờng cong ứng với k=1, không tồn tại những đƣờng biến dạng ứng với các trị số cao hơn. 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu Lặp lại phép giải bài toán đã tiến hành ở trên nhƣng thay đổi các điều kiện biên, ta nhận đƣợc biểu thức của lực tới hạn trong từng trƣờng hợp liên kết cụ thể của thanh và có thể viết một cách tổng quát:  2EI min (3.6) Nth  2 l Trong đó  là hệ số phụ thuộc điều kiện liên kết ở hai đầu thanh, trị số cho trên hình 3.1. Nghiên cứu tỷ mỷ hơn có thể thấy  là số lần chiều dài của thanh ứng với một nửa bƣớc song hình sin của đƣờng cong trục thanh. Chẳng hạn hai lần chiều dài đối với thanh côngxôn, một lần chiều dài đối với thanh liên kết khớp ở hai đầu, một nửa 48 chiều dài đối với thanh liên kết ngàm ở hai đầu. a) b) c) d) l lo/2 lo lo lo  2 1 0,7 0,5 Hình 3.6: Hệ số ảnh hưởng liên kết  (l0=l) Trị số l0=l đƣợc gọi là chiều dài quy đổi của thanh khi tính ổn định. Công thức tính lực tới hạn theo chiều dài quy đổi là:  2EI N  min (3.7) th l 2 0 Bài toán tìm lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén đúng tâm đƣợc Euler giải lần đầu tiên vào năm 1744 và công thức tính lực tới hạn (3.6) đƣợc gọi là công thức Euler. Công thức Euler sử dụng trị số Imin đúng với trƣờng hợp thanh có liên kết nhƣ nhau trong hai mặt phẳng quán tính chính xz và yz. Khi thanh có liên kết khác nhau trong hai mặt phẳng thì cần tính lực tới hạn riêng biệt trong từng mặt phẳng và chọn trị số nhỏ hơn làm lực tới hạn thực. 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh Thƣơng số giữa lực tới hạn Nth và diện tích A của tiết diện là ứng suất trên tiết diện thanh ngay trƣớc thời điểm thanh bị mất ổn định, đƣợc gọi là ứng suất tới hạn, ký hiệu th. Có thể viết: N  2EI  2E th min (3.8) th  22  A lA l  rmin  Imin Với: rmin  là bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết diện. A l Gọi  là độ mảnh của thanh:   (3.9) r min Ta nhận đƣợc công thức tính ứng suất tới hạn của Euler: 49  2E th  2 (3.10)  Độ mảnh  là một đặc trƣng ổn định của thanh, trị số này càng lớn thì khả năng ổn định của thanh càng nhỏ, tên gọi “độ mảnh” cũng xuất phát từ ý nghĩa: càng mảnh thì càng dễ mất ổn định. Độ mảnh phụ thuộc vào chiều dài của thanh, điều kiện liên kết và đặc trƣng hình học của tiết diện. 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler Phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi (3.1), cơ sở để giải bài toán Euler, chỉ đúng khi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi. Do đó, kết quả của bài toán cũng chỉ đúng khi vật liệu còn làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:  2E     th  2 tl  2 E hoặc khi:   (g)  tl  2 E Nếu ký hiệu:   (3.11) 0  tl Thì điều kiện để áp dụng công thức Euler là:  (3.12) 0 Thanh có độ mảnh thỏa mãn điều kiện (3.12) đƣợc gọi là thanh có độ mảnh lớn. Thanh có độ mảnh nhỏ hơn 0 đƣợc gọi là thanh có độ mảnh vừa hoặc bé. Không thể áp dụng công thức Euler để tính ứng suất tới hạn đối với thanh có độ mảnh vừa và bé. 3.4. ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI Nghiên cứu lý thuyết về ổn định ngoài giới hạn đàn hồi còn gặp những khó khăn nhất định và chƣa cho một kết quả thống nhất. Trong kỹ thuật ta thƣờng áp dụng những công thức đơn giản rút ra từ thực nghiệm. 1. Thanh có độ mảnh vừa: 1 ≤  ≤ 0 Có thể dùng công thức của Iasinski: th=a - b (3.13) Hằng số a, b phụ thuộc vào vật liệu và tìm đƣợc từ thí nghiệm: Với thép ít cacbon: a=31 kN/cm2; b=0,14 kN/cm2 Với gỗ: a=2,93 kN/cm2; b=0,0194 kN/cm2 Quan hệ giữa th và  là bậc nhất. Có thể tìm đƣợc giới hạn 1 theo biểu thức: 50 a    tl 1 b 2. Thanh có độ mảnh bé ≤1 Vì độ mảnh quá bé nên khi chịu nén thì thanh không thể bị cong, trạng thái tới hạn của thanh cũng đồng thời là trạng thái phá hủy của vật liệu. Sự phá hủy này mang đặc trƣng giòn, chẳng hạn với bê tông, khi ứng suất đạt giới hạn bền; hoặc mang đặc trƣng xuất hiện biến dạng dẻo, chẳng hạn với thép, khi ứng suất đạt giới hạn chảy.  b  th   (3.14)  ch Đồ thị quan hệ giữa ứng suất tới hạn th và độ mảnh  của thanh làm từ vật liệu dẻo đƣợc vẽ trên hình 3.3. Hình 3.7: Quan hệ th và  3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH Ta đã biết điều kiện bền của thanh chịu nén là: N   (3.15) A Trong đó: N – giá trị lực dọc; A – diện tích tiết diện giảm yếu cục bộ của thanh, chẳng hạn với hệ số trên hình 3.8, trị số A là A0 lấy tại tiết diện có khoét lỗ; [] - ứng suất bền cho phép, bằng ứng suất tới hạn 0 chia cho hệ số an toàn về  bền:   0  n Điều kiện ổn định của thanh chịu nén, kể đến hệ số an toàn, có thể viết dƣới dạng: N     th (3.16) Akod Sự giảm yếu của một vài tiết diện không ảnh hƣởng đáng kể đến độ ổn định 51 chung của thanh, do đó diện tích A sẽ lấy bằng diện tích nguyên của thanh. Trị số ứng suất tới hạn lấy theo các công thức (3.10), (3.13), (3.14) tùy theo độ mảnh của thanh. Để giảm bớt khó khăn khi tính toán, ta đƣa thêm ký hiệu:    od (h)  Khi đó, điều kiện ổn định (3.16) đƣợc viết lại, có dạng tƣơng tự điều kiện bền N nhƣ sau:    (3.17)  A N A A0 Hình 3.8: Diện tích tiết diện A và A0 Hệ số  đƣợc gọi là hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất cho phép, theo biểu thức định nghĩa sẽ là một hàm phụ thuộc độ mảnh   n    od  . th     k  0 Dạng hàm  =() là đã biết và có thể lập sẵn thành bảng cho từng loại vật liệu. Khi tính toán ta chỉ cần tra bảng tìm hệ số  theo độ mảnh  của thanh. Cách tính ổn định nhƣ vậy theo (3.17) đƣợc gọi là cách tính thực hành, cách tính theo theo quy phạm hoặc cách tính theo hệ số giảm ứng suất cho phép. Ƣu điểm của cách tính này không chỉ ở chỗ đơn giản, gọn gàng mà còn chuẩn xác hơn, tập hợp đƣợc nhiều số n liệu thống kê hơn khi lấy tỷ số của hai hệ số an toàn k Theo điều kiện ổn định ta cũng có ba bài toán cơ bản: - Bài toán kiểm tra: N    ( 3.18)  A Nếu bất đẳng thức thỏa mãn thì thanh ổn định, không thỏa mãn thì thanh mất ổn định. 52 Bài toán xác định lực nén cho phép: NA  (3.19) N Bài toán thiết kế, xác định tiết diện: A  (3.20)   Riêng với bài toán thiết kế, cách giải có phần phức tạp hơn vì hệ số  phụ thuộc vào độ mảnh , độ mảnh lại chƣa biết vì tiết diện chƣa xác định. Do đó, bài toán sẽ đƣợc giải bằng cách thử đúng dần, thay bài toán thiết kế bằng bài toán kiểm tra. Bảng 3.1: Bảng tra hệ số  Độ Trị số  đối với mảnh  Thép số Thép Thép Gang Gỗ 2,3,4 số 5 C  0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 10 0,99 0,98 0,97 0,97 0,99 20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 50 0,89 0,86 0,83 0,57 0,80 60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,60 80 0,75 0,70 0,65 0,26 0,48 90 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38 100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31 110 0,52 0,43 0,35 - 0,25 120 0,45 0,36 0,30 - 0,22 130 0,40 0,33 0,26 - 0,18 140 0,36 0,29 0,23 - 0,16 150 0,32 0,26 0,21 - 0,14 160 0,29 0,24 0,19 - 0,12 170 0,26 0,21 0,17 - 0,11 180 0,23 0,19 0,15 - 0,10 190 0,21 0,17 0,14 - 0,09 200 0,19 0,16 0,13 - 0,08 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi Xét một thanh chịu đồng thời tải trọng ngang và tải trọng dọc trong mặt phẳng yz. Ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình (3.9) ta thấy không chỉ tải trọng ngang mà cả tải trọng dọc cũng gây ra mômen uốn. Mômen uốn do tải trọng dọc tỷ lệ với độ võng, nên khi thanh có độ mảnh lớn thì trị số mô men này là đáng kể và cần đƣa vào tính 53 toán. Bằng phƣơng pháp mặt cắt, ta xét thanh ở trạng thái biến dạng, ta tìm đƣợc trị số của mô men uốn  M Sy  Rz  F1  z  a S F1 F2 y R F S 1 y M R a z Hình 3.9: Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời Lƣợng Sy là mô men uốn do lực dọc; lƣợng trong móc vuông là mô men uốn chỉ do tải trọng ngang, ký hiệu là M và xác định bình thƣờng nhƣ khi không có tải trọng dọc. Khi đó biểu thức của mô men uốn sẽ đƣợc viết tổng quát là: M M Sy (3.21) Biểu thức (3.21) cho thấy nội lực không những phụ thuộc vào ngoại lực mà còn phụ thuộc vào biến dạng, đó là một đặc điểm của bài toán đang xét. Độ võng đƣợc xác y C12 cos z C sin z định theo phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi: M y''  (3.22) EI Thay giá trị (3.21) vào (3.22), sau khi rút gọn ta có: M y''  ky2  x (3.23) EI x S Trong đó: k 2  (3.24) EI x Giải phƣơng trình vi phân cấp hai không thuần nhất (3.23) kết hợp các điều kiện biên ta tìm đƣợc độ võng y, sau đó tính mô men uốn theo (3.21) Nghiệm tổng quát của (3.23) sẽ là: yy''  *  y Trong đó: y* - là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất y - là nghiệm riêng của phƣơng trình có vế phải, phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của mô men uốn ngang , do đó, phụ thuộc vào dạng cụ thể của tải trọng ngang. Để tránh những khó khăn chi tiết của từng bài toán riêng biệt, ta có thể giải bài 54 toán một cách gần đúng nhƣ sẽ trình bày dƣới đây. 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng 1. Thanh thẳng có liên kết khớp ở hai đầu Giả thiết tải trọng ngang hƣớng về một phía và đối xứng qua tiết diện chính giữa nhịp nhƣ trên hình 3.10. Khi đó độ võng cũng đối xứng, đạt cực trị f ở chính giữa nhịp và bằng không ở hai đầu. F1 f F1 l/2 l/2 Hình 3.10: Đường đàn hồi dạng đối xứng Có thể chọn hàm độ võng y thỏa mãn các điều kiện kể trên dƣới dạng:  z yf sin M (i) l Độ võng y , do tải trọng ngang cũng có thể viết dƣới dạng tƣơng tự:  z yf sin (k) l Trị số độ võng cực trị f tại chính giữa dầm do tải trọng ngang gây ra có thể tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp quen thuộc đã biết. Quan hệ giữa và mô men uốn vẫn đƣợc diễn tả băng phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi: '' M y  (1) EI x Thay (l) vào phƣơng trình độ võng (3.23) ta nhận đƣợc quan hệ: '' yy''  ky2  (3.25) Thay thế các biểu thức độ võng (i) và (k) vào (3.25), sau khi rút gọn ta đƣợc: f f  S 1  2EI x l 2   2EI Ký hiệu N  x , biểu thức này có dạng công thức tính lực tới hạn Euler Euler l 2 tƣơng ứng với độ cứng chống uốn của mặt phẳng đang xét EIx thay cho độ cứng nhỏ nhất EImin f f  (3.26) S 1 NEuler 55 Thay (3.26) vào (k), kết hợp với (l) ta có thể viết biểu thức độ võng khi uốn ngang, uốn dọc đồng thời: y y  (3.27) S 1 N Euler là độ võng của dầm chỉ do tải trọng ngang, tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp quen thuộc đã biết. Với các tải trọng ngang không đối xứng nhƣng cùng hƣớng về một phía, ta vẫn chấp nhận công thức (3.27) để tính độ võng. 2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu. Khi thanh chịu uốn ngang, uốn dọc đồng thời có các kiểu kiên kết khác, ta cũng có thể dùng công thức () để tính độ võng, trong đó biểu thức của lực Euler đƣợc điều chỉnh bằng hệ số ảnh hƣởng liên kết  có giá trị nhƣ khi tính ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm. M 2  EI x NEulery  2 (3.28) l 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn Sau khi xác định đƣợc độ võng, ta tính mô men uốn theo (3.21): y M M  Sy  M  S (3.29) S 1 NEuler Tuy nhiên cũng có thể tính đƣợc mô men uốn bằng một phép tính gần đúng tiếp theo nhƣ sau: '' M x y - Từ phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi, ta có quan hệ:  '' M x y - Lấy đạo hàm cấp 2 của y và y theo biểu thức gần đúng (i), (k), kết hợp với (3.26) ta nhận đƣợc: 2 z f sin M llf 1 x    2 S M x z f 1 f sin N ll Euler Nhƣ vậy, biểu thức tính mô men uốn M do uốn ngang và uốn dọc đồng thời đƣợc biểu thị theo mô men uốn do uốn ngang: M x M  (3.30) x S 1 NEuler Tính mô men uốn theo (3.30) đơn giản hơn tính theo (3.29) nhƣng kém chính 56 xác hơn vì phải chấp nhận hai lần gần đúng. 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. Nội lực trên thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời bao gồm lực dọc N=-S và mô men uốn M. Ứng suất pháp trên tiết diện thanh: S M     x y AIx (3.31) Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện chữ nhật, khi sử dụng công thức gần đúng thứ hai của mô men uốn, đƣợc viết là: SSMMxx  max       (3.32) AAWx S W1 x N Euler Biểu thức (3.32) cho thấy khi tải trọng ngang và dọc tăng lên n lần thì ứng suất tăng lên lớn hơn n lần. Do đó điều kiện bền không thể viết theo ứng suất cho phép   0 max  n mà cần đƣa hệ số an toàn vào tải trọng. Khi này, điều kiện bền của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời, khi sử dụng công thức gần đúng thứ hai của mô men uốn, phải viết dƣới dạng: nS nM x    0 A nS W1x  N Euler Ngoài ra, cần lƣu ý kiểm tra ổn định của thanh trong mặt phẳng quán tính không chứa tải trọng ngang, là mặt phẳng xz . S     A Hệ số uốn dọc  tìm ở bảng (3.1) theo trị số của độ mảnh xz của thanh trong mặt phẳng xz:  l   xz xz i y 3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM Thanh thẳng chịu nén lệch tâm là một trƣờng hợp thƣờng gặp trong thực tế vì độ lệch tâm của lực là không tránh khỏi. Khi thanh mềm, có độ mảnh lớn, chẳng hạn các kết cấu bằng kim loại, hiện tƣợng uốn dọc làm cho quan hệ chuyển vị - ngoại lực, quan hệ nội lực - ngoại lực trở thành các quan hệ phi tuyến, phức tạp nhƣ đã thấy từ các nghiên cứu ở trên. Ta khảo sát thêm trƣờng hợp một thanh côngxôn chịu nén bới 57 lực F có độ lệch tâm e nhƣ hình 3.11 nhằm mục đích thiết lập mối quan hệ giữa lực nén F và độ lệch tâm e. Mô men uốn tại tiết diện có toạ độ z: M F() e   y Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi: EIy''  F() e   y Hay: y'' k 2 y  k 2  e   Nghiệm tổng quát: y C12cos kz  C sin kz  e  Điều kiện biên: khi z=0 thì y=y’=0; Khi z=l thì y= Từ hai điều kiện đầu: C1 + e + =0 ; kC2=0; ta có C2=0 Điều kiện thứ ba cho: C1 cos kl e 0 Biểu thức độ võng sẽ là: l cos kz ye cos kl Hình 3.11: Thanh có độ mảnh lớn chịu Hình 3.12: Quan hệ độ võng - lực nén nén lệch tâm (dạng không thứ nguyên) Đồ thị quan hệ giữa độ võng của đầu tự do  và lực nén F đƣợc trình bày trên hình 3.12. Đồ thị cho thấy khi lực nén tiến tới trị số lực tới hạn thì độ võng tăng vô hạn, không phụ thuộc vào độ lệch tâm e. Do đó, bài toán Euler đƣợc coi nhƣ một trƣờng hợp giới hạn. 58 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN Khi trị số tải trọng ngang trên dầm chịu uốn phẳng vƣợt quá một trị số tới hạn thì dầm sẽ mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm sẽ có biến dạng xoắn. Để đảm bảo dầm không mất ổn định, tải trọng ngang cần nhỏ hơn trị số tới hạn. Vì sự phức tạp của bài toán, trong mục này ta chỉ xét bài toán ổn định của dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn bởi hai mômen M trong mặt phẳng yoz nhƣ hình 3.13a. Hai đầu dầm đƣợc liên kết sao cho tại liên kết độ võng y theo phƣơng y, độ võng x theo phƣơng x và góc xoắn  tại tiết diện quanh trục z bằng không. Bài toán tìm mômen tới hạn đƣợc giải quyết theo quan điểm của Euler nhƣ đã đƣợc tiến hành với thanh thẳng chịu nén đúng tâm: tìm điều kiện để tồn tại một dạng cân bằng, khác với dạng cân bằng đã cho ban đầu.Ở đây dạng cân bằng ban đầu là dạng cân bằng chịu uốn, dạng cân bằng khác là dạng uốn và xoắn đồng thời. Giả thiết mô men uốn M đạt giá trị tới hạn, ngoài biến dạng uốn, thanh còn có biến dạng xoắn nhƣ hình 3.13b. Tiết diện thanh có độ võng y do mômen uốn Mx , độ võng x do mômen uốn My và góc xoắn  do mômen xoắn Mz. Trên hình vẽ các mômen đƣợc biểu diễn bằng các vectơ mômen. Ta giả thiết mômen ngoại lực M vẫn nằm trong mặt phẳng ban đầu, nghĩa là vectơ mômen ngoại lực giữ phƣơng không đổi; tƣơng tự nhƣ giả thiết phƣơng lực dọc N không đổi trong bài toán thanh chịu nén. Khi đó, từ điều kiện cân bằng vectơ mômen nội lực toàn phần trên tiết diện vẫn giữ phƣơng không đổi. Vectơ mômen nội lực toàn phần đƣợc phân ra thành vectơ mômen xoắn và vectơ mômen uốn. Vectơ mômen xoắn có phƣơng z của trục thanh sau biến dạng, vectơ mômen uốn có phƣơng x và phƣơng y của tiết diện sau biến dạng. Xem các góc quay là nhỏ, có thể tính mômen uốn và mô men xoắn nhƣ sau: * Theo hình 3.13c: mômen uốn quanh trục x là: MMMx cos mô men xoắn: dx M Msin  Mtg  M  Mx' z dz * Theo hình 3.13d: mô men uốn quanh trục y là: Myx M tg M 59 Trong đó:  - góc xoắn của tiết diện đang xét;  - góc nghiêng của trục thanh so với trục thanh trong mặt phẳng xz dx tg dz Ký hiệu độ cứng khi uốn và khi xoắn của tiết diện lần lƣợt là EIx, EIy ,GIxo; ta có các quan hệ vi phân: * Uốn trong mặt phẳng yz: '' EIxx y  M   M * Uốn trong mặt phẳng xz: '' EIyy x  M   M * Xoắn: d GI M Mx' xodz z Sau khi biến đổi ta đƣợc quan hệ: M GI'' Mx ''   M xo EI y Đặt: M 2 m2  EI GI y xo Ta tìm đƣợc giá trị của mô men uốn tới hạn nhƣ sau:  M EI GI thl y xo Hình 3.13: Ổn định của dầm chịu uốn thuần tuý 60 3.9. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 3.1 Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của một cột làm bằng thép số 3 mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. Cột có liên kết khớp hai đầu. Xét hai trƣờng hợp: a) Cột cao 3m. b) Cột cao 2,5m. Biết E = 2,1.105 MN/m2 Bài giải: 2 Mặt cắt ngang hình chữ I số 22a có F = 32,4 cm ; iy = imin = 2,5 cm. Theo liên kết của thanh thì  = 1. a) Khi cột cao 3m. Độ mảnh  của thanh là: l 1.3     120 imin 0,025 Ta đã biết với thép số 3 thì o = 100. Nên  0 do vậy ta dùng công thức (12.5) để tính ứng suất tới hạn:  2 E 3,142 .2,1.105     143 MN / m2 th 2 1202 Do đó lực tới hạn của thanh bằng: 6 4 3 NANth th .  143.10 .32,4.10  463.10   b) Khi cột cao 2,25 m: Độ mảnh  của cột bằng:  l 1.2,25     90   o imin 0,025 2 2 Ta dùng công thức (12.8) để tính th. Biết a = 336 MN/m ; b = 1,47 MN/m 2 th a  b.  336  1,47.90  204 MN / m  Khi đó: NAN .  204.32,4.1043  0,66.10 th th   Ví dụ 3.2 Một thanh có chiều dài l=3m, một đầu ngàm, một đầu khớp. Hãy xác định lực tới hạn của thanh trong ba trƣờng hợp sau đây: 2 a) Mặt cắt hình tròn bán kính R=4cm, vật liệu là gang xám có tl =178 MN/m , E=11,5.104 MN/m2 b) Mặt cắt hình tròn rỗng, bán kính ngoài R=3cm, bán kính trong r=2cm, vật 2 4 2 liệu là đuyra có tl=180 MN/m , E=7,1.10 MN/m 2 c) Mặt cắt hình vuông cạnh 15  15cm, vật liệu bằng gỗ có tl=17 MN/m , E=104 MN/m2 Bài giải: 61 a) Thanh bằng gang mặt cắt tròn: I R i x x A 2 l 0,7.3.2    105 i 4.102 x Độ mảnh giới hạn 0 của gang xám: E 11,5.104  3,14  80 0  178 tl Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn:  2E 3,14.11,5.10 4 4 2 .10 4 N A  R23  516.10 MN  516 kN th th  22105 b) Thanh bằng đuyra, mặt cắt ngang hình vành khăn: Ix R 2 i x  1  A 2 Trong đó: r 2   R 3 l 0,7.3    188 i 2 2 x 3.10 2 1 23 Độ mảnh giới hạn 0 của đuyra: E 7,1.104  3,14  62,3 0  180 tl Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn: 2 4 2 4 2 3,14.7,1.10 .3 .10 1 2 3  E 22  NARth th 22 1      188 81.103 MN 81 kN c) Thanh bằng gỗ, mặt cắt ngang hình vuông: a 3 iax 0,29 6 l 0,7.3   2  48,3 ix 0,29.15.10 Độ mảnh giới hạn 0 của gỗ: 62 E 104 0  3,14  76  tl 17 Vì  < 0, ta sử dụng công thức Ianxinxky th ab để xác định lực tới hạn, trong đó a=29,3 MN/m2; b=0,194 MN/m2:  29,3  0,194.48,3  19,9MN / m2 th Lực tới hạn: 4 Nth th A 19.9.10  0,4478 MN  447,8 kN Ví dụ 3.3 Chọn số hiệu thép chữ I cho thanh dài 2 m, liên kết khớp tại hai đầu và chịu một lực nén N 230 kN . Biết vật liệu là thép số 2 có  140MN / m2 .  n Bài giải Đây là bài toán chọn tiết diện mặt cắt - vì có hai ẩn là  và A nên ta chọn theo phƣơng pháp đúng dần a) Lần 1: Chọn  = 0,5 Ta có diện tích A là: N 230.103 Am   32,8.1042 . 0,5.140  n 2 Tra bảng thép định hình chữ I ta chọn số hiệu thép 22a có: A = 32,4 cm , iy = imin = 2,5 cm; ta có độ mảnh của thanh là: .l 1.2     80 2 imin 2,5.10 Tra bảng quan hệ giữa  và  ta đƣợc  = 0,75. Hệ số này khác với hệ số  đã chọn ban đầu. Nên ta phải chọn lại. b) Lần chọn 2: Ta giả thiết: 0,5  0,75    0,625 2 Từ đó ta tìm đƣợc 230.103 Am26,2.1042 0,625.140.106 2 Tra bảng thép định hình ta tìm đƣợc thép chữ I số 20 với F 2,64 cm ; imin  2,06 cm Độ mảnh lúc đó bằng: 1..2    97 2,06.102 Tra bảng ta tìm đƣợc  = 0,627 gần đúng với giá trị 0,625 theo giả thiết 63 ban đầu. Ta kiểm tra lại điều kiện ổn định: N 230.103  Hay 139.106 N / m 2    140.10 6 N / m 2 .A n 0,627.26,4.104 Vậy ta chọn thép chữ I số 20. 3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU Đối với thanh chịu kéo – nén đúng tâm để đảm bảo điều kiện bền thì chỉ cần mặt cắt ngang của thanh có diện tích tối thiểu nào đó là đủ. Còn hình dáng mặt cắt nói chung có thể bất kỳ. Nhƣng để đảm bảo điều kiện ổn định thì không phải chỉ chú trọng đến diện tích của mặt cắt ngang mà còn phải chú ý đến hình dáng của nó. Phải chọn hình dáng của mặt cắt sao cho với một diện tích nhất định, thanh chịu đƣợc lực nén lớn nhất. Hình dáng đó gọi là hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang vì nó đảm bảo đƣợc an toàn, tiết kiệm đồng thời tận dụng đƣợc khả năng chịu lực của vật liệu.  2E Nhƣ đã biết:   , nếu  càng lớn thì  càng giảm, thanh càng dễ mất ổn th  2 th định. Do đó để tăng tính ổn định thì cần giảm độ mảnh của thanh: l   imin Để giảm thì có thể giảm l, thay đổi liên kết ở hai đầu thanh, tăng trị số imin. Do vậy, mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý khi: - imin i max  I min  I max . Tức là mặt cắt ngang của thanh là đa giác đều. - Với cùng diện tích, các mô men quán tính trung tâm càng lớn càng tốt. Vì vậy ngƣời ta thƣờng dùng các hình rỗng. Tuy nhiên mặt cắt ngang không đƣợc quá mỏng tránh hiện tƣợng mất ổn định cục bộ. Mặt khác đối với thanh có độ mảnh lớn, đặc trƣng cơ học duy nhất ảnh hƣởng