Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng pp số) - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

dv Gia tốc thể hiện quy luật phụ thuộc của Gia tốc: a = sự thay đổi giá trị vận tốc điểm, khi mà dt thời gian thay đổi Vì sao phải dùng sai phân số 4 1) Khi hàm số được cho ở dạng biểu thức tường minh, thì đạo hàm của nó có thể được tính bằng phương pháp giải tích (theo bảng đạo hàm) 2) Khi: • Hàm số được xác định ở một số lượng hữu hạn các điểm rời rạc • Hàm số ở dạng hộp đen (tức là một quy trình bên trong nội hàm, nhưng cho phép xác định giá trị của hàm khi biết giá trị các tham biến đầu vào)
cần sử dụng các phương pháp số để tính đạo hàm 3) Sai phân số cũng được thường xuyên sử dụng khi giải các phương trình vi phân hoặc hệ phương trình vi phân Các cách tiếp cận để tính sai phân số 5 Dữ liệu Khớp đường cong Tiếp tuyến f’( xi) được xấp xỉ bằng độ dốc của f’( xi) được xấp xỉ bằng độ dốc của tiếp đường nối hai điểm dữ liệu lân cận tuyến với đường cong khớp tại điểm xi Dãy Taylor 6 Dãy Taylor dùng để tính gần đúng giá trị hàm số tại một điểm khi biết giá trị hàm số và các đạo hàm của nó tại một điểm khác ′′∗ ′′′ ∗(n) ∗ fx( ) 2 fx( ) 3 fx( ) n fxfxfxxx() =+()()()∗∗∗′ −+() xx −+ ∗() xx −++ ∗ () xxR −+ ∗ 2! 3!n ! n (1) (n+1) f (ξ ) n+1 Trong đó: R=() x − x ∗ – Phần tử sai số cắt ngắn bậc n n ()n +1 ! – ξ là một số của x nằm giữa x và x* Đặt: x− x∗ = h ( ) fx′′( ∗) fx ′′′ ( ∗) fxn ( ∗ ) (1) ↔ fxfxfxh() =+()()∗′ ∗ + h2 + h 3 ++ hRn + (2) 2! 3!n ! n ( + ) f n 1 (ξ ) Trong đó: R= hOhn+1 = () n – Vô cùng nhỏ bậc n n ()n +1 ! Sai phân số bậc một 7 ′′∗ ′′′ ∗(n) ∗ fx( ) 2 fx( ) 3 fx( ) n fxfxfxxx() =+()()()∗∗∗′ −+() xx −+ ∗() xx −++ ∗ () xxR −+ ∗ 2! 3!n ! n Sai phân số hữu Sử dụng dãy Taylor với * hạn phía sau x=xi-1, x =xi, h=xi – xi-1 ( ) =( ) +′( ) ⋅−+( ) Tiếp tuyến f xi−1 f x i f x i h R1 fx()()− fx ⇒ f′() x ≃ i i −1 i h Sai phân số bậc một 8 ′′∗ ′′′ ∗(n) ∗ fx( ) 2 fx( ) 3 fx( ) n fxfxfxxx() =+()()()∗∗∗′ −+() xx −+ ∗() xx −++ ∗ () xxR −+ ∗ 2! 3!n ! n Sử dụng dãy Taylor với * x=xi+1, x =xi, h=xi+1 – xi Sai phân số hữu hạn phía trước ( ) =( ) +′( ) ⋅+( ) f xi+1 f x i f x i h R1 fx()()− fx Tiếp tuyến ⇒ f′() x ≃ i+1 i i h Sai phân số bậc một 9 ′′∗ ′′′ ∗(n) ∗ fx( ) 2 fx( ) 3 fx( ) n fxfxfxxx() =+()()()∗∗∗′ −+() xx −+ ∗() xx −++ ∗ () xxR −+ ∗ 2! 3!n ! n Sử dụng dãy Taylor 2 lần với: * x=xi+1, x =xi, h=xi+1 – xi * x=xi-1, x =xi, h=xi – xi-1 Sai phân số hữu hạn trung tâm = +′ ⋅+  fx( + ) fx( ) fx( ) ( hR)  i1 i i 1 ()()()()= +′ ⋅−+  fxi−1 fx i fx i hR 1 Tiếp tuyến fx()()− fx ⇒ f′() x ≃ i+1 i − 1 i 2h Sai phân số bậc một 10 * * Sử dụng dãy Taylor 2 lần với: x=xi+1, x =xi, h=xi+1 – xi; x=xi-1, x =xi, h=xi – xi-1  1 1 ×() − 4 ()()()= −⋅′ +⋅⋅2 ′′() −⋅⋅ 3 ′′′ ()ξ ≤≤ ξ  fxiii−1 fxhfx hfx i hf; x ii− 1 x  2! 3! +   ′12 ′′ 1 3 ′′′ fx()()()()− = fx −⋅2 hfx +⋅⋅()() 2 hfx −⋅⋅()() 2; hfη x− ≤≤ η x  iii2 2! i 3! ii2 ′43 ′′′ 8 3 ′′′ ⇔fx()()()()− −4 fx − =− 3 fx +⋅ 2 hfx +⋅⋅ hf()ξ −⋅⋅ hf () η i2 i 1 i i 3! 3! fx()()()−−4 fx − + 3 fx 1 2 ⇔=f′() x i2 i 1 i −⋅ hf2⋅′′′()ξ +⋅⋅ hf 2 ′′′ () η i 2h 3 3 fx()()()−4 fx + 3 fx ⇔fx′() =i−2 i − 1 i + Oh()2 i 2h fx()()()−4 fx + 3 fx ⇒ f′() x = i−2 i − 1 i Tương tự cho các i 2h đạo hàm khác Sai phân số phía trước (Forward) 11 fx( ) − fx( ) Dùng 2 điểm: f′() x = i+1 i i h −fx( ) +4 fx( ) − 3 fx( ) Dùng 3 điểm: f′() x = i+2 i + 1 i i 2h fx( ) −2 fx( ) + fx( ) Dùng 3 điểm: f′′ () x = i+2 i + 1 i i h2 −fx( ) +4 fx( ) − 5 fx( ) + 2 fx( ) f′′ () x = i+3 i + 2 i + 1 i Dùng 4 điểm: i h2 fx( ) −3 fx( ) + 3 fx( ) − fx( ) f′′′ () x = i+3 i + 2 i + 1 i Dùng 4 điểm: i h3 −+3fx( ) 14 fx( ) − 24 fx( ) + 18 fx( ) − 5 fx( ) f′′′ () x = i+4 i + 3 i + 2 ii + 1 Dùng 5 điểm: i 2h3 () fx( +) −4 fx( +) + 6 fx( +) − 4 fx( + ) + fx( ) f4 () x = i4 i 3 i 2 ii 1 Dùng 5 điểm: i h4 () −+2fx( +) 11 fx( +) − 24 fx( +) + 26 fx( +) − 14 fx( + ) + 3 fx( ) f4 () x = i5 i 4 i 3 i 2 ii 1 Dùng 6 điểm: i h4 Sai phân số phía sau (Backward) 12 fx( ) − fx( ) Dùng 2 điểm: f′() x = i i −1 i h 3fx( ) − 4 fx( ) + fx( ) Dùng 3 điểm: f′() x = i i−1 i − 2 i 2h fx( ) −2 fx( ) + fx( ) Dùng 3 điểm: f′′ () x = i i−1 i − 2 i h2 2fx( ) − 5 fx( ) + 4 fx( ) − fx( ) f′′ () x = i i−1 i − 2 i − 3 Dùng 4 điểm: i h2 fx( ) −3 fx( ) + 3 fx( ) − fx( ) f′′′ () x = i i−1 i − 2 i − 3 Dùng 4 điểm: i h3 5fx( ) − 18 fx( ) + 24 fx( ) − 14 fx( ) + 3 fx( ) f′′′ () x = ii−1 i − 2 i − 3 i − 4 Dùng 5 điểm: i 2h3 () fx( ) −4 fx( −) + 6 fx( −) − 4 fx( −) + fx( − ) f4 () x = ii1 i 2 i 3 i 4 Dùng 5 điểm: i h4 () 3fx( ) − 14 fx( −) + 26 fx( −) − 24 fx( −) + 11 fx( −) − 2 fx( − ) f4 () x = ii1 i 2 i 3 ii 4 5 Dùng 6 điểm: i h4 Sai phân số trung tâm (Center) 13 fx( ) − fx( ) Dùng 2 điểm: f′() x = i+1 i − 1 i 2h −fx( ) +8 fx( ) − 8 fx( ) + fx( ) Dùng 4 điểm: f′() x = i+2 i + 1 i − 1 i − 2 i 12 h fx( ) −2 fx( ) + fx( ) Dùng 3 điểm: f′′ () x = i+1 i i − 1 i h2 −+fx( ) 16 fx( ) − 30 fx( ) + 16 fx( ) − fx( ) f′′ () x = i++21 i i ii −− 12 Dùng 5 điểm: i 12 h2 fx( ) −2 fx( ) + 2 fx( ) − fx( ) f′′′ () x = i+2 i + 1 i − 1 i − 2 Dùng 4 điểm: i 2h3 −+fx( ) 8 fx( ) − 13 fx( ) + 13 fx( ) − 8 fx( ) + fx( ) f′′′ () x = i+3 i + 2 i + 1 iii − 1 −− 23 Dùng 6 điểm: i 8h3 () fx( ++) −4 fx( ) + 6 fx( ) − 4 fx( −−) + fx( ) f4 () x = i21 i ii 12 i Dùng 5 điểm: i h4 () −+fx( +++) 12 fx( ) + 39 fx( ) +− 56 fx( ) 39 fx( −−−) + 12 fx( ) + fx( ) f4 () x = i321 i i ii 123 ii Dùng 7 điểm: i 6h4 Ví dụ 14 Tính sai phân số bậc 1 và bậc 2 của hàm số sau đây tại các điểm x=1.4 theo các cách phía trước, phía sau, trung tâm với phương án ít và nhiều điểm. So sánh với lời giải chính xác. Cho h=0.2. − x  f() x= e x sin   2  Tính đạo hàm bằng công thức:  −x −x xex − x 1  x x   fxe′() =−sin + cos  =⋅ e  cos  − sin   222  22  2           ′′ () =−−x 1xx −+−−x 11 xx − =− x 3 xx −  fxecos sin  e sin  cos   e sin  cos   22 2  4222    42  2  x =1.4  ′ −  f() x 0.06455824515  Lời giải chính xác f′′ () x −0.0694611669  15 fx( ) − fx( ) f(1.6) − f ( 1.4 ) 1. Phía trước – 2 điểm: f′() x =i+1 i = =− 0.0701521445 i h 0.2 −0.0701521445 −() − 0.06455824515 ⇒ ε == 8.66% −0.06455824515 fxfx( ) −( ) f(1.4) − f ( 1.2 ) 2. Phía sau – 2 điểm: f′() x =i i −1 = =− 0.056024595 i h 0.2 −0.056024595 −() − 0.06455824515 ⇒ ε == 13.22% −0.06455824515 fx( ) − fx( ) f(1.6) − f ( 1.2 ) 3. Trung tâm – 2 điểm: f′() x =i+1 i − 1 = =− 0.0630883698 i 2h 2⋅ 0.2 −0.0630883698 −() − 0.06455824515 ⇒ ε = = 2.28% −0.06455824515 16 −+fx( ) 4 fx( ) − 3 fx( ) −+ f( 1.841.631.4) f( ) − f ( ) 1. Phía trước – 3 điểm: f′() x =i+2 i + 1 i = =− 0.066856643 i 2h 2⋅ 0.2 −0.066856643 −() − 0.06455824515 ⇒ ε == 3.56% −0.06455824515 3fxfxfx( ) −+ 4( ) ( ) 31.441.2 f( ) −+ f( ) f ( 1.0 ) 2. Phía sau – 3 điểm: f′() x =i i−1 i − 2 = =− 0.068277506 i 2h 2⋅ 0.2 −0.068277506 −() − 0.06455824515 ⇒ ε == 5.761% −0.06455824515 3. Trung tâm – 4 điểm: −+fx( ) 8 fx( ) − 8 fxfx( ) +( ) −+−+ f( 1.881.681.2) f( ) f( ) f ( 1.0 ) f′() x = i+2 i + 1 i − 1 i − 2 = = − 0.06458127139 i 12h 12⋅ 0.2 −0.06458127139 −() − 0.06455824515 ⇒ ε = = 0.036% −0.06455824515 17 1. Phía trước – 3 điểm: fx( ) −+2 fxfxf( ) ( ) ( 1.821.6) −+( ) f ( 1.4 ) f′′ () x =i+2 i + 1 i = =− 0.032955018 i h2 0.2 2 −0.032955018 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 52.56% −0.0694611669 2. Phía sau – 3 điểm: fxfxfx( ) −+2( ) ( ) f( 1.4) −+ 2( 1.2) f ( 1.0 ) f′′ () x =i i−1 i − 2 = =− 0.122529115 i h2 0.2 2 −0.122529115 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 76.4% −0.0694611669 3. Trung tâm – 3 điểm: fx( ) −+2 fxfx( ) ( ) f( 1.6) −+ 2( 1.4) f ( 1.2 ) f′′ () x =i+1 i i − 1 = =− 0.070637748 i h2 0.2 2 −0.070637748 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 1.69% −0.0694611669 18 4. Phía trước – 4 điểm: −+fx( ) 4 fx( ) − 5 fx( ) + 2 fxf( ) −+( 2.041.851.621.4) f( ) −+( ) f ( ) f′′ () x = i+3 i + 2 i + 1 i = = − 0.05956694 i h2 0.2 2 −0.05956694 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 14.24% −0.0694611669 5. Phía sau – 4 điểm: 2fxfx( ) −+− 5( ) 4 fxfx( ) ( ) 2 f( 1.4) −+− 5( 1.2) 4 f( 1.0) f ( 0.8 ) f′′ () x =i i−1 i − 2 i − 3 = =− 0.052617898 i h2 0.2 2 −0.052617898 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 24.25% −0.0694611669 6. Trung tâm – 5 điểm: −+fx( ) 16 fx( ) −+ 30 fxfxfx( ) 16( ) −( ) −+− f( 1.8) 16( 1.6) 30 f( 1.4) + 16 f( 1.2) − f ( 1.0 ) f′′ () x = i++21 i i ii −− 12 = = − 0.0694536929 i 12h2 12⋅ 0.2 2 −0.0694536929 −() − 0.0694611669 ⇒ ε == 0.01% −0.0694611669 Sai phân số từng phần z= f( xy, ) 19 Sai phân số phía trước bậc 1: =− = − hxxi+1 xh iyi; y + 1 y i ∂f fx( + , y) − fxy( , )  = ii1 ii = ∂xx x i h  y= y x ⇒  i ∂ fxy()(),− fxy ,  f = ii+1 ii  ∂yx= x h = i y  y y i Sai phân số phía sau bậc 1: =− =− hx xx ii−1; h y yy ii − 1 ∂f fxy( ,) − fx( − , y )  = ii ii1 = ∂xx x i h  y= y x ⇒  i ∂ fxy()(),− fxy ,  f = ii ii −1  ∂yx= x h = i y  y y i Sai phân số từng phần z= f( xy, ) 20 = −=− = −=− Sai phân số trung tâm bậc 1: hxxi+1 xxxhy iiiyi −+ 11; yyy iii − 1 ∂f fx( +, y) − fx( − , y )  = ii1 ii 1 = ∂xx x i 2 h  y= y x ⇒  i ∂ fxy()(),− fxy ,  f = ii+1 ii − 1  ∂yx= x 2 h = i y  y y i Sai phân số trung tâm bậc 2: ∂2 fxy( ,2,) − fxy( ) + fxy( , ) f = ii+1 ii ii− 1  2 2 ∂ =  xx x i h x  y= y ⇒  i ∂2 fxy()()(),− 2, fxy + fxy ,  f = ii+1 ii ii − 1  2 2 ∂yx= x h = i y  y y i Sai phân số từng phần z= f( xy, ) 21 Sai phân số trung tâm bậc 2: = − = − = − = − hxxi+1 xxxhy iiiyi −+ 11; yyy iii − 1 ∂2 f ∂∂ ff  ∂∂ ff  =  =   ∂∂xy ∂∂ yx  ∂∂ xy  ∂2 fxy()()()(),− fxy ,  − fxy , − fxy ,  ⇒ f = ii++11 ii −+ 11  ii +− 11 ii −− 11  ∂xy ∂x= x 2 hh ⋅ 2 = i x y y y i Ứng dụng của việc tính sai phân số 22 A B 4 2 EI x=10 kN.m L = 8 m z 4 Cho dầm AB có chiều dài L=8 m như hình vẽ. Độ cứng chịu uốn EI x= 10 kN.m2. Từ thực nghiệm đo đạc được chuyển vị độ võng của dầm theo tọa độ chiều dài z như trong bảng ở bên cạnh. Yêu cầu bằng phương pháp sai phân số hãy tính các đại lượng sau ở vị trí z=2 m: 1) Góc xoay θ 2) Nội lực mômen uốn Mx 3) Nội lực lực cắt Qy 4) Tải trọng phân bố w 23 Gọi v là chuyển vị độ võng của dầm. Hàm v(z) là hàm tính độ võng của dầm tại vị trí có tọa độ z tính từ đầu A của dầm. Ta có các hệ thức sau: EI⋅ v′( z) = EI ⋅ θ ( z ) θ ( z) = v′( x) Đạo hàm bậc nhất  x x  ⋅=′′()() ()() =⋅4 ′′ Đạo hàm bậc hai EIvzMzx x Mz x 10 vz ⇔  ⋅′′′ ()() = ()()=4 ⋅ ′′′ Đạo hàm bậc ba EIx v z Q y z Qzy 10 vz ()4  () ⋅()() = () =4 ⋅ 4 () Đạo hàm bậc bốn EIx v z w z wz10 vz 24 ( ) v z i−5 () 1.a. Sai phân số phía trước – dùng 2 điểm: v z i−4 v() z i−3 ( ) −( ) − −−( ) vzi+1 vz i 0.1017674e-2 0.935208e-3 v() z θ ()()z=≈ v′ z = =− 0.206165e-3 i−2 i i h 0.4 v() z i−1 1.b. Sai phân số phía sau – dùng 2 điểm: v() z i ( ) −( ) − −−( ) () vzi vz i −1 0.935208e-3 0.775729e-3 v z i+1 θ ()()=≈′ = =− zi v z i 0.3986975e-3 () h 0.4 v z i+2 () 1.c. Sai phân số trung tâm – dùng 2 điểm: v z i+3 v() z vz( +) − vz( − ) −0.1017674e-2 −−( 0.775729e-3 ) i+4 θ ()()z=≈ v′ z i1 i 1 = =− 0.30243125e-3 () i i v z i+5 2h 2⋅ 0.4 1.d. Sai phân số phía trước – dùng 3 điểm: −+−vz( ) 4 vz( ) 3 vz( ) −−( 0.101391e-2) +4( − 0.1017674e-2) −− 3( 0.935208e-3 ) θ ()()z= v′ z ≈i+2 i + 1 i = = − 0.3139525e-3 i i 2h 2⋅ 0.4 1.e. Sai phân số phía sau – dùng 3 điểm: 3vz( ) −+ 4 vz( ) vz( ) 3( − 0.935208e-3) −− 4( 0.775729e-3) +−( 0.561253e-3 ) θ ()()z= v′ z ≈i i−1 i − 2 = = − 0.32995125e-3 i i 2h 2⋅ 0.4 1.f. Sai phân số trung tâm – dùng 4 điểm: −+vz( ) 8 vz( ) − 8 vz( ) + vz( ) −−( 0.101391e-2) +− 8( 0.1017674e-2) −− 8( 0.775729e-3) +−( 0. 561253e-3 ) θ ()()z= v′ z ≈i+2 i + 1 i − 1 i − 2 = i i 12h 12⋅ 0.4 = − 0.308938125e-3 25 ( ) v z i−5 () 2.a. Sai phân số phía trước – dùng 3 điểm: v z i−4 v() z i−3 vz( ) −+2 vz( ) vz( ) − 0.101391e-2 −− 2( 0.1017674e-2) + ( -0.935208e-3 ) () ≈4 ⋅i+2 i + 1 i =4 ⋅ = v() z Mx z i 102 10 2 5.389375 i−2 h 0.4 v() z i−1 2.b. Sai phân số phía sau – dùng 3 điểm: v() z i vz( ) −+2 vz( ) vz( ) − 0.935208e-3 −− 2( 0.775729e-3) +−( 0.561253e-3 ) () () ≈4 ⋅i i−1 i − 2 =4 ⋅ = v z i+1 Mx z i 102 10 2 3.4373125 () h 0.4 v z i+2 () 2.c. Sai phân số trung tâm – dùng 3 điểm: v z i+3 ( ) −+( ) ( ) − −−( ) +−( ) () 4 vzi+12 vz i vz i − 1 4 0.1017674e-2 2 0.935208e-3 0.775729e-3 v z i+4 M() z ≈10 ⋅ = 10 ⋅ = 4.8133125 () x i h2 0.4 2 v z i+5 2.d. Sai phân số phía trước – dùng 4 điểm: −+−+vz( ) 4 vz( ) 5 vz( ) 2 vz( ) −−( 0.927468e-3) +4( − 0.101391e-2) −− 5( 0.1017674e-2) +− 2( 0.935208e-3 ) M() z ≈104 ⋅i+3 i + 2 i + 1 i =104 ⋅ = 5.611375 x i h2 0.4 2 2.e. Sai phân số phía sau – dùng 4 điểm: 2vz( ) −+− 5 vz( ) 4 vz( ) vz( ) 2( − 0.935208e-3) −− 5( 0.775729e-3) +− 4( 0.561253e-3) −−( 0.326595e-3 ) M() z ≈104 ⋅i i−1 i − 2 i − 3 = 104 ⋅ = 5.61325 x i h2 0.4 2 −+( ) ( ) −( ) +( ) − ( ) 2.f. Sai phân số trung 4 vzi++2116 vz i 30 vz i 16 vz ii −− 12 vz M() z ≈10 ⋅ tâm – dùng 5 điểm: x i 12 h2 −−()()()()()0.101391e-2 +− 16 0.1017674e-2 −− 30 0.935208e-3 +− 16 0.775729e-3 −− 0.561253e-3 =104 ⋅ = 4.879973958 12⋅ 0.4 2 26 ( ) v z i−5 () 3.a. Sai phân số phía trước – dùng 4 điểm: v z i−4 () v z i−3 − + − v() z vz( +) 3 vz( +) 3 vz( + ) vz( ) i−2 Q() z ≈10 4 ⋅ i3 i 2 i 1 i () y i 3 v z i−1 h v() z ()()()()−0.927468e-3 −− 3 0.101391e-2 +− 3 0.1017674e-2 −− 0.935208e-3 i =104 ⋅ = − 0.555 () 3 v z i+1 0.4 () v z i+2 () 3.b. Sai phân số phía sau – dùng 4 điểm: v z i+3 () v z i+4 vz( ) −3 vz( ) + 3 vz( ) − vz( ) Q() z ≈10 4 ⋅ i i−1 i − 2 i − 3 v() z y i 3 i+5 h ()()()()−0.935208e-3 −− 3 0.775729e-3 +− 3 0.561253e-3 −− 0.326595e-3 =104 ⋅ = 5.43984375 0.4 3 3.c. Sai phân số trung tâm – dùng 4 điểm: vz( ) −2 vz( ) + 2 vz( ) − vz( ) Q() z ≈10 4 ⋅ i+2 i + 1 i − 1 i − 2 y i 2h3 ()()()()−0.101391e-2 −− 2 0.1017674e-2 +− 2 0.775729e-3 −− 0.561253e-3 =104 ⋅ = 2.440078125 2⋅ 0.4 3 27 ( ) v z i−5 () v z i−4 3.d. Sai phân số phía trước – dùng 5 điểm: v() z i−3 −+( ) ( ) −( ) +( ) − ( ) 4 3vzi+4 14 vz i + 3 24 vz i + 2 18 vz ii + 1 5 vz v() z − Q() z ≈10 ⋅ i 2 y i 2h3 v() z i−1 −−()()()()() +− −− +− −− 4 3 0.772131e-3 14 0.927468e-3 24 0.101391e-2 18 0.1017674e-2 5 0.935208e-3 v() z =10 ⋅ i 2⋅ 0.4 3 () v z i+1 = 1.842890625 () v z i+2 () v z i+3 3.e. Sai phân số phía sau – dùng 5 điểm: v() z i+4 ( ) −( ) +( ) −( ) + ( ) 4 5vzii 18 vz−1 24 vz i − 2 14 vz i − 3 3 vz i − 4 v() z Q() z ≈10 ⋅ i+5 y i 2h3 5()()()()()− 0.935208e-3 −− 18 0.775729e-3 +− 24 0.561253e-3 −− 14 0.326595e-3 +− 3 0.119372e-3 =10 4 ⋅ 2⋅ 0.4 3 = 2.439375 3.f. Sai phân số trung tâm – dùng 6 điểm: −+vz( ) 8 vz( ) − 13 vz( ) + 13 vz( ) − 8 vz( ) + vz( ) Q() z ≈10 4 ⋅ i+3 i + 2 i + 1 iii −−− 1 23 y i 8h3 −−()()()()()()0.927468e-3 +− 8 0.101391e-2 −− 13 0.1017674e-2 +− 13 0 .775729e-3 −− 8 0.561253e-3 +− 0.326595e-3 =10 4 ⋅ 8⋅ 0.4 3 = 2.439492188 28 ( ) v z i−5 () 4.a. Sai phân số phía trước – dùng 5 điểm: v z i−4 () v z i−3 vz( +) −4 vz( +) + 6 vz( +) − 4 vz( + ) + vz( ) w() z ≈10 4 ⋅ i4 i 3 i 2 ii 1 () i 4 v z i−2 h v() z − ()()()()()−0.772131e-3 −− 4 0.927468e-3 +− 6 0.101391e-2 −− 4 0.10 17674e-2 +− 0.935208e-3 i 1 =10 4 ⋅ () 4 v z i 0.4 () = − v z i+1 3.996484375 () v z i+2 () 4.b. Sai phân số phía sau – dùng 5 điểm: v z i+3 ( ) −( ) +( ) −( ) + ( ) v() z vzii4 vz−1 6 vz i − 2 4 vz i − 3 vz i − 4 i+4 w() z ≈10 4 ⋅ () i h4 v z i+5 ()()()()()−0.935208e-3 −− 4 0.775729e-3 +− 6 0.561253e-3 −− 4 0.32 6595e-3 +− 0.119372e-3 =10 4 ⋅ 0.4 4 = − 5.00078125 4.c. Sai phân số trung tâm – dùng 5 điểm: vz( ) −4 vz( ) + 6 vz( ) − 4 vz( ) + vz( ) w() z ≈10 4 ⋅ i++21 i iii −− 12 i h4 ()()()()()−0.101391e-2 −− 4 0.1017674e-2 +− 6 0.935208e-3 −− 4 0.7 75729e-3 +− 0.561253e-3 =10 4 ⋅ 0.4 4 = − 4.999609375 29 ( ) v z i−5 () v z i−4 4.d. Sai phân số phía trước – dùng 6 điểm: () v z i−3 −+( ) ( ) −( ) +( ) −( ) + ( ) v() z 4 2vzi+5 11 vz i + 4 24 vz i + 3 26 vz i + 2 14 vz ii + 1 3 vz i−2 w() z ≈10 ⋅ i h4 v() z − i 1 −−2()()()()()() 0.56425e-3 +− 11 0.772131e-3 −− 24 0.927468e-3 +− 26 0 .101391e-2 −− 14 0.1017674e-2 +− 3 0.935208e-3 v() z =10 4 ⋅ i 0.4 4 () = − v z i+1 9.983203125 () v z i+2 () v z i+3 4.e. Sai phân số phía sau – dùng 6 điểm: v() z 3vz( ) − 14 vz( −) + 26 vz( −) − 24 vz( −) + 11 vz( −) − 2 vz( − ) i+4 w() z ≈10 4 ⋅ ii1 i 2 i 3 ii 4 5 () i h4 v z i+5 3()()()()()()− 0.935208e-3 −− 14 0.775729e-3 +− 26 0.561253e-3 −− 24 0.326595e-3 +− 11 0.119372e-3 − 2 0 =10 4 ⋅ 0.4 4 = − 5.003125000 4.f. Sai phân số trung tâm – dùng 7 điểm: −+vz( ) 12 vz( ) + 39 vz( ) +− 56 vz( ) 39 vz( ) + 12 vz( ) + vz( ) w() z ≈10 4 ⋅ i+++321 i i ii −−− 123 ii i 6h4 −−()()()()()()()0.927468e-3 +− 12 0.101391e-2 +− 39 0.1017674e-2 +− 56 0.935208e-3 −−39 0.775729e-3 +− 12 0.561253e-3 +− 0.3 26595e-3 =10 4 ⋅ 6⋅ 0.4 4 = − 5215.402735 30 1) Cho biết lời giải chính xác của góc xoay θ(l=2)=–0.3089375003e–3 (rad). Tính phần trăm sai số so với các phép tính sai phân số đã thực hiện. 2) Cho biết biểu đồ lực phân bố w cũng chính là hình vẽ dầm chịu tải trên thực tế. Vẽ lại biểu đồ lực cắt Qy và mômen uốn Mx để so sánh với các phép tính sai phân số đã thực hiện. 31 P = 6 kN = q = 5 kN/m M1 10 kN.m M = 20 kN.m w() z 2 1) Lời giải chính xác của w(z=2)=–5 kN/m z = 2 Q() z 2) Lời giải chính xác của: y Qy(z=2)=12.44–5.2=2.44 kN 3) Lời giải chính xác của: () Mx(z=2)=–10+0.5.(12.44+2.44).2=4.88 kN.m Mx z Bảng so sánh kết quả 32 1. Để tính góc xoay tại z=2 thì sai phân số bậc nhất phía sau và trước với 2 điểm, phía sau với 3 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%) 2. Để tính nội lực mômen uốn tại z=2 thì chỉ có sai phân số bậc 2 trung tâm là đem đến kết quả chính xác 3. Để tính nội lực lực cắt tại z=2 thì sai phân số bậc ba phía sau, phía trước với 4 điểm, phía trước với 5 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%) 4. Để tính tải trọng phân bố tại z=2 thì sai phân số bậc bốn phía trước (với cả 5 điểm hay 6 điểm), sai phân số trung tâm với 7 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%) Cách tính sai số 33  cx− gd ε = ×100%  cx ifcx= 0 ⇒ ε = gd