Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

 f x dx F b F a (1) a Ý nghĩa của tích phân xác định 4 b I f   f x dx (2) a Tích phân xác định là diện tích của hình được giới hạn bởi đường cong f(x) và các đường thẳng x=a, x=b và trục x Vì sao phải dùng tích phân số 5 1) Khi hàm số được cho ở dạng biểu thức tường minh, thì nguyên hàm của nó có thể được tính bằng phương pháp giải tích để từ đó tính theo công thức (1) 2) Khi: • Hàm số được xác định ở một số lượng hữu hạn các điểm rời rạc • Hàm số ở dạng hộp đen (tức là một quy trình bên trong nội hàm, nhưng cho phép xác định giá trị của hàm khi biết giá trị các tham biến đầu vào)  cần sử dụng các phương pháp số để tính tích phân Các cách tiếp cận để tính tích phân số 6 Trong phương pháp đóng các điểm cuối Trong phương pháp mở khoảng tích phân (a,f(a)), (b,f(b)) được sử dụng để ước tính được mở rộng ra ngoài phạm vi của các giá trị của tích phân. điểm cuối để ước tính giá trị tích phân. Phương pháp điểm giữa và cầu phương Phương pháp hình thang và Simpson Gauss Công thức Newton-Cotes 7 Ý tưởng của Công thức Newton- Codes nằm ở chiến lược thay thế hàm số f(x) có dạng phức tạp hay ở dạng bảng dữ liệu bằng một hàm gần đúng dễ tích phân. Thông thường sẽ là hàm đa thức fn(x).  bb I f f x dx f x dx      n    aa (3)  21nn  fxaaxaxn  0  1  2   ax n 1  ax n Quy tắc hình chữ nhật 8 b ba (4) nnh A f a b a f x dx f x x  x  O h n h  f x  O h      i i1 i    i    a ii11 Quy tắc hình chữ nhật 9 (5) b ba A f b b a nn11h f x dx f x x  x  O h n h  f x  O h      i i i1     i    a ii22 Quy tắc hình chữ nhật 10 A f m b a (6) b ba nnx  x  h  x  x  f x dx fi11 i x  x  O h22 n h  f i i  O h      ii1        a ii1122    Quy tắc hình thang 11 fx  px1   xb b b b f b  f a  f b  f a  x  a2 I f f x dx p x dx  f a  x  a dx  f a  x       1          a a a b a b a 2 xa f a  f b  ba   2 (7) 12 Quy tắc hình thang b fxfx    fxfx    fxfx     I f f x dx1 2  x  x  2 3  x  x  nn 1  x  x       2 1  3 2  nn 1  a 2 2 2 Với khoảng cách dữ liệu đều nhau: x x  h i 1,2, , n ii1 (8) b hhn I f f x dx  f x  f x     f x 2 f x  2 f x   2 f x  f x         i  i1   1  2  3  n  n 1   a 22i1 Quy tắc Simpson ⅓ 13 bb I f f x dx p x dx     2   aa  h I f  f x 4 f x  f x   3 1 2 3   ba h   2 (9) Quy tắc Simpson ⅓ Tổng hợp 14 b h I f f x dx  f x 4 f x  f x        1  2  3  a 3 h  f x 4 f x  f x    3 3 4 5 h  f x 4 f x  f x  3 n11 n n  h nn1 I f  f x11 42 f xi  f x j  f x n   3    ij2,4,6, 3,5,7, (10)  ba h   n Cầu phương Gauss (Gauss Quadrature) 15 b n I f f x dx c f x (11)       ii  a i1 Trong đó: - Các hệ số ci – là các trọng số - Các điểm xi – là các điểm Gauss nằm trong khoảng [a; b]  Vấn đề ở chỗ tìm các hệ số ci và xi để sao cho công thức trên cho một xấp xỉ tốt của tích phân b n2  I f  f x dx c  f x  c  f x 1) Tích phân Gauss 2 điểm:      1 1 2 2  (12) a b (13) n3  I f  f x dx c  f x  c  f x  c  f x 2) Tích phân Gauss 3 điểm:      1 1 2 2 3 3  a 16 1 n I f f x dx c f x       ii  (14) 1 i1 Các hệ số ci và xi được xác định bằng cách triển khai công thức (14) với các trường hợp hàm f(x)= 1, x, x2, x3, 1 n2  I f  f x dx c  f x  c  f x 1) Tích phân Gauss 2 điểm: Xác định      1 1 2 2  1 c1, c2, x1, x2: 1 f x1  1 dx  2  c  c - Trường hợp 1:    12 1  1 cc1 f x x  x dx 0  c x  c x 12 - Trường hợp 2:    1 1 2 2  1 1  1 11    1 x1  f x dx f  f   2 22 2 2 3  f x x  x dx   c x  c x  1 33    - Trường hợp 3:    1 1 2 2 1 3  1 x2  1 3 (15) f x x3  x 3 dx 0  c x 3  c x 3  - Trường hợp 4:    1 1 2 2 1 17 1 2) Tích phân Gauss 3 điểm: n3  I f  f x dx c  f x  c  f x  c  f x      1 1 2 2 3 3  Xác định c1, c2, c3, x1, x2, x3 : 1 (16) 1 f x1  1 dx  2  c  c  c - Trường hợp 1:    1 2 3 1 1 f x x  x dx 0  c x  c x  c x - Trường hợp 2:    1 1 2 2 3 3 1 1 2  58 f x x2  x 2 dx   c x 2  c x 2  c x 2 c c ; c  - Trường hợp 3:    1 1 2 2 3 3  1 3 2 1 3  99 1  3 3 3 3 3 15 15 - Trường hợp 4: f x  x  x dx 0  c1 x 1  c 2 x 2  c 3 x 3   x1 ; x 2  0; x 3  1  55 1 4 42 4 4 4 - Trường hợp 5: f x  x  x dx   c1 x 1  c 2 x 2  c 3 x 3  5 1 (17) 1 f x x5  x 5 dx 0  c x 5  c x 5  c x 5 1 - Trường hợp 6:    1 1 2 2 3 3 5 15  8 5  15  1  f x dx f   f0  f   1 9 5  9 9  5  18 Các giá trị của các điểm xi nằm trong khoảng [-1; +1] Đưa các tích phân về dạng khoảng [-1; +1] 19 b 1 1) Dạng 1: Khoảng [a; b]: f x dx f t dt a 1  ba m  a m  1  d  2 ba x m  t  d    dx  dt b m 1  d ba 2  d   2 b 1 b a b  a b  a f x dx  f  t  dt (18) a 1 2 2 2  1 2) Dạng 2: Khoảng [a; +∞]: f x dx g t dt a 1  11yt1 2 1 f x dx f a   dy  f a  dt   22  (19) a 0111yt11yt     Đưa các tích phân về dạng khoảng [-1; +1] 20 b 1 3) Dạng 3: Khoảng [-∞; b]: f x dx g t dt  1 b 111yt 1 2 1 f x dx f b   dy  f b  dt (20)   2  2  01y y  1 t 1 t 4) Dạng 4: Khoảng [-∞; +∞]:  1 1 tt2  f x dx 2 f2 dt (21) 2 1 t  1 1 t   Ví dụ 21 Sử dụng quy tắc hình chữ nhật ở cả 3 sơ đồ bên trái, bên phải và trung tâm, công thức hình thang, công thức Simpson 1/3 và Gauss 2 điểm, 3 điểm để tính tích phân xác định với số lượng khoảng chia n=8 1 1 I f   dx 1 x  2 1 1 1 1) Tính chính xác: I f dx ln x  2  ln 3  1.098612289      1 1 x  2 ba 11  1 2) Cỡ bước: h     0.25 n 84 3) Chuỗi điểm: x1 1; x 2   0.75; x 3   0.5; x 4   0.25 x50; x 6  0.25; x 7  0.5; x 8  0.75; x 9  1 22 b 8 I f  f x dx h f x  1   i fx   a i1 x  2 1 3   3   f 1  f     f   4 4   4  32891  27720 1.186544012 1.186544012 1.098612289  I 1.098612289  8% 23 b 9 I f f x dx h f x        i  a i2 1 fx 1 3   1     f    f      f 1 x  2 4 4   2  28271  27720 1.019877345 1.019877345 1.098612289  I 1.098612289  7.17% 24 b 8 I f f x dx h f m        i  a i1 1 75    ff       fx   1 88    x  2  4 7 f  8 366873344  334639305 1.096324725 1.096324725 1.098612289  I 1.098612289  0.21% 25 b I f   f x dx a 1 31    f1  2 f    2 f     fx   42 x  2 1     8 3 21ff   4 30581 1.103210678 27720 1.103210678 1.098612289  I 1.098612289  0.42% 26 b I f   f x dx a 3   1   1   3  f1  f 1  4  f    f     f    f    1 1  4   4   4   4    fx    x  2 34 11    20f   f  f      22    9137 1.098725349 8316 1.098725349 1.098612289  I 1.098612289  0.01% 27 111 I f  f x dx dx 11x  2 11    ff 1.090909091 1.098612289       33    I 1.098612289 11   0.7% 11  22  33 1.090909091 28 111 I f  f x dx dx 11x  2 5 15  8 5  15  f   f0  f   9 5  9 9  5  1.098039216 1.098612289   5 1 8 1 5 1 I    1.098612289 915 9 0 2 9 15  22   0.052% 55 1.098039216 Thu gọn hệ lực phân bố 29 (22) (23) 30 Cho dầm chịu tải phân bố như trên hình. Lực phân bố có thể được thu gọn lại thành một lực tổng duy nhất FR. Hãy xác định giá trị lực tổng đó và vị trí xC của nó tính từ bản lề O bên trái. Sử dụng tất cả các phương pháp đã được học trong Slide với khoảng chia đoạn n=8. 1) Tính chính xác: 31 6 6 44 FExact 4  2 x dx  4 x  x3 2  24   6 3 2  43.59591794 R    0 330 6 6 24 5/2 4  x42 x dx 2xx 72 652 Exact 005 5 xR Exact  Exact   3.269693847 FF4 32 RR24 6 3 ba6 0 3 2) Cỡ bước: h     0.75 n 84 3) Chuỗi điểm: x10; x 2  0.75; x 3  1.5; x 4  2.25 x53; x 6  3.75; x 7  4.5; x 8  5.25; x 9  6 32 b 8 FLeft  f x dx h f x f x42 x Ri        a i1 3 3   21   f0  f    f   4 4   4   41.50788142 41.50788142 43.59591794  Left  100% FR 43.59591794  4.8% b 3 3   21   x f x dx fx0  fx    fx   Left 4 4   4  x  a  C Left FR 41.50788142  2.959492239 2.959492239 3.269693847  Left  100% xC 3.269693847  9.5% 33 b 9 FRight  f x dx h f x f x42 x Ri        a i2 3 3   3   f   f     f 6 4 4   2   45.18211603 45.18211603 43.59591794  Right  100% FR 43.59591794  3.64% b 3 3   3   x f x dx fx   fx     fx6 Right 4 4   2  x  a  C Right FR 45.18211603  3.605135725 3.605135725 3.269693847  Left  100% xC 3.269693847 10.26% 34 b 8 FMidPoint  f x dx h f m Ri      f x 42 x a i1 3 3   9   45   f   f     f   4 8   8   8   43.66544931 43.66544931 43.59591794  MidPoint  100% FR 43.59591794  0.16% b 3 3   9  45  x f x dx fx   fx     fx MidPoint 4 8   8  8 x  a  FR MidPoint FR 43.66544931  3.26091014 3.26091014 3.269693847  MidPoint  100% xC 3.269693847  0.27% 35 b h 8 FTrap  f x dx  f x  f x f x 42 x R     i  i1  a 2 i1 3 3   21   f0  f 6  2 f    2 f   8 4   4   43.34499872 43.34499872 43.59591794  Trap  100% FR 43.59591794  0.58% b 3 3   21  x f x dx fx0  fx 6  2 fx    2 fx   Trap 8 4   4  x  a  FR Trap FR 43.34499872  3.295996333 3.295996333 3.269693847  Trap  100% xC 3.269693847  0.8% 36 b h nn1 FSimp  f x dx  f x 42 f x  f x  f x R    11  i  j  n  a 3 ij2,4,6, 3,5,7, 3   9   15   21  f x 42 x f0  f 6  4  f   f    f    f    1  4   4   4   4     4 39    23f  f  f      22     43.49047074 43.49047074 43.59591794  Simp 100% FR 43.59591794  0.24% 3   9   15   21  fx0  fx 6  4  fx   fx    fx    fx    1  4   4   4   4     b 4 39    x f x dx 23fx  fx  fx         Simp 22    x  a  FR Simp FR 43.49047074  3.277934822 3.277934822 3.269693847   Simp 100% xC 3.269693847  0.25% 37 b 1 b a b  a b  a   b  a b  a  xf x dx t   f   t   dt b 1   2 2 2   2 2  Gauss2 b a b  a b  a xGauss2 a 1 FR  f x dx  f  t  dt C Gauss22 Gauss  FFRR a 1 2 2 2 6 1 61 xf x dx 9t 1 f 3  t  3 dt f x dx 3 f 3  t  3 dt    0 1 01 Gauss22 Gauss FFRR 61 6 1 4  2x dx  3 4  2 3  t  3 dt  x42 x dx  9t 1 4  2 3  t  3 dt 01 0 1 FFGauss22 Gauss 11       RR 3 4 2 3     3   3  4  2 3     3  11    11      33       9  1 4  2 3    3 9  1  4  2 3   3                33    33       43.80816148 43.80816148 43.80816148 43.59591794  3.248916998  Gauss2 100% FR 43.59591794 Gauss2 3.248916998 3.269693847  x  100%  0.49% C 3.269693847  0.63% 38 1) Tính hợp lực: b 1 b a b  a b  a FGauss3  f x dx  f  t  dt R    a 1 2 2 2 61 f x dx 3 f 3  t  3 dt 01 61 4  2x dx  3 4  2 3  t  3 dt 01 5 15   8 5   15   3423    3  342303   3423      3  9 5   9  9   5           43.6697838 43.6697838 43.59591794  Gauss3 100% FR 43.59591794  0.17% 39 2) Tính vị trí hợp lực: b 1 b a b  a b  a   b  a b  a   xf x dx  t   f   t   dt Gauss3 a 1 2 2 2   2 2  xC Gauss23 Gauss FFRR 6 1  xf x dx  9t 1 f 3  t  3 dt 0 1 Gauss33 Gauss FFRR 6 1  x42 x dx  9t 1 4  2 3  t  3 dt 0 1 Gauss33 Gauss FFRR 5 15   15  8 5  15    15   9    1  4  2 3    3  90142303    9   1423       3  9 5 5 9  9 5  5             43.6697838  3.263405692 3.263405692 3.269693847  Gauss3  100% xC 3.269693847  0.19% 40 Vẽ theo kết quả nào có sai số vị trí xC nhỏ nhất: FR  43.67 xC  3.2634 41 f = @(x) (4+2*sqrt(x)); fplot(f, [0, 6], 'm-','Linewidth',2) title('Do thi ham f(x)=4+2*sqrt(x)') xlabel('x'),ylabel('f(x)') set(gca,'xTick',0:6/8:6) grid on Vẽ được đồ thị trên MATLAB rồi in ra nhiều bản để tiếp tục vẽ tay thêm các biểu đồ như trên slides 32÷36 và 40.